小学数学 排列组合 PPT带答案
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排列组合ppt课件
在工程领域，排列组合用于优化设计 、规划、调度等问题，如计算机科学 、信息论、控制论等。
02
排列组合基础
排列数公式与组合数公式
排列数公式
从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数，用符号A(n,m)表示，公式 为A(n,m)=n!/(n-m)!，其中n!表示n的阶乘，即n×(n-1)×...×3×2×1。
给定一个无向图，用k种颜色对图 中的边进行染色，使得每条边的 颜色都不相同，求所有可能的染 色方案。
染色问题的解法
使用递归和回溯法，从全不染色的 情况开始，逐渐增加染色的边数， 直到全部染色。
染色问题的应用
在解决一些组合优化问题时，染色 问题可以用来计算不同方案的数量 。
平均分组
平均分组的定义
将n个元素平均分成m组，每组k 个元素，求所有可能的分组方案
反序：若在排列a中有i<j，且 a(i)=a( j)，则称a中i和j为反序
。
奇偶性：若n个元素全排列的 排法数为偶数，则称n个元素 全排列为偶排列，否则称为奇
排列。
组合的定义与性质
组合的定义：从n个不同元素中取出m个 元素的所有组合的个数，记作C(n,m)。
结合律：C(n,k)C(n-k,m)=C(n,m)C(nm,k)。
03
排列组合进阶
错位重排
错位重排的定义
在n个元素中，如果有m个元素互不相邻，则称这 个排列为错位重排。
错位重排的公式
$n!(1-1/2!+1/3!-...+(-1)^n/n!)$
错位重排的应用
在解决一些排列组合问题时，错位重排公式可以 用来计算某些元素不在一起排列的总数。
染色问题
染色问题的定义
等待时间
02
排列组合基础
排列数公式与组合数公式
排列数公式
从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数，用符号A(n,m)表示，公式 为A(n,m)=n!/(n-m)!，其中n!表示n的阶乘，即n×(n-1)×...×3×2×1。
给定一个无向图，用k种颜色对图 中的边进行染色，使得每条边的 颜色都不相同，求所有可能的染 色方案。
染色问题的解法
使用递归和回溯法，从全不染色的 情况开始，逐渐增加染色的边数， 直到全部染色。
染色问题的应用
在解决一些组合优化问题时，染色 问题可以用来计算不同方案的数量 。
平均分组
平均分组的定义
将n个元素平均分成m组，每组k 个元素，求所有可能的分组方案
反序：若在排列a中有i<j，且 a(i)=a( j)，则称a中i和j为反序
。
奇偶性：若n个元素全排列的 排法数为偶数，则称n个元素 全排列为偶排列，否则称为奇
排列。
组合的定义与性质
组合的定义：从n个不同元素中取出m个 元素的所有组合的个数，记作C(n,m)。
结合律：C(n,k)C(n-k,m)=C(n,m)C(nm,k)。
03
排列组合进阶
错位重排
错位重排的定义
在n个元素中，如果有m个元素互不相邻，则称这 个排列为错位重排。
错位重排的公式
$n!(1-1/2!+1/3!-...+(-1)^n/n!)$
错位重排的应用
在解决一些排列组合问题时，错位重排公式可以 用来计算某些元素不在一起排列的总数。
染色问题
染色问题的定义
等待时间
(最新整理)《排列组合专题》PPT课件
2021/7/26
25
例9．有男女各五个人，其中有３对是夫妻，沿 圆桌就座，若每对夫妻都坐在相邻的位置，问有 多少种坐法？
设３对夫妻分别为Ａ和a,Ｂ和b,Ｃ和c，先让Ａ，Ｂ， Ｃ三人和另外４个人沿圆桌就座的方法为６！种．
又对上述每种坐法，a坐在Ａ的邻座的方式有左右两 种，b,c也如此．
所以共有６！＊２＊２＊２＝５７６０种．
将0到299的整数都看成三位数，其中数字3不 出现的，百位数字可以是0，1或2三种情况。十位 数字与个位数字均有九种，因此除去0共有
3×9×9－1=242(个)．
2021/7/26
12
例10、
在小于10000的自然数中，含有数字1的数有 多少个？
不妨将0至9999的自然数均看作四位数，凡位数不到 四位的自然数在前面补0,使之成为四位数。
所以符合题意的个数为：
1× P18× P28＝448
2021/7/26
19
例4、用0、1、2、3、4、5六个数字，可以 组成多少个没有重复数字的三位偶数？
1.个位为0,十位为1、2、3、4、5中的一个，百位为剩下的 四个数字中的一个，所以这样的偶数共有1×P15×P14
2.个位为2,百位为1、3、4、5中的一个，十位为剩下的四个 数字中的一个，所以这样的偶数共有1×P14×P14
2021/7/26
10
例8、求正整数1400的正因数的个
数．
因为任何一个正整数的任何一个正因数(除1外)都是这个 数的一些质因数的积，因此，我们先把1400分解成质因数的 连乘积1400=23527.所以这个数的任何一个正因数都是由2， 5，7中的若干个相乘而得到(有的可重复)。
于是取1400的一个正因数，这件事情是分如下三个步骤 完成的：
排列组合讲解ppt课件
知识铺垫
首先来了解下什么是两种计数原理?两种计数原理其实就是加法原理和乘法原 理，那么什么时候用加法?什么时候用乘法呢?标准就是判断你所要用的这种方 法能否独立完成一件事，如果可以那就用加法，如果不能那就用乘法。例如： 小王想要从甲到乙地，如果坐火车有3列车可选，如果做汽车有5班车可选，问 小王从甲到乙一共有多少种到达的方式?答案很显然是3+5=8，为什么用加法 呢?因为要完成的从甲地到乙地，首先3列火车可以独立完成，5班汽车也可独 立完成，每一种方式都能够独立完成这件事情则用加法。如果题目改成：小王 从甲到乙地，有3列火车可以从甲到丙地，有5班汽车可以从丙地到乙地，问小 王从甲到乙地一共有多少种方法?答案却为3×5=15，此时为什么用乘法了呢? 因为仅仅3列火车不能够独立完成小王从甲到乙地这件事情，要想完成还需要 从丙地中转后到乙地，所以分步完成用乘法。
例题展示
如果掌握了排列组合的题型特征和解题方法，你会发现这种题型还是 很好掌握的，希望同学们日后多多加强此类题型的练习，做到举一反 三。
谢谢
知识铺垫
为了方便各位更加深刻的理解和把握好两种计数原理，我们要从两道经典例题入手， 一起来看例题展示
例题展示
【例题1】小王外出游玩，准备选择一家宾馆进行入住，现在有7家经济型宾馆，5家 舒适型宾馆，3家豪华型宾馆可供小王选择，那么小王共有多少种不同的选择方式? A.12B.15C.18D.24 【答案】B 【中公解析】根据题目的描述可知，此题是在解决小王选择一家宾馆进行入住有多 少种不同的选择方式的事情。且小王可以选择3种类型的宾馆，如果只选择其中一种 类型的宾馆，比如选择豪华型宾馆能完成我们需要解决的事情，每一类选法都可完 成这件事情，故需分类。共有7+5+3=15种，答案为B。 【例题2】南阳中学有语文教师8名、数学教师7名、英语教师5名和体育教师2名。 现要从以上四科教师中各选出1名教师去参加培训，问共有几种不同的选法?
排列组合问题17种方法ppt课件
C
6 9
一
二
三
四
五
六
七
班
班
班
班
班
班
班
30
将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n个元素 排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为
C m 1 n 1
31
练习题
1. 10个相同的球装5个盒中,每盒至少一 有多少装法？
C4 9
2 .x+y+z+w=100求这个方程组的自然数解 的组数
A
5 5
A A A
2 4
1 4
5 5
一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研究.
前排
后排
20
练习题
有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并 且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是______
346
21
重排问题求幂策略
把6名实习生分配到7个车间实习,共有 多少种不同的分法
解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配 到车间有 种分法.
7
把第二名实习生分配
到车间也有7种分法，
依此类推,由分步计
7 6 数原理共有 种不同的排法
允许重复的排列问题的特点是以元素为研究 对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排 各个元素的位置，一般地n不同的元素没有限 制地安排在m个位置上的排列数为 种
一个盒子装1个 （6）每个盒子至少1个
25
练习题 一个班有6名战士,其中正副班长各1人 现从中选4人完成四种不同的任务,每人 完成一种任务,且正副班长有且只有1人 参加,则不同的选法有________ 种 192
小学数学《 排列组合》ppt
【思路点拨】假如先把小王排在第一， 小张排在第二位，那么有小李排第三， 小赵排第四和小赵排第三，小李排第四 两种情况。同理小李排第二，有两种情 况，小赵排第二有两种情况。一共有2＋ 2＋2=6种情况。如下所图。
小李
小王 小张
2种
小赵
小张
小王 小李
2种 6种
小赵
小李
小王 小赵
2种
小张
如果小李排在第一，其他三人分别排在第二、三、四
位也有6种不同的排法，同理小赵、小张排在第一位
也分别有6种排法，一共有4个6种排法。
【解答】6＋6＋6＋6=24或 6×4=24。
答：一共有24种不同的排法。
例2 一艘客轮航行于天津、青岛、大连 三个城市之间，应准备多少种不同的船 票？
【思路点拨】画图一一排列来看看。 起点站 终点站 船票
青岛 天津 青岛 天津
森林学校的数学课上，猴博士出了这样一 道题（课件出示）用数字1、2能写出几个两 位数？12、21 接着猴博士又加上了一个数字3，问：“用数字 1、2、3能写出几个两位数呢？”
小猪站起来说能写成3个，小熊说6个， 小狗说7个
用数字1、2、3能写出几个三位数呢？
例1 小王、小张、小李、小赵四名 同学去照相，他们要排成一排，有 多少种不同的排法？
大连 天津 大连 天津 青岛 天津 青岛 大连 青岛 大连 天津 大连 天津 大连 青岛 大连 青岛 从排列中看出船票有6种。 【解答】 应准备6种不同的船票。
全班同学加上老师，如果每个人 都互相握一次手，一共握了多少次手？
1、有6名同学参加围棋决赛，得冠、 亚军的名单有几种可能的情况？
2、有A、B、C、D、E五名学生，任选 两名学生组成互动学习小组，共有多少 种不同的组法？
排列组合的ppt课件免费
题目2：从7个不同元素 中取出4个元素的组合数 ，其中某特定元素可以 不被取出。
答案1：$A_{7}^{4} A_{6}^{3} = 7 times 6 times 5 times 4 - 6 times 5 times 4 = 336$
答案2：$C_{7}^{4} C_{6}^{3} = frac{7 times 6 times 5 times 4}{4 times 3 times 2 times 1} - frac{6 times 5 times 4}{3 times 2 times 1} = 28$
排列组合问题的变种与拓展
排列组合问题的变种
如“带限制的不同元素的排列组合” 、“重复元素的排列组合”等，需要 进一步拓展学生的思路。
拓展方法
通过变种问题的解析，引导学生深入 思考排列组合问题，并掌握其变化规 律，为解决更复杂的问题打下基础。
04
CATALOGUE
排列组合的数学原理
排列组合的数学原理简介
数学教育的核心
排列组合是数学教育中的 重要内容，对于培养学生 的数学素养和解决问题的 能力具有重要意义。
解决排列组合问题的方法与技能
乘法原理
加法原理
乘法原理是解决排列组合问题的基础，通 过将各个独立事件的产生概率相乘，可以 计算出复合事件的产生概率。
加法原理用于计算具有互斥性的事件的概 率，通过将各个互斥事件的产生概率相加 ，可以得到总的产生概率。
解析方法
通过实例演示和讲授，帮助学生理解排列组合的基本概念和计算方法，同时引导 学生思考如何解决实际问题。
实际问题的排列组合解决方案
实际问题的排列组合
如“安排会议”、“排定演出节目单”、“安排生产计划” 等，需要结合具体情境进行分析。
排列组合典型例题ppt课件
再将其余的 5 个元素进行全排列共有 A55种方法，最后将 甲、乙两同学“松绑”，所以这样的排法一共有 A14A55A22＝960 种方法．
可编辑课件PPT
7
(7)甲、乙两同学不能相邻的排法共有： 方法一：(排除法)A77－A66·A22＝3 600 种． 方法二：(插空法)先将其余五个同学排好有 A55种方法， 此时他们留下六个位置(就称为“空”吧)，再将甲、乙同学分 别插入这六个位置(空)有 A26种方法，所以一共有 A55A26＝3 600 种方法．
种不同的方法，故共有 120×2＝240 种方法．
【答案】 B
21
可编辑课件PPT
4．从乒乓球运动员男 5 名、女 6 名中组织一场混合双打比赛，不同的组合
方法有( )种．
A．C25C26
B．C52A26
C．C52A22C26A22
D．A52A26
【解析】 分两步进行：第一步：选出两名男选手，有 C25种方法；第 2 步，
【答案】 C
20
可编辑课件PPT
3．(2015·青岛高二检测)将标号为 1,2，…，10 的 10 个球放入标号为 1,2，…，
10 的 10 个盒子里，每个盒内放一个球，恰好 3 个球的标号与其在盒子的标号不
一致的放入方法种数为( )
A．120
B．240
C．360
D．720
【解析】 先选出 3 个球有 C310＝120 种方法，不妨设为 1,2,3 号球，则 1,2,3 号盒中能放的球为 2,3,1 或 3,1,2 两种．这 3 个号码放入标号不一致的盒子中有 2
(2)分两类：第 1 类，6 个小球分 3,1,1,1 放入盒中；第 2 类，6 个小球分 2,2,1,1 放入盒中，共有 C36·C14·A33＋C26·C42·A24＝1 500(种)不同放法．
可编辑课件PPT
7
(7)甲、乙两同学不能相邻的排法共有： 方法一：(排除法)A77－A66·A22＝3 600 种． 方法二：(插空法)先将其余五个同学排好有 A55种方法， 此时他们留下六个位置(就称为“空”吧)，再将甲、乙同学分 别插入这六个位置(空)有 A26种方法，所以一共有 A55A26＝3 600 种方法．
种不同的方法，故共有 120×2＝240 种方法．
【答案】 B
21
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4．从乒乓球运动员男 5 名、女 6 名中组织一场混合双打比赛，不同的组合
方法有( )种．
A．C25C26
B．C52A26
C．C52A22C26A22
D．A52A26
【解析】 分两步进行：第一步：选出两名男选手，有 C25种方法；第 2 步，
【答案】 C
20
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3．(2015·青岛高二检测)将标号为 1,2，…，10 的 10 个球放入标号为 1,2，…，
10 的 10 个盒子里，每个盒内放一个球，恰好 3 个球的标号与其在盒子的标号不
一致的放入方法种数为( )
A．120
B．240
C．360
D．720
【解析】 先选出 3 个球有 C310＝120 种方法，不妨设为 1,2,3 号球，则 1,2,3 号盒中能放的球为 2,3,1 或 3,1,2 两种．这 3 个号码放入标号不一致的盒子中有 2
(2)分两类：第 1 类，6 个小球分 3,1,1,1 放入盒中；第 2 类，6 个小球分 2,2,1,1 放入盒中，共有 C36·C14·A33＋C26·C42·A24＝1 500(种)不同放法．
排列组合ppt课件
排列组合基本公式 • 排列组合的应用 • 排列组合的扩展知识 • 练习题与答案解析
01
排列组合基本概念
排列的定义
排列的定义
从n个不同元素中取出m个元素（ m≤n），按照一定的顺序排成一列， 称为从n个不同元素中取出m个元素的 排列。
组合公式推导
根据乘法原理，组合数等 于从n个不同元素中取出m 个元素的排列数除以这m 个元素的全排列数。
组合公式证明
通过数学归纳法证明组合 公式。
排列组合公式的推导与证明
排列组合公式的推导
通过数学归纳法和乘法原理，逐步推导出排列和组合的公式。
排列组合公式的证明
通过数学归纳法和反证法，证明排列和组合公式的正确性。
机器学习
03
在机器学习中，排列组合用于描述样本空间和事件发生的可能
性，例如在朴素贝叶斯分类器中。
在统计学中的应用
概率分布
在统计学中，排列组合用于描述概率分布和随机事件的组合数量 ，例如在二项分布、多项分布等概率分布中。
统计推断
在统计推断中，排列组合用于计算样本数据的可能性和置信区间 ，例如在贝叶斯推断和参数估计中。
从n个不同元素中取出m个元素的所有组合方式。
排列组合在概率论中的应用
总结词
排列组合在概率论中有广泛的应用，它们是概率论中的基本概念之一。
详细描述
在概率论中，排列组合被广泛应用于各种概率模型和随机事件的计算中。例如，在计算随机事件的概率时，可以 使用排列组合来计算样本空间的大小和基本事件的数量。在计算条件概率时，可以使用排列组合来计算条件事件 的基本事件的数量。此外，在概率分布的计算中，排列组合也起着重要的作用。
3
组合的特性
组合无方向性，即顺序不影响组合的唯一性。
01
排列组合基本概念
排列的定义
排列的定义
从n个不同元素中取出m个元素（ m≤n），按照一定的顺序排成一列， 称为从n个不同元素中取出m个元素的 排列。
组合公式推导
根据乘法原理，组合数等 于从n个不同元素中取出m 个元素的排列数除以这m 个元素的全排列数。
组合公式证明
通过数学归纳法证明组合 公式。
排列组合公式的推导与证明
排列组合公式的推导
通过数学归纳法和乘法原理，逐步推导出排列和组合的公式。
排列组合公式的证明
通过数学归纳法和反证法，证明排列和组合公式的正确性。
机器学习
03
在机器学习中，排列组合用于描述样本空间和事件发生的可能
性，例如在朴素贝叶斯分类器中。
在统计学中的应用
概率分布
在统计学中，排列组合用于描述概率分布和随机事件的组合数量 ，例如在二项分布、多项分布等概率分布中。
统计推断
在统计推断中，排列组合用于计算样本数据的可能性和置信区间 ，例如在贝叶斯推断和参数估计中。
从n个不同元素中取出m个元素的所有组合方式。
排列组合在概率论中的应用
总结词
排列组合在概率论中有广泛的应用，它们是概率论中的基本概念之一。
详细描述
在概率论中，排列组合被广泛应用于各种概率模型和随机事件的计算中。例如，在计算随机事件的概率时，可以 使用排列组合来计算样本空间的大小和基本事件的数量。在计算条件概率时，可以使用排列组合来计算条件事件 的基本事件的数量。此外，在概率分布的计算中，排列组合也起着重要的作用。
3
组合的特性
组合无方向性，即顺序不影响组合的唯一性。
小学数学排列组合.ppt
⑺第17张：左上角的花图链接到第21张。三个卡通人物可随机进行点击。图图 与第19张（图图第1名）链接，wawa与第18张（wawa第１名）链接，yaya与 第２０张（yaya第１名）链接。同样，第18、19、20张排序完成后，分别 点击位于第1名的卡通人物就可回到第17张。
红花 花红 眼红 红眼 花眼 眼花
红 花眼
花红 红花 红眼 眼红 眼花 花眼
红 花眼
红花 花红
花眼 红眼 眼花 眼红
yaya wawa
yaya
wawa
第一名
第二名
第三名
yaya
wawa
第一名
第二名
第三名
yaya
wawa
第一名
第二名
第三名
yaya
wawa
第一名
第二名
第三名
yaya
第名
⑸第10张：汉字组词。学生用固定词头的方法组词时，点击红进入到第11张； 固定词尾组词时，点击花进入第12张；交换两个字的位置组词时，则点击 眼进入第13张。（分别点击第11张中的红，第12张中的花，第13张中的眼
回到第10张。）
⑹第11、12、13张：当学生说到哪个词时，师点击每个字下的相应位置。
（2）比比哪个小组找到的两位 数最多，注意不要重复。
12 3
12 21 31 十位
十十位位
十位
13 23 32
1 23
21 12 13 个位
个位
个个位位
31 32 23
123
12 23 31 十位 个位
十位 个位
十位 个位
21 32 13
请选择其中的两个字组词，比比谁组的 词最多。
红花眼
红花眼
红花 花红 眼红 红眼 花眼 眼花
红 花眼
花红 红花 红眼 眼红 眼花 花眼
红 花眼
红花 花红
花眼 红眼 眼花 眼红
yaya wawa
yaya
wawa
第一名
第二名
第三名
yaya
wawa
第一名
第二名
第三名
yaya
wawa
第一名
第二名
第三名
yaya
wawa
第一名
第二名
第三名
yaya
第名
⑸第10张：汉字组词。学生用固定词头的方法组词时，点击红进入到第11张； 固定词尾组词时，点击花进入第12张；交换两个字的位置组词时，则点击 眼进入第13张。（分别点击第11张中的红，第12张中的花，第13张中的眼
回到第10张。）
⑹第11、12、13张：当学生说到哪个词时，师点击每个字下的相应位置。
（2）比比哪个小组找到的两位 数最多，注意不要重复。
12 3
12 21 31 十位
十十位位
十位
13 23 32
1 23
21 12 13 个位
个位
个个位位
31 32 23
123
12 23 31 十位 个位
十位 个位
十位 个位
21 32 13
请选择其中的两个字组词，比比谁组的 词最多。
红花眼
红花眼
排列组合(平均法)PPT
2020/4/4
11
• 例7 设集合A={1，2，3，4}，B={6，7，8}，A为定 义域，B为值域，则从集合A到集合B的不同的函数有 多少个？
• 分析：由于集合A为定义域，B为值域，即集合A、B中 的每个元素都有“归宿”，而集合B的每个元素接受集 合A中对应的元素的数目不限，所以此问题实际上还是 分组后分配的问题。先考虑分组，集合A中4个元素分 为三组，各组的元素数目分别为1、1、2，则共有 (种) 分组方法。再考虑分配，即排列，再乘以 ，所以共有 =36(个)不同的函数。
Ａ３３＝６，所以分法是 ９０／６=15(种)。
• (2)先分组，方法是Ｃ６１＊Ｃ５２＊Ｃ３３＝６０ ，那么还要不要除以Ａ３３？ 我们发现，由于每组的书的本数是不一样的，因此不会出现相同的分法，即共有 =60(种) 分法。
• (3)分组方法是Ｃ６４＊Ｃ２１＊Ｃ１１=30(种)
•
其中有没有重复的分法？我们发现，其中两组的书的本数都是一本，因此这两
2020/4/4
8
• 例4 六本不同的书，分给甲、乙、丙三人， 每人至少一本，有多少都有“归
宿”，即书要分完，人不能空手。因此，考
虑先分组，后排列。先分组，六本书怎么分
为三组呢？有三类分法(1)每组两本(2)分别为
一本、二本、三本(3)两组各一本，另一组四
本。所以根据加法原理，分组法C 62CA是4233C 22 + C16C52C33
+C
64C
12C
1 1
A
2 2
A33
=90(种)。再考虑排列，即再乘以 。
所以一共有540种不同的分法。
2020/4/4
9
• 例6 有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需 1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法 有多少种？
第二节排列组合-PPT课件
1 4 2 3 3 2 4 1 ( 种 ) ……………… C C C C C C C C 2 6 4 ..6′ 4 6 46 4 6 46
方法二：“至少有1名女运动员”的反面为“全是男运动员”,故可 用间接法求解.
分析 （1）分步.（2）可分类也可用间接法.（3）可分类也可
用间接法.（4）分类. 解 （1）第一步：选3名男运动员，有 C 63 种选法. 第二步：选2名女运动员，有 C 42种选法. 共有 C 3 =120( 种)选法………………………………3′ C4
6 6
（2）方法一：“至少有1名女运动员”包括以下几种情况： 1女4男，2女3男，3女2男，4女1男…………………….4′ 由分类加法计数原理可得总选法数为：
参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共
有种.
解析： 星期五有2人参加，则从5人中选2人的组合数为C 5 2 ，星 期六和星期天从剩余的3人中选2人进行排列，有
2 ). 2 =60(C 种 A 5 3
种，则共有 A 32
答案： 60 题型四 基本组合问题 【例4】（14分）有男运动员6名，女运动员4名，其中男女队 长各1名.选派5名外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法？ （1）男运动员3名，女运动员2名； （2）至少有1名女运动员； （3）队长中至少有1名参加； （4）既要有队长，又要有女运动员.
=2 880A（种 )排法. 4
A 44 A 55
学后反思 本题集排列的多种类型于一题，充分体现了元素分析 法（优先考虑特殊元素）、位置分析法（优先考虑特殊位置）、 直接法、间接法（排除法）、捆绑法、等机会法、插空法等常 见的解题思路.
举一反三
3. (2019· 全国改编)从5位同学中选派4位同学在星期五、星 期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人
方法二：“至少有1名女运动员”的反面为“全是男运动员”,故可 用间接法求解.
分析 （1）分步.（2）可分类也可用间接法.（3）可分类也可
用间接法.（4）分类. 解 （1）第一步：选3名男运动员，有 C 63 种选法. 第二步：选2名女运动员，有 C 42种选法. 共有 C 3 =120( 种)选法………………………………3′ C4
6 6
（2）方法一：“至少有1名女运动员”包括以下几种情况： 1女4男，2女3男，3女2男，4女1男…………………….4′ 由分类加法计数原理可得总选法数为：
参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共
有种.
解析： 星期五有2人参加，则从5人中选2人的组合数为C 5 2 ，星 期六和星期天从剩余的3人中选2人进行排列，有
2 ). 2 =60(C 种 A 5 3
种，则共有 A 32
答案： 60 题型四 基本组合问题 【例4】（14分）有男运动员6名，女运动员4名，其中男女队 长各1名.选派5名外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法？ （1）男运动员3名，女运动员2名； （2）至少有1名女运动员； （3）队长中至少有1名参加； （4）既要有队长，又要有女运动员.
=2 880A（种 )排法. 4
A 44 A 55
学后反思 本题集排列的多种类型于一题，充分体现了元素分析 法（优先考虑特殊元素）、位置分析法（优先考虑特殊位置）、 直接法、间接法（排除法）、捆绑法、等机会法、插空法等常 见的解题思路.
举一反三
3. (2019· 全国改编)从5位同学中选派4位同学在星期五、星 期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人
《排列与组合自》课件
组合可以看作排列的一个特例
当一个组合中的元素都是相邻的时候，这个组合可以看作是 一个排列。
05
排列与组合的扩展知识
排列与组合的数学原理
排列的定义
从n个不同元素中取出m个元素（m≤n），按照一定的顺 序排成一列，称为从n个元素中取出m个元素的排列。
排列的计算公式
$A_{n}^{m} = n(n-1)(n-2)...(n-m+1)$
03
组合的计算方法
组合的公式
组合的公式
C(n,k) = n! / (k!(n-k)!)
组合公式的推导
通过数学归纳法证明组合公式。
组合公式的应用
利用组合公式计算从n个不同元素中取出k个元素 的组合数。
组合的实例
01
02
03
组合实例1
从5个不同的人中选出3个 人组成一个小组，有多少 种不同的选法？
用P(n,m)表示从n个不同元素中取出m个元 素的排列数。
排列的计算公式
P(n,m)=n×(n-1)×…×(n-m+1)
排列的特性
与元素的顺序有关，与元素的取出方式有 关。
组合的定义
组合的定义
从n个不同元素中取出m个元素（m≤n） ，不考虑顺序，称为从n个不同元素中取
出m个元素的组合。
组合的计算公式
《排列与组合》PPT课件
目录
• 排列与组合的定义 • 排列的计算方法 • 组合的计算方法 • 排列与组合的区别与联系 • 排列与组合的扩展知识
01
排列与组合的定义
排列的定义
排列的定义
排列的表示
从n个不同元素中取出m个元素（m≤n）， 按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同 元素中取出m个元素的排列。
当一个组合中的元素都是相邻的时候，这个组合可以看作是 一个排列。
05
排列与组合的扩展知识
排列与组合的数学原理
排列的定义
从n个不同元素中取出m个元素（m≤n），按照一定的顺 序排成一列，称为从n个元素中取出m个元素的排列。
排列的计算公式
$A_{n}^{m} = n(n-1)(n-2)...(n-m+1)$
03
组合的计算方法
组合的公式
组合的公式
C(n,k) = n! / (k!(n-k)!)
组合公式的推导
通过数学归纳法证明组合公式。
组合公式的应用
利用组合公式计算从n个不同元素中取出k个元素 的组合数。
组合的实例
01
02
03
组合实例1
从5个不同的人中选出3个 人组成一个小组，有多少 种不同的选法？
用P(n,m)表示从n个不同元素中取出m个元 素的排列数。
排列的计算公式
P(n,m)=n×(n-1)×…×(n-m+1)
排列的特性
与元素的顺序有关，与元素的取出方式有 关。
组合的定义
组合的定义
从n个不同元素中取出m个元素（m≤n） ，不考虑顺序，称为从n个不同元素中取
出m个元素的组合。
组合的计算公式
《排列与组合》PPT课件
目录
• 排列与组合的定义 • 排列的计算方法 • 组合的计算方法 • 排列与组合的区别与联系 • 排列与组合的扩展知识
01
排列与组合的定义
排列的定义
排列的定义
排列的表示
从n个不同元素中取出m个元素（m≤n）， 按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同 元素中取出m个元素的排列。
排列组合课件PPT14页
解（法1）优先考虑特殊元素
分两步，第1步：先排甲，不在头、尾 A51 第2步：再排其他人 A66
∴ 由分步计数原理 A51 A66 5 720 3600 （法2）优先考虑特殊位置
分两步，第1步：除甲外，其他6人中选2人
站头、尾 A62
第2步：其余位置 A55
∴ 由分步计数原理 A62 A55 6 5 120 3600
例2 （1）有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人 各1本，共有多少种不同的送法？
（2）有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人 各1本，共有多少种不同的送法？
解（1）从5本不同的书中选3本送给3名同学，相当于从5个 元素中任取3个元素的一个排列
∴ A53 5 4 3 60
（2）从5种不同的书中买3本书，这3本书并不要求都不 相同，用分步计数原理：
b捆绑法：元素相邻
c插空法：元素不相邻
（2）间接法（排除法） （先不考虑限制条件，算出所有的排列 数，再从中减去不符合条件的排列数）
例5 7位同学站成一排照相，按下列要求，各有多少
种不同的排法？
（1）甲必须站在中间
（2）甲、乙必须站在两端
（3）甲不在中间 解（1）法1 因为甲固定在中间，只需要其余6个
2 正确找出n、m的值 3 准确应用两个原理
练习 （1） 车上有7个座位，5名乘客就座，有多少种就座方式？
（2） 4辆公交车，有4位司机，4位售票员，每辆车上 配一位司机和一位售票员，有多少种不同的搭配 方案？
（3）四个同学争夺三项竞赛冠军，冠军获得者的可能 种数有多少？
不是排列问题，用分步计数原理，有 4×4×4=64 种
7! 3!
840
练习：甲、乙顺序一定 （
分两步，第1步：先排甲，不在头、尾 A51 第2步：再排其他人 A66
∴ 由分步计数原理 A51 A66 5 720 3600 （法2）优先考虑特殊位置
分两步，第1步：除甲外，其他6人中选2人
站头、尾 A62
第2步：其余位置 A55
∴ 由分步计数原理 A62 A55 6 5 120 3600
例2 （1）有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人 各1本，共有多少种不同的送法？
（2）有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人 各1本，共有多少种不同的送法？
解（1）从5本不同的书中选3本送给3名同学，相当于从5个 元素中任取3个元素的一个排列
∴ A53 5 4 3 60
（2）从5种不同的书中买3本书，这3本书并不要求都不 相同，用分步计数原理：
b捆绑法：元素相邻
c插空法：元素不相邻
（2）间接法（排除法） （先不考虑限制条件，算出所有的排列 数，再从中减去不符合条件的排列数）
例5 7位同学站成一排照相，按下列要求，各有多少
种不同的排法？
（1）甲必须站在中间
（2）甲、乙必须站在两端
（3）甲不在中间 解（1）法1 因为甲固定在中间，只需要其余6个
2 正确找出n、m的值 3 准确应用两个原理
练习 （1） 车上有7个座位，5名乘客就座，有多少种就座方式？
（2） 4辆公交车，有4位司机，4位售票员，每辆车上 配一位司机和一位售票员，有多少种不同的搭配 方案？
（3）四个同学争夺三项竞赛冠军，冠军获得者的可能 种数有多少？
不是排列问题，用分步计数原理，有 4×4×4=64 种
7! 3!
840
练习：甲、乙顺序一定 （
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（4）
=3×(3×2×1)+(5×4)=28
例2
欣欣，东东，芳芳和春春4个人一起乘公共汽车去公园， 上车后发现有8个空座位，他们一共有多少种不同的坐法？
练习2
（1）从5个人中选3个人去参加数学竞赛，有多少种选人方法，
用排列组合的符号表示应该是（ C53
）。
【分析】无序，属于组合
（2）5个人中有3个人在竞赛中分别获得一，二，三等奖，有多
例1
欣欣，东东，芳芳和春春4个人站成一排照相，一共有多 少种不同的方法？
【分析】这是一个有序的问题，所以是排列
A44 4 3 21 24
答：总共有24种方法
练习1
（1）A42
=4×3=12
（2）C
4 7
=7×6×5×4÷(4×3×2×1)=35
（3）A63 C63
=(6×5×34A)33× C(526×5×4)÷(3×2×1)=2400
课后作业
1、小明有十件不同的玩具 (1)他要送给三个小朋友一人一件,有多少种不同的送法?
(2)他要送三件玩具给一个好朋友,有多少种不同的送法?
2、圆周上有10个点,选三点组成三角形可以连成多少 个三角形?
=120
3、在1~100这100个自然数中任意挑选出2个不同的数,使得它们 的积是奇数,一共有多少种不同的方法？
【分析】（1）早中晚三个值日是不同的，所以是有序排列。
A93 9 8 7 504
答：总共有504种选法 （2）从9人中选出3人，是组合问题
C93 98 7 (3 2 1) 84
答：总共有84种选法
练习3
有6种不同颜色的小球，请问： （1）如果每种颜色的球都只有1个，从这些球中取出3个 排成一列，共有多少种方法？ （2）如果每种颜色的球都只有1个，从这些球中取出3个 装到袋中，共有多少种方法？
C83 8 7 6 (3 21) 56
C61 6 C83 C61 50
答：总共有50种选法
练习5
小高要从5种武术中选择3种来学习，那么他一共有多少种 选法？
C53 5 4 3 (3 2 1) 10 5种武术中选3种，属于组合。
例6
在1~30这30个自然数中任意挑选出2个不同的数,使得 它们的和是偶数,一共有多少种不同的方法?
＝1225
4、从3个黄色的乒乓球和4个白色的乒乓球中,任意取出3 个乒乓球,其中至少有一个白色乒乓球的取法有多少种?
所有可能 全白色可能 1 总共35-1=34（种）
5、大小两个口袋中,装有一些同样的小球,大口袋里装有10 个小球,分别编号为1~10;小口袋里装有6个小球,分别编号 为1~16。从这两个口袋中分别摸出3个小球,这6个小球的 编号一共有多少种情况?
（1） C82 8 7 (21) 28 在8个点中选2个点连成直线段，属于组合。
（2） C83 8 7 6 (3 21) 56 在8个点中取3个组成三角形，属于组合。
例5
在例4中如果数学课与钢琴课时间冲突，不能同时学，她一共 有多少种选法？
用八门中任意选三门的方法数，减去数学和钢琴同时选择的方 法数
少种得奖的可能，用排列组合的符号表示应该是A（53
）。
【分析】有序，属于排列
（3）用排列组合的方法计数是非常方便的，但是首先我们要判
断什么是排列，什么是组合。排列和组合最大的区别是有序还是无序
（
）。
C132
பைடு நூலகம்
（4）计算时若想要简单一些，可以将写成（
）。
【分析】 Cmn Cmmn
例3
象棋兴趣小组一共有9名同学，请问： （1）如果从中选出3名同学在第二天的早上，中午，晚上 分别做值日，一共有多少种选法？ （2）如果从中选3名同学去参加一次全市比赛，一共有多 少种选法？
①偶+偶=偶 15个偶数中选出2个 ②奇+奇=偶 15个奇数中选出2个的选法
共有 + ＝210（个） 答：总共有210种方法
练习6
在身高互不相同的6个人中,选出3个人站成第一排,另外 3个人站成第二排。请问:共有多少种排法？
例7
在例2中如果要求第二排最矮的人也比第一排最高的人高,那么一 多少种不同的排法？
【分析】 (1)3个小球排成一列，有序，属于排列。
A63 6 5 4 120
(2)3个小球都放入袋子，无序，属于组合。
C63 6 5 4 (3 21) 20
例4
小悦要从八门课程中选学三门，一共有多少种选法？
练习4
圆周上有8个点，任意两点用线段连接，可以连成多少条 直线段？如果选三点组成三角形可以连成多少个三角形？
练习7
工厂某日生产的10件产品中有2件次品,从这10件产品中任意抽出 3件进行检查。一共有多少种不同的方法?抽出的3件中恰好有1件 是次品的方法有多少种?
例8
在例4中抽出的3件中至少有1件是次品的 方法有多少种?
练习8
有一些四位数的4个数字分别是2个不同的奇数和2个不同的偶数, 而且不含有0,这样的四位数有几个？