最新人教版高中数学选修11知识点总结
全国版高中数学选修一知识点总结归纳
全国版高中数学选修一知识点总结归纳高中数学选修一是进一步拓宽和深化学生对数学知识的学习，为进一步学习数学奠定基础。
下面是全国版高中数学选修一的知识点总结归纳：1.函数-函数的概念：自变量、因变量、定义域、值域、函数图像。
-初等函数：常数函数、一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等。
2.二次函数-二次函数的定义与性质：顶点、对称轴、增减性、最值、零点。
-二次函数的图像与方程：平移、对称变换。
-二次函数的应用：最优化问题、几何问题、物理问题等。
3.三角函数-弧度制与角度制：弧度与角度的相互转换。
-正弦函数、余弦函数与正切函数：定义、性质、图像、周期、幅值。
-三角函数的图像与变换：平移、倍数、反函数。
-三角函数的应用：角的计算、几何问题、物理问题等。
4.数列与数列的极限-数列的概念：递推公式、通项公式。
-等差数列：通项公式、前n项和、公差与项数之间的关系。
-等比数列：通项公式、前n项和、初项与公比之间的关系。
-数列的极限：数列的有界性、数列的单调性、数列极限的概念与判定。
5.极坐标系与参数方程-极坐标系：坐标系的概念、极坐标的表示、平面上点的极坐标、点的极坐标与直角坐标的转换。
-极坐标与参数方程的图形：心形线、阿基米德螺线、渐开线等。
6.矩阵与行列式-矩阵的概念与运算：矩阵的表示、矩阵的运算（加法、数乘、乘法）。
-矩阵的初等变换与逆矩阵：初等行变换、初等列变换、矩阵的秩、矩阵的逆。
-行列式的定义与性质：二阶与三阶行列式的计算。
-线性方程组与矩阵方程：线性方程组的解法、齐次与非齐次线性方程组。
7.向量与坐标-向量的概念与运算：向量的表示、向量的运算（加法、数乘、数量积、向量积）。
-向量的坐标表示与相互关系：向量与坐标的转换、数量积、向量积与坐标的关系。
-平面向量的线性变换与应用：向量的平移、旋转、反射等。
8.空间几何-空间直线的表示与性质：点向式、对称式、规范式、平行与垂直关系。
-空间平面的表示与性质：点法式、方向向量、平行与垂直关系、点与平面的距离。
人教版高中数学知识点汇总(全册版)
① f (x) 是整式时，定义域是全体实数． ② f ( x) 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数． ③ f ( x) 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．
④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于 1．
⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义． （4）求函数的值域或最值 求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个 最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是
提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法： ①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．
②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数 的值域或最值．
对象 a 与集合 M 的关系是 a M ，或者 a M ，两者必居其一.
（4）集合的表示法 ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.
③描述法：{ x | x 具有的性质}，其中 x 为集合的代表元素.
④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类
人教版高中数学知识点（必修＋选修）
高中数学 必修 1 知识点
第一章 集合与函数概念 【1.1.1】集合的含义与表示
（1）集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.
（2）常用数集及其记法
N 表示自然数集， N 或 N 表示正整数集， Z 表示整数集， Q 表示有理数集， R 表示实数集.
2023年人教版高中数学选修一全部重要知识点
(名师选题)2023年人教版高中数学选修一全部重要知识点单选题1、动点P在抛物线x2=4y上，则点P到点C(0,4)的距离的最小值为（）A．√3B．2√3C．12√3D．12答案：B分析：设出点P坐标，用两点间距离公式表达出点P到点C(0,4)的距离，配方后求出最小值.设P(x,x 24)，则|PC|=√x2+(x24−4)2=√116(x2−8)2+12，当x2=8时，|PC|取得最小值，最小值为2√3故选：B2、若ab≠0，则ax−y+b=0和bx2+ay2=ab所表示的曲线只可能是下图中的（）A．B．C．D．答案：C分析：根据椭圆、双曲线的性质判断参数a,b 的符号，结合直线的位置判断a,b 与曲线参数是否矛盾，即可知正确选项.方程可化为y =ax +b 和x 2a +y 2b=1.A ：双曲线的位置：a <0，b >0，由直线的位置：a >0，b >0，矛盾，排除；B ：椭圆知a ，b ∈(0,+∞)，但B 中直线的位置：a <0，b <0，矛盾，排除；C ：双曲线的位置：a >0，b <0，直线中a ，b 的符号一致.D ：椭圆知a ，b ∈(0,+∞)，直线的位置：a <0，b >0，矛盾，排除； 故选：C.3、已知A(−2,0),B(4,a)两点到直线l:3x −4y +1=0的距离相等，则a =（ ） A ．2B ． 92C ．2或−8D ．2或92 答案：D分析：利用点到直线距离公式进行求解即可.因为A(−2,0),B(4,a)两点到直线l:3x −4y +1=0的距离相等， 所以有√32+(−4)2=√32+(−4)2⇒|13−4a |=5⇒a =2，或a =92，故选：D4、已知F 是双曲线x 24−y 212=1的左焦点，A(1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为（ ）A ．9B ．8C ．7D ．6 答案：A分析：由双曲线方程求出a ，再根据点A 在双曲线的两支之间，结合|PA |+|PF ′|≥|AF ′|=5可求得答案 由x 24−y 212=1，得a 2=4,b 2=12，则a =2,b =2√3,c =√a 2+b 2=4， 所以左焦点为F(−4,0)，右焦点F ′(4,0)， 则由双曲线的定义得|PF |−|PF ′|=2a =4，因为点A(1,4)在双曲线的两支之间，所以|PA|+|PF′|≥|AF′|=√32+42=5，所以|PF|+|PA|≥9，当且仅当A,P,F′三点共线时取等号，所以|PF|+|PA|的最小值为9，故选：A5、已知椭圆x24+y23=1的两个焦点为F1，F2，过F2的直线交椭圆于M，N两点，若△F1MN的周长为（）A．2B．4C．6D．8答案：D分析：运用椭圆的定义进行求解即可.由x 24+y23=1⇒a=2.因为M，N是椭圆的上的点，F1、F2是椭圆的焦点，所以MF1+MF2=2a,NF1+NF2=2a，因此△F1MN的周长为MF1+MN+NF1=MF1+MF2+NF2+NF1=2a+2a=4a=8，故选：D6、设圆C1:x2+y2−2x+4y=4，圆C2:x2+y2+6x−8y=0，则圆C1，C2的公切线有（）A．1条B．2条C．3条D．4条答案：B分析：先根据圆的方程求出圆心坐标和半径，再根据圆心距与半径的关系即可判断出两圆的位置关系，从而得解．由题意，得圆C1:(x−1)2+(y+2)2=32，圆心C1(1,−2)，圆C2:(x+3)2+(y−4)2=52，圆心C2(−3,4)，∴5−3<|C1C2|=2√13<5+3，∴C1与C2相交，有2条公切线．故选：B．7、已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左､右焦点分别是F1，F2，直线y=kx与椭圆C交于A，B两点，|AF1|=3|BF 1|，且∠F 1AF 2=60°，则椭圆C 的离心率是（ ） A ．716B ．√74C ．916D ．34答案：B分析：根据椭圆的对称性可知，|AF 2|=|BF 1|，设|AF 2|=m ，由|AF 1|=3|BF 1|以及椭圆定义可得|AF 1|=3a 2，|AF 2|=a2，在△AF 1F 2中再根据余弦定理即可得到4c 2=7a 24，从而可求出椭圆C 的离心率．由椭圆的对称性，得|AF 2|=|BF 1|.设|AF 2|=m ，则|AF 1|=3m .由椭圆的定义，知|AF 1|+|AF 2|=2a ，即m +3m =2a ，解得m =a2，故|AF 1|=3a2，|AF 2|=a2. 在△AF 1F 2中，由余弦定理，得|F 1F 2|2=|AF 1|2+|AF 2|2−2|AF 1||AF 2|cos∠F 1AF 2，即4c 2=9a 24+a 24−2×3a 2×a2×12=7a 24，则e 2=c 2a 2=716，故e =√74. 故选：B.8、已知抛物线x 2=my 焦点的坐标为F(0,1)，P 为抛物线上的任意一点，B(2,2)，则|PB|+|PF|的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．112答案：A分析：先根据焦点坐标求出m ，结合抛物线的定义可求答案. 因为抛物线x 2=my 焦点的坐标为(0,1)，所以m4=1，解得m =4．记抛物线的准线为l ，作PN ⊥l 于N ，作BA ⊥l 于A ，则由抛物线的定义得|PB|+|PF|=|PB|+|PN|⩾|BA|=3，当且仅当P 为BA 与抛物线的交点时，等号成立．故选：A.9、已知动点P 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1(不含端点)上.设D 1PD 1B =λ，若∠APC 为钝角，则实数λ的取值范围为（ ）A ．(0,13)B ．(0,12)C ．(13,1)D ．(12,1) 答案：C分析：建立空间直角坐标系，由题设，建立如图所示的空间直角坐标系D −xyz ，用坐标法计算，利用∠APC 不是平角，可得∠APC 为钝角等价于cos∠APC <0，即PA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PC⃑⃑⃑⃑⃑ <0，即可求出实数λ的取值范围.设正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为1， 则有A (1,0,0),B (1,1,0),C (0,1,0),D (0,0,1) ∴D 1B ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,1,−1)，∴设D 1P ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(λ,λ,−λ)，∴PA ⃑⃑⃑⃑⃑ =PD 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +D 1A ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(−λ,−λ,λ)+(1,0,−1)=(1−λ,−λ,λ−1)， PC ⃑⃑⃑⃑⃑ =PD 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +D 1C ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(−λ,−λ,λ)+(0,1,−1)=(−λ,1−λ,λ−1)， 由图知∠APC 不是平角，∴∠APC 为钝角等价于cos∠APC <0， ∴PA⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PC ⃑⃑⃑⃑⃑ <0， ∴(1−λ)(−λ)+(−λ)(1−λ)+(λ−1)2=(λ−1)(3λ−1)<0， 解得13<λ<1 ∴λ的取值范围是(13,1)故选：C.10、已知两圆分别为圆C 1:x 2+y 2=49和圆C 2:x 2+y 2−6x −8y +9=0，这两圆的位置关系是（ ） A ．相离B ．相交C ．内切D ．外切 答案：B分析：先求出两圆圆心和半径，再由两圆圆心之间的距离和两圆半径和及半径差比较大小即可求解. 由题意得，圆C 1圆心(0,0)，半径为7；圆C 2:(x −3)2+(y −4)2=16，圆心(3,4)，半径为4，两圆心之间的距离为√32+42=5，因为7−4<5<7+4，故这两圆的位置关系是相交. 故选：B.11、设B是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率的取值范围是（）A．[√22,1)B．[12,1)C．(0,√22]D．(0,12]答案：C分析：设P(x0,y0)，由B(0,b)，根据两点间的距离公式表示出|PB|，分类讨论求出|PB|的最大值，再构建齐次不等式，解出即可．设P(x0,y0)，由B(0,b)，因为x02a2+y02b2=1，a2=b2+c2，所以|PB|2=x02+(y0−b)2=a2(1−y02b2)+(y0−b)2=−c2b2(y0+b3c2)2+b4c2+a2+b2，因为−b≤y0≤b，当−b3c2≤−b，即b2≥c2时，|PB|max2=4b2，即|PB|max=2b，符合题意，由b2≥c2可得a2≥2c2，即0<e≤√22；当−b 3c2>−b，即b2<c2时，|PB|max2=b4c2+a2+b2，即b4c2+a2+b2≤4b2，化简得，(c2−b2)2≤0，显然该不等式不成立．故选：C．小提示：本题解题关键是如何求出|PB|的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值．12、美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法.三庭：将整个脸部按照发际线至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的13，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份.如图，假设三庭中一庭的高度为2cm，五眼中一眼的宽度为1cm，若图中提供的直线AB近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为（）A ．5√24B ．7√24C ．9√24D ．11√24答案：B分析：建立平面直角坐标系，求出直线AB 的方程，利用点到直线距离公式进行求解.如图，以鼻尖所在位置为原点O ，中庭下边界为x 轴，垂直中庭下边界为y 轴，建立平面直角坐标系，则A (12,4),B (-32,2)，直线AB : y -42-4=x -12-32-12，整理为x -y +72=0，原点O 到直线距离为|72|√1+17√24，故选：B 双空题13、设P 为椭圆M:x 28+y 2=1和双曲线N:x 2−y 26=1的一个公共点，且P 在第一象限，F 是M 的左焦点，则M的离心率为___________，|PF |=___________.答案：√1441+2√2##2√2+1分析：根据椭圆方程直接求离心率即可，根据椭圆与双曲线的方程可得其共焦点，再根据椭圆和双曲线的定义即可得出答案.解：M的离心率e=√1−18=√144，设M的右焦点为F′，因为8−1=1+6，且M与N的焦点都在x轴上，所以椭圆M与双曲线N的焦点相同，所以|PF|+|PF′|=2√8=4√2，|PF|−|PF′|=2，解得|PF|=1+2√2.所以答案是：√144；1+2√2.14、直线l：mx−y+1=0截圆x2+y2+4x−6y+4=0的弦为MN，则|MN|的最小值为__________，此时m的值为__________．答案： 2 1分析：设圆心到直线l的距离为d，则d=√m2+1，然后由|MN|=2√r2−d2，可求出|MN|=2√r2−d2=2√5−8m+1m，进而利用均值不等式可求解x2+y2+4x−6y+4=0可化简为(x+2)2+(y−3)2=9，设圆心到直线l的距离为d，则d=√m2+1，可得|MN|=2√r2−d2=2√9−(2m+2)2m2+1=2√9m2+9−4m2−8m−4m2+1=2√5m2−8m+5m2+1=2√5(m2+1)−8mm2+1=2√5−8mm2+1=2√5−8m+1m，当m>0时，|MN|有最小值，当m<0时，|MN|没有最小值，所以，当且仅当m=1m时，等号成立，此时，m=1所以答案是：①2；②1小提示：关键点睛：解题关键在于求出|MN|=2√r2−d2=2√5−8m+1m，进而利用均值不等式求出答案，属于中档题15、已知椭圆M：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，双曲线N：x2m2−y2n2=1．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为__________；双曲线N的离心率为__________．答案：√3−1 2分析：方法一：由正六边形性质得渐近线的倾斜角，解得双曲线中m2,n2关系，即得双曲线N的离心率；由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为c+√3c，再根据椭圆定义得c+√3c=2a，解得椭圆M的离心率. ［方法一］：【最优解】数形结合＋定义法由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为c+√3c，再根据椭圆定义得c+√3c=2a，所以椭圆M的离心率为ca =1+√3=√3−1.双曲线N的渐近线方程为y=±nm x，由题意得双曲线N的一条渐近线的倾斜角为π3，∴n2m2=tan2π3=3，∴e2=m2+n2m2=m2+3m2m2=4，∴e=2.所以答案是：√3−1 ；2．［方法二］：数形结合＋齐次式求离心率设双曲线x 2m2−y2n2=1的一条渐近线y=nmx与椭圆x2a2+y2b2=1在第一象限的交点为A(x0,y0)，椭圆的右焦点为F2(c,0)．由题可知，A,F2为正六边形相邻的两个顶点，所以∠AOF2=60°（O为坐标原点）．所以tan60°=nm =√3．因此双曲线的离心率e=√m2+n2m=√m2+3m2m=2．由y=nm x与x2a2+y2b2=1联立解得A(√m2b2+a2n2√m2b2+a2n2)．因为△AOF2是正三角形，所以|OA|=c，因此，可得√a2b2m2m2b2+a2n2+a2b2n2m2b2+a2n2=c．将n=√3m,b2=a2−c2代入上式，化简、整理得4a4−8a2c2+c4=0，即e4−8e2+4=0，解得e=√3−1，e=√3+1（舍去）．所以，椭圆的离心率为√3−1，双曲线的离心率为2．所以答案是：√3−1 ；2．［方法三］：数形结合＋椭圆定义＋解焦点三角形由条件知双曲线N在第一、三象限的渐近线方程为y=√3x，于是双曲线N的离心率为√1+(√3)2=2．设双曲线x 2m2−y2n2=1的一条渐近线与椭圆x2a2+y2b2=1在第一象限的交点为A，椭圆的左、右焦点分别为F1,F2．在△AF1F2中，∠AF1F2=π6,∠AF2F1=π3,∠F1AF2=π2．由正弦定理得|AF1|sin∠AF2F1=|AF2|sin∠AF1F2=|F1F2|sin∠F1AF2．于是|AF1|+|AF2|sin∠AF2F1+sin∠AF1F2=|F1F2|sin∠F1AF2．即椭圆的离心率e=2c2a =sinπ2sinπ6+sinπ3=√3−1．所以答案是：√3−1 ；2．【整体点评】方法一：直接根据椭圆的定义以及正六边形性质求解，是该题的最优解；方法二：利用正六边形性质求出双曲线的离心率，根据平面几何条件创建齐次式求出椭圆的离心率，运算较为复杂；方法三：利用正六边形性质求出双曲线的离心率，再根据通过解焦点三角形求椭圆离心率．16、已知向量a⃗=(1,−3,2)，b⃑⃗=(−2,m,−4)，若a⃗//b⃑⃗，则实数m的值是________.若a⃗⊥b⃑⃗，则实数m的值是________.答案： 6 −103分析：（1）根据空间向量平行的坐标表示求m的值；（2）根据空间向量垂直的坐标表示求m的值.a ⃗=(1,−3,2)，b ⃑⃗=(−2,m,−4)，若a ⃗//b⃑⃗， 则(1,−3,2)=λ(−2,m,−4)，解得{λ=−12m =6； 若a ⃗⊥b ⃑⃗，则a ⃗⋅b ⃑⃗=−2−3m −8=0，解得：m =−103. 所以答案是：6；−103小提示：本题考查空间向量平行，垂直的坐标公式求参数的取值，属于基础题型.17、已知直线l ：y =k (x −1)与抛物线C ：y 2=2px (p >0)在第一象限的交点为A ，l 过C 的焦点F ，|AF |=3，则抛物线的准线方程为_______；k =_______.答案： x =−1 2√2解析：由直线方程求得焦点坐标，得准线方程，利用焦半径公式得A 点横坐标，结合图形可得直线斜率， 易知直线l 与x 轴的交点为(1,0)，即抛物线的焦点为F(1,0)，∴准线方程为x =−1，设A(x 1,y 1)，则|AF |=x 1+p 2=x 1+1=3，x 1=2，作AC ⊥x 轴于点C ，如图， 则C(2,0)，|FC |=1，∴|AC |=√32−12=2√2，∴直线l 的斜率为k =tan∠AFC =2√21=2√2．所以答案是：x =−1；2√2．小提示：本题考查抛物线的准线方程和焦半径公式，掌握抛物线的定义是解题关键．涉及到抛物线 上的点到焦点的距离时利用焦半径公式可以很快的求解．解答题18、如图所示，某隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形的三边构成.已知隧道总宽度AD 为6√3m ，行车道总宽度BC 为2√11m ，侧墙高EA ，FD 为2m ，弧顶高MN 为5m .（1）以EF 所在直线为x 轴，MN 所在直线为y 轴，1m 为单位长度建立平面直角坐标系，求圆弧所在的圆的标准方程；（2）为保证安全，要求隧道顶部与行驶车辆顶部（设为平顶）在竖直方向上的高度之差至少为0.5m ，问车辆通过隧道的限制高度是多少？答案：（1）x 2+(y +3)2=36；（2）3.5m .分析：（1）设出圆的方程，代入F,M 即可求解；（2）设限高为ℎ，作CP ⊥AD ，求出点P 的坐标，即可得出答案.（1）由题意，有E(−3√3,0)，F(3√3,0)，M(0,3).∵所求圆的圆心在y 轴上，∴设圆的方程为(x −0)2+(y −b)2=r 2（b ∈R ，r >0），∵F(3√3,0)，M(0,3)都在圆上，∴{(3√3)2+b 2=r 202+(3−b )2=r2 ，解得{b =−3r 2=36 . ∴圆的标准方程是x 2+(y +3)2=36.（2）设限高为ℎ，作CP ⊥AD ，交圆弧于点P ，则CP =ℎ+0.5.将点P 的横坐标x =√11代入圆的方程，得(√11)2+(y +3)2=36，得y =2或y =−8（舍去）.∴ℎ=CP −0.5=(2+2)−0.5=3.5(m ).故车辆通过隧道的限制高度为3.5m .19、如图，已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右顶点分别是A,B ，且经过点(1,−√32)， 直线 l:x =ty −1恒过定点F 且交椭圆于D,E 两点，F 为OA 的中点.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)记△BDE 的面积为S ，求S 的最大值.答案：(1)x 24+y 2=1(2)3√32分析：（1）由直线过定点坐标求得a ，再由椭圆所过点的坐标求得b 得椭圆方程；（2）设E (x 1,y 1),D (x 2,y 2)，直线l 方程与椭圆方程联立消元后应用韦达定理得y 1+y 2=2tt 2+4,y 1y 2=−3t 2+4，计算弦长|DE |，再求得B 到直线l 的距离，从而求得三角形面积，由函数的性质求得最大值．（1）由题意可得，直线l:x =ty −1恒过定点F(−1,0)，因为F 为OA 的中点， 所以|OA|=2， 即a =2.因为椭圆C 经过点 (1,−√32)，所以 1222+(−√32)2b 2=1， 解得b =1，所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1.（2）设E (x 1,y 1),D (x 2,y 2).由{x 2+4y 2=4x =ty −1得 (t 2+4)y 2−2ty −3=0,Δ>0恒成立， 则y 1+y 2=2tt 2+4,y 1y 2=−3t 2+4，则|ED|=√1+t 2⋅√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√1+t 2⋅√(2t t 2+4)2−4×(−3t 2+4)=4√1+t 2⋅√t 2+3t 2+4 又因为点B 到直线l 的距离d =√1+t 2， 所以S =12×|ED|×d =12⋅4√1+t 2⋅√t 2+3t 2+4√1+t 2=6√t 2+3t 2+4 令m =√t 2+3⩾√3， 则6√t 2+3t 2+4=6m m 2+1=6m+1m ， 因为y =m +1m ，m ≥√3时，y ′=1−1m 2>0，y =m +1m 在m ∈[√3,+∞)上单调递增， 所以当m =√3时，(m +1m )min =4√33时，故S max =3√32. 即S 的最大值为 3√32. 小提示：方法点睛：本题求椭圆的标准方程，直线与椭圆相交中三角形面积问题，计算量较大，属于难题．解题方法一般是设出交点坐标，由（设出）直线方程与椭圆方程联立方程组消元后应用韦达定理，然后由弦长公式求得弦长，再求得三角形的另一顶点到此直线的距离，从而求得三角形的面积，最后利用函数的性质，基本不等式等求得最值．20、已知直线l 1与直线l 2:3x +4y −5=0平行，直线l 1与两坐标轴所构成的三角形的面积为12，求直线l 1的方程.答案：3x +4y ±12√2=0分析：设直线的方程为3x +4y +c =0，求出截距后可求面积，从而可求直线的方程.设直线l 1的方程为3x +4y +c =0.令y =0，得x =−c 3；令x =0，得y =−c4.由题设得12|−c3|⋅|−c4|=12.解得c=±12√2，因此直线l1的方程为3x+4y±12√2=0.。
高中数学(新人教版)必修一知识点归纳
高中数学(新人教版)必修一知识点归纳
本文将归纳高中数学(新人教版)必修一的主要知识点。
以下是
各个主题的简要概述：
1. 数与式
- 数的分类：自然数、整数、有理数、实数等。
- 代数式：基本概念、多项式、公式等。
- 幂与乘方：指数、乘方、幂等运算。
- 整式的加减法：同类项、整式的加减法规则。
- 分式：基本概念、分式的性质与化简等。
2. 一元一次方程与不等式
- 一元一次方程：基本概念、解方程的方法、应用问题等。
- 一元一次不等式：基本概念、解不等式的方法、应用问题等。
3. 函数及其图像
- 函数与自变量、函数与因变量的关系。
- 函数的表示与性质：映射、函数图像、奇偶性等。
- 一次函数：定义、性质、图像、方程等。
- 反函数与复合函数：定义、性质、求反函数、求复合函数等。
4. 等差数列
- 等差数列的定义与性质。
- 等差数列的前n项和与通项公式。
- 应用问题：等差数列应用于数学与生活中的实际问题。
5. 平面向量
- 向量的基本概念与表示法。
- 向量的运算：加法、数乘等。
- 向量共线与共面的判定。
- 向量的数量积与模的概念与性质。
6. 不等式与线性规划
- 不等式的基本性质与解法。
- 一元一次不等式组：基本概念、解法、应用问题等。
- 线性规划的基本概念与常见问题。
以上是高中数学(新人教版)必修一的主要知识点的简要归纳。
详细内容可以参考相关教材或课堂讲义。
希望这份归纳对你有帮助！。
人教版高中数学【选修1-1】[知识点整理及重点题型梳理]_全称量词与存在量词_基础
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人教版高中数学选修1-1知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习全称量词与存在量词【学习目标】1．理解全称量词、存在量词和全称命题、特称命题的概念；2．能准确地使用全称量词和存在量词符号“∀” “∃ ”来表述相关的教学内容；3．掌握判断全称命题和特称命题的真假的基本原则和方法；4. 能正确地对含有一个量词的命题进行否定.【要点梳理】要点一、全称量词与全称命题全称量词全称量词：在指定范围内，表示整体或者全部的含义的量词称为全称量词.常见全称量词：“所有的”、“任意一个”、“每一个”、“一切”、“任给”等.通常用符号“∀”表示，读作“对任意”.全称命题全称命题：含有全称量词的命题，叫做全称命题.一般形式：“对M 中任意一个x ，有()p x 成立”，记作：x M ∀∈，()p x （其中M 为给定的集合，()p x 是关于x 的语句）.要点诠释：有些全称命题在文字叙述上可能会省略了全称量词，例如：（1）“末位是0的整数，可以被5整除”；（2）“线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”；（3）“负数的平方是正数”；都是全称命题.要点二、存在量词与特称命题存在量词定义：表示个别或一部分的含义的量词称为存在量词.常见存在量词：“有一个”，“存在一个”,“至少有一个”，“有的”,“有些”等.通常用符号“∃ ”表示，读作“存在 ”.特称命题特称命题：含有存在量词的命题，叫做特称命题.一般形式：“存在M 中一个元素0x ，有0()p x 成立”，记作：0x M ∃∈，0()p x （其中M 为给定的集合，()p x 是关于x 的语句）.要点诠释：（1）一个特称命题中也可以包含多个变量，例如：存在,R R αβ∈∈使sin()sin sin αβαβ+=+.（2）有些特称命题也可能省略了存在量词.（3）同一个全称命题或特称命题，可以有不同的表述要点三、 含有量词的命题的否定对含有一个量词的全称命题的否定全称命题p ：x M ∀∈，()p xp 的否定p ⌝：0x M ∃∈，0()p x ⌝；从一般形式来看，全称命题“对M 中任意一个x ，有p （x ）成立”，它的否定并不是简单地对结论部分p(x)进行否定，还需对全称量词进行否定，使之成为存在量词，也即“任意,()x M p x ∈”的否定为“0x M ∃∈，0()p x ⌝”.对含有一个量词的特称命题的否定特称命题p ：0x M ∃∈，0()p xp 的否定p ⌝：x M ∀∈，()p x ⌝；从一般形式来看，特称命题“0x M ∃∈，0()p x ”，它的否定并不是简单地对结论部分0()p x 进行否定，还需对存在量词进行否定，使之成为全称量词，也即“0x M ∃∈，0()p x ”的否定为“x M ∀∈，()p x ⌝”.要点诠释：(1)全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题；(2)命题的否定与命题的否命题是不同的.（3）正面词：等于 、 大于 、小于、 是、 都是、 至少一个 、至多一个、 小于等于否定词：不等于、不大于、不小于、不是、不都是、 一个也没有、 至少两个 、 大于等于.要点四、全称命题和特称命题的真假判断①要判定全称命题“x M ∀∈，()p x ”是真命题，必须对集合M 中的每一个元素x ，证明()p x 成立；要判定全称命题“x M ∀∈，()p x ”是假命题，只需在集合M 中找到一个元素x 0，使得0()p x 不成立，即举一反例即可.②要判定特称命题“0x M ∃∈，0()p x ”是真命题，只需在集合M 中找到一个元素x 0，使得0()p x 成立即可；要判定特称命题“0x M ∃∈，0()p x ”是假命题，必须证明在集合M中，使 ()p x 成立得元素不存在.【典型例题】类型一：量词与全称命题、特称命题【全称量词与存在量词395491例1】例1. 判断下列命题是全称命题还是特称命题.（1）∀x ∈R ，x 2+1≥1；（2）所有素数都是奇数；（3）存在两个相交平面垂直于同一条直线；（4）有些整数只有两个正因数.【解析】（1）有全称量词“任意”，是全称命题；（2）有全称量词“所有”，是全称命题；（3）有存在量词“存在”，是特称命题；（4）有存在量词“有些”；是特称命题。
高二数学选修1-1知识点
高二数学选修1－1知识点1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句. 假命题：判断为假的语句.2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论.3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题. 若原命题为“若p ，则q ”，它的逆命题为“若q ，则p ”.4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题.若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若p ⌝，则q ⌝”. 5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题.若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若q ⌝，则p ⌝”. 6、四种命题的真假性：原命题 逆命题 否命题 逆否命题 真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 真 真 假 假 假 假 四种命题的真假性之间的关系：()1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；()2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．7、若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 若p q ⇔，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）．8、用联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∧． 当p 、q 都是真命题时，p q ∧是真命题；当p 、q 两个命题中有一个命题是假命题时，p q ∧是假命题．用联结词“或”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∨．当p 、q 两个命题中有一个命题是真命题时，p q ∨是真命题；当p 、q 两个命题都是假命题时，p q ∨是假命题．对一个命题p 全盘否定，得到一个新命题，记作p ⌝．若p 是真命题，则p ⌝必是假命题；若p 是假命题，则p ⌝必是真命题． 9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“∀”表示． 含有全称量词的命题称为全称命题．全称命题“对M 中任意一个x ，有()p x 成立”，记作“x ∀∈M ，()p x ”． 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“∃”表示． 含有存在量词的命题称为特称命题．特称命题“存在M 中的一个x ，使()p x 成立”，记作“x ∃∈M ，()p x ”．10、全称命题p ：x ∀∈M ，()p x ，它的否定p ⌝：x ∃∈M ，()p x ⌝．全称命题的否定是特称命题．11、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹称为椭圆．这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距． 12、椭圆的几何性质： 焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程 ()222210x y a b a b+=>> ()222210y x a b a b+=>> 范围a x a -≤≤且b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤顶点 ()1,0a A -、()2,0a A()10,b B -、()20,b B ()10,a A -、()20,a A ()1,0b B -、()2,0b B 轴长 短轴的长2b = 长轴的长2a =焦点 ()1,0F c -、()2,0F c()10,F c -、()20,F c焦距 ()222122F F c c a b ==- 对称性 关于x 轴、y 轴、原点对称离心率()22101c b e e a a==-<<准线方程2a x c=±2a y c=±13、设M 是椭圆上任一点，点M 到1F 对应准线的距离为1d ，点M 到2F 对应准线的距离为2d ，则1212F F e d d M M ==．14、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之差的绝对值等于常数（小于12F F ）的点的轨迹称为双曲线．这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．15、双曲线的几何性质： 焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程 ()222210,0x y a b a b -=>> ()222210,0y x a b a b -=>> 范围 x a ≤-或x a ≥，y R ∈ y a ≤-或y a ≥，x R ∈顶点 ()1,0a A -、()2,0a A()10,a A -、()20,a A轴长 虚轴的长2b = 实轴的长2a =焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c焦距 ()222122F F c c a b ==+对称性 关于x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称离心率()2211c b e e a a==+>准线方程 2a x c=±2a y c=±渐近线方程b y x a =±a y x b=± 17、设M 是双曲线上任一点，点M 到1F 对应准线的距离为1d ，点M 到2F 对应准线的距离为2d ，则1212F F e d d M M ==．18、平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点F 称为抛物线的焦点，定直线l 称为抛物线的准线．标准方程22y px =()0p >22y px =-()0p > 22x py =()0p > 22x py =-()0p >图形顶点()0,0对称轴x 轴y 轴焦点,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭,02p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭0,2p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭准线方程 2px =-2p x =2p y =-2p y =离心率 1e =范围 0x ≥ 0x ≤0y ≥ 0y ≤20、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于A 、B 两点的线段AB ，称为抛物线的“通径”，即2p AB =． 21、焦半径公式：若点()00,x y P 在抛物线()220y px p =>上，焦点为F ，则02pF x P =+； 若点()00,x y P 在抛物线()220y px p =->上，焦点为F ，则02pF x P =-+；若点()00,x y P 在抛物线()220x py p =>上，焦点为F ，则02pF y P =+；若点()00,x y P 在抛物线()220x py p =->上，焦点为F ，则02pF y P =-+．22、若某个问题中的函数关系用()f x 表示，问题中的变化率用式子()()2121f x f x x x --fx ∆=∆表示，则式子()()2121f x f x x x --称为函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率． 23、函数()f x 在0x x =处的瞬时变化率是()()210021limlimx x f x f x fx x x∆→∆→-∆=-∆，则称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作()0f x '或0x x y ='，即()()()0000limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆．24、函数()y f x =在点0x 处的导数的几何意义是曲线()y f x =在点()()00,x f x P 处的切线的斜率．曲线()y f x =在点()()00,x f x P 处的切线的斜率是()0f x '，切线的方程为()()()000y f x f x x x '-=-．若函数在0x 处的导数不存在，则说明斜率不存在，切线的方程为0x x =．25、若当x 变化时，()f x '是x 的函数，则称它为()f x 的导函数（导数），记作()f x '或y '，即()()()0limx f x x f x f x y x∆→+∆-''==∆．26、基本初等函数的导数公式：()1若()f x c =，则()0f x '=；()2若()()*n f x x x Q =∈，则()1n f x nx -'=； ()3若()sin f x x =，则()cos f x x '=；()4若()cos f x x =，则()sin f x x '=-； ()5若()x f x a =，则()ln x f x a a '=；()6若()x f x e =，则()x f x e '=； ()7若()log a f x x =，则()1ln f x x a '=；()8若()ln f x x =，则()1f x x'=． 27、导数运算法则：()1 ()()()()f x g x f x g x '''±=±⎡⎤⎣⎦；()2 ()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=+⎡⎤⎣⎦；()3()()()()()()()()()20f x f x g x f x g x g x g x g x '⎡⎤''-=≠⎢⎥⎡⎤⎣⎦⎣⎦． 28、对于两个函数()y f u =和()u g x =，若通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，则称这个函数为函数()y f u =和()u f x =的复合函数，记作()()y f g x =． 复合函数()()y f g x =的导数与函数()y f u =，()u g x =的导数间的关系是x u x y y u '''=⋅．29、在某个区间(),a b 内，若()0f x '>，则函数()y f x =在这个区间内单调递增；若()0f x '<，则函数()y f x =在这个区间内单调递减．30、点a 称为函数()y f x =的极小值点，()f a 称为函数()y f x =的极小值；点b 称为函数()y f x =的极大值点，()f b 称为函数()y f x =的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．31、求函数()y f x =的极值的方法是：解方程()0f x '=．当()00f x '=时：()1如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么()0f x 是极大值； ()2如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么()0f x 是极小值．32、求函数()y f x =在[],a b 上的最大值与最小值的步骤是：()1求函数()y f x =在(),a b 内的极值；()2将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．。
高中数学选修1-1知识点总结归纳(经典版)
高中数学选修1-1知识点总结归纳（经典版）常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.1.1 命题1、命题：一般地，在数学中我们把语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。
其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题。
2、命题的构成：在数学中，命题通常写成“若p ，则q ”的形式。
其中p 叫做命题的条件，q 叫做命题的结论。
1.1.2 四种命题3、互逆命题：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们这样的两个命题叫做互逆命题。
其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题。
如果原命题为“若p ，则q ”，则它的逆命题为“若q ，则p ”.4、互否命题：一般地，对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，我们把这样的两个命题叫做互否命题。
如果把其中的一个命题叫做原命题，，那么另一个叫做原命题的否命题。
如果原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若p ⌝，则q ⌝”.5、互逆否命题：一般地，对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题。
如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆否命题。
如果原命题为“若p ，则q ”，则它的逆否命题为“若q ⌝，则p ⌝”. 6、以上总结概括：1.1.3 四种命题间的相互关系7、四种命题间的相互关系：一般地，原命题、逆命题、否命题与逆否命题这四种命题之间的相互关系：8、四种命题的真假性：一般地，四种命题的真假性之间的关系： （1）两个命题和互否命题，它们有相同的真假性；（2）两个命题为互逆否命题或互否命题，它们的真假性没有关系。
1.2 充要条件与必要条件1.2.1 充分条件与必要条件1、充要条件与必要条件：一般地，“若p ，则q ”为真命题，是指由p 通过推理可以得出q .这时，我们就说，由p 可推出q ，记作p q ⇒，并且说p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。
高中数学选修知识点归纳
高中数学选修知识点归纳高中数学选修知识点11、圆的定义：平面内到一定点的间隔等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的半径.2、圆的方程(1)标准方程,圆心,半径为r;(2)一般方程当时,方程表示圆,此时圆心为,半径为当时,表示一个点;当时,方程不表示任何图形.(3)求圆方程的方法：一般都采用待定系数法：先设后求.确定一个圆需要三个独立条件,假设利用圆的标准方程,需求出a,b,r;假设利用一般方程,需要求出D,E,F;另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置.3、高中数学必修二知识点总结：直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况：(1)设直线,圆,圆心到l的间隔为,那么有;;(2)过圆外一点的切线：①k不存在,验证是否成立②k存在,设点斜式方程,用圆心到该直线间隔 =半径,求解k,得到方程【一定两解】(3)过圆上一点的切线方程：圆(x-a)2+(y-b)2=r2,圆上一点为(x0,y0),那么过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r24、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和(差),与圆心距(d)之间的大小比拟来确定.设圆,两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差),与圆心距(d)之间的大小比拟来确定.当时两圆外离,此时有公切线四条;当时两圆外切,连心线过切点,有外公切线两条,内公切线一条;当时两圆相交,连心线垂直平分公共弦,有两条外公切线;当时,两圆内切,连心线经过切点,只有一条公切线;当时,两圆内含;当时,为同心圆.注意：圆上两点,圆心必在中垂线上;两圆相切,两圆心与切点共线5、空间点、直线、平面的位置关系公理1：假如一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线是所有的点都在这个平面内.应用：判断直线是否在平面内用符号语言表示公理1：公理2：假如两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线符号：平面α和β相交,交线是a,记作α∩β=a.符号语言：公理2的作用：①它是断定两个平面相交的方法.②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点.③它可以判断点在直线上,即证假设干个点共线的重要根据.公理3：经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面.推论：一直线和直线外一点确定一平面;两相交直线确定一平面;两平行直线确定一平面.公理3及其推论作用：①它是空间内确定平面的根据②它是证明平面重合的根据公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行高中数学必修二知识点总结：空间直线与直线之间的位置关系①异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线②异面直线性质：既不平行,又不相交.③异面直线断定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线④异面直线所成角：作平行,令两线相交,所得锐角或直角,即所成角.两条异面直线所成角的范围是(0°,90°],假设两条异面直线所成的角是直角,我们就说这两条异面直线互相垂直.求异面直线所成角步骤：A、利用定义构造角,可固定一条,平移另一条,或两条同时平移到某个特殊的位置,顶点选在特殊的位置上.B、证明作出的角即为所求角C、利用三角形来求角(7)等角定理：假如一个角的两边和另一个角的两边分别平行,那么这两角相等或互补.(8)空间直线与平面之间的位置关系直线在平面内——有无数个公共点.三种位置关系的符号表示：aαa∩α=Aa‖α(9)平面与平面之间的位置关系：平行——没有公共点;α‖β相交——有一条公共直线.α∩β=b高中数学选修知识点2解三角形(1)正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.(2)应用可以运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.数列(1)数列的概念和简单表示法①理解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).②理解数列是自变量为正整数的一类函数.(2)等差数列、等比数列①理解等差数列、等比数列的概念.②掌握等差数列、等比数列的通项公式与前项和公式.③能在详细的问题情境中,识别数列的等差关系或等比关系,并能用有关知识解决相应的问题.④理解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系不等关系一元二次不等式①会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.②通过函数图象理解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联络.③会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图.二元一次不等式组与简单线性规划问题①会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.②理解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组.③会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决.根本不等式：①理解根本不等式的证明过程.②会用根本不等式解决简单的最大(小)值问题圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点高中数学选修知识点31.函数的概念：设A、B是非空的数集，假如按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作：y=f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.注意：2假如只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合;3函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式.定义域补充能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要根据是：(1)分式的分母不等于零;(2)偶次方根的被开方数不小于零;(3)对数式的真数必须大于零;(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5)假如函数是由一些根本函数通过四那么运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零(6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.(又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。
人教版高中数学【选修1-1】[知识点整理及重点题型梳理]_命题及其关系_提高
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人教版高中数学选修1-1知识点梳理）巩固练习重点题型（常考知识点命题及其关系【学习目标】1．了解命题、真命题、假命题的概念，能够指出一个命题的条件和结论；2．了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题，会分析四种命题的相互关系，能判断四种命题的真假；3．能熟练判断命题的真假性.【要点梳理】要点一、命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题.要点诠释：1.不是任何语句都是命题，不能确定真假的语句不是命题，如“x>2”，“2不一定大于3”.2.只有能够判断真假的陈述句才是命题.祈使句，疑问句，感叹句都不是命题，例如：“起立”、“π是有理数吗？”、“今天天气真好！”等.3.语句能否确定真假是判断其是否是命题的关键.一个命题要么是真，要么是假，不能既真又假，模棱两可.命题陈述了我们所思考的对象具有某种属性，或者不具有某种属性，这类似于集合中元素的确定性.要点二、命题的结构命题可以改写成“若p，则q”的形式，或“如果p，那么q”的形式.其中p是命题的条件，q是命题的结论.要点诠释：1.一般地，命题“若p则q”中的p为命题的条件q为命题的结论.2.有些问题中需要明确指出条件p和q各是什么，因此需要将命题改写为“若p则q”的形式.要点三、四种命题原命题：“若p，则q”；逆命题：“若q，则p”；实质是将原命题的条件和结论互相交换位置；否命题：“若非p，则非q”，或“若⌝p，则⌝q”；实质是将原命题的条件和结论两者分别否定；逆否命题：“若非q，则非p”，或“若⌝q，则⌝p”；实质是将原命题的条件和结论两者分别否定后再换位或将原命题的条件和结论换位后再分别否定.要点诠释：对于一般的数学命题，要先将其改写为“若p，则q”的形式，然后才方便写出其他形式的命题.要点四、四种命题之间的关系四种命题之间的构成关系原命题若p则q 互互互逆为逆否逆命题若q则p互否否命题互为逆否否逆否命题若⌝p则⌝q 四种命题之间的真值关系原命题真真假假逆命题真假真假互逆否命题真假真假若⌝q则⌝p逆否命题真真假假要点诠释：（1）互为逆否命题的两个命题同真同假；（2）互为逆命题或互为否命题的两个命题的真假无必然联系.要点五、反证法：1.反证法是假设结论的否定成立，利用已知条件，经过推理论证得出矛盾，判定结论的否定错误，从而得出要证的结论正确.2.反证法的步骤：（1）假设结论不成立.（2）从假设出发推理论证得到矛盾（3）判定假设错误，肯定结论正确.3.互为逆否命题的两个命题同真同假是命题转化的依据和途径之一，因此在直接证明. 原命题有困难时，可以考虑证明与它等价的逆否命题.要点诠释：反证法是间接证明的重要方法之一.【典型例题】类型一：命题的概念例 1.判断下列语句是否为命题？若是，判断其真假.(1) x > 1 ；(2)当 x = 0 时, x > 1 ； (3) 你是男生吗？ (4) 求证： π 是无理数.【思路点拨】依据命题的定义判断。
人教版高中数学选修1-1知识点总结(全)
高中数学选修1-1知识点总结第一章 简单逻辑用语● 命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句．真命题：判断为真的语句．假命题：判断为假的语句．● “若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论． ● 原命题：“若p ，则q ” 逆命题： “若q ，则p ”否命题：“若p ⌝，则q ⌝” 逆否命题：“若q ⌝，则p ⌝” ● 四种命题的真假性之间的关系：（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． ● 若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．若p q ⇔，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）． ● 逻辑联结词：⑴且：命题形式p q ∧；⑵或：命题形式p q ∨； ⑶非：命题形式p ⌝．● ⑴全称量词——“所有的”、“任意一个”等，用“∀”表示． 全称命题p ：)(,x p M x ∈∀；全称命题p 的否定⌝p ：)(,x p M x ⌝∈∃．⑵存在量词——“存在一个”、“至少有一个”等，用“∃”表示． 特称命题p ：)(,x p M x ∈∃； 特称命题p 的否定⌝p ：)(,x p M x ⌝∈∀．第二章 圆锥曲线● 平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹称为椭圆．即：|)|2(,2||||2121F F a a MF MF >=+．这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距．焦距为2c X 2 y 2谁分母大，焦点在哪个轴上，分母大的为a 2 ,分母小的为b 2pqp q ∧p q ∨p ⌝真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假假假假真● 椭圆的几何性质：焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程()222210x y a b a b +=>> ()222210y x a b a b +=>> 范围a x a -≤≤且b y b -≤≤b x b -≤≤且a y a -≤≤顶点()1,0a A -、()2,0a A()10,b B -、()20,b B()10,a A -、()20,a A ()1,0b B -、()2,0b B轴长 短轴的长2b = 长轴的长2a =焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c焦距 ()222122F F c c a b ==-对称性 关于x 轴、y 轴、原点对称离心率()22101c b e e a a==-<<● 平面内与两个定点1F ，2F 的距离之差的绝对值等于常数（小于12F F ）的点的轨迹称为双曲线．即：|)|2(,2||||||2121F F a a MF MF <=-．这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．焦距为2c X 2 y 2谁是正的，焦点在哪个轴上，正的分母为a 2 ,负的分母为b 2 ● 双曲线的几何性质：焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程()222210,0x y a b a b-=>> ()222210,0y x a b a b-=>> 范围 x a ≤-或x a ≥，y R ∈y a ≤-或y a ≥，x R ∈顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,a A -、()20,a A轴长 虚轴的长2b = 实轴的长2a =焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c焦距 ()222122F F c c a b ==+对称性 关于x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称离心率()2211c b e e a a==+>渐近线方程b y x a=±a y x b=±● 实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．● 平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点F 称为抛物线的焦点，定直线l 称为抛物线的准线．焦点到准线距离为p. ● 抛物线的几何性质：标准方程22y px =()0p >22y px =- ()0p > 22x py = ()0p > 22x py =-()0p >图形顶点()0,0对称轴x 轴y 轴焦点,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭,02p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭0,2p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭准线方程2px =-2p x =2p y =-2p y =离心率1e =范围0x ≥ 0x ≤ 0y ≥ 0y ≤第三章 导数及其应用● 函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率：()()2121f x f x x x --● 导数定义：()f x 在点0x 处的导数记作xx f x x f x f y x x x ∆-∆+='='→∆=)()(lim)(00000．● 函数()y f x =在点0x 处的导数的几何意义是曲线()y f x =在点()()00,x f x P 处的切线的斜率．● 求切线步骤：1、求导()f x '；2、斜率k=()f x '；3、代点斜式y-y o =k(x-x o )，(x o ,y o)为切点。
高中数学选修1-1、1-2、4-1、4-4知识点归纳
射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项； 两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项。
圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆周角的一半。 圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数。
选修 1－ 1、 1-2 数学知识点
第一部分 简单逻辑用语
1. 原命题：“若 p ，则 q ”；逆命题： “若 q ，则 p ”； 否命题：“若 p ，则 q ”；逆否命题： “若 q ，则 p ”
2. 四种命题的真假性之间的关系： （ 1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； （ 2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
3. 若 p 若p
q ，则 p 是 q 的充分条件， q 是 p 的必要条件． q ，则 p 是 q 的充要条件（充分必要条件） ．
集合间的包含关系：若 A B ，则 A 是 B 的充分条件或 B 是 A 的必要条件；
若 A=B，则 A 是 B 的充要条件；
4. ⑴全称量词——“所有的” 、“任意一个”等，用“
3. 极坐标与直角坐标的互化：
2 x2 y2 , x y sin , tan
cos , y (x 0) x
3．圆 ( x a) 2 ( y b)2 r 2的参数方程可表示为
x a rcos , ( 为参数 ) .
y b rsin .
2
2
椭圆 x a2
y b2
1 (a b
0) 的参数方程可表示为
x acos , ( 为参数 ) .
nx n
2023年人教版高中数学选修一考点总结
(名师选题)2023年人教版高中数学选修一考点总结单选题1、如图，在直三棱柱ABC −AB 1C 1中，AC =3,BC =4,CC 1=3,∠ACB =90∘ ，则BC 1与A 1C 所成的角的余弦值为（ ）A ． 3√210B ． √33C ． √24D ． √55答案：A分析：建立空间直角坐标系，写出CA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，BC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的坐标，由夹角公式可得结果.如图，以C 为坐标原点，CA ，CB ，CC 1分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则C (0,0,0)，A 1(3,0,3)，B (0,4,0)，C 1(0,0,3)，所以CA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(3,0,3)，BC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,−4,3)，所以cos⟨CA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ,BC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⟩=CA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |CA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |⋅|BC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=3√2×5=3√210， 所以直线BC 1与A 1C 所成角的余弦值为3√210．故选：A.2、已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点与抛物线y 2=2px(p >0)的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C 、D 两点，若|CD|=√2|AB|．则双曲线的离心率为（ ）A ．√2B ．√3C ．2D ．3答案：A分析：设公共焦点为(c,0)，进而可得准线为x =−c ，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得a 2=12c 2，再由双曲线离心率公式即可得解. 设双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)与抛物线y 2=2px(p >0)的公共焦点为(c,0)，则抛物线y 2=2px(p >0)的准线为x =−c ，令x =−c ，则c 2a 2−y 2b 2=1，解得y =±b 2a ，所以|AB|=2b 2a , 又因为双曲线的渐近线方程为y =±b ax ，所以|CD|=2bc a ， 所以2bc a =2√2b 2a ，即c =√2b ，所以a 2=c 2−b 2=12c 2， 所以双曲线的离心率e =c a =√2.故选：A. 3、如图，正方形ABCD 与正方形ADEF 互相垂直，G 是AF 的中点，则（ ）A ．BE 与CG 异面但不互相垂直B ．BE 与CG 异面且互相垂直C ．BE 与CG 相交但不互相垂直D ．BE 与CG 相交且互相垂直答案：A分析：根据异面直线的定义可判断BE 与CG 异面，由题意建立空间直角坐标系，利用向量法可判断BE 与CG 不互相垂直.解：因为AD//BC ，AD//EF ，所以BC//EF ，所以BC 与EF 确定一个平面α，所以BE ⊂α，因为C ∈α,G ∉α，所以BE 与CG 异面，因为正方形ABCD 与正方形ADEF 互相垂直，平面ABCD ∩平面ADEF =AD ，DE ⊂平面ADEF 且DE ⊥AD ，所以DE ⊥平面ABCD ，又DC ⊥AD ，所以建立如图所示的空间直角坐标系D −xyz ，设正方形的边长为1，则B (1,1,0)，E (0,0,1)，C (0,1,0)，G (1,0,12)，所以BE ⃑⃑⃑⃑⃑ =(−1,−1,1),CG ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,−1,12)，因为BE ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅CG ⃑⃑⃑⃑⃑ =−1×1+(−1)×(−1)+1×12=12≠0， 所以BE⃑⃑⃑⃑⃑ 与CG ⃑⃑⃑⃑⃑ 不垂直，即BE 与CG 不互相垂直， 故选：A.4、已知直线斜率为k ，且−1≤k ≤√3，那么倾斜角α的取值范围是（ ）A ．[0,π3]∪[π2,3π4)B ．[0,π3]∪[3π4,π) C ．[0,π6]∪[π2,3π4)D ．[0,π6]∪[3π4,π) 答案：B分析：根据直线斜率的取值范围，以及斜率和倾斜角的对应关系，求得倾斜角α的取值范围.解：直线l 的斜率为k ，且−1≤k ≤√3，∴−1≤tanα≤√3，α∈[0,π).∴α∈[0,π3]∪[3π4,π).故选：B.5、在矩形ABCD 中，O 为BD 中点且AD =2AB ，将平面ABD 沿对角线BD 翻折至二面角A −BD −C 为90°，则直线AO 与CD 所成角余弦值为（ ）A ．√55B ．√54C ．3√525D ．4√225答案：C分析：建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线AO 与CD 所成角余弦值.在平面ABD 中过A 作AE ⊥BD ，垂足为E ；在平面CBD 中过C 作CF ⊥BD ，垂足为F .由于平面ABD ⊥平面BCD ，且交线为BD ，所以AE ⊥平面BCD ，CF ⊥平面ABD ，设AB =1,AD =2，12×BD ×AE =12×AB ×AD ⇒AE =√5OE =√OA 2−AE 2=2√5 同理可得CF =√5OF =2√5，以O 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则A(2√5√5),√52√50),D(−√52,0,0)， CD ⃑⃑⃑⃑⃑ =(−√510,2√50)，设AO 与CD 所成角为θ，则cosθ=|OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅CD ⃑⃑⃑⃑⃑ |OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |⋅|CD ⃑⃑⃑⃑⃑ ||=320√52×12=3√525.故选：C6、如果AB >0且BC <0，那么直线Ax +By +C =0不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：C分析：通过直线经过的点来判断象限.由AB >0且BC <0，可得A,B 同号，B,C 异号，所以A,C 也是异号；令x =0，得y =−C B >0；令y =0，得x =−C A >0； 所以直线Ax +By +C =0不经过第三象限.故选：C.7、在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =a ,AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =b ⃑ ,AA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =c，则a ⋅(b ⃑ +c )的值为（ ） A ．1B ．0C ．-1D ．-2答案：B分析：由正方体的性质可知AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ,AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ,AA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 两两垂直，从而对a⋅(b ⃑ +c )化简可得答案 由题意可得AB ⊥AD,AB ⊥AA 1,所以a ⊥b ⃑ ,a ⊥c ，所以a ⋅b ⃑ =0,a ⋅c =0，所以a ⋅(b ⃑ +c )=a ⋅b ⃑ +a ⋅c =0，故选：B8、若圆C 1:x 2+y 2−2ay =0(a >0)与圆C 2:x 2+y 2−4x +3=0相外切，则a 的值为（ ）A ．12B ．23C ．1D ．32 答案：D分析：确定出两圆的圆心和半径，然后由两圆的位置关系建立方程求解即可.由x 2+y 2−2ay =0(a >0)可得x 2+(y −a )2=a 2，所以圆C 1的圆心为(0,a )，半径为a ，由x 2+y 2−4x +3=0可得(x −2)2+y 2=1，所以圆C 2的圆心为(2,0)，半径为1，因为两圆相外切，所以√4+a 2=a +1，解得a =32， 故选：D9、在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，P 为B 1D 1的中点，则直线PB 与AD 1所成的角为（ ）A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6答案：D分析：平移直线AD1至BC1，将直线PB与AD1所成的角转化为PB与BC1所成的角，解三角形即可.如图，连接BC1,PC1,PB，因为AD1∥BC1，所以∠PBC1或其补角为直线PB与AD1所成的角，因为BB1⊥平面A1B1C1D1，所以BB1⊥PC1，又PC1⊥B1D1，BB1∩B1D1=B1，所以PC1⊥平面PBB1，所以PC1⊥PB，设正方体棱长为2，则BC1=2√2,PC1=12D1B1=√2，sin∠PBC1=PC1BC1=12，所以∠PBC1=π6.故选：D10、已知直线l的倾斜角为60∘，且经过点(0,1)，则直线l的方程为（）A．y=√3x B．y=√3x−2C．y=√3x+1D．y=√3x+3答案：C分析：先求出斜率，再由直线的点斜式方程求解即可.由题意知：直线l的斜率为√3，则直线l的方程为y=√3x+1.故选：C.11、已知F1､F2是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⊥PF2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ .若△PF1F2的面积为9，则b=（）A ．2B ．3C ．4D ．5答案：B分析：根据△PF 1F 2的面积以及该三角形为直角三角形可得|PF 1|⋅|PF 2|=18，|PF 1|2+|PF 2|2=4c 2，然后结合|PF 1|+|PF 2|=2a ，简单计算即可.依题意有|PF 1|+|PF 2|=2a ，所以|PF 1|2+|PF 2|2+2|PF 1|⋅|PF 2|=4a 2又PF 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⊥PF 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，S △PF 1F 2=12|PF 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |⋅|PF 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=9，所以|PF 1|⋅|PF 2|=18，又|PF 1|2+|PF 2|2=4c 2，可得4c 2+36=4a 2，即a 2−c 2=9，则b =3，故选：B.12、已知双曲线x 2a 2−y 22=1(a >0)的一条渐近线的倾斜角为π6，则此双曲线的离心率e 为（ ） A ．2√33B ．2√63C ．√3D ．2 答案：A分析：根据题意渐近线的斜率为tan π6=√33，所以该渐近线的方程为y =√33x ，所以2a 2=(√33)2，求得a =√6，利用c =√a 2+b 2，求得c 即可得解.∵双曲线x 2a 2−y 22=1(a >0)的一条渐近线的倾斜角为π6，tan π6=√33， ∴该渐近线的方程为y =√33x ，∴2a 2=(√33)2，解得a =√6或−√6（舍去），∴c =√a 2+b 2=2√2，∴双曲线的离心率为e =c a =√2√6=2√33． 故选：A ．双空题13、如果点M (x,y )在运动过程中，总满足关系式√x 2+(y +3)2+√x 2+(y −3)2=10，则√x 2+(y −3)2=______（用含y 的式子表示），它的标准方程是______．答案： √925y 2−6y +25 x 216+y 225=1分析：根据椭圆的定义，求得椭圆的方程；再结合椭圆方程，求得x 2,y 2的关系，代入√x 2+(y −3)2即可求得结果.因为√x 2+(y +3)2+√x 2+(y −3)2=10，其表示M 到(0,−3),(0,3)点的距离之和为10，又10>6，故点M 的轨迹满足椭圆的定义，设其标准方程为：y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0)，显然c =3，2a =10，又b 2=a 2−c 2，解得a 2=25,b 2=16，则标准方程为：x 216+y 225=1；故可得x 2=16−1625y 2代入√x 2+(y −3)2，则√x 2+(y −3)2 =√16−1625y 2+y 2−6y +9=√925y 2−6y +25.所以答案是：√925y 2−6y +25；x 216+y 225=1.14、已知正四面体VABC 的棱长为2，E ，F 分别是棱VA ，BC 的中点，则该正四面体外接球的表面积为___________．异面直线BE 与VF 所成角的余弦值为___________．答案： 6π 23分析：将正四面体补成一个正方体，正四面体的外接球的直径为正方体的对角线长，即可得出结论，再建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出异面直线所成角的余弦值．解：将正四面体补成一个正方体，因为正四面体VABC 的棱长为2，则正方体的棱长为√2，所以正方体的体对角线长为√(√2)2+(√2)2+(√2)2=√6，∵正四面体的外接球的直径为正方体的体对角线长，∴外接球的表面积为4π×(√62)2=6π．如图建立空间直角坐标系，则B(√2,0,0)，F (√22,√22,0)，E (√22,√22,√2)，V(√2,√2,√2)，所以BE ⃑⃑⃑⃑⃑ =(−√22,√22,√2)，FV ⃑⃑⃑⃑⃑ =(√22,√22,√2)， 所以cos⟨BE ⃑⃑⃑⃑⃑ ,FV ⃑⃑⃑⃑⃑ ⟩=BE ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅FV ⃑⃑⃑⃑⃑ |BE ⃑⃑⃑⃑⃑ |⋅|FV ⃑⃑⃑⃑⃑ |=√3×√3=23， 所以异面直线BE 与VF 所成角的余弦值为23；所以答案是：6π；23；15、如图，在三棱锥S −ABC 中，SB ⊥AB ， SB ⊥BC ， AB ⊥BC ，SB =AB =BC =2，P ， Q 分别为棱AB ， BC 的中点，O 为三棱锥S −ABC 外接球的球心，则球O 的体积为________；平面SPQ 截球O 所得截面的周长为________．答案： 4√3π 2√2π分析：将三棱锥补成正方体，则正方体的外接球是三棱锥的外接球，求出外接球半径，从而求出体积，求解截面周长，方法一：找到截面圆心，得到截面圆的半径，求出截面周长；方法二：建立空间直角坐标系，用空间向量求解出点到平面的距离，进而求出截面半径和周长.因为SB ⊥AB ， SB ⊥BC ， AB ⊥BC ，SB =AB =BC =2将三棱锥S −ABC 补成正方体ABCD −LSMN 如图1，所以三棱锥的外接球就是正方体的外接球，球心O是BN的中点.设外接球的半径为R，则2R=BN=2√3，即R=√3，所以V=4π3√33=4√3π.方法一：设PQ∩BD=E，因为AC⊥平面SBDN，PQ//AC，所以PQ⊥平面SBDN，所以平面SPQ⊥平面SBDN，因为平面SPQ∩平面SBDN=SE，过O作OO1⊥SE，垂足为O1，如图2，则OO1⊥平面SPQ，且O1是截面的圆心.设BN∩SE=F，如图3，在矩形BDNS中BFFN =BESN=14，所以BF OF=23，过B 作BG ⊥SE ，垂足为G ，则BGOO 1=BF FO=23，在RtΔSBE 中，SB =2，BE =14BD =14×2√2=√22， SE =√SB 2+BE 2=3√22，则BG =BE⋅SB SE=23，所以OO 1=32BG =1，设截面圆的半径为r ，则r =√R 2−OO 12=√3−1=√2，故截面的周长为2√2π.方法二：以BC ， BA ， BS 分别为x 轴，y 轴和z 轴建立空间直角坐标系B −xyz ，则S(0 ， 0 ， 2)，P(0 ， 1 ， 0)，Q(1 ， 0 ， 0)，O(1 ， 1 ， 1)， PQ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1 ， −1 ， 0)，PS ⃑⃑⃑⃑ =(0 ， −1 ， 2)，OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =(−1 ， 0 ， −1)， 设平面SPQ 的法向量为n ⃑ =(x ， y ， z)， 由{n ⃑ ⋅PQ ⃑⃑⃑⃑⃑ =0n ⃑ ⋅PS⃑⃑⃑⃑ =0 ，得{x −y =0−x +2z =0 ，所以平面SPQ 的一个法向量n ⃑ =(2 ， 2 ， 1).设直线OP 与平面SPQ 所成的角为θ，球心O 到平面SPQ 的距离为d所以sinθ=|cos <OP ⃑⃑⃑⃑⃑ ， n ⃑ >|=|OP ⃑⃑⃑⃑⃑⋅n ⃑ ||OP ⃑⃑⃑⃑⃑ |⋅|n ⃑ |=√22，且d =|OP ⃑⃑⃑⃑⃑ |⋅sinθ=√2×√22=1. 设截面的半径r ，则r =√R 2−d 2=√2，所以截面的周长为2√2π.16、已知抛物线x 2=2py (p >0)的焦点为F ，准线为l ，点P (4,y 0)在抛物线上，K 为l 与y 轴的交点，且PK =√2PF ，则y 0=______，p =______． 答案： 2 4分析：作PM ⊥l ，垂足为M ，则由抛物线的定义结合已知条件可得∠PKM =45°，则|PM|=|MK|=4，再结合抛物线的定义和点P(4,y 0)在抛物线上列方程组可求出结果. 作PM ⊥l ，垂足为M ，由抛物线定义知|PM|=|PF|， 又知|PK|=√2|PF|，所以在Rt △PKM 中，sin∠PKM =|PM||PK|=|PF||PK|=√22， 所以∠PKM =45°，所以△PMK 为等腰直角三角形， 所以|PM|=|MK|=4，又点P 在抛物线x 2=2py(p >0)上， 所以{py 0=8y 0+p 2=4， 解得{p =4y 0=2．所以答案是：2，4小提示：17、已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，焦点F 1(−c,0)，F 2(c,0) (c >0)，若过F 1的直线和圆(x −12c)2+y 2=c 2相切，与椭圆在第一象限交于点P ，且PF 2⊥x 轴，则该直线的斜率是___________，椭圆的离心率是___________. 答案：2√55√55分析：不妨假设c =2，根据图形可知，sin∠PF 1F 2=23，再根据同角三角函数基本关系即可求出k =tan∠PF 1F 2=25√5；再根据椭圆的定义求出a ，即可求得离心率．如图所示：不妨假设c =2，设切点为B ， sin∠PF 1F 2=sin∠BF 1A =|AB ||F 1A |=23，tan∠PF 1F 2=√32−22=25√5所以k =2√55, 由k =|PF 2||F 1F 2|,|F 1F 2|=2c =4，所以|PF 2|=8√55，|PF 1|=|PF 2|×1sin∠PF 1F 2=12√55， 于是2a =|PF 1|+|PF 2|=4√5，即a =2√5，所以e =c a =2√5=√55． 所以答案是：2√55；√55． 解答题18、已知圆C 过点A (3,1),B (5,3)，圆心在直线y =x 上. （1）求圆C 的方程.（2）判断点P (2，4)与圆C 的关系答案：（1）(x −3)2+(y −3)2=4；（2）P 在圆C 内部.分析：(1)由给定条件设出圆心C (a,a )、半径r ，进而写出圆的标准方程，再列出关于a ，r 的方程组即可得解 (2)求出点P 与点C 的距离，再将它与r 比较即可得解.（1）由题意设圆心为C (a,a )，半径为r ，则圆的标准方程为(x −a)2+(y −a )2=r 2， 由题意得{(3−a)2+(1−a )2=r 2(5−a)2+(3−a )2=r 2 ，解得{a =3r =2，所以圆C 的标准方程为(x −3)2+(y −3)2=4； （2）由(1)知|PC |=√(3−2)2+(3−4)2=√2<r P (2，4)在圆C 内.19、如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，CC 1⊥平面 ABC,AC ⊥BC,AC =BC =2，CC 1=3，点D, E 分别在棱AA 1和棱 CC 1上，且AD =1 CE =2, M 为棱A 1B 1的中点．（Ⅰ）求证：C 1M ⊥B 1D ；（Ⅱ）求二面角B −B 1E −D 的正弦值； （Ⅲ）求直线AB 与平面DB 1E 所成角的正弦值． 答案：（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）√306；（Ⅲ）√33. 分析：以C 为原点，分别以CA ⃑⃑⃑⃑⃑ ,CB ⃑⃑⃑⃑⃑ ,CC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系. （Ⅰ）计算出向量C 1M ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 和B 1D ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的坐标，得出C 1M ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅B 1D ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =0，即可证明出C 1M ⊥B 1D ；（Ⅱ）可知平面BB 1E 的一个法向量为CA ⃑⃑⃑⃑⃑ ，计算出平面B 1ED 的一个法向量为n ⃑ ，利用空间向量法计算出二面角B −B 1E −D 的余弦值，利用同角三角函数的基本关系可求解结果； （Ⅲ）利用空间向量法可求得直线AB 与平面DB 1E 所成角的正弦值.依题意，以C 为原点，分别以CA ⃑⃑⃑⃑⃑ 、CB ⃑⃑⃑⃑⃑ 、CC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），可得C(0,0,0)、A(2,0,0)、B(0,2,0)、C 1(0,0,3)、 A 1(2,0,3)、B 1(0,2,3)、D(2,0,1)、E(0,0,2)、M(1,1,3). （Ⅰ）依题意，C 1M ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,1,0)，B 1D ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(2,−2,−2)， 从而C 1M ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅B 1D ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =2−2+0=0，所以C 1M ⊥B 1D ； （Ⅱ）依题意，CA⃑⃑⃑⃑⃑ =(2,0,0)是平面BB 1E 的一个法向量， EB 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,2,1)，ED ⃑⃑⃑⃑⃑ =(2,0,−1)． 设n ⃑ =(x,y,z)为平面DB 1E 的法向量， 则{n ⃑ ⋅EB 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =0n ⃑ ⋅ED ⃑⃑⃑⃑⃑ =0，即{2y +z =02x −z =0， 不妨设x =1，可得n ⃑ =(1,−1,2)．cos <CA ⃑⃑⃑⃑⃑ ,n ⃑ >=CA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅n ⃑ |CA ⃑⃑⃑⃑⃑ |⋅|n ⃑ |=2×√6=√66， ∴sin <CA ⃑⃑⃑⃑⃑ ,n ⃑ >=√1−cos 2<CA ⃑⃑⃑⃑⃑ ,n ⃑ >=√306．所以，二面角B −B 1E −D 的正弦值为√306； （Ⅲ）依题意，AB⃑⃑⃑⃑⃑ =(−2,2,0)． 由（Ⅱ）知n ⃑ =(1,−1,2)为平面DB 1E 的一个法向量，于是cos <AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ,n ⃑ >=AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅n⃑ |AB ⃑⃑⃑⃑⃑ |⋅|n ⃑ |=2√2×√6=−√33．所以，直线AB与平面DB1E所成角的正弦值为√3.3小提示：本题考查利用空间向量法证明线线垂直，求二面角和线面角的正弦值，考查推理能力与计算能力，属于中档题.20、如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ABC=120°,AB=1,BC=4,PA=√15，M，N分别为BC,PC的中点，PD⊥DC,PM⊥MD.（1）证明：AB⊥PM；（2）求直线AN与平面PDM所成角的正弦值.．答案：（1）证明见解析；（2）√156分析：（1）要证AB⊥PM，可证DC⊥PM，由题意可得，PD⊥DC，易证DM⊥DC，从而DC⊥平面PDM，即有DC⊥PM，从而得证；（2）取AD中点E，根据题意可知，ME,DM,PM两两垂直，所以以点M为坐标原点，建立空间直角坐标系，再⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 和平面PDM的一个法向量，即可根据线面角的向量公式求出．分别求出向量AN（1）在△DCM中，DC=1，CM=2，∠DCM=60∘，由余弦定理可得DM=√3，所以DM2+DC2=CM2，∴DM⊥DC．由题意DC⊥PD且PD∩DM=D，∴DC⊥平面PDM，而PM⊂平面PDM，所以DC⊥PM，又AB//DC，所以AB⊥PM．（2）由PM⊥MD，AB⊥PM，而AB与DM相交，所以PM⊥平面ABCD，因为AM=√7，所以PM=2√2，取AD中点E，连接ME，则ME,DM,PM两两垂直，以点M为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系,则A(−√3,2,0),P(0,0,2√2),D(√3,0,0),M(0,0,0),C(√3,−1,0)又N 为PC 中点，所以N (√32,−12,√2),AN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(3√32,−52,√2). 由（1）得CD ⊥平面PDM ，所以平面PDM 的一个法向量n ⃑ =(0,1,0)从而直线AN 与平面PDM 所成角的正弦值为sinθ=|AN⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅n ⃑ ||AN⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ‖n ⃑ |=52√274+254+2=√156．小提示：本题第一问主要考查线面垂直的相互转化，要证明AB ⊥PM ，可以考虑DC ⊥PM ，题中与DC 有垂直关系的直线较多，易证DC ⊥平面PDM ，从而使问题得以解决；第二问思路直接，由第一问的垂直关系可以建立空间直角坐标系，根据线面角的向量公式即可计算得出．。
高中数学选修1-1命题知识点、考点、典型例题
高二数学选修 1－1 知识点第一章：命题与逻辑结构知识点：1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句.2、“若p，则q”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论.3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题 . 其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题.若原命题为“若p ，则 q ”，它的逆命题为“若q ，则 p ”.4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题. 中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题.若原命题为“若p ，则 q ”，则它的否命题为“若p ，则q ”.5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题. 其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题. 若原命题为“若p ，则 q ”，则它的逆否命题为“若q ，则p ”.6、四种命题的真假性：原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假例题：一个命题与他们的逆命题、否命题、逆否命题这 4 个命题中（）A ．真命题与假命题的个数相同B．真命题的个数一定是偶数C．真命题的个数一定是奇数D ．真命题的个数可能是奇数，也可能是偶数答案（找作业答案 --->>上魔方格）一个命题与他们的逆命题、否命题、逆否命题这 4 个命题，原命题与逆否命题具有相同的真假性，否命题与逆命题具有相同的真假性，∴真命题的若有事成对出现的，四种命题的真假性之间的关系：1 两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；2 两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．7、若p q ，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件．若 p q ，则 p 是 q 的充要条件（充分必要条件）．8、用联结词“且”把命题p 和命题 q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ．当 p 、 q 都是真命题时，p q 是真命题；当p 、 q 两个命题中有一个命题是假命题时，p q 是假命题．用联结词“或”把命题p 和命题 q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ．当 p 、 q 两个命题中有一个命题是真命题时，p q是真命题；当p 、q两个命题都是假命题时，p q是假命题．对一个命题p 全盘否定，得到一个新命题，记作p ．若 p 是真命题，则p 必是假命题；若p 是假命题，则p 必是真命题．9、短语“对所有的” 、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“”表示．含有全称量词的命题称为全称命题．全称命题“对中任意一个 x ，有 p x 成立”，记作“x，p x ”．短语“存在一个” 、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“”表示．含有存在量词的命题称为特称命题．特称命题“存在中的一个 x ，使 p x 成立”，记作“x，p x”．10、全称命题p ：x，p x ，它的否定p ：x，p x ．全称命题的否定是特称命题．考点： 1、充要条件的判定2 、命题之间的关系★ 1．命题“对任意的x R，x3 x2 1≤ 0 ”的否定是（）A ．不存在x R， x3 x2 1≤ 0B ．存在x R， x3 x2 1≤ 0C．存在x R， x3 x2 1 0 D ．对任意的x R， x3 x2 1 0★2、给出命题：若函数 y=f(x)是幂函数，则函数 y=f(x)的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是(A)3(B)2(C)1(D)0★ 3.已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“”是“ m”的() A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件第二章：圆锥曲线知识点：1、平面内与两个定点F1， F 2的距离之和等于常数（大于F1 F 2）的点的轨迹称为椭圆．这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距．2、椭圆的几何性质：焦点的位置焦点在 x 轴上焦点在y轴上图形标准方程x2 y21 a b 0y2 x21 a b 0 a2 b2 a2 b2范围 a x a 且 b y b b x b 且 a y a1a,0 、 2 a,0 1 0, a 、 2 0,a 顶点10, b 、 2 0,b 1 b,0 、 2 b,0 轴长短轴的长2b 长轴的长2a焦点F1 c,0 、 F2 c,0 F1 0, c 、 F2 0, c 焦距F1F2 2c c2 a2 b2对称性关于 x 轴、y轴、原点对称c1 b20 e 1离心率 e 2a a准线方程x a2ya2 c c3、设是椭圆上任一点，点到 F1对应准线的距离为d1，点到 F2 对应准线的距离为d2，则F1 F2e．d1 d2线．这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．5、双曲线的几何性质：焦点的位置焦点在 x 轴上焦点在y轴上图形标准方程x2 y21 a 0,b 0y2 x21 a 0, b 0 a2 b2 a2 b2范围x a 或 x a ， y R y a 或 y a ， x R 顶点 1 a,0 、 2 a,0 1 0, a 、 2 0,a 轴长虚轴的长2b 实轴的长2a焦点F1 c,0 、 F2 c,0 F1 0, c 、 F2 0, c 焦距F1 F2 2c c2 a2 b2对称性关于 x 轴、y轴对称，关于原点中心对称离心率e c1b2e 1 a a2准线方程x a2ya2 c c渐近线方程y b x y a xa b6、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．7、设是双曲线上任一点，点到 F1对应准线的距离为d1，点到 F2对应准线的距离为d2，则F1 F2 e．d2d18、平面内与一个定点F和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点F称为抛物线的焦点，定直线l 称为抛物线的准线．9、抛物线的几何性质：y 2 2 px y 2 2 px x 2 2 py x 2 2 py 标准方程p 0 p 0 p 0 p 0 图形顶点0,0对称轴x 轴y 轴焦点 F p, 0 Fp, 0 F 0,pF 0, p2 2 2 2准线方程x pxpypyp 2 2 2 2离心率 e 1范围x 0 x 0 y 0 y 010、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于、两点的线段，称为抛物线的“通径” ，即 2 p ．考点： 1、圆锥曲线方程的求解2、直线与圆锥曲线综合性问题3、圆锥曲线的离心率问题典型例题：★★ 1．设O是坐标原点， F 是抛物线y2 2px( p 0) 的焦点，A是抛物线上的一xA ．21 pB ．21p C．13 p D ．13 p4 2 6 36★★ 2．与直线x y 2 0 和曲线x2 y2 12x 12y 54 0 都相切的半径最小的圆的标准方程是．★★★ 3．（本小题满分 14 分）已知椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为 1．（ 1）求椭圆C的标准方程；（ 2）若直线l : y kx m 与椭圆 C 相交于 A， B 两点（ A， B 不是左右顶点），且以 AB 为直径的图过椭圆 C 的右顶点．求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．第三章：导数及其应用知识点：1、若某个问题中的函数关系用 f x 表示，问题中的变化率用式子f x2 f x1x2 x1f表示，则式子 f x2 f x1 称为函数 f x 从x1到 x2的平均变化率．x x2 x12、函数f x 在 x x0 处的瞬时变化率是lim f x2 f x1limfx2 x1，则称它为函数 y f xx 0 x 0 x在 x x0处的导数，记作 f x0 或yx x0 ，即f x0 lim f x0 x f x0 ．x 0 x3、函数y f x 在点 x0处的导数的几何意义是曲线y f x 在点x0 , f x0处的切线的斜率．曲线 y f x 在点x0 , f x0 处的切线的斜率是 f x0 ，切线的方程为y f x f x x x．若函数在x0处的导数不存在，则说明斜率不存在，切线的方程为0 0 0x x0．4、若当x变化时，f x 是x的函数，则称它为 f x 的导函数（导数），记作 f x 或y，即f x yf x x f x lim ．5、基本初等函数的导数公式：1 若 f x c ，则 f x 0 ；2 若f x x n x Q* ，则 f x nx n 1；3 若 f x sin x ，则 f x cosx ；4 若 f x cosx ，则 f x sin x ；5 若 f x a x，则 f x a x ln a ；6 若 f x e x，则 f x e x；7 若 f x log a x ，则 f x18 若 f x ln x ，则 f x1 ；．x ln a x6、导数运算法则：1 f x g x f x g x ；2 f x g x f x g x f x g x ；3 f x f x g x f x g xx 0g x g x 2g ．7、对于两个函数y f u 和 u g x ，若通过变量 u ，y可以表示成 x 的函数，则称这个函数为函数 y f u 和 u f x 的复合函数，记作y f g x ．复合函数 y f g x 的导数与函数y f u ， u g x 的导数间的关系是y x y u u x．8、在某个区间a, b 内，若 f x 0 ，则函数 y f x 在这个区间内单调递增；若 f x 0 ，则函数 y f x 在这个区间内单调递减．9 、点a称为函数y f x 的极小值点， f a 称为函数y f x 的极小值；点 b 称为函数y f x 的极大值点， f b 称为函数 y f x 的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．10、求函数y f x 的极值的方法是：解方程 f x 0 ．当 f x0 0 时：1 如果在 x0附近的左侧 f x 0 ，右侧 f x 0 ，那么 f x0 是极大值；2 如果在 x0附近的左侧 f x 0 ，右侧 f x 0 ，那么 f x0 是极小值．11、求函数y f x 在 a, b 上的最大值与最小值的步骤是：2 将函数 y f x 的各极值与端点处的函数值 f a ， f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．考点： 1、导数在切线方程中的应用2、导数在单调性中的应用3、导数在极值、最值中的应用4、导数在恒成立问题中的应用典型例题★ 1.（ 05 全国卷Ⅰ） 函数f ( x)x 3 ax 23x 9，已知f ( x)在 x3时取得极值， 则 a=（ ）A ． 2 B. 3C. 4D.5★ 2．函数33 x 2 x上的最大值与最小值分别是（ ）212 5 在 [0,3]A.5,-15B.5,4C.-4,-15D.5,-16★★★ 3（. 根据 04 年天津卷文 21 改编）已知函数 f ( x)ax3cx d ( a0)是 R 上的奇函数，当 x1时f ( x)取得极值－ 2.（ 1）试求 a 、 c 、 d 的值；（ 2）求f (x)的单调区间和极大值；★★★ 4. （根据山东 2008 年文 21 改编）设函数f ( x)x 2e x 1ax 3 bx 2 ，已知x2和 x 1为f ( x)的极值点。
2023年人教版高中数学选修一考点大全笔记
(名师选题)2023年人教版高中数学选修一考点大全笔记单选题1、已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为a，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为（）A．√2a B．√3a C．√23a D．√33a答案：D分析：建立空间直角坐标系，用空间向量求解由正方体的性质，AB1∥DC1,D1B1∥DB，AB1∩D1B1=B1，DC1∩DB=D，易得平面AB1D1∥平面BDC1，则两平面间的距离可转化为点B到平面AB1D1的距离．以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(a,0,0)，B(a,a,0)，A1(a,0,a)，C(0,a,0)，B1(a,a,a)，D1(0,0,a)所以CA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(a,−a,a )，BA ⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,−a,0)，AB 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,a,a )，B 1D 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(−a,−a,0)．连接A 1C ，由CA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AB 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(a,−a,a )⋅(0,a,a )=0，CA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅B 1D 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(a,−a,a )⋅(−a,−a,0)=0，且AB 1∩B 1D 1=B 1，可知A 1C ⊥平面AB 1D 1，得平面AB 1D 1的一个法向量为n ⃑ =(1,−1,1)，则两平面间的距离d =|BA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅n ⃑ |n ⃑ ||=√3=√33a ． 故选：D2、如图，下列各正方体中，O 为下底面的中心，M ，N 为顶点，P 为所在棱的中点，则满足MN ∥OP 的是（ ） A ．B ．C ．D ．答案：A 分析：根据给定条件，建立空间直角坐标系，再对每一个选项逐一分析，利用空间位置关系的向量证明推理作答.在正方体中，对各选项建立相应的空间直角坐标系，令正方体棱长为2，点O (1,1,0)，对于A ，M (0,0,2),N (2,0,0),P (2,0,1)，MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(2,0,-2),OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,-1,1)，MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ∥OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =0，MN ∥OP ，A 是；对于B ，M (2,0,2),N (0,2,2),P (0,2,1)，MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(-2,2,0),OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =(-1,1,1)，MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ∥OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =4≠0，MN 与OP 不垂直，B 不是；对于C ，M (0,2,2),N (0,0,0),P (2,1,2)，MN →=(0,-2,-2),OP →=(1,0,2)，MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ∥OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =-4≠0，MN 与OP 不垂直，C 不是；对于D ，M (2,2,2),N (0,2,0),P (0,0,1)，MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(-2,0,-2),OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,0,1)，MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ∥OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =-4≠0，MN 与OP 不垂直，D 不是.故选：A3、直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，△ABC 为等边三角形， AA 1＝AB ，M 是A 1C 1的中点，则AM 与平面BCC 1B 1所成角的正弦值为（ ）A ．710B ．√1510C ．√8510D ．−√1510 答案：B分析：取AC 的中点D ，以D 为原点，BD,DC,DM 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，即可根据线面角的向量公式求出．如图所示，取AC 的中点D ，以D 为原点，BD,DC,DM 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，不妨设AC =2，则A (0,−1,0),M (0,0,2),B(−√3,0,0),N (−√32,−12,2)， 所以AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,1,2)，平面BCC 1B 1的一个法向量为n ⃑ =(√32,−32,0) 设AM 与平面BCC 1B 1所成角为α，向量AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 与n ⃑ 所成的角为θ，所以sinα=|cosθ|=|AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅n ⃑ ||AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |⋅|n ⃑ |=32√5×√3=√1510， 即AM 与平面BCC 1B 1所成角的正弦值为√1510． 故选：B ． 4、如果复数z 满足|z +1−i |=2，那么|z −2+i |的最大值是（ ）A ．√13+2B ．2+√3C ．√13+√2D ．√13+4答案：A分析：复数z 满足|z +1−i|=2，表示以C(−1,1)为圆心，2为半径的圆．|z −2+i|表示圆上的点与点M(2,−1)的距离，求出|CM|即可得出．复数z 满足|z +1−i|=2，表示以C(−1,1)为圆心，2为半径的圆．|z −2+i|表示圆上的点与点M(2,−1)的距离．∵|CM|=√32+22=√13．∴|z −2+i|的最大值是√13+2．故选：A ．小提示：本题考查复数的几何意义、圆的方程，求解时注意方程|z +1−i|=2表示的圆的半径为2，而不是√2．5、在平面直角坐标系中，四点坐标分别为A (2,0),B(3,2−√3),C(1,2+√3), D (4,a )，若它们都在同一个圆周上，则a 的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．√3答案：C分析：设出圆的一般式x 2+y 2+Dx +Ey +F =0，根据A (2,0),B(3,2−√3),C(1,2+√3),求出{D =−4E =−4F =4 ，然后将点D (4,a )带入圆的方程即可求得结果.设圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0，由题意得{22+02+2D +F =032+(2−√3)2+3D +(2−√3)E +F =012+(2+√3)2+D +(2+√3)E +F =0 ，解得{D =−4E =−4F =4 ，所以x 2+y 2−4x −4y +4=0，又因为点D (4,a )在圆上，所以42+a 2−4×4−4a +4=0，即a =2.故选：C.6、已知方程x 2＋y 2－2x ＋2k ＋3＝0表示圆，则k 的取值范围是（ ）A ．(－∞，－1)B ．(3，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)D ．(−32,+∞)答案：A分析：把圆的方程x 2＋y 2－2x ＋2k ＋3＝0化为标准型，利用r 2>0，解出k 的取值范围. 方程可化为(x －1)2＋y 2＝－2k －2，只有－2k －2＞0，即k ＜－1时才能表示圆．故选：A.7、若点P 在曲线C 1:x 216−y 29=1上，点Q 在曲线C 2:(x −5)2+y 2=1上，点R 在曲线C 3:(x +5)2+y 2=1上，则|PQ |−|PR |的最大值是（ ）A ．9B ．10C ．11D ．12答案：B分析：分析可知两圆圆心为双曲线C 1的两个焦点，利用圆的几何性质以及双曲线的定义可求得|PQ |−|PR |的最大值.在双曲线C 1中，a =4，b =3，c =5，易知两圆圆心分别为双曲线C 1的两个焦点，记点F 1(−5,0)、F 2(5,0)，当|PQ |−|PR |取最大值时，P 在双曲线C 1的左支上，所以，|PQ |−|PR |≤|PF 2|+1−(|PF 1|−1)=|PF 2|−|PF 1|+2=2a +2=10.故选：B.8、在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，P 为B 1D 1的中点，则直线PB 与AD 1所成的角为（ ）A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6答案：D分析：平移直线AD 1至BC 1，将直线PB 与AD 1所成的角转化为PB 与BC 1所成的角，解三角形即可.如图，连接BC 1,PC 1,PB ，因为AD 1∥BC 1，所以∠PBC 1或其补角为直线PB 与AD 1所成的角，因为BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，所以BB 1⊥PC 1，又PC 1⊥B 1D 1，BB 1∩B 1D 1=B 1，所以PC 1⊥平面PBB 1，所以PC 1⊥PB ，设正方体棱长为2，则BC 1=2√2,PC 1=12D 1B 1=√2，sin∠PBC 1=PC 1BC 1=12，所以∠PBC 1=π6. 故选：D9、已知四棱锥P −ABCD ，底面ABCD 为平行四边形，M ，N 分别为棱BC ，PD 上的点，CM CB =13，PN =ND ，设AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =a ，AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =b ⃑ ，AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =c ，则向量MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 用{a ,b ⃑ ,c }为基底表示为（ ）A ．a +13b ⃑ +12cB ．−a +16b ⃑ +12c C ．a −13b ⃑ +12c D ．−a −16b ⃑ +12c 答案：D分析：由图形可得MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =MC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +CD ⃑⃑⃑⃑⃑ +DN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，根据比例关系可得MC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =13AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ，DN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =12DP ⃑⃑⃑⃑⃑ ，再根据向量减法DP ⃑⃑⃑⃑⃑ =AP ⃑⃑⃑⃑⃑ −AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ，代入整理并代换为基底向量．MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =MC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +CD ⃑⃑⃑⃑⃑ +DN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =13AD ⃑⃑⃑⃑⃑ −AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +12DP ⃑⃑⃑⃑⃑ =13AD ⃑⃑⃑⃑⃑ −AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +12(AP ⃑⃑⃑⃑⃑ −AD ⃑⃑⃑⃑⃑ )=−AB ⃑⃑⃑⃑⃑ −16AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +12AP ⃑⃑⃑⃑⃑ 即MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =−a −16b ⃑ +12c 故选：D ．10、如图所示，在空间四边形OABC 中，OA ⃑⃑⃑⃑⃑ ＝a ,OB ⃑⃑⃑⃑⃑ =b ⃑ ,OC ⃑⃑⃑⃑⃑ =c ，点M 在OA 上，且OM⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =2MA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，N 为BC 中点，则MN⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ （ ）A ．12a −23b ⃑ +12cB ．−23a +12b ⃑ +12c C ．12a +12b ⃑ −12c D ．−23a +23b ⃑ −12c 答案：B分析：由向量的加法和减法运算法则计算即可．MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =ON ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =12(OB ⃑⃑⃑⃑⃑ +OC ⃑⃑⃑⃑⃑ )−23OA ⃑⃑⃑⃑⃑ =−23a +12b ⃑ +12c 故选：B11、若圆x 2+y 2=1上总存在两个点到点(a,1)的距离为2，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(−2√2,0)∪(0,2√2)B ．(−2√2,2√2)C ．(−1,0)∪(0,1)D ．(−1,1)答案：A分析：将问题转化为圆(x −a)2+(y −1)2=4与x 2+y 2=1相交，从而可得2−1<√a 2+12<2+1，进而可求出实数a 的取值范围.到点(a,1)的距离为2的点在圆(x −a)2+(y −1)2=4上，所以问题等价于圆(x −a)2+(y −1)2=4上总存在两个点也在圆x 2+y 2=1上，即两圆相交，故2−1<√a 2+12<2+1，解得−2√2<a <0或0<a <2√2，所以实数a 的取值范围为(−2√2,0)∪(0,2√2)，故选：A ．12、已知点A （1，2）在圆C ：x 2+y 2+mx −2y +2=0外，则实数m 的取值范围为（ ）A ．(−3,−2)∪(2,+∞)B ．(−3,−2)∪(3,+∞)C ．(−2,+∞)D ．(−3,+∞)答案：A分析：由x 2+y 2+mx −2y +2=0表示圆可得m 2+(−2)2−4×2>0，点A （1，2）在圆C 外可得12+22+m −2×2+2>0，求解即可由题意，x 2+y 2+mx −2y +2=0表示圆故m 2+(−2)2−4×2>0，即m >2或m <−2点A （1，2）在圆C ：x 2+y 2+mx −2y +2=0外故12+22+m −2×2+2>0，即m >−3故实数m 的取值范围为m >2或−3<m <−2即m ∈(−3,−2)∪(2,+∞)故选：A双空题13、如图，在棱长为2的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点E 是侧面BB 1C 1C 内的一个动点．若点E 满足D 1E ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⊥CE⃑⃑⃑⃑⃑ ，则|BE|的最大值为__________，最小值为__________．答案： 2√2 √5−1分析：建立空间直角坐标系，设E (x,2,z ) x ∈[0,2]，z ∈[0,2]，根据向量垂直的坐标表示得到x 2+(z −1)2=1，即可得到动点E 的轨迹方程，再将其放到平面直角坐标系中，利用平面几何的知识计算可得； 解：如图建立空间直角坐标系，则C (0,2,0)，D 1(0,0,2)，B (2,2,0)，设E (x,2,z ) x ∈[0,2]，z ∈[0,2]，所以D 1E ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(x,2,z −2)，CE⃑⃑⃑⃑⃑ =(x,0,z )， 因为D 1E ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⊥CE ⃑⃑⃑⃑⃑ ，所以D 1E ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅CE⃑⃑⃑⃑⃑ =x 2+z (z −2)=0，即x 2+(z −1)2=1，x ∈[0,2]，z ∈[0,2]， 则动点E 的轨迹为以(0,0,1)为圆心，1为半径的半圆，将其放到平面直角坐标系中如下图所示：则B (2,0)，M (0,1)，N (0,2)，所以|BM |=√12+22=√5，所以|BE |min =√5−1； 显然当E 点在N 时（即立体图形中的C 1点）|BE |取得最大值，|BE |max =√22+22=2√2因此|BE|的最大值为2√2，最小值为√5−1；所以答案是：2√2；√5−114、在平面直角坐标系xOy中，双曲线C:x23−y2=1的焦距为________.若双曲线C的右焦点与抛物线y2＝2px(p>0)的焦点重合，则实数p的值为______________.答案： 4 4分析：利用c2=a2+b2及抛物线的焦点横坐标为p2计算即可.由已知，a=√3,b=1，故c=√a2+b2=2，所以焦距为2c=4，又双曲线右焦点为(2,0)，所以有p2=2，p=4.所以答案是：（1）4；（2）4.小提示：本题考查抛物线、双曲线的定义及应用，考查学生的基本运算能力，是一道基础题.15、已知点O(0,0),A(4,0),B(0,4). 若从点P(1,0)射出的光线经直线AB反射后过点Q(−2,0)，则反射光线所在直线的方程为_____________；若从点M(m,0),m∈(0,4)射出的光线经直线AB反射，再经直线OB反射后回到点M，则光线所经过的路程是__________（结果用m表示）.答案：x−2y+2=0√2m2+32解析：首先求出点P(1,0)关于直线AB的对称点P′，由Q(−2,0)结合点斜式即可求解；求出点M(m,0),m∈(0,4)关于y轴对称点P″，关于直线AB对称点P‴，|P″P‴|即为光线经过的路程.设点P(1,0)关于直线AB的对称点为P′(x0,y0)，直线AB：x+y−4=0，所以{y0−0x0−1⋅(−1)=−1x0+1 2+y0+02−4=0解得x0=4，y0=3，故P′(4,3)，由Q(−2,0)∴P′Q：y−0=3−04−(−2)(x+2)，即x−2y+2=0.点M(m,0),m∈(0,4)关于y轴对称点P″(−m,0)，设关于直线AB对称点P‴(x1,y1)，由{y1−0x1−m⋅(−1)=−1x1+m 2+y1+02−4=0解得x1=4，y1=4−m，故P‴(4,4−m).故|P″P‴|=√(4+m)2+(4−m)2=√2m2+32所以答案是：x−2y+2=0；√2m2+32小提示：本题主要考查点斜式方程、中点坐标公式、两点间的距离公式，考查了学生的基本知识，属于基础题.16、过圆O：x2+y2=r2外一点P(x0,y0)作圆O的切线，切点分别为A，B，我们可以把线段AB叫做圆O的切点弦，其所在直线方程为x0x+y0y=r2.现过点P(1,3)作圆O：x2+y2=4的切线，切点分别为A，B，则切点弦AB所在直线的方程为___________；若点Q是直线l：x−y−4=0上的动点，过点Q作圆O：x2+y2=4的切线，切点分别为A，B，则切点弦AB所在直线恒过定点___________.答案：x+3y−4=0；(1,−1)分析：根据题意，对第一空：由题目中“切点弦”所在直线的方程，直接代入点P(1,3)坐标即可得答案；对第二空：设Q的坐标为(m,n)，求出“切点弦”AB所在直线方程，结合m，n之间的关系可求解.解：根据题意，圆O：x2+y2=4中，由r2=4，点P(1,3)在圆O外，过点P(1,3)作圆O：x2+y2=4的切线，切点分别为A，B，则切点弦AB所在直线的方程为x+3y−4=0，设Q的坐标为(m,n)，则m−n−4=0，即m=n+4，过点Q作圆O：x2+y2=4的切线，切点分别为A，B，则切点弦AB所在直线方程为mx+ny−4=0，又由m=n+4，则直线AB的方程变形可得n(x+y)+4x−4=0，则有{x+y=04x−4=0，解可得{x=1y=−1，则直线AB恒过定点(1,−1)，所以答案是：x+3y−4=0；(1,−1).小提示：名师点评（1）过圆O：x2+y2=r2上一点P(x0,y0)作圆O的切线，则切线方程为：x0x+y0y=r2；（2）过圆O：x2+y2=r2外一点P(x0,y0)作圆O的切线，设切点分别为A，B，则切点弦AB所在直线方程为：x0x+y0y=r2.17、在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动，则直线D1E与A1D所成角的大小是__________，若D1E⊥EC，则AE=__________．答案： 90° 1分析：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出直线D 1E 和A 1D 的方向向量，由向量的夹角得异面直线所成的角，利用垂直求出E 点坐标后可得AE 的长．长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，又AD =AA 1=1，AB =2，点E 在棱AB 上移动，则D (0,0,0)，D 1(0,0,1)，A (1,0,0)，A 1(1,0,1)，C (0,2,0)，设E (1,m ,0)，0≤m ≤2，则D 1E ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,m ,﹣1)，A 1D⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(﹣1,0,﹣1)， ∴D 1E ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ •A 1D⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =﹣1+0+1=0，∴直线D 1E 与A 1D 所成角的大小是90°． ∵D 1E ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,m ,﹣1)，EC⃑⃑⃑⃑⃑ =(﹣1,2﹣m ,0)，D 1E ⊥EC ， ∴D 1E ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅EC⃑⃑⃑⃑⃑ =﹣1+m (2﹣m )+0=0，解得m =1，∴AE =1． 所以答案是：90°；1．小提示：本题考查用空间向量法求异面直线所成的角，求空间线段的长，解题关键是建立空间直角坐标系，这在长方体中易得．解答题18、抛物线C 的顶点为坐标原点O ．焦点在x 轴上，直线l ：x =1交C 于P ，Q 两点，且OP ⊥OQ ．已知点M (2,0)，且⊙M 与l 相切．（1）求C ，⊙M 的方程；（2）设A 1,A 2,A 3是C 上的三个点，直线A 1A 2，A 1A 3均与⊙M 相切．判断直线A 2A 3与⊙M 的位置关系，并说明理由．答案：（1）抛物线C:y 2=x ，⊙M 方程为(x −2)2+y 2=1；（2）相切，理由见解析分析：（1）根据已知抛物线与x =1相交，可得出抛物线开口向右，设出标准方程，再利用对称性设出P,Q 坐标，由OP ⊥OQ ，即可求出p ；由圆M 与直线x =1相切，求出半径，即可得出结论；（2）方法一：先考虑A 1A 2斜率不存在，根据对称性，即可得出结论；若A 1A 2,A 1A 3,A 2A 3斜率存在，由A 1,A 2,A 3三点在抛物线上，将直线A 1A 2,A 1A 2,A 2A 3斜率分别用纵坐标表示，再由A 1A 2,A 1A 2与圆M 相切，得出y 2+y 3,y 2⋅y 3与y 1的关系，最后求出M 点到直线A 2A 3的距离，即可得出结论.（1）依题意设抛物线C:y 2=2px(p >0),P(1,y 0),Q(1,−y 0)，∵OP ⊥OQ,∴OP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =1−y 02=1−2p =0,∴2p =1，所以抛物线C 的方程为y 2=x ，M(2,0),⊙M 与x =1相切，所以半径为1，所以⊙M 的方程为(x −2)2+y 2=1；（2）[方法一]：设A 1(x 1y 1),A 2(x 2,y 2),A 3(x 3,y 3)若A 1A 2斜率不存在，则A 1A 2方程为x =1或x =3，若A 1A 2方程为x =1，根据对称性不妨设A 1(1,1)，则过A 1与圆M 相切的另一条直线方程为y =1，此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在A 3，不合题意；若A 1A 2方程为x =3，根据对称性不妨设A 1(3,√3),A 2(3,−√3),则过A 1与圆M 相切的直线A 1A 3为y −√3=√33(x −3)， 又k A 1A 3=y 1−y 3x 1−x 3=1y 1+y 3=√3+y =√33,∴y 3=0，x 3=0,A 3(0,0)，此时直线A 1A 3,A 2A 3关于x 轴对称，所以直线A2A3与圆M相切；若直线A1A2,A1A3,A2A3斜率均存在，则k A1A2=1y1+y2,k A1A3=1y1+y3,k A2A3=1y2+y3，所以直线A1A2方程为y−y1=1y1+y2(x−x1)，整理得x−(y1+y2)y+y1y2=0，同理直线A1A3的方程为x−(y1+y3)y+y1y3=0，直线A2A3的方程为x−(y2+y3)y+y2y3=0，∵A1A2与圆M相切，∴12√1+(y1+y2)2=1整理得(y12−1)y22+2y1y2+3−y12=0，A1A3与圆M相切，同理(y12−1)y32+2y1y3+3−y12=0所以y2,y3为方程(y12−1)y2+2y1y+3−y12=0的两根，y2+y3=−2y1y12−1,y2⋅y3=3−y12y12−1，M到直线A2A3的距离为：23√1+(y2+y3)2=|2+3−y12y12−1|√1+(−2y1y12−1)2=12√(y1−1)+4y1=y12+1y12+1=1，所以直线A2A3与圆M相切；综上若直线A1A2,A1A3与圆M相切，则直线A2A3与圆M相切.[方法二]【最优解】：设A1(x1,y1),y12=x1,A3(x3,y3),y32=x3,A2(x2,y2),y22=x2．当x1=x2时，同解法1．当x1≠x2时，直线A1A2的方程为y−y1=y2−y1x2−x1(x−x1)，即y=xy1+y2+y1y2y1+y2．由直线A1A2与⊙M相切得|2+y1y2 y1+y2|√(y1+y2)2+1=1，化简得2y1y2+(x1−1)x2−x1+3=0，同理，由直线A1A3与⊙M相切得2y1y3+(x1−1)x3−x1+3=0．因为方程2y1y+(x1−1)x−x1+3=0同时经过点A2,A3，所以A2A3的直线方程为2y1y+(x1−1)x−x1+3=0，点M到直线A2A3距离为11√4y1+(x1−1)2=1√(x1+1)2=1．所以直线A2A3与⊙M相切．综上所述，若直线A1A2,A1A3与⊙M相切，则直线A2A3与⊙M相切．【整体点评】第二问关键点：过抛物线上的两点直线斜率只需用其纵坐标（或横坐标）表示，将问题转化为只与纵坐标（或横坐标）有关；法一是要充分利用A1A2,A1A3的对称性，抽象出y2+y3,y2⋅y3与y1关系，把y2,y3的关系转化为用y1表示，法二是利用相切等条件得到A2A3的直线方程为2y1y+(x1−1)x−x1+3=0，利用点到直线距离进行证明，方法二更为简单，开拓学生思路19、求满足下列条件的圆的标准方程．(1)圆心在x轴上，半径为5，且过点A(2,−3)；(2)经过点A(−4,−5)、B(6,−1)，且以线段AB为直径；(3)圆心在直线y=-2x上，且与直线y=1-x相切于点(2,−1)；(4)圆心在直线x-2y-3=0上，且过点A(2,−3)，B(−2,−5)．答案：(1)(x+2)2+y2=25或(x−6)2+y2=25(2)(x−1)2+(y+3)2=29(3)(x−1)2+(y+2)2=2(4)(x+1)2+(y+2)2=10分析：利用待定系数法分别求出（1）、（2）、（3）、（4）的圆的标准方程.（1）设圆的标准方程为(x−a)2+y2=25．因为点A(2,−3)在圆上，所以(2−a)2+(−3)2=25，解得a=-2或a=6，所以所求圆的标准方程为(x +2)2+y 2=25或(x −6)2+y 2=25．（2）设圆的标准方程为(x −a )2+(y −b )2=r 2(r >0)，由题意得a =−4+62=1，b =−5−12=−3； 又因为点(6,−1)在圆上，所以r 2=(6−1)2+(−1+3)2=29．所以所求圆的标准方程为(x −1)2+(y +3)2=29．（3）设圆心为(a,−2a )．因为圆与直线y =1-x 相切于点(2,−1)，所以√12+12=√(a −2)2+(−2a +1)2，解得a =1．所以所求圆的圆心为(1,−2)，半径r =√(1−2)2+(−2+1)2=√2．所以所求圆的方程为(x −1)2+(y +2)2=2．（4）设点C 为圆心，因为点C 在直线x −2y −3=0上，故可设点C 的坐标为(2a +3,a )．又该圆经过A 、B 两点，所以|CA |=|CB |．所以√(2a +3−2)2+(a +3)2=√(2a +3+2)2+(a +5)2，解得a =-2，所以圆心坐标为C (−1,−2)，半径r =√10．故所求圆的标准方程为(x +1)2+(y +2)2=10．20、已知点C 的坐标为(−1,2)，O 为原点．(1)直线l 不过原点且在x 轴、y 轴上的截距相等，点C (−1,2)到直线l 的距离为2，求直线的方程；(2)已知点P (x 0,y 0)，直线CM ⊥MP ，且|CM |=2，若|PM |=|PO |，求使|PM |取最小值时点P 的坐标． 答案：(1)直线l 方程为x +y =1+2√2和x +y =1−2√2(2)|PM |min =√510,此时P (−110,15)分析：（1）由题意，设直线l 的方程为x +y =a ，根据点到直线的距离公式求出a 的值即可得答案；（2）由|PO |=|PM |=√|PC|2−4，可得2x 0−4y 0+1=0，代入|PM |=√|PC|2−4=√x 02+y 02+2x 0−4y 0+1消去x 0，利用二次函数知识即可求解.（1）解：因为直线l 不过原点且在x 轴、y 轴上的截距相等，所以设直线l 的方程为x +y =a ， 又点C (−1,2)到直线l 的距离为2，所以√2=2，所以a =1±2√2，所以直线l 方程为x +y =1+2√2和x +y =1−2√2；（2）解：根据题意，可得|PM |2=|PC |2−4，因为|PM |=|PO |，所以√|PC|2−4=|PO |，即√(x 0+1)2+(y 0−2)2−4=√x 02+y 02，所以2x 0−4y 0+1=0，所以|PM |=√|PC|2−4=√x 02+y 02+2x 0−4y 0+1=√5y 02−2y 0+14=√5(y 0−15)2+120， 所以当y 0=15时，|PM |min =√510，此时P (−110,15)．。
高中数学选修1-1公式概念总结
选修1-1第一章 常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.1.1 命题1、命题：一般地，在数学中我们把语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。
其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题。
2、命题的构成：在数学中，命题通常写成“若p ，则q ”的形式。
其中p 叫做命题的条件，q 叫做命题的结论。
1.1.2 四种命题3、互逆命题：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们这样的两个命题叫做互逆命题。
其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题。
如果原命题为“若p ，则q ”，则它的逆命题为“若q ，则p ”.4、互否命题：一般地，对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，我们把这样的两个命题叫做互否命题。
如果把其中的一个命题叫做原命题，，那么另一个叫做原命题的否命题。
如果原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若p ⌝，则q ⌝”.5、互逆否命题：一般地，对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题。
如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆否命题。
如果原命题为“若p ，则q ”，则它的逆否命题为“若q ⌝，则p ⌝”.6、以上总结概括：1.1.3 四种命题间的相互关系7、四种命题间的相互关系：一般地，原命题、逆命题、否命题与逆否命题这四种命题之间的相互关系：8、四种命题的真假性：一般地，四种命题的真假性之间的关系： （1）两个命题和互否命题，它们有相同的真假性；（2）两个命题为互逆否命题或互否命题，它们的真假性没有关系。
原命题 若p ，则q 逆命题 若q ，则p 否命题 若p ⌝，则q ⌝ 逆否命题 若q ⌝，则p ⌝原命题 逆命题 否命题 逆否命题 真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 真 假 假假假假原命题逆命题否命题逆否命题互为 逆 否互为逆 否 互 逆 互否互否若p ⌝，则q ⌝ 若q ⌝，则p ⌝若p ，则q若q ，则p互逆1.2 充要条件与必要条件1.2.1 充分条件与必要条件1、充要条件与必要条件：一般地，“若p ，则q ”为真命题，是指由p 通过推理可以得出q .这时，我们就说，由p 可推出q ，记作p q ⇒，并且说p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。
高中数学选修1-1知识点
选修1－1、1-2数学知识点第一部分 简单逻辑用语1、命题：用语言、符号或式子表达的，能够判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句.2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论.3、原命题：“若p ，则q ” 逆命题： “若q ，则p ” 否命题：“若p ⌝，则q ⌝” 逆否命题：“若q ⌝，则p ⌝”4、四种命题的真假性之间的关系：（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没相关系． 5、若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 若p q ⇔，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）．利用集合间的包含关系： 例如：若B A ⊆，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A=B ，则A 是B 的充要条件；6、逻辑联结词：⑴且(and ) ：命题形式p q ∧；⑵或（or ）：命题形式p q ∨； ⑶非（not ）：命题形式p ⌝.p qp q ∧ p q ∨ p ⌝ 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假假假假真7、⑴全称量词——“所有的”、“任意一个”等，用“”表示；全称命题p ：)(,x p M x ∈∀； 全称命题p 的否定⌝p ：)(,x p M x ⌝∈∃。
⑵存有量词——“存有一个”、“至少有一个”等，用“∃”表示；特称命题p ：)(,x p M x ∈∃； 特称命题p 的否定⌝p ：)(,x p M x ⌝∈∀；第二部分 圆锥曲线1、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹称为椭圆． 即：|)|2(,2||||2121F F a a MF MF >=+。
这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距． 2、椭圆的几何性质：焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程()222210x y a b a b +=>> ()222210y x a b a b+=>> 范围a x a -≤≤且b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤顶点()1,0a A -、()2,0a A()10,b B -、()20,b B()10,a A -、()20,a A ()1,0b B -、()2,0b B 轴长 短轴的长2b = 长轴的长2a =焦点 ()1,0F c -、()2,0F c()10,F c -、()20,F c焦距 ()222122F F c c a b ==-对称性 关于x 轴、y 轴、原点对称离心率()22101c b e e a a==-<<3、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之差的绝对值等于常数（小于12F F ）的点的轨迹称为双曲线．即：|)|2(,2||||||2121F F a a MF MF <=-。
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高中数学选修1-1知识点总结
1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句.
2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论.
3、原命题：“若p ，则q ” 逆命题： “若q ，则p ” 否命题：“若p ⌝，则q ⌝” 逆否命题：“若q ⌝，则p ⌝”
4、四种命题的真假性之间的关系：
（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 5、若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 若p q ⇔，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）．
利用集合间的包含关系： 例如：若B A ⊆，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A=B ，则A 是B 的充要条件；
6、逻辑联结词：⑴且(and) ：命题形式p q ∧；⑵或（or ）：命题形式p q ∨； ⑶非（not ）：命题形式p ⌝.
7、⑴全称量词——“所有的”、“任意一个”等，用“ 全称命题p ：)(,x p M x ∈∀； 全称命题p 的否定⌝p ：)(,x p M x ⌝∈∃。
⑵存在量词——“存在一个”、“至少有一个”等，用“∃”表示；
特称命题p ：)(,x p M x ∈∃； 特称命题p 的否定⌝p ：)(,x p M x ⌝∈∀；
第二章 圆锥曲线 1、平面内与两个定点1
F ，
2
F 的距离之和等于常数（大于
12
F F ）的点的轨迹称为
椭圆．
即：|)|2(,2||||2121F F a a MF MF >=+。
这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距． 2、椭圆的几何性质：
3轨迹称为双曲线．即：|)|2(,2||||||2121F F a a MF MF <=-。
这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距． 4、双曲线的几何性质：
5、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．
6、平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点F 称为抛物线的焦点，定直线l称为抛物线的准线．
7、抛物线的几何性质：
8、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于
的“通径”，即2p
AB=．
9、焦半径公式：
若点
()
00
,x y
P在抛物线()
220
y px p
=>上，焦点为F，则02
p
F x
P=+
；
若点()
00,x y P 在抛物线
()
2
20x py p =>上，焦点为F ，则
02p F y P =+
；
第三章 导数及其应用
1、函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率：()()
2121
f x f x x x --
2、导数定义：()
f x 在点
x 处的导数记作
x x f x x f x f y x x x ∆-∆+='='
→∆=)
()(lim
)(000
00
；．
3、函数
()
y f x =在点
x 处的导数的几何意义是曲线
()
y f x =在点
()()
00,x f x P 处的
切线的斜率．
4、常见函数的导数公式：
①'C 0=；②1')(-=n n nx x ； ③x x cos )(sin '=；④
x x sin )(cos '-=； ⑤a a a x x ln )('=；⑥x
x e e =')(； ⑦a x x a ln 1)(log '=
；⑧x x 1
)(ln '=
5、导数运算法则：
()1 ()()()()f x g x f x g x '
''±=±⎡⎤⎣⎦；
()2 ()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=+⎡⎤⎣⎦；
()3()()()()()()
()()()2
0f x f x g x f x g x g x g x g x '⎡⎤''-=≠⎢⎥⎡⎤⎣⎦⎣⎦．
6、在某个区间(),a b 内，若()0f x '>，则函数()y f x =在这个区间内单调递增；
若
()0
f x '<，则函数
()
y f x =在这个区间内单调递减．
7、求函数
()
y f x =的极值的方法是：解方程
()0
f x '=．当
()00
f x '=时：
()1如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么()0f x 是极大值； ()2如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么()0f x 是极小值．
8、求函数
()
y f x =在
[],a b 上的最大值与最小值的步骤是：
()1求函数()y f x =在(),a b 内的极值；
()2将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的一个
是最大值，最小的一个是最小值．
9、导数在实际问题中的应用：最优化问题。