2019-2020学年高中数学 应用举例 解三角形学案新人教版必修5.doc

2019-2020学年高中数学应用举例解三角形学案新人教版必修5 【学习目标】

1. 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题；

2. 掌握三角形的面积公式的简单推导和应用；

3. 能证明三角形中的简单的恒等式．

【课前体验】

复习1：在∆ABC中

（1）若1,120

a b B

===︒，则A等于．

（2）若a=2

b=，150

C=︒，则c= _____．

复习2：

在ABC

∆中，a=2

b=，150

C=︒，则高BD= ，三角形面积= ．

【课堂体验】

探究一：

在∆ABC中，边BC上的高分别记为h

a

，那么它如何用已知边和角表示？

h

a

=bsi nC=csinB

根据以前学过的三角形面积公式S=1

2 ah，

代入可以推导出下面的三角形面积公式，S=1

2

absinC，或S= ，同理

S= ．

新知：三角形的面积等于三角形的任意两边以及它们夹角的正弦之积的一半．

探究二：

例1. 在∆ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S（精确到0.1cm2）：

（1）已知a=14.8cm，c=23.5cm，B=148.5︒；

（2）已知B=62.7︒，C=65.8︒，b=3.16cm；

（3）已知三边的长分别为a=41.4cm，b=27.3cm，c=38.7cm．

变式：在某市进行城市环境建设中，要把一个三角形的区域改造成室内公园，经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m，88m，127m，这个区域的面积是多少？（精确到0.1cm2）

例2. 在∆ABC 中，求证：

（1）222222sin sin sin a b A B c C

++=； （2）2a +2b +2c =2（bccosA+cacosB+abcosC ）．

小结：证明三角形中恒等式方法： 应用正弦定理或余弦定理，“边”化“角”或“角”化“边”．

练习：

练1. 在∆ABC 中，已知28a cm =，33c cm =，45B =，则∆ABC 的面积是 ．

练2. 在∆ABC 中，求证： 22(cos cos )c a B b A a b -=-．

【规律总结】

1．根据所给条件确定三角形的形状，主要有两条途径：（1）化边为角；（2）化角为边 具体方法：①通过正弦定理，②通过余弦定理，③通过面积公式。

2．三角形的面积公式：

（1）S ＝

21ah a ＝21bh b ＝21ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）； （2）S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝21ac sin B ； （3）S ＝)sin(2sin sin 2C B C B a +＝)sin(2sin sin 2A C A C b +＝)

sin(2sin sin 2B A B A c +； （4）S ＝2R 2sin A sin B si n C 。（R 为三角形外接圆半径）

（5）S ＝R abc 4；

【课后体验】 (也可以选择课本上的题)

1. 在ABC ∆中，2,60a b C ︒===，则ABC S ∆=（ ）.

A. 32 2. 三角形两边之差为2，夹角的正弦值为35，面积为92，那么这个三角形的两边长分别是（ ）.

A. 3和5

B. 4和6

C. 6和8

D. 5和7

3. 在ABC ∆中，若2cos sin sin B A C ⋅=，则ABC ∆一定是（ ）三角形．

A. 等腰

B. 直角

C. 等边

D. 等腰直角

4. ABC ∆三边长分别为3,4,6，它的较大锐角的平分线分三角形的面积比是 ．

5. 已知三角形的三边的长分别为54a cm =，61b cm =，71c cm =，则∆ABC 的面积是 ．

6.已知在∆ABC 中，∠B=30︒，b=6，a 及∆ABC 的面积S ．

7. 在△ABC 中，若

sin sin sin (cos cos )A B C A B +=⋅+，试判断△ABC 的形状.

【直击高考】

1.（辽宁卷文17）在ABC △中，内角A B C ，，对边的边长分别是a b c ，，，已知2c =，3

C π=．

（Ⅰ）若ABC △a b ，； （Ⅱ）若sin 2sin B A =，求ABC △