2020年上海市松江二中高一期中数学试卷(2020.11)(图片版 含答案)
2020年上海市松江区高一下学期期中数学(附带详细解析)
【解析】
【分析】
由题可知 恒成立.再分情况讨论即可.
【详解】
由题可知 恒成立.当 时成立.当 时, .
当 时，不等式不恒成立.
故实数k的取值范围是 .
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了对数的定义域以及二次函数恒成立问题.属于中等题型.
【点睛】
本题主要考查了正切函数的定义求值.属于基础题型.
6．
【解析】
【分析】
根据对数函数的单调性分析即可.
【详解】
由题, .故实数a的取值范围为 .
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了对数函数的单调性.属于基础题型.
7．4
【解析】
【分析】
先由扇形的弧长公式 可得： ，再结合扇形的面积公式 求解即可.
【详解】
11．
【解析】
【分析】
将所给式子平方，找到 与 的关系.
【详解】
平方得
∴ .
【点睛】
与 的关系： ；
12．- .
【解析】
【分析】
根据单位圆定义及题意可求得点 的坐标.将求的式子根据诱导公式化简为 .由同三角函数定义可得 .结合二倍角公式化简即可求得 .
【详解】
因为锐角 的终边与单位圆相交于点 ,且点 的横坐标为
则纵坐标为 ,则 的坐标为
由三角函数的定义可知
由正切二倍角公式可知
化简得
解方程可得
因为 为锐角
则 ,所以
而
故答案为:
【点睛】
本题考查了三角函数的定义,正切二倍角公式的应用,诱导公式化简三角函数式,属于基础题.
13．
【解析】
【分析】
只要令1﹣x＝1即可，求出函数经过的定点，利用反函数的对称性求解即可．
2020-2021学年上海市松江二中高三(上)期中数学试卷
2020-2021学年上海市松江二中高三（上）期中数学试卷一、填空题1．若复数z满足iz＝1+i（i为虚数单位），则z＝．2．定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设A＝{1，B＝{0，2}．3．已知圆心角是2弧度的扇形面积为16cm2，则扇形的周长为．4．若（1+x）n＝1+a1x+a2x2+a3x3+…+x n，（n∈N*），且a1：a2＝1：3，则n＝．5．若体积为8的正方体的各个顶点均在一球面上，则该球的体积为．（结果保留π）6．双曲线的左、右焦点为F1、F2，若点P在双曲线上，，则＝．7．某同学从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中选择三个学科参加测试，则物理和化学不同时被选中的概率为．8．已知正数a．b满足4a+b＝30，使得取最小值时（a，b）是．9．已知不等式4x﹣a•2x+2＞0，对于a∈（﹣∞，3]恒成立．10．已知点A（1，0），直线l：x＝﹣1，两个动圆均过点A且与l相切1、C2，若动点M满足，则M的轨迹方程为．11．已知函数f（x）＝，若存在实数x1，x2，x3，x4满足f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4），且x1＜x2＜x3＜x4，则x1•x2•x3•x4的取值范围是．12．对于给定的正整数n和正数R，若等差数列a1，a2，a3，…满足a12+a2n+12≤R，则S＝a2n+1+a2n+2+a2n+3+…+a4n+1的最大值为．二、选择题13．下面四个条件中，使a＞b成立的充分不必要条件是（）A．|a|＞|b|B．＞C．a2＞b2D．lga＞lgb14．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C+c cos B＝a sin A（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定15．若定义域为R的奇函数y＝f（x）有反函数y＝f﹣1（x），那么必在函数y＝f﹣1（x+1）图象上的点是（）A．（﹣f（t﹣1），﹣t）B．（﹣f（t+1），﹣t）C．（﹣f（t）﹣1，﹣t）D．（﹣f（t）+1，﹣t）16．如图所示的图形是由一个半径为2的圆和两个半径为1的半圆组成，它们的圆心分别为O，O1，O2．动点P从A点出发沿着圆弧按A→O→B→C→A→D→B的路线运动（其中A，O1，O，O2，B五点共线），记点P运动的路程为x，设y＝|O1P|2，y与x的函数关系为y＝f（x），则y＝f（x）的大致图象是（）A．B．C．D．三、解答题17．已知A＝{x|2x＜4}，．（1）求A∪B；（2）已知集合U＝R，C＝∁U（A∪B），D＝{x|ax﹣1＝0}，若C∩D＝∅18．甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每小时可获得利润是元．（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；（2）要使生产1200千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．19．已知函数f（x）＝sin x•cos（x﹣）+cos2x﹣．（1）求函数f（x）的最大值，并写出f（x）；（2）若f（x0）＝，x0∈[，]，求cos2x0的值．20．（理）已知向量，（n为正整数），函数，设f（x）在（0，+∞）n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）已知数列{b n}，对任意正整数n，都有b n•（4a n2﹣5）＝1成立，设S n为数列{b n}的前n项和，求；（3）在点列A1（1，a1）、A2（2，a2）、A3（3，a3）、…、A n（n，a n）、…中是否存在两点A i，A j（i，j为正整数）使直线A i A j的斜率为1？若存在，则求出所有的数对（i，j）；若不存在21．（理）在平面直角坐标系xoy中，若在曲线C1的方程F（x，y）＝0中，以（λx，λy）（λ为正实数）代替（x，y）2的方程F（λx，λy）＝0，则称曲线C1、C2关于原点“伸缩”，变换（x，y）→（λx，λy）称为“伸缩变换”（1）已知曲线C1的方程为，伸缩比λ＝2，求C1关于原点“伸缩变换”后所得曲线C2的方程；（2）射线l的方程，如果椭圆C1：经“伸缩变换”后得到椭圆C2，若射线l与椭圆C1、C2分别交于两点A、B，且，求椭圆C2的方程；（3）对抛物线C1：y2＝2p1x，作变换（x，y）→（λ1x，λ1y），得抛物线C2：y2＝2p2x；对C2作变换（x，y）→（λ2x，λ2y）得抛物线C3：y2＝2p3x，如此进行下去，对抛物线∁n：y2＝2p n x作变换（x，y）→（λn x，λn y），得抛物线C n+1：y2＝2p n+1x，…．若，求数列{p n}的通项公式p n．2020-2021学年上海市松江二中高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．若复数z满足iz＝1+i（i为虚数单位），则z＝1﹣i．【分析】由iz＝1+i，两边除以i，按照复数除法运算法则化简计算．【解答】解：由iz＝1+i，得z＝故答案为：1﹣i．【点评】本题考查复数代数形式的混合运算，复数的基本概念．属于基础题．2．定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设A＝{1，B＝{0，2}6．【分析】利用题中对A*B，求出A*B中包含的元素，求出集合A*B的所有元素之和．【解答】解：∵A*B＝{z|z＝xy，x∈A．又A＝{1，2}，4}，∴A*B＝{0，2，7}所以集合A*B的所有元素之和为0+2+5＝6故答案为：6【点评】本题考查理解题中的新定义；并利用新定义求集合．新定义题型是近几年高考常考的题型．3．已知圆心角是2弧度的扇形面积为16cm2，则扇形的周长为16cm．【分析】由题意，利用扇形的面积公式可求半径，利用弧长公式可求弧长，进而可求扇形的周长．【解答】解：设扇形半径为r，面积为s，则α＝2，扇形的面积为：s＝2＝×2×r2＝16 （cm8），解得：r＝4cm， 则周长l＝2r+αr＝4r+2r＝4r＝7×4＝16cm．故答案为：16cm．【点评】本题考查扇形的弧长公式和面积公式的应用，属于基础题．4．若（1+x）n＝1+a1x+a2x2+a3x3+…+x n，（n∈N*），且a1：a2＝1：3，则n＝7．【分析】利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数分别为1，2求出a1，a2，列出方程求出n．【解答】解：（1+x）n展开式的通项为T r+1＝∁n r x r令r＝2得a1＝∁n1＝n令r＝8得∵a1：a4＝1：3，∴解得n＝7故答案为：7【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．5．若体积为8的正方体的各个顶点均在一球面上，则该球的体积为．（结果保留π）【分析】先求正方体的棱长，再求正方体的对角线，然后求出球的半径，然后求出体积．【解答】解：球的内接正方体的对角线就是球的直径，求出半径可得体积．正方体的体积为8，则棱长为2，球的半径为：球的体积：故答案为：【点评】本题考查球的内接体问题，考查空间想象能力，是基础题．6．双曲线的左、右焦点为F1、F2，若点P在双曲线上，，则＝10．【分析】由“点P在双曲线上”，得|PF1|2+|PF2|2＝（2c）2，则|+|＝，即可计算出答案．【解答】解：由题意知，a＝4，所以c2＝a3+b2＝16+9＝25，所以F5（﹣5，0），F5（5，0），因为点P在双曲线上，，所以PF2⊥PF2，所以|PF1|8+|PF2|2＝（3c）2＝100，所以|+|＝＝，故答案为：10．【点评】本题考查向量与椭圆的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．7．某同学从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中选择三个学科参加测试，则物理和化学不同时被选中的概率为．【分析】先求出物理和化学同时被选中的情况几种，由此能求出物理和化学不同时被选中的概率．【解答】解：某同学从物理、化学、政治、地理六科中选择三个学科参加测试，基本事件总数n＝C63＝20，物理和化学同时被选中的情况有：C71＝4，∴物理和化学不同时被选中的概率为：P＝3﹣＝．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．8．已知正数a．b满足4a+b＝30，使得取最小值时（a，b）是（5，10）．【分析】利用“1”的代换，结合基本不等式，即可求得结论、【解答】解：∵正数a．b满足4a+b＝30，∴＝（4a+b）（≥•（4+，当且仅当，即a＝5，取最小值0.3．∴实数对（a，b）是（7．故答案为：（5，10）．【点评】本题考查基本不等式的运用，考查“1”的代换，考查学生的计算能力，正确运用“1”的代换是关键．9．已知不等式4x﹣a•2x+2＞0，对于a∈（﹣∞，3]恒成立（﹣∞，0）∪（1，+∞）．【分析】设t＝2x，t＞0，则t2﹣at+2＞0，对于a∈（﹣∞，3]恒成立，问题转化为a＜t+，于a∈（﹣∞，3]恒成立，即t+＞3，即可解得答案．【解答】解：不等式4x﹣a•2x+6＞0，对于a∈（﹣∞，所以设t＝2x，t＞8，则t2﹣at+2＞7，对于a∈（﹣∞，即a＜t+，对于a∈（﹣∞，所以t+＞7，即t2﹣3t+7＞0，解得t＞2或t＜4，即2x＞2或7x＜1，解得x＞1或x＜8，综上，x的取值范围为（﹣∞，+∞）．【点评】本题考查恒成立问题，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．10．已知点A（1，0），直线l：x＝﹣1，两个动圆均过点A且与l相切1、C2，若动点M满足，则M的轨迹方程为y2＝2x﹣1．【分析】由抛物线的定义可得动圆的圆心轨迹方程为y2＝4x，利用，确定坐标之间的关系，即可求出M的轨迹方程．【解答】解：由抛物线的定义可得动圆的圆心轨迹方程为y2＝4x，设C2（a，b），C2（m，n），y），则∵动点M满足，∴2（x﹣m，y﹣n）＝（a﹣m，﹣n），∴2x＝a+7，2y＝b，∴a＝2x﹣4，b＝2y，∵b2＝6a，∴（2y）2＝8（2x﹣1），即y3＝2x﹣1．故答案为：y6＝2x﹣1．【点评】本题考查轨迹方程，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，确定坐标之间的关系是关键．11．已知函数f（x）＝，若存在实数x1，x2，x3，x4满足f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4），且x1＜x2＜x3＜x4，则x1•x2•x3•x4的取值范围是（27，）．【分析】画出分段函数的图象，求得（3，1），（9，1），令f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f （x4）＝a，作出直线y＝a，通过图象观察，可得a的范围，运用对数的运算性质和余弦函数的对称性，可得x1x2＝1，x3+x4＝12，再由二次函数在（3，4.5）递增，即可得到所求范围．【解答】解：画出函数f（x）＝的图象，令f（x1）＝f（x2）＝f（x4）＝f（x4）＝a，作出直线y＝a，由x＝3时，f（3）＝﹣cosπ＝8，f（9）＝﹣cos3π＝1．由图象可得，当2＜a＜1时．由图象可得0＜x7＜1＜x2＜2＜x3＜4.5，7.5＜x5＜9，则|log3x8|＝|log3x2|，即为﹣log3x1＝log3x3，可得x1x2＝2，由y＝﹣cos（x）的图象关于直线x＝6对称6+x4＝12，则x1•x2•x3•x4＝x8（12﹣x3）＝﹣（x3﹣4）2+36在（3，7.5）递增，即有x1•x8•x3•x4∈（27，）．故答案为：（27，）．【点评】本题考查分段函数的图象及运用，考查数形结合的思想方法，属于中档题．12．对于给定的正整数n和正数R，若等差数列a1，a2，a3，…满足a12+a2n+12≤R，则S＝a2n+1+a2n+2+a2n+3+…+a4n+1的最大值为．【分析】根据等差数列的关系整理得S＝（2n+1）a3n+1，由＝≤R，根据△≥0，化简可得到S≤．【解答】解：数列{a n}等差数列，∴a2n+1+a7n+1＝a2n+5+a4n＝…2a2n+1，∴S＝（2n+4）a3n+1，∵＝≤R，化简得：﹣8dna3n+3+10n2d2﹣R≤6，关于d的二次方程，10n2d2﹣2dna3n+1+﹣R≤0，∴△＝﹣40n5（﹣R）≥0，化简得：3﹣10，∴≤，∴，S≤．故答案为：．【点评】本题考查求等差数列的和，利用判别式判断二次函数的最大值，属于中档题．二、选择题13．下面四个条件中，使a＞b成立的充分不必要条件是（）A．|a|＞|b|B．＞C．a2＞b2D．lga＞lgb【分析】A．a＞b不一定成立，例如取a＝﹣2，b＝1；B．a＞b不一定成立，例如取a＝1，b＝2；C．a＞b不一定成立，例如取a＝﹣2，b＝1；D．lga＞lgb⇒a＞b＞0⇒a＞b，即可判断出结论．【解答】解：A．|a|＞|b|，例如取a＝﹣2，因此不符合题意；B.，a＞b不一定成立，b＝2；C．a2＞b3，a＞b不一定成立，例如取a＝﹣2，因此不符合题意；D．lga＞lgb⇒a＞b＞0⇒a＞b．故选：D．【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C+c cos B＝a sin A（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定【分析】由条件利用正弦定理可得sin B cos C+sin C cos B＝sin A sin A，再由两角和的正弦公式、诱导公式求得sin A＝1，可得A＝，由此可得△ABC的形状．【解答】解：△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∵b cos C+c cos B＝a sin A，则由正弦定理可得sin B cos C+sin C cos B＝sin A sin A，即sin（B+C）＝sin A sin A，可得sin A＝1，故三角形为直角三角形，故选：B．【点评】本题主要考查正弦定理以及两角和的正弦公式、诱导公式的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题．15．若定义域为R的奇函数y＝f（x）有反函数y＝f﹣1（x），那么必在函数y＝f﹣1（x+1）图象上的点是（）A．（﹣f（t﹣1），﹣t）B．（﹣f（t+1），﹣t）C．（﹣f（t）﹣1，﹣t）D．（﹣f（t）+1，﹣t）【分析】由f（﹣t）＝﹣f（t）得f﹣1（﹣f（t））＝﹣t，再由函数图象的平移规律得出答案．【解答】解；∵f（x）定义在R上的奇函数，∴f﹣1（﹣f（t））＝﹣t，即（﹣f（t）﹣1（x）的图象上，∵y＝f﹣5（x+1）图象是由y＝f﹣1（x）的图象向左平移3个单位得到的，∴（﹣f（t）﹣1，﹣t）在y＝f﹣1（x+3）图象上．故选：C．【点评】本题考查了奇函数、反函数的性质及函数图象变换，利用互为反函数的函数图象关系是关键．16．如图所示的图形是由一个半径为2的圆和两个半径为1的半圆组成，它们的圆心分别为O，O1，O2．动点P从A点出发沿着圆弧按A→O→B→C→A→D→B的路线运动（其中A，O1，O，O2，B五点共线），记点P运动的路程为x，设y＝|O1P|2，y与x的函数关系为y＝f（x），则y＝f（x）的大致图象是（）A．B．C．D．【分析】由题意需要分段讨论，借助向量，当x∈[π，2π）时，由＝﹣设与的夹角为θ，再根据模的概念和弧长和弧度的关系，得到函数的表达式y＝5+4cos x，x∈（π，2π），同理求出后几段的表达式，继而得到函数的图象．【解答】解：当x∈[0，π]时，当x∈[π，2π）时，∵＝﹣设与的夹角为θ，|，||＝2，∴θ＝π﹣x∴y＝|O1P|7＝（﹣）2＝5﹣8cosθ＝5+4cos x，x∈（π，∴函数y＝f（x）的图象是曲线，且为单调递增，当x∈[8π，4π）时，∵＝﹣，设与的夹角为α，||＝6，∴α＝2π﹣x，∴y＝|O1P|2＝（﹣）2＝5﹣2cosθ＝5+4cos x，x∈（2π，∴函数y＝f（x）的图象是曲线，且为单调递减．故选：A．【点评】本题考查了函数的图象的识别，借助向量求出函数的表达式，培养了学生的应用知识的能力，属于难题．三、解答题17．已知A＝{x|2x＜4}，．（1）求A∪B；（2）已知集合U＝R，C＝∁U（A∪B），D＝{x|ax﹣1＝0}，若C∩D＝∅【分析】（1）解不等式求出集合A，B，结合集合并集的定义，即可求得A∪B；（2）由补集的定义求得集合C，由C∩D＝∅，对a分类讨论，即可求得a的取值范围．【解答】解：（1）A＝{x|2x＜4}＝（﹣∞，3），，3），所以A∪B＝（﹣∞，3）．（2）因为集合U＝R，所以C＝∁U（A∪B）＝[3，+∞），又D＝{x|ax﹣1＝0}，C∩D＝∅，当a＝3时，D＝∅；当a≠0时，D＝{}，则，解得a＜0或a＞，综上，实数a的取值范围是（∞，+∞）．【点评】本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集运算，难度不大，属于基础题．18．甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每小时可获得利润是元．（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；（2）要使生产1200千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．【分析】（1）根据题意列不等式求出x的范围即可；（2）设总利润为y，得出y关于x的函数解析式，配方得出最大值即可．【解答】解：（1）由题意可得：200（5x+1﹣）≥3000，即5x﹣≥14，又6≤x≤10，∴3≤x≤10．（2）设生产1200千克产品的利润为y，则y＝100（5x+8﹣）•++5）＝120000[﹣4（﹣）2+]，∴当＝即x＝6时．故甲厂以8千克/小时的速度生产可使利润最大，最大利润为610000元．【点评】本题考查了函数解析式，函数最值的计算，属于中档题．19．已知函数f（x）＝sin x•cos（x﹣）+cos2x﹣．（1）求函数f（x）的最大值，并写出f（x）；（2）若f（x0）＝，x0∈[，]，求cos2x0的值．【分析】（1）利用两角和与差的正弦、余弦公式可化简f（x）＝sin x•cos（x﹣）+cos2x ﹣＝sin（2x+）+，再利用正弦函数的性质即可求得函数f（x）的最大值及f（x）取最大值x时的取值集合；（2）x0∈[，]⇒2x0+∈[，]，故可求得cos（2x0+）＝﹣，利用两角差的余弦cos2x0＝cos[（2x0+）﹣]即可求得cos2x0的值．【解答】解：（1）f（x）＝sin x•cos（x﹣）+cos2x﹣＝sin x（cos x+﹣＝sin2x++＝sin（4x+，当2x+＝8kπ+，即x＝kπ+，f（x）取得最大值．函数f（x）的最大值时x的取值集合为{x|x＝kπ+（k∈Z）}；（2）若f（x5）＝，即sin（3x0+）+＝，整理得：sin（2x3+）＝，∵x0∈[，]，∴2x0+∈[，]，∴cos（2x0+）＝﹣，∴cos3x0＝cos[（2x6+）﹣3+）cos4+）si'n×+×＝．【点评】本题考查三角函数中的恒等变换应用，突出考查正弦函数的图象与性质及两角差的余弦，考查整体思想与化归意识，属于中档题．20．（理）已知向量，（n为正整数），函数，设f（x）在（0，+∞）n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）已知数列{b n}，对任意正整数n，都有b n•（4a n2﹣5）＝1成立，设S n为数列{b n}的前n项和，求；（3）在点列A1（1，a1）、A2（2，a2）、A3（3，a3）、…、A n（n，a n）、…中是否存在两点A i，A j（i，j为正整数）使直线A i A j的斜率为1？若存在，则求出所有的数对（i，j）；若不存在【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标公式，代入得f（x）＝是一个关于x二次函数，其图象是开口向上抛物线，在对称轴处函数取到最小值，由二次函数对称轴方程，得到数列{a n}的通项公式；（2）根据（1）的结论，将代入b n的表达式，得到，用裂项的方法求出其前n项和S n的表达式，最后可得其极限的值；（3）对于这类问题，我们可以先假设存在满足条件的数对（i，j），然后再进行推理可得结论．具体作法：任取A i、A j（i、j∈N*，i≠j），设A i A j所在直线的斜率为k ij，则，从而得到不存在满足条件的数对（i，j），得出结论．【解答】解：（1）f（x）＝…（7分）函数y＝f（x）的图象是一条抛物线，抛物线的顶点横坐标为，开口向上，在（0，当时函数取得最小值，所以；…（4分）（2）将（1）中{a n}的表达式代入，得．…（6分）∴，…（6分）所以所求的极限为：＝；…（10分）（3）任取A i、A j（i、j∈N*，i≠j），设A i A j所在直线的斜率为k ij，则＝．因此不存在满足条件的数对（i，j）i A j的斜率为3．…（16分）【点评】本题综合了数列与向量、数列与函数以及数列的极限等知识点，是一道难题．对思维的要求较高，考查了转化化归和函数与方程的数学思想．21．（理）在平面直角坐标系xoy中，若在曲线C1的方程F（x，y）＝0中，以（λx，λy）（λ为正实数）代替（x，y）2的方程F（λx，λy）＝0，则称曲线C1、C2关于原点“伸缩”，变换（x，y）→（λx，λy）称为“伸缩变换”（1）已知曲线C1的方程为，伸缩比λ＝2，求C1关于原点“伸缩变换”后所得曲线C2的方程；（2）射线l的方程，如果椭圆C1：经“伸缩变换”后得到椭圆C2，若射线l与椭圆C1、C2分别交于两点A、B，且，求椭圆C2的方程；（3）对抛物线C1：y2＝2p1x，作变换（x，y）→（λ1x，λ1y），得抛物线C2：y2＝2p2x；对C2作变换（x，y）→（λ2x，λ2y）得抛物线C3：y2＝2p3x，如此进行下去，对抛物线∁n：y2＝2p n x作变换（x，y）→（λn x，λn y），得抛物线C n+1：y2＝2p n+1x，…．若，求数列{p n}的通项公式p n．【分析】（1）由“伸缩变换”的伸缩比得，从而即得曲线C2的方程；（2）根据C2、C1关于原点“伸缩变换”，对C1作变换（x，y）→（λx，λy）（λ＞0），得到C2分别解方程组得点A，B两点的坐标，最后利用两点的距离公式得到关于λ的方程求出λ的值，即可写出椭圆C2的方程；（3）先对∁n：y2＝2p n x作变换（x，y）→（λn x，λn y）得抛物线C n+1：（λn y）2＝2p nλn x，结合y2＝2p n+1x得到：，从而求得数列{p n}的通项公式p n．【解答】解（1）由条件得，得C2：；（4分）（2）∵C2、C1关于原点“伸缩变换”，对C1作变换（x，y）→（λx，得到C2，（5分）解方程组得点A的坐标为解方程组得点B的坐标为＝＝，化简后得7λ2﹣8λ+8＝0，解得2的方程为或．（12分）（漏写一个方程扣2分）（3）（理）对∁n：y2＝7p n x作变换（x，y）→（λn x，λn y）得抛物线C n+1：（λn y）2＝7p nλn x，得，又∵y5＝2p n+1x，∴，即，（14分）＝2•28•23•…•2n﹣1，则，（16分）（或解：）p1＝1，∴．（18分）【点评】本小题主要考查圆锥曲线的标准方程、圆锥曲线简单性质、数列与解析几何的综合等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．。
上海市松江二中11-12学年高一上学期期中考试 化学试题.pdf
f.1000mL容量瓶 g.广口瓶 h.托盘天
平
除选用上述仪器外，尚缺少的仪器或用品是__________。需取用原盐酸
mL。
（3）下列操作对所配溶液的浓度有何影响？
①转移一次后，将洗涤烧杯的残液倒入废液缸中：
。
②定容时仰视容量瓶：
。
③定容后，加盖倒转摇匀后，发现面低于刻度线：．将一定量的碳酸钠和碳酸氢钠的混合物跟的盐酸反应（已知碳
一、选择题（本题共52分，每小题2分，只有一个正确选项）
1．某矿泉水标签上印有主要的矿物质成分如下（单位为mg／L）：Ca 20，K 39，Mg 3，Zn 0.06，F 0.02等
，这里的Ca，K，Mg，Zn，F是指 （ ）
A．单质
B．元素 C．金属离子
D．分子
2．下列有关物理量相应的单位表达错误的是
C．35. 453表示氯元素的相对原子质量 D．36.966表示37Cl的质量数
．(
)
A．B．C． D．．．．．．．元素X的原子获得3个电子与元素Y的原子失去2个电子后，它们的电子层结构与氖原子
的电子层结构相同。X、Y两种元素的单质在高温下反应得到的化合物的正确化学式为
（
）
A． X2Y3
所得盐酸的密度为1.18g/cm3，回答下列问题：
（1）该盐酸溶液的质量分数为
；该盐酸溶液的物质的量浓度为
。
（2）实验室利用该盐酸来配制250mL0.5mol/L 的稀盐酸，从下列用品中选出实验所需要的仪器或用品
______________(填序号)
a. b.10mL量筒 c.20mL量筒 d. 100mL容量瓶 e.玻璃棒
第Π卷（48分）
二、填空题：（36分）
上海市上海中学2020-2021学年第一学期高一数学期中考试卷
4. l本题满分 IO 分）已知关寸;x的方程竺二二已二过尘主).
(l)若方程在区间[-1,1]上有实根，求实数a的取值范围；
{e[ a (2)若方程有两个空妇'.'且
点， 10J求实数 的最大值．
-- . l
:
} 5. (本题满分12分）设n是正整数，集合A={a/a=(t"片，... t,. ),tk E{0,1},k=I,2,…，n'
·"
C的值．
2. (本题满分 10 分消吓列不等式：
2
少lx-11 >(豆）
'·2x2 -3x-5 (2) 3x2 -13x+4
�1.
I
3. (本匙满分JO分）为f倡导“节舫减排 ， 绿色生态”，朵企业采用新工艺，把企业生
4产0．0中吨:排:>，f放o展O的多二为�t6壬化0h0碳o吨 "转，化H为处种 理成可本利y用的(兀化）T与产月品处，已理知缸 该仰（单吨位�）旬�乏 月✓�的向_o、o的 处函理数迅关砐少 系可为
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.
值范围是．
二、选择题（每题 4 分，共 16 分）
]t
-J,
�- ✓2 _, ， l.· 若泸= -1, 则已上已一等于（
' ' '. "一�,
a +a
）
·(A) 2-2✓2
/z (B) 打
伲叶L忙 (C) 2✓2-1
(D) °2✓2�1
2. 用反一一 证．法．．一证明： ” 已知 a,be�, a2 +b2 =0, 求证： a=b=O"时，应假设（
.
a,'b c .
(A} I
2020年上海市高一(下)期中数学试卷解析版
期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.在△ABC中，“A＞B”是“sin A＞sin B”的（ ）A. 充要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件2.一个半径为R的扇形，它的周长是4R，则这个扇形所含弓形的面积为（ ）A. B.C. D. （1-sin1cos1）R23.已知△ABC内接于单位圆，则长为sin A、sin B、sin C的三条线段（ ）A. 能构成一个三角形，其面积大于△ABC面积的一半B. 能构成一个三角形，其面积等于△ABC面积的一半C. 能构成一个三角形，其面积小于△ABC面积的一半D. 不一定能构成一个三角形4.已知函数，，则下列说法正确的是A.与的定义域都是B. 为奇函数，为偶函数C. 的值域为的值域为D.与都不是周期函数二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5.已知角α的终边在射线y=-x（x≤0）上，则cosα=______．6.若，则cos2α=______．7.已知tan（π-θ）=3，则=______．8.已知，则=______．9.已知，则cosα=______．10.函数的最小正周期为______．11.函数y=cos2x+2sin x-2的值域为______．12.下图为函数的部分图象，M、N是它与x轴的两个交点，D、C分别为它的最高点和最低点，E（0，1）是线段MD的中点，且△OMB为等腰直角三角形，则f（x）的解析式为f（x）=______．13.已知方程sin x+cos x=m+1在x∈[0，π]上有两个不相等的实数解，则实数m的取值范围是______．14.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，小区的两个出入口设置在点及点C处，且小区里从D沿DA 有一条平行于BO的小路CD，已知某人从C沿CD走到D用了10分钟，走到A用了6分钟，若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径OA的长约为______（精确到1米）．15.设α1，α2∈R，且，则tan（α1+α2）=______．16.已知函数f（x）=sin2ωx-2cos2ωx+1（ω＞0），x∈R，若函数f（x）在区间内没有零点，则ω的取值范围为______．三、解答题（本大题共5小题，共48.0分）17.已知（1）求tanα的值；（2）求的值．18.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足．（1）求A的大小；（2）现给出三个条件：①a=2；②B=45°；③c=b试从中选出两个可以确定△ABC的条件，写出你的选择，并以此为依据求△ABC的面积（只需写出一个选定方案即可）19.如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空，△ABC外的地方种草，△ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余的地方种花，若BC=1，∠ABC=，设△ABC的面积为S1，正方形的面积为S2．（1）用θ表示S1和S2；（2）当θ变化时，求的最小值，及此时角θ的大小．20.某种波的传播是由曲线f（x）=A sin（ωx+φ）（A＞0）来实现的，我们把解析式f（x）=A sin（ωx+φ）称为“波”，把振幅都是A的波称为“A类波”，把两个波的解析式相加称为波的叠加．（1）已如“1类波”中的两个波，与加后是一个“A类波”，求A的值；（2）已知三个不同的“A类波”，从f1（x）=A sin（x+φ1），f2（x）=A sin（x+φ2），f3（x）=A sin（x+φ3）（其中φ1、φ2、φ3互不相同），三个波叠加后是“平波”y=0，即f1（x）+f2（x）+f3（x）=0，求cos（φ1-φ2）cos（φ2-φ3）cos（φ3-φ1）的值．21.某同学用“五点法”画函数在某一周期内的图象时，列表并填入的部分数据如表：x x1x2ωx+φ0π2πsin（ωx+φ）010-10f（x）00y20（1）请写出上表的x1、x2、y2，及函数f（x）的解析式；（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位，再所得图象上各店的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，求g（x）的解析式及的单调递增区间；（3）在（2）的条件下，若在x∈（0，2019π）上恰有奇数个零点，求实数a与零点个数n的值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：由正弦定理知=2R，∵sin A＞sin B，∴a＞b，∴A＞B．反之，∵A＞B，∴a＞b，∵a=2R sin A，b=2R sin B，∴sin A＞sin B故选：A．由正弦定理知，由sin A＞sin B，知a＞b，所以A＞B，反之亦然，故可得结论．本题以三角形为载体，考查四种条件，解题的关键是正确运用正弦定理及变形．2.【答案】D【解析】解：l=4R-2R=2R，α===2，可得：S扇形=lR=×2R×R=R2，可得：S三角形=×2R sin1×R cos1=sin1•cos1•R2，可得：S弓形=S扇形-S三角形=R2-sin1•cos1•R2=（1-sin1cos1）R2．故选：D．通过扇形的周长，求出扇形的弧长，求出扇形的圆心角，然后求出扇形的面积，三角形的面积，即可得到这个扇形所含弓形的面积．本题是基础题，考查扇形的面积公式的应用，弓形面积的求法，考查计算能力，注意弓形面积的求法．3.【答案】C【解析】解：设△ABC的三边分别为a，b，c利用正弦定理可得，∴a=2sin A，b=2sin B，c=2sin C∵a，b，c为三角形的三边∴sin A，sin B，sin C也能构成三角形的边，面积为原来三角形面积故选：C．设△ABC的三边分别为a，b，c利用正弦定理可得，可得a=2sin A，b=2sin B，c=2sin C由a，b，c为三角形的三边判断即可本题主要考查了正弦定理的变形形式a=2R sin A，b=2R sin B，c=2R sin C（R为三角形外接圆的半径）的应用，属于中档试题．4.【答案】C【解析】解：A．f（x）与g（x）的定义域都是R，故A错误.B．f（-x）=cos（sin（-x））=cos（-sin x）=cos（sin x）=f（x），则f（x）是偶函数，故B错误.C．∵-1≤sin x≤1，-1≤cos x≤1，∴f（x）的值域为[cos1，1]，g（x）的值域[-sin1，sin1]，故C正确.D．f（x+2π）=cos（sin（x+2π））=cos（sin x）=f（x）则f（x）是周期函数，故D错误.故选：C．根据复合函数的性质结合三角函数的性质分别进行判断即可．本题主要考查命题的真假判断，结合复合函数性质之间的关系，利用三角函数的单调性，奇偶性和周期性的性质是解决本题的关键．5.【答案】【解析】解：∵角α的终边在射线y=-x（x≤0）上，在角α的终边上任意取一点（-1，1），则cosα==-，故答案为：-．由题意利用任意角的三角函数的定义，求得cosα的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．6.【答案】【解析】解：因为sinα=，所以cos2α=1-2sin2α=1-2×=．故答案为：．把所求的式子利用二倍角的余弦函数公式化为关于sinα的式子，将sinα的值代入即可求出值．通常，在高考题中，三角函数多会以解答题的形式出现在第一个解答题的位置，是基础分值的题目，学生在解答三角函数问题时，往往会出现，会而不对的状况．所以，在平时练习时，既要熟练掌握相关知识点，又要在解答时考虑更为全面．这样才能熟练驾驭三角函数题．7.【答案】【解析】解：∵tan（π-θ）=-tanθ=3，∴tanθ=-3，则=．故答案为：．由已知利用诱导公式求tanθ，再由同角三角函数基本关系式化弦为切求解．本题考查三角函数的恒等变换与化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．8.【答案】【解析】解：∵已知，∴cosα=-=-，则=sinαcos+cosαsin=-=，故答案为：．由题意利用同角三角函数的基本关系求得cosα的值，再利用两角和的正弦公式求得sin （α+）的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和的正弦公式的应用，属于基础题．9.【答案】【解析】解：，所以：，解得：，所以：，整理得：，解得：（负值舍去），故=，故答案为：．直接利用三角函数关系式的变换和角的变换的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，角的变换的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．10.【答案】2π【解析】解：函数的最小正周期是函数y=sin的周期的一半，而函数y=sin的周期为=4π，故函数的最小正周期是2π，故答案为：2π．利用y=|sinωx|的周期是y=sinωx的周期的一半，而y=sinωx的周期为，得出结论．本题主要考查三角偶函数的周期性，利用了y=|sinωx|的周期是y=sinωx的周期的一半，y=sinωx的周期为，属于基础题．11.【答案】[-4，0]【解析】解：y=cos2x+2sin x-2=-sin2x+2sin x-1=-（sin x-1）2，∵x∈R，∴sin x∈[-1，1]，∴当sin x=1时，y max=0；当sin x=-1时，y min=-4，∴函数y的值域为[-4，0]．故答案为：[-4，0]．由y=cos2x+2sin x-2可得由y=-（sin x-1）2，再利用二次函数的相关性质求出最值即可．本题考查了函数的性质及其应用，考查了转化思想和整体思想，属基础题．12.【答案】2sin（x+）【解析】解：由已知点E（0，1）是线段MD的中点知A=2，根据△OMB为等腰直角三角形，可得M（-1，0），D（1，2），∴•=1-（-1），解得ω=；∴函数f（x）=2sin（x+φ），又由M（-1，0）是f（x）图象上的点，由正弦函数的图象与性质知，×（-1）+φ=0，可得φ=，∴f（x）=2sin（x+）．故答案为：2sin（x+）．由已知点E得出A的值，再根据△OMB为等腰直角三角形可得M、D的坐标，从而求得ω和φ的值．本题主要考查了正弦型函数的图象与性质应用问题，是基础题．13.【答案】【解析】【分析】本题考查三角函数的有解问题，三角函数的最值函数的图象的应用，考查分析问题解决问题的能力，属于基础题．通过两角和与差的三角函数化简左侧表达式，通过三角函数的图象与性质，分析求解m 的范围．【解答】解：m+1=sin x+cos x=2sin（x+），x∈[0，π]，x+[]，作出函数y=2sin（x+），x∈[0，π]的图象，如图：方程sin x+cos x=m+1在x∈[0，π]上有两个不相等的实数解，即函数y=2sin（x+），x∈[0，π]与直线y=m+1有两个交点，由图可得，m+1∈，可得m∈．故答案为：．14.【答案】445米【解析】解：法一：设该扇形的半径为r米，连接CO．由题意，得CD=500（米），DA=300（米），∠CDO=60°在△CDO中，CD2+OD2-2CD•OD•cos60°=OC2即，5002+（r-300）2-2×500×（r-300）×=r2解得r=≈445（米）答：该扇形的半径OA的长约为445米．法二：连接AC，作OH⊥AC，交AC于H，由题意，得CD=500（米），AD=300（米），∠CDA=120°在△CDO中，AC2=CD2+AD2-2•CD•AD•cos120°=5002+3002+2×500×300×=7002．∴AC=700（米）．cos∠CAD==．在直角△HAO中，AH=350（米），cos∠HAO=，∴OA==≈445（米）．答：该扇形的半径OA的长约为445米．故答案为：445米．法一：连接OC，由CD∥OB知∠CDO=60°，可由余弦定理得到OC的长度．法二：连接AC ，作OH⊥AC，交AC于H，由余弦定理可求AC，cos∠CAD，在直角△HAO中，利用三角函数的定义可求OA=的值．本题主要考查用余弦定理求三角形边长，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题．15.【答案】1【解析】解：∵α1，α2∈R，且，∴sinα1+2=1，2+sin（2α2）=1，求得sinα1=-1，sin（2α2）=-1，∴α1=2kπ-，且2α2=2nπ-，k、n∈Z，∴α2=nπ-，∴α1+α2=（2k+n）-，∴tan（α1+α2）=tan（-）=1，故答案为：1．由题意可得求得sinα1=-1，sin（2α2）=-1，求得α1和α2的值，可得tan（α1+α2）的值．本题主要考查三角函数的求值问题，属于基础题．16.【答案】【解析】解：f（x）=sin2ωx-2cos2ωx+1=sin2ωx-cos2ωx=sin（2ωx-），（ω＞0），由f（x）=0得2ωx-=kπ，即x=+，k∈Z，∵函数f（x）在区间内没有零点，∴x=+∉（，π），若+∈（，π），则＜+＜π，得ω-＜k＜2ω-，若函数f（x）在区间内没有零点，等价为在（ω-，2ω-）内没有整数，则≥=，即0＜ω≤1，若（ω-，2ω-）内有整数，则当k=0时，由ω-＜0＜2ω-，得，即＜ω＜，若当k=1时，由ω-＜1＜2ω-，得，即＜ω＜，此时＜ω≤1，当k=2时，由ω-＜2＜2ω-，得，即＜ω＜，此时ω超出范围，即若（ω-，2ω-）内有整数，则＜ω＜或＜ω≤1，则若（ω-，2ω-）内没有整数，则0＜ω≤或≤ω≤，即ω的取值范围为（0，]∪[，]，故答案为：（0，]∪[，]利用倍角公式以及辅助角公式进行化简，结合f（x）在区间内没有零点，建立不等式关系进行求解即可．本题主要考查函数零点的应用，利用辅助角公式进行化简，结合三角函数零点问题件转化是解决本题的关键．17.【答案】解：（1）由于，则有3tan2α+8tanα-3=0，解得或tanα=-3，∵，∴tanα=-3；（2）=-cos2α=-（cos2α-sin2α）====．【解析】（1）运用同角的倒数关系，解方程，即可得到；（2）运用诱导公式和二倍角的余弦公式及同角的平方关系和商数关系，计算即可得到．本题考查同角的平方关系和商数关系、倒数关系及诱导公式、二倍角的余弦公式，考查运算能力，属于基础题．18.【答案】解：（1）由2b cos A=c cos A+a cos C代入正弦定理得：2sin B cos A=sin C cos A+sin A cos C即2sin B cos A=sin（C+A）=sin B≠0∴cos A=又0＜A＜π∴A=（2）选①③由余弦定理：a2=b2+c2-2bc cos A∴b2+3b2-3b2=4∴b=2，c=2∴S=选①②由正弦定理得：又sin C=sin（A+B）=sin A cos B+cos A sin B=∴S=选②③这样的三角形不存在．【解析】（1）化简，利用正弦定理，推出关系式，然后求出A 的值．（2）选①③通过余弦定理，求出b，c，求出三角形的面积；选①②通过正弦定理求出的值，推出sin C的值，然后求出面积；选②③这样的三角形不存在．本题是基础题，考查正弦定理，余弦定理的应用，三角函数的化简求值，考查计算能力，逻辑推理能力．19.【答案】解：（1）∵BC是半圆的直径，A在半圆上，∴AB⊥AC，又BC=1，∴AB=cosθ，AC=sinθ，所以：S1=•AB•AC=sinθcosθ；设正方形的边长为x，则：BP=，AP=x cosθ，由BP+AP=AB，得：+x cosθ=cosθ，解得：x=，所以：S2=x2=（）2．（2）===+sin2θ+1，令t=sin2θ，因为0＜θ＜，所以：0＜2θ＜π，则t=sin2θ∈（0，1]，所以：=++1，令g（t）=++1（0＜t≤1），则g′（t）=-+=＜0，所以函数g（t）在（0，1]上递减，因此：当t=1时，g（t）取得最小值g（1）=1++1=，此时：sin2θ=1，解得θ=．所以：当θ=时，的值最小，最小值为．【解析】（1）据题三角形ABC为直角三角形，利用三角函数分别求出AC和AB，得出三角形ABC的面积S1，设正方形PQRS的边长为x，利用三角函数分别表示出BQ和RC ，由BQ+QR+RC=a列出方程求出x，算出S2，（2）化简比值，设t=sin2θ来化简求出S1与S2的比值，利用三角函数的增减性求出比值的最小值以及对应此时的θ．本题考查了根据实际问题选择合适的函数关系的能力，以及在实际问题中建立三角函数模型的能力，是综合题．20.【答案】解：（1）与加后是一个“A类波”，即：f1（x）+f2（x）=sin（x+）+sin（x+）=sin x cos+cos x sin+sin x cos+cos x sin=sin x+cos x=sin（x+）；由定义解析式f（x）=A sin（ωx+φ）称为“波”，把振幅都是A的波称为“A类波”，所以：A=；（2）设f1（x）=A sin（x+φ1），f2（x）=A sin（x+φ2），f3（x）=A sin（x+φ3），由f1（x）+f2（x）+f3（x）=0恒成立，同（1）化简方法利用两角和差公式及辅助角公式，可解得：（cosφ1+cosφ2+cosφ3）sin x+（sinφ1+sinφ2+sinφ3）cos x=0，易得：cosφ1+cosφ2+cosφ3=0；①sinφ1+sinφ2+sinφ3=0；②由两式变型平方可得：cosφ1+cosφ2=-cosφ3；sinφ1+sinφ2=-sinφ3；两式左右完全平方相加可得：2+2cos（φ1-φ2）=1；cos（φ1-φ2）=-；同理可得：cos（φ2-φ3）=-；cos（φ3-φ1）=-；∴cos（φ1-φ2）cos（φ2-φ3）cos（φ3-φ1）=-．【解析】（1）根据定义可求得f1（x）+f2（x）=（cosφ1+cosφ2）sin x+（sinφ1+sinφ2）cos x ，由辅助角公式可求得A的值．（2）设f1（x）=A sin（x+φ1），f2（x）=A sin（x+φ2），f3（x）=A sin（x+φ3），由f1（x）+f2（x）+f3（x）=0恒成立，可解得：cosφ1+cosφ2+cosφ3=0；sinφ1+sinφ2+sinφ3=0；由两式变型平方可得结论．本题主要考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，辅助角公式，考查了归纳推理的常用方法，综合性较强，考查了转化思想，属于中档题21.【答案】解：（1）由表格根据五点法作图的规律，可得+=x1-=x2-x1=-x2，解得x1=，x2=，A=，y2=-，f（x）=sin（x+）．（2）将函数f（x））=sin（x+）的图象向右平移个单位，可得y=sin（x-+）=-sin x的图象；再所得图象上各店的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数g（x）=sin x的图象．函数=[sin x-]，由sin x-＞0，可得sin x＞，,要求函数的单调递增区间，即求y=sin x的减区间，而y=sin x的减区间为[，），故的单调递增区间为[，）．（3）=3sin2x+a sin x-1，令F（x）=0，则a sin x=1-3sin2x，显然当sin x=0时，F（x）不存在零点，因此只需考虑sin x≠0时，F（x）的零点情况，令t=sin x（sin x≠0且0＜x≤2π），则t∈[-1，0）∪（0，1]，a=，则函数y=在[-1，0）和（0，1]上单调递减，且t=1时y=2，当t=-1时，y=-2∴当y∈（-2，2）时，y=t与y=有两个交点，此时方程a sin x=1-3sin2x存在4个实根，当y∈（-∞，-2）∪（2，+∞）时，y=t与y=有一个交点，此时方程a sin x=1-3sin2x存在2个实根，当y=2或y=-2时，y=t与y=有两个交点，此时方程a sin x=1-3sin2x存在3个实根．∵在x∈（0，2019π）上恰有奇数个零点，∴当x∈（2018π，2019π）时，F（x）只可能存在2个零点，因此只有a=2时符合条件，∴x∈（0，2019π）时F（x）的零点为：个．【解析】（1）根据表中的数据直接求解个值即可；（2）由条件得到g（x）的图象，然后在由求出单调区间；（3）令F（x）=0，则a sin x=1-3sin2x，显然当sin x=0时，F（x）不存在零点，因此只需考虑sin x≠0时，F（x）的零点情况，根据F（x）在（0，2π]上的零点情况，得到a 的值，然后在根据a的值求出零点的个数．本题考查了函数的图象与性质，考查了数形结合思想和转化思想，属中档题．。
上海市高一下学期期中考试数学试卷含答案
有界函数”，注： ，若 ， ，则关于函数 、 在 上是否为“绝对差有界函数”的判断正确的是（）
A. 与 都是
B. 是而 不是
C. 不是而 是
D. 与 都不是
三.解答题
17.如图， 、 是单位圆 上的点，且 、 分别在第一与第二象限， 是单位圆与 轴正半轴的交点，若△ 为正三角形，点 的横坐标为 .
【分析】直接写出结果.
【详解】 .
故答案为： .
4【答案】
【解析】
【分析】直接利用公式求出结果.
【详解】函数 的最小正周期 .
故答案为： .
5【答案】1
【解析】
【分析】依题意可得 ，进而可得结果.
【详解】依题意可得 ，所以 ，因此 ，所以 .
故答案为： .
6【答案】②③
【解析】
【分析】用平方关系判断①；用特例判断②；用二倍角公式判断③.
【详解】解：由 ，∴ ，即 ，
因为 有意义，所以 ， ，
∴ ，又在 中，所以 或 ，
故选:D．
【点睛】本题主要考查余弦定理的应用．考查计算能力，属于基础题．
14【答案】A
二.选择题
13.在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，若 ，则角 的值为（）
A. B. C. 或 D. 或
14.函数y=xcosx+sinx在区间[–π，π]的图象大致为（）
A. B.
C. D.
15..已知函数 ，则 是（）
A.最小正周期为 的奇函数B.最小正周期为 的奇函数
C.最小正周期为 的偶函数D.最小正周期为 的偶函数
上海市高一数学第二学期期中考试试卷含答案
上海市高一第二学期期中考试试卷数学一、填空题（共10题，每题5分，满分50分）1、已知)cos ,(tan ααP 在第三象限，则角α的终边在第_____象限2、若扇形的弧长为cm 4，面积为24cm ，则该扇形的圆心角的弧度数是_____3、已知534sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-x π，则x 2sin 的值为______4、若要将函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32sin πx y 的图像向右平移)0(>m m 个单位，从而得到函数x y 2sin =的图像，则m 的最小值为_____ 5、已知α是第三象限的角，若2tan =α，则)cos(2sin απαπ--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=______ 6、若函数x a x x f 2cos 2sin 3)(+=的图像关于直线8π-=x 对称，则实数a =_____7、已知等腰三角形的顶角大小为⎪⎭⎫ ⎝⎛-257arccos ，则该三角形底角的正弦值为_____ 8、已知函数)0,0,0(),sin()(πϕωϕω≤≤>>+=A x A x f 的部分图像如图所示，则)(x f y =的解析式是)(x f =_________9、给出函数|cos 2|cos )(x x x f +=，有以下四个结论：①该函数的值域为]3,0[；②当且仅当)(Z k k x ∈=π时，该函数取得最大值；③该函数的单调递增区间为)(,2Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ；④当且仅当31<<m 时，方程m x f =)(在π20<<x 上有两个不同的根，且这两个根的和为π2。
其中正确结论的序号为_________10、在角α的终边上任取一点),(y x P ，记)0(22≠+=xy y x r ，在已知的6个三角比之外定义新的三角比“y x r sct +=α”，若⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=ππαα,2,5sct ，则)(α-sct =_______ 二、解答题（共5题，满分50分）11、（本题满分8分，其中第（）1小题4分，第（2）小题4分）解下列三角方程（1）αα2cos 31sin 5=+（2）215sin 2sin 5cos 2cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+πααπαα12、（本题满分10分，其中第（1）小题5分，第（2）小题5分） 已知7174tan -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ （1）求αtan 以及ααα2cos 1cos 2sin 2+-的值 （2）若20,20πβπα<<<<，且6516)cos(-=+βα，求β的值（用反三角函数表示）13、（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题满分5分） 已知函数x x x x f ωωω2cos 2cos sin 32)(-=（其中ω为常数，且0>ω）的最小正周期为2π （1）求ω的值，并求函数)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 上的单调递增区间 （2）在ABC ∆中，内角C B A 、、所对边的长分别是c b a 、、，若2,4,12===⎪⎭⎫⎝⎛c C A f π，求ABC ∆的面积ABC S ∆的值14、（本题满分10分，其中第（1）小题5分，第（2）小题5分） 近日我渔船编队在岛A 周围海域作业，在岛A 的南偏西︒20方向有一个海面观测站B ，某时刻观测站发现有不明船只向我渔船编队靠近，现测得与B 相距31海里的C 处有一艘海警船巡航，上级指示海警船沿北偏西︒40方向，以40海里/小时的速度向岛A 直线航行以保护我渔船编队，30分钟后到达D 处，此时观测站测得D B ,间的距离为21海里（1）求BDC ∠sin 的值（2）试问海警船再向前航行多少时间方可到岛A ？15、（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题8分）如图，在直角坐标系xOy 中，点P 是单位圆上的动点，过点P 作x 轴的垂线与射线)0(3≥=x x y 交于点Q （Q 在P 的上方），将始边与x 轴的正半轴重合，且终边在射线OP 上的角记为⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈3,2,ππαα （1）用α表示Q P 、的坐标（2）当α为何值时，OPQ ∆面积有最大值？并求出OPQ ∆面积的最大值。
上海2020-2021学年松江二中高三上学期期中仿真密卷(数学学科)参考答案
第16页，共21页上海2020-2021学年松江二中高三上学期期中仿真密卷数学学科参考答案一、填空题（1-6，每个4分，7-12每个5分，合计54分） 1. (1,3) 2. 1 3. 2 4. 125. 1-6. 17.6π8. 339. 4 10. 12- 11. 47- 12. ()r rM Mr M aa a a ==log log二、选择题（每个5分，合计20分） 13、A 14、C 15．A 16. B三、解答题17． 解：（1）由题意，得OA ＝2，PO ＝6， ∴22210PA PO OA =-= ………………………2分∴圆锥的侧面积为2210410S rl πππ==⨯⨯=；……………………4分 体积为221126833V r h πππ==⨯⨯= ；………………6分 （2）取PO 的中点E ，连接DE ，CE ，则∠CDE 或其补角即为所求，如图所示；……………… 8分 因AO ⊥EO ，AO ⊥CO ，EOCO=O 知，AO ⊥平面ECO 又//DE AO ，∴DE ⊥平面ECO ，∴DE ⊥EC ，∴DEC ∆是RT ∆ ……………… 10分由112DE OA ==， ……………… 11分 22232313CE OC OE =+=+= ……………… 13分∴arctan 13CDE ∠=，即异面直线AB 与CD 所成的角为arctan 13．…………14分18.（1）当4a =-时，由22541x x -<-得24250x x -+⨯-<，…………………2分令2x t =，则2540t t -+<，即14t <<，…………………4分 即02x <<，则所求的不等式的解为(0,2).……………………6分（2）任取122x x ≤<，因为函数()22xxf x a -=-在区间[)2+∞，上单调递增，所以12()()0f x f x -<在[)2+∞，上恒成立， ………………2分则1122222+20xx x x a a ----<恒成立，即1212122222+02x x x x x x a +--<，()1212221+02x x x x a +⎛⎫-< ⎪⎝⎭，…………………4分 又12x x <，则1222x x<，即122x x a +>-对122x x ≤<恒成立，…………………………6分又12216x x +>，即16a ≥-，则所求的实数a 的取值范围为[16,)-+∞.………………………………8分19.(1)因为C D 、两点关于直线l 对称，所以点C 的坐标是()24,12，又点B 恰在平衡位置，C 为最低点，得第16页，共21页2124844824T T ππω=⇒=⇒==，将()12,20B 带入得sin 120242ππϕϕ⎛⎫⨯+=⇒= ⎪⎝⎭，再结合C 为最低点得8a =，所以ABC 段的函数解析式为[]8sin 20 0,24242x y x ππ⎛⎫=++∈⎪⎝⎭ (2)由对称性可知DEF 的解析式为：()()[]8sin 68208cos 6820 44,6824224y x x x πππ⎡⎤⎡⎤=-++=-+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，若股价至少是买入价的两倍，则()8cos 68202424x π⎡⎤-+≥⎢⎥⎣⎦解得[] 60,68x ∈，所以买入16天后股价至少是买入价的两倍。
上海市第二中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题(含解析)
2024~2025学年市二中学高一（上）期中考试数学试卷一、填空题（第1-6题每題4分，第7-12题每题5分，满分54分）1．若，，则______．2．不等式的解集是______．3．已知，则______．4．不等式“”是“”______的条件．5．已知集合，集合，若集合M 满足，则这样的集合M 共有______个．6．已知，那么等于______．7．已知，，则用m ，n 表示______．8．若关于x 的不等式恰有两个整数解，则a 的取值范围是______．9．命题“任意，为真命题，则实数a 的取值范围是______．10．碳14是透过宇宙射线撞击空气中的氨14原子所产生．碳14原子经过衰变转变为氨原子．由于其半衰期达5730年，经常用于考古年代鉴定，半衰期（Half-life ）是指放射性元素的原子核有半数发生衰变时所需要的时间，对北京人遗址中某块化石鉴定时，碳14含量约为原来的1%，则这块化石距今约为______万年．（四舍五入到0.1万年）11．已知，，，，，若且，，中各元素的和为256，则集合______．12．已知实数a ，b 满足，且，则的最小值为______．二、单选题（本大题共4题，满分20分）13．已知集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．14．关于x 的不等式的解集是，那么（）A ．1B ．C ．12D ．{}|31A x x =-≥{}|15B x x =<<A B = 304x x -≤+12510a b ==11a b +=23x x ≤|2|1x -<{}2,3,5,8A ={}2,3,5,8,13,21B =A M B ⊂⊆()223350x x x -+=>1133x x -+9log 5m =3log 7n =35log 9=()22120x a x a -++<x ∈R ()()222240a x a x -+--<β14235{,,,,}A a a a a a =4222221235{,,,},B a a a a a =51234a a a a a <<<<i a ∈Z 1,2,3,4,5i ={}14,B a a A = 1410a a +=22a >A B A =11a b -<<<2a b +=1311a ab ++-4|,1P x y y x ⎧⎫=∈=∈⎨⎬+⎩⎭N N {}|14Q x x =-≤≤P Q = {}1,2,4{}0,1,3{}|03x x ≤≤{}|14x x -≤≤2x ax b ≤-{}4log a b =344315．若，，则下列不等式中一定成立的是（）A ．B ．C ．D ．16．定义集合运算；将称为集合A 与集合B 的对称差，命题甲：：命题乙：则下列说法正确的是（ ）A ．甲乙都是真命题B ．只有甲是真命题C ．只有乙是真命题D ，甲乙都不是真命题三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17．已知集合，，若，，则实数a 、b 、c 的值为．18．设关于x 的方程的两个实根分别是，．（1）求实数p 的取值范围；（2）求的取值范围．19．近几年来，“盲盒文化”广为流行，这种文化已经在中国落地生根，并发展处具有中国特色的盲盒经济，某盲盒生产及销售公司今年初用98万购进一批盲盒生产线，每年可有50万的总收入，已知生产此盲盒x 年（x 为正整数）所用的各种费用总计为万元（1）该公司第几年首次盈利（总收入超过总支出，今年为第一年）？（2）该公司第几年年平均利润最大，最大是多少？20．某天数学课上，你突然惊醒，发现黑板上有如下内容：（1）老师请你模仿例题，研究，上的最小值；（提示：，当且仅当时，等号成立）；（2）研究，上的最小值；（3）当时，求，的最小值．21．已知有限集，如果A 中的元素满足，就称A 为“完美集”．x a m -<y a n -<2x y m -<2x y n -<x y n m-<-x y n m -<+{}|A B x x A x B -=∈∉且()()A B A B B A ∆=-- ()()()A B C A B A C ∆=∆ △()()()A B C A B A C ∆=∆ {}2|0A x x ax b =++={}2|150B x x cx =++={}3,5A B = {}3A B = 22lg lg 30x x p -+=αβlog log βαβα+2210x x +44x x -()0,x ∈+∞a b c d +++≥a b c d ===3139x x -()0,x ∈+∞0a >3x ax -()0,x ∈+∞{}()12,,2,,n A a a a n n ⋅⋅⋅=≥∈N ()1,2,,i a i n =⋅⋅⋅1212n n a a a a a a ++⋅⋅⋅+=⨯⨯⋅⋅⋅⨯（1）判断：集合是否是“完美集”并说明理由：（2）、是两个不同的正数，且是“完美集”，求证：、至少有一个大于2；（3）若为正整数，求：“完美集”A ．2024~2025学年市二中学高一（上）期中考试数学试卷一、填空题1．【答案】【解析】由题意知，，所以．2．【答案】【解析】，解得或，所以不等式的解集为．3．【答案】【解析】若，可得，，．4．【答案】必要不充分【解析】，，由于是的真子集，所以“”是“”的必要不充分条件．5．【答案】3【解析】因为集合，所以集合M 中包含2，3，5，8且至少包含13，21中的一个元素，所以或或，所以满足条件的M 个数为3．6．【解析】由，因，故，即得，．7．【答案】【解析】由，，可得，，又由{11---+1a 2a {}12,a a 1a 2a i a ()1,4(),4A =-∞()1,4A B = ()[),43,-∞-+∞ ()()34030440x x x x x -+≤⎧-⎪≤⇔⎨++≠⎪⎩4x <-3x ≥()[),43,-∞-+∞ 1-12510b a ==2log 10a =-5log 10b =-()521111lg 5lg 2lg101log 10log 10a b ⎛⎫+=-+=-+=-=- ⎪⎝⎭{}{}23|0|3x x x x x ≤=≤≤{}{}3|21|1x x x x -<=<<{}|13x x <<{}3|0x x ≤≤23x x ≤21x -<A M B ⊂⊆{}2,3,5,8,13M ={}2,3,5,8,21{}2,3,5,8,13,212112233332527x x x x --⎛⎪+=++⎫⎝⎭+ ==0x >11330x x -+>1133x x -+=22m n+9log 5m =3log 7n =31log 52m =3log 7n =8．【答案】【解析】令，解得或．当，即时，不等式，解得，则不等式中的两个整数解为2和3，有，解得；当，即时，不等式无解，所以不符合题意；当，即时，不等式解得，则不等式中的两个整数解为0和，有，解得．综上，a 的取值范围是9．【答案】【解析】因为“任意，”为真命题，所以不等式在上恒成立，当时，，显然成立，当时，有，解得，综上所述，实数a 的取值范围是．10．【答案】3.8【解析】设第n 个半衰期结束时，碳14含为，由题意可得，第一个半衰期结束时，碳14含量为，第二个半衰期结束时，碳14含量为；以此类推，为以首项，公比为的等比数列，所以第n 个半衰期结束时，碳14含量为，335333log 922log 9log 35log 5log 72m n===++3|21212a a a ⎭<≤⎧⎫-≤<-⎨⎬⎩或()22120x a x a -++=1x =2x a =21a >12a >()22120x a x a -++<12x a <<324a <≤322a <≤21a =12a =()22120x a x a -++<12a =21a <12a <()22120x a x a -++<21a x <<1-221a -≤<-112a -≤<-3|21212a a a ⎭<≤⎧⎫-≤<-⎨⎬⎩或(]2,2-x ∈R ()()222240a x a x -+--<()()222240a x a x -+--<R 2a =40-<2a ≠()()220421620a a a -<⎧⎪⎨∆=-+-<⎪⎩22a -<<(]2,2-n a 112a =214a ={}n a 112a =12q =12n n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭令，解得所以这块化石距今约为年，即约为3.8万年：11．【答案】【解析】由，且，得到只可能，即或0，当时，，而，故舍去，则，又，∴，且，∴或，①若时，，不合题意；②若时，此时，，因，从而，又，则，当时，无整数解，当时，，所以，综上，12．【解析】因为，所以，，因为，所以，由，所以所以，11%2n n a ⎛⎫== ⎪⎝⎭2212lg102log 10 6.6410.301lg 2n ---===≈-5730 6.6438047.2⨯={}1,3,5,9,11{}14,A B a a = 12345a a aa a <<<<211a a =1a =11a =0410a ={}14,A B a a = =Z 1a =11410a a +=49a =()24923i a a i ==≤≤23a =33a =33a =22a =23a ={}531,3,,9,A a a ={}22531,9,,81,B a a =22353513981256a a a a +++++++=2255331620a a a a +++-=234a a a <<339a <<3a =4,6,7,85a 35a =511a ={}1,3,5,9,11A ={}1,3,5,9,11A =1-11a b -<<<10a +>10b ->2a b +=()()112a b ++-=2a b +=()32131133111111b a a b a b a b -+=+=+-+-+-+-()()13113311311211a b a b a b ⎡⎤⎢-+-=+++--⎡⎤⎣⎦+-+⎥⎣⎦()31111133432312112a b a b ⎛+- =+++-≥⎝⎛⎫ ⎪⎝+-=+-=- +⎭-当且仅当，即，二、单选题13．【答案】B 【解析】若，则是4的正因数，而4的正因数有1，2，4，所以，因为，所以，故选：B ．14．【答案】D【解析】即，因为解集为，则根据韦达定理知，即，则故选：D ．15．【答案】D 【解析】运用绝对值三角不等式，由于，，运用不等式性质得到故，故选：D ．16．【答案】B【解析】对于甲，，故命题甲正确；对于乙，如图所示：所以，，故命题乙不正确三、解答题17．【答案】，，()31111a b a b +-=+-2a =-+4b =-41y x =+y ∈N 1x +{}4|,0,1,31P x y y x ⎧⎫=∈=∈=⎨⎬+⎩⎭N N {}|14Q x x =-≤≤{}0,1,3P Q = 2x ax b ≤-20x ax b -+≤{}42424a b =⨯⎧⎨=⎩816a b =⎧⎨=⎩32844log log 16log 23a b ===x y x a a y x a a y -=--≤-++-x a m -<y a n -<x a a y m n-+-<+x y m n -<+()()()()A B C A B B C B C A B C A B C ∆=-=- ()()()()()()A B A C A B A C A B A C =-=∆ ()()()A B C A B A C ∆≠∆ ()A B C ∆ ()()A B A C ∆ 6a =-9b =8c =-【解析】因为，所以，所以，得，所以，所以，即有且只有一个实根，所以，，解得，，综上可得，，，．18．【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为，即，设，则关于t 的方程：的两根为和，所以，解得．（2）由韦达定理，得，所以因为且，所以或，所以或，所以的取值范围为19．【答案】（1）第3年：（2）第7年平均利润最大，为12万元【解析】（1）设利润为y ，则，由整理得，，解得，由于，所以，所以第3年首次盈利．（2）首先，由（1）得平均利润万元，{}3AB = 3B ∈93150c ++=8c =-{}{}28150|3,5B x x x =-+=={}3A =20x ax b ++=3x =33a +=-33b ⨯=6a =-9b =6a =-9b =8c =-1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦()[),22,-∞-+∞ 22lg lg 30x x p -+=2lg 2lg 30x x p -+=lg t x =2230t t p -+=lg αlg β()22120p ∆=-≥-13p ≤lg lg 2lg lg 3pαβαβ+=⎧⎨=⎩22lg lg lg lg log log lg lg lg lg αββαβαβααβαβ++=+=2(lg lg )2lg lg 4642lg lg 33p p pβααβαβ+--===-31p ≤30p ≠443p ≥403p<4223p -≥4223p-<-log log αββα+()[),22,-∞-+∞ ()()22*509821024098y x x x x x x =-++=-+-∈N 2240980x x -+->220490x x -+<1010x -<<x *∈N {}|317x x x *∈∈≤≤N {}|317x x x *∈∈≤≤N 4924024012y x x x ⎛⎫=-++≤-⨯+= ⎪⎝⎭当且仅当，万元时等号成立，综上，第7年，平均利润最大，为12万元20．【答案】（1）：（2）；（3）【解析】（1）因为，利用，于是，，当且仅当时，取得最小值．（2）因为，利用，得到，于是，，当且仅当时，取得最小值．（3）因为利用，得到，于是，，当且仅当时，取得最小值21．【解析】（1）由，，则集合是“完美集”．（2）若、是两个不同的正数，且是“完美集”，设，根据根和系数的关系知，和相当于的两根，由，解得或（舍去），所以，又，均为正数所以、至少有一个大于2．（3）不妨设A中，49x x=7x =3-6-0x >a b c d +++≥41114x x ++≥+444111434433x x x x x x -=+++--≥--=-1x =3-0x >a b c ++≥313339x x ++≥331133363363699x x x x x x -=++--≥--=-3x =6-0x >a b c ++≥3x ax +≥33x ax x ax -=-≥x =((112-+-+=-(112--=-{11--+1a 2a {}12,a a 12120a a a a t +=⋅=>1a 2a 20x tx t -+=240t t ∆=->4t >0t <124a a ⋅>1a 2a 1a 2a 312n a a a a <<<⋅⋅⋅<由，得，当时，即有，又为正整数，所以，于是，则无解，即不存在满足条件的“完美集”；当时，，故只能，，求得，于是“完美集”A 只有一个，为．当时，由，即有，而，又，因此，故矛盾，所以当时不存在完美集A ，综上知，“完美集”A 为1212n n n a a a a a n a a ⋅⋅⋅=++⋅⋅<⋅+121n n a a a -⋅⋅<⋅2n =12a <i a 11a =2211a a +=⨯2a 3n =123a a <11a =2a =23a =3{}1,2,34n ≥()1211231n a a a n n -⋅⋅⋅≥⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯-()1231n n n ≥⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯-()()()221242220n n n n n n ---=-+-=--+<()()()121231n n n n --≤⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯-()1231n n n <⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯-4n ≥{}1,2,3。
上海市松江二中2020-2021学年高一第一学期期中考试数学试卷
松江二中2020学年度第一学期期中考试试卷高一数学一､填空题(本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分),考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1､已知集合2{1,3,},A x =B={1,2-x}, 若B ⊂A,则实数x 的值是____.2､若122log (log )0x =,则x=____.3､幂函数y= f(x)的图像经过点(4,2),则1()4f 的值为____.4､已知指数函数(2)x y a =-是严格增函数,则实数a 的取值范围是____.5､若x, y ∈R,则"x> y”是“22x y >”的____条件. (从“充要､充分不必要､必要不充分､既不充分也不必要”四种关系中选择)6､已知不等式2log (5)1,x -≤则x 的解集是____.7､设3436,x y ==则21x y+的值为____. 8､若a>b, ab=1,则22a b M a b+=-的取值范围是____. 9､已知函数,(,bx y a x a=-b ∈R )的图像关于点(1,1)对称, 则a+b=____. 10､设集合1{|0},{|(),0},12x x M x N y y x x =≥==≥-则M∩N =____. 11､ 已知关于x 的不等式组22021x x a a x a ⎧-+-<⎨+>⎩的整数解恰好有两个,则实数a 的取值范围是____.12､对于集合M,定义函数1,()1,M x M f x x M-∉⎧=⎨∈⎩.对于两个集合M,N,定义集合 {|()()1}M N M N x f x f x =⋅=-.已知A={2,4,6,8,10}, B= {1,2,4,8,16}, 用M|表示有限集合M 中的元素个数,则对于任意集合M,|M △A| +|M △B|的最小值为____.二､选择题(本大题共有4题,满分20分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分.13､ 如果a>b,下列不等式成立的是( )11.A a b < 33.B a b > 22.11C a b +>+ D.|a|>|b|14､下列函数中图像关于原点对称,并且在(0, +∞)上严格递减的是( )23.A y x -=32.B y x = 13.C y x = 13.D y x -= 15､关于x 的方程2||10x a x ++=有4个不同的解,则实数a 的取值范围是( )A. (-∞,-2)∪(2,+∞)B.(-∞,-2]C. (-∞,-2)D. (2, +∞)16､若函数|1|1()2x y m -=+的图像与x 轴有公共点,则m 的取值范围是( )A. m≤-1B.-1≤m< 0C. m≥1D.0<m≤1 三､解答题(本大题共有5题,满分76分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17､(本题满分14分)已知集合222{|190},{|560},2,4}{A x x mx m B x x x C =-+-==-+==-,若,A B A C ⋂≠∅⋂=∅, 求实数m 的值.18. (本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)已知幂函数21()(1)m f x m m x-=--的定义域为R.(1)求实数m 的值;(2)若不等式2[()]()0f x af x b -+≤的解集是[0,6],求b a 的值.19､(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)经过长期观测得到:在交通繁忙的时段内,某公路段汽车的车流量y (千辆/小时)与汽车的平均速度v(千米/小时)之间的函数关系为:2700(0)2900v y v v v =>++. (1)在该时段内,当汽车的平均速度为多少时,车流量最大?最大车流量为多少?(保留分数形式)(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时,则汽车的平均速度应在什么范围内?20､(本题满分16分,第1小题满分4分,第2小题满分4分,第3小题满分8分)(1)解不等式:1|1||2|2x x --->; (2)设集合P 表示不等式|x-1|+|x- 2a|>1对任意x ∈R 恒成立的a 的集合,求集合P;(3)设关于x 的不等式22||200ax x a +--<的解集为A,试探究是否存在a ∈N,使得不等式.220x x +-<与|2x-1|<x+ 2的解都属于A,若不存在,说明理由.若存在,请求出满足条件的a 的所有值.21､(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分)对于四个正数x, y, z, w,如果xw<yz,那么称(x,y)是(z,w)的"下位序对",(1)对于2, 3, 7, 11, 试求(2,7)的“下位序对";(2)设a, b, c,d 均为正数,且(a,b) 是(c, d)的“下位序对",试判断:,,c a a c d b b d++之间的大小关系;(3)设正整数n 满足条件:对集合{|02017}m m <<内的每个m ∈N,总存在正整数k,使得(m, 2017)是(k,n)的“下位序对”,且(k,n)是(m+1,2018)的" 下位序对”,求:正整数n 的最小值.。
上海市松江二中2019-2020学年度高二数学第一学期期中试题 数学【含解析】
上海市松江二中2019-2020学年度高二数学第一学期期中试题数学【含解析】一.填空题1.行列式421354112---中，元素3-的代数余子式的值为________【答案】5【解析】【分析】根据行列式的展开A212112=-=--[2×（﹣2）﹣1×1]＝5计算可得结果．【详解】行列式143309212--中元素3的代数余子式的A212112=-=--[2×（﹣2）﹣1×1]＝5，故答案为：5．【点睛】本题考查行列式的展开，考查行列式的展开式，考查计算能力，属于基础题．2.已知线性方程组的增广矩阵为11334a--⎛⎫⎪⎝⎭，若该线性方程组的解为12-⎛⎫⎪⎝⎭，则实数a=________【答案】2【解析】【分析】由已知得334x yax y-=-⎧⎨+=⎩，把x＝﹣1，y＝2，能求出a的值．【详解】∵线性方程组的增广矩阵为11334a--⎛⎫⎪⎝⎭，该线性方程组的解为12-⎛⎫⎪⎝⎭，∴334 x yax y-=-⎧⎨+=⎩，把x＝﹣1，y＝2，代入得﹣a+6＝4，解得a＝2．故答案为：2．【点睛】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意线性方程组的性质的合理运用．3.若实数x ,y 满足10304x y x y y -+≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为_____________.【答案】10 【解析】由线性约束条件10304x y x y y -+≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，得可行域如图：联立4{10y x y =-+=，得(3,4)A由图象知：当函数2z x y =+的图象过点(3,4)A 时，2z x y =+取得最大值为10 故答案为10点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.4.已知定点(4,0)A 和曲线221x y +=上的动点B ，则线段AB 中点P 的轨迹方程是________ 【答案】221(2)4x y -+= 【解析】 【分析】设出P ，B 的坐标，确定动点之间坐标的关系，利用动点B 在圆x 2+y 2＝1上运动，可得轨迹方程． 【详解】设线段AB 中点为P （x ，y ），B （m ，n ），则m ＝2x ﹣4，n ＝2y ∵动点B 在圆x 2+y 2＝1上运动， ∴m 2+n 2＝1，∴（2x ﹣4）2+（2y ）2＝1， ∴（x ﹣2）2+y 2＝14． 故答案为：（x ﹣2）2+y 2＝14． 【点睛】本题考查轨迹方程，考查代入法的运用，确定动点之间坐标的关系是关键． 5.执行下图的程序框图，如果输入6i =，则输出的S 值为 ．【答案】21 【解析】试题分析：由题意，012345621S =++++++=． 考点：程序框图．6.已知点(,)P m n 是直线250x y ++=22(1)(2)m n -++________ 5【解析】 【分析】 ()()2212m n -++1，﹣2）到直线2x +y +5＝0的距离，由此能求出结果．【详解】∵点P （m ，n ）是直线2x +y +5＝0上的任意一点， ()()2212m n -++1，﹣2）到直线2x +y +5＝0的距离， ()()2212m n -++d 225541-+==+5【点睛】本题考查代数式的最小值的求法，是基础题，考查了点到直线的距离公式的应用． 7.已知点P 在直线6014x y -=-上，且点P 到()2,5A 、()4,3B 两点的距离相等，则点P 的坐标是__________. 【答案】（1,2） 【解析】 【分析】由二项展开式性质得点P 在直线4x +y ﹣6＝0，设P （a ，﹣4a +6），由点P 到A （2，5）、B （4，3）两点的距离相等，能求出点P 的坐标． 【详解】解：∵点P 在直线614x y --=0上，∴点P 在直线4x +y ﹣6＝0， 设P （a ，﹣4a +6），∵点P 到A （2，5）、B （4，3）两点的距离相等， ()()()()2222a-2+-4a+1=a-4+-4a+3 ，解得a ＝1，∴点P 的坐标是（1，2）． 故答案为：（1，2）．【点睛】本题考查点的坐标的求法，考查行列式、直线方程、两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.若直线l 过点(3P -，且与直线:320+=m x 的夹角为3π，则直线l 的方程是______． 【答案】2x =-，或310x -= 【解析】 【分析】先求出直线m 的倾斜角，再根据直线l 和直线m 夹角为3π，可得直线l 的倾斜角，进而得到直线l 的斜率，从而求得直线l 的方程． 【详解】直线l 过点(3P -，且与直线320m x +=：的夹角为3π， 且直线m 33=m 的倾斜角为6π，设直线l 的倾斜角为θ，则632πππθ=+=，或5636πππθπ⎛⎫=+-=⎪⎝⎭， 故直线m 的斜率不存在，或直线m 的斜率为5366tantan ππ=-=-， 故直线l 的方程为2x =-或()332y x -=-+， 即直线l 的方程为2x =-或310x y +-=， 故答案：2x =-或310x y +-=【点睛】本题主要考查直线的倾斜角和斜率，用点斜式求直线的方程，熟记两直线的夹角公式即可，属于基础题型．9.直线10ax y ++=与连接A （4，5），B （-1，2）的线段相交，则a 的取值范围是___． 【答案】32a ≤-或3a ≥ 【解析】 【分析】判断直线0ax by c恒过定点P （0，-1），计算PA 、PB 的斜率，再利用数形结合求a 的取值范围．【详解】解：由直线ax+y+1=0的方程，判断直线恒过定点P （0，-1），如图所示，计算513402PA k +==-，21310PB k +==--- 且PA k k ≥或PB k k ≤， 则PA a k ≤-或PB a k ≥-， 即实数a 的取值范围是：32a ≤-或3a ≥． 故答案为：32a ≤-或3a ≥． 【点睛】本题考查直线的斜率与直线方程的应用问题，是基础题．10.如图，已知半圆O 的直径4AB =，OAC ∆是等边三角形，若点P 是边AC （包含端点A C 、）上的动点，点Q 在弧BC 上，且满足⊥OQ OP ，则OP BQ ⋅的最小值为__________．【答案】2 【解析】 【分析】将向量BQ 转化为BO OQ +，代入OP BQ ⋅，将所求向量的数量积转化为OP OA ⋅cos 2cos OP OA OP θθ=⋅⋅=⋅,cos OP θ⋅表示OP 在OA 上的投影，由此可求得最小值.【详解】()OP BQ OP BO OQ ⋅=⋅+ OP BO OP OA =⋅=⋅ cos 2cos OP OA OP θθ=⋅⋅=⋅，由数量积的几何意义可知，当P 与C 重合时，OP 在OA 上的投影最短， 此时，()min2OP OA⋅=,故填2.【点睛】本小题主要考查向量的线性运算，考查向量的数量积运算，以及几何图形中向量问题的求解.属于中档题.11.直线1l 与直线2l 交于一点P ，且1l 的斜率为1k，2l 的斜率为2k ，直线1l 、2l 与x 轴围成一个等腰三角形，则正实数k 的所有可能的取值为 ． 22. 【解析】设直线1l 与直线2l 的倾斜角为α，β，因为0k >，所以α，β均为锐角，由于直线1l 、2l 与x 轴围成一个等腰三角形，则有以下两种情况：（1）2αβ=时，tan tan 2αβ=，有21414k k k =-，因为0k >，解得24k =；（2）2βα=时，tan tan 2βα=，有22211kk k=-，因为0k >，解得2k =考点：直线与直线的位置关系.12.已知在平面直角坐标系中，依次连接点01122(0,0),(,1),(,2),,(,)n n P P x P x P x n ⋅⋅⋅得到折线012n P PP P ⋅⋅⋅，若折线1i i P P -所在的直线的斜率为11(1,2,,)2i i n -=⋅⋅⋅，则数列{}n x 的前n 项和为__________．【答案】122n n +-- 【解析】分析：先由题意得到数列{}n x 的递推关系112(*,2)n n n x x n N n ---=∈≥，然后根据累加法求得数列的通项公式，再结合通项公式的特征选择求和的方法求解即可．详解：由题意得直线01P P 的斜率为1，即111x =，解得11x =． 当2n ≥时，直线1n nP P -的斜率为11(*)2n n N -∈， 即111(1)112n n n n n n n x x x x -----==--，∴112(*,2)n n n x x n N n ---=∈≥．∴112211()()()n n n n n x x x x x x x x ---=-+-++-+122221n n --=++++1212n-=-21n =-(*,2)n N n ∈≥．又11x =满足上式，∴21(*)nn x n N =-∈．∴数列{}n x 前n 项和为2312(12)22222212n nn n S n n n +-=++++-=-=---．点睛：本题将数列与解析几何综合在一起，考查数列的递推关系、数列通项公式和前n 项和的求法，解题的关键是根据题意，将其中直线斜率的问题转化为数列的问题，然后再结合数列的相关知识求解． 二.选择题13.在直角坐标系中，方程|x |·y ＝1的曲线是( )A. B. C. D.【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得0x ≠，则1x y ⋅=可化为分段函数1,01,0x xy x x⎧>⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩，利用反比例函数的图象可得结果.【详解】由1x y ⋅=，可知0x ≠，1,011,0x x y x x x⎧>⎪⎪==⎨⎪-<⎪⎩，利用反比例函数的图象以及函数的对称性可得方程1x y ⋅=表示的曲线是C ，故选C. 【点睛】本题主要考查分段函数的图象，以及函数图象对称性的应用，属于简单题. 14.已知向量a 和b 的夹角为3π，且||2,||3a b ==，则(2)(2)a b a b -+=（ ） A. 10- B. 7-C. 4-D. 1-【答案】D 【解析】 【分析】根据数量积的运算律直接展开()()22a b a b -⋅+，将向量的夹角与模代入数据，得到结果． 【详解】()()22a b a b -⋅+= 2223?2a a b b +-＝8+3cos 3a b π－18＝8+3×2×3×12－18＝－1， 故选D.【点睛】本题考查数量积的运算，属于基础题．15.如图，OM ∥AB ，点P 在由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域内（不含边界），且OP OA OB λμ=+，则满足条件的实数对(,)λμ可以是（ ）A. 11(,)44- B. 25(,)33-C. 13(,)44-D. 17(,)55-【答案】C 【解析】 【分析】利用平面向量的基本定理和平行四边形法则，可以将四个答案一一代入，判断点的位置，排除错误答案，即可得到结论．【详解】根据平面向量基本定理和平行四边形法则，A （14，14-），111444OP OA OB BA =-=，此时P 在线段AB 上， B （23-，53），222333OP OA OB OB AB OB =-++=+，此时P 在直线AB 的上方，同理，D （15-，75），1755OP OA OB =-+，此时P 在直线AB 的上方，因此ABD 均不正确， 故选：C ．【点睛】本题考查了向量的线性运算，平面向量的基本定理的应用，考查了代入验证法，属于基础题． 16.已知直线1l ：-10ax y +=，2l ：10,x ay a R ++=∈，和两点A （0,1），B （-1,0），给出如下结论： ①不论a 为何值时，1l 与2l 都互相垂直；②当a 变化时，1l 与2l 分别经过定点A （0,1）和B （-1,0）； ③不论a 为何值时，1l 与2l 都关于直线0x y +=对称； ④如果1l 与2l 交于点M ，则MA MB ⋅的最大值是1； 其中，所有正确的结论的个数是（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4.【答案】C 【解析】对于①，当0a =时，两条直线分别化为:1,1y x ==-，此时两条直线互相垂直，当0a ≠时，两条直线斜率分别为:1,a a -,满足11a a ⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭,此时两条直线互相垂直，因此不论a 为何值时，1l 与2l 都互相垂直，故①正确；对于②，当a 变化时，代入验证可得:1l 与2l 分别经过定点()0,1A 和()1,0B -，故②正确；对于③，由①可知:两条直线交点在以AB 为直径的圆上，不一定在直线0x y +=上，因此1l 与2l 关于直线0x y +=不一定对称，故③不正确；对于④，如果1l 与2l 交于点M ，由③可知:222MA MB +=，则22?MA MB ≥，所以·MA MB 的最大值是1，故④正确. 所有正确结论的个数是3. 故选C 三.解答题17.已知向量1sin ,2a x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()cos ,1b x =-， （1）当a b ⊥时，求x 的值；（2）求()()f x a b b =+⋅的最大值与最小值． 【答案】（1）,4x k k Z ππ=+∈（2）最大值与最小值分别为2121 【解析】 【分析】（1）根据向量垂直坐标表示列式求解（2）先根据向量数量积化简函数，再根据二倍角公式以及辅助角公式化简，最后根据正弦函数性质求最值 详解】（1）1sin cos 02a b x x ⊥∴-= sin 21,22,()24x x k x k k Z ππππ∴==+=+∈（2）()()211(sin cos ,)(cos ,1)sin cos cos 22f x a b b x x x x x x =+⋅=+-⋅-=++11cos 212sin 2)12224x x x π+=++=++所以()()f x a b b =+⋅的最大值与最小值分别为212+与212- 【点睛】本题考查向量垂直坐标表示、向量数量积坐标表示、二倍角公式、辅助角公式以及正弦函数性质，考查综合分析求解能力，属综合中档题.18.设直线1:210l x y --=与22:(3)30l m x my m m -++-=. （1）若1l ∥2l ，求1l 、2l 之间的距离；（2）若直线2l 与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积最大，求直线2l 的方程. 【答案】（15（2）2230x y +-=. 【解析】 【分析】（1）若l 1∥l 2，求出m 的值，即可求l 1，l 2之间的距离；（2）表示直线l 2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积，配方法求出最大，即可求直线l 2的方程． 【详解】（1）若l 1∥l 2，则0m ≠， ∴132mm-=-，∴m ＝6， ∴l 1：x ﹣2y ﹣1＝0，l 2：x ﹣2y ﹣6＝0 ∴l 1，l 2之间的距离d 514==+ （2）由题意，030m m ⎧⎨-⎩＞＞，∴0＜m ＜3，直线l 2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积S 12=m （3﹣m ）2139()228m =--+， ∴m 32=时，S 最大为98，此时直线l 2的方程为2x +2y ﹣3＝0． 【点睛】本题考查直线方程，考查直线与直线的位置关系的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19.已知ABC ∆的顶点()5,1A ，AB 边上的中线CM 所在直线方程为250x y --=，B 的平分线BN 所在直线方程为250x y --=，求： （Ⅰ）顶点B 的坐标； （Ⅱ）直线BC 的方程【答案】（Ⅰ）(1,3)B --（Ⅱ）617450x y --= 【解析】 【分析】（Ⅰ）设()00,B x y ，可得AB 中点坐标，代入直线250x y --=可得00210x y --=；将B 点坐标代入直线250x y --=得00250x y --=，可构造出方程组求得B 点坐标；（Ⅱ）设A 点关于250x y --=的对称点为(),A x y '''，根据点关于直线对称点的求解方法可求得293,55A ⎛⎫'- ⎪⎝⎭，因为A '在直线BC 上，根据两点坐标可求得直线方程.【详解】（Ⅰ）设()00,B x y ，则AB 中点坐标为：0051,22x y ++⎛⎫⎪⎝⎭005125022x y ++∴⨯--=，即：00210x y --= 又00250x y --=，解得：01x =-，03y =-()1,3B ∴--（Ⅱ）设A 点关于250x y --=的对称点为(),A x y '''则1255125022y x x y -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪-'''⋅-=⎩'⎪，解得：293,55A ⎛⎫'- ⎪⎝⎭ BC ∴边所在的直线方程为：()335312915y x -++=++，即：617450x y --= 【点睛】本题考查直线方程、直线交点的求解；关键是能够熟练应用中点坐标公式和点关于直线对称点的求解方法，属于常考题型.20.类似于平面直角坐标系，定义平面斜坐标系：设数轴x 、y 的交点为O ，与x 、y 轴正方向同向的单位向量分别是i 、j ，且i 与j 的夹角为θ，其中(0,)(,)22ππθπ∈，由平面向量基本定理：对于平面内的向量OP ，存在唯一有序实数对(,)x y ，使得OP xi y j =+，把(,)x y 叫做点P 在斜坐标系xOy 中的坐标，也叫做向量OP 在斜坐标系xOy 中的坐标，记为(,)OP x y =，在平面斜坐标系内，直线的方向向量、法向量、点方向式方程、一般式方程等概念与平面直角坐标系内相应概念以相同方式定义，如60θ=︒时，方程1513x y --=表示斜坐标系内一条过点(1,5)，且方向向量为(1,3)的直线.（1）若60θ=︒，11(,)a x y ，22(,)b x y ，求a b ⋅； （2）若60θ=︒，已知点(2,1)A 和直线:320l x y -+=；①求l 的一个法向量； ②求点A 到直线l 的距离.【答案】（1）121212211()2x x y y x y x y +++；（2）①法向量(7,5)n =-739【解析】 【分析】（1）利用定义求出()1212121212a b x x y y x y y x ⋅=+++ （2）①先求出l 的方向向量为()13d =，，由0n d ⋅=得法向量 ②利用向量投影公式求解即可 【详解】（1）由已知60θ=︒，11(,)a x y ，22(,)b x y ，则1122a x i y j b x i y j =+=+，，且1602i j cos ︒⋅==， 则()()112212121212a b x i y j x i y j x x y y x y y x i j ⋅=+⋅+=+++⋅=()1212121212x x y y x y y x +++ ∴()1212121212a b x x y y x y y x ⋅=+++；（2）①直线l 的方程可变形为：0213x y --=，直线l 的方向向量为()13d =，； 设法向量为()n a b =，，由0n d ⋅=得，()157330222a b a b a b +++=+=；令a ＝﹣7，则b ＝5，()75n =-，； ②取直线l 上一点B （0，2），则()21BA =-，，所求为21917739(75)BA n i j ni j ⋅-+⋅==-+．【点睛】考查对斜坐标系的理解，共线向量基本定理，以及平面向量基本定理，点到直线距离求法，直线的方向向量和法向量的概念．21.已知在平面直角坐标系中，(,0)n n A a ，(0,)n n B b （*n ∈N ），其中数列{}n a 、{}n b 都是递增数列. （1）若21n a n =+，31n b n =+，判断直线11A B 与22A B 是否平行；（2）若数列{}n a 、{}n b 都是正项等差数列，它们的公差分别为1d 、2d ，设四边形11n n n n A B B A ++的面积为n S （*n ∈N ），求证：{}n S 也是等差数列；（3）若2nn a =，n b an b =+（,a b ∈Z ），112b ≥-，记直线n n A B 的斜率为n k ，数列{}n k 前8项依次递减，求满足条件的数列{}n b 的个数.【答案】（1）不平行；（2）证明见解析；（3）9个. 【解析】 【分析】（1）确定A 1（3，0），B 1（0，4），A 2（5，0），B 2（0，7），求得斜率，可得A 1B 1与A 2B 2不平行；（2）因为{a n }，{b n }为等差数列，设它们的公差分别为d 1和d 2，则a n ＝a 1+（n ﹣1）d 1，b n ＝b 1+（n ﹣1）d 2，a n +1＝a 1+nd 1，b n +1＝b 1+nd 2，从而可得()111112n n n nn OA B OA B n n n n S SSa b a b ++++=-=-，进而可证明数列{S n }是等差数列； （3）求得002n n n nn n b b an bk a a -+==-=--，根据数列{k n }前8项依次递减，可得an ﹣a +b ＜0对1≤n ≤7（n ∈Z ）成立，根据数列{b n }是递增数列，故只要n ＝7时，7a ﹣a +b ＝6a +b ＜0即可，关键b 1＝a +b ≥﹣12，联立不等式60120a b a b a a b Z+⎧⎪+≥-⎪⎨⎪⎪∈⎩＜＞，作出可行域，即可得到结论．【详解】（1）由题意A 1（3，0），B 1（0，4），A 2（5，0），B 2（0，7）， 所以11404033A B k -==--， 22707055A B k -==--， 因为1122A B A B k k ≠，所以A 1B 1与A 2B 2不平行．（2）因为{a n }，{b n }为等差数列，设它们的公差分别为d 1和d 2， 则a n ＝a 1+（n ﹣1）d 1，b n ＝b 1+（n ﹣1）d 2，a n +1＝a 1+nd 1，b n +1＝b 1+nd 2由题意()111112n nn nn OA B OA B n n n n S S Sa b a b ++++=-=- 所以()()()1112111{12n S a nd b nd a n d ⎡⎤=++-+-⎣⎦[b 1+（n ﹣1）d 2]} ()12121112122d d n a d b d d d =++-， 所以()112121112122n S d d n a d b d d d +=+++，所以S n +1﹣S n ＝d 1d 2是与n 无关的常数， 所以数列{S n }是等差数列（3）因为A n （a n ，0），B n （0，b n ）， 所以002n n n nn n b b an bk a a -+==-=-- 又数列{k n }前8项依次递减， 所以()1111222n n n n n a n ban b an a bk k ++++++-+-=-+=＜0， 对1≤n ≤7（n ∈Z ）成立，即an ﹣a +b ＜0对1≤n ≤7（n ∈Z ）成立．又数列{b n }是递增数列，所以a ＞0，故只要n ＝7时，7a ﹣a +b ＝6a +b ＜0即可．又b 1＝a +b ≥﹣12，联立不等式60120a b a b a a b Z+⎧⎪+≥-⎪⎨⎪⎪∈⎩＜＞，作出可行域（如右图所示），易得a ＝1或2，当a ＝1时，﹣13≤b ＜﹣6即b ＝﹣13，﹣12，﹣11，﹣10，﹣9，﹣8，﹣7，有7个解； 当a ＝2时，﹣14≤b ＜﹣12，即b ＝﹣14，﹣13，有2个解，所以数列{b n }共有9个．【点睛】本题考查数列与解析几何的综合，考查等差数列的定义及线性规划知识，考查了分析问题解决问题的能力，综合性强．。
上海市2020〖人教版〗高一数学下册复习试卷第二学期期中考试高一数学试题
上海市2020年〖人教版〗高一数学下册复习试卷第二学期期中考试高一数学试题创作人：百里安娜 创作日期：202X.04.01 审核人： 北堂王会创作单位： 明德智语学校第Ⅰ卷一、 选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. sin120的值为（ ）A ．32B ．12C ．12-D ．32-２.下列角中终边与 330°相同的角是（ ）A. 30°B. - 30°C. 630°D.- 630° ３.如果αα αα cos 5sin 3cos 2sin +-= - 5，那么tan α的值为( )A.-2B. 2C. 1623D.-1623４.设0ω>,函数sin()23y x πω=++的图像向右平移32π个单位后与原图像重合,则ω的最小值是（ ）（A ）23 （B ）43 （C ） 32（D ） 35.在ABC △中，.,b AC c AB ==若点D 满足2BD DC =，则AD =（ ）A ．3132+ B ．3235-C ．3132-D ．3231+6.三棱柱的直观图和三视图（主视图和俯视图是正方形，左视图是等腰直角三角形）如图所示, 则这个三棱柱的全面积等于 ( ) A ．1242+ B ．622+ C ．842+ D ．4 7.已知函数(21,x f x a c =-<，且()()()f a f c f b >>，则下列结论中，必成立的是（ ）A ．0,0,0a b c <<<B ．0,0,0a b c <≥>C ．222a c +<D ．22a c -< ８．集合{}{},|),(,,|),(a y x y x M R y R x y x U <+=∈∈={},)(|),(x f y y x P ==现给出下列函数：①x a y =，②x y a log =，③()sin y x a =+，④cos y ax =，若10<<a 时，恒有,P M C P U = 则所有满足条件的函数)(x f 的编号是．Ａ ①② Ｂ ①②③ Ｃ ④ Ｄ ①②④第Ⅱ卷二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分） ９、过点（1，2）且与直线210x y --=平行的直线方程为．10、若函数()()()2213f x a x a x =-+-+是偶函数，则函数()f x 的单调递减区间为． 11、若212a y a x-=⋅是幂函数，则该函数的值域是__________.12、已知2,1==b a ，a 与b 的夹角为3π，那么b a b a -⋅+=13、在ABC ∆中，,45,2,0===B b x a 若三角形有两解，则x 的取值范围是 14、对于函数()f x ，在使()f x M ≥恒成立的所有常数M 中，我们把M 的最大值称为()f x 的＂下确界＂，则函数x x x x f cos sin 32cos 2)(2+=的＂下确界＂等于_________.22主视图左视图 俯视图2三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15、（本题满分12分）已知向量=( )cos ,sin αα， =( )cos ,sin ββ．（1）当2,65πβπα-==时，求b a ⋅的值。
上海高一数学下学期期中考试试卷含答案(共5套)
上海市高一年级第二学期期中数学试卷一、填空题1. 已知角α的顶点在坐标原点，始边在x 轴的正半轴上，其终边上有一点(5,12)P -，sec α=____________.2. 求值：3arccos 2⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭=____________. 3. 已知扇形的圆心角为2弧度，面积为9cm 2，则该扇形的弧长为____________cm. 4. 若3sin 5α=，且,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan α=____________. 5. 函数22sin 6y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期为____________. 6. 若1cos cos sin sin 3x y x y +=，则cos(22)x y -=____________. 7. 函数sin arcsin y x x =+的值域是____________. 8. 关于x 的方程2cos sin 0x x a ++=在0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上有解，则a 的取值范围是____________.9. 设函数22(sin 1)()sin 1x f x x +=+的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=____________.10. 已知sin 3sin 6παα⎛⎫=+⎪⎝⎭，则tan 12πα⎛⎫+⎪⎝⎭=____________. 11. 已知ABC V ，若存在111A B C V ，满足111cos cos cos 1sin sin sin A B CA B C ===，则称111A B C V 是ABC V 的一个“对偶”三角形，若等腰ABC V 存在“对偶”三角形，则其底角的弧度数为____________. 12. 已知函数cos()y k kx =在区间,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，则实数k 的取值范围为____________.二、选择题13. 方程tan 2x =的解集是（ ） A. {}|2arctan 2,x x k k Z π=+∈ B. {}|2arctan 2,x x k k Z π=±∈C. {}|arctan 2,x x k k Z π=+∈D. {}|(1)arctan 2,k x x k k Z π=+-⋅∈14. 已知函数sin()(0,0)y A x m A ωϕω=++>>的最大值为4，最小值为0，最小正周期为2π，直线3x π=是其图像的一条对称轴，则符合条件的函数解析式是（ ）A. 4sin 46y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B. 2sin 223y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭C. 2sin 423y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭B. 2sin 426y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭15. 函数2sin 2,[0,]6y x x ππ⎛⎫=-∈⎪⎝⎭的递增区间是（ ）A. 0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. ,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦16. 已知,,αβγ是某三角形的三个内角，给出下列四组数据： ①sin ,sin ,sin αβγ；②222sin ,sin ,sin αβγ；③222cos ,cos ,cos 222αβγ；④tan,tan,tan222αβγ分别以每组数据作为三条线段的长，其中一定能构成三角形的有（ ） A. 1组B. 2组C. 3组D. 4组三、解答题17. 设0,,,362πππαβ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且,αβ满足5cos 82ααββ⎧+=⎪+=（1）求cos 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；（2）求cos()αβ+的值18. 如图，等腰三角形ABC 中，B C ∠=∠，D 在BC 上，BAD ∠大小为α，CAD ∠大小为β. （1）若,43ππαβ==，求BDDC； （2）若1,23BD DC πβα==+，求B ∠19. 某景区欲建两条圆形观景步道12,M M （宽度忽略不计），如图所示，已知AB AC ⊥，60AB AC AD ===（单位：米），要求圆M 与,AB AD 分别相切于点,B D ，圆2M 与,AC AD 分别相切于点,C D . （1）若3BAD π∠=，求圆12,M M 的半径（结果精确到0.1米）（2）若观景步道12,M M 的造价分别为每米0.8千元与每米0.9千元，则当BAD ∠多大时，总造价最低？最低总造价是多少？（结果分别精确到0.1°和0.1千元）20. 在ABCV 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c . 已知)cos cos B BC C --4cos cos B C =.（1）求角A 的大小；（2）若2a =，求ABC V 面积的取值范围；（3）若sin sin B p C =，试确定实数p 的取值范围，使ABC V 是锐角三角形.21. 已知集合P 是满足下述性质的函数()f x 的全体：存在非零常数M ，对于任意的x R ∈，都有()()f x M Mf x +=-成立.（1）设函数(),()sin f x x g x x π==，试判断(),()f x g x 是否为集合P 中函数，并说明理由； （2）当1M =时，试说明函数()f x 的一个性质，并加以说明； （3）若函数()sin h x x P ω=∈，求实数ω的取值范围参考答案一、填空题 1.135 2.56π 3. 64. 34-5. π6. 79-7. sin1,sin144ππ⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦8. 5,14⎡⎤--⎢⎥⎣⎦9. 210. 4-+11.4π12. 30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦二、选择题 13. C 14. D15. C16. B三、解答题17. （1）35； （2）10-18. （1）3 （2）6π19. （1）1r =260(2r =； （2）54.1°；867.120. （1）3π； （2）(； （3）1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭21. （1）(),()f x P g x P ∈∈； （2）周期为2； （3）,k k Z ωπ=∈上海市高一下学期期中考试数学试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1. 已知角α的终边经过点(3P ，则与α终边相同的角的集合是 .2. 方程()lg 3lg 1x x -+=的解为x = .3.关于x 的方程12xa aπ+=-只有正实数解，则a 的取值范围是 . 4.若()11tan ,tan 32ααβ=+=，则tan β= .5．已知1sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 6.将函数sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上所有点向右平移6π个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变），则所得的图象的函数解析式为 . 7.若3sin cos 0αα+=，则21cos 2sin cos ααα+ .8.已知,A B 分别是函数()()2sin 0f x x x ωω=>在y 轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点，且2AOB π∠=，则该函数的最小正周期是 .9.在ABC ∆中，内角A,B,C 的对边分别是,,a b c ，已知ABC ∆的面积为31512,cos 4b c A -==-，则a 的值为 .10.已知函数()()sin cos 0,f x x x x R ωωω=+>∈，若函数()f x 在区间(),ωω-内单调递增，且函数()y f x =的图象关于直线x ω=对称，则ω的值为 .二、选择题：11．若sin 0α>，且tan 0α<，则角α的终边位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D.第四象限 12．下列结论错误的是 A.若02πα<<，则sin tan αα<B.若α是第二象限角，则2α为第一象限或第三象限角 C.若角α的终边经过点()()3,40P k k k ≠，则 4sin 5α=D.若扇形的周长为6，半径为2，则其中心角的大小为1弧度13．函数2312sin 4y x π⎛⎫=--⎪⎝⎭是 A.最小正周期为π的奇函数 B. 最小正周期为π的偶函数 C. 最小正周期为2π的奇函数 D. 最小正周期为2π的偶函数 14．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（,,A ωϕ为正常数）的最小正周期为π，当23x π=时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是A.()()()220f f f <-<B. ()()()022f f f <<-C. ()()()202f f f -<<D. ()()()202f f f <<- 三、解答题： 15. 已知tan 2.α=（1）求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值； （2）求2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值.16. 已知,,a b c 分别是ABC ∆内角A,B,C 的对边，且2sin 2sin sin .B A C = （1）若a b =，求cos B ；（2）设90,B =o，且a =ABC ∆的面积.17. 已知实数x 满足2411033903x x ---+=，且()22log log 2x f x =⋅ （1）求实数x 的取值范围；（2）求()f x 的最大值和最小值，并求此时x 的值.18.已知函数()22sin sin 6f x x x πωω⎛⎫=--⎪⎝⎭，,x R ω∈为常数，且112ω<<，函数()f x 的图象关于直线X π=对称.（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为,,a b c ，若311,54a f A ⎛⎫== ⎪⎝⎭，求ABC ∆的S 最大值.四．附加题19.甲、乙两人解关于x 的方程2log log 20x x b c ++=，甲写错了常数b ，得两根11,48，乙写错了常数c ，得两根1,642，求这个方程真正的根.20. 已知函数()()sin2xf x x R π=∈，任取t R ∈，若函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值为()M t ，最小值为()m t ，记()()()g t M t m t =-（1）求函数()f x 的最小正周期及对称轴方程； （2）当[]2,0t ∈-时，求函数()g t 的解析式； （3）设函数()(),28x kh x xH x x x k k -==-+-，其中k 为参数，且满足关于t 的不等式()40g t -≤有解，若对任意[)14,x ∈+∞，存在(]2,4x ∈-∞，使得()()21h x H x =成立，求实数k 的取值范围.上海高一第二学期期中考试数学试卷一. 填空题1. 已知角θ的终边在射线2y x =(0)x ≤上，则sin cos θθ+=2. 若32ππα<<1111cos22222α++=3. 函数2cos(3)5y x π=+的最小正周期为4. 在△ABC 中，若sin sin()1cos()cos 22A B B A ππ-=--，则△ABC 为 三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”） 5. 若3cos()5αβ+=，4cos()5αβ-=，则tan tan αβ= 6. 已知2sin 5x =-3()2x ππ<<，则x = （用反正弦表示） 7. 函数22sin 3sin 1y x x =-+，5[,]66x ππ∈的值域为8. 将函数cos2sin 2y x x =-的图像向左平移m 个单位后，所得图像关于原点对称，则实数m 的最小值为9. 若函数sin3cos3y x a x =+的图像关于9x π=-对称，则a =10. 若函数()sin f x x =和()cos()3g x x π=-定义域均是[,]ππ-，则它们的图像上存在个点关于y 轴对称11. 已知k 是正整数，且12017k ≤≤，则满足方程sin1sin 2sin k ︒︒︒++⋅⋅⋅+=sin1sin 2sin k ︒︒︒⋅⋅⋅⋅⋅⋅的k 有 个12. 已知函数()sin()f x A x B ωϕ=++，其中A 、B 、ω、ϕ均为实数，且0A >，0ω>，||2πϕ<，写出满足(1)2f =，1(2)2f =，(3)1f =-，(4)2f =的一个函数()f x = （写出一个即可）二. 选择题 13. 已知02πα-<<，则点(cot ,cos )αα在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 14. 下列函数中，既是偶函数又在(0,)π上单调递增的是（ ） A. tan ||y x = B. cos()y x =- C. sin()2y x π=- D. 3cos()2y x π=+ 15. 将函数sin(2)3y x π=-图像上的点(,)4P t π向左平移s (0)s >个单位长度得到点P '，若 点P '位于函数sin 2y x =的图像上，则（ ） A. 12t =，s 的最小值为6πB. t =，s 的最小值为6πC. 12t =，s 的最小值为3πD. 2t =，s 的最小值为3π16. 若α、[,]22ππβ∈-，且sin sin 0ααββ->，则下列结论中正确的是（ ）A. αβ>B. 0αβ+>C. αβ<D. 22αβ>三. 简答题 17.求证：sin(2)sin 2cos()sin sin αββαβαα+-+=.18.已知tan 2θ=-(,)42ππθ∈. （1）求tan θ的值；（2）求22cos sin 12sin()4θθπθ--+的值.19. 写出函数222sin cos y x x x x =+的值域、单调递增区间、对称轴方程、对称点坐标（只需写出答案即可），并用五点法作出该函数在一个周期内的图像.20. 已知集合{()|()(2)(1)}A f x f x f x f x =++=+，()sin()3xg x π=.（1）求证：()g x A ∈；（2）()g x 是周期函数，据此猜想A 中的元素一定是周期函数，判断该猜想是否正确，并证明你的结论； （3）()g x 是奇函数，据此猜想A 中的元素一定是奇函数，判断该猜想是否正确，并证明你的结论.21. 已知函数()sin()f x x ωϕ=+(0,0)ωϕπ><<的最小正周期为π，其图像的一个对称 中心为(,0)4π，将函数()f x 图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图像向右平移2π个单位长度后得到函数()g x 的图像. （1）求函数()f x 与()g x 的解析式；（2）求实数a 与正整数n ，使得()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有2017个零点.参考答案一. 填空题1. sin 2α3. 23π4. 直角5. 176. 2arcsin5π+ 7. 1[,0]8- 8. 8π9. 3 10. 211. 11 12. 21()3sin()332f x x ππ=-+ 二. 选择题13. B 14. C 15. A 16. D三. 简答题 17. 略.18.（1）2； （2）3. 19. 值域：[2,2]-；递增区间：5[,]1212k k ππππ-+，k Z ∈；对称轴：526k x ππ=+，k Z ∈； 对称中心：(,0)23k ππ+，k Z ∈；作图：略. 20.（1）略； （2）是； （3）不是，反例：()cos()3f x x π=.21.（1）()cos2f x x =，()sin g x x =； （2）1a =，1345n =.上海市高一下学期数学期中考试试卷一、填空题1.幂函数()x f 的图像经过点()4273，，则()x f 的解析式是 . 2.若角α的终边上一点)0)(4,3≠-a a a P （，则cos α= . 3.若扇形的圆心角为3π，则扇形的内切圆的面积与扇形面积之比为 . 4.已知点(tan ,cos )P αα在第三象限，则角α的终边在第 象限.5.已知(()sin 5πα-=α在第二象限角，则 tan α= . 6.已知3sin 5α=，α在第二象限，则tan 2α= .7.求值：tan tan(60)tan(60)θθθθ+︒-︒-= . 8.已知3sin(2)65x π+=，[,]42x ππ∈，则cos 2x = . 9.在ABC ∆中，222sin sin sin sin sin B A C A C +≥+，则角B 的最小值是 . 10.ABC ∆的内角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、，已知A c C a cos 2cos 3=，31tan =A ，则B = .11.已知函数()1()2xf x =，()12log g x x =，记函数()()()⎩⎨⎧=x f x g x h ()()()()x g x f x g x f ＞≤，则函数()()5-+=x x h x F 所有零点的和为 .12. 如果满足︒=45B ，10=AC ，k BC =的ABC ∆恰有一个，则实数k 的取值范围是 .二、选择题13. 2πθ=“”是“x x cos )sin(=+θ”成立的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件的值等于（ ）A. 2cosB. 21cos C. 2cos - D.21cos - 15.ABC ∆中，三边长分别为x 、y 、z ，且222x y z +=，则ABC ∆的形状为（ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 无法判断16. 设函数()x x x f x a b c =+-，其中0,0＞＞＞＞b a a c ，若a b c 、、是ABC ∆的三条边长，则下列结论中正确的是（ ）①存在x R +∈，使xa 、xb 、xc 不能构成一个三角形的三条边 ②对一切()1,∞-∈x ，都有()0＞x f③若ABC ∆为钝角三角形，则存在()2,1∈x ，使()0=x fA.①②B. ①③C.②③D. ①②③三、解答题17.已知α为第二象限角，化简212sin(5)cos()33sin()1sin ()22πααπαππα+-----+．18.已知113cos ,cos()714ααβ=-=，且02πβα＜＜＜，求：（1）tan 2α；（2）βcos ． 19.如图，D C 、是两个小区所在地，D C 、到一条公路AB 的垂直距离分别为km DB km CA 2,1==，AB 两端之间的距离为km 6.（1）某移动公司将在AB 之间找一点P ，在P 处建造一个信号塔，使得P 对C A 、的张角与P 对D B 、的张角相等，试确定点P 的位置；（2）环保部门将在AB 之间找一点Q ，在Q 处建造一个垃圾处理厂，使得Q 对D C 、所张角最大，试确定点Q 的位置.20.若函数()x f 定义域为R ，且对任意实数12,x x ，有1212()()()f x x f x f x ++＜，则称()x f 为“V 形函数”，若函数()x g 定义域为R ，函数()0＞x g 对任意R x ∈恒成立，且对任意实数12,x x ，有[][][]1212lg (lg ()lg ()g x x g x g x ++＜，则称为“对数V 形函数” .（1）试判断函数()2f x x =是否为“V 形函数”，并说明理由；（2）若()1()2xg x a =+是“对数V 形函数”，求实数a 的取值范围；（3）若()x f 是“V 形函数”，且满足对任意R x ∈，有()2＞x f ，问()x f 是否为“对数V 形函数”？证明你的结论．21.（1）若直角三角形两直角边长之和为12，求其周长p 的最小值；（2）若三角形有一个内角为7cos 9α=，周长为定值p ，求面积S 的最大值； （3）为了研究边长c 、、b a 满足3489≥≥≥≥≥≥c b a 的三角形其面积是否存在最大值，现有解法如下：S ∆=（其中)(21c b a p ++=， 三角形面积的海伦公式）， ∴216)()()()S a b c a b c a b c a b c =+++--+-++（ ()()2222[][]a b c c a b =+---42222222()()c a b c a b =-++--()222222[]4c a ba b=--++，而2222[()]0c a b --+≤，281a ≤，264b ≤，则36≤S ，但是，其中等号成立的条件是222,9,8c a b a b =+==，于是2145c =与43≤≤c 矛盾，所以，此三角形的面积不存在最大值．以上解答是否正确？若不正确，请你给出正确的答案．试卷答案一、填空题1. ()34f x x=2. 35± 3.2:3 4. 二 5. 12- 6. 39. 3π 10.34π11. 512. (0,10]{k ∈U二、选择题13. A 14. C 15. A 16. D三、解答题17.【解析】原式sin cos 1cos sin αααα-==--18. 【解析】（1）1cos tan 7αα=⇒=22tan tan 21tan 14847ααα===--- （2）[]cos cos ()βααβ=--cos cos()sin sin()ααβααβ=-+-11317147142=⨯+⨯= 19.【解析】（1）张角相等，∴2:1::==DB CA PB AP ，∴4,2==PB AP (2)设AQ =x ，∴6QB x =-，∴tan C x =，6tan 2x D -=，tan tan tan tan()1tan tan C D C D C D θ+=+=-2662x x x +=-+，设6+=x t ，)6,0(∈x ，2tan 1874tt t θ=-+，(6,12)t ∈， ∴1tan 7418t tθ=∈+-(,(3,)-∞+∞U，(arctan 3,θπ∈-， 当且仅当74=t 时，等号成立，此时674-=x ，即674-=AQ20.【解析】（1）()()21212f x x x x +=+，221212()()f x f x x x +=+，当1x 、2x 同号时，()2221212x x x x +>+，不满足1212()()()f x x f x f x ++＜，∴不是“V 形函数”（2）1()()02xg x a =+＞恒成立，∴0≥a ，根据题意，1212()()()g x x g x g x +⋅＜恒成立， 即1212111()()][()]222x x x x a a a ++++＜[，去括号整理得12111[()()]22x x a >-+，∴1a ≥（3）1122()()()f x f f x x x +<+，∵()12f x >，∴1()11f x ->，同理2()11f x ->， ∴12[()1][()1]1f x f x -->，去括号整理得1212()()()()f x f x f x f x +＞，∴1212()()()f x x f x f x +＜，[][][]1212lg ()lg ()lg ()f x x f x f x ++＜，是“对数V 形函数”21.【解析】（1）设两直角边为b a 、=≥=∴12P a b =++2612+（2）设夹α的两边为b a 、，则第三边b a p --，∴222()7cos 29a b p a b ab α+---==，∴223218189369ab ap bp p p =+-≥，∴0)38)(34(≥--p ab p ab ，∵0)34＜（p ab -，∴038≤-p ab ，即2964ab p ≤，22119sin 2296432S ab p p α=≤⨯=，即面积最大值为232p （3）不正确，∵海伦公式三边可互换， ∴22222222216[()]44S a c b c b c b =--++≤，即2164166416S S ≤⨯⨯≤，，此时22280a b c =+=，a =16上海市高一第二学期期中考试试卷数学一、填空题（共10题，每题5分，满分50分）1、已知)cos ,(tan ααP 在第三象限，则角α的终边在第_____象限2、若扇形的弧长为cm 4，面积为24cm ，则该扇形的圆心角的弧度数是_____3、已知534sin =⎪⎭⎫⎝⎛-x π，则x 2sin 的值为______ 4、若要将函数⎪⎭⎫⎝⎛+=32sin πx y 的图像向右平移)0(>m m 个单位，从而得到函数x y 2sin =的图像，则m 的最小值为_____5、已知α是第三象限的角，若2tan =α，则)cos(2sin απαπ--⎪⎭⎫⎝⎛+=______ 6、若函数x a x x f 2cos 2sin 3)(+=的图像关于直线8π-=x 对称，则实数a =_____7、已知等腰三角形的顶角大小为⎪⎭⎫⎝⎛-257arccos ，则该三角形底角的正弦值为_____ 8、已知函数)0,0,0(),sin()(πϕωϕω≤≤>>+=A x A x f 的部分图像如图所示，则)(x f y =的解析式是)(x f =_________9、给出函数|cos 2|cos )(x x x f +=，有以下四个结论：①该函数的值域为]3,0[；②当且仅当)(Z k k x ∈=π时，该函数取得最大值；③该函数的单调递增区间为)(,2Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ；④当且仅当31<<m 时，方程m x f =)(在π20<<x 上有两个不同的根，且这两个根的和为π2。
上海市2020学年高一数学下学期期中试题(含解析)
高一数学下学期期中试题（含解析）一. 填空题1.求值：arccos0=________【答案】2π【解析】【分析】设arccos0=x,x∈[0,]π，直接利用反三角函数求解. 【详解】设arccos0=x,x∈[0,]π，所以cos0,2x xπ=∴=. 故答案为：2π【点睛】本题主要考查反三角函数求值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.2.一个扇形的弧长和面积都是5，则这个扇形的圆心角大小是________弧度【答案】52【解析】【分析】设扇形的半径为R,圆心角是α，再根据已知得方程组，解方程组即得解. 【详解】设扇形的半径为R,圆心角是α，所以15=5 25RRα⎧⋅⋅⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,所以5 =2α.故答案为：5 2【点睛】本题主要考查扇形的面积和圆心角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.3.函数arcsin tan 2y x x =+的定义域是________ 【答案】[1,)(,)(,1]4444ππππ---U U 【解析】【分析】 解不等式11,2,2x x k k Z ππ-≤≤⎧⎪⎨≠+∈⎪⎩即得解. 【详解】由题得11,2,2x x k k Z ππ-≤≤⎧⎪⎨≠+∈⎪⎩所以x ∈[1,)(,)(,1]4444ππππ---U U . 故函数的定义域为[1,)(,)(,1]4444ππππ---U U 故答案为：[1,)(,)(,1]4444ππππ---U U 【点睛】本题主要考查函数定义域的求法，考查反三角函数和正切函数的定义域，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.4.函数tan()3y x π=-的周期为________ 【答案】π【解析】【分析】 由题得函数tan()3y x π=-的最小正周期为π，再利用图像得到函数tan()3y x π=-的周期. 【详解】由题得函数tan()3y x π=-的最小正周期为π， 函数tan()3y x π=-就是把函数tan()3y x π=-的图像在x 轴上的保持不变，把x 轴下方的图像对称地翻折到x 轴上方，如图，所以函数tan()3y x π=-的周期为π.故答案为：π 【点睛】本题主要考查函数的周期，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.5.函数sin()y A x ωϕ=+（0A >，0>ω）的振幅是3，最小正周期是25π，初相是2，则它的解析式为________【答案】3sin(52)y x =+【解析】【分析】根据函数的性质求出,,A w ϕ，即得函数的解析式.【详解】因为函数sin()y A x ωϕ=+（0A >，0>ω）的振幅是3，所以A=3. 因为函数的最小正周期是25π，所以22=,55w wππ∴=. 因为函数的初相是2，所以=2ϕ.所以函数的解析式为3sin(52)y x =+.故答案为：3sin(52)y x =+【点睛】本题主要考查三角函数解析式的求法和三角函数的图像性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.6.某数学大会会徽的主体图案是由一连串直角三角形演化而成的(如图)，其中11223781OA A A A A A A ===⋯==，记1OA ，2OA ，3OA ，…，8OA 的长度构成的数列为{}()*,8n a n N n ∈≤，则{}n a 的通项公式n a =__________.()*,8n N n ∈≤【答案】n a n 【解析】根据题意：OA 1=A 1A 2=A 2A 3=…=A 7A 8=1∴2211n n a a -=+，∴{}2n a 是以1为首项，以1为公差的等差数列 ∴2,n n a n a n =点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．7.已知数列{}n a 中，12a =，25a =，212n n n a a a +++=，则100a =________【答案】299【解析】【分析】由212n n n a a a +++=得数列是等差数列，再求出等差数列的通项公式，再求解.【详解】因为212n n n a a a +++=，所以数列{}n a 是等差数列，因为12a =，25a =，所以公差3d =.所以2(1)331n a n n =+-=-，所以1003001299a =-=.故答案为：299【点睛】本题主要考查等差数列的判断和通项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.8.在ABC ∆中，3,3sin 2sin AC A B ==，且1cos 4C =，则AB =____________【解析】【分析】根据正弦定理求出BC ，再利用余弦定理求出AB . 【详解】由正弦定理可知：sin sin AC BC B A=，又3sin 2sin A B = sin 22sin 3AC A BC AC B ⋅⇒=== 由余弦定理可知：22212cos 94232104AB AC BC AC BC C =+-⋅=+-⨯⨯⨯=AB ∴=【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形问题，属于基础题.9.关于x 的方程(sin 1)(cos 1)0x x m ++-=恒有实数解，则m 的取值范围是________【答案】 【解析】先化简原方程得sin cos sin cos =1x x x x m ++-，再换元得到22121==122t t t t m -+-+-，再利用方程有解得到m 的取值范围.【详解】由题得sin cos sin cos 10x x x x m +++-=，所以sin cos sin cos =1x x x x m ++-，设sin cos ),[4x x x t t π+=+=∈ 所以21sin cos 2t x x -=， 所以22121==122t t t t m -+-+-，由题得221,[2t t y t +-=∈的值域为1[1,]2+-， 因为关于x 的方程(sin 1)(cos 1)0x x m ++-=恒有实数解，所以1112m -≤-≤，所以0m ≤≤.故答案为：3[0,2+ 【点睛】本题主要考查方程的解的问题，考查同角的正弦余弦的关系和三角函数的值域的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.10.中国古代数学名著《九章算术》中“竹九节”问题曰：“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升，问中间两节欲均容各多少？”其意为：“现有一根9节的竹子，自上而下的容积成等差数列，下面3节容量为4升，上面4节容积为3升，问中间2节各多少容积？”则中间2节容积合计________升 【答案】4722【分析】根据题意题意设九节竹至下而上各节的容量分别为1a ，2a ，⋯，n a ，公差为d ，利用等差数列的前n 项和公式和通项公式列出方程组，求得首项和公差，再计算中间两节4a 、5a 的值，再求中间2节总容积.【详解】根据题意，九节竹的每一节容量变化均匀，即其每一节的容量成等差数列， 设至下而上各节的容量分别为1a ，2a ，⋯，n a ，公差为d ，分析可得：123678943a a a a a a a ++=⎧⎨+++=⎩， 解可得19566a =，766d =-， 则49574831666666a d =+==（升)， 59567141666666a d =+==（升)． 故中间两节的总容积为813471+1=2=66662222. 故答案为：4722【点睛】本题考查等差数列的前n 项和的计算，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．二. 选择题题11.已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 分别满足下列各式，其中数列{}n b 必为等差数列的是（ ）A. ||n n b a =B. 2n n b a =C. 1n n b a =D.2n n a b =- 【答案】D【解析】【分析】对每一个选项逐一分析判断得解.【详解】设数列{}n a 的公差为d ，选项A,B,C,都不满足1n n b b --=同一常数，所以三个选项都是错误的；对于选项D ，1112222n n n n n n a a a a d b b -----=-+==-, 所以数列{}n b 必为等差数列.故选：D【点睛】本题主要考查等差数列的判定和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.12.下列等式中正确的是（ ） A. cos(arccos )33ππ= B. 1arccos()1202-= C. arcsin(sin)33ππ=D. arctan 24π= 【答案】C【解析】 【分析】 利用反三角函数对每一个选项逐一分析判断得解.【详解】选项A,cos arc x 中x [1,1]∈-,而cos3arc π是错误的，所以该选项错误； 选项B, 12arccos()23π-=,所以该选项是错误的； 选项C,arcsin(sin ),33ππ==，所以该选项是正确的； 选项D, arctan144ππ=≠,反正切函数是定义域上的单调函数，所以该选项是错误的. 故选：C【点睛】本题主要考查反三角函数，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.13.若将函数()tan 04y x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向右平移6π个单位长度后，与函数tan 6y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像重合，则ω的最小值为 A. 16 B. 14 C. 13 D. 12【答案】D【解析】函数tan()(0)4y x πωω=+>的图像向右平移6π个单位得tan[()]tan()6464y x x ππωππωω=-+=-+，所以,646k k Z ωππππ-+=+∈ 16,2k k Z ω=-+∈，所以ω得最小值为12。