工期网络图的时间——费用优化

时间——费用优化路（在图上用双色线或色笔标出），并计算出工期。

（2）接（1），如果考虑外部影响导致每项活动作业时间发生的随机波动（见表1中悲观时间和乐观时间所在列），那么该项目完工概率要达到90%以上，则该工程工期不低于多少天？（3）接（1）。

施工单位经分析后，考虑有些工作可适当赶工（见最短时间所在列），并估算出各工作每赶工1天所需增加的费用（直接费率，见表1最后一列），间接费用为每天9百元。

给出增加赶工费最少的方案（要求写出每步调整的工作，调整的天数及最后方案的网络计划，并在最后方案的网络计划中标出关键线路）。

（4）请建立第（3）问对应的线性规划模型。

解：（1）以各工作的正常作业期望时间为工序时间，绘制网络图如下：双代号网络图的绘图原则如下：（1）网络图是有方向的，不允许出现回路，不允许出现从右到左的箭头。

（2）直接连接两个相邻节点之间的活动只能有一个，如果实在要表示并列关系可用虚工序。

（3）箭线首尾必有节点，不能从箭线中间引出另一条箭线。

（4）网络图必须只有一个网络始点和一个终点。

（5）各项活动之间的衔接必须按逻辑关系（紧前关系、紧后关系）进行。

（6）事件节点采用数字编号，在同一网络图中不允许重复使用，每条箭线箭头节点的编号（J ）必须大于其箭尾节点的编号（I ）。

（7）尽量避免箭线交叉（采用过桥法或指向处理法）。

（8）标注出各项工作的准确历时或时间期望值。

（9）虚工序用虚箭线表示，仅表达一种工作顺序的先后依赖关系，有两种作用：①如果a 工序到b 工序之间顺着箭头方向仅隔一个虚工序，则a 仍是b 的紧前活动。

②如果a 、b 、c 三个活动共用一个开始节点i ，则可用虚工序表示这三个活动并行展开且三者都是末端活动。

各活动的正常作业期望时间t i =(a i +4m i +b i )/6，方差σ2i =(b i -a i )2/36，计算见表1第7、8列。

以活动M 为例，计算如下：t 5=(a 5+4m 5+b 5)/6=(3+4×10+11)/6=9，σ25=(11-3)2/36=16/9。

用图上计算法求出各事件时间参数，然后再求出各工作时间参数，计算结果如上图所示。

其中总时差为0的活动组成关键路线（如上图红色箭线所示）：①→②…→④→⑤→⑥→⑦；该项目期望完工工期为22天。

（提问：某工序开始节点和结束节点的最早时间与最迟时间相等，它就一定是关键活动吗？答：不一定。

比如图中的G 活动满足该条件但不是关键活动。

）（2）该工程按期望时间完工的工期T E ＝22天，等于各关键活动期望完工时间之和=4+0+9+6+3)。

期望总工期的均方差。

假设工程工期T k 服从正态分布N(22,1.7950552)，则完工的概率保证不小于90%的计算表达式为：。

计算得到，T k ≥24.3≈25(天)（3）直接费用率K i =(f i -l i )/(t i -tt i ),如A 的直接费用率K 1=(16-4)/(4-2)=6百元/天。

时间——费用优化方法：【优化原则】优化时，首先选择赶工费用率最低的关键活动进行赶工，非关键活动不需要赶工因为还可利用总时差；每赶工1天（单独某活动赶工或者各关键活动同时赶工）增加的直接费用不超过单位间接费用，否则不值得赶工（原则1和原则4得以反映）。

每一次允许的压缩时间以符合以下全部原则为限度。

原则1：该关键活动赶工费用率不大于单位间接费用，否则不值得压缩； 原则2：关键活动实际压缩时间不大于自身赶工可压缩时间极限； 原则3：压缩允许时间不大于关键路线与次关键路线的工期之差。

（理由：优化只能使关键路线增多，而不能使之越来越少）；原则4：须同时压缩的各并列关键活动赶工费用率之和不大于单位间接费用，并且不超过各并列关键活动的赶工压缩时间极限。

第一步：在关键路线上，直接费用率最低的工作是E （2=min(6,2）<9，原则1)，它自身可以赶工2天（=6-4，原则2）。

次关键路线是①→③…→④→⑤→⑥→⑦和①→②…→④→⑤→⑦，时间长度都为21，决定了关键路线这一步只能赶工1天（=22-21，原则3）。

因此，工作E 赶工 1天(=min(1,2))，剩余赶工时间为1天（=2-1）。

这时，关键路线变为两条：①→②…→④→⑤→⑥→⑦，①→②…→④→⑤→⑦，工期都为21天，工作G 的1天时差用完而成为关键活动；次关键路线为①→③…→④→⑤→⑥→⑦和①→③…→④→⑤→⑦，时间长度都为20天。

第二步：在上一步赶工以后得到的两条关键路线上，直接费率最低的工作仍是E （2=min(6,2,3）<9原则1)，其并列关键活动G 自身允许赶工1天（=8-7，原则4后半句），因此E 和G 同时赶工（2+3<9, 原则4前半句）1天(=min(1(原则2),8-7,21-20（原则3）))，之后E 不能再赶工（0=1-1）； G 不能再赶工。

这时，关键路线仍为①→②…→④→⑤→⑥→⑦，①→②…→④→⑤→⑦，工期都为20天。

次关键路线为①→③…→④→⑤→⑥→⑦K E K E T T T 22P(U)P()P()0.91.795055--==≥σE 1.795055σ和①→③…→④→⑤→⑦，时间长度都为19天。

第三步：在上一步赶工以后得到的两条关键路线中，工作E 、G 、H 、M 、②…→④都不能再赶工，唯有工作A 可以赶工（6<9，原则1)，它自身可以赶工2天(=4-2,原则2)，但次关键路线决定了它只能赶工1天(=min(4-2,20-19（原则3）))，之后A 的赶工时间还剩余1天（=2-1）。

这之后，关键路线变为四条：①→②…→④→⑤→⑥→⑦、①→②…→④→⑤→⑦、①→③…→④→⑤→⑥→⑦以及①→③…→④→⑤→⑦，工期都为19天。

次关键路线为两条：①→②→⑤→⑥→⑦和①→②→⑤→⑦，时间长度都为15天。

第四步：在上一步赶工以后得到的四条关键路线中，工作E 、G 、H 、M 、②…→④、③…→④都不能再赶工，关键A 和B 同时赶工(6<9，3<9原则1；6+3=9,原则4前半句)1天（=min(1(原则2),3-2(原则4后半句)，19-15（原则3））)，则总费用不变但工期缩短了。

赶工以后，关键路线仍是上一步中所述的那四条。

第五步：在四条关键路线中，所有关键活动都不能再赶工，所以优化过程结束。

综上所述，在第四步赶工优化以后，各工作的正常工作时间（同原始数据）和赶工后的实际工作时间（见括号中的数字），以及4条关键路线(见图中红色箭线)如下图所示。

由于赶工导致直接费用增加额＝(4-2)×6+(3-2)×3+(6-4)×2+(8-7)×3=22(百元)，导致间接费用节约额＝(22-18)×9=36(百元)，所以该项目的总费用降低了14百元(=36-22)。

因此，优化后的总费用TC 1=TC 0-14=22×9+Σl i -14=198+(4+1+2+2+12+3+5+6)-14=219（百元）。

（4）设节点i 的实际开始时间为第t j +1天初，t 7为项目的最早完成时刻；设工序（i →j ）实际的赶工压缩时间为y ij 天。

()712132536565717211212311313522525633636422443345445456556min 9632234122123560,224,423,32,5,60,00,0..9,99 ≤≥≤-≥≤-≥5≤-4≥6≤-4≥≥≥≤-≥z t y y y y y y t t t t y y t t y y t t y y t t y y t t y t t y s t t t y y t t y =++++++++++++++=---------=-=----()()567557577667676,66,83,301,2,,70≤-4≥≤-7≥≤-3≥≥和取值见上述条件中出现过的变量jijy t t y y t t y y t j y i j ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪--⎪--⎪⎪=⎪⎪⎩L③④M 9 H 3 G 8(7)E 6(4) D 6C53(2) B 4(2)A② ① ⑥⑤ ⑦习题2：要求：1.请画出该工程的工期网络图（试题比本题略复杂，考单代号网络图绘制）。

2.在图上求出所有事件、活动的各种时间参数（自由时差可以不求），以图例标注各种参数符号。

3、请算出在12天以内完工的概率。

若完工概率不低于90%，则工期可为多少天？4.如果要求缩短两天，应该对哪些活动进行赶工？对上述赶工的经济效益进行分析。

（考试题还没有这一问难）时间参数的图例说明如下：其中，ES、EF、LS、LF、TF最早结束时间、总时差；DU表示工作历时；ID表示工作代号。

2、求解见图1或者图2。

关键路线由总时差为零的活动①→②、②┄→③、③→④组成（或者：开始→A→C→结束）。

正常工期11天。

3、×（这一问可能在选择题中考查，课本113-115页有相应的知识点）计算举例：表1中C活动的期望时间为6天，因为6=(4+4×5.5+10)/6；A活动时间方差：(6-4)2/36=1/9；C活动时间方差：(10-4)2/36=1由第2问已经求出了关键路线是①→②……→③→④，即关键活动是A活动、虚工序、C活动。

∴整条关键路线的时间方差σ2=σ2A+σ2C=1/9+1=10/9，于是其标准差为天。

关键路线的期望长度=A+0+C=5+6=11天。

因此，12天之内完工的概率P（t≤12）=P［］=P(0.9487)=82.86%（查正态分布表）；设x天之内完工的概率P［］=0.9，查正态分布表可得出=1.2816，因此x=1.2816×+11≈12.35≈13天。

4、第一步：次关键路线是①→②→④（或者：开始→A→D→结束），时间长度为10，决定了关键路线这一步最多只能赶工1天（=11-10）。

在关键路线上，活动A、C的直接费用率分别为600、300，但只有后者不超过间接费用率500，活动C可以赶工2天（=6-4）。

所以，活动C赶工 1天(=min(1,2))，剩余赶工时间为1天（=2-1）。

这时，关键路线变为两条：①→②→④（或者：开始→A→D→结束），①→②…→③→④（或者：开始→A→C→结束），工期都为10天，工作D的1天时差用完而成为关键活动；次关键路线为①→③→④（或者：开始→B→C→结束），时间长度为7天。

关键路线和次关键路线时差为3天。

第二步，在上一步赶工以后得到的两条关键路线上，D活动直接费率最低（100=min (300,100)），它可以赶工1天(=5-4)，其并列关键活动C还可赶工1天，而且若二者同时赶工直接费用率之和400(=100+300)不超过间接费用率500,因此D和C同时赶工1天(=min(3,5-4,6-1-4))，之后C和D都不能再赶工（0=1-1）。