工期网络图的时间——费用优化
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时间——费用优化
路(在图上用双色线或色笔标出),并计算出工期。
(2)接(1),如果考虑外部影响导致每项活动作业时间发生的随机波动(见表1中悲观时间和乐观时间所在列),那么该项目完工概率要达到90%以上,则该工程工期不低于多少天?
(3)接(1)。施工单位经分析后,考虑有些工作可适当赶工(见最短时间所在列),并估算出各工作每赶工1天所需增加的费用(直接费率,见表1最后一列),间接费用为每天9百元。给出增加赶工费最少的方案(要求写出每步调整的工作,调整的天数及最后方案的网络计划,并在最后方案的网络计划中标出关键线路)。
(4)请建立第(3)问对应的线性规划模型。
解:(1)以各工作的正常作业期望时间为工序时间,绘制网络图如下:
双代号网络图的绘图原则如下:
(1)网络图是有方向的,不允许出现回路,不允许出现从右到左的箭头。
(2)直接连接两个相邻节点之间的活动只能有一个,如果实在要表示并列关系可用虚工序。
(3)箭线首尾必有节点,不能从箭线中间引出另一条箭线。
(4)网络图必须只有一个网络始点和一个终点。
(5)各项活动之间的衔接必须按逻辑关系(紧前关系、紧后关系)进行。
(6)事件节点采用数字编号,在同一网络图中不允许重复使用,每条箭线箭头节点的编号(J )必须大于其箭尾节点的编号(I )。
(7)尽量避免箭线交叉(采用过桥法或指向处理法)。 (8)标注出各项工作的准确历时或时间期望值。
(9)虚工序用虚箭线表示,仅表达一种工作顺序的先后依赖关系,有两种作用:①如果a 工序到b 工序之间顺着箭头方向仅隔一个虚工序,则a 仍是b 的紧前活动。②如果a 、b 、c 三个活动共用一个开始节点i ,则可用虚工序表示这三个活动并行展开且三者都是末端活动。
各活动的正常作业期望时间t i =(a i +4m i +b i )/6,方差σ2i =(b i -a i )2/36,计算见表1第7、8列。以活动M 为例,计算如下:t 5=(a 5+4m 5+b 5)/6=(3+4×10+11)/6=9,σ25=(11-3)2/36=16/9。
用图上计算法求出各事件时间参数,然后再求出各工作时间参数,计算结果如上图所示。其中总时差为0的活动组成关键路线(如上图红色箭线所示):①→②…→④→⑤→⑥→⑦;该项目期望完工工期为22天。(提问:某工序开始节点和结束节点的最早时间与最迟时间相等,它就一定是关键活动吗?答:不一定。比如图中的G 活动满足该条件但不是关键活动。)
(2)该工程按期望时间完工的工期T E =22天,等于各关键活动期望完工时间之和
=4+0+9+6+3)。期望总工期的均方差
。假设工程工期T k 服
从正态分布N(22,1.7950552
),则完工的概率保证不小于90%的计算表达式为:
。计算得到,T k ≥24.3≈25(天)
(3)直接费用率K i =(f i -l i )/(t i -tt i ),如A 的直接费用率K 1=(16-4)/(4-2)=6百元/天。 时间——费用优化方法:
【优化原则】优化时,首先选择赶工费用率最低的关键活动进行赶工,非关键活动不需要赶工因为还可利用总时差;每赶工1天(单独某活动赶工或者各关键活动同时赶工)增加的直接费用不超过单位间接费用,否则不值得赶工(原则1和原则4得以反映)。每一次允许的压缩时间以符合以下全部原则为限度。
原则1:该关键活动赶工费用率不大于单位间接费用,否则不值得压缩; 原则2:关键活动实际压缩时间不大于自身赶工可压缩时间极限; 原则3:压缩允许时间不大于关键路线与次关键路线的工期之差。(理由:优化只能使关键路线增多,而不能使之越来越少);
原则4:须同时压缩的各并列关键活动赶工费用率之和不大于单位间接费用,并且不超过各并列关键活动的赶工压缩时间极限。
第一步:在关键路线上,直接费用率最低的工作是E (2=min(6,2)<9,原则1),它自身可以赶工2天(=6-4,原则2)。次关键路线是①→③…→④→⑤→⑥→⑦和①→②…→④→⑤→⑦,时间长度都为21,决定了关键路线这一步只能赶工1天(=22-21,原则3)。因此,工作E 赶工 1天(=min(1,2)),剩余赶工时间为1天(=2-1)。这时,关键路线变为两条:①→②…→④→⑤→⑥→⑦,①→②…→④→⑤→⑦,工期都为21天,工作G 的1天时差用完而成为关键活动;次关键路线为①→③…→④→⑤→⑥→⑦和①→③…→④→⑤→⑦,时间长度都为20天。
第二步:在上一步赶工以后得到的两条关键路线上,直接费率最低的工作仍是E (2=min(6,2,3)<9原则1),其并列关键活动G 自身允许赶工1天(=8-7,原则4后半句),因此E 和G 同时赶工(2+3<9, 原则4前半句)1天(=min(1(原则2),8-7,21-20(原则3))),之后E 不能再赶工(0=1-1); G 不能再赶工。这时,关键路线仍为①→②…→④→⑤→⑥→⑦,①→②…→④→⑤→⑦,工期都为20天。次关键路线为①→③…→④→⑤→⑥→⑦
K E K E T T T 22P(U)P()P()0.91.795055--==≥σE 1.795055σ
和①→③…→④→⑤→⑦,时间长度都为19天。
第三步:在上一步赶工以后得到的两条关键路线中,工作E 、G 、H 、M 、②…→④都不能再赶工,唯有工作A 可以赶工(6<9,原则1),它自身可以赶工2天(=4-2,原则2),但次关键路线决定了它只能赶工1天(=min(4-2,20-19(原则3))),之后A 的赶工时间还剩余1天(=2-1)。这之后,关键路线变为四条:①→②…→④→⑤→⑥→⑦、①→②…→④→⑤→⑦、①→③…→④→⑤→⑥→⑦以及①→③…→④→⑤→⑦,工期都为19天。次关键路线为两条:①→②→⑤→⑥→⑦和①→②→⑤→⑦,时间长度都为15天。
第四步:在上一步赶工以后得到的四条关键路线中,工作E 、G 、H 、M 、②…→④、③…→④都不能再赶工,关键A 和B 同时赶工(6<9,3<9原则1;6+3=9,原则4前半句)1天(=min(1(原则2),3-2(原则4后半句),19-15(原则3))),则总费用不变但工期缩短了。赶工以后,关键路线仍是上一步中所述的那四条。
第五步:在四条关键路线中,所有关键活动都不能再赶工,所以优化过程结束。
综上所述,在第四步赶工优化以后,各工作的正常工作时间(同原始数据)和赶工后的实际工作时间(见括号中的数字),以及4条关键路线(见图中红色箭线)如下图所示。
由于赶工导致直接费用增加额=(4-2)×6+(3-2)×3+(6-4)×2+(8-7)×3=22(百元),导致间接费用节约额=(22-18)×9=36(百元),所以该项目的总费用降低了14百元(=36-22)。因此,优化后的总费用TC 1=TC 0-14=22×9+Σl i -14=198+(4+1+2+2+12+3+5+6)-14=219(百元)。
(4)设节点i 的实际开始时间为第t j +1天初,t 7为项目的最早完成时刻;设工序(i →j )实际的赶工压缩时间为y ij 天。
()7121325365657172112
12311313522525633636422443345445456556min 9632234122123560,22
4,42
3,32,5,60,00,0
..9,99 ≤≥≤-≥≤-≥5≤-4≥6≤-4≥≥≥≤-≥z t y y y y y y t t t t y y t t y y t t y y t t y y t t y t t y s t t t y y t t y =++++++++++++++=---------=-=----()()567557577667676,66,83,301,2,,7
0≤-4≥≤-7≥≤-3≥≥和取值见上述条件中出现过的变量j
ij
y t t y y t t y y t j y i j ⎧⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪
⎪⎪⎨⎪⎪
⎪⎪--⎪
--⎪⎪=⎪⎪⎩L
③
④
M 9 H 3 G 8(7)
E 6(4) D 6
C
5
3(2) B 4(2)
A
② ① ⑥
⑤ ⑦