高中数学必修二教案圆的标准方程

《圆的标准方程》教学设计

一、教材分析

1、教学内容

人教B版教科书《数学》必修2第二章平面解析几何初步中2﹒3节圆的方程。本节主要研究圆的标准方程、一般方程，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，以及他们在生活中的简单运用。

2、教材的地位与作用

圆是最简单的曲线之一，这节教材安排在学习了直线之后，学习三大圆锥曲线之前，旨在熟悉曲线和方程的理论为后继学习作好准备。同时有关圆的问题，特别是直线与圆的位置问题，也是解析几何中的基本问题，这些问题的解决为圆锥曲线问题的解决提供了基本的思想方法。应此教学中应加强练习，使学生确实掌握这单元的知识和方法。

本课是单元的第一课，和直线方程一样，教学中先设计一个问题情景，让学生讨论，并引导学生观察圆上点在运动时，不变的是什么，抓住圆的本质，突破难点。

3、三维目标

（1）知识与技能：掌握圆的标准方程的形式；能够根据题目给定条件求圆的标准方程；能够根据圆的标准方程找到圆心和半径。

（2）过程与方法：加深对数形结合思想和待定系数法的理解；增强应用数学的意识。

（3）情感、态度、价值观：培养主动探究知识、合作交流的意识，在体验数学美的过程中激发学习兴趣，从而培养勤于思考、勤于动手的良好品质。

4．教学重点

圆的标准方程的推导以及根据条件求圆的标准方程

5. 教学难点

根据条件求圆的标准方程。

二．教法分析

高一学生，在老师的引导下，已经具备一定探究与研究问题的能力。所以在设计问题时应考虑周全和灵活性，采用启发式探索式教学，师生共同探讨，共同研究，让学生积极思考，主动学习。

在教学过程中采用讨论法，向学生提供具备启发式和思考性的问题。因此，要求学生在课上讨论，提高学生的探索，推理，想象，分析和总结归纳等方面的能力。

三、学法分析

从高考发展的趋势看，高考越来越重视学生的分析问题、解决问题的能力。因此，要求学生在学习中遇到问题时，不要急于求成，而要根据问题提供的信息回忆所学知识，涉及到转化思想，数形结合的思想，应用平面解析几何的相关知识。

四、教学过程

教师活动：问题：圆的定义是什么？确定圆需要几个要素？

学生活动：学生回忆所学知识：①是平面内的点到定点的距离等于定长的点的集合

②确定圆的要素是定点（圆心）和半径

设计意图：通过回顾复习，让学生对本课有一个知识的准备。

教师活动：如果把一个圆放在坐标下，其方程有什么特征，如何写出这个圆的所在的方程，

设C （a ，b ）为圆心，r 为半径的圆。而M （x ，y ）为圆上的任意一点。

点与圆有几种位置关系

学生活动：学生讨论分析：根据定义圆上的点到圆心的距离为定长，老师引导我们通常建

立平面坐标系，画出圆的图象：

学生通过观察，分析得：

r = 即

222——x a y b r +=（）（） 老师总结：圆的标准方程

222——x a y b r +=（）（） ；222

x y r +=为单位圆 学生通过观察分析得，点与圆有3种位置关系

点在圆上，点到圆心的距离等于半径

点在圆内，点到圆心的距离小于半径

点在圆外，点到圆心的距离大于半径 设计意图：将几何知识用代数的式子表示出来是一个难点，所以老师要进行适当的引导，

采用师生共同探讨的教学方法

教师活动：预习自测

（1）写出下列圆的圆心坐标和半径；

6)1()4(22=-+-y x 222)3(-=+y x

222)(a y a x =+- 22(2)(1)4x y +++=

（2）写出圆心为(3,2)A ，半径长等于5的圆的方程

判断点123(7,5),(1,2),(8,3)M M M 与圆的位置关系。

学生活动 （1）口头回答

()(0,0),3(,0),(4,1),2,1 ,2r r a r a r ===--= (2)()()222225x y -+-=

三点分别在圆上，圆内，圆外

设计意图：学生对圆已有了初步的认识，进而掌握由圆的方程求圆心和半径；由圆心和半

径求圆的方程，并判断点与圆的位置关系

教师活动：例1.根据下列条件，求圆的方程：

(1)圆心在点C （-2,1），并过点A （2，-2）;

(2) 圆心在点C （1,3），并与直线3x-4y-6=0相切；

(

)30,121过点（）和点（，），

学生活动：学生分析并讲解

答案：（1）()()22

2125x y ++-=

（2）()()22139x y -+-= （3）()()()()22

221351+15

x y x y -+-=-+=或 设计意图：本例题比较简单，故采用学生讲解的方式，一方面调动了学生的积极性，另一

方面也锻炼了学生。 教师活动 例2．求下列条件所确定的圆的方程：

(1) 过点A(3，2)，圆心在直线y=2x 上，且与直线y=2x+5相切．

(2)已知圆心为C 的圆经过点(6,0)A 和(1,5)B ,且圆心在:2780l x y -+=上,

求圆心为C 的圆的标准方程.

教师结合图形点拨，最后和学生一起总结，掌握题目的本质。

学生活动：学生讨论探究：分7组讨论交流

（1）圆心在一条直线上，过一点且与一条直线相切；（2）过两点且圆心在一条直线上的圆的标准方程的求法，总结出求圆的标准方程的规律方法——几何法和代数法，做题时一定要注意数形结合。

讨论结束后，两个小组到黑板展示，另两个小组点评

设计意图：这是本节课的难点，在例1的基础上本题有一定的难度，符合学生循序渐进、

由易到难的的认知规律，使学生掌握圆的标准方程。既培养了学生团结合作精神，又能形成竞争意识。

教师活动； 变式练习：

求下列条件所确定的圆的方程：（1）过A(1,1)-，B(1,3)，且圆心在x 轴上的圆的方程

（2）半径为5，过点（1,2）且与x 轴相切的圆的方程

学生回答完后，教师多媒体展示答案。

学生活动：学生分析并讲解，最后给出答案：

()2

2(1)210x y -+= ()()()()2222(2)5525

3525x y x y -+-=++-=或

设计意图；这道题是两道综合题，用到了数形结合的思想和两点间的距离公式。进一步巩

固加深圆的标准方程的求法。

教师活动；当堂检测：

1.已知)9,4(1P ，)3,6(2P ，求以线段21P P 为直径的圆的方程，并判断点 M(6，9)，N(3，6)，Q(5，-1)在圆上、在圆内、还是在圆外?

2. 以点)1,2(-为圆心且与直线0543=+-y x 相切的圆的方程为( )

(A)3)1()2(22=++-y x (B)3)1()2(2

2=-++y x

(C)9)1()2(22=++-y x (D)9)1()2(22=-++y x

3、已知圆的圆心在直线20x y +=上，且与直线10x y +-=切于点(2,1)-，