(完整版)复数知识点总结

复数

一、复数的概念

1. 虚数单位i

（1） 它的平方等于1-，即 2i 1=-；

（2） 实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘法运算仍然成立，即满足交换律与结合律．

（3） i 的乘方： 4414243*i 1,i i,i 1,i i,N n n n n n +++===-=-∈，它们不超出i b 的形式．

2. 复数的定义

形如i(,)R a b a b +∈的数叫做复数， ,a b 分别叫做复数的实部与虚部

3. 复数相等 i i a b c d +=+，即,a c b d ==，那么这两个复数相等

4. 共轭复数 i z a b =+时，i z a b =-． 性质：z z =；2121z z z z ±=±；1121z z z z ⋅=⋅； );0()(

22121

≠=z z z z z 二、复平面及复数的坐标表示

1. 复平面

在直角坐标系里，点z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数i z a b =+可用点(,)Z a b 来表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴为实轴，y 轴出去原点的部分称为虚轴．

2. 复数的坐标表示 点(,)Z a b

3. 复数的向量表示 向量OZ ．

4. 复数的模

在复平面内，复数i z a b =+对应点(,)Z a b ，点Z 到原点的距离OZ 叫做复数z 的模，

记作z ．由定义知，z =．

三、复数的运算

1. 加法 (i)(i)()()i a b c d a c b d +++=+++．

几何意义： 设1i z a b =+对应向量1(,)OZ a b =，2i z c d =+对应向量2(,)OZ c d =，则12z z +对应的向量为12(,)OZ OZ a c b d +=++．因此复数的和可以在复平面上用平行四边形法则解释．

2. 减法 (i)(i)()()i a b c d a c b d +-+=-+-．

几何意义： 设1i z a b =+对应向量1(,)OZ a b =，2i z c d =+对应向量2(,)OZ c d =，则12z z -对应的向量为1221(,)OZ OZ Z Z a c b d -==--．

12()()i z z a c b d -=-+-=1Z 、2Z 两点之间的距离，也等于向量12Z Z 的模．

3. 乘法 ()()()()a bi c di a c b d i +±+=±+±.

4. 乘方 m n m n z z z +⋅= ()m n mn z z = 1212()n n n z z z z ⋅=⋅

5. 除法 ()()()()()()()()22a bi c di ac bd bc ad i a bi a bi c di c di c di c di c d

+-++-++÷+=

==++-+. 6. 复数运算的常用结论 （1） 222(i)2i a b a b ab +=-+， 22(i)(i)a b a b a b +-=+

（2） 2(1i)2i +=， 2(1i)2i -=-

（3） 1i i 1i +=-， 1i i 1i

-=-+ （4） 1212z z z z ±=±， 1212z z z z ⋅=⋅， 1122z z z z ⎛⎫=

⎪⎝⎭，z z =．

（5） 2

z z z ⋅=， z z =

（6） 121212z z z z z z -≤+≤+ （7） 1212z z z z ⋅=⋅，1212z z z z ⋅=⋅，n

n z z = 四、复数的平方根与立方根

1. 平方根 若2(i)i a b c d +=+，则i a b +是i c d +的一个平方根，(i)a b -+也是

i c d +的平方根． （1的平方根是i ±．

） 2. 立方根 如果复数1z 、2z 满足312z z =，则称1z 是2z 的立方根．

（1） 1的立方根： 2

1,,ωω．

1

2ω=-+

，212ωω==--，31ω=． 210ωω++=． （2） 1-的立方根：

111,22z z -=

+=-． 五、复数方程

1. 常见图形的复数方程

（1） 圆：0z z r -=（0r >，0z 为常数），表示以0z 对应的点0Z 为圆心，r 为半径的圆

（2） 线段12Z Z 的中垂线：12z z z z -=-（其中12,z z 分别对应点12,Z Z ）

（3） 椭圆： 122z z z z a -+-=（其中0a >且122z z a -<），表示以12,z z 对应的点F1、F2为焦点，长轴长为2a 的椭圆

（4） 双曲线： 122z z z z a ---=（其中0a >且122z z a ->），表示以12,z z 对应的点F1、F2为焦点，实轴长为2a 的双曲线

2. 实系数方程在复数范围内求根

（1）

求根公式：1,21,21,20 20 20 2b x a b x a b x a ⎧-∆>=⎪⎪⎪-∆==⎨⎪⎪-±∆<=⎪⎩

一对实根一对相等的实根一对共轭虚根 （2） 韦达定理：1212b x x a c

x x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩