(完整版)复数知识点总结

合集下载

复数的知识点总结

复数的知识点总结一、名词的复数规则1. 在名词后加-s大多数名词的复数形式是在单数形式的基础上加上-s，例如：book-books, pen-pens, cat-cats。

2. 在以-s, -ss, -sh, -ch, -x, -z结尾的名词后加-es当名词以-s, -ss, -sh, -ch, -x, -z结尾时，其复数形式要在单数形式的基础上加上-es，例如：bus-buses, class-classes, box-boxes。

3. 在以辅音字母+y结尾的名词变y为i再加-es当名词以辅音字母+y结尾时，要先将y变为i再加-es，例如：city-cities, baby-babies。

4. 以-f或-fe结尾的名词变-f或-fe为-v再加-es当名词以-f或-fe结尾时，要先将f或fe变为v再加-es，例如：knife-knives, leaf-leaves。

5. 不规则名词的复数形式有一些名词的复数形式是由单数形式完全不同的单词构成的，这些名词的复数形式通常需要进行记忆和学习，例如：man-men, woman-women, child-children。

二、名词的复数用法1. 表示复数数量复数形式的名词用来表示多个物体、人或概念，例如：These apples are delicious.（这些苹果很好吃。

）2. 表示复数单位一些计量单位在表示多个时使用复数形式的名词，例如：five liters（五升）、ten dollars （十美元）。

3. 表示某一类人或事物复数形式的名词还可以用来表示某一类人或事物，例如：Cats are cute animals.（猫是可爱的动物。

）4. 表示各种各样的事物在表示各种各样的事物时，也可以使用复数形式的名词，例如：There are many books in the library.（图书馆里有很多书。

）三、注意事项1. 单数形式以s, -ss, -sh, -ch, -x, -z结尾时，复数形式不再添加s，例如：class-classes, box-boxes。

复数英语知识点总结

复数英语知识点总结一、英语名词复数的构成规则1. 一般情况下，名词的复数形式是在单数形式后面加上-s，例如：book → books, cat → cats。

2. 如果名词以s, ss, sh, ch, x, z结尾，则在单数形式后加-es，例如：bus → buses, class → classes, box → boxes。

3. 以辅音字母加y结尾的名词，变复数时去y变i加-es，例如：city → cities, baby → babies。

4. 以下划线结尾的名词变复数时，去掉下划线加-s，例如：brother-in-law → brothers-in-law。

5. 有些名词的单数和复数形式相同，例如：sheep → sheep, deer → deer。

6. 一些名词的复数形式是不规则的，需要特殊记忆，例如：man → men, woman → women, child → children。

二、英语名词复数的特殊情况1. 有些名词的复数形式是由拉丁语或希腊语形式直接转化而来，需要特殊记忆，例如：datum → data, phenomenon → phenomena。

2. 一些名词的复数形式是由原单数形式完全不同的词构成，例如：foot → feet, tooth → teeth, mouse → mice。

3. 一些名词的单数复数形式都一样，需要通过上下文来区分，例如：fish → fish, sheep → sheep, series → series。

4. 有些外来语保留了原单数复数格式，例如：cactus → cacti, fungus → fungi。

三、英语名词复数的使用1. 在句子中，名词的复数形式通常用来表示多个数量或者多个个体，例如：There are three books on the table.2. 名词的复数形式还可以用来表示某一类事物的普遍存在，例如：Dogs are loyal animals.3. 在某些习惯用语中，名词的复数形式可以表示某种共同的属性，例如：The rich live differently from the poor.4. 在某些情况下，名词的复数形式也可以表示某种程度或者数量，例如：He has had several accidents in his lifetime.综上所述，英语名词的复数形式是英语语法中一个重要的部分，掌握好英语名词的复数形式对于学习英语具有重要意义。

(完整版)复数知识点归纳

(完整版)复数知识点归纳完整版：复数知识点归纳复数是英语中用来表示多个数量的形式。

在英语中，名词的复数形式并不总是简单地在单数形式后面加上“-s”。

实际上，还有很多规则和例外需要我们掌握。

在这篇文章中，我们将对复数的一些主要知识点进行归纳总结。

一、一般规则1. 大多数名词在单数形式后面加上“-s”构成复数形式。

例如：book - books, dog - dogs, cat - cats2. 以s、x、ch、sh和o结尾的名词，在单数形式后面加上“-es”构成复数形式。

例如：box - boxes, match - matches, potato - potatoes3. 以辅音字母+y结尾的名词，将y改为i，再加上“-es”构成复数形式。

例如：baby - babies, country - countries4. 以f或fe结尾的名词，通常将f或fe改为v，再加上“-es”构成复数形式。

例如：knife - knives, leaf - leaves5. 特殊规则：5.1 不规则名词的复数形式需要特殊记忆，例如：child - children, tooth - teeth, mouse - mice5.2 以-o结尾的名词有一些是按照一般规则加“-s”的，例如：piano - pianos, photo - photos，但也有一些是按照“-es”规则变化的，例如：potato - potatoes, tomato - tomatoes二、特殊名词除了一般规则之外，还有一些名词的复数形式是非常特殊的。

下面列举几个常见的例子：1. 人称代词的复数形式：I - weyou - youhe - theyshe - theyit - they2. 不列举变化的名词：例如：sheep（羊）、fish（鱼）、deer（鹿）等，它们在复数形式和单数形式相同。

3. 以“-is”结尾的名词，复数形式将“-is”改为“-es”：例如：thesis（论文）- theses（论文）4. 以“-us”结尾的名词，复数形式将“-us”改为“-i”：例如：cactus（仙人掌）- cacti（仙人掌）5. 以“-o”结尾的名词，复数形式有时将“-o”改为“-i”，有时加“-es”：例如：photo（照片）- photos（照片），radio（无线电）- radios （无线电）6. 以“-f”结尾的名词，复数形式将“-f”改为“-ves”：例如：leaf（叶子）- leaves（叶子）三、复数形式的用法1. 表示数量：例如：There are three cats in the garden.（花园里有三只猫。

复数各章知识点总结

复数各章知识点总结一、复数的构成规则1.在大多数情况下，名词的复数形式是通过在词尾加上-s来构成的，如：book → books, table → tables, cat → cats。

2.以s, x, ch, sh结尾的名词，需要在词尾加上-es，如：bus → buses, box → boxes, church → churches, brush → brushes。

3.以辅音字母+y结尾的名词，需将y改为i，再加上-es，如：baby → babies, city → cities, party → parties。

4.以-o结尾的名词，通常加上-es构成复数，如：tomato → tomatoes, hero → heroes, potato → potatoes。

但也有一些例外，如photo → photos, piano → pianos。

5.以-f 或-fe结尾的名词，通常将f 或 fe改为ves构成复数，如：leaf → leaves, knife → knives, wife → wives。

6.有些名词的复数形式需要利用变位规则，如：man → men, woman → women, child → children, foot → feet。

7.一些名词的复数形式与它们的单数形式完全相同，如：sheep, deer, fish, aircraft。

二、特殊的不规则名词复数形式1.一些名词的复数形式完全不同于它们的单数形式，如：man → men, woman → women, child → children, foot → feet。

2.一些名词的复数形式是通过变位而成的，如：mouse → mice, tooth → teeth, louse → lice, goose → geese。

3.有些名词既没有单数形式，也没有复数形式，如：scissors, pants, trousers。

完整版)复数知识点总结

完整版)复数知识点总结复数一、复数的概念1.虚数单位i虚数单位i的平方等于1，即i²= 1.实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘法运算仍然成立，即满足交换律与结合律。

i的乘方：i⁴ⁿ=1，i⁴ⁿ⁺¹=i，i⁴ⁿ⁺²=1，i⁴ⁿ⁺³=i，n∈N*，它们不超出bi的形式。

2.复数的定义形如a+bi（a,b∈R）的数叫做复数，a,b分别叫做复数的实部与虚部。

3.复数相等a+bi=c+di，即a=c且b=d，那么这两个复数相等。

4.共轭复数当z=a+bi时，z的共轭复数为z=a bi。

性质：z=z；z₁±z₂=z₁±z₂；z₁×z₂=z₁×z₂；(z₂≠0)二、复平面及复数的坐标表示1.复平面在直角坐标系里，点z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi可用点Z(a,b)来表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴为实轴，y轴出去原点的部分称为虚轴。

2.复数的坐标表示点Z(a,b)表示复数z=a+bi。

3.复数的向量表示向量OZ表示复数z。

4.复数的模在复平面内，复数z=a+bi对应点Z(a,b)，点Z到原点的距离OZ叫做复数z的模，记作|z|。

由定义知，|z|=√(a²+b²)。

三、复数的运算1.加法a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。

几何意义：设z₁=a+bi对应向量OZ₁=(a,b)，z₂=c+di对应向量OZ₂=(c,d)，则z₁+z₂对应的向量为OZ₁+OZ₂=(a+c,b+d)。

因此复数的和可以在复平面上用平行四边形法则解释。

2.减法a+bi)(c+di)=(a c)+(b d)i。

几何意义：设z₁=a+bi对应向量OZ₁=(a,b)，z₂=c+di对应向量OZ₂=(c,d)，则z₁z₂对应的向量为OZ₁OZ₂=Z₂Z₁=(a c,b d)。

z₁z₂=(a c)+(b d)i=(a c)²+(b d)²表示Z₁、Z₂两点之间的距离，也等于向量Z₁Z₂的模。

总结复数的知识点

总结复数的知识点一、一般规则1. 单数名词加-s一般情况下，名词的复数形式是在词尾加上-s。

比如：- cat → cats- dog → dogs- book → books- pen → pens2. 以-s, -sh, -ch, -x, -z结尾的名词加-es对于以-s, -sh, -ch, -x, -z结尾的名词，其复数形式需要在词尾加上-es。

比如：- bus → buses- dish → dishes- watch → watches- box → boxes- quiz → quizzes3. 以辅音字母+y结尾的名词，将y变为i再加-es对于以辅音字母+y结尾的名词，其复数形式需要先将y变为i，再在词尾加上-es。

比如：- baby → babies- party → parties- city → cities- penny → pennies4. 以-o结尾的名词，加-es或加-s对于以-o结尾的名词，其复数形式有两种情况，一种是在词尾加上-es，另一种是直接加上-s。

需要根据具体情况来决定。

比如：- potato → potatoes- tomato → tomatoes- radio → radios5. 以-f或-fe结尾的名词，变-f或-fe为-v再加-es对于以-f或-fe结尾的名词，其复数形式需要将-f或-fe变为-v，然后在词尾加上-es。

比如：- leaf → leaves- knife → knives- half → halves- wolf → wolves6. 不规则变化有些名词的复数形式是不规则的，需要记忆。

比如：- man → men- woman → women- child → children- tooth → teeth- foot → feet以上是一般规则下的名词复数形式变化。

但在实际应用中，还有很多特殊情况需要注意，下面将重点针对这些特殊情况做详细的总结。

(完整版)复数知识点归纳

复数【知识梳理】一、复数的根本概念1、虚数单位的性质i 叫做虚数单位，并规定：①i 可与实数进行四那么运算；②12-=i ；这样方程12-=x 就有解了，解为i x =或i x -=2、复数的概念〔1〕定义：形如bi a +(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位，a 叫做，b 叫做。

全体复数所成的集合C 叫做复数集。

复数通常用字母z 表示，即bi a z +=(a ，b ∈R )对于复数的定义要注意以下几点：①bi a z +=(a ，b ∈R )被称为复数的代数形式，其中bi 表示b 与虚数单位i 相乘②复数的实部和虚部都是实数，否那么不是代数形式〔2〕分类：例题：当实数m 为何值时，复数i m m m m )3()65(-++-是实数？虚数？纯虚数？二、复数相等也就是说，两个复数相等，充要条件是他们的实部和虚局部别相等注意：只有两个复数全是实数，才可以比拟大小，否那么无法比拟大小例题：0)4()3(=-+-+i x y x 求y x ,的值三、共轭复数bi a +与di c +共轭),,,(,R d c b a d b c a ∈-==⇔bi a z +=的共轭复数记作bi a z -=_，且22_b a z z +=⋅ 四、复数的几何意义1、复平面的概念建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。

显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。

2、复数的几何意义复数bi a z +=与复平面内的点),(b a Z 及平面向量),(b a OZ =→),(R b a ∈是一一对应关系〔复数的实质是有序实数对，有序实数对既可以表示一个点，也可以表示一个平面向量〕相等的向量表示同一个复数例题：〔1〕当实数m 为何值时，复平面内表示复数i m m m m z )145()158(22--++-=的点①位于第三象限；②位于直线x y =上〔2〕复平面内)6,2(=→AB ，→→AB CD //，求→CD 对应的复数3、复数的模：向量→OZ 的模叫做复数bi a z +=的模，记作z 或bi a +，表示点),(b a 到原点的距离，即=z 22b a bi a +=+，z z =假设bi a z +=1，di c z +=2，那么21z z -表示),(b a 到),(d c 的距离，即2221)()(d b c a z z -+-=- 例题：i z +=2，求i z +-1的值五、复数的运算〔1〕运算法那么：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R①i d b c a di c bi a z z )()(21+++=+++=±②i ad bc bd ac di c bi a z z )()()()(21++-=+⋅+=⋅ ③2221)()()()())(()()(dc i ad bc bd ac di c di c di c bi a di c bi a z z +-++=-⋅+-+=++= 〔2〕OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即＝＋，＝－.六、常用结论〔1〕i ，12-=i ，i i -=3，14=i求n i ，只需将n 除以4看余数是几就是i 的几次例题：=675i（2）i i 2)1(2=+，i i 2)1(2-=-（3）1)2321(3=±-i ，1)2321(3-=±i 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√〞或“×〞)(1)方程x 2＋x ＋1＝0没有解.( )(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i.( )(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比拟大小.( )(4)原点是实轴与虚轴的交点.( )(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.() 【考点自测】1.(2021·安徽)设i是虚数单位，那么复数(1－i)(1＋2i)等于()A.3＋3iB.－1＋3iC.3＋iD.－1＋i2.(2021·课标全国Ⅰ)复数z满足(z－1)i＝1＋i，那么z等于()A.－2－iB.－2＋iC.2－iD.2＋i3.在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.假设C为线段AB的中点，那么点C对应的复数是()A.4＋8iB.8＋2iC.2＋4iD.4＋ia，b∈R a＋i＝2－b i，那么(a＋b i)2等于()A.3－4iB.3＋4iC.4－3iD.4＋3i5.(1＋2i)＝4＋3i，那么z＝________.【题型分析】题型一复数的概念例1z＝a－(a∈R)是纯虚数，那么a的值为()(2)a∈R，复数z1＝2＋a i，z2＝1－2i，假设为纯虚数，那么复数的虚部为()A.1B.iC.(3)假设z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i(m∈R)，z2＝3－2i，那么“m＝1〞是“z1＝z2〞的()引申探究1.对本例(1)中的复数z，假设|z|＝，求a的值.2.在本例(2)中，假设为实数，那么a＝________.思维升华解决复数概念问题的方法及考前须知(1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.(2)解题时一定要先看复数是否为a＋b i(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部.(1)假设复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，那么实数x的值为()A.－1B.0C.1D.－1或1(2)(2021·浙江)i是虚数单位，a，b∈R，那么“a＝b＝1〞是“(a＋b i)2＝2i〞的()题型二复数的运算命题点1复数的乘法运算例2(1)(2021·湖北)i为虚数单位，i607的共轭复数为()A.iB.－iC.1D.－1(2)(2021·北京)复数i(2－i)等于()A.1＋2iB.1－2iC.－1＋2iD.－1－2i命题点2复数的除法运算例3(1)(2021·湖南)＝1＋i(i为虚数单位)，那么复数z等于()A.1＋iB.1－iC.－1＋iD.－1－i(2)()6＋＝________.命题点3复数的运算与复数概念的综合问题例4(1)(2021·天津)i是虚数单位，假设复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，那么实数a的值为________.(2)(2021·江苏)复数z＝(5＋2i)2(i为虚数单位)，那么z的实部为________.命题点4复数的综合运算例5(1)(2021·安徽)设i是虚数单位，表示复数zz＝1＋i，那么＋i·等于()(2)假设复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，那么z的虚部为()A.－4B.－C.4D.思维升华复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略(1)复数的乘法.复数的乘法类似于多项式的四那么运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可.(2)复数的除法.除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式.(3)复数的运算与复数概念的综合题，先利用复数的运算法那么化简，一般化为a＋b i(a，b∈R)的形式，再结合相关定义解答.(4)复数的运算与复数几何意义的综合题.先利用复数的运算法那么化简，一般化为a＋b i(a，b∈R)的形式，再结合复数的几何意义解答.(5)复数的综合运算.分别运用复数的乘法、除法法那么进行运算，要注意运算顺序，要先算乘除，后算加减，有括号要先算括号里面的.(1)(2021·山东)假设复数z满足＝i，其中i为虚数单位，那么z等于()A.1－iB.1＋iC.－1－iD.－1＋i(2)2021＝________.(3)＋2021＝________.题型三复数的几何意义例6(1)(2021·重庆)实部为－2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的()(2)△ABC的三个顶点对应的复数分别为z1，z2，z3，假设复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，那么z 对应的点为△ABC的()思维升华因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可.(1)如图，在复平面内，点A表示复数z，那么图中表示z的共轭复数的点是()A.AB.BC.CD.D(2)z是复数，z＋2i、均为实数(i为虚数单位)，且复数(z＋a i)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围.【思想与方法】解决复数问题的实数化思想典例x，y为共轭复数，且(x＋y)2－3xy i＝4－6i，求x，y.思维点拨(1)x，y为共轭复数，可用复数的根本形式表示出来；(2)利用复数相等，将复数问题转化为实数问题.温馨提醒(1)复数问题要把握一点，即复数问题实数化，这是解决复数问题最根本的思想方法. (2)此题求解的关键是先把x、y用复数的根本形式表示出来，再用待定系数法求解.这是常用的数学方法.(3)此题易错原因为想不到利用待定系数法，或不能将复数问题转化为实数方程求解.【方法与技巧】1.复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根.除法实际上是分母实数化的过程.z＝a＋b i(a，b∈R z＝a＋b i(a，b∈R)，既要从整体的角度去认识它，把复数看成一个整体，又要从实部、虚部的角度分解成两局部去认识.3.在复数的几何意义中，加法和减法对应向量的三角形法那么，其方向是应注意的问题，平移往往和加法、减法相结合.【失误与防范】1.判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义.2.两个虚数不能比拟大小.a＋b i(a，b∈R)中的实数b，即虚部是一个实数.【稳固练习】1.(2021·福建)假设(1＋i)＋(2－3i)＝a＋b i(a，b∈R，i是虚数单位)，那么a，b的值分别等于()A.3，－2B.3,2C.3，－3D.－1,4z＝＋i，那么|z|等于()A.B.C.3.(2021·课标全国Ⅱ)假设a为实数，且(2＋a i)(a－2i)＝－4i，那么a等于()4.假设i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，那么表示复数的点是()A.EB.FC.GD.H5.(2021·江西)是z的共轭复数，假设z＋＝2，(z－)i＝2(i为虚数单位)，那么z等于()A.1＋iB.－1－iC.－1＋iD.1－i6.(2021·江苏)设复数z满足z2＝3＋4i(i是虚数单位)，那么z的模为________.＝a＋b i(a，b为实数，i为虚数单位)，那么a＋b＝________.8.复数(3＋i)m－(2＋i)对应的点在第三象限内，那么实数m的取值范围是________.9.计算：(1)；(2)；(3)＋；(4).z1＝＋(10－a2)i，z2＝＋(2a－5)i，假设1＋z2是实数，求实数a的值.【能力提升】z1，z2满足z1＝m＋(4－m2)i，z2＝2cosθ＋(λ＋3sinθ)i(m，λ，θ∈R)，并且z1＝z2，那么λ的取值范围是()A.[－1,1]B.C.D.f(n)＝n＋n(n∈N*)，那么集合{f(n)}中元素的个数为()z＝x＋y i，且|z－2|＝，那么的最大值为________.a∈R，假设复数z＝＋在复平面内对应的点在直线x＋y＝0上，那么a的值为____________.15.假设1＋i是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个复数根，那么b＝________，c＝________. 【稳固练习参考答案】1A.2.B.3.B..5.D.6..7.3.8.m<.9.解(1)＝＝－1－3i.(2)＝＝＝＝＋i.(3)＋＝＋＝＋＝－1.(4)＝＝＝＝－－i.10.解1＋z2＝＋(a2－10)i＋＋(2a－5)i＝＋[(a2－10)＋(2a－5)]i＝＋(a2＋2a－15)i.∵1＋z2是实数，∴a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3.又(a＋5)(a－1)≠0，∴a≠－5且a≠1，故a＝3.11.解析由复数相等的充要条件可得化简得4－4cos2θ＝λ＋3sinθ，由此可得λ＝－4cos2θ－3sinθ＋4＝－4(1－sin2θ)－3sinθ＋4＝4sin2θ－3sinθ＝42－，因为sinθ∈[－1,1]，所以4sin2θ－3sinθ∈.答案C12.解析f(n)＝n＋n＝i n＋(－i)n，f(1)＝0，f(2)＝－2，f(3)＝0，f(4)＝2，f(5)＝0，…∴集合中共有3个元素.答案 C13.解析∵|z－2|＝＝，∴(x－2)2＋y2max＝＝.14.解析∵z＝＋＝＋i，∴依题意得＋＝0，∴a＝0.15.解析∵实系数一元二次方程x2＋bx＋c＝0的一个虚根为1＋i，∴其共轭复数1－i也是方程的根.由根与系数的关系知，∴b＝－2，c＝3.。

总结复数知识点

总结复数知识点一、基本规则1. 在名词后面加-s大多数情况下，英语中的名词变复数形式只需要在名词后面加上-s，比如book变成books，pen变成pens等。

2. 在以s, sh, ch, x结尾的名词后加-es在以s, sh, ch, x结尾的名词后，需要在名词后面加上-es构成复数形式，如class变成classes，box变成boxes等。

3. 在以辅音字母+y结尾的名词后变y为i再加-es如果一个名词以辅音字母+y结尾，需要将y变为i再加上-es构成复数形式，如baby变成babies，dictionary变成dictionaries等。

4. 以-o结尾的名词有两种复数形式大多数情况下，以-o结尾的名词需要在后面加上-es构成复数形式，如potato变成potatoes，tomato变成tomatoes等。

但也有一些以-o结尾的名词直接加上-s构成复数形式，如piano变成pianos，photo变成photos等。

5. 以-f或-fe结尾的名词变f或fe为v再加-es以-f或-fe结尾的名词需要将f或fe变为v再加上-es构成复数形式，如leaf变成leaves，wife变成wives等。

6. 不规则复数形式有一些名词的复数形式是不规则的，需要特别记忆，比如man变成men，child变成children，foot变成feet，mouse变成mice等。

二、特殊情况1. 复合名词的复数形式对于由两个或多个单词组合而成的复合名词，通常是将主要的名词变为复数形式，比如cup of tea变成cups of tea，mother-in-law变成mothers-in-law等。

2. 名词作为修饰语当一个名词用作另一个名词的修饰语时，通常不用加复数形式，比如book店表示“书店”时，book后不加s，而是用作修饰店的名词。

3. 名词为不可数形式有些名词只有单数形式，没有复数形式，比如water表示“水”，milk表示“奶”等。

(完整版)高考复数知识点精华总结

1.复数的概念: (1 )虚数单位i ;(2) 复数的代数形式z=a+bi , (a, b € R)； (3) 复数的实部、虚部、虚数与纯虚数 2 .复数集3 .复数a+bi(a, b € R)由两部分组成，实数a 与b 分别称为复数a+bi 的实部与虚部，1与i 分别是实数单位和虚数单位，当 b=0时，a+bi 就是实数，当b 工0时，a+bi 是虚数，其中 a=0且b 工0时称为纯虚数。

应特别注意，a=0仅是复数a+bi 为纯虚数的必要条件，若 a=b=0，则a+bi=0是实数。

4. 复数的四则运算若两个复数 z1=a1+b1i ，z2=a2+b2i ， (1) 加法:z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i；(2) 减法:z1 - z2=(a1 - a2)+(b1 - b2)i ； (3) 乘法:z1 z 2=(a1a2 - b1b2)+(a1b2+a2b1)i;z-i (a-i a 2 t 1b 2) (a 2t 1 a-|b 2)i— 2~Z~2(4)除法：z 2a 2b 2;(5) 四则运算的交换率、结合率；分配率都适合于复数的情况 (6) 特殊复数的运算：n2①i (n 为整数)的周期性运算； ②(1 ± i) = ±2i ;丄 3③若 3 =- 2 + 2 i ，则 3 3=1 ， 1+ 3 + 3 2=0.5. 共轭复数与复数的模实数(b 复数 a bi (a, b R) 0)无理数(无限不循环小数)虚数(b纯虚数(a 0) 非纯虚数(a 0)(1 )若z=a+bi，则z a bi，z z 为实数,(2)复数z=a+bi 的模|Z|= b ,且z zz z为纯虚数(b工0).2|z| =a2+b2.两个复数不能比较大小，只能由定义判断它们相等或不相等。

4 •复数a+bi 的共轭复数是a - bi ，若两复数是共轭复数，则它们所表示的点关于实轴对称若b=0，贝U 实数a 与实数a 共轭，表示点落在实轴上。

复数知识点总结大全

复数知识点总结大全一、复数的形成规则1. 大部分名词的复数形式都是在词尾加上-s，如：book-books, cat-cats, dog-dogs等。

2. 以字母ch, sh, x, s结尾的名词，在词尾加-es，如：watch-watches, brush-brushes, box-boxes, bus-buses等。

3. 以“辅音+y”结尾的名词，把y变成i再加-es，如：city-cities, baby-babies, party-parties 等。

4. 以“f”或“fe”结尾的名词，变f或fe为v再加-es，如：knife-knives, leaf-leaves, wife-wives等。

5. 以“o”结尾的名词，大部分加上-s变为复数，如：photo-photos, radio-radios, piano-pianos等。

但也有一些特例，有些以“o”结尾的词，要加-es变复数，如：potato-potatoes, tomato-tomatoes, hero-heroes等。

6. 以“us”结尾的名词，变us为i加-es，如：cactus-cacti, focus-foci, nucleus-nuclei等。

7. 以“is”结尾的名词，变is为es构成复数，如：thesis-theses, basis-bases, crisis-crises等。

8. 以“on”结尾的名词，变on为a加-es，如：criterion-criteria, phenomenon-phenomena。

以上就是复数形式的基本变化规则，掌握这些规则对于正确使用复数形式至关重要。

二、特殊情况除了一般的复数形式规则外，还有一些特殊情况需要特别注意。

1. 一些名词的单复数形式完全一样，如：sheep-sheep, deer-deer, fish-fish等。

这些名词在单数和复数形式上没有变化。

2. 有些名词的单数和复数形式完全不同，如：man-men, woman-women, child-children, tooth-teeth等。

复数的全部知识点总结

复数的全部知识点总结一、形成复数的基本规则1. 在大多数情况下，名词的复数形式是在单数名词后面加上“-s”，比如：book-books，cat-cats，dog-dogs等。

2. 如果单数名词以“s, x, sh, ch”结尾，或者以“o”结尾，加上“es”来表示复数形式，比如：box-boxes，bus-buses，dish-dishes，church-churches，potato-potatoes等。

3. 以“y”结尾的名词，如果前面是辅音字母，则变“y”为“i”，然后加上“es”来表示复数形式，比如：baby-babies，city-cities等。

4. 以“f”或者“fe”结尾的名词，通常变“f”或者“fe”为“v”，然后再加上“es”来表示复数形式，比如：leaf-leaves，wife-wives等。

5. 以“o”结尾的名词，有一部分名词的复数形式是加上“-s”，比如：photo-photos，radio-radios等，但也有一部分名词的复数形式是加上“-es”，比如：potato-potatoes，tomato-tomatoes等。

6. 一些名词的复数形式和单数形式完全一样，比如：sheep-sheep，deer-deer，series-series等。

二、复数形式的不规则形式1. 有一些名词的复数形式是非常不规则的，需要特别记忆，比如：man-men，woman-women，child-children，foot-feet，tooth-teeth等。

2. 有一些名词的复数形式和单数形式完全不同，需要特别记忆，比如：mouse-mice，goose-geese，ox-oxen等。

3. 一些名词在复数形式中增加“en”来表示复数形式，比如：child-children，ox-oxen等。

三、表示复数的特殊情况1. 有一些名词是不可数名词，表示整体或者抽象概念，不能用于复数形式，比如：water，information，money等。

(完整版)复数知识点总结

(完整版)复数知识点总结复数是数学中的一个基本概念，特别是在代数和几何中扮演着重要角色。

以下是复数的知识点总结：1. 定义：复数是形如 a + bi 的数，其中 a 和 b 是实数，i 是虚数单位，满足 i² = -1。

2. 实部与虚部：对于复数 z = a + bi，a 称为它的实部（Re(z)），b 称为它的虚部（Im(z)）。

3. 共轭复数：一个复数 z 的共轭复数表示为 z* 或者z̅，定义为a - bi。

共轭复数在复平面上关于实轴对称。

4. 模与辐角：复数 z 的模（|z|）是其实部和虚部的平方和的平方根，即|z| = √(a² + b²)。

辐角（arg(z)）是从正实轴到复数在复平面上表示的向量的角度，通常用θ 表示。

5. 复数的乘法与除法：- 乘法：(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i- 除法：(a + bi) / (c + di) = [(ac + bd) / (c² + d²)] + [(bc - ad) / (c² + d²)]i6. 欧拉公式：e^(ix) = cos(x) + i*sin(x)，其中 e 是自然对数的底数，i 是虚数单位。

这个公式将复指数函数与三角函数联系起来。

7. 德摩弗定理：对于任何复数 z 和非零复数 w，有 (z/w) = (z - w) / (1 - wz)，这个定理在处理复数序列和级数时非常有用。

8. 复数的极限与连续性：复数的极限定义与实数类似，但需要考虑复平面上的点。

复数函数的连续性也可以用类似实数函数的方式定义。

9. 解析函数：如果一个复数函数 f(z) 在某个区域内的每一点都可微分，则称 f(z) 在该区域内解析。

柯西-黎曼方程是判断一个复函数是否可微分的必要条件。

10. 级数展开：复数函数可以通过泰勒级数或劳朗级数在复平面上展开。

复数知识点及题型总结

复数知识点及题型总结一、复数的构成1. 一般情况下，在词尾加 -s 表示复数形式例子：book → books, cat → cats, dog → dogs2. 以 s, x, sh, ch 结尾的词，在词尾加 -es 表示复数形式例子：box → boxes, bus → buses, brush → brushes, church → churches 3. 以辅音字母+y 结尾的词，变 y 为 i, 再加上-es 表示复数形式例子：baby → babies, city → cities, family → families4. 以 f 或 fe 结尾的词，变 f 或 fe 为 v, 再加上-es 表示复数形式例子：leaf → leaves, calf → calves, knife → knives5. 以 o 结尾的名词，有时加 -es 表示复数形式例子：tomato → tomatoes, hero → heroes, echo → echoes6. 某些词有不规则的复数形式例子：man → men, foot → feet, child → children, tooth → teeth二、复数的用法1. 表示两个或两个以上的事物，用复数形式例子：There are three cats in the garden.2. 表示概括的一类事物，用复数形式例子：Dogs are loyal animals.3. 表示一些特定的事物，用复数形式例子：They have two cars.4. 数词或量词后接名词时，名词用复数形式例子：Three books, five apples三、复数名词的题型1. 单选题例题：Which of the following is the plural form of "child"?A. childsB. childesC. childD. children答案：D. children分析：这是一道对复数形式的选择题，考查学生对复数构成规则的掌握情况。

(完整版)复数知识点精心总结

复数知识点考试内容：复数的概念．复数的加法和减法．复数的乘法和除法．数系的扩充．考试要求：（1）了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义．（2）掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算．（3）了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想．1. ⑴复数的单位为i ，它的平方等于－1，即1i 2-=.⑵复数及其相关概念：① 复数—形如a + b i 的数（其中R b a ∈，）；② 实数—当b = 0时的复数a + b i ，即a ；③ 虚数—当0≠b 时的复数a + b i ；④ 纯虚数—当a = 0且0≠b 时的复数a + b i ，即b i.⑤ 复数a + b i 的实部与虚部—a 叫做复数的实部，b 叫做虚部（注意a ，b 都是实数） ⑥ 复数集C —全体复数的集合，一般用字母C 表示.⑶两个复数相等的定义：00==⇔=+∈==⇔+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地，，，，（其中，且. ⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.注：①若21,z z 为复数，则ο1若021φz z +，则21z z -φ.（×）[21,z z 为复数，而不是实数] ο2若21z z π，则021πz z -.（√）②若C c b a ∈,,，则0)()()(222=-+-+-a c c b b a 是c b a ==的必要不充分条件.（当22)(i b a =-，0)(,1)(22=-=-a c c b 时，上式成立）2. ⑴复平面内的两点间距离公式：21z z d -=.其中21z z ，是复平面内的两点21z z 和所对应的复数，21z z d 和表示间的距离.由上可得：复平面内以0z 为圆心，r 为半径的圆的复数方程：）（00φr r z z =-. ⑵曲线方程的复数形式： ①00z r z z 表示以=-为圆心，r 为半径的圆的方程.②21z z z z -=-表示线段21z z 的垂直平分线的方程. ③212121202Z Z z z a a a z z z z ，）表示以且（φφ=-+-为焦点，长半轴长为a 的椭圆的方程（若212z z a =，此方程表示线段21Z Z ，）.④），（2121202z z a a z z z z ππ=---表示以21Z Z ，为焦点，实半轴长为a 的双曲线方程（若212z z a =，此方程表示两条射线）.⑶绝对值不等式：设21z z ，是不等于零的复数，则①212121z z z z z z +≤+≤-.左边取等号的条件是），且（012πλλλR z z ∈=，右边取等号的条件是），（012φλλλR z z ∈=. ②212121z z z z z z +≤-≤-.左边取等号的条件是），（012φλλλR z z ∈=，右边取等号的条件是），（012πλλλR z z ∈=. 注：n n n A A A A A A A A A A 11433221=++++-Λ.3. 共轭复数的性质：z z = 2121z z z z +=+a z z 2=+，i 2b z z =-（=z a + b i ） 22||||z z z z ==⋅2121z z z z -=- 2121z z z z ⋅=⋅2121z z z z =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛（02≠z ） n n z z )(= 注：两个共轭复数之差是纯虚数. （×）[之差可能为零，此时两个复数是相等的] 4 ⑴①复数的乘方：)(...+∈⋅⋅=N n z z z z z nn 43421②对任何z ，21,z z C ∈及+∈N n m ,有③n n n n m n m n m n m z z z z z z z z z 2121)(,)(,⋅=⋅==⋅⋅+注：①以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，如1,142=-=i i 若由11)(212142===i i 就会得到11=-的错误结论.②在实数集成立的2||x x =. 当x 为虚数时，2||x x ≠，所以复数集内解方程不能采用两边平方法.⑵常用的结论：1,,1,,143424142=-=-==-=+++n n n n i i i i i i i)(,0321Z n i i i i n n n n ∈=++++++i i i i i i i i -=+-=-+±=±11,11,2)1(2 若ω是1的立方虚数根，即i 2321±-=ω，则 . 5. ⑴复数z 是实数及纯虚数的充要条件：①z z R z =⇔∈.②若0≠z ，z 是纯虚数0=+⇔z z .⑵模相等且方向相同的向量，不管它的起点在哪里，都认为是相等的，而相等的向量表示同一复数. 特例：零向量的方向是任意的，其模为零.注：||||z z =.6. ⑴复数的三角形式：)sin (cos θθi r z +=.辐角主值：θ适合于0≤θ＜π2的值，记作z arg .注：①z 为零时，z arg 可取)2,0[π内任意值.②辐角是多值的，都相差2π的整数倍.③设,+∈R a 则πππ23)arg(,2arg ,)arg(,0arg =-==-=ai ai a a . ⑵复数的代数形式与三角形式的互化：)sin (cos θθi r bi a +=+，22b a r +=，r b r a ==θθsin ,cos . ⑶几类三角式的标准形式：)]sin()[cos()sin (cos θθθϑ-+-=-i r i r)]sin()[cos()sin (cos θπθπθθ+++=+-i r i r)]sin()[cos()sin cos (θπθπθθ-+-=+-i r i r)]2sin()2[cos()cos (sin θπθπθθ-+-=+i r i r7. 复数集中解一元二次方程：在复数集内解关于x 的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 时，应注意下述问题： ①当R c b a ∈,,时，若∆＞0，则有二不等实数根a b x 22,1∆±-=；若∆=0，则有二相等实数根ab x 22,1-=；若∆＜0，则有二相等复数根a i b x 2||2,1∆±-=（2,1x 为共轭复数）. )(0,01,1,,121223Z n n n n ∈=++=++===++ωωωωωωωωωω②当c b a ,,不全为实数时，不能用∆方程根的情况.③不论c b a ,,为何复数，都可用求根公式求根，并且韦达定理也成立.8. 复数的三角形式运算：)]sin()[cos()sin (cos )sin (cos 212121222211θθθθθθθθ+++=+⋅+i r r i r i r )]sin()[cos()sin (cos )sin (cos 212121222211θθθθθθθθ-+-=++i r r i r i r 棣莫弗定理：)sin (cos )]sin (cos [θθθθn i n r i r n n +=+。

(完整版)复数知识点总结

(完整版)复数知识点总结
复数知识点总结
形成复数的常规规则
- 大多数名词在末尾加-s来表示复数，例如：books（书）
- 以ch、s、sh、x结尾的名词，在末尾加-es，例如：batches
（批次）
- 以辅音字母+y结尾的名词，将y变为i再加-es，例如：berries（浆果）
- 以f或fe结尾的名词，将f或fe变为v再加-es，例如：lives （生活）
- 以元音字母+o结尾的名词，直接加-s，例如：radios（收音机）不规则复数形式
- 一些名词的复数形式与单数形式完全不同，例如：children （孩子们），women（妇女）
- 一些名词的复数形式与单数形式相同，例如：sheep（羊），deer（鹿）
- 一些名词有两个形式，既可以用添加-s表示复数，也可以用不同的词来表示复数，例如：child（孩子/儿童），children（孩子们）
不可数名词
- 有些名词没有复数形式，称为不可数名词，例如：water （水），furniture（家具）
- 不可数名词没有复数形式，所以在句中要用单数形式的谓语动词，例如：The water is cold.（水是冷的）
- 不可数名词用来表示一种物质、一种液体、一种灵魂等抽象概念，不可分割为单个项目
总结
复数名词的形成有一些规则，但也存在一些例外情况。

对于无法确定的名词复数形式，可以查询相关资源以确保准确性。

在使用复数名词时，要根据具体的语境和语法规则来选择正确的形式。

同时要注意不可数名词的用法和特点。

(完整版)复数基础知识点

1、复数的定义：设i 为方程21x =-的根，i 称为虚数单位，形如()a bi a b R +∈、的数，称为复数.所有复数构成的集合称复数集,通常用C 来表示.a 为实部，b 为虚部 2．复数集整数有理数实数(0)分数复数(,)无理数(无限不循环小数)纯虚数(0)虚数(0)非纯虚数(0)b a bi a b R a b a ⎧⎧⎧⎪⎪⎨=⎨⎪⎩⎪⎪+∈⎨⎩⎪⎧≠⎪≠⎨⎪=⎩⎩3.复数的几何意义对任意复数z=a+bi （a,b ∈R ），a 称实部记作Re(z),b 称虚部记作Im(z).z=ai 称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么z 与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。

因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x 轴称为实轴，y 轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z 又对应唯一一个向量。

4. 两个复数相等的定义：a bi c di a c +=+⇔=且b d =（其中a b c d R ∈，，，，）特别地，00a bi a b +=⇔==.5.复数的四则运算设111z a b i =+，222z a b i =+（1）加法：()()121212z z a a b b i +=+++，即实部与实部相加，虚部与虚部相加；（2）减法：()()121212z z a a b b i -=-+-，即实部与实部相减，虚部与虚部相减；（3）乘法：()()1212122112z z a a b b a b a b i ⋅=-++ ，特别22z z a b ⋅=+；（4）除法c diz a bi+=+（,a b 是均不为0的实数）的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数，即分子分母同时乘以分母的共轭复数，然后再化简：()()22ac bd ad bc i c di c di a bi z a bi a bi a bi a b ++-++-==⋅=++-+；（5）四则运算的交换率、结合率；分配率都适合于复数的情况。

复数知识点精心总结

复数知识点精心总结1. 复数的定义：复数是由一个实数部分和一个虚数部分构成的数，形式为a+bi，其中a为实数部分，b为虚数部分，i为虚数单位。

2. 虚数的表示：虚数i定义为满足i^2=-1的数。

因此，i^2=-1，i^3=-i，i^4=1，以此类推。

3. 实数部分和虚数部分：在复数a+bi中，a为实数部分，b为虚数部分。

实数部分和虚数部分都可以是任意实数。

4. 复数的加减法：复数的加减法与实数的加减法类似，分别对实数部分和虚数部分进行运算。

5. 复数的乘法：复数的乘法可以通过使用分配律来计算。

例如，(a+bi)(c+di)可以展开为ac+adi+bci+bdi^2，然后将虚数单位i^2替换为-1即可。

6. 复数的除法：复数的除法可以通过分子乘以分母的共轭来实现。

例如，对于a+bi除以c+di，可以将它们都乘以c-di，然后分别对实数部分和虚数部分进行运算。

7. 虚数单位的运算性质：虚数单位i具有下列运算性质：i^2=-1，i^3=-i，i^4=1。

根据这些性质，可以简化复数的运算。

8. 共轭复数：对于复数a+bi，其共轭复数为a-bi。

共轭复数的实数部分相同，虚数部分的符号相反。

9. 模长和幅角：对于复数a+bi，其模长表示为|a+bi|，即复数与原点之间的距离。

模长可以通过勾股定理计算得出。

复数的幅角表示为θ，是复数与正实轴之间的夹角。

幅角可以通过反三角函数计算得出。

10. 欧拉公式：欧拉公式是复数的一种表达形式，表示为e^(iθ)=cos(θ)+isin(θ)。

欧拉公式将幅角与三角函数联系起来，可以简化复数的运算。

11. 极坐标形式：复数的极坐标形式表示为r(cosθ+isinθ)，其中r为模长，θ为幅角。

极坐标形式可以通过模长和幅角来表示复数。

12. 复平面：复数可以在复平面上表示为点，实数部分表示为横坐标，虚数部分表示为纵坐标。

通过复平面可以直观地理解和计算复数。

这些是关于复数的主要知识点，掌握了这些知识点，应该能够对复数有一个较为全面的了解。

(完整版)复数知识点精心总结

复数知识点考试内容：复数的概念.复数的加法和减法.复数的乘法和除法.数系的扩充.考试要求：(1)了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义.(2 )掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算.(3) 了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想.1•⑴复数的单位为i，它的平方等于一1，即i21.⑵复数及其相关概念：①复数一形如a + b i的数(其中a, b R);②实数一当b = 0时的复数a + b i，即a；③虚数一当b 0时的复数a + b i ；④纯虚数一当a = 0且b 0时的复数a + b i，即b i.⑤复数a + b i的实部与虚部一a叫做复数的实部，b叫做虚部(注意a, b都是实数)⑥复数集C—全体复数的集合，一般用字母C表示.⑶两个复数相等的定义：a bi c di a c且b d (其中，a, b, c, d, R)特别地a bi 0 a b 0.⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小注：①若“，Z2为复数，则1若可Z2 0,则可Z2. (X) [Z「Z2为复数，而不是实数] 2 若Z1 Z2，则Z1 Z2 0. (V)(c a)20是a b c的必要不充分条件.(当②若a,b,c C ,贝y (a b)2 (b c)22 2(a b) i ,(b c)21, (c a)20时，上式成立)2.⑴复平面内的两点间距离公式： d Z1 Z2 .其中Z1 , Z2是复平面内的两点Z1和Z2所对应的复数，d表示Z1和Z2间的距离.由上可得：复平面内以Z0为圆心，r为半径的圆的复数方程：Z Z0 r (r 0).⑵曲线方程的复数形式：①Z Z0 r表示以Z0为圆心，r为半径的圆的方程.Z Z1 Z Z2表示线段Z1Z2的垂直平分线的方程•Z Z1 Z Z2| 2a (a 0且2a |Z1Z2)表示以Z1, Z2为焦点，长半轴长为a的椭圆的方程(若2a Z1Z2 ，此方程表示线段Z15Z2).Z Z1 Z Z2 2a (0 2a Z1Z2)'表示以Z1 , Z 2为焦点，实半轴长为a的双曲线方程(右2a |Z1Z2，此方程表示两条射线)⑶绝对值不等式：设Z1 , Z2是不等于零的复数，则① I|Z1 Z2 Z l Z2 Z l Z2 .左边取等号的条件Z2 Z1 ( R, 0).是Z2 Z1 ( R,且0),右边取等② |z i |Z2| |Z1 Z2| |Z1 Z2 .左边取等号的条件是Z2Z1 ( R, 0),右边取等号的条件是Z2 Z1R，0). 注: A1A2 A2 A3 A3A4 A n 1A n A1 A n3.共轭复数的性质:Z1 Z2 Z1 Z2Z Z 2a，Z Z 2bi ( Z b i) _ 2 _ 2 Z Z |Z||Z|Z1 Z2 Z1 Z2 Z1 Z2 Z1 Z2Z1 Z1 Z2 Z2(Z2 0 )n nZ (Z)注：两个共轭复数之差是纯虚数(X)［之差可能为零，此时两个复数是相等的n4⑴①复数的乘方：Z Z乙.z(n N②对任何Z , Z1 , Z2 C及m, n N有— mn mn , m n mn, 、n ③ Z Z Z ,(Z ) Z ,(Z1 Z2)n n Z1 Z2注：①以上结论不能拓展到分数指数幕的形式, 否则会得到荒谬的结果，如i21,i41若由1 1i2 (i4)' 12 1就会得到1 1的错误结论•②在实数集成立的|x| X2.当X为虚数时，|x| X2，所以复数集内解方程不能采用两边平方法•⑵常用的结论:.211,.4n 11..4n 21,11,i4n3i,i4n 1■ n i ■ ni1 . ni2 . n 3i0, (n Z)(1i)22i,1i . 1 i i,i1i 1 i若是 1 的\立方虚数根，即 1 33 1,丄1 2—J 1n 1n 2 0(n Z)2 2则2>0, n5. ⑴复数z是实数及纯虚数的充要条件：①z R z z.②若z 0，z是纯虚数z z 0.⑵模相等且方向相同的向量，不管它的起点在哪里，都认为是相等的，而相等的向量表示同一复数•特例：零向量的方向是任意的，其模为零•注: |z| |z|.6. ⑴复数的三角形式：z r(cos i sin ).辐角主值：适合于O w v 2的值，记作argz.注：①z为零时，argz可取［0,2 )内任意值.②辐角是多值的，都相差2的整数倍.3③设 a R ,则arg a O,arg( a) , arg ai , arg( ai) .2 2⑵复数的代数形式与三角形式的互化：2 2 a ba bi r(cos i sin ) , r ab , cos — ,sin 一.r r⑶几类三角式的标准形式：r(cos i sin ) r[cos( ) i sin()]r(cos i sin)r[cos()i sin( )]r( cos i sin)r[cos()isi n( )]r(si n i cos )r[cos(—2)i sin(；)]27.复数集中解一元二次方程:在复数集内解关于X的兀二次方程ax2 bx c 0(a 0)时，应注意下述问题: ①当a,b, c R时，若> 0,则有二不等实数根X1,2b 2a 则有二相等复数根X1,2b2ab2aI■J " ( X1,2为共轭复数);若=0,则有二相等实数根② 当a,b,c 不全为实数时，不能用方程根的情况•③ 不论a, b,c 为何复数，都可用求根公式求根，并且韦达定理也成立 8.复数的三角形式运算：isin 2) r 2(cos 2 isin 2)r 1r 2[cos( 1i sin 2) r 1-L[cos( i 2) isin(i2)]i sin 2) r 2[r (cos isin )]n r n (cos n i sin n )r 1 (cos 1 r 1 (cos 1 r 2 (cos 2棣莫弗定理:2) isin( 1 2)]。

《复数》知识点总结

《复数》知识点总结一、复数的构成1. 在英语中，一般情况下，名词的复数形式是在单数名词后面加上 -s，例如：cat - cats, dog - dogs。

2. 以 s, x, ch, sh 结尾的名词，复数形式加 -es，例如：box - boxes, church - churches。

3. 以辅音字母+y 结尾的名词，复数形式将 y 变为 i, 再加 -es，例如：baby - babies, city - cities。

4. 以 o 结尾的名词，一般情况下加 -s，例如：photo - photos。

但也有一些名词是加 -es，例如：potato - potatoes。

5. 不规则复数形式：有一些名词的复数形式是不规则的，需要特殊记忆，例如：man - men, woman - women, child - children。

二、复数的用法1. 可数名词的复数形式: 可数名词的复数形式用于表示数量多于一个的人、事物或概念。

例如：There are many books on the shelf.2. 一般情况下，名词具有复数形式时，前面的冠词、限定词、指示代词等一般也是采用复数形式，例如：These are my friends. The cats are playing in the garden.3. 在叙述一般的规律、真理时，一般采用复数形式，例如：Cats are carnivorous animals.三、复数的注意点1. 不论是不可数名词还是可数名词，其复数形式一般是有规律可循的，但也有一些不规则的地方需要特别注意。

例如：man - men, woman - women。

2. 在修饰名词时，形容词、代词等转变为复数形式。

例如：These red apples are delicious.I want to buy those pink dresses.四、不规则复数形式有一些名词的复数形式是不规则的，需要特殊记忆，例如：man - men, woman - women, child - children，在学习和使用中需要特别注意。