信号的量化和量化噪声

ADC的信噪比与有效位(续…)
谐波失真的存在当然也会影响ADC的性能， 的性能，因此定义总谐波失真（ 因此定义总谐波失真（THD ）来确定谐波失真对ADC性能的影响。 性能的影响。总谐波失真是指信号幅度的均方根值 与其谐波的均方根值（ 与其谐波的均方根值（一般只计算前5次谐波） 次谐波）的比值。 的比值。
量化电平： 量化电平：
相关数学公式： 相关数学公式：
1 N σ = ∑ ( xi − x) 2 N i =1 1 N 2 σ= ( x − x ) ∑ i N i =1 1 N 2 RMS = xi ∑ N i =1
2
1.
方差： 方差： 标准差： 标准差：
2.
3.
均方根： 均方根：
4.
数学期望值： 数学期望值：
量化方法与量化误差(续…)
类似于噪声， 类似于噪声，我们关心它的均值、 我们关心它的均值、均方差值， 均方差值，它们可以用概率统计的期 望值公式来计算： 望值公式来计算：
E { f ( x )} =
∫
∞
−∞
f ( x ) p ( x ) dx
其中： 其中：p(x)为函数f(x) 的概率密度。 的概率密度。 所以， 所以，计算量化噪声的平均值公式为： 计算量化噪声的平均值公式为：
2π 0
∫
2π
0
1 − Cos(2 (ω t + θ )) dωt 2
1 = ωt 16π 1 = 8
1 − 32 π
∫
2π
0
Cos(2ω t + 2θ )d 2ω t
带入到信噪比公式里： 带入到信噪比公式里：
3 SNRdb = 6.02N + 10 log(12×σ ) = 6.02N + 10 log = 6.02N + 1.761 2
但实际量化时， 但实际量化时，变换位数N的取值总是有一个限度， 的取值总是有一个限度，因此带来了一定的误差。 因此带来了一定的误差。由 于这种误差是在一定数值范围内随机出现的， 于这种误差是在一定数值范围内随机出现的，类似于电噪声的概率特性。 类似于电噪声的概率特性。因此这种 量化误差通常被称为量化噪声（ 量化误差通常被称为量化噪声（Quantification Noise）。
. SNRACT − 1761 ENOB = 602 .
ADC的信噪比与有效位(续…)
总谐波失真（ 总谐波失真（THD） 实际的ADC还会产生谐波， 还会产生谐波，如下图所示， 如下图所示，当以 f s 的采样频率采模拟频率为 f a | ± Kf s ± nf a | 的频率上产生谐波， 的信号时， 的信号时，会在 的频率上产生谐波，式中n是谐波的次数， 是谐波的次数， K=0，1，2，3……。
THD = 20 lg
= 20 lg
RMS signal RMS ( first 5th HD )
σs
+σ
2 HD 3
σ
2 HD 2
+σ
2 HD 4
+σ
2 HD 5
+σ
2 HD 6
ADC的信噪比与有效位(续…)
信号与噪声加畸变比（ 信号与噪声加畸变比（SINA= 20 lg
2
Q 2 3
= 0.29 Q
这表明， 这表明，即使模拟信号 本身是一个无噪声的信号， 本身是一个无噪声的信号，但经过量化后， 但经过量化后，相当 于在输入信号的频率范围内， 于在输入信号的频率范围内，也就是在Nyquist频率（ 频率（ f s 2 ）内，数字信号 包含着一个量化噪声， 包含着一个量化噪声，量化噪声的均方根值为
E { f ( x )} =
∫
∞
−∞
f ( x ) p ( x ) dx
p(x)为函数f(x) 的概率密度
量化方法与量化误差 对于实际的ADC总是希望量化电平Q越小越好。 越小越好。实际上， 实际上，量化 电平Q的值总会有一个限度， 的值总会有一个限度，因此， 因此，量化过程引入误差是不 可避免的， 可避免的，通常定义其误差为： 通常定义其误差为： 误差 = 量化值 — 实际值
∞ ∞
2
2 Q2 1 e + eQ + ⋅ de ∫− ∞ 4 Q
∞ 2 Q 0 −Q = 12
e2 e3 Q e 2 Qe =∫ + e + de = + + −∞ Q 4 2 4 3Q
对于舍入法， 对于舍入法，有：
σ e2
1 = ∫ e 2 ⋅ p (e )de = −∞ Q
量化值
111 110 101
N=3
V(t)
Q= FSR 2N
FSR
100 011 010 001 000
A B
t ：（-Q～0 截断法： 截断法：模拟信号的A、B两点量化后取值均为010，误差的范围为：（ 误差的范围为 ）； 舍入法： 舍入法：A点的取值为011，误差范围为 (0 ~ Q 2)；B点的取值为010，误差范 围为 (− Q 2 ~ 0) 。因此， 因此，舍入法量化的误差范围为 (− Q 2 ~ Q 2) 。
1
Q
1 Q
−Q
0
截断法
e
Q − 2
0
舍入法
Q 2
e
量化方法与量化误差(续…)
对于量化噪声e来说， 来说，在每一个量化电平内， 在每一个量化电平内，输入信号出现的概率是相 等的， 等的，均值推导如下： 均值推导如下：
1 ( ) P e = Q
∞
− Q < e < 0 Q Q e − < < 2 2
2 x
ADC的信噪比与有效位(续…)
模拟/数字变换的位数N和信噪比的对应换算
ADC的信噪比与有效位(续…)
有效位： 有效位： 从另一角度看， 从另一角度看，当从一个实际的模数/变换系统中测量出其信噪比SNR时 ，可以将实际系统中的电噪声、 可以将实际系统中的电噪声、外界干扰和模拟电路的非线性畸变等因素都 按量化噪声折算， 按量化噪声折算，可以推出系统实际达到的位数， 可以推出系统实际达到的位数，即系统的有效位ENOB（ Effective Number of Bits）。这就导出了如下公式 ）。这就导出了如下公式， 这就导出了如下公式，注意： 注意：这里的 SNRACT 表示从系统中实际测到的信噪比。 表示从系统中实际测到的信噪比。
量化方法与量化误差(续…)
两种量化方法的输入/输出特性曲线： 输出特性曲线：
Xd
101 100 011 010 001 000
-5Q -4Q -3Q -2Q -Q Q 2Q 3Q 4Q 5Q
Xd
101 100 011 010 001
Xa
000
-5Q -4Q -3Q -2Q -Q Q/2 Q 2Q 3Q 4Q 5Q 6Q
信号的量化与量化噪声
ADC位数与量化电平 相关概念： 相关概念： 1. 转换位数， 转换位数，即，分辨率。 分辨率。用N表示； 表示； 2. 量化电平（ 量化电平（ Quantized Level ）。用 ）。用Q表示； 表示； 3. 输入模拟信号的满量程电压值。 输入模拟信号的满量程电压值。用FSR表示； 表示； 4. 最高有效位MSB； 5. 最低有效位LSB；
截断法 舍入法
所以， 所以，误差的平均值为： 误差的平均值为：
1 2 ∞ e = E { e} = ∫ e ⋅ p ( e ) de = e −∞ −∞ 2Q 1 2 0 Q2 Q = =− 截断法 e −Q = − 2Q 2Q 2
1 2 或者 = e 2Q
Q/2 −Q / 2
=0
舍入法
量化方法与量化误差(续…)
The World Leader in High Performance Signal Processing Solutions
ADC 的性能与指标
SINAD − 1.76 dB ENOB = 6.02
Agenda
信号的量化与量化噪声 ADC的性能指标
The World Leader in High Performance Signal Processing Solutions
= 6.02 N + 10 log(12 × σ x2 )
ADC的信噪比与有效位(续…)
设归一化的 X a ( t ) 为 X a 则信号的均方差值为： 则信号的均方差值为：
1 = sin (ω t + θ ) 。则， X a 2
=0
σ
2 x
1 = 2π
∫
2π
0
1 1 2 Sin (ω t + θ )d ω t = 4 8π
从噪声的统计性质出发， 从噪声的统计性质出发，应该更关注量化噪声的均方差值。 应该更关注量化噪声的均方差值。由前面提到 的均方差值的期望值计算公式， 的均方差值的期望值计算公式，可以计算两种量化方法产生的量化噪声的均 方差值。 方差值。 对于截断法， 对于截断法，有：
σ
2 e
Q = ∫ e + ⋅ p ( e )de = −∞ 2
FSR 2 N ⋅ 12
ADC的信噪比与有效位
信噪比
SNR dB
2 σx = 10 log σ 2 e

这里对输入信号 作归一化处理， 作归一化处理，即FSR=1
1
σ e2
Q2 1 22N = = = 12 12 12 × 2 2 N
ADC的信噪比与有效位(续…)
所以
σ x2 2N 2 SNRdB = 10 log × σx ) 2 N = 10 log(12 × 2 1 (12 × 2 ) = 10 log(2 2 N ) + 10 log(12 × σ x2 )