实数指数幂及其运算
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3.1.1
实数指数幂及其运算
-1-
课 标 阐 释 思 1.理解有理指数幂的 含义,会用幂的运算 法则进行有关计算. 2.通过具体实例了解 实数指数幂的意义. 3.通过本节的学习, 进一步体会“用有理 数逼近无理数”的思 想,可以利用计算器 或计算机实际操作, 感受“逼近”的过程.
维
脉
络
课前篇 自主预习 一 二 三
������ ������
������ ������ 1 ������ m n ������ n
a(a>0)
������
a>0,n,m
规 定:a0=1(a≠0) 1 a-n= n (a≠0,n∈N+)
a
∈N+,且 为既约分数 ������ =
������ ������
������ ������ ������
怎样表示?
������ 提示: ������ ������ 能用根式表示,要先明确初中所学整数指数幂的运算 ������ α β αβ 法则可推广到实数范围内.根据(a ) =a 可知(������ ������ )n=am,再根据根式 ������ ������ ������ m 的定义,可知������ ������ 是 a 的正的 n 次方程,因此������ ������ = am .
5 3
������
②当 n 为大于 1 的偶数时,其值为|a|,即 an =|a|.例 如, (-2)2 =2Fra Baidu bibliotek 32 =3, 02 =0.
������
课前篇 自主预习 一 二 三
2.填空. ������ (1)( a)n=a(n>1,且 n∈N+); ������,������为奇数,且������ > 1,������∈N+, ������ ������ (2) ������ = |������|,������为偶数,且������ > 1,������∈N+ .
3 4
������-������,������ ≥ ������, ������-������,������ < ������.
课前篇 自主预习 一 二 三
三、指数幂的运算法则
【问题思考】
������������ m-n 1.如何推导 ������ =a (m>n,a≠0)? ������ ������������ 1 提示: ������ =am·������=am· a-n=am-n. ������ ������
一、概念 【问题思考】 1.为何规定a0=1(a≠0)?
������������ m-n 提示: 根据运算法则 a ÷a = ������ =a . ������ ������ ������ 令上式中 m=n,得 am-n=a0= ������ =1. ������
m n
2.请写出满足方程x2=5与x3=7的实根x,并说明平方根与立方根的 规律性.
课前篇 自主预习 一 二 三
4.填写下表:
整数指数 a =a· a· …· a
n个
n
n 次方根 如果存在实数 x,使得 xn = a(a∈R,n>1,n∈N+), 则 x 叫做 a 的 n 次方 根.求 a 的 n 次方根, 叫做把 a 开 n 次方, 称作开方运算
分数指数 ������ = a =( ������ )m= ������������
课前篇 自主预习 一 二 三
3.做一做:下列等式一定成立的是(
1 A.������2 3 ·������2 =a 9
1 ������3
)
C.(a ) =a
2.填写下表: 正整指数幂 (a≠0,m,n 为整数) (1)am· an=am+n (2)(am)n=amn (3) n =am-n(m>n) a (4)(ab)m=ambm
am
有理指数幂 (a>0,b>0,α,β 为有理数) (1)aαaβ=aα+β β (2)(aα)β=aα· (3)(ab)α=aαbα
课前篇 自主预习 一 二 三
3.做一做:计算下列各式: (1)( -32)5; (3) (-8) ;
5
4 5
(2) (-6)2 ; (4) (������-������) ;
2
4
(5) (3-π)3 .
3
答案: (1)( -32)5=-32. (2) (-6)2 =|-6|=6. (3) (-8)4 =|-8|=8. (4) (������-������)2 =|x-y|= (5) (3-π)3 =3-π.
������ ������ 3 ������
3
5
7
2
4
课前篇 自主预习 一 二 三
������������ 是实数 an 的 n 次方根,an 是一个恒有意义的式子,不受 n 的 ������ 奇偶性限制,a∈R.但是 ������������ 的值受 n 的奇偶性限制: ������ ①当 n 为大于 1 的奇数时,其值为 a,即 an =a.例 如, (-3)3 =-3, 6.15 =6.1;
提示: 满足 x2=5 的实根 x=± 5;满足 x3=7 的实根 x= 7,通过归 纳可知正数有两个平方根,任意实数都只有唯一一个立方根.
3
课前篇 自主预习 一 二 三
������ 3.������ ������
������ > 0,且
������ 为既约分数,������ ������
≥ 2 能否用根式表示?如果能,
1
a>0,n,m∈N+,
且 为既约分数
一般地,当a>0,α为任意实数值时,实数指数幂aα均有意义.
课前篇 自主预习 一 二 三
二、根式的性质
【问题思考】 ������ ������ 1.( a)n 与 ������������ 有何区别?请举例说明.
提示: ( ������)n 是实数 a 的 n 次方根的 n 次幂,其中实数 a 的取值由 n 的奇偶性来决定: ①当 n 为大于 1 的奇数时,a∈R.例 如,( 27) =27,( -32)5=-32,( 0)7=0; ②当 n 为大于 1 的偶数时,a≥0.例 6 4 ������ 如,( 27)4=27,( 3)2=3,( 0)6=0;若 a<0,式子( ������)n 无意义.例 如,( -2) ,( -54)4 均无意义. 因此,只要( ������)n 有意义,其值恒等于 a,即( ������)n=a.
实数指数幂及其运算
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课 标 阐 释 思 1.理解有理指数幂的 含义,会用幂的运算 法则进行有关计算. 2.通过具体实例了解 实数指数幂的意义. 3.通过本节的学习, 进一步体会“用有理 数逼近无理数”的思 想,可以利用计算器 或计算机实际操作, 感受“逼近”的过程.
维
脉
络
课前篇 自主预习 一 二 三
������ ������
������ ������ 1 ������ m n ������ n
a(a>0)
������
a>0,n,m
规 定:a0=1(a≠0) 1 a-n= n (a≠0,n∈N+)
a
∈N+,且 为既约分数 ������ =
������ ������
������ ������ ������
怎样表示?
������ 提示: ������ ������ 能用根式表示,要先明确初中所学整数指数幂的运算 ������ α β αβ 法则可推广到实数范围内.根据(a ) =a 可知(������ ������ )n=am,再根据根式 ������ ������ ������ m 的定义,可知������ ������ 是 a 的正的 n 次方程,因此������ ������ = am .
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������
②当 n 为大于 1 的偶数时,其值为|a|,即 an =|a|.例 如, (-2)2 =2Fra Baidu bibliotek 32 =3, 02 =0.
������
课前篇 自主预习 一 二 三
2.填空. ������ (1)( a)n=a(n>1,且 n∈N+); ������,������为奇数,且������ > 1,������∈N+, ������ ������ (2) ������ = |������|,������为偶数,且������ > 1,������∈N+ .
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������-������,������ ≥ ������, ������-������,������ < ������.
课前篇 自主预习 一 二 三
三、指数幂的运算法则
【问题思考】
������������ m-n 1.如何推导 ������ =a (m>n,a≠0)? ������ ������������ 1 提示: ������ =am·������=am· a-n=am-n. ������ ������
一、概念 【问题思考】 1.为何规定a0=1(a≠0)?
������������ m-n 提示: 根据运算法则 a ÷a = ������ =a . ������ ������ ������ 令上式中 m=n,得 am-n=a0= ������ =1. ������
m n
2.请写出满足方程x2=5与x3=7的实根x,并说明平方根与立方根的 规律性.
课前篇 自主预习 一 二 三
4.填写下表:
整数指数 a =a· a· …· a
n个
n
n 次方根 如果存在实数 x,使得 xn = a(a∈R,n>1,n∈N+), 则 x 叫做 a 的 n 次方 根.求 a 的 n 次方根, 叫做把 a 开 n 次方, 称作开方运算
分数指数 ������ = a =( ������ )m= ������������
课前篇 自主预习 一 二 三
3.做一做:下列等式一定成立的是(
1 A.������2 3 ·������2 =a 9
1 ������3
)
C.(a ) =a
2.填写下表: 正整指数幂 (a≠0,m,n 为整数) (1)am· an=am+n (2)(am)n=amn (3) n =am-n(m>n) a (4)(ab)m=ambm
am
有理指数幂 (a>0,b>0,α,β 为有理数) (1)aαaβ=aα+β β (2)(aα)β=aα· (3)(ab)α=aαbα
课前篇 自主预习 一 二 三
3.做一做:计算下列各式: (1)( -32)5; (3) (-8) ;
5
4 5
(2) (-6)2 ; (4) (������-������) ;
2
4
(5) (3-π)3 .
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答案: (1)( -32)5=-32. (2) (-6)2 =|-6|=6. (3) (-8)4 =|-8|=8. (4) (������-������)2 =|x-y|= (5) (3-π)3 =3-π.
������ ������ 3 ������
3
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课前篇 自主预习 一 二 三
������������ 是实数 an 的 n 次方根,an 是一个恒有意义的式子,不受 n 的 ������ 奇偶性限制,a∈R.但是 ������������ 的值受 n 的奇偶性限制: ������ ①当 n 为大于 1 的奇数时,其值为 a,即 an =a.例 如, (-3)3 =-3, 6.15 =6.1;
提示: 满足 x2=5 的实根 x=± 5;满足 x3=7 的实根 x= 7,通过归 纳可知正数有两个平方根,任意实数都只有唯一一个立方根.
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课前篇 自主预习 一 二 三
������ 3.������ ������
������ > 0,且
������ 为既约分数,������ ������
≥ 2 能否用根式表示?如果能,
1
a>0,n,m∈N+,
且 为既约分数
一般地,当a>0,α为任意实数值时,实数指数幂aα均有意义.
课前篇 自主预习 一 二 三
二、根式的性质
【问题思考】 ������ ������ 1.( a)n 与 ������������ 有何区别?请举例说明.
提示: ( ������)n 是实数 a 的 n 次方根的 n 次幂,其中实数 a 的取值由 n 的奇偶性来决定: ①当 n 为大于 1 的奇数时,a∈R.例 如,( 27) =27,( -32)5=-32,( 0)7=0; ②当 n 为大于 1 的偶数时,a≥0.例 6 4 ������ 如,( 27)4=27,( 3)2=3,( 0)6=0;若 a<0,式子( ������)n 无意义.例 如,( -2) ,( -54)4 均无意义. 因此,只要( ������)n 有意义,其值恒等于 a,即( ������)n=a.