对数函数题型总结
4.3.1对数函数的概念常见题型(解析版)
4.3.1对数函数的概念常见题型题型一：对数函数的概念1．下列函数中，与y x =相等的为（ ）A ．2x y x = B．2y = C ．lg10x y = D．y =2．若函数()2()log 45a f x x a a =+--是对数函数，则=a .【答案】5【分析】根据对数函数的定义即可求解.【详解】解：根据对数函数的定义有245001a a a a ⎧--=⎪>⎨⎪≠⎩，解得5a =，故答案为：5．3．设f （x ）＝ln2a x x -+为奇函数，则a ＝_____.题型二：判断函数是否为对数函数1．下列函数是对数函数的是（ ）A ．()log 2a y x =B ．lg10x y =C ．()2log a y x x =+D ．ln y x = 【答案】D【分析】根据对数函数的概念即得.【详解】因为函数log a y x =(0a >且1a ≠)为对数函数，所以ABC 均为对数型复合函数，而D 是底数为自然常数的对数函数.故选：D.2．给出下列函数：（1）log y x π=；（2）log e y x =；（3）10log y x =；（4）log a y e x =⋅；（5）22log y x =；（6）()2log 1y x =+．其中是对数函数的是______．（将符合的序号全填上） 【答案】（1）（2）（3）【分析】根据对数函数的定义判断．【详解】（4）的系数不是1，（5）的真数不是x ，（6）的真数不是x ．故答案为：（1）（2）（3）．题型三：对数函数的解析式1．若函数()()2log a f x x =+的图象过点()2,0-，则=a （ ）A ．3B ．1C ．-1D ．-3 【答案】A【分析】因为函数图象过一点，代入该点的坐标解方程即得解.【详解】解：由已知得()()22log 20f a -=-+=，所以21a -+=，解得：3a =， 故选：A ．2．已知()f x 为对数函数，122f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则f =______．3．若对数函数log (0a y x a =>且1a ≠）的图象经过点(4,2)，则实数=a ______.【答案】2【分析】直接将点代入计算即可.【详解】将点(4,2)代入log a y x =得2log 4a =，解得2a =故答案为：2.题型四：对数函数的定义域1．函数()20225log 13y x x =+--的定义域为（ ） A ．()(),33,-∞+∞ B ．()()1,33,⋃+∞ C ．()1,+∞D ．()3,+∞2．已知函数()y f x =的定义域为[1,2]-，则函数()2log y f x =的定义域是（ ）A ．[]1,2B ．[]0,4C ．(]0,4D ．1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦3．函数()()lg 2f x x =-定义域为_________． 【答案】()2,+∞【分析】根据函数定义域的求法求得正确答案.【详解】依题意21020x x -≥⎧⎨->⎩，解得2x >， 所以()f x 的定义域为()2,+∞.故答案为：()2,+∞4．已知函数()()ln 2f x x =-，则函数()()()210g x f x f x =-+-的定义域为_________ 【答案】()4,8【分析】首先根据对数函数的真数大于0求出()f x 的定义域，再根据抽象函数的定义域计算规则求出()g x 的定义域.【详解】解：因为()()ln 2f x x =-，所以20x ->，解得2x >，即()f x 的定义域为()2,+∞，对于()()()210g x f x f x =-+-，则22102x x ->⎧⎨->⎩，解得48x ，所以()()()210g x f x f x =-+-的定义域为()4,8.故答案为：()4,8 题型五：求反函数1．与函数14x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象关于直线y x =对称的函数是（ ） A ．4x y =B ．4x y -=C ．14log y x =D ．4log y x =【答案】C【分析】利用函数x y a =与log a y x =（0a >且1a ≠）互为反函数可得出结果.2．函数2()log (1)f x x x =≥的反函数为______. 【答案】()()20x f x x =≥ 【分析】根据反函数的定义结合指、对数之间的转化运算求解，注意函数的定义域.【详解】对于2log (1)y x x =≥，则2,0y x y =≥，故函数2()log (1)f x x x =≥的反函数为()()20x f x x =≥.故答案为：()()20x f x x =≥. 3．函数1()1f x x =-的反函数1()f x -=___________．4．若函数y =f （x ）是函数y =2x 的反函数，则f （2）=______.【答案】1【分析】根据反函数的定义即可求解.【详解】由题知y ＝f (x )＝2log x ，∴f (2)＝1.故答案为：1.题型6：反函数性质的应用1．设函数()y f x =的图象与2x a y +=的图象关于直线y x =对称，(2)(4)1f f +=，则=a （ ） A ．1-B ．1C ．2D ．4【答案】B【分析】利用反函数的知识列方程，化简求得a 的值.【详解】依题意函数()y f x =的图象与2x a y +=的图象关于直线y x =对称， 221x a x a +=⇒=-，422x a x a +=⇒=-，由于(2)(4)1f f +=，所以1211a a a -+-=⇒=.故选：B2．已知()2x f x b =+的反函数为1()f x -，若1()y f x -=的图像经过点(5,2)Q ，则b =_____________．【答案】1【分析】利用原函数与反函数的关系直接求得.【详解】因为1()y f x -=的图像经过点(5,2)Q ，所以点()2,5落在函数()2x f x b =+的图像上，代入得：2(2)25f b =+=，解得：1b =.故答案为：13．若函数2()3log ()=-+f x x a 的反函数的图象经过点(1,0)，则=a __________．【答案】4【分析】由反函数所过点求得()f x 图象所过点，由此求得a 的值.【详解】依题意函数2()3log ()=-+f x x a 的反函数的图象经过点(1,0)， 所以()f x 的图象经过点()0,1，所以()2203log 1,log 2,4f a a a =-===故答案为：4。
对数函数题型归纳总结
对数函数题型归纳总结题型一图像型：类型一对数函数图像的性质：1、已知三个对数函数：y =log a x ，y =log b x ，y =log c x ，它们分别对应如图中标号为①②③三个图象，则a ，b ，c 的大小关系2、当01a <<时，在同一坐标系中，函数1()xy a=与log a y x =的大致图像只可能是（）A.B．C．D．变式训练：1.在同一坐标系中，函数10x y =与lg y x =的图像之间的关系是（）A．关于y 轴对称B．关于x 轴对称C．关于原点对称D．关于y x =轴对称2．当1a >时，在同一平面直角坐标系中，函数x y a =与1log ay x =的图象可能为（）A．B．C．D．题型二图像的变换与平移型：2、函数2log ||y x =的图像大致是（）A．B．C．D．3、已知函数()a f x x =满足(2)4f =，则函数()log (1)a g x x =+的图象大致为（）A．B．C．D．类型三图像的判断：1、函数ln ||()x f x x=的部分图象大致是（）A．B．C．D．题型二函数过定点1、函数log (23)1a y x =-+（(0a >且1)a ≠）的图象恒过定点A ，则A 点坐标为________．2、函数()()log a f x x m =+（0a >且1a ≠）的图象恒过定点()2,n ，则m n +的值为___．题型三解不等式型：1、解下列不等式：（1）)103(log log 21221+>x x （2）)3(log )42(log 224+>++x x x （3）)2(log )4(log 2->-x x a a （4）121log >x（5）33log (21)log (4)1x x -+-<（6）03log 7)(log 221221≤++x x 变式训练：1.解下列不等式：（1）3log 14a <（2）1log 13a <（3）31log 2x <（4）2112log (23)log (56)x x +<-题型四函数的单调性型：类型一一般函数的单调性：【判断函数】1、下列函数中,在(0,)+∞上是增函数的是()A．4()log f x x=B．1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭C．3()f x x =D．2()4f x x =-+2.下列函数中，值域为R 且在区间()0,∞+上单调递增的是（）A．22y x x=+B．12x y +=C．ln y x=D．()1y x x=-。
高中数学指数函数对数函数重点题型汇总
指对函数题型分类一、指数函数：)0,1(>≠=a a a y x 题型一：比较大小1、（1） ； （2） ______ 1； （3） ______2、985316,8,4,2,2从小到大的排列顺序是 。
3、设111()()1222b a <<<，那么 （ ） A.a a ＜a b ＜b a B.a a ＜ b a ＜a b C.a b ＜a a ＜b a D.a b ＜b a ＜a a 4、已知下列等式，比较m ，n 的大小：（1）22m n < (2)0.20.2m n <5、下列关系中，正确的是（ ）A 、5131)21()21(> B 、2.01.022> C 、2.01.022--> D 、115311()()22- - >5．比较下列各组数的大小 (1)31.13.11.1,1.1 (2)3.02.06.0,6.0-- (3)3241⎪⎭⎫ ⎝⎛、3251⎪⎭⎫ ⎝⎛、3141⎪⎭⎫⎝⎛; (4)0.42、20.4、log 402⋅题型二：复合指数函数图象 1、 函数（ ）的图象是（）2．函数与的图象大致是( ).3．当时，函数与的图象只可能是（ ）4．在下列图象中，二次函数 与指数函数 的图象只可（ ）5、若，，则函数的图象一定在（）A ．一、二、三象限B ．一、三、四象限C ．二、三、四象限D ．一、二、四象限6、已知函数xx f 2)(=,则)1(x f -的图象为 （ ）ABCD7、函数b x a x f -=)(的图象如图，其中a 、b 为常数， 则下列结论正确的是（ ） A ．0,1<>b a B ．0,1>>b a C ．0,10><<b a D ．0,10<<<b a8、（全国卷Ⅳ文科）为了得到函数x y )31(3⨯=的图象，可以把函数xy )31(=的图象（ ）A ．向左平移3个单位长度B ．向右平移3个单位长度C ．向左平移1个单位长度D ．向右平移1个单位长度9、画出12-=x y 和12-=xy 的图象。
高中数学对数函数题型归纳
高中数学对数函数题型归纳一、引言高中数学中的对数函数是数学学习中的一个重要内容，它不仅在解决实际问题中有着广泛的应用，也是高考中的重要考点。
本文将针对对数函数的定义、性质、图像以及常见题型进行归纳总结，以期帮助同学们更好地理解和掌握这一知识点。
二、对数函数的定义与性质对数函数是以幂的形式进行运算的函数，其定义域为(0,正无穷)，值域为(负无穷，正无穷)。
对数函数具有以下性质：1.对数函数恒过定点（1，0），即f(x)=logax,(a>0且a≠1)时，x=1。
2.对数的单调性：当a>1时，函数在定义域上为增函数；当0<a<1时，函数在定义域上为减函数。
3.对数函数的底数与真数之间具有换底公式：log·(x)=logac+logc(x)lg。
三、对数函数的图像与运用在掌握对数函数性质的基础上，通过图像能够更好地理解和掌握这一知识点。
常用的对数函数图像包括f(x)=logax,f(x)=2logax等。
图像的应用包括但不限于：通过图像观察函数的单调性、极值、最值；分析图像与坐标轴的交点；以及通过图像理解函数与其他函数的关系等。
四、题型归纳与解析1.直接求对数函数解析式：此类题型主要考察同学们对方程思想的理解和应用。
对于形如f(x)=logax(或其变形形式)的方程，可利用换元法求出对数函数的解析式。
2.对数函数的性质应用：根据对数函数的性质，可以解决一些求最值的问题。
例如，当a>1时，利用函数的单调性可以求出函数在定义域内的最大值或最小值；当0<a<1时，则需考虑在何处取值最合适。
3.对数函数的图像应用：通过对数函数的图像与坐标轴的交点，可以解决一些涉及方程的题目。
例如，已知对数函数的图像与坐标轴交于两点，求这两点的坐标。
4.对数式与代数式的转换：对数式的运算是基于底数的运算进行的，因此，熟练掌握底数的运算规则是解决此类题目的关键。
常见的题型包括：已知部分对数值求整体对数值；将部分对数式转换为代数式；以及对数的加减乘除运算等。
(完整版)对数函数总结
二、新授内容：定义：一般地，如果 的b 次幂等于N, 就是 ，那么数 b 叫做 ()1,0≠>a a a N a b=以a 为底 N 的对数，记作 ，a 叫做对数的底数，N 叫做真数b N a =log 例如：; 1642=⇔216log 4=100102=⇔2100log 10= ; 2421=⇔212log 4=01.0102=-⇔201.0log 10-=探究：⑴负数与零没有对数（∵在指数式中 N > 0 ）⑵，01log =a 1log =a a ∵对任意 且 , 都有 ∴0>a 1≠a 10=a 01log =a 同样易知： 1log =a a ⑶对数恒等式如果把 中的 b 写成 , 则有 N a b=N a log NaNa =log ⑷常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数为了简便,N 的常用对数简记作lgNN 10log 例如：简记作lg5 ; 简记作lg3.5.5log 105.3log 10⑸自然对数：在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e 为底的对数叫自然对数，为了简便，N 的自然对数简记作lnN N e log 例如：简记作ln3 ; 简记作ln103log e 10log e （6）底数的取值范围；真数的取值范围),1()1,0(+∞ ,0(+∞三、讲解范例：咯log例1将下列指数式写成对数式：（课本第87页）（1）=625 （2）=（3）=27 (4) =5.734562-641a3m ）（31例2 将下列对数式写成指数式：（1）； （2）128=7；416log 21-=2log （3）lg0.01=-2； （4）ln10=2.303例3计算： ⑴，⑵，⑶，⑷27log 981log 43()()32log 32-+625log 345二、新授内容：积、商、幂的对数运算法则：如果 a > 0，a ≠ 1，M > 0， N > 0有：)()()(3R)M(n nlog M log 2N log M log NM log 1N log M log (MN)log a n a a a a a a a ∈=-=+=三、讲授范例：例1 计算（1）25， （2）1， （3）（×）， （4）lg 5log 4.0log 2log 74525100例2 用，，表示下列各式：x a log y a log z a log log )2(;(1)log zxyaa 例3计算：(1)lg14-2lg+lg7-lg18 (2) (3)379lg 243lg 2.1lg 10lg 38lg 27lg -+四、课堂练习：1.求下列各式的值：（１）６－３ （２）lg ５＋lg ２2log 2log （３）３＋ （４）５－１５5log 5log 313log 3log 2. 用lg ｘ，lg ｙ，lg ｚ表示下列各式：(1) lg （xyz ）； （２）lg ； （３）； （４）z xy 2zxy 3lg z y x2lg 二、新授内容：1.对数换底公式：( a > 0 ,a ≠ 1 ，m > 0 ,m ≠ 1,N>0)aNN m m a log log log =证明：设 N = x , 则 = Na log xa 两边取以m 为底的对数：N a x N a m m m xm log log log log =⇒= 从而得： ∴ a N x m m log log =N a log =2.两个常用的推论:①，1log log =⋅a b b a 1log log log =⋅⋅a c b c b a② （ a, b > 0且均不为1）b mnb a na m log log =三、讲解范例：例1 已知 3 = a ， 7 = b, 用 a, b 表示 562log 3log 42log 例2计算：① ②3log 12.05-2194log 2log 3log -⋅例3设 且 ),0(,,+∞∈z y x zy x 643==1︒ 求证； 2︒ 比较的大小zy x 1211=+z y x 6,4,3 例4已知x=c+b ，求xa log a log 四、课堂练习：①已知 9 = a , = 5 , 用 a, b 表示4518log b1836log ②若 3 = p , 5 = q , 求 lg 58log 3log 1．证明：bxxa ab a log 1log log += 2．已知λ====n a a a b b b n log log log 2121 求证：λ=)(log 2121n a a a b b b n 二、新授内容：1．对数函数的定义：函数叫做对数函数；它是指数函数 的反x y a log =)10(≠>a a 且xa y =)10(≠>a a 且函数对数函数 的定义域为，值域为x y a log =)10(≠>a a 且),0(+∞),(+∞-∞2．对数函数的图象由于对数函数与指数函数互为反函数，所以的图象与x y a log =xa y =x y a log =的图象关于直线对称因此，我们只要画出和的图象关于对称的x a y =x y =x a y =x y =曲线，就可以得到的图象，然后根据图象特征得出对数函数的性质x y a log =A3．对数函数的性质三、讲解范例：例1（课本第94页）求下列函数的定义域：（1）； （2）； （3）2log x y a =)4(log x y a -=)9(log 2x y a -=例2求下列函数的反函数① ② 121-⎪⎭⎫⎝⎛=xy 3)21(12+=+x y )0(<x 四、练习：1.画出函数y=x 及y=的图象，并且说明这两个函数3log x 31log 的相同性质和不同性质.2.求下列函数的定义域：（1）y=(1-x) (2)y=3log x2log 1(3)y= x311log 7-x y 3log )4(=二、新授内容：例1比较下列各组数中两个值的大小：⑴； ⑵；5.8log ,4.3log 227.2log ,8.1log 3.03.0⑶)1,0(9.5log ,1.5log ≠>a a a a 例3比较下列各组中两个值的大小：⑴； ⑵6log ,7log 76.0log ,log 23π例4 求下列函数的定义域、值域：⑴ ⑵41212-=--xy )52(log 22++=x x y ⑶ ⑷)54(log 231++-=x x y )(log 2x x y a --=10(<<a 1．比较0.7与0.82log 31log 2．已知下列不等式，比较正数m 、n 的大小：（1）m ＜n (2) m ＞n 3log 3log 3.0log 3.0log (3) m ＜n(0＜a ＜1) (4) m ＞n(a ＞1) a log a log a log a log 二、新授内容：例1 ⑴证明函数在上是增函数)1(log )(22+=x x f ),0(+∞⑵函数在上是减函数还是增函数？)1(log )(22+=x x f )0,(-∞例2 求函数的单调区间，并用单调定义给予证明)32(log 221--=x x y 三、练习：1.求y=(-2x)的单调递减区间3.0log 2x 2.求函数y=(-4x)的单调递增区间2log 2x 3.已知y=(2-)在［0，1］上是x 的减函数，求a 的取值范围.a log xa 练习（1）证明函数y= (+1)在（0，+∞）上是减函数；21log 2x （2）判断函数y=（+1)在（-∞,0）上是增减性.21log 2x 概念是数学理论的基础、概念性强是中学数学中函数理论的一个显著特征，集合，函数三要素（对应法则、定义域、值域）；反函数；函数的单调性，最大（小）值等是函数有关概念的重要内容.本章学习的内容中数学概念较多，正确地理解数学概念在于准确把握概念的本质特征.1.映射的定义，就明确如下几点（1）映射f:A→B说的是两个集合A与B间的一种对应，两个集合是有序.（2）映射必须是“多对一”或“一对一”的对应，即允许集合A中不同元素在集合B中有相同的象，但不要求B中的元素在A中都有原象，有原象也不要求惟一，象集可以是B的真子集.（3）映射所涉及两个集合A、B(均非空)，可以是数集，也可以是点集或其他类元素构成的集合.2.函数的概念在映射的基础上理解函数概念，应明确：（1）函数是一种特殊的对应，它要求是两个集合必须是非空数集；函数y=f(x)是“y是x的函数”这句话的数学表示，其中x是自变量，y是自变量x的函数，f是表示对应法则，它可以是一个解析式，也可以是表格或图象，也有的只能用文字语言叙述.（2）函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对应法则是起决定作用的要素，因为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数.（3）确定函数定义域是函数这部分所涉及的重要问题之一，应会求各种函数的定义域，若为实际问题还应注意实际问题有意义.3.函数的单调性函数的单调性是函数重要概念之一，应明确：（1）它是一个区间概念，即函数的单调性是针对定义域内的区间而言的，谈到函数的1单调性必须指明区间（可以是定义域，也可以是定义域内某个区间），例如函数y=在（-x1∞,0）上是减函数，在（0，+∞）上也是减函数，但决不能讲函数y=是减函数.x（2）用函数单调性定义来确定函数在某区间是增函数还是减函数的一般方法步骤是：取值作差化积定号.（3）由函数单调性的定义知，当自变量由小到大，函数值也由小到大，则为增函数，反之，为减函数；由函数图象的走向十分直观反映函数变化趋势，当函数的图象（曲线）从左到右是逐渐上升的，它是增函数，反之为减函数.4.反函数反函数是函数部分重要概念之一，应明确：（1）对于任意一个函数y=f(x)不一定有反函数，如果有反函数，那么原函数y=f(x)与它的反函数是互为反函数.（2）原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域，在求反函数时，应先确定原函数的值域.（3）求反函数的步骤是“一解”“二换”.所谓一解，即是首先由给出原函数的解析式1-1-y=f(x)，反解出用y表示x的式子x=f(y)；二换，即是将x=f(y)中的x,y两个字母1-互换，解到y=f(x)即为所求的反函数（即先解后换）.当然，在同一直角坐标系中，函1-1-数y=f(x)与x=f(y)是表示同一图象，y=f(x)与y=f(x)的图象关于直线y=x对称.（4）一般的偶函数不存在反函数，奇函数不一定存在反函数.（5）原函数与其反函数在其对称区间上的单调性是一致的.5．方法总结⑴.相同函数的判定方法：定义域相同且对应法则相同.⑵.函数表达式的求法：①定义法；②换元法；③待定系数法.⑶.反函数的求法：递解x,互换x、y，注明反函数的定义域(即原函数的值域).⑷.函数的定义域的求法：布列使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函数的定义域.常涉及到的依据为①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0；③对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；④零指数幂的底数不等于零；⑤实际问题要考虑实际意义等.⑸.函数值域的求法：①配方法(二次或四次)；②判别式法；③反函数法；④换元法；⑤不等式法；⑥函数的单调性法.⑹.单调性的判定法：①设x ,x 是所研究区间内任两个自变量，且x ＜x ；②判定1212f(x )与f(x )的大小；③作差比较或作商比较.12⑺.奇偶性的判定法：首先考察定义域是否关于原点对称，再计算f(-x)与f(x)之间的关系：①f(-x)=f(x)为偶函数；f(-x)=-f(x)为奇函数；②f(-x)-f(x)=0为偶；f(x)+f(-x)=0为奇；③f(-x)/f(x)=1是偶；f(x)÷f(-x)=-1为奇函数.⑻.图象的作法与平移：①据函数表达式，列表、描点、连光滑曲线；②利用熟知函数的图象的平移、翻转、伸缩变换；③利用反函数的图象与对称性描绘函数图象.⑼.函数的应用举例(实际问题的解法).解决应用问题的一般程序是：①审题：弄清题意、分清条件和结论、理顺数量关系；②建模：将文字语言转化成数学语言，利用相应的数学知识模型.③求模：求解数学模型，得到数学结论.④还原：将用数学方法得到的结论，还原为实际问题的意义.四、二次函数的基础知识及运用：二次函数虽然是初中内容，但由于应用广泛性，且是解决许多数学问题的基础，在高考中属于重点考查的内容.在高考试题中常有直接考查二次函数的题目，而且还有一定的难度.题型有选择题、填空题，也有解答题，近几年解答题常围绕二次函数并结合二次方程、二次不等式（简称：“三个二”）来设置，而且往往是压轴题，因此，作为重点知识，有必要再次研究二次函数，以掌握并加深对这一部分知识理解，对于二次函数的定义、图象和性质及二次函数的最值，在理解的基础上，并加强记忆和运用.高考对二次函数的考查主要从以下几方面：1.二次函数解析式的三种表示方法：（1）y=ax +bx+c(a≠0)叫做标准式；2（2）y=a(x+)+,叫做顶点式；ab 22a b ac 442-（3）y=a(x-x )(x-x ),叫做二根式；（这里指的是：当Δ＞0时，即抛物线与x 轴有12两个交点（x ,0）和(x ,0)时的解析式形式）.12注意：以上三种形式突出了解析式的特点，运用时要有选择性.2.二次函数的定义、二次函数y=ax +bx+c(a≠0)的图象与性质：2(1)顶点是（-,），对称轴是x=-.a b 2a b ac 442-ab2(2)当a ＞0时图象开口方向向上，分别在单调区间（-∞,-上是减函数；在［-ab 2],+∞上是增函数，其最小值为ymin=.ab 2)a b ac 442-当a ＜0时，图象开口方向向下，分别在单调区间（-∞,-上是增函数；在［-ab 2],+∞)上是减函数，其最大值为ymax=.ab 2a b ac 442-(3)抛物线与x 轴的关系：（即ax +bx+c=0(a≠0)的解）.2ⅰ.当Δ＞0时，抛物线与x 轴有两个交点（x ,0）和(x ,0)其中横坐标为12x 、 =;12aacb b 242-±-ⅱ.当Δ=0时，抛物线与x 轴切于一点，坐标为（-,0）;ab2ⅲ.当Δ＜0时，抛物线与x 轴没有交点.（4）函数值的正负号当Δ＜0时，x∈R 时，y 与a 同号.当Δ=0时，x∈R 且x≠-时，y 与a 同号.ab2当Δ＞0时，设x <x ,则（ⅰ）当x ＜x 或x ＞x 时，y 与a 同号；1212（ⅱ）当x ＜x ＜x 时，y 与a 异号.12以上涉及的是二次函数的定义、图象和性质等基础知识，特别是对函数值的符号，奇偶性，在指定区间上的最值等进行了引伸，应结合图象理解和运用.3.二次函数在指定区间上的最值；4.运用二次函数的知识解决某些数学问题与实际问题.五、指数函数与对数函数的图像和性质：指数函数的图象和性质)10(≠>=a a a y x且对数函数的性质：)10(log ≠>=a a x y a 且六、把握数形结合的特征和方法本章函数中，重点讨论的指数函数、对数函数，都是以定义、性质、图象作为主要的内容，性质和图象相互联系、相互转化，有关函数性质的很多结论是在观察图象的基础上，通过概括，归纳得出的，并借助于函数图象所具有的直观性强的优点形成记忆，在分析和解决与函数有关的问题中，也常常是函数图象的几何特征与函数性质的数量特征紧密结合，相互为用.函数图象可直观、生动地反映函数的某些性质，因此在研究函数性质时，应密切结合函数图象的特征，对应研究函数的性质.七、认识函数思想的实质，强化应用意识函数是用以描述客观世界中量的存在关系的数学概念，函数思想的实质是用联系与变化的观点提出数学对象，抽象数量特征，建立函数关系、解决各种问题.纵观近几年的高考试题，考查函数的思想方法已放在一个突出的位置上，特别是近三年加大了应用题的考查力度，选用的题目都要应用函数的思想、知识、方法才能解答的，因此在函数的学习中，一定要认识函数思想的实质，一定要强化应用意识.八、讲解范例：例1已知函数的定义域是［0，1］，则函数的定义域是________.)(x f )(2x f 例2已知函数= (-1≤x≤0),则=________.)(x f 21x -)5.0(1-f九、课堂练习：1.已知映射f:M→N,使集合N 中的元素y=x 与集合M 中的元素x 对应，要使映射2f:M→N 是一一映射，那么M ，N 可以是（ ）A.M=R ，N=RB.M=R,N={y|y≥0}C.M={x|x≥0},N=RD.M={x|x≥0},N={y|y≥0}2.求下列函数的定义域：（1）y=; （2）y=;34+x 21++x x (3)y=； (4)y=431++-++x x x 2561x x --3.设f(x)=,求证（1）f(-x)=f(x);(2)f()=-f(x).2211x x -+x 11.指出下列函数的单调区间，并说明在单调区间上函数是增函数还是减函数：（1）f(x)=-x +x-6; (2)f(x)=-;2x (3)f(x)=; (4)f(x)=-x +122x -3二、例题分析：例1若函数f(x)=x +bx+c 对任意实数x 都有f(2+x)=f(2-x)，那么（ ）2A.f(2)＜f(1)＜f(4)B.f(1)＜f(2)＜f(4)C.f(2)＜f(4)＜f(1)D.f(4)＜f(2)＜f(1)（1）若对任意实数x,都有f(a+x)=f(a-x)成立，则x=a 是函数f(x)的对称轴（2）若对任意实数x,都有f(a+x)=f(b-x)成立，则x=是f(x)的对称轴.2ba +例2求f(x)=x -2ax+2在［2，4］上的最大值和最小值.2例3已知f(x)=|lgx|,且0＜a ＜b ＜c,若 f(b)＜f(a)＜f(c),则下列一定成立的是（）A.a ＜1,b ＜1,且c ＞1B.0＜a ＜1,b ＞1且c ＞1C.b ＞1,c ＞1D. c ＞1且＜a ＜1,a ＜b ＜ c 1a1例4函数f(x)=x -bx+c ，满足对于任何x∈R 都有f(1+x)=f(1-x)，且f(0)=3,则f(b )与2xf(c )的大小关系是（ ）xA.f(b )≤f(c )B.f(b )≥f(c )x x x xC.f(b )＜f(c )D.f(b )＞f(c )x x x x三、课堂练习：已知f(x)=x -4x-4,x∈［t,t+1］(t∈R)，求f(x)的最小值φ（t ）的解析式.2。
专题10 对数与对数函数 (学生版)高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇
【考点预测】1.高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇专题10对数与对数函数对数式的运算(1)对数的定义：一般地，如果(0x a N a =>且1)a ≠，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，读作以a 为底N 的对数，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．(2)常见对数：①一般对数：以(0a a >且1)a ≠为底，记为log Na ，读作以a 为底N 的对数；②常用对数：以10为底，记为lg N ；③自然对数：以e 为底，记为ln N ；(3)对数的性质和运算法则：①1log 0a =；log 1a a =；其中0a >且1a ≠；②log Na a N =(其中0a >且1a ≠，0N >)；③对数换底公式：log log log c a c bb a=；④log ()log log a a a MN M N =+；⑤log log log aa a MM N N=-；⑥log log (m na a nb b m m=，)n R ∈；⑦log a b a b =和log b a a b =；⑧1log log a b b a=；2.对数函数的定义及图像(1)对数函数的定义：函数log a y x =(0a >且1)a ≠叫做对数函数．对数函数的图象过定点(10)，，即1x =时，0y =在(0)+∞，上增函数在(0)+∞，上是减函数当01x <<时，0y <，当1x ≥时，y≥当01x <<时，0y >，当1x ≥时，0y≤【方法技巧与总结】1.对数函数常用技巧在同一坐标系内，当1a >时，随a 的增大，对数函数的图象愈靠近x 轴；当01a <<时，对数函数的图象随a 的增大而远离x 轴．(见下图)a 增大a 增大【题型归纳目录】题型一：对数运算及对数方程、对数不等式题型二：对数函数的图像题型三：对数函数的性质（单调性、最值（值域））题型四：对数函数中的恒成立问题题型五：对数函数的综合问题【典例例题】题型一：对数运算及对数方程、对数不等式例1．（2022·全国·高三专题练习）（1）计算331log 2327lg 50lg 2+++；（2）已知()23log log lg 1x ⎡⎤=⎣⎦，求实数x 的值；（3）若185a =，18log 9b =，用a ，b ，表示36log 45．例2．（2022·全国·高三专题练习）（1）求23151log log 8log 2725⋅⋅的值.（2）已知9log 5=a ，37b =，试用a ，b 表示21log 35例3．（2022·全国·高三专题练习）（1）已知a ，b ，c 均为正数，且3a ＝4b ＝6c ，求证：212a b c +=；（2）若60a ＝3，60b ＝5，求12(1)12a b b ---的值．例4．（2022·全国·模拟预测）若e 4a =，e 25b =，则（）A ．a ＋b ＝100B ．b －a ＝eC ．28ln 2ab <D ．ln 6b a ->例5．（2022·全国·模拟预测）已知实数x ，y 满足0x >，0y >，1x ≠，1y ≠，y x x y =，log 4y xx y+=，则x y +=（）A ．2B ．4C ．6D ．8例6．（2022·北京昌平·二模）已知函数2()42(0)f x ax ax a =-+<，则关于x 的不等式2()log f x x >的解集是（）A ．(,4)-∞B ．(0,1)C ．(0,4)D ．(4,)+∞例7．（2022·全国·江西师大附中模拟预测（文））已知函数()122log ,1,1,1,x x f x x x >⎧⎪=⎨⎪-≤⎩则不等式()(1)f x f x <-的解集为______．例8．（2022·辽宁·东北育才学校二模）若函数()f x 满足：（1）1x ∀，()20,x ∈+∞且12x x ≠，都有()()21210f x f x x x -<-；（2）()()1122x f f x f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x =___________.（写出满足这些条件的一个函数即可）例9．（2022·全国·高三专题练习）设函数()log m f x x =（0m >且1m ≠）的图像经过点()3,1.（1）解关于x 的方程()()22(1)10f x m f x m +-+-=；（2）不等式()()10f x a f x +⋅->⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的解集是1,93⎛⎫⎪⎝⎭，试求实数a 的值.【方法技巧与总结】对数的有关运算问题要注意公式的顺用、逆用、变形用等.对数方程或对数不等式问题是要将其化为同底，利用对数单调性去掉对数符号，转化为不含对数的问题，但这里必须注意对数的真数为正.题型二：对数函数的图像例10．（2022·山东潍坊·二模）已知函数()()log a f x x b =-（0a >且1a ≠）的图像如图所示，则以下说法正确的是（）A ．0a b +<B ．1ab <-C ．01b a <<D ．log 0a b >例11．（2022·江苏省高邮中学高三阶段练习）函数log (3)1(0a y x a =+->且1)a ≠的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则11+m n的最小值为（）A ．3-B ．1C ． 3+D ．2+（多选题）例12．（2022·福建·莆田二中模拟预测）已知函数()()log a g x x k =+（0a >且1a ≠）的图象如下所示．函数()()1x xf x k a a -=--的图象上有两个不同的点()11,A x y ，()22,B x y ，则（）A ．1a >，2k >B ．()f x 在R 上是奇函数C ．()f x 在R 上是单调递增函数D ．当0x ≥时，()()22f x f x ≤例13．（2022·全国·高三专题练习）已知223,20(){1ln ,021x x x f x x x -+-≤<=≤≤+，若()()g x f x ax a =--的图象与x 轴有3个不同的交点，则实数a 的取值范围为______.【方法技巧与总结】研究和讨论题中所涉及的函数图像是解决有关函数问题最重要的思路和方法.图像问题是数和形结合的护体解释.它为研究函数问题提供了思维方向.题型三：对数函数的性质（单调性、最值（值域））例14．（2022·陕西·榆林市第十中学高二期中（文））函数()22log 43y x x =+-的一个单调增区间是（）A ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．3,2 ⎡⎫+⎪⎢⎣⎭C ．31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭例15．（2022·天津·南开中学二模）已知函数()21,14log 1,1a ax x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨⎪->⎩是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为（）A ．11,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭例16．（2022·浙江·模拟预测）己知实数,(1,)∈+∞a b ，且33log log 3log log 4b a a b +=+，则（）Ab a<<B．b a<<Ca b<<D．a b <例17．（2022·全国·高三专题练习（理））函数f (x )＝log ax (0＜a ＜1)在[a 2，a ]上的最大值是（）A ．0B ．1C ．2D ．a例18．（2022·重庆·模拟预测）若函数()2()log 341a f x x ax =-+-有最小值，则实数a 的取值范围是（）A．⎫⎪⎪⎝⎭B．C．⎛ ⎝⎭D．)+∞【方法技巧与总结】研究和讨论题中所涉及的函数性质是解决有关函数问题最重要的思路和方法.性质问题是数和形结合的护体解释.它为研究函数问题提供了思维方向.题型四：对数函数中的恒成立问题例19．（2022·北京·高三专题练习）若不等式2log 0a x x -<在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内恒成立，则a 的取值范围是（）A ．1116a ≤<B ．1116a <<C ．1016a <≤D ．1016a <<例20．（2022·江苏·高三专题练习）已知函数22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为10,16⎛⎤⎥⎝⎦，若不等式()()log 4log 2x a x a t t ⋅<-在[]1,2x ∈上恒成立，则t 的取值范围是（）A ．2,25⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(,2)-∞D ．()0,2例21．（2022·浙江·高三阶段练习）已知函数()29x f x x+=，()2log g x x a =+，若存在[]13,4x ∈，任意[]24,8x ∈，使得()()12f x g x ≥，则实数a 的取值范围是___________.例22．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()ln f x x x =-，已知实数0a >，若2()e ln 0x f x a a ++≥在()0+∞，上恒成立，求实数a 的取值范围.例23．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()log (0,1)x a f x a x a a =+>≠在[1,2]上的最大值与最小值之和为6log 2a +．（1）求实数a 的值；（2）对于任意的[2,)x ∈+∞，不等式()10kf x -≥恒成立，求实数k 的取值范围．例24．（2022·陕西安康·高三期末（文））已知函数()()()2log 2log 30,1a a f x x x a a =++>≠.(1)若()32f =，求a 的值；(2)若对任意的[]8,12x ∈，()6f x >恒成立，求a 的取值范围.例25．（2022·上海·高三专题练习）已知2()32log f x x =-，2()log g x x =.（1）当[]1,4x ∈时，求函数[]()1()y f x g x =+⋅的值域；（2）对任意12,2n n x +⎡⎤∈⎣⎦，其中常数n N ∈，不等式()2()f x f kg x ⋅>恒成立，求实数k的取值范围.【方法技巧与总结】（1）利用数形结合思想，结合对数函数的图像求解；（2）分离自变量与参变量，利用等价转化思想，转化为函数的最值问题.（3）涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，借助同构思想构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.题型五：对数函数的综合问题例26．（2022·河北·张家口市第一中学高三阶段练习）已知定义域为()0, +的单调递增函数()f x 满足：()0,x ∀∈+∞，有()()ln 1f f x x -=，则方程()242f x x x =-+-的解的个数为（）A ．3B ．2C ．1D ．0例27．（2022·四川雅安·三模（文））设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意R x ∈，都有()()4f x f x +=，且当[]2,0x ∈-时，()163xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．若在区间(]2,6-内关于x 的方程()()()log 201a f x x a -+=>恰有3个不同的实数根，则a 的取值范围是（）．A ．()1,2B ．()2,+∞C ．(D ．)2例28．（2022·广西柳州·高一期中）已知0a b >>，且1a b +=，则（）A ．sin sin a b>B ．11a b>C ．22a b +>D ．lg lg 0a b +=例29．（2022·河北保定·二模）已知函数2332xxy =-在()0,∞+上先增后减，函数3443xxy =-在()0,∞+上先增后减.若()231log log x =()321log log 0x a =>，()()242422log log log log x x b ==，()()343433log log log log 0x x c ==>，则（）A ．a c<B ．b a<C ．c a<D ．a b<例30．（2022·广东·三模）已知,R a b ∈，e 是自然对数的底，若e ln b b a a +=+，则ab的取值可以是（）A ．1B ．2C ．3D ．4例31．（2022·全国·高三专题练习）已知0x 是函数()22e ln 2xf x x x -=+-的零点，则020e ln x x -+=_______．【过关测试】一、单选题1．（2022·辽宁辽阳·二模）区块链作为一种新型的技术，被应用于许多领域.在区块链技术中，某个密码的长度设定为512B ，则密码一共有5122种可能，为了破解该密码，在最坏的情况下，需要进行5122次运算.现在有一台计算机，每秒能进行142.510⨯次运算，那么在最坏的情况下，这台计算机破译该密码所需的时间大约为（参考数据lg20.3≈ 1.58≈）（）A ．1393.1610s ⨯B ．1391.5810s ⨯C ．1401.5810s⨯D ．1403.1610s⨯2．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）已知1log 3m p =，9p n =，其中0m >且1m ≠，0n >且1n ≠，若20m n -=，则p 的值为（）A ．3log 2B ．2log 3C ．2D ．33．（2022·河南安阳·模拟预测（文））已知正实数x ，y ，z 满足(34zx y ==，则（）A ．111x y z+=B ．111y z x+=C ．112x y z +=D ．112x z y+=4．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（文））已知函数()()()ln 22ln 33f x x x =++-，则()f x （）A ．是奇函数，且在()0,1上单调递增B ．是奇函数，且在()0,1上单调递减C ．是偶函数，且在()0,1上单调递增D ．是偶函数，且在()0,1上单调递减5．（2022·全国·高三专题练习）函数()log (1)2a f x x =-+的图象恒过定点A ．（2，2）B ．（2，1）C ．（3，2）D ．（2，0）6．（2022·安徽六安·一模（文））设函数()2f x =，()()2ln 41g x ax x =-+，若对任意的1R x ∈，都存在实数2x ，使得()()12f x g x =成立，则实数a 的取值范围为（）A ．(],4-∞B ．(]0,4C ．[]0,4D ．(]0,27．（2022·湖北·荆门市龙泉中学二模）设0a >且1a ≠，sin cos a x x x >+对(0,)4x π∈恒成立，则a 的取值范围是（）A ．(0,)4πB ．(0,]4πC ．(,1)(1,)42ππ⋃D ．[,1)4π8．（2022·浙江·模拟预测）己知实数,(1,)∈+∞a b ，且33log log 3log log 4b a a b +=+，则（）A b a<<B ．b a<<C a b<<D ．a b <二、多选题9．（2022·重庆市天星桥中学一模）已知0,0a b >>，且1a b +=，则下列结论正确的是（）A ．11a b+的最小值是4B ．1ab ab+的最小值是2C ．22a b +的最小值是D ．22log log a b +的最小值是2-10．（2022·广东汕头·二模）设a ，b ，c 都是正数，且469a b c ==，则下列结论正确的是（）A ．2ab bc ac+=B ．ab bc ac+=C ．4949b b a c⋅=⋅D ．121c b a=-11．（2022·河北·高三阶段练习）下列函数中，存在实数a ，使函数()f x 为奇函数的是（）A ．()(lg f x x =B ．()2f x x ax=+C ．()21xaf x e =--D ．()()2ln 2xx f x x e a =+-12．（2022·江苏·南京师大附中高三开学考试）当102x <≤时，4log xa x ≤，则a 的值可以为（）ABCD三、填空题13．（2022·天津·二模）已知()42log 41log x y +=+，则2x y +的最小值为__________.14．（2022·全国·高三专题练习）已知23e ln 3x x x -+=，则3e ln x x -+=__________．15．（2022·河南·模拟预测（文））已知函数()241,1log ,1x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，若1()2f a <≤，则实数a的取值范围为___________.16．（2022·河南·开封高中模拟预测（文））已知函数()y f x =为奇函数，且对定义域内的任意x 都有()()11f x f x +=--．当()1,2x ∈时，()21log f x x =-．给出以下4个结论：①函数()y f x =的图象关于点()(),0k k ∈Z 成中心对称；②函数()y f x =是以2为周期的周期函数；③当()0,1x ∈时，()()2log 21f x x =--；④函数()y f x =在()(),1k k k +∈Z 上单调递减．其中所有正确结论的序号为______．四、解答题17．（2022·北京·高三专题练习）已知函数()log (0),1)a f x x a a =>≠且，设1a >，函数log a y x =的定义域为[m ，n ](m <n )，值域为[0，1]，定义“区间[m ，n ]的长度等于n －m ”，若区间[m ，n ]长度的最小值．．．为5,6求实数a 的值；18．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a ＞0且a ≠1．(1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明；(3)当a ＞1时，求使f (x )＞0的x 的解集．19．（2022·北京·高三专题练习）已知函数()log (0)1)a f x x a a =>≠且，作出|()|y f x =的大致图像并写出它的单调性；20．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()44log 3log 4f x x x =-⋅.当1,164x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求该函数的值域；21．（2022·全国·高三专题练习）已知：函数()0.51log 1ax f x x -=-在其定义域上是奇函数，a 为常数．(1)求a 的值．(2)证明：()f x 在()1,+∞上是增函数．(3)若对于[]3,4上的每一个x 的值，不等式()12xf x m ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭恒成立，求实数m 的取值范围．22．（2022·北京东城·高三期末）曲线ln y x =在点(,ln )A t t 处的切线l 交x 轴于点M .(1)当t e =时，求切线l 的方程；(2)O 为坐标原点，记AMO 的面积为S ，求面积S 以t 为自变量的函数解析式，写出其定义域，并求单调增区间.。
对数及对数函数知识点总结及题型分析
对数及对数函数1、对数的基本概念（1）一般地，如果a （1,0≠>a a ）的b 次幂等于N ，就是N a b =，那么数b 叫做以a 为底N 的对数， 记作b N a=log ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数，式子N a log 叫做对数式（2）常用对数：N 10log ，记作N lg ； 自然对数N e log （e =2.71828…），记作N ln .（3）指数式与对数式的关系：log xa a N x N =⇔=（0>a ，且1≠a ，0N >）（4）对数恒等式：2、对数的性质（1）负数和零没有对数，即0>N ； （2）1的对数是零，即01log =a ； （3）底的对数等于1，即1log =a a3、对数的运算性质（1）如果a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么①N M MN a a a log log )(log +=； ②N M NMa a alog log log -=； ③M n M a n alog log =（2）换底公式： 推论：① b N N b log 1log =； ② ； ③ 1log log =⋅a b b a4、对数函数的定义：函数 叫做对数函数，其中x 是自变量（1）研究对数函数的图象与性质：由于对数函数 与指数函数 互为反函数，所以 的图像和 的图像关于直线 对称。
（2）复习)10(≠>=a a a y x且的图象和性质()010log >≠>=N a a N aNa ，且bNN a a b log log log =b mn b a na m log log =a y log x =(a 0a 1)>≠且a y log x =x y a =a y log x=xy a =y x =2．对数函数的图像：3．对数函数的性质：【回顾一下】① 定义：函数 称为对数函数，1) 函数的定义域为 ；2) 函数的值域为 ； 3) 当____ __时，函数为减函数，当_________时为增函数； 4) 函数与函数 ______ 互为反函数.① 1) 图象经过点( )，图象在 ；2) 对数函数以 为渐近线(当时，图象向上无限接近y 轴；当时，图象向下无限接近y 轴)； 4) 函数y ＝log a x 与 的图象关于x 轴对称． ① 函数值的变化特征：题型一、对数式的运算 例题1：填空（1）[])81(log loglog 346＝_____ ___； （2）19lg 3lg 2+-＝ ；（3）04.0log 10log 222+＝_____ ___； （4）3log 28log 316161+＝_____ ___； （5）=⋅⋅⋅4log 5log 7log 3log 7352例题2：若a y x =-lg lg ，则=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛332lg 2lg y x （ ）.A a 3 .Ba 23 .C a .D 2a 题型二 变式、对数运算性质运用 变式1：计算变式2：3128x y ==，则11x y-= .xy a log =)1,0(≠>=a a a y x 且10<<a 1>a 2(lg 2)lg 2lg 50lg 25+⋅+题型三、解对数式方程例题1：已知216log =x ，则=x （ ）.A 2 .B 4 .C 8 .D 32例题2：已知 ① 3log 1log 266-=x ，求x 的值 ； ② 2)25(log 22=--x x ，求x 的值。
对数函数【八大题型】(人教A版2019必修第一册)
C． < < <
D． < < <
7
对数函数
【例 5】已知函数() = log ( + + 3) − 2．
（1）若 = 2，求函数()的值域
（2）若函数()在 1， + ∞ 上单调递增，求的取值范围
人
教
A
版
高
中
数
学
【变式 5-1】已知函数() = lg
︵
， ∈
，8 ，则()的值域为（
对
A． −3，1
B． −1，3
数
C． 0，1
D． −3，0
）
函
数
【变式 1-2】下列各组函数中，定义域相同的一组是（
︶
）
A． = 与 = log > 0， 且 ≠ 1)
B． = 2ln与 = ln
C． = lg与 = lg√
D． = 与 = lg
高
定义域
性
质
中
值域
R
数
过定点
(1，0)
学
单调性
在
函数值的
变化范围
上是减函数
在
︵
上是增函数
当 0<x<1 时，y>0
当 0<x<1 时，y<0
当 x=1 时，y=0
当 x=1 时，y=0
当 x>1 时，y<0
当 x>1 时，y>0
对
数
函
数
︶
2．底数 a 对对数函数图象的影响
（1）底数 a 与 1 的大小关系决定了对数函数图象的“升降”．
C． < <
对数函数题型归纳大全非常完整
对数与对数函数题型归纳总结知识梳理 1．对数的概念如果a x ＝N (a ＞0且a ≠1)，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数． 2．对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：①a log aN ＝N ；②log a a b ＝b (a ＞0，且a ≠1)． (2)换底公式：log a b ＝log c blog ca (a ，c 均大于0且不等于1，b ＞0)．利用换底公式推导下面的结论 ①ab b a log 1log =．推广log log log log a b c a b c d d ⋅⋅=． ②b mnb a na m log log =，特例：log log n n a a b b = (3)对数的运算性质：如果a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么：①log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ；②log a MN ＝log a M －log a N ，③log a M n ＝n log a M (n ∈R )．3．函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数，x 是自量，函数定义域是(0,)+∞．注意：（1）对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别．如：x y 2log 2=，5log 5xy =都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．（2）对数函数对底数的限制：0(>a ，且)1≠a ． 4．对数函数的定义、图象与性质结论1.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大. 结论 2.对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a ，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1，函数图象只在第一、四象限. 5.反函数指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称． 例题分析题型一 对数的运算例题1： （1）计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 14－lg 25÷100－12＝_____；(2)计算：（1－log 63）2＋log 62·log 618log 64＝___解析：(1)原式＝(lg 2－2－lg 52)×10012＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫122×52×10＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20.(2)原式＝1－2log 63＋（log 63）2＋log 663·log 6（6×3）log 64＝1－2log 63＋（log 63）2＋1－（log 63）2log 64＝2（1－log 63）2log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1.例题2： 设x 、y 、z 为正数，且，则x 、y 、z 之间的关系式为 . 解析：设，由知，取以为底的对数可得，所以，，，所以，所以. 变式1： （1）若lg 2，lg(2x ＋1)，lg(2x ＋5)成等差数列，则x 的值等于 (2)已知a >b >1，若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a ，则a ＝___，b ＝____ 解析： (1)由题意知lg 2＋lg(2x ＋5)＝2lg(2x ＋1)， ∴2(2x ＋5)＝(2x ＋1)2，(2x )2－9＝0，2x ＝3，x ＝log 23. (2)设log b a ＝t ，则t >1，因为t ＋1t ＝52，∴t ＝2，则a ＝b 2.又a b ＝b a ，∴b 2b ＝b b 2，即2b ＝b 2，又a >b >1，得b ＝2，a ＝4. 变式2： 已知1a b >>．若log lo 52g a b b a +=，b a a b =，则a =______，b =____ 分析：进行对数运算常用的方法：（1）将真数化为底数的指数幂的形式进行化简；（2）将同底对数的和、差、倍合并；（3）利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用；（4）利用常用对数中的lg 2lg51+=解析：设log ,1b a t t =>则，所以152t t +=，解得2t =，所以2a b =， 于是由b a a b =，得22b b b b =，所以22b b =， 解得2,4b a ==．题型二 对数函数的定义域346x y z==346x y z t ===0x >1t >t log 3log 4log 61t t t x y z ===1log 3t x =1log 4t y=1log 6t z =1111log 6log 3log 2log 422t t t t z x y -=-===1112z x y-=例题3： 函数y =__________．解析：要使()21log 1y x =-+有意义，则()21log 10x -+≥，即()2log 11x +≤，即012x <+≤，即11x -<≤，即函数()21log 1y x =-+的定义域为(]1,1-．变式3： 函数256()lg 3x x f x x -+-的定义域为（ ）A ．(2,3)B ．(2,4]C ．(2,3)(3,4]D ．(1,3)(3,6]- 分析：求函数的定义域主要从三个方面考虑：（1）分式中的分母要求不等于0；（2）偶次根式的被开方数要求非负；（3）对数式的真数要求为正数． 解析：由函数()y f x =的表达式可知，函数()f x 的定义域应满足条件：2564||0,03x x x x -+-≥>-，解得44,2,3x x x -≤≤>≠，即函数()f x 的定义域为(2,3)(3,4]，故应选C ．题型三 对数函数的值域 例题4： 求下列函数的值域：（1）31log y x =-；（2）()212log 23y x x =--．解析：（1）∵31log 0x -≥∴33log 1log 3x ≤=∴0x <<3，函数的定义域为(]0,3x ∈∵31log 0x -≥函数的值域为[)0,y ∈+∞． （2）∵2230x x -->∴3x >或1x -<所以函数的定义域为()(),13,x ∈-∞-+∞因为2230x x -->，即223x x --能取遍一切正实数，所以()212log 23x x R --∈ 所以函数的值域为y R ∈． 题型四 对数函数的奇偶性例题5： 若函数()f x 为奇函数，当0x >时，()2log f x x =，则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（） A ．2- B ．1- C ．0 D ．1解析：()()2211log 11log 1022f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=-=-= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，选C ．变式4： 若函数()2lg 2+1f x a x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭为奇函数，则实数a =_______．解析：12-题型五 对数函数的对称性例题6： 若1x 满足522=+x x ，2x 满足5)1(log 222=-+x x ，则=+21x x 解析：x x 252-=，x x 25)1(log 22-=-，即x x -=-2521，x x -=-25)1(log 2，作出12-=x y ，x y -=25，)1(log 2-=x y 的图象（如图）．由图知12-=x y 与)1(log 2-=x y 的图象关于1-=x y 对称，它们与x y -=25的交点A 、B 的中点为x y -=25与1-=x y 的交点C ，47221=+=x x x C ，∴2721=+x x题型六 对数函数的单调性例题7： 求函数()20.1log 253y x x =--的递减区间． 解析：先求函数的定义域，由22530x x -->，得12x -<，或3x >．令2253u x x =--，0.1log y u =，∵对数的底数0.11<，∴函数0.1log y u =减函数，由复合函数单调性“同增异减”的规律可知，要求原函数的单调间区间，只需求函数2253u x x =--（12x -<，或3x >）的递增区间即可．∵22549253248u x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，∴函数2253u x x =--（12x -<，或3x >）的递增区间()3,+∞，所以函数()20.1log 253y x x =--的递减区间为()3,+∞．变式5： 函数()()2log 45a f x x x =--（1a >）的单调递增区间是（） A ．(),2-∞- B ．(),1-∞- C ．()2,+∞ D ．()5,+∞分析：复合函数y ＝f [g (x )]的单调性规律是“同则增，异则减”，即y ＝f (u )与u ＝g (x )若具有相同的单调性，则y ＝f [g (x )]为增函数，若具有不同的单调性，则y ＝f [g (x )]必为减函数．解析：由函数()()2log 45a f x x x =--得2450x x -->，得1x <-或5x >， 根据题意，设245u x x =--，则()229u x =--，图象开口向上， 因函数()()2log 45a f x x x =--为单调增函数， 由1a >得：()log a f x u =也是增函数，又因245u x x =--在()5,+∞上是增函数，故x 的取值范围是()5,+∞，故选D ． 变式6： 已知函数()212log y x ax a =-+在区间()2,+∞上是减函数，则实数a 的取值范围是___________．分析：（1）忽视真数要求大于0的条件；（2）只注意真数所对应的二次函数的单调性而忽视外层函数的单调性．解析：令2t x ax a =-+，则有函数()f x 在区间()2,+∞上是减函数，可得函数t 在区间()2,+∞上是增函数，且(2)0t >，所以22(2)420at a ⎧≤⎪⎨⎪=->⎩，解得4a ≤所以实数a 的取值范围是4a ≤变式7： 若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上递减，则a 的取值范围为________.解析：令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数在(－∞，1]上递减，则有⎩⎨⎧g （1）＞0，a ≥1，即⎩⎨⎧2－a ＞0，a ≥1，解得1≤a ＜2，即a ∈[1，2).．变式8： 已知函数 (a >0，且a ≠1)，若在区间[1，2]上恒成立，则实数a 的取值范围是________.()()8a f x log ax ＝－()1f x >解析：当时，在[1，2]上是减函数，由在区间[1，2]上恒成立，则，解之得。
(完整版)对数函数图像及其性质题型归纳,推荐文档
对数函数及其性质题型总结1．对数函数的概念(1)定义：一般地，我们把函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．(2)对数函数的特征：特征Error!判断一个函数是否为对数函数，只需看此函数是否具备了对数函数的特征．比如函数y ＝log 7x 是对数函数，而函数y ＝－3log 4x 和y ＝log x 2均不是对数函数，其原因是不符合对数函数解析式的特点．【例1－1】函数f (x )＝(a 2－a ＋1)log (a ＋1)x是对数函数，则实数a ＝__________．(1)图象与性质a ＞10＜a ＜1图象(1)定义域{x |x ＞0}(2)值域{y |y R }∈(3)当x ＝1时，y ＝0，即过定点(1,0)(4)当x ＞1时，y ＞0；当0＜x ＜1时，y ＜0(4)当x ＞1时，y ＜0；当0＜x＜1时，y ＞0性质(5)在(0，＋∞)上是增函数(5)在(0，＋∞)上是减函数性质（6）底数与真数位于1的同侧函数值大于0，位于1的俩侧函数值小于0性质（7）直线x ＝1的右侧底大图低谈重点 对对数函数图象与性质的理解 对数函数的图象恒在y 轴右侧，其单调性取决于底数．a ＞1时，函数单调递增；0＜a ＜1时，函数单调递减．理解和掌握对数函数的图象和性质的关键是会画对数函数的图象，在掌握图象的基础上性质就容易理解了．我们要注意数形结合思想的应用．题型一：定义域的求解 求下列函数的定义域．例1、(1)y ＝log 5(1－x )； (2)y ＝log (2x －1)(5x －4)；(3)．y =在求对数型函数的定义域时，要考虑到真数大于0，底数大于0，且不等于1．若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义．一般地，判断类似于y ＝log a f (x )的定义域时，应首先保证f (x )＞0．题型二:对数值域问题对数型函数的值域的求解(1)充分利用函数的单调性和图象是求函数值域的常用方法．(2)对于形如y ＝log a f (x )(a ＞0，且a ≠1)的复合函数，其值域的求解步骤如下：①分解成y ＝log a u ，u ＝f (x )这两个函数；②求f (x )的定义域；③求u 的取值范围；④利用y ＝log a u 的单调性求解．注意：(1)若对数函数的底数是含字母的代数式(或单独一个字母)，要考查其单调性，就必须对底数进行分类讨论．(2)求对数函数的值域时，一定要注意定义域对它的影响．当对数函数中含有参数时，有时需讨论参数的取值范围．221log 1(4y ax ax R a =++数的定义域为，变式求实数的围。
对数及对数函数-知识点及题型归纳
- .可修编 .●高考明方向1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．2.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点．3.知道对数函数是一类重要的函数模型．4.了解指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数(a>0，且a ≠1)．★备考知考情通过对近几年高考试题的统计分析可以看出，本节内容- .可修编 .在高考中属于必考内容，且占有重要的分量，主要以选择题的形式命题，也有填空题和解答题．主要考查对数运算、换底公式等．及对数函数的图象和性质．对数函数与幂、指数函数结合考查，利用单调性比较大小、解不等式是高考的热点.一、知识梳理《名师一号》P27注意：知识点一对数及对数的运算性质1.对数的概念一般地，对于指数式a b ＝N ，我们把“以a 为底N 的对数b ”记作log a N ，即b ＝log a N(a>0，且a ≠1)．其中，数a 叫做对数的底数，N 叫做真数，读作“b 等于以a 为底N 的对数”．- .可修编 .注意：(补充)关注定义---指对互化的依据2．对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则如果a>0且a ≠1，M>0，N>0，那么①log a (MN)＝log a M ＋log a N ；②log a M N＝log a M －log a N ； ③log a M n ＝nlog a M(n ∈R)；④log a mM n＝n m log a M.(2)对数的性质①a logaN ＝N ；②log a a N ＝N(a>0，且a ≠1)．-.可修编 .(3)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝log a N log a b(a ，b 均大于零且不等于1)； ②log a b ＝1log b a，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d. 注意：(补充)特殊结论:log 10,log 1a a a ==知识点二 对数函数的图象与性质1.对数函数的图象与性质（注意定义域!）a>1 0<a<1- .可修编 .2.反函数指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．(补充)设y ＝f(x)存在反函数，并记作y ＝f －1(x)，1) 函数y ＝f(x)与其反函数y ＝f －1(x)的图象- .可修编 .关于直线y x 对称．2) 如果点P(x 0，y 0)在函数y ＝f(x)的图象上，则必有f －1(y 0)＝x 0，反函数的定义域、值域分别为原来函数的值域、定义域．3)函数y ＝f(x)与其反函数y ＝f －1(x)的单调性相同．二、例题分析：（一）对数式的运算例1.(1)《名师一号》P27 对点自测1(2013·XX 文3)设a ，b ，c 均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( )A ．log a b ·log c b ＝log c aB ．log a b ·log c a ＝log c b- .可修编 .C ．log a (bc)＝log a b ·log a cD ．log a (b ＋c)＝log a b ＋log a c解析 由对数的运算性质：log a (bc)＝log a b ＋log a c ，可判断选项C ，D 错误；选项A ，由对数的换底公式知，log a b ·log c b ＝log c a ⇒lgb lga ·lgb lgc ＝lga lgc⇒lg 2b ＝lg 2a ，此式不恒成立，故错误；对选项B ，由对数的换底公式知，log a b ·log c a ＝lgb lga ·lga lgc ＝lgb lgc＝log c b ，故恒成立． 答案 B- .可修编 .例1.(2) (补充) 计算下列各式的值 (1)2lg 2lg 3111lg 0.36lg823+=++ (2) 温故知新P22 第8题()22log 3lg5lg 2lg504+⋅+= (3)235111log log log 2589⋅⋅=答案：(1) 1 (2)10 (3)-12- .可修编 .注意： 准确熟练记忆对数运算性质多练lg 2lg51+=《名师一号》P28 高频考点 例1【规律方法】 在对数运算中，要熟练掌握对数式的定义，灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形，多个对数式要尽量化成同底的形式．例2.(1)《名师一号》P27 对点自测2(2014·XX 卷)已知4a ＝2，lgx ＝a ，则x ＝________.解析 ∵4a ＝2，∴a ＝log 42＝12.由lgx ＝12，- .可修编 . 得x ＝10 12＝10.例2.（2）《名师一号》P28 高频考点 例1(1)若x ＝log 43，则(2x －2－x )2等于( )A.94B.54C.103D.43解析:由x ＝log 43，得4x ＝3，即2x ＝3，2－x ＝33，-.可修编. ⎝⎭注意：指数与对数的互化a b＝N⇔b＝logaN(a>0，a≠1，N>0)．练习:(补充)已知1135,2a b ka b==+=求k答案:k=例3.《名师一号》P28 高频考点例1(2)- .可修编 .已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x>0，3－x ＋1，x ≤0，则f(f(1))＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312的值是( )A ．5B ．3C ．－1 D.72因为f(1)＝log 21＝0，所以f(f(1))＝f(0)＝2. 因为log 312<0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312＝3－log 312＋1＝3log 32 ＋1＝2＋1＝3.所以f(f(1))＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312＝2＋3＝5.-.可修编 .二、对数函数的图象及性质的应用 例1. (补充)求下列函数的定义域． (1)y ＝log 0.5(4x －3). (2)y ＝log (x ＋1)(16－4x )．解析：(1)由函数定义知：⎩⎪⎨⎪⎧log 0.5(4x －3)≥04x －3>0∴⎩⎪⎨⎪⎧4x －3≤14x －3>0，即34<x ≤1.-.可修编 .故原函数的定义域是{x|34<x ≤1}．(2)由函数有意义知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0x ＋1≠116－4x>0∴⎩⎪⎨⎪⎧x>－1x ≠0x<2即－1<x<2，且x ≠0.故原函数的定义域为{x|－1<x<0，或0<x<2}． 练习：已知集合(){}22log x y x ax a R =--=XX 数a 的取值X 围．- .可修编 .解析：设f(x)＝x 2－ax －a ，则y ＝log 2f(x)， 依题意，f(x)>0恒成立，∴Δ＝a 2＋4a<0 ∴－4<a<0，即a 的X 围为(－4,0)例2.《名师一号》P27 对点自测5(2014·XX 卷)函数f(x)＝log 2x ·log 2(2x)的最小值为________．-.可修编 .解析 根据对数运算性质，f(x)＝log 2x ·log2 (2x)＝12log 2x ·[2log 2(2x)]＝log 2x(1＋log 2x)＝(log 2x)2＋log 2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2x ＋122－14，当x ＝22时，函数取得最小值－14.注意：换元后“新元”的取值X 围．练习：1、求下列函数的值域- .可修编 .（1）y ＝log 15(－x 2＋2x ＋4)[答案] [－1，＋∞)（2）f(x)＝log 22x －3log 2x 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤x ≤2[解析] 令t ＝log 2x ，∵12≤x ≤2∴－1≤t ≤1.∴函数化为y ＝t 2－6t ＋2＝(t －3)2－7∵－1≤t ≤1.∴当t ＝－1，即x ＝12时，y max ＝9.当t ＝1，即x ＝2时，y min ＝－3， ∴函数的值域为[－3,9].2、已知集合(){}22log y y x ax aR =--=XX数a的取值X围．[分析]当且仅当f(x)＝x2－ax－a的值能够取遍一切正实数时，y＝log2(x2－ax－a)的值域才为R.而当Δ<0时，f(x)>0恒成立，仅仅说明函数定义域为R，而f(x)不一定能取遍一切正实数(一个不漏)．要使f(x)能取遍一切正实数，作为二次函数，f(x)图像应与x轴有交点(但此时定义域不再为R)[正解] 要使函数y＝log2(x2－ax－a)的值域为R，应使f(x)＝x2－ax－a能取遍一切正数，要使f(x)＝x2－ax－a能取遍一切正实数，应有Δ＝a2＋4a≥0，∴a≥0或a≤－4，∴所求a的取值X围为(－∞，－4]∪[0，＋∞)-.可修编.- .可修编 .例3. （1）《名师一号》P27 对点自测4已知a ＞0且a ≠1，则函数y ＝log a (x ＋2 015)＋2的图象恒过定点________．解析 令x ＋2 015＝1，即x ＝－2 014时，y ＝2，故其图象恒过定点(－2 014,2)． 练习:- .可修编 .无论a 取何正数(a ≠1)，函数()33log a y x =-+恒过定点 【答案】()43, 注意：对数函数()01log ,a y x a a =>≠且图象都经过定点(1, 0)例3. （2） (补充)如右下图是对数函数①y ＝log a x ，②y ＝log b x ， ③y ＝log c x ，④y ＝log d x 的图象，则a 、b 、c 、d 与1的大小关系是 ( ) A ．a>b>1>c>d B ．b>a>1>d>c C ．1>a>b>c>d- .可修编 .D ．a>b>1>d>c【答案】B在上图中画出直线y ＝1，分别与①、②、③、④交于A(a,1)、B(b,1)、C(c,1)、D(d,1)，由图可知c<d<1<a<b.注意：(补充)两个单调性相同的对数函数，它们的图象在位于直线x ＝1右侧的部分是“底大图低”. 利用1log a a =，图象都经过()1,a 点，作直线1y =，-.可修编 .则该直线与图象的交点的横坐标即为底数a 。
指数对数比大小及各种题型总结
指数函数与对数函数题型总结题型一：定义域的求解一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x 的范围，求函数的定义域需要从这几个方面入手： 1、分母不为零2、偶次根式的被开方数非负。
3、对数中的真数部分大于0。
4、指数、对数的底数大于0，且不等于15、y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。
6、0x 中x 0≠【2019江苏理4】函数276y x x =+-的定义域是_____. 【答案】[－1,7]【解析】由已知得2760x x +-≥,即2670x x --≤解得17x -≤≤，故函数的定义域为[－1,7]. 【2018•江苏理5】函数f(x) =1log 2-x 的定义域为________. 【答案】【解析】解：,即。
【2017年山东理1】设函数y=4-x 2的定义域为A ，函数y=ln(1-x)的定义域为B,则A∩B=( ) A.（1,2） B.(1,2] C.（-2,1） D.[-2,1)【答案】D 【解析】由4-x 2≥0得-2≤x≤2，由1-x ＞0得x ＜1，故A∩B={x|-2≤x≤2}∩{x|-2≤x ＜1}.故选D. 【2016江苏理5】函数y=的定义域是 ．【答案】 [﹣3，1]【解析】解：由3﹣2x ﹣x 2≥0得：x 2+2x ﹣3≤0，解得：x ∈[﹣3，1]， 【2014山东理3】函数1)(log 1)(22-=x x f 的定义域为（ ）A.)210(，B.)2(∞+，C.),2()210(+∞ ， D.)2[]210(∞+，， 【答案】 C 【解析】根据函数解析式有意义的条件建立不等式求解.()22log 10x ->，2log 1x ∴>或2log 1x ∴<-，2x ∴> 或102x ∴<<. 【2014江西理】函数f （x ）=ln （x 2﹣x ）的定义域为（ ） A ．（0，1）B ．[0，1]C ．（﹣∞，0）∪（1，+∞）D ．（﹣∞，0]∪[1，+∞） 【答案】 C 【解析】要使函数有意义，则x 2﹣x ＞0，即x ＞1或x ＜0， 故函数的定义域为（﹣∞，0）∪（1，+∞）， 【2013重庆文3】函数21log 2y x =(-)的定义域是( )．A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(2,3)∪(3，＋∞)D ．(2,4)∪(4，＋∞) 【答案】C【解析】由题知220,log 20,x x ->⎧⎨(-)≠⎩解得2,21,x x >⎧⎨-≠⎩即2,3.x x >⎧⎨≠⎩所以该函数的定义域为(2,3)∪(3，＋∞)，故选C ．【2013大纲全国理4】已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( )．A ．(－1,1)B ．11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C ．(－1,0) D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】由题意知－1＜2x ＋1＜0，则－1＜x ＜12-.故选B. 【2013安徽文11】函数21ln 11y x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭的定义域为__________． 【答案】(0,1]【解析】由2110,10xx ⎧+>⎪⎨⎪-≥⎩⇒10,11x x x <->⎧⎨-≤≤⎩或⇒0＜x ≤1. ∴该函数的定义域为(0,1]． 【2013山东文5】函数f (x )＝1123xx -++的定义域为( )． A ．(－3,0] B ．(－3,1] C ．(－∞，－3)∪(－3,0] D ．(－∞，－3)∪(－3,1]【答案】 A 【解析】由题可知12030x x ⎧-≥⎨+>⎩⇒213x x ⎧≤⎨>-⎩⇒0,3,x x ≤⎧⎨>-⎩ ∴定义域为(－3,0]．【2013江西理2】函数y ＝x ln(1－x )的定义域为( )．A ．(0,1)B ． [0,1)C ．(0,1]D ．[0,1] 【答案】B【解析】要使函数有意义，需0,10,x x ≥⎧⎨->⎩解得0≤x ＜1，即所求定义域为[0,1)．故选B.【2013大纲全国理4】已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( )．A ．(－1,1)B ．11,2⎛⎫--⎪⎝⎭ C ．(－1,0) D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】 B 【解析】由题意知－1＜2x ＋1＜0，则－1＜x ＜12-.故选B. 【2012山东文3】函数21()4ln(1)f x x x =+-+的定义域为 （ ）.A.[2,0)(0,2]- B.(1,0)(0,2]- C.[2,2]- D.(1,2]-【答案】B 【解析】要使得函数有意义,应满足210111040x x x x ⎧+>⎪+≠⇒-<<⎨⎪-⎩或02x<.【2012江西理】下列函数中，与函数y=定义域相同的函数为（ ）A ．y=B ．y=C ．y=xe xD ．y=【答案】 D 【解析】∵函数y=的定义域为{x ∈R|x ≠0}，∴对于A ，其定义域为{x|x ≠k π}（k ∈Z ），故A 不满足； 对于B ，其定义域为{x|x ＞0}，故B 不满足； 对于C ，其定义域为{x|x ∈R}，故C 不满足； 对于D ，其定义域为{x|x ≠0}，故D 满足； 综上所述，与函数y=定义域相同的函数为：y=．【2012江苏省理】函数x x f 6log 21)(-=的定义域为 ． 【答案】 (0 6⎤⎦，。
对数及对数函数-知识点及题型归纳
●高考明方向1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．2.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点．3.知道对数函数是一类重要的函数模型．4.了解指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数(a>0，且a≠1)．★备考知考情通过对近几年高考试题的统计分析可以看出，本节内容. 资料. .. .在高考中属于必考内容，且占有重要的分量，主要以选择题的形式命题，也有填空题和解答题．主要考查对数运算、换底公式等．及对数函数的图象和性质．对数函数与幂、指数函数结合考查，利用单调性比较大小、解不等式是高考的热点.一、知识梳理《名师一号》P27注意：知识点一对数及对数的运算性质1.对数的概念一般地，对于指数式a b＝N，我们把“以a为底N的对数b”记作log a N，即b＝log a N(a>0，且a≠1)．其中，数a叫做对数的底数，N叫做真数，读作“b等于以a为底N的对数”．. 资料. .. .. 资料. .. .注意：(补充)关注定义---指对互化的依据2．对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①log a (MN)＝log a M ＋log a N ；②log a M N＝log a M －log a N ； ③log a M n ＝nlog a M(n ∈R)；④log a m M n＝n m log a M.(2)对数的性质①a logaN ＝N ；②log a a N ＝N (a>0，且a≠1)．. 资料. .. .(3)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝log a N log a b(a ，b 均大于零且不等于1)； ②log a b ＝1log b a，推广log a b·log b c·log c d ＝log a d. 注意：(补充)特殊结论:log 10,log 1a a a ==知识点二 对数函数的图象与性质1.对数函数的图象与性质（注意定义域!）a>1 0<a<12.反函数指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．(补充)设y＝f(x)存在反函数，并记作y＝f－1(x)，1) 函数y＝f(x)与其反函数y＝f－1(x)的图象. 资料. .. .. 资料. .. .关于直线y x 对称．2) 如果点P(x 0，y 0)在函数y ＝f(x)的图象上，则必有f －1(y 0)＝x 0 ，反函数的定义域、值域分别为原来函数的值域、定义域．3) 函数y ＝f(x)与其反函数y ＝f －1(x)的单调性相同．二、例题分析：（一）对数式的运算 例1.(1)《名师一号》P27 对点自测1(2013·陕西文3)设a ，b ，c 均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( )A ．log a b·log c b ＝log c aB ．log a b·log c a ＝log c b. 资料. .. .C ．log a (bc)＝log a b·log a cD ．log a (b ＋c)＝log a b ＋log a c解析 由对数的运算性质：log a (bc)＝log a b ＋log a c ， 可判断选项C ，D 错误；选项A ，由对数的换底公式知，log a b·log c b ＝log c a ⇒lgb lga ·lgb lgc ＝lga lgc⇒lg 2b ＝lg 2a ，此式不恒成立，故错误；对选项B ，由对数的换底公式知，log a b·log c a ＝lgb lga ·lga lgc ＝lgb lgc＝log c b ，故恒成立． 答案 B. 资料. .. .例1.(2) (补充) 计算下列各式的值 (1) 2lg 2lg 3111lg 0.36lg823+=++ (2) 温故知新P22 第8题()22log 3lg5lg 2lg504+⋅+= (3) 235111log log log 2589⋅⋅=答案：(1) 1 (2)10 (3)-12注意： 准确熟练记忆对数运算性质多练. 资料. .. .lg 2lg51+=《名师一号》P28 高频考点 例1【规律方法】 在对数运算中，要熟练掌握对数式的定义，灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形，多个对数式要尽量化成同底的形式．例2.(1)《名师一号》P27 对点自测2(2014·陕西卷)已知4a ＝2，lgx ＝a ，则x ＝________.解析 ∵4a ＝2，∴a ＝log 42＝12.由lgx ＝12， 得x ＝10 12 ＝10.. 资料. .. .例2.（2）《名师一号》P28 高频考点 例1(1)若x ＝log 43，则(2x －2－x )2等于( )A.94B.54C.103D.43解析:由x ＝log 43，得4x ＝3，即2x ＝3，2－x ＝33， 所以(2x －2－x )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2332＝43. 注意：指数与对数的互化a b ＝N ⇔b ＝log a N (a>0，a ≠1，N>0)．. 资料. .. .练习:(补充)已知1135,2a bk a b ==+=求k答案: k =例3.《名师一号》P28 高频考点 例1(2)已知函数f(x)＝⎩⎨⎧log 2x ，x>0，3－x ＋1，x≤0，则f(f(1))＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312的值 是( )A ．5B ．3C ．－1 D.72. 资料. .. .因为f(1)＝log 21＝0，所以f(f(1))＝f(0)＝2.因为log 312<0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312＝3－log 312 ＋1 ＝3log 32 ＋1＝2＋1＝3.所以f(f(1))＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312＝2＋3＝5.二、对数函数的图象及性质的应用例1. (补充)求下列函数的定义域．(1)y ＝log 0.5(4x －3).(2)y ＝log (x ＋1)(16－4x )．. 资料. .. .解析：(1)由函数定义知：⎩⎨⎧ log 0.5(4x －3)≥04x －3>0 ∴⎩⎨⎧ 4x －3≤14x －3>0，即34<x≤1. 故原函数的定义域是{x|34<x≤1}． (2)由函数有意义知⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1>0x ＋1≠116－4x >0∴⎩⎪⎨⎪⎧ x>－1x≠0x<2即－1<x<2，且x≠0.. 资料. .. . 故原函数的定义域为{x|－1<x<0，或0<x<2}．练习：已知集合(){}22log x y x ax a R =--=求实数a 的取值范围．解析：设f(x)＝x 2－ax －a ，则y ＝log 2f(x)，依题意，f(x)>0恒成立，∴Δ＝a 2＋4a<0∴－4<a<0，即a 的范围为(－4,0)例2.《名师一号》P27 对点自测5(2014·重庆卷)函数f(x)＝log 2x ·log 2(2x)的最小值为________．. 资料. .. .解析 根据对数运算性质，f(x)＝log 2x ·log 2 (2x)＝12log 2x·[2log 2(2x)]＝log 2x(1＋log 2x)＝(log 2x)2＋log 2x ＝⎝⎛⎭⎪⎫log 2x ＋122－14，当x ＝22时，函数取得最小值－14.注意：换元后“新元”的取值范围．. 资料. .. .练习：1、求下列函数的值域（1）y ＝log 15(－x 2＋2x ＋4)[答案] [－1，＋∞)（2）f(x)＝log 22x －3log 2x 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤x≤2 [解析] 令t ＝log 2x ，∵12≤x≤2∴－1≤t≤1. ∴函数化为y ＝t 2－6t ＋2＝(t －3)2－7∵－1≤t≤1.∴当t ＝－1，即x ＝12时，y max ＝9. 当t ＝1，即x ＝2时，y min ＝－3，. 资料. .. . ∴函数的值域为[－3,9].2、已知集合(){}22log y y x ax aR =--=求实数a 的取值范围．[分析]当且仅当f(x)＝x 2－ax －a 的值能够取遍一切正实数时，y ＝log 2(x 2－ax －a)的值域才为R.而当Δ<0时，f(x)>0恒成立，仅仅说明函数定义域为R ，而f(x)不一定能取遍一切正实数(一个不漏)．要使f(x)能取遍一切正实数，作为二次函数，f(x)图像应与x 轴有交点(但此时定义域不再为R)[正解] 要使函数y ＝log 2(x 2－ax －a)的值域为R ，应使f(x)＝x 2－ax －a 能取遍一切正数，要使f(x)＝x 2－ax －a能取遍一切正实数，应有Δ＝a2＋4a≥0，∴a≥0或a≤－4，∴所求a的取值范围为(－∞，－4]∪[0，＋∞)例3. （1）《名师一号》P27 对点自测4已知a＞0且a≠1，则函数y＝log a(x＋2 015)＋2的图象恒过定点________．解析令x＋2 015＝1，即x＝－2 014时，y＝2，故其图象恒过定点(－2 014,2)．. 资料. .. .. 资料. .. .练习:无论a 取何正数(a≠1)，函数()33log a y x =-+恒过定点【答案】()43,注意：对数函数()01log ,a y x a a =>≠且图象都经过定点(1, 0)例3. （2） (补充)如右下图是对数函数①y ＝log a x ，②y ＝log b x ，③y ＝log c x ，④y ＝log d x 的图象，则a 、b 、c 、d 与1的大小关系是 ( )A．a>b>1>c>dB．b>a>1>d>cC．1>a>b>c>dD．a>b>1>d>c【答案】B在上图中画出直线y＝1，分别与①、②、③、④交于A(a,1)、B(b,1)、C(c,1)、D(d,1)，由图可知c<d<1<a<b.注意：(补充)两个单调性相同的对数函数，. 资料. .. .. 资料. .. .它们的图象在位于直线x＝1右侧的部分是“底大图低”.利用1logaa=，图象都经过()1,a点，作直线1y=，则该直线与图象的交点的横坐标即为底数a。
对数函数常见题型
4.4 对数函数1．对数函数的定义一般地，我们把函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).(1)由于指数函数y＝a x中的底数a满足a＞0，且a≠1，则对数函数y＝log a x中的底数a也必须满足a＞0，且a≠1.(2)对数函数的解析式同时满足：①对数符号前面的系数是1；②对数的底数是不等于1的正实数(常数)；③对数的真数仅有自变量x.2．对数函数的图象和性质一般地，对数函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)的图象和性质如下表所示：a＞10＜a＜1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R图象过定点(1,0)，即当x＝1时，y＝0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数非奇非偶函数3.反函数对数函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)和指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x 对称．4．对数型复合函数的单调性复合函数y＝f[g(x)]是由y＝f(x)与y＝g(x)复合而成，若f(x)与g(x)的单调性相同，则其复合函数f[g(x)]为增函数；若f(x)与g(x)的单调性相反，则其复合函数f[g(x)]为减函数.对于对数型复合函数y＝log a f(x)来说，函数y＝log a f(x)可看成是y＝log a u与u＝f(x)两个简单函数复合而成的，由复合函数单调性“同增异减”的规律即可判断．另外，在求复合函数的单调区间时，首先要考虑函数的定义域．5．对数型复合函数的值域对于形如y＝log a f(x)(a>0，且a≠1)的复合函数，其值域的求解步骤如下：(1)分解成y＝log a u，u＝f(x)两个函数；(2)解f(x)>0，求出函数的定义域；(3)求u的取值范围；(4)利用y＝log a u的单调性求解．题型一 对数函数的判断例1、（1）给出下列函数：①223log y x =；②3log (1)y x =-；③(1)log x y x +=；④log e y x =.其中是对数函数的有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个（2）若函数2log 32a y x a a =+-+为对数函数，则a =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4跟踪练习1．下列函数表达式中，是对数函数的有（ ）①y ＝log x 2；②y ＝log a x (a ∈R )；③y ＝log 8x ；④y ＝ln x ；⑤y ＝log x (x ＋2)；⑥y ＝log 2(x ＋1)． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．下列函数表达式中，是对数函数的有（ ）①log 2x y =；②()log a y x a =∈R ；③8log y x =；④ln y x =；⑤()log 2x y x =+；⑥42log y x =；⑦()2log 1y x =+. A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个3．若函数()2()log 45a f x x a a =+--是对数函数，a =_________.题型二 对数函数的解析式或函数值例2（1）对数函数的图像过点M (125，3)，则此对数函数的解析式为（ ） A ．y ＝log 5xB ．y ＝15log xC ．y ＝13log xD ．y ＝log 3x（2）设()log a f x x =（0a >且1a ≠），若1(2)2f =，则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）. A ．2 B ．2-C ．12-D ．12跟踪练习1．若某对数函数的图象过点()4,2，则该对数函数的解析式为（ ） A ．2log y x =B ．42log y x =C ．2log y x =或42log y x =D ．不确定2．若函数()()lo 1g a f x x =+(0,1)a a >≠的图像过点(7,3)，则a 的值为（ ） A 2B ．2C 2D ．12题型三 对数函数的定义域例3（1）函数()4f x x=-的定义域为（ ）A ．(]1,2B ．[]1,4C ．()1,4D ．[]2,4（2）已知函数(2)x y f =的定义域是[]1,1-，则函数3(log )f x 的定义域是（ ） A ．[]1,1-B ．1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]1,3D ．[3,9]（3）若函数()lg 1y ax =+的定义域为(),1-∞，则a =（ ） A ．1 B ．－1 C ．2 D ．无法确定跟踪练习1．函数()00.5log 21y x =-⎡⎤⎣⎦的定义域为（ ）A ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．()1,+∞D ．()1,11,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭2．函数3()log (21)1xf x x x =--的定义域是（ ） A ．1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．(1,)+∞D ．1(,1)23．若函数(1)f x +的定义域为[0 1]，，则(lg )f x 的定义域为（ ） A ．[10 100]，B ．[1 2]，C ．[0 1]，D ．[0 lg2]，4.求下列函数的定义域 （1）2112y x x=+-- （2）函数221()x f x --=（3）20()(54)lg(43)x f x x x =+-+ 题型四 对数函数的定点例4函数()log 272=+-a y x （0a >，且1a ≠）的图象一定经过的点是（ ） A ．7,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．()3,2--C ．()3,1--D ．()4,2--跟踪练习1．函数()()log 310,1a y x a a =->≠的图象过定点（ ） A ．2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,0-C ．2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()0,1-2．函数()log 1a y x =-的图象必过的点是（ ） A ．()1,0-B ．()1,0C ．()0,0D ．()2,03．已知函数log (3)2a y x =-+（0a >且1a ≠）的图象恒过定点P ，点P 在幂函数()y f x =的图象上，则lg (4)lg (25)f f +=（ )A ．2-B ．2C ．1D ．1-题型五 对数函数的值域（最值）例5（1）已知184x ≤≤，则函数2()log f x x =的值域是 。
对数函数专题——含参对数函数完整版题型汇总
对数函数专题——含参对数函数完整版题型汇总一、定义与性质1. 对数函数的定义对数函数是指定义域在正数集合上的函数，它的函数值是指数函数的反函数。
通常用符号 $\log$ 表示对数函数。
2. 对数函数的性质- 对数函数的图像是一条倾斜的曲线，与指数函数的图像关于直线 $y = x$ 对称。
- 对数函数具有单调递增性质，即随着自变量的增加，函数值也会增加。
- 对数函数的定义域是正数集合，值域是实数集合。
二、常见题型1. 对数运算题型例题：计算 $\log_3 27$。
解析：由于 $3^3 = 27$，所以 $\log_3 27 = 3$。
2. 对数方程题型例题：求解方程 $2^x = 8$。
解析：将 $8$ 表示成 $2$ 的幂次形式得到 $8 = 2^3$，所以$2^x = 2^3$，即 $x = 3$。
3. 对数不等式题型例题：求解不等式 $\log_2 \left( \frac{x}{3} \right) \geq 2$。
解析：根据对数定义，$\log_2 \left( \frac{x}{3} \right) \geq2$ 可转化为 $\frac{x}{3} \geq 2^2$，即 $\frac{x}{3} \geq 4$。
解得$x \geq 12$。
三、注意事项1. 在计算对数函数的值时，要注意指数与对数的关系，充分运用指数函数和对数函数的定义和性质。
2. 在解对数方程和不等式时，要注意将题目中的式子转化为指数形式，再进行相应的运算。
以上是对数函数专题中含参对数函数完整版题型汇总的简要内容。
对数函数作为数学中常见的函数之一，在应用中具有广泛的用途。
掌握对数函数的基本定义、性质和解题方法，有助于提高数学问题的解决能力。
根据对数函数知识点及题型归纳总结
根据对数函数知识点及题型归纳总结一、对数函数的基本概念- 对数函数是指以某个正数为底数的幂运算与常用对数的函数关系。
- 常用对数是以10为底的对数，通常用符号log表示。
- 自然对数是以常数e（约等于2.718）为底的对数，通常用符号ln表示。
二、对数函数的性质1. 对数函数的定义域和值域：- 对数函数的定义域为正实数集合。
- 对数函数的值域为实数集合。
2. 对数函数的图像特点：- 对数函数的图像是一条平滑的曲线，且过点(1, 0)。
- 对数函数的图像在(0, +∞)上是递增的。
- 自然对数函数ln(x)的图像在(0, +∞)上是上凸的。
3. 对数函数的性质和运算法则：- 对数函数中，底数为1的对数函数恒等于0。
- 对数函数的乘法法则：loga(mn) = loga(m) + loga(n)。
- 对数函数的除法法则：loga(m/n) = loga(m) - loga(n)。
- 对数函数的幂运算法则：loga(m^k) = k·loga(m)。
三、对数函数的常见题型1. 简单计算题型：- 计算给定底数和真数的对数值。
- 根据对数值计算给定底数和真数。
2. 方程求解题型：- 将对数方程转化为指数方程求解。
- 求解含对数的复合方程。
3. 不等式求解题型：- 将对数不等式转化为指数不等式求解。
- 求解含对数的复合不等式。
4. 图像应用题型：- 根据对数函数的图像特点作图。
- 根据图像解决实际问题。
总结：对数函数是数学中常用的函数之一，掌握对数函数的基本概念、性质和运算法则，能够灵活运用对数函数解决各种题型和实际问题。
希望通过这份文档，能够帮助大家系统地研究和掌握对数函数相关知识。
对数与对数函数知识点及题型归纳总结
对数与对数函数知识点及题型归纳总结知识点精讲一、对数概念a xN(N 0) n log a N(a 0且a 1) ，叫做以 a 为底 N 的对数. 注：① N 0，负数和零没有对数；② log a 1 0,log a a 1 ；③lg N log 10 N,ln N log e N .二、对数的运算性质(1) log a (MN) log a M log a N(M,N R ); (2)log a M log a M log a N(M,N R );N(3) log a M nnlog a M(M R ); (4) log a b log cb (a 0且a 1,b 0,c 0且c 1() 换底公式) log c a(5) log a mb nn log a b(a,b 0,m 0,a 1,n R)； am (6) a loga NN(N 0,a 0且a 1)；(6)log a a NN(N R,a 0且a 1). 化常数为指数、对数值常用这两个恒等式 .三、对数函数1)般地，形如 y log a x(a 0且a1) 的函数叫对数函数特殊地 log a b1 log b a(a,b0且a 1,b 1)；题型归纳及思路提示题型 1 对数运算及对数方程、对数不等式 思路提示对数的有关运算问题要注意公式的顺用、逆用、变形用等 .对数方程或对数不等式问题是要将其化为同底，利用对数单调性去掉对数符号，转化为不含对数的问题，但这里必须注意对数的真数为正 . 一、对数运算例 2.56 2log 510 log 5 0.25 (解析 2log 510 log 5 0.25 log 5 102 log 5 0.25 log 5 (100 0.25) 故选 C .评注 熟记对数的各种运算性质是求解本类问题的前提 变式 1 已知 x, y 为正实数，则（A.2lg x lg y 2lg x 2lgyB.2lg( x y)解析 5lg30 (1)lg0.5 x,3A.0B.1C.2D.4分析 nlog a x mlog a y log a x nlog am n mymlog a (x ny m).log 5 5222lg x 2lgy 2lgx 2lg y变式 2 (lg 2)2lg4变式 3lg522lg83 例 2.57log2781log 48解析log 27 81 log 33 34所以原式 4 3 17.(lg 2)243,log 4 8 log 22 2332log2 2变式 1log 2 ( 6 4 2 6 4 2)例 2.58 5lg30 (1)lg0.53分析 a b(a,b 0) log c a log c b.lg5 lg 20264 3log 33lg5 (lg5) 2C.2lg x lgy 2lgx 2lg yD.2lg(xy) 32)若 a 4，求函数 f(x)的零点 .三、对数不等式log a a 2x2a x2 ，则使 f(x) 0的 x 的取值范围是()A.( ,0)B.(0, )C.( ,log a 3)D.(log a 3, )分析 先将对数不等式化为同底的形式，再利用单调性转化为指数不等式求解 . 解析 f(x) log a a 2x 2a x 2 0 log a 1，又 0 a 1，函数 y log a x 在 (0, )上单调递减，得则lg x lg 5lg30 ( 1)lg0.5lg 5lg30lg13lg0.5lg30 lg5 lg 0.5 lg 1(lg30 lg3) lg5 (lg5 lg10)(lg1 lg3) lg5 lg3 lg5 lg 3 lg5 lg3lg15所以 x 二、对数方程 例 2.59 解下列方151(1) (lg x lg3) lg5 2 2 (2)log x 2 1(2x 23x 1)1lg(x 10); 2 1.分析 利用对数的运算性质化简后求解 .11解析(1) (lg x lg3) lg5 lg(x22xlgx lg3 2lg5 lg(x 10) ，即lg10) lg ，首先方程中的 x 应满足x 10，原方程可变形为 25 x 2525 ，得 x 25 ，从而 x 15或 x 5(舍)，经检验，x 10 3 x 10x 15 是原方程的解 .2( 2)log x 21(2x 3x1) 1 ，x 21 0且 x 212x 23x 1 x 21，解得 x 2.1经检验 x 2 是方程的解 . 评注解对数方程一定要注意对数方程成立条件下 x 的取值范围，是检验求出的解是否为增根的主要依据变式 1 函数 f (x) log 2(4x 1)ax.1)若函数 f (x) 是R 上的偶函数，求实数a 的值；例 2.60 设 0 a 1，函数 f (x)所以 x log a 3. 故选 C.的解集为 .例 2.61 设 a log 5 4,b （log 5 3）2,c log 45,则（）A.a c bB.b c aC.a b c Db. a c分析利用对数函数的单调性来比较对数的大小，通常借助 0和 1作为分界点解析 因为y log 5 x 在 （0, ）上单调递增，所以log 5 3 log 54 1,且 log 4 5 1 (log 5 3)2log 53 log 54 1 log 45 b a c故选 D .变式1设a lg e,b (lg e)2,c lg e ，则( )A.a b cB.a c bC.c a b Dc. b alog 3 0.3变式 2 设 a 5log 23.4,b 5log 43.6,c1 5，则（ ）A.a b cB.b a cC.a c bD.ca b1, y log 5 2,z e 2，则()变式4（2012 大纲全国理 9） 已知x lnA.x yz B.z xyC.z y xD.y z x题型 2 对数函数的图像与性质思路提示研究和讨论题中所涉及的函数图像与性质是解决有关函数问题最重要的思路和方法 问题是数和形结合的护体解释 .它为研究函数问题提供了思维方向、对数函数的图像 例 2.62如图 2-15所示，曲线 C 1,C 2,C 3,C 4是底数分别为 a,b,c,d 的对数函数的图像， 对应的底数 a, b, c, d 的取值依次为（）a 2x2a x2 1即a 2x2a x3 0 (a x3)(a x1) 0，因为 a x1 0 ，故 a x3 ，又 0 a 1，变式 1 已知函数 f （x ） 为R 上的偶函数，且在 0, 上为增函数，10 ，则不等式 3log 1 x 0.图像与性质则曲线 C 1,C 2,C 3,C 4分析 给出曲线的图像，判定 C 1,C 2,C 3,C 4所对应的 a,b,c,d 的值，可令 y 1求解.解析如图 2-16所示，作直线 y 1交C 1,C 2,C 3,C 4于A,B,C,D ，其横坐标大小为 0 c d 1 a b ， 11 那么C 1,C 2,C 3,C 4所对应的底数 a,b,c,d 的值可能一次为 2,3, , .故选 B .32评注对 数函数 在同一 直角坐标系中 的图像的相对位置与底数大小的关系如图 2-16 所示，则 0 c d 1 a b .ylog a x(a 0且a 1)在第一象限的图像， a 越大，图像越靠近 x 轴； a 越小， 图像越靠近 y 轴.变式 1 若函数 f(x) a x (a 0且a 1)是定义域为 R 的增函数，则函数 f (x) log a (x 1)的图像大 致是( )11A.3, 2, ,32 11C.2,3, 1 , 123 B.2,3, 1,13,2D.3, 2, 21 , 1323y log a (x 1) 2恒过顶点 (0, 2) .变式 1 函数 y log a (x 2) 2x 1 的图像过定点 二、对数函数的性质(单调性、最值(值域) )分析本题考查对数函数的单调性和最值变式 2 设 a,b,c 均为正数，且 2alog 1 a, 2log 1 b, 21log 2 c，则A.a b C.c a cB.c b a b Db. ac 例 2.63 函数 y log a (x 1) 2的图像必过定点 分析 对数函数 y log a x(a 0且a 1)的图像过定点 (1,0) ，即 log a 1 0.解析因为 y log a x(a 0且a 1) 恒 过点 (1,0) ，故令 x 1 1,即 x 0 时 ， y log a (x 1) 0 ，故例 2.64 设 a 1，函数 f (x) log a x 在区间 a,2a上的最大值与最小值之差为1，则 a ( ) 2令t log 2 x12,3，则 f (x)2g(t) t 23t 2当t 3 ,即 x 222时， f ( x) min 11;当t 3,即 x48时, f ( x)max 2.变式 1 已知f (x) 2 log 3 x(x1,9 ) ，求函数 22g(x) f (x) f (x 2) 的最大值与最小值又 f (x) (log 2 x 1)(log 2 x 2) 3log 2 x 2.(log 2 x)2解析因 为 对 数 函 数 的 底 a 1 ， 所以函数f (x) log a x 在 区 间a,2a 上 单 调 递 增 ， 故 f (x)maxlog a 2a, f(x)minlog a a1,log a 2a1，即 log a 2 1 解得 22a 4 故选 D .变式 1若函数 f (x)log a x(0 a1)在区间 a,2a 上的最大值是最小值的 3倍，则 a 等于( )A. 2 4B. 22C.14D.12例 2.65 设 2(log 1 x)2 27log 1 x20,求f(x)log 2 x log 2 x 24的最大值和最小值 .解析 2(log 1 x)227log 1 x2(2log 1 x 21) (log 1 x 3) 023 log 1 x212解得8.3xxx xlog 2 x(x 0)log ( x)(x 0)，且f(a) f( a) 则实数 a 的取值范围是 .2C.(3, )D. 3,0,2 ，则区间 a,b 的长度的最大值与最小值的差为 题型 3 对数函数中的恒成立问题思路提示 (1)利用数形结合思想，结合对数函数的图像求解； (2)分离自变量与参变量，利用等价转化思想，转化为函数的最值问题,1 上恒成立 .解析依题意，函数 f (x)的图像如图 2-17所示，知 f (x)为奇函数，由 f(a) f( a) 的得 f(a) 0 ，解得A.(2 2, )B. 3 2,a b ，且 f (a) f (b) ，则2b 的取值范围是(例 2.67 已知函数 f(x) lg 1 2 a 4 ，若 x ,1 时有意义，a 得取值范围 .解析 因为f(x) lgxx 1 2x a 4x 在x3,1 上有意义，即1 2x40 在 ,1 上恒成立 .令g(x),x ,1 .例 2.66 若函数 f (x)变式 2 定义区间x 1,x 2 (x 1 x 2) 的长度为 x 2 x 1 ，已知函数 f(x) log 1 x 的定义域为 a,b 2，值域为所以 axx若 g(x) 存在最大值， 则 g(x) a 恒成立等价于 g(x)max a ；A.(0,1)B.(1,2)C. 1,2D. 0,121在2 ,1 上 为减函数 ，故 g(x) 在 ,1 上为增 函数， 所以对 任意的,1 时， g(x) g(1)因为 a ,1 上恒成立，所以 a所以 a 的取值范围是3,4若 g(x) 不存在最大值，设其值域为 g(x)m,n ，则 g(x) a 恒成立等价于 a n .变式 1 当 x (1,2) 时，不等式2x1log a x 恒成立，则 a 的取值范围是()1.设 a log 1 2,b log 1 3,c，则( )222A.a b cB.a c bC.b c aDb. a clog 2 ( x 1)(x 2)2.设函数 f(x)x1 12 1(x 2)，若 f (x 0) 1 ，则 x 0 的取值范围是()A.( ,0) U(2,) B.(0,2)C.( , 1)U (3, )D.( 1,3)3.设定义在区间 (1 axb,b)上的函数 f (x) lg 是奇函数 (a,b R 且a1 2x2)，则 A. 1, 2B. 0, 2C.(1, 2)D.(0, 2)4.已知 y log a (2ax) 在 0,1 上是 x 的减函数，则a 的取值范围是()最有效训练题0.2a b的取值范围是()A.(0,1)B.(1,2)C.(0,2)D.(2, )评注 为了求 a 的取值范围， 把a 进行了分离， 变式 2 函数 f (x) log a (x 3a)(a0且a 1)，当点 P(x, y) 是函数 y f(x)图像上的点时，点Q(x 2a, y)是函数 y g(x) 图像上的点 .1) 写出函数 y g(x) 的解析式； 2) 当 a a 2,a 3 时，恒有f(x) g(x) 1，试确定 a 的取值范围2y f (x) log 5 x 的零点个数是()A.3B.4C.5D.67.设函数 f(x) ln(x 1) ，若 1 a b 且f(a) f(b)，则 a b 的取值范围是 ___________________ .8.已知 lg x lg y 2lg(2 x 3y) ，则 log 2 y ________________ .3x29.若函数 y log a (x 1 2 ax 1)在 1,2 上为增函数，则实数 a 的取值范围是 _____________ ..1 ax11.设 f(x) log 1 为奇函数， a 为常数 .2 x 1(1)求 a 的值；(2)证明： f(x)在区间 (1, )内单调递增；3)若对于区间 3,4 上的每一个 x 值，不等式 f (x)1212.已知集合 P,2 ，函数 y log 2( ax 22x 2) 的定义域为 Q .1)若 PI Q，求实数 a 的取值范围；2)若方程 log 2 ( ax 2 2x 2) 2在 P 内有解，求实数 a 的取值范围则函数2x ，10.已知函数f (x) log2x ，正实数m,n满足m n，且f(m) f(n)，若f(x) 在区间m2,n 上的最大值为2 ，则m n __________________ .m 恒成立，求实数m 的取值范围2。
对数函数重难点题型
对数函数重难点题型
1. 对数函数的定义：对数函数的定义是y=logₐx，其中a为底数，x为真数，y为对数。
考生需要了解对数函数的基本定义，并
能够根据给定的底数和真数求对数的值。
2. 对数函数和指数函数的关系：对数函数和指数函数是互为反
函数的关系。
要求考生根据对数函数和指数函数的特点，能够互相
转化。
例如，给定一个指数函数，要求将其转化为对数函数表达式。
3. 对数函数的性质：对数函数具有一些重要的性质，如对数函
数与指数函数的性质、对数函数的单调性、对数函数图像的特点等。
考生需要熟悉这些性质，并能够灵活运用于解决问题。
4. 对数函数的方程和不等式：对数函数的方程和不等式是对数
函数应用的常见题型，要求考生能够根据对数函数的性质，解决对
数方程和不等式。
例如，给定一个对数方程，要求解出所有满足条
件的解。
5. 对数函数与其他函数的组合：对数函数与其他函数的组合是对数函数应用的一种常见形式。
要求考生能够根据组合函数的定义和性质，对复合函数进行求导、求极限等操作。
6. 对数函数的应用：对数函数在实际问题中有广泛的应用，如在生物学、经济学、物理学等领域中。
考生需要能够将数学模型转化为对数函数，并应用对数函数解决实际问题。
以上是关于对数函数的重难点题型的简要介绍。
通过熟练掌握对数函数的概念、基本性质和应用，考生可以提升解决对数函数相关问题的能力，更好地应对考试中的各种题型。
对数与对数函数题型归纳
对数与对数函数题型归纳题型一 对数式的化简与求值 【题型要点】对数运算的一般思路(1)转化：①利用a b ＝N ⇔b ＝log a N (a >0，且a ≠1)对题目条件进行转化． ②利用换底公式化为同底数的对数运算．(2)恒等式：关注log a 1＝0，log a a N ＝N ，a log aN ＝N 的应用．(3)拆分：将真数化为积、商或底数的指数幂形式，正用对数的运算法则化简．.(4)合并：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．【例1】(2019·全国卷Ⅱ)已知f (x )是奇函数，且当x <0时，f (x )＝－e ax ，若f (ln 2)＝8，则a ＝________. 【例2】设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m 等于________．【例3】已知log 23＝a ，3b ＝7，则log 37221的值为________．【例4】．计算log 29×log 34＋2log 510＋log 50.25等于( ) A ．0 B ．2 C ．4D ．6题型二 对数函数的图象及应用【题型要点】1．对数函数图象的特征(1)底数与1的大小关系决定了图象的升降，即a >1时，图象上升；0<a <1时，图象下降.(2)对数函数在同一直角坐标系中的图象如图，其中图象的相对位置与底数大小有关，图中0<c <d <1<a <b . 在x 轴上侧，图象从左到右相应的底数由小变大； 在x 轴下侧，图象从右到左相应的底数由小变大． (无论在x 轴的上侧还是下侧，底数都按顺时针方向变大) 2．利用对数函数的图象可求解的三类问题(1)对数型函数图象的识别．解此类问题应从对数函数y ＝log a x 的图象入手，抓住图象上的三个关键点(a,1)，(1,0)，⎪⎭⎫⎝⎛11，a ，特别地要注意a >1和0<a <1的两种不同情况． (2)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．(3)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 【例1】已知lg a ＋lg b ＝0(a >0且a ≠1，b >0且b ≠1)，则函数f (x )＝a x 与g (x )＝－log b x 的图象可能是( )【例2】在同一直角坐标系中，函数y ＝1a x ，y ＝log a ⎪⎭⎫ ⎝⎛+21x (a >0，且a ≠1)的图象可能是( )题型三 对数函数的性质及应用 命题角度一 比较大小【题型要点】比较对数值大小的常见类型及解题方法50.5A ．a <c <b B ．a <b <c C ．b <c <aD ．c <a <b【例2】已知a ＝log 2e ，b ＝ln 2，c ＝log 1213，则a ，b ，c的大小关系为()A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >b >aD ．c >a >b命题角度二 解对数不等式【题型要点】求解对数不等式的两种类型及方法【例3】设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 12(－x )，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)【例4】已知不等式log x (2x 2＋1)<log x (3x )<0成立，则实数x 的取值范围是________． 命题角度三 与对数函数有关的函数性质问题【题型要点】1.解与对数函数有关的函数性质问题的三个关注点 (1)定义域，所有问题都必须在定义域内讨论． (2)底数与1的大小关系．(3)复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的． 2.解决与对数函数有关的函数的单调性问题的具体步骤【例5】函数y ＝log a (2－ax )在区间[0,1]上是减函数，则a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(0,2) C ．(1,2)D ．(2，＋∞)【例6】．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log ax ，x ＞2(a ＞0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．【例7】已知函数f (x )＝log a (3－ax )．(1)当x ∈[0，2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．题型四 数形结合法在对数函数问题中的应用【例1】设方程10x ＝|lg(－x )|的两个根分别为x 1，x 2，则( ) A ．x 1x 2<0 B ．x 1x 2＝0 C ．x 1x 2>1D ．0<x 1x 2<1【例2】设实数a ，b 是关于x 的方程|lg x |＝c 的两个不同实数根，且a <b <10，则abc 的取值范围是________．二、高效训练突破 一、选择题1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －1，x ≤0，log 2x ，x ＞0，则⎪⎭⎫⎝⎛21f ＝( ) A ．－1 B ．1 C ．－12D.222．已知a ＝log 20.2，b ＝20.2，c ＝0.20.3，则( ) A ．a <b <c B ．a <c <b C ．c <a <bD ．b <c <a3.已知a ＝log 35，b ＝1.51.5，c ＝ln 2，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c <a <bB ．c <b <aC ．a <c <bD ．a <b <c4.函数f (x )＝|log a (x ＋1)|(a >0，且a ≠1)的大致图象是( )5.设a ＝log 0.30.4，b ＝log 30.4，则( ) A ．ab ＜a ＋b ＜0 B ．a ＋b ＜ab ＜0 C ．ab ＜0＜a ＋bD ．a ＋b ＜0＜ab6.(2019·北京高考)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 2－m 1＝52lg E 1E 2，其中星等为m k 的星的亮度为E k (k ＝1,2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( ) A ．1010.1 B ．10.1 C ．lg 10.1D ．10－10.17.若log 2x ＝log 3y ＝log 5z ＜－1，则( ) A ．2x ＜3y ＜5z B ．5z ＜3y ＜2x C ．3y ＜2x ＜5zD ．5z ＜2x ＜3y8.已知2log 311=x x 1＝log 132，x 2＝2－12，x 3满足331x ⎪⎭⎫ ⎝⎛＝log 3x 3，则( )A ．x 1<x 2<x 3B ．x 1<x 3<x 2C ．x 2<x 1<x 3D ．x 3<x 1<x 2二、填空题1.已知函数f (x )＝x 3＋a log 3x ，若f (2)＝6，则⎪⎭⎫⎝⎛21f ＝________． 2．已知2x ＝72y ＝A ，且1x ＋1y＝2，则A 的值是________．3.若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x ＞2(a ＞0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．4．已知函数f (x )＝|log 3 x |，实数m ，n 满足0<m <n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，则nm ＝________．5.已知函数y ＝log a (x －1)(a ＞0，且a ≠1)的图象过定点A ，若点A 也在函数f (x )＝2x ＋b 的图象上，求f (log 23) 6．已知函数y ＝log a x (2≤x ≤4)的最大值比最小值大1，则a 的值为________．7.若函数f (x )＝log a (x 2－ax ＋1)(a ＞0且a ≠1)没有最小值，则a 的取值范围是________． 8.已知函数f (x )＝log 0.5(x 2－ax ＋3a )在[2，＋∞)单调递减，则a 的取值范围为________． 三 解答题1.设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，且a ≠1)，且f (1)＝2. (1)求a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡230，上的最大值．2．已知函数f(x)＝log a x(a＞0且a≠1)的图象过点(4，2)．(1)求a的值；(2)若g(x)＝f(1－x)＋f(1＋x)，求g(x)的解析式及定义域；(3)在(2)的条件下，求g(x)的单调减区间．。