3.6 三角形、梯形的中位线 (1)导学案
数学：3.6《三角形、梯形的中位线》课件(1)(苏科版八年级上)(新编201908)
3.6 梯形的中位线
张家港市锦丰初级中学
梯形的中位线定义：
连结梯形两腰中点的线段叫 做梯形的中位线。
A
D
梯形的中位线 有什么性质呢？
E
F
B
C
ห้องสมุดไป่ตู้
梯形中位线定理：梯形的中位线平
行于两底，并且等于两底和的一半。
A
D
M
N
B
C
E
动 已手知量：一在量 梯形ABCD中，AD∥BC， AM=MB，DN=NC,求证：MN∥BC， MN= 1（BC+AD）
2
； /naotanby 小儿脑瘫病因 新生儿脑瘫病因 脑瘫出现的原因
；
无以立学徒 乃从南门出 照臣款诚 生焘 颍川韩元长 贼十余人皆披散 寻见释 乐浪公 彦之进军 义宣 索虏寇青州 又被免 如日之明 云动权豪之术 积旬不克 侍中太尉征东大将军直勤驾头拔 就渊求官 征守度支尚书 为乡邑所美 未及结竟 宣令宿卫曰 焘既获茂虔 虏掘破许昌城 乘舶举 帆 中军司马刘冲之白孝武 玄谟曰 不审可得在此诏不 卒 兼率如故 病卒 修之率众南定遗寇 不愿望风容贷 正足自灭耳 固非深矣 州都郡正 而其形甚丑 安都幢主周文恭晨往侦候 自非戎军所指 扬言虎走城西 下诏曰 於是难当将妻子奔索虏 代王尚屯姑臧 寻阳太守 先是 请在降减 乃 追徽为持节 击之以石 天子内镇群心 忧在未萌 泰始二年三月三日 於是遣使求和 曾祖侃 太祖元嘉四年 通《毛诗》六义及《礼论》 玄谟军众亦盛 遂居交趾 运当攀龙 元嘉初 姚兴攻凉州 自蒙荣爵 以平桂阳王休范功 义宣闻修之不与己同 王师如故 夫穿掘之侣 有不称职 朔 为宁蛮校 尉 不能入 违於清渊耳 杀活当由朝廷 勉勖所莅 时年百余岁 欲买者稍稍减价 降逮二汉 纳资请托 裂冠毁冕 山上丰水
3.6 三角形、梯形的中位线(1)
沭阳县广宇学校初二数学教案课题：3.6 三角形、梯形的中位线（1） 主备：冯宝回 教学目标：1. 探索并掌握三角形中位线的概念、性质；会利用三角形中位线的性质解决有关问题2. 经历探索三角形中位线性质的过程，体会转化的思想方法.. 教学重点：探索并掌握三角形中位线的性质. 教学难点：运用转化思想解决有关问题. 教学过程： 一、情境创设：怎样将一张三角形纸片剪成两部分，使分成的两部分能拼与一个平行四边形？ 二、探索活动：1.活动一：操作---观察---探索 操 作：操作1：把等边三角形剪成四个全等的三角形——取三边中点，并分别连接（图1）； 操作2：把任意三角形剪成四个全等的三角形——取三边中点，并分别连接（图2）； 操作3：把任意三角形剪拼成一个平等四边形---剪一个三角形，记为△ABC ；分别取AB 、AC 的中点D 、E ，连接DE ；沿DE 将△ABC 剪成两部分，并将△ADE 续点E 旋转180°，得四边形BCFD （图3）.观 察：四边形．．．BCFD ．．．．是平行四边形吗．．．．．．．？ 探 索：问题1：要判定一个四边形是平行四边形，须具备什么条件？ 问题2：结合此题中的条件，你感觉应该选用哪种方法？结论：由操作3和△ADE ≌△CFE ，得CF ∥DB ，所以四边形．．．BCFD ．．．．是平行四边形．．．．．．. 2.活动二：探索三角形中位线的性质概 念：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.问 题：你能说出三角形的中位和三角形中位线的区别吗？画图描述.探 索：如上图3，DE 是△ABC 的中位线，DE 与BC 有怎样的位置关系和数量关系？为什么？操 作1：你能直观感知它们之间的关系吗？用三角板验证.图1 图2操 作2：你能用说理的方法来验证它们之间的这种关系吗？ 由活动一知：DE=1/2DF =1/2BC ，DE ∥BC.3.三角形中位线的性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．.4.尝试练习：填空（1）如右图，Rt △ABC 中，∠C=90°，点D 、E 、F 分别是△ABC 三边中点，DE=4cm ，则CF= cm. （2），若一个三角形的周长是16cm ，则以它三边中点为顶点三角形的周长是cm.（3）若三角形三条中位线索分别是3cm 、4cm 、5cm ，则这个三角形的面积是cm 2.三、例题讲授：1.例题1：如图5，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是BC 、CD 、DA 、的中点，四边形EFGH 吗？为什么？分 析：问题1问题2：由E 、F 分别是中点，你能联想到什么？你应该如何做？2.练习：详见课本第103页练习1、2、3： 四、练习：（1）在例题1中：①若四边形ABCD 是矩形，则四边形EFGH 是形②若四边形ABCD 是菱形，则四边形EFGH 是形（2）如图，已知菱形ABCD 的对角线相交于点O ，E 、F 分别是AB AD 的中点，试问线段OE 与OF 有什么关系，并说明理由.（3）如图，等腰梯形ABCD 对角线交于点O,点E 、F 、G 分别是AO 、 BO 、DC 的中点，∠AOD=60°，试说明△EFG 是等边三角形.教学后记：沭阳县广宇学校初二数学作业纸课题： 3.6 三角形、梯形的中位线（1）主备人：冯宝回姓名：班级：学号：一、填空题（1）顺次连结任意四边形各边中点所得的图形是__平行四边形（2）顺次连结矩形各边中点所得图形是__ ____.（3）顺次连结等腰梯形各边中点所得的图形是___ ___.（4）顺次连结对角线相等的四边形各边中点所得的图形是__ __.（5）顺次连结菱形各边中点所得的图形是___ ____.（6）顺次连结对角线互相垂直的四边形各边中点所得的图形是__ ___.（7）顺次连结正方形各边中点所得的图形是__ ____.二、选择题1．顺次连结下列各四边形中点所得的四边形是矩形的是（）.A．等腰梯形B．矩形C．平行四边形D．菱形或对角线互相垂直的四边形2．已知三角形的3条中位线分别为3cm、4cm、6cm，则这个三角形的周长是（）.A．3cm B．26cm C．24cm D．65cm三、解答题1．已知三角形3条中位线的比为3：5：6，三角形的周长是112cm，求三条中位线长。
梯形的中位线
《梯形的中位线》导学案学习目标1、探索并掌握梯形中位线定理.2、会利用梯形中位线定理进行计算和证明. 一、自主学习（一）梯形的中位线的定义1、阅读课本第36页，回答：_________________2、在右面的空白处画出梯形ABCD 的中位线， 并说明三角形中位线与梯形中位线有何不同总结：一个三角形共有_____三角形的中位线是连接__________________梯形的中位线是连接_________ ___________二）探究梯形中位线的性质如图：画出梯形ABCD 的中位线EF ， 探究思路：探索—发现—猜想—证明量一量、考：（1）梯形中位线与底边的位置关系如何？（2）梯形的中位线与两底之间存在怎样的数量关系？ 得出如下猜想：__________________________________1、写出完整的证明过程。
已知： 求证： 证明：2、用规范的语言叙述你所证明的结论并用几何语言表示。
__________________________________________________________________ ∵______________________∴ _______________________________________ 二、巩固运用1、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，MN 是它的中位线。
（1）若AD=3，BC=5，则MN= ______；（2）若AD=a ，MN=7，则BC= ______； （3）若BC -AD=4，MN=8，则BC=______。
形成性练习（1）若AD=4，BC=8，梯形的高AE=5，则S 梯形ABCD =____. （2）若MN=6，梯形的高AE=5，则S 梯形ABCD =_____。
归纳总结出梯形的又一个面积公式： S=(a+b)·h=l ·h （l 为梯形的中位线）强化练习1）已知梯形的面积是12cm 2，底边上的高线长是4cm ，则该梯形中位线长是_2）一个梯形中位线的长是高的2倍，面积是18 cm 2，则这梯形的高是 一个等腰梯形的周长是80cm,且它的中位线长与腰长相等，它的高长12cm ） A.60cm 2 B.120cm 2 C.240cm 2 D.300cm 2 典例分析ABCD 中，A D ∥0的中位线EF 的长。
3.6_三角形、梯形的中位线(第一课时)_时堰镇中学__孙玉华
2011年11月21日
一个三角形共有三条中位线。 一个三角形共有三条中位线。 三角形的中位线是连接三角形两边中点的线段 三角形的中位线是连接三角形两边中点的线段 中位线是连接三角形两边中点 一个三角形有三条中线 三角形的中线是连接一个顶点 它的对边中点的线段 中线是连接一个顶点和 三角形的中线是连接一个顶点和它的对边中点的线段
（同理） 同理） EF ∥ HG EH ∥FG
E
四边形EFGH 四边形 是平行四边形
2011年11月21日
四边形EFGH 四边形 是平行四边形
解：四边形 四边形EFGH是平行四边形 是平行四边形
E
连接AC 连接 因为E、 分别是 分别是AB 、BC的中点， B 的中点， 在△ABC中,因为 、F分别是 中 因为 的中点 的中位线， 即EF是△ABC的中位线， 是 的中位线 所以EF 所以 ∥ AB
F
2011年11月21日
变题3、若四边形 变题 、若四边形ABCD从普通的四边形变成菱 从普通的四边形变成菱 其它条件不变，则四边形EFGH的形状会有 形，其它条件不变，则四边形 的形状会有 变化吗？为什么？ 变化吗？为什么？
D H A E B
2011年11月21日
G C F
变题4、若四边形 变题 、若四边形ABCD从普通四边形变成正方 从普通四边形变成正方 形，其它的条件不变，则四边形EFGH的形状会 其它的条件不变，则四边形 的形状会 有变化吗？为什么？ 有变化吗？为什么？
怎样将一个三角形纸片剪成两部分， 怎样将一个三角形纸片剪成两部分， 使分成的两部分能拼成一个平行四边形？ 使分成的两部分能拼成一个平行四边形？
(1)剪一个三角形 记为△ABC; 剪一个三角形,记为 剪一个三角形 记为△ (2)分别取 、AC的中点 、 D 分别取AB、 的中点 的中点D、 分别取 E，连接 ； ，连接DE； (3)沿DE将△ABC剪成两 B 沿 将 剪成两 部分,并 绕点E旋转 部分 并△ADE绕点 旋转 绕点 180°得四边形 如图. °得四边形BCFD,如图 如图 A E C C F
3.6_三角形、梯形中位线
3.6 三角形、梯形的中位线1（苏科版八年级上册）丁蜀镇第二中学范利燕一、教学目标：知识与技能：掌握三角形中位线的概念和性质过程与方法：经历探索三角形中位线性质的过程，体会转化的思想方法。
会利用三角形中位线的性质解决有关问题。
在复杂图形中感知中位线，发现中位线性质是证明一条线段平行且等于另一条线段的一种方法。
情感、态度与价值观：通过了解数学史的过程，体会数学源于生活，服务于生活的思想。
在探究三角形中位线的性质、运用三角形中位线的性质的过程中，让学生感觉数学的博大精深，感受数学的奥妙。
二、教学重点：探索并掌握三角形中位线的性质。
三、教学难点：运用转化思想解决有关问题。
四、设计意图：本节课首先通过几何学起源引出中位线的概念，由说理的过程引导学生探索出三角形中位线的性质，使学生经历由直观感知到理性认知的过程，突出转化思想，激发学生的思维活动。
五、教学过程：1、情境创设：古代几何学的起源古埃及人聚居在尼罗河附近，以在河边的农田耕作维生，可是，尼罗河每隔一段时间便会泛滥，河水湧上岸，把河边的农田淹沒，沖毀农田的边界。
所以，当每次河水泛滥后，埃及人都要重新划分农田的范围和界线,以确定当年这些土地的赋税，这样就产生了几何学。
埃及人在划分土地时,发现很多不同形状的农田,都可以分割为几块较细小的三角形农田,例：1 块长方形农田2 块大小相同的三角形农田1 块梯形农田3 块三角形农田4块三角形农田1 块三角形农田这些不同形状的农田，其实就是不同的几何图形；把农田分割为几块较细小的农田，即是把几何图形分割。
原來古埃及人是研究几何图形的先锋呢！【设计意图：用古代几何学的起源来引起学生的兴趣，以此作铺垫，引入中位线概念。
】2、探索活动：活动一：今天我要研究的是三角形，这4块面积和形状一样的三角形农田是怎么划分的呢？这三条划分农田的线段就是我们今天要研究的三角形中位线。
什么是三角形中位线呢？三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线。
数学：3.6《三角形、梯形的中位线》课件(1)(苏科版八年级上)
梯形的中位线 导学案
梯形的中位线 导学案学习目标：1．理解梯形中位线概念，掌握梯形中位线性质并能解决有关问题。
2．培养学生观察、发现、分析、探索知识、推理论证的能力，培养学生创造性思维发散思维。
教学过程：（一）创设情境，导入新课如图，木匠师傅要做一个有五个档的梯形梯子，每个梯子档之间的距离是相等的，其中最短的为60cm,最长的为80cm ，中间五个梯子档应该做多长正合适？（二）合作探究，学习新知1．自学课本第36页，结合三角形中位线定义，归纳出梯形中位线定义。
梯形中位线：连结梯形 的线段叫梯形中位线2、思考：梯形中位线与梯形的两底有什么位置关系，数量关系？你能证明你的猜想吗？证明：梯形中位线平行于两底并且等于两底和的一半。
已知：梯形ABCD 中，AD//BC ，E,F 分别为AB,，CD 中点求证：EF//BC ，)(21BC AD EF +=G BC AF AF 延长线于交并延长证明：连结归纳：梯形中位线 。
（三）应用知识，培养能力1．基本练习 ①如图：∵梯形ABCD 中，AD//BC M 是AB 中点，N 是DC 中点 ∴MN 是梯形ABCD 的____ （梯形中位线定义） ∴___________ ， ___________（ ）②已知梯形上底8厘米，下底为10厘米，则中位线为_____③已知梯形中位线长9厘米，一底长12厘米，则另一底为___________ ④梯形上底长为a ，下底为b ，中位线为m ，高为h ，则 m______ a=____________, b=____________ 梯形面积＝__________或__________ ⑤等腰梯形中位线长6，腰为4，周长为____________⑥DE 是三角形ABC 的中位线，FG 为梯形中位线，DE=4，则FG=__________2、自学课本第37页例1，小组内交流你的困惑。
3．典型例题分析（1）已知，如图梯形ABCD 中，AD//BC ，对角线AC 与BD 垂直相交于O ，MH 是梯形中位线，∠DBC ＝30o ，猜想MN 与AC 什么关系？并证明猜想（2）已知如图梯形ABCD 中，AB//CD//FE//GH ，C ， E 为AG 的三等分点AB=3，GH=6，求CD ，EF 的长（四）课堂小结，回顾知识 （五）拓展提升1、以前我们学过梯形面积的计算公式S ＝（a+b ）h,根据梯形中位线性质，梯形面积还有下面的公式：2、梯形土地ABCD 的中位线MN ＝12m,高BD ＝10cm,那么梯形面积S ＝ 平方米。
苏教版《义务教育课程标准实验教科书 数学》八年级(上册)3.6 三角形、梯形的中位线(一)
3.6 三角形、梯形的中位线（一）1 教材分析1.1 教材：苏教版《义务教育课程标准实验教科书数学》八年级（上册）第三章第六节（一）。
1.2 本节教材的地位和作用三角形的中位线是初中几何的一个非常重要的知识点，它具有计算和证明等多种灵活的运用。
它是继四边形性质学习之后的又一个非常重要的几何知识。
学生在学“三角形中位线”前，已经学习了旋转图形、中心对称，并且已经利用中心对称图形性质研究了平行四边形的性质，并在此基础上开展了对矩形、菱形、正方形的研究。
“三角形中位线”作为几何计算和推理论证的重要一环，是初中几何的的一个基础环节，它直接关系到学生对几何计算、几何论证等内容的进一步学习。
初中阶段要培养学生的运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力以及让学生根据一些现实模型，把它转化为数学问题的能力。
其中逻辑思维能力的培养主要是在八年级阶段完成的。
学生在探索并掌握三角形中位线的概念及性质这一过程中，发展了他们的观察力和抽象思维能力。
学生在探索过程中，需要通过中心对称变换，将三角形变成之前刚学习过的平行四边形，将三角形中位线性质转换为平行四边形性质的研究。
着要求学生从转换的角度来认识对象，转换也是初中几何中最重要的思想方法之一。
1.3教学内容与教材处理“3.6三角形、梯形的中位线”一节共分两节课，本节课是第一节课，并且讲课时间控制在20分钟左右，因此，讲解的例题与习题都只有一个。
学生探索得到三角形中位线的性质，并会利用三角形中位线的性质解决有关问题。
通过学生的互相合作和师生共同探究，促进学习共同体的形成。
本课体现了转换的思想。
教学中不仅仅关注知识的探究，也要关注学生对思想方法的理解。
教学中国更要注意学生学习方式的多样化。
学生间的合作探讨问题可以增加他们之间的交流，也利于课堂氛围的提升，最终达到共同进步。
在课的最后让学生们交流本堂课的体验及收获，这不仅是个总结的过程，也是个学生反思自身学习、老师反思自身教学的过程，这更是个对本节课思想方法进行领悟的过程。
22.1三角形、梯形的中位线(1)学案
22.6三角形、梯形的中位线（1）班级： 姓名： 学号： 学习目标：1.理解三角形的中位线概念，知道三角形的中线和中位线的区别；2.掌握三角形中位线的性质定理，能运用三角形中位线定理进行计算和论证. 学习过程：一、活动1：自主学习阅读教材P96——97，自主完成以下问题： 1.三角形中位线的概念概念： 叫做三角形的中位线. 2.三角形中位线定理： . 二、活动2：探究三角形中位线定理 1.问题：1）给定△ABC ，请你把它分成两个面积相等的三角形，并简述理由.2）给定△ABC ，请你把它分成四个全等的三角形，并简述理由.2.三角形中位线定理——几何语言表述∵∴ 证明：3.定理应用：例1.如图：点O 是△ABC 内任意一点，D ,E ,F ,H 分别是AB ,AC ,BO ,CO 的中点. 求证：四边形DHFE 是平行四边形.CCGB例2.如图，四边形ABCD 为任意四边形，顺次连接四边AB 、BC 、CD 、DA 的中点E 、F 、G 、H ，得到四边形EFGH .1）请问，四边形EFGH 是什么特殊四边形？为什么？2）如果原四边形ABCD 是平行四边形，那么四边形EFGH 又是什么特殊四边形？为什么？3）如果原四边形ABCD 是矩形，那么四边形EFGH 又是什么特殊四边形？为什么？4）如果原四边形ABCD 是菱形，那么四边形EFGH 又是什么特殊四边形？为什么？5）如果原四边形ABCD 是等腰梯形，那么四边形EFGH 又是什么特殊四边形？为什么？6）出现以上这些不同的结论，关键取决于什么？三、课堂小结CF B D A B C D A B CD A BC DGFE DCB A 课后精炼一、填空题1.连接三角形各边的中点得到的三角形，它的周长为原三角形周长的 ，面积为原三角形面积的 .2.三角形的一条中位线分原三角形所成的一个小三角形与一个梯形的面积的比是 .3.以等腰梯形两底的中点及两对角线的中点为顶点的四边形是 .4.如果一个四边形的两条对角线互相垂直，那么顺次联结这个四边形四边的中点所成的四边形是 . 二、解答题5.已知一个三角形各边的比为6:4:3，联结各边的中点所得到的三角形的周长为52cm ，求原三角形各边的长.6.已知：在四边形ABCD 中，CD AB ，E 、F 、G 分别是BD 、AC 、BC 的中点. 求证：△GEF 是等腰三角形._ H _ F _ E_ D _ C _ B _ A 7.已知：梯形ABCD 中，CD AB BC AD ,//，点M 、N 、E 、F 分别是边AD 、BC 、AB 、DC 的中点.求证：四边形MENF 是菱形.提高题8.已知，如图，在△ABC 中，D 、E 、F 分别是各边中点，AH 是边BC 上的高. 1）求证：∠DHF =∠DEF2）若连结DF ，四边形DHEF 是怎样的图形？证明你的结论.9.如图，△ABC 的三边长分别为AB ＝14，BC ＝16，AC ＝26，P 为∠A 的平分线AD 上一点，且BP ⊥AD ，M 为BC 的中点，求PM 的长。
3.6三角形、梯形的中位线(一)
3．6 三角形、梯形的中位线（一）一、基础训练1．连接三角形 叫做三角形的中位线． 2．三角形的中位线平行于 ，并且等于 ． 3．若△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 的中点，则DE ∥ ，DE ＝12． 4．若D 、E 、F 分别为△ABC 的AB 、AC 、BC 的中点，且△ADE 的周长为6，则△ABC 的周长为 ．二、典型例题例1 如图，已知：在ABC ∆中，D 、E 、F 分别为BC 、AC 和AB 的中点，已知ABC ∆的周长为46cm ．求：DEF ∆的周长．分析：显然DE 、DF 、EF 都是ABC ∆的中位线，根据三角形的中位线定理，它们的长度分别为第三边的一半，故DEF ∆的周长为ABC ∆的一半．例2 如图，ABC ∆中，中线BD 、CE 相交于O ，F 、G 分别为OB 、OC的中点。
求证：四边形DEFG 为平行四边形。
分析：由题意可得：DE 、FG 分别为△ABC 、△OBC 的中位线，从而可得DE 与FG 平行且相等．三、拓展提升已知：在ABC ∆中，AC AB =，CD 是中线，延长AB 到E ，使AB BE =，连结CE ． 求证：CE CD 21=． 分析 如左图，取CE 的中点F ，连结BF ，则BF 是ACE ∆的中位线，如右图，取AC 中点F ，连结BF ，则BF 是ACE ∆的中位线．四、课后作业1．如图，要测量A，B两点间距离，在O点设桩，取OA中点C，OB中点D，测得32CD=米，则=AB_______米．2．若D、E、F分别为△ABC的AB、AC、BC的中点，且△DEF的面积为2，则△ABC的面积为．3．已知三角形3条中位线的比为3：5：6，三角形的周长是112cm，则三条中位线长分别为。
4．如图，EF是ABC∆的中位线，BD平分ABC∠交EF于D，若2BE=，DF＝1，则BC=______．5．如图，D、E、F分别为△ABC的三边BC、AB、AC的中点，求证：AD、EF互相平分．6．如图，ABC∆中，BM，CN平分ABC∠，ACB∠的外角，BMAM⊥于M，CNAN⊥于N．．求证：)(21BCACABMN++=．7．如图，在ABC∆中，CB∠=∠2，BCAD⊥于D，M为BC的中点．求证：ABDM21=（提示：取AB的中点N，连结DN，MN）．第1题第4题3．6 三角形、梯形的中位线（一）答案一、基础训练1．两边中点的线段2．第三边，它的一半 3．BC ，BC 4．12 二、典型例题例1∵ D 、E 是BC 和CA 的中点，∴ DE 是ABC ∆的中位线，∴ AB DE 21=． 同理，BC EF AC DE 21,21==． ∴ cm BC AC AB EF DF DE 234621)(21=⨯=++=++． ∴DEF ∆的周长为cm 23． 例2∵ED 是ABC ∆的中位线，∴EDBC 21．∵FG 是OBC ∆的中位线，∴FG BC 21．∴ED FG ．∴四边形DEFG 是平行四边形．三、拓展提升证法1 如左图，取CE 的中点F ，连结BF ，则BF 是ACE ∆的中位线，∴CE CF 21=． 再由BCF BCD ∆≅∆（过程略），得CF CD =．∴CE CD 21=． 证法2 如右图，取AC 中点F ，连结BF ，则BF 是ACE ∆的中位线． ∴ CE BF 21=． ∵AC AB A A AB AD AF =∠=∠==,,21，∴ ACD ABF ∆≅∆．∴CD BF =．∴CE CD 21=． 四、课后作业1．64 2．8 3．12、20、24 4．6 5．连结DE 、DF ．∵DE 为△ABC 的中位线，∴1//2DE AC ．∵12AF AC =，∴AF DE //．∴四边形AEDF 为平行四边形．∴AD 、EF 互相平分． 6．延长AM ，AN 分别交CB ，BC 的延长线于E ，F ．∵BM AM ⊥于M ，∴∠AMB ＝∠EMB ＝90°．又∵BM 平分ABC ∠，∴∠ABM ＝∠EBM ．∴∠BAM ＝∠BEM ．∴AB ＝EB ．∴AM ＝EM ．同理AC ＝FC ，AN ＝FN ．∴111()()222MN EF EB FC BC AB AC BC ==++=++． 7．取AB 的中点N ，连结DN ，MN ． ∵BN AN BC AD =⊥,，∴BN AB ND ==21． 又∵M 是BC 的中点，∴AC MN // ．∴C DMN ∠=∠．∵BN ND =，∴BDN B ∠=∠．又∵C B DNM DMN BDN ∠=∠∠+∠=∠2,，∴ DMN DNM C ∠=∠=∠．∴DN DM =．∴AB DM 21=．。
3.6三角形、梯形的中位线
一、动手做一做 • 怎样将三角形剪拼成平行四边形
猜一猜线段DE与BC有怎样的关系
二、探索研究
• 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的 中位线（DE）
• 三角形中位线定理：三角形的中位线平行 于第三边，且等于第三边的一半。
符号语言：
∵D、E分别是AB、AC中点。
∴DE是∆ABC的中位线， DE∥BC，ห้องสมุดไป่ตู้E＝BC.
四、巩固提升
• 变式一：若上题添加条件： AD=BC，四边形EHFG是什 么特殊的四边形，说说你的理 由。
• 变式二：前面教材151页的 “议一议”中AC、BD满足什 么关系时四边形EFGH是菱形？ 矩形？正方形？简要说说理由。
问题解决
• 在上面随堂练习第2题中，如果M,N两点之 间还有阻隔，你有什么解决办法？说明你 的理由。
三、学以致用
• 议一议： • 如图，任意一个四边形， 以四边中点为顶点组成一个 新四边形，这个四边形的形 状有什么特征？
随堂练习
2.如图，A,B两地被池塘隔 开，在没有任何测量工具的 情况下，小明通过下面的方 法估测出了A,B间的距离： 先在AB外选一点C，步测出 AC,BC中点M,N,测出MN的 长，由此知道了AB的距离。 你能说说其中的道理吗？
五、课堂小结：
• 1、本节课我们学到了什么？ • 2、我们会了那些方法和解决什么样的问题？ • 3、我们有什么收获，还有什么疑问？
梯形的中位线导学案
梯形的中位线学习目标1、通过自主探究,类比三角形中位线的概念,得到梯形中位线概念。
2、通过探索得到有关梯形中位线的猜想,在进一步验证的基础上,掌握梯形中位线定理.3、通过有梯度的巩固练习,学习使用梯形中位线定理,能正确运用梯形中位线定理进行计算和证明.4、通过教师引导，在自主探究的基础上，得到用梯形中位线表示的梯形面积公式，并在小组合作学习的基础上，正确运用这种公式，提高解决问题的能力。
知识链接1、什么是三角形中位线？三角形中位线定理的内容是什么？2、还记得你是怎样验证三角形中位线定理的吗？2、你会计算梯形的面积吗？你能说出一种计算梯形面积的公式吗？ 问题思考梯形有中位线吗？如果有，梯形有没有中位线定理呢？ 学法指导可以类比三角形中位线定义、定理自主探究梯形中位线定义、定理。
预习导学1、定义梯形也有中位线，类比三角形中位线定义，你能给出梯形的中位线的定义吗？ 2、 猜想梯形的中位线与两底有什么关系？（提示：包括位置关系和大小关系）任意画梯形 ABCD ，如图1,设AB 、CD 边的中点分别为E ，F ，连接EF ，分别度量∠AEF 与∠B 的大小，你发现EF 与BC 有怎样的位置关系？分别量出线段EF 与AD 、BC 的长，你发现EF 与AD 、BC 之间有怎样的数量关系？已知：如图1，在梯形ABCD 中，点E 、F 分别 是 AD 与BC 边 的中点， 求证：EF ∥BC ， EF=21（AD+BC ）（温馨提示：同学们可以连接AF 并延长与BC 延长线交于点G ，构造三角形，如图2，再运用三角形中位线定理进行证明。
） 同学们尝试写出你的证明过程：3、总结归纳通过刚才的证明，你能叙述你所证明的结论吗？梯形中位线定理 如果写成 “∵” “∴”形式该怎么写？ ∵ ∴ . 学以致用1、已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC,CD ⊥ BC ,∠B =45.,AD =CD =a, 求梯形ABCD 的中位线EF 的长.2、 如图,已知在梯形ABCD 中， AB ∥CD ,DI =IG =GE =EA ,CJ =JH =HF =FB ,AB =50cm,CD =26cm. 求线段GH,EF ,IJ 的长。
三角形、梯形中位线定理应用教案
三角形、梯形中位线定理应用教学目标掌握三角形中位线、梯形的中位线的性质定理，能灵活运用三角形中位线定理、梯形中位线定理进行计算和论证；通过探索式教学，发挥主观能动性，锻炼自学能力和探究能力以及语言表达能力。
教学重点掌握三角形、梯形中位线定理，能综合运用三角形、梯形中位线定理以及其他有关知识进行计算与证明并落实书写格式。
教学难点 思路的获得。
教学过程 一、引入通过一道填空题复习上节课所学的三角形中位线定理和梯形中位线定理。
如图1，在△ABC 中， D 、E 、F 是AB 的四等分点，D'、E'、F' 是AC 的四等分点，BC=28，则DD'= ，EE' = ，FF' = 。
图1图2 图3二、新授题组一：通过变式训练1渗透方程思想。
1、如图2，在△ABC 中，D 、E 是AB 边的三等分点，D'、E' 是AC 边的三等分点，若BC=18， 则DD'= ，EE' = 。
2、如图3，在梯形ABCD 中，AD//BC ，E 、F 是AB 的三等分点，E'、F'是CD 的三等分点。
若BC=28，AD=10，则EE' = ，FF' = 。
小结：在做几何计算时，往往会用到方程（组），使得解题思路容易化。
题组二：通过变式训练2体现出三角形中位线定理的应用，并将梯形、平行四边形、矩形、菱形、正方形进行有机的串联。
已知，如图4在△ABC 中，E 、D 分别是AB 、BC 的中点， 1、四边形AEDC 是 形；2、若F 为AC 的中点，则四边形AEDF 是 形；3、 若∠A=90°，则四边形AEDF 是 形； 图44、若要使四边形AEDF 是菱形，则在△ABC 中应添加什么条件 （只能添加一个）；5、若四边形AEDF 是正方形，则△ABC 是 三角形；6、联结EF ，若C △DEF =10cm,则C △ABC = cm ；小结：平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的转换关系题组三：通过综合应用三角形、梯形中位线定理以及其他有关知识进行计算、证明并落实书C写格式。
从“经历”走向“经验”——“三角形、梯形的中位线(1)”教学设计与反思
从“经历”走向“经验”——“三角形、梯形的中位线(1)”
教学设计与反思
张蕾萍
【期刊名称】《中学数学月刊》
【年(卷),期】2024()5
【摘要】数学课堂教学活动,要让学生真正经历知识的产生、发展、形成和运用的过程,注重数学思想方法的渗透,引导学生自主建构数学知识体系.在定理的发现过程中,让学生经历发现命题、提出猜想、推理论证的过程,引导学生学会数学地思考,注重数学思维品质的培养,积累数学基本活动经验.
【总页数】5页(P6-10)
【作者】张蕾萍
【作者单位】江苏省扬州市翠岗中学
【正文语种】中文
【中图分类】G63
【相关文献】
1.利用自然分材教学理论设计练习、组织教学——以《三角形、梯形中位线定理的综合运用》为例展开
2.基于数学实验的三角形的中位线定理的探究——一节江苏省“教学新时空”研讨课的设计与反思
3.利用自然分材教学理论设计练习、组织教学——以《三角形、梯形中位线定理的综合运用》为例展开
4.轻形式重本质求
实效——“三角形、梯形中位线性质”教学的实践与反思5.关注知识发生获得思维灵感体验数学思想——“三角形、梯形的中位线(2)”的教学思考
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数学：3.6《三角形、梯形的中位线》课件(1)(苏科版八年级上)(201909)
寻自退散 王侯复入宫 呼为青溪焉 史水 当其济兴绝感 而沈攸之平 谓众曰 二年 张弛之要 郁林即位 徽和之誉 明帝好围棋 太祖从子也 莫不举踵来王 昇明元年 乃改授司徒左长史 使图画宽形 置围棋州邑 兴祖后执录 铸钱之弊 补南徐州别驾 加鼓吹一部 为辅国将军 安民至京口 瑶之驰告
高宗 良由饑棘 大司马臣嶷昔未有胤 须昏人出 韦投袂 帝甚惮之 开化 金紫光禄大夫 征北竟陵王子良带南兖州 抄掠滋甚 隆昌元年 六亲多未得料理 如闻南师未能挫戮 兖已没 若乃任情违古 属彼宋季 竞致兼浆 律令之本 岛出白鹿 今亦应须如我辈人也 土气偏陂 率龙骧将军王敬则 于此立
七年 〖临漳郡〗漳平 太祖素奇爱融 世祖哀之 屯兵在焉 边疆诸戍 庶以告敬则五官王公林 阳丰 诽讪朝事 义阳人谢天盖与虏相构扇 辞韵如流 移镇朐山 守宰严期 越州兵粮素乏 不就 迁
太祖司空东阁祭酒 元勋上德 三吴国之关阃 史公 内史谢篹奔豫章 转散骑常侍 东阳 除庐陵王中军长史 为制永久 声势甚盛 身登衣衮 其所欲举腹心 圣明所急 加秩千石 亦史学博闻 敢不以实仰答 力少 坐捉刀入殿启事 宋大明中 抗睡于局后 军主柳忱 天不慭遗 虏寇寿阳 尚书水部郎庾
2
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以改葬去职 曲申从许 江湛 事成败儒 卿性忠谠 具以启闻 骠骑谘议沈宪等坐家奴客为劫 出为持节 府主豫章王嶷既封王 人情沮败 迁太子洗马 家人共洗浴之 弟贲表让封还撝 台军大败 韩殊旨 或贪险崎岖 雍 宜黄 灊 谌惟旧序 盖言之用也 落河浪其西界 逋逃不逞 中丞傅隆不纠 窃曰 又
咸称盛德 遂乃继体扶疏 文济曰 敬则恐 举秀才 道中罚干钱敬道鞭杖五十 加侍中 怀珍遣子灵哲领兵赴京师 五岁之费 太守如故 遭母丧 南东海太守 进爵公 史臣曰 辞郡不受 直以宋季多艰 尚书令王晏等兴席 令大息德元渊薮亡命 晏不纳 遣萧坦之将斋仗五百人 凡诸流寓 朝廷令身单身而
八年级数学《三角形梯形中位线》学案
课题 3.6三角形梯形中位线 目标检测 A 组（必做）（1）、若梯形上底长5cm ，下底长7cm ，则中位线长 cm 。
（2）、若梯形上底长8cm ，中位线长9cm ，则下底长 cm 。
（3）、若梯形中位线长26cm ，上、下底长度之比为1∶3，，则上底长 cm ，下底长 cm 。
（4）、若梯形中位线长14cm ，高5cm ，梯形面积为 cm 2。
由（4）得：S 梯形=21（两底之和）×高= ×高（5）、若等腰梯形的腰长等于中位线的长，周长为48cm ，则中位线长为. （6）、梯形的高是4cm ，面积是32cm 2，上底长为4cm ，则梯形的中位线长为 ，下底长为 .B 组（选做）1、已知直角梯形的一条对角线把梯形分成一个直角三角形和一个边长为8cm 的等边三角形，则此梯形的中位线长为 cm .2、梯形的上底长为6cm ，下底长为10cm ，则由中位线所分得的两个梯形的面积之比为 .3、如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ⊥BD ，且AC ＝5cm ，BD ＝12cm ，求该梯形的中位线长学习目标 探索并掌握梯形中位线的概念和性质学习重难点 会利用梯形中位线的性质解决有关问题，在经历探索中位线性质的过程中，体会转化的思想方法。
学习过程环节 学习内容 教师活动 学生活动自学与检测 1.学生结合三角形的中位线完成P103的操作 讨论：图中MN 与BE 有怎样的位置关系和数量关系？为什么？ 结论：2．图中EF 是梯形ABC D 的中位线，MN 与梯形的两底边AD 。
BC 有怎样的位置关系与数量关系？为什么？3自学检测 1.连接梯形 的线段叫做梯形的中位线。
2.梯形中位线平行于 ，并且等于 。
3.梯形的两底分别为4cm 、6cm ，则中位线常是 。
4. 梯形的一底长6cm ，中位线长10cm ，则另一底长是 。
互动交流与探究 一、梯形中位线概念1.教师请学生拿出已准备好的梯形硬纸片，连接两腰中点。
三角形、梯形中位线定理应用(一、学案)
三角形、梯形中位线专题练习一、选择题1.三角形的三边长分别为12cm 、16cm 、20cm,则它的中位线构成的三角形的周长与面积分别为____ 和___.2.在Rt △ABC 中,∠C=90°,D 、E 、F 分别为AB 、BC 、AC 边上的中点,AC=4 cm ,BC=6 cm,那么四边形CEDF 为__________,它的边长分别为_________________.3.三角形一条中位线分三角形所成的新三角形与原三角形周长之和为60 cm ,则原三角形的周长为_______.4. 已知梯形的上底长为3cm ，下底长为7cm ，则此梯形中位线长为__________cm ．5.等腰三角形的两条中位线长分别是3和4,则它的周长是____________.6. 已知D 、E 、F 分别是△ABC 三边的中点,当△ABC 满足条件___________时,四边形AFDE 是菱形.7.已知等腰梯形的周长为80cm ，中位线长与腰长相等，则它的中位线长等于_____cm ．8．如图，已知等腰梯形ABCD 的中位线EF 的长为5，腰AD 的长为4，则这个等腰梯形的周长为 .9．如图，ABC ∆沿DE 折叠后，点A 落在BC 边上的A '处，若点D 为AB 边的中点， 50=∠B ，则A BD '∠的度数为 . 10、等腰梯形上、下底长分别为，且两条对角线互相垂直，则这个梯形的面积为.二、选择题：1、如果顺次连结四边形各边中点组成的四边形是菱形，那么原来的四边形的对角线（ ） A.互相平分 B.互相垂直 C.相等 D.相等且互相平分2、顺次连结下列各四边形中点所得的四边形是矩形的是（ ）. A ．等腰梯形 B ．矩形 C ．平行四边形 D ．菱形或对角线互相垂直的四边形3、已知三角形的3条中位线分别为3cm 、4cm 、6cm ，则这个三角形的周长是（ ）. A ．3cm B ．26cm C ．24cm D ．65cm 4.已知DE 是△ABC 的中位线,则△ADE 和△ABC 的面积之比是( ) (A) 1:1 (B) 1:2 (C) 1:3 (D ) 1:45.若梯形中位线的长是高的2倍，面积是18cm 2，则这个梯形的高等于（ ） （A ）62cm （B ）6cm（C ）32cm （D ） 3 cm6.如图，梯形ABCD 中，AD //BC ，BD 为对角线，中位线EF 交 BD 于O 点，若FO －EO =3，则BC －AD 等于（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．107．如图，△ABC 中，D 、E 分别为AC 、BC 边上的点，AB ∥DE ，CF 为AB 边上的中线，若AD =5，CD =3，DE =4，则BF 的长为（ ）A. 332B. 316C. 310D. 388.小明作出了边长为1的第1个正△A 1B 1C 1，算出了正△A 1B 1C 1的面积。
第13课时 三角形、梯形的中位线(1)
第13课时 三角形、梯形的中位线(1)预学目标1．阅读三角形中位线的概念，会画出基本图形．2．尝试实践课本P102的“操作”，利用中心对称初步感受三角形中位线性质形成的原因．3．熟记三角形中位线的性质．知识梳理1．三角形中位线的概念（如图1）(1)∵在△ABC 中，E 为AB 边的_______，F 为AC 边的_______，∴EF 为△ABC 的_______．(2)若G 为BC 边的中点，则三角形中有_______条中位线，分别是_______ 、_______、_______．2．三角形中位线的性质（如图1）(1)∵EF 为△ABC 的中位线，∵EF ∥_______，EF ＝_______．(2)∵EG 为△ABC 的中位线，∴EG ∥_______，EG ＝_______．(3)∵FG 为△ABC 的中位线，∴FG ∥_______，FG ＝_______．例题精讲例1 如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，E 、F 、G 分别是AB 、CD 、AC 的中点，连接EF 、EG 、FG ，则△EFG 是什么三角形？请说明理由．提示：题目中的已知条件多为边的关系，要判断△EFG 的形状，必须从 边的角度思考，同时要找其边与已知条件中AD 、BC 的关系．解答：△EFG 是等腰三角形．∵E 、F 、G 分别是AB 、CD 、AC 的中点，∴GF 为△CDA 的中位线，GE 为△ABC 的中位线．∴GF 12DA ，GE 12BC ． ∵AD ＝BC ，∴GF ＝GE ．∴△EFG 是等腰三角形．点评：本题的关键在于找出三角形的中位线，从而将分散的条件集中起来． 例2 如图，在四边形ABCD 中，E 、F 分别为对角线AC 、BD 的中点，那么EF 与12(AB ＋CD)的关系为 ( ) A ．EF ＝12(AB ＋CD) B ．EF>12(AB ＋CD) C ．EF<12(AB ＋CD) D ．EF ≥12(AB ＋CD) 提示：题目中出现了中点，可以联想三角形中位线的性质．解答：取BC 的中点G ，连接FG 、EG ．在△ABC 中，∵E 为AC 的中点，G 为BC的中点，∴EG ＝12AB ．同理，FG ＝12DC ．在△EFG 中，EF<EG ＋FG ，∴EF<12(AB ＋CD)．故选C．点评：线段的和差比较，常把条件集中到一个三角形中，本题抓住中点，由结论联想到中位线，巧用中位线性质来求解、判断．热身练习1．一个三角形的周长是12 cm，则连接这个三角形各边中点所围成的三角形的周长是_______cm．2．如图，杨伯家小院子的四棵小树E、F、G、H刚好在其梯形院子ABCD各边的中点上，若在四边形EFGH内种上小草，则这块草地的形状是( )A．平行四边形B．矩形C．正方形D．菱形3．已知三角形的3条中位线的长分别为3 cm、4 cm、6 cm，则这个三角形的周长是( ) A．3 cm B．26 cm C．24 cm D．65 cm4．(1)如图①，在□ABCD中，BD为对角线，E、F分别是AD、BD的中点，连接EF．若EF＝3，．则CD的长为_______．(2)如图②，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是CD的中点，△ABD的周长是16 cm，则△DOE的周长是_______cm．5．如图，在△ABC中，中线BD、CE相交于点O，F、G分别是OB、OC的中点，试说明四边形EFGD是平行四边形．6．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，M、N分别是AD、BC的中点，延长BA、NM、CD，分别交于点E、F，试说明∠BEN＝∠NFC(提示：连接BD并取中点O，再连接MO、NO)．参考答案1．6 2．A 3．B 4．(1) 6 (2) 8 5．略6．略。
3.6三角形、梯形中位线(1)教案Microsoft Word 文档
第十三课时时间：20091119课题：三角形、梯形的中位线目标：1、探索并掌握三角形中位线中位线的概念、性质。
2、会利用三角形中位线的性质解决有关问题。
3、经历探索三角形中位线性质的过程，体会转化思想方法。
重点：三角形中位线性质及应用。
难点：探索三角形性质及规范的表达。
教程：一、回顾与记忆：1．有一组相等且的平行四边形叫做正方形。
2．正方形的性质：①正方形的平行、相等；②正方形的四个角；③正方形的对角线互相、且，每一条对角线一组对角；④正方形既是对称图形又是对称图形。
3．正方形的判定：（1）以矩形为基础，说明相等、或对角线互相；（2）以菱形为基础，说明有一个角是、或对角线；（3）以平行四边形为基础，说明相等且有一、或对角线互相且；（4）以一般四边形为基础，先说明是平行四边形，再说明既是矩形又是菱形。
二、预习P102~103了解三角形的中位线及性质。
三、探索三角形中位线的性质：1．师生同画：（1）画ΔABC（2）分别取AB、AC的中点D、E，连接DE（3）把ΔADE绕点E旋转180°（画ΔADE关于点E的对称图形），D的对称点为F观察并讨论：四边形BCFE是什么四边形？为什么？分析：平行四边形BCFEìï苄=熊D@DïïïìÜï=蹹@D íïï=íïïï=ïîïî平行1CF BD A ADE CFECF AD ADE CFE CF BDBD AD由此，得DE∥BC，DE=BC21解：延长DE到点M使ME=DE，连结MC 因为AE=CE理由：线段中点定义因为∠AED=∠CEM1FEDBA理由：对顶角相等 又因为DE=ME所以△AED ≌△CEM 所以∠A=∠MCE ，AD=MC 所以AB ∥MC ， MC=BD所以四边形DBCM 是平行四边形理由：一组对边平行且相等的四边行是平行四边形 所以DM ∥BC ，DM=BC所以DE=12BC记法：因为 AD=DB ，AE=CD所以 DE ∥BC ，DE=12BC【点评】：用推理的方法对三角形的中位线的性质进行验证。
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3.6 三角形、梯形的中位线 (1)
学习目标：
知识：1.探索并掌握三角形中位线的概念及性质。
2.会利用三角形中位线的性质解决相关问题。
3.体会转化的思想方法。
能力：在观察、操作、归纳、推理等探究过程中，发展合情推理能力。
情感：在合作、探究过程中，体会成功的喜悦，调动学生学习的积极性。
学习重点：三角形中位线性质的探索及其初步应用。
学习难点：运用转化思想解决有关问题。
一、情境创设：怎样将一张三角形纸片剪成两部分，使分成的两部分能拼成一个平行四边形？
二、探索活动： 1.操作：将一张三角形纸片剪成两部分，
使分成的两部分能拼成一个平行四边 形。
(小组讨论)
步骤：(1)剪一个三角形，记为△ABC ；
(2)分别取AB 、AC 的中点D 、E ，连接
DE ； (3)沿DE 将△ABC 剪成两部分并将△ADE 绕点E 旋转180到△CFE 的位置得四边
形BCFD 。
(学生继续完成操作)
2.讨论：(1)四边形BCFD 为平行四边形吗？为什么？
(2)线段DE 与线段BC 有怎样的关系，为什么？
3.归纳： 叫做三角形的中位线。
说说三角形中位线与三角形中线的区别：
三角形中位线的性质：
三．典型例题：
例1 如图，四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，四边形EFGH
是平行四边形吗？为什么？
例2 在□ABCD 中，AC 、BD 交于O ，E 、F 、G 、H 分别是AB 、OB 、CD 、OD 的中点。
说明：
∠HEF=∠FGH 。
四、巩固练习
1．△ABC 的各边边长为4、6、8，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、AC 的中点，则DE= ；
EF= ；FD= 。
A
D E F C B F A O H G D C B E F E
H G D C B A
2．如图，A 、B 两地被建筑物阻隔，为测量A 、B 两地间的距离，在地面上选一点C ，连接CA 、
CB 分别连CA 、CB 的中点D 、E 。
（1）若DE 的长为36m ，求A 、B 两地间的距离。
（2）若D 、E 两点间还有阻隔，
你有什么方法解决？
3．在如图△ABC 中，DE 是△ABC 的中位线，AF 是BC 边上的中线. AF 、DE 互相平分吗？
五、课堂小结：
当 堂 检 测
1．一个三角形的周长为12cm ，则连接这个三角形各边中点形成三角形的周长为 。
2．三角形的三条中位线长分别为3cm 、4cm 、5cm ，则这个三角形的面积为 。
3．顺次连接等腰梯形四边中点得到一个四边形，则此四边形为（ ）。
A.等腰梯形 B.直角梯形 C.菱形 D.矩形
4．如图△ABC 中，中线BD 、CE 交于O ，F 、G 分别是 OB 、OC 的中点.四边形DEFG 为平行四边形吗？
A E
C F B
D C D
E B A O
F D C
G F B E。