高考专题 东北育才学校高中部

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2014——2015学年度高三第八次模拟考试理科数学试题

使用时间：2015.5.18命题人：高三数学备课组

第Ⅰ卷(选择题共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.集合{}

40 <<∈=x N x A 的真子集．．．个数为 A.3

B.4

C.7

D.8

2.已知z 是复数z 的共轭复数，0z z z z ++⋅=，则复数z 在复平面内对应的点的轨迹是 A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线

3.已知向量a ()32, 0-=，b ()

3, 1=，则向量a 在b 上的正射影的数量为 A.3

B.3

C.3-

D.3-

4．等差数列{}n a 中，564a a +=，则1012

2log (222)a a

a ⋅=

A.10

B.20

C.40

D.22log 5+ 5．已知1a ，2

2()+=x

x

f x a ，则使()1f x <成立的一个充分不必要条件是

A.10x -<<

B.21x -<<

C.20x -<<

D.01x <<

6．4

5

9

(1)(1)(1)x x x ++++⋯++展开式中，3

x 项的系数为

A.120

B.119

C.210

D.209

7.已知双曲线)0, 0( 122

22>>=-b a b

y a x 的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距

离的2倍，则其渐近线方程为 A.02=±y x

B.02=±y x

C.034=±y x

D.043=±y x

8.“五一”期间，三个家庭（每家均为一对夫妇和一个孩子）去“抚顺三块石国家森林公园”游玩，在某一景区前合影留念，要求前排站三个小孩，后排为三对夫妇，则每对夫妇均相邻，且小孩恰与自家父母排列的顺序一致的概率

A.

115B ．190C ．1180D ．1360

9.下列对于函数()3cos 2,(0,3)f x x x π=+∈的判断正确的是

A.函数()f x 的周期为π

B.对于,a R ∀∈函数()f x a +都不可能为偶函数

C.0(0,3)x π∃∈,使0()4f x =

D.函数()f x 在区间5[

,]24

ππ

内单调递增 10.若实数y x ,满足不等式组330101x y x y y +-≤⎧⎪

-+≥⎨⎪≥-⎩

，，，则2||z x y =+的取值范围是

A.[1,3]-

B.[1,11]

C.]3,1[

D.]11,1[-

11.直角梯形ABCD ，满足,,222AB AD CD AD AB AD CD ⊥⊥===,现将其沿AC 折叠成三棱锥D ABC -，当三棱锥D ABC -体积取最大值时其外接球的体积为

B.4

3

πC.3πD.4π 12.设过曲线()x

f x e x =--（e 为自然对数的底数）上任意一点处的切线为1l ，总存在

过曲线()2cos g x ax x =+上一点处的切线2l ，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围为 A.[1,2]- B.(1,2)- C.[2,1]- D.(2,1)-

第Ⅱ卷(非选择题共90分)

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上

13.一个四棱柱的三视图如图所示， 则其表面积为_________

14.已知过定点()2,0P -的直线l 与曲线22y x =

-相交于A ，B 两点，O 为坐标原

点，当AOB ∆的面积取到最大值时，直线l 的倾斜角为

15．已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a ，b ，12，13.7，18.3，21，且总体的中位数为10，若要使该总体的方差最小，则._______=ab

16.若数列{}n a 满足2

111,2n n n a a a a +=

=+，n N +∈，且11n n

b a =+，12n n P b b b =⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 12n n S b b b =++⋅⋅⋅+，则2n n P S += .

三．解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）

在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知5

sin 13

B =，且,,a b c 成 等比数列.

（Ⅰ）求11

tan tan A C

+的值； （Ⅱ）若cos 12,ac B =求a c +的值.

18．（本小题满分12分）

如图，在ABC ∆中，已知,45︒=∠ABC O 在AB 上，且,3

2

AB OC OB ==又PO ⊥平面1

,//,2

ABC DA PO DA AO PO ==

. （Ⅰ）求证：PD ⊥平面COD ； （Ⅱ）求二面角B DC O --的余弦值．

P

D

O

B x y

A

C

19．(本题满分12分)

浑南“万达广场”五一期间举办“万达杯”投掷飞镖比赛．每3人组成一队，每人投掷一次．假设飞镖每次都能投中靶面，且靶面上每点被投中的可能性相同.某人投中靶面内阴影区域记为“成功”（靶面正方形ABCD 如图所示,其 中阴影区域的边界曲线近似为函数x A y sin =的图像）．每 队有3人“成功”获一等奖，2人“成功”获二等奖，1 人“成功”获三等奖，其他情况为鼓励奖（即四等奖） （其中任何两位队员“成功”与否互不影响）．

（I ）求某队员投掷一次“成功”的概率；

（II ）设X 为某队获奖等次，求随机变量X 的分布列 及其期望．

20．(本题满分12分)

已知曲线1C ：22144x y λ+=，曲线2C ：22

2

1(01)44x y λλλ+=<<.

曲线2C 的左顶点恰为曲线1C 的左焦点.

(Ⅰ)求λ的值；

(Ⅱ)设00(,)P x y 为曲线2C 上一点，过点P 作直线交曲线1C 于,A C 两点.直线OP 交曲线1C 于,B D 两点.若P 为AC 中点， ①求证：直线AC 的方程为0022x x y y +=；

②求四边形ABCD 的面积.

21.(本题满分12分)

已知函数2

()ln ,f x x ax x a R =++∈. (Ⅰ)讨论函数()f x 的单调区间；

(Ⅱ)已知0a <，对于函数()f x 图象上任意不同的两点1122(,),(,)A x y B x y ，其中

21x x >，直线AB 的斜率为k ，记(,0)N u ，若(12),AB AN λλ=≤≤求证'().f u k <