第四讲 旅行商问题PPT课件
关于旅行商问题的数学模型
关于旅行商问题的数学模型旅行商问题（TravelingSalesmanProblem，TSP）是著名的组合优化问题，它的目标是找到一条路径，使得一个旅行商可以经过所有给定的城市，路径总长度最短。
这个问题在实际生活中有着广泛的应用，例如物流配送、电路板布线、DNA序列比对等领域。
本文将介绍旅行商问题的数学模型和解法。
1. 问题描述假设有n个城市，它们的位置分别为(xi,yi)，i=1,2,...,n。
旅行商要从一个城市出发，经过所有城市恰好一次，最后回到出发城市。
城市之间的距离可以用欧几里得距离表示：d(i,j) = sqrt((xi-xj)^2 + (yi-yj)^2)旅行商问题的目标是找到一条路径，使得路径总长度最短。
2. 数学模型2.1 定义变量我们定义变量xij表示从城市i到城市j的路径是否被选择，如果被选择则xij=1，否则xij=0。
例如，x12表示从城市1到城市2的路径是否被选择。
2.2 目标函数旅行商问题的目标是找到一条路径，使得路径总长度最短。
因此，我们可以定义目标函数为：minimize ∑i∑j d(i,j)xij其中，i,j表示城市的编号，d(i,j)表示城市i和城市j之间的距离，xij表示从城市i到城市j的路径是否被选择。
2.3 约束条件旅行商需要经过所有城市恰好一次，因此我们需要添加以下约束条件：1. 每个城市只能被经过一次：∑j xij = 1, i=1,2,...,n2. 每个城市离开后只能到达一个城市：∑i xij = 1, j=1,2,...,n3. 不能出现子回路：∑i∈S ∑j∈S xij ≤ |S|-1, S{1,2,...,n}, |S|≥2其中，第一个约束条件表示每个城市只能被经过一次，第二个约束条件表示每个城市离开后只能到达一个城市，第三个约束条件表示不能出现子回路。
3. 解法旅行商问题是一个NP难问题，没有多项式时间算法可以求解。
因此，我们需要使用一些启发式算法来求解这个问题。
图算法--旅行商问题
图算法--旅⾏商问题旅⾏商问题的描述试想⼀下，⼀个业务员因⼯作需要必须访问多个城市。
他的⽬标是每个城市只访问⼀次，并且尽可能地缩短旅⾏的距离，最终返回到他开始旅⾏的地点，这就是旅⾏商问题的主要思想。
在⼀幅图中，访问每个顶点⼀次，并最终返回起始顶点，这个访问的轨迹称为哈密顿圈。
要解决旅⾏商问题，需要⽤图G=（V，E）作为模型，寻找图中最短的哈密顿圈。
G是⼀个完整的、⽆⽅向的带权图，其中V代表将要访问的顶点的集合，E为连接这些顶点的边的集合。
E中每条边的权值由顶点之间的距离决定。
由于G中⼀个完整的、⽆⽅向的图，因此E包含V（V-1）/2条边。
事实上，旅⾏商问题是⼀种特殊的⾮多项式时间问题，称为NP完全问题。
NP完全问题是指那些多项式时间算法未知，倘没有证据证明没有解决的可能性的问题。
考虑到这种思想，通常⽤⼀种近似算法来解决旅⾏商问题。
最近邻点法的应⽤⼀种近似的计算旅⾏商路线的⽅法就是使⽤最近邻点法。
其运算过程如下：从⼀条仅包含起始顶点的路线开始，将此顶点涂⿊。
其他顶点为⽩⾊，在将其他顶点加⼊此路线中后，再将相应顶点涂⿊。
接着，对于每个不在路线中的顶点v，要为最后加⼊路线的顶点u与v之间的边计算权值。
在旅⾏商问题中，u与v之间边的权值就是u到v 之间的距离。
这个距离可以⽤每个顶点的坐标计算得到。
两个点（x1，y1）与（x2，y2）之间距离的计算公式如下：r = √（x2 - x1）2 + （y2 - y1）2 （注意是求和的平⽅根）利⽤这个公式，选择最接近u的顶点，将其涂⿊，同时将其加⼊路线中。
接着重复这个过程，直到所有的顶点都涂成⿊⾊。
此时再将起始顶点加⼊路线中，从⽽形成⼀个完整的回路。
下图展⽰了使⽤最近邻点法来解决旅⾏商问题的⽅法。
通常，在为旅⾏商问题构造⼀个图时，每个顶点之间相连的边不会显⽰表⽰出来，因为这种表⽰会让图不清晰了，也没有必要。
在图中，每个顶点旁边都显⽰其坐标值，虚线表⽰在此阶段需要⽐较距离的边。
旅行商问题数学模型
旅行商问题数学模型
旅行商问题数学模型
旅行商问题（又译旅行推销员问题）是在计算机科学及运筹学中的一个典型问题，其中的任务是“找到一条最短的路线，其中遍及全部的城市且只遍及一次”。
这个问题属于非常实用的经典优化问题，如果仅考虑一个旅行者，则是一个单顶点问题。
在这里，我们把这个问题抽象成数学模型，主要包括变量，目标函数和约束条件，并由此给出解决此问题的数学表达式。
变量：
设有n个城市：C1，C2，…，Cn，设每两个城市之间的距离为Dij，i，j=1，2，…，n，Xij表示从城市i出发到城市j的路径，则Xij=1表示该路径可行，Xij = 0表示该路径不可行。
目标函数：
本题的目标是求出长度最短的路径。
故该问题的目标函数可表示为：
min Z=∑∑DijXij
其中，i，j=1，2，…，n
约束条件：
该问题的约束条件可表示为：
（1）每个城市只访问一次。
∑Xij = 1 i=1，2，…，n；j=1，2，…，n
（2）出发和结束均是同一个城市。
Xij = 1 i=j；j=1，2，…，n
（3）Xij只能取0或1。
Xij = 0或1 i，j=1，2，…，n
总结：
因此，旅行商问题的数学模型可以表示为：
min Z=∑∑DijXij
其中，i，j=1，2，…，n
约束条件：
（1）每个城市只访问一次。
∑Xij = 1 i=1，2，…，n；j=1，2，…，n （2）出发和结束均是同一个城市。
Xij = 1 i=j；j=1，2，…，n
（3）Xij只能取0或1。
Xij = 0或1 i，j=1，2，…。
第四讲 旅行商问题ppt课件
fk
(i,
S
)
min js
fk
1 (
j,
S
\
j)
d
j
i
f0 (i, ) d1i 为空集
(k 1, 2,L , n 1，i 2,3,L , n )
3
例： 求解四个城市旅行推销员问题，其距离矩阵 如表所示。当推销员从v1城出发，经过每个城市一 次且仅一次，最后回到v1城，问按怎样的路线走， 使总的行程距离最短。
f1(4,3) d42 p2(2,3, 4) 4 p2(3,2, 4) 4 p2(4,2,3) 2
6
当k=3时，即从v1城开始，中间经过三个城市(顺序随便)回 到v1城的最短距离是：
f3(1,2，3，4) min f2 (2,3, 4) d21, f2(3,2, 4) d31, f2(4,2,3) d41
现在把问题一般化。设有n个城市，以v1，v2，…，vn表 示之。dij表示从vi城到vj城的距离。一个推销员从城市v1 出发到其他每个城市去一次且仅仅是一次，然后回到城 市v1。问他如何选择行走的路线，使总的路程最短。这 个问题属于组合最优化问题，当n不太大时，利用动态 规划方法求解是很方便的。
2
动态规划模型
min 20 8,18 5, 22 6 23
p3(1,2,3, 4) 2
由此可知，推销员的最短旅行路线是1→2→4→3→1，最短 总距离为23。
7
旅行商问题应用
• 物资运输路线问题 • 自动焊机割咀路线问题 • 管道铺设路线问题
8
课堂练习
• 求解四个城市的旅行商问题。问应如何选择行进路线， 使从v1的出发到其他城市一次且仅一次，再回到v1的总 路程最短？
点出发经过s集合中所有点一次最后到达到v城镇的最短路线上邻接v求解四个城市旅行推销员问题其距离矩阵如表所示
旅行商问题
旅行商问题旅行商问题（Traveling Saleman Problem，TSP）又译为、，简称为，是最基本的路线问题，该问题是在寻求单一旅行者由起点出发，通过所有给定的需求点之后，最后再回到原点的最小路径成本。
最早的旅行商问题的数学规划是由Dantzig（1959）等人提出。
目录1简介“旅行商问题”常被称为“”，是指一名推销员要拜访多个地点时，如何找到在拜访每个地点一次后再回到起点的最短路径。
规则虽然简单，但在地点数目增多后求解却极为复杂。
以42个地点为例，如果要列举所有路径后再确定最佳行程，那么总路径数量之大，几乎难以计算出来。
多年来全球数学家绞尽脑汁，试图找到一个高效的TSP问题在物流中的描述是对应一个物流配送公司，欲将n个客户的订货沿最短路线全部送到。
如何确定最短路线。
TSP问题最简单的求解方法是。
它的解是多维的、多局部极值的、趋于无穷大的复杂解的空间，搜索空间是n个点的所有排列的集合，大小为（n-1）。
可以形象地把看成是一个无穷大的丘陵地带，各山峰或山谷的高度即是问题的极值。
求解TSP，则是在此不能穷尽的丘陵地带中攀登以达到山顶或谷底的过程。
2研究历史旅行商问题字面上的理解是：有一个推销员，要到n个城市推销商品，他要找出一个包含所有n个城市的具有最短路程的环路。
TSP的历史很久，最早的描述是1759年欧拉研究的骑士周游问题，即对于棋盘中的64个方格，走访64个方格一次且仅一次，并且最终返回到起始点。
TSP由RAND公司于1948年引入，该公司的声誉以及线性规划这一新方法的出现使得TSP成为一个知名且流行的问题。
3问题解法旅行推销员的问题，我们称之为巡行（Tour），此种问题属于的问题，1、途程建构法（Tour Construction Procedures）从中产生一个近似最佳解的途径，有以下几种解法：2、途程改善法（Tour Improvement Procedure）先给定一个可行途程，然后进行改善，一直到不能改善为止。
最新[PPT]利用遗传算法解决TSP问题ppt课件
![最新[PPT]利用遗传算法解决TSP问题ppt课件](https://img.taocdn.com/s3/m/5a85180aa58da0116d17497f.png)
TSP问题，又称旅行商问题, 旅行推销员问题,是指对于给定 的n 个城市,旅行商从某一城市出发不重复的访问其余城市 后回到出发的城市,要求找出一条旅行路线,是总的旅行路程最短.
遗传算法（Genetic Algorithms，GA）是一种基 于自然群体遗传演化机制的算法, 它模拟自然界 生物进化过程, 采用人工进化的方式对目标空间 进行随机化搜索。它将问题域中的可能解看作是 群体的个体, 并将个体编码成符号串形式( 即染色 体) , 模拟生物进化过程, 对群体反复进行杂交等 操作, 根据预定的适应度函数对每个个体进行评 价, 依据优胜劣汰的进化规则, 不断得到更优的群 体, 同时搜索优化群体中的最优个体, 求得满足要 求的最优解。
产生两个0～9的int型随机数，如得到2和6， 将gene[2]和gene[6]之间的基因反序，得到：
0218965347
变异
例如一个基因序列为： 0256981347
产生两个0～9的int型随机数，如得到2和6， 将gene[2]和gene[6] 的基因交换，得到： 0216985347
仿真结果
•
for(mem=0;mem<PopSize;mem++)
•
Байду номын сангаас
sum+=x[mem];
•
/* Calculate relative fitness */
•
for(mem=0;mem<PopSize;mem++)
•
population[mem].rfitness=x[mem]/sum;
交叉
例如一个基因序列为： 0256981347
Q恤%捎z衍cP耸M触tZM咆7眨Vt嚼(kn苑JR空
旅游管理学 PPT课件
2019/9/13
12
第二章 5 旅 游 目 的 地
• 1、发达国家
• 欧美、日本、加澳新、韩国、新加坡等国
• 2、不发达国家
• 拉美、加勒比海、大多数亚洲、非洲、太平洋、 印度洋等国家
2019/9/13
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第二章 5 旅 游 目 的 地
• 空间距离因素 • 旅游吸引物的魅力 • 文化因素 • 出游成本因素旅游目的地政府支持因素 • 旅游目的地社会、政治的稳定性因素
2019/9/13
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第二章 2 旅 游 者
旅游者：3标准
Up
1 空间因素
2 时间因素
3 旅行目的
Low
2019/9/13
Down High
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第二章 3 旅 游 客 源 地
经济因素
社会 因素
人口 因素
技术因 素
政治 因素
2019/9/13
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第二章 4 旅 游 过境通行地区
• 1、旅行时间 • 2、交通费用 • 3、交通设施的状况 • 4、公共设施的状况 • 5、安全和社会治安状况 • 6、沿途旅游吸引物的质量
需求 筛选
旅游者虽受客源地的推动影响，旅游需求仍然需 要经过大量限制因素的筛选和过滤。
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第四章 旅 游 市 场 3 旅游市场细分
市场细分原则： 1、独特性 2、可测量性 3、与产品供应者利益的一致性 4、规模性 5、可接近性 6、可运作性
2019/9/13
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第四章 旅 游 市 场 3 旅游市场细分
旅游管理 学
袁玲主讲
2019/9/13
1
第一章 绪 论
• 1、旅游的概念 • 世界旅游组织官方定义 • 指人们出于休闲、商务及其他目的到其通
第四节-旅游经营PPT课件
• 旅游经营者组织，接待出入境旅游，发现旅 游者从事违法活动或者有违反本发第16条规 定情形的，应当及时向公安机关，旅游主管 部门或者我国驻外机构报告。
投保责任险
• 《旅游法》第56条规定国家根据旅游活动 的分风险程度对旅行社住宿，旅游，交通 以及本法第47条规定的高风险旅游项目等 经营者实施责任保险制度。
不得进行商业贿赂
• 旅游经营者销售或者购买商品或者服务， 不得给予或者收受贿赂。
• 保护旅游者个人信息
• 旅游经营者对其在经营活动中知悉的旅游 者个人信息，应当予以保密。
• 承担连带责任
• 景区、住宿经营者将其部分经营项目或者场 地交由他人从事住宿，餐饮，购物，游览， 娱乐，旅游，交通等经营的，应当对实际经 营者的经营行为给旅游者造成的损害承担连 带责任。
• 三是有必要的经营管理人员和导游。
• 四是法律、行政法规规定的其他条件。
2）、经营业务范围 3）、法律责任
2、缴纳旅游服务质量保证金 • 经营国内旅游 20万 • 经营出境旅游 120万
• 3、经营行为规范
三、旅游景区经营规则
讨论：景区能够接待客人需要具备 哪些条件？
1、景区开放条件
第四节 旅游经营
一、概述
思考：哪些属于旅游经营者？
1、旅游经营者的含义
• 旅游经营者是指旅行社、景区以及为旅游 者提供交通，住宿，餐饮，购物，娱乐等 服务的经营者。
2、旅游经营者的义务
• 履行旅游合同 • 为旅游者提供交通，住宿，餐饮，娱乐等
服务的经营者。应当符合法律法规规定的 要求，按照合同约定履行义务。 • 提供合格产品 • 旅游经营者应当保证其提供的商品和服务 符合保障人身，财产安全的要求。
旅行商问题
1、途程建构法（TourConstructionProcedures）
从距离矩阵中产生一个近似最佳解的途径，有以下几种解法：
获得最优路径的贪心法应一条边一条边地构造这棵树。根据某种量度来选择将要计入的下一条边。最简单的 量度标准是选择使得迄今为止计入的那些边的成本的和有最小增量的那条边。
应用
旅行商问题具有重要的实际意义和工程背景。它一开始是为交通运输而提出的，比如飞机航线安排、送邮件、 快递服务、设计校车行进路线等等。实际上其应用范围扩展到了许多其他领域．下面举几个实例。
采用FIFO分支限界法，分支限界法是在生成当前E-结点全部儿子之后再生成其它活结点的儿子，且用限界函 数帮助避免生成不包含答案结点子树的状态空间的检索方法。在总的原则下，根据对状态空间树中结点检索的次 序的不同又将分支限界设计策路分为数种不同的检索方法。在求解旅行商问题时，程序中采用FIFO检索（First In First Out），它的活结点表采用一张先进先出表（即队列）。可以看出，分支限界法在两个方面加速了算法 的搜索速度，一是选择要扩展的节点时，总是选择选择一个最小成本的结点，尽可能早的进入最有可能成为最优 解的分支；二是扩展节点的过程中，舍弃导致不可行解或导致非最优解的子结点。
研究历史
最早的旅行商问题的数学规划是由Dantzig（1959）等人提出，并且是在最优化领域中进行了深入研究。许 多优化方法都用它作为一个测试基准。尽管问题在计算上很困难，但已经有了大量的启发式算法和精确方法来求 解数量上万的实例，并且能将误差控制在1%内。
TSP的研究历史很久，最早的描述是1759年欧拉研究的骑士环游问题，即对于国际象棋棋盘中的64个方格， 走访64个方格一次且仅一次，并且最终返回到起始点。1954年，Geo~eDanzig等人用线性规划的方法取得了旅行 商问题的历史性的突破——解决了美国49个城市的巡回问题。这就是割平面法，这种方法在整数规划问题上也广 泛应用。后来还提出了一种方法叫做分枝限界法，所谓限界，就是求出问题解的上、下界，通过当前得到的限界 值排除一些次优解，为最终获得最优解提示方向。每次搜索下界最小的分枝，可以减小计算量。
《旅行商问题》课件
3 鲁棒性
蛮力解法和分支限界法对问题大小敏感，动 态规划法稳定，遗传算法和模拟退火算法适 应性强。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4 可扩展性
分支限界法和动态规划法适用于大规模问题， 其他解法在问题规模较小时表现更好。
应用场景举例
物流配送
优化快递员路径，减少时间和成本。
城市规划
优化城市道路规划，提高交通效率。
生产制造
优化零件加工顺序，增加生产效率。
分支限界法
2
通过优化子问题，逐步找到最短路径。
3
动态规划法
利用子问题的最优解构建整体最优解。
遗传算法
4
模拟进化过程，通过基因编码求解最优路
径。
5
模拟退火算法
模拟金属退火过程，通过接受劣解概率性 地跳出局部最优。
解法优缺点对比
1 时间复杂度
分支限界法和动态规划法相对较高，蛮力解 法最高。
2 精度
遗传算法和模拟退火算法可能得到次优解， 其他解法可得到最优解。
《旅行商问题》PPT课件
# 旅行商问题PPT课件 什么是旅行商问题 - 旅行商问题的定义 - 实际场景示例 - 问题的复杂度分析
问题示例：旅行商问题
旅行商问题是指一个旅行商人需要依次访问N个城市并回到起始城市，要求找到一条最短路径，使得经过每个 城市仅一次。
1
蛮力解法
穷举所有可能的路径，计算最短路径。
网络优化
优化数据传输路径，提高网络效率。
结语
旅行商问题在实际应用中的重要性
解决旅行商问题可以帮助优化各种物流和路径规划 场景，提高效率。
后续研究方向
进一步研究旅行商问题的求解算法，寻找更高效、 精确的解决方案。
《图论旅行商》课件
2 时间复杂度计算
3 优缺点
动态规划算法的时间复 杂度为O(n²*2^n)，其中 n为节点数。
动态规划算法能够得到 全局最优解，但在节点 较多时，计算复杂度会 显著增加。
算法四：遗传算法
1 原理及步骤
2 时间复杂度计算
遗传算法通过模拟生物 进化的过程，使用交叉、 变异等操作来优化路径。
遗传算法的时间复杂度 较高，取决于种群规模 和迭代次数。
3 优缺点
遗传算法能够得到接近 最优解的结果，在处理 大规模问题时表现良好， 但迭代次数和参数选择 需要仔细调整。
应用案例
景点游览计划优化
使用图论旅行商问题算法可 以帮助游客制定最佳游览路 线，以最小化游览时间和步 行距离。
物流配送路线优化
通过优化物流路线，可以将 运输时间和成本降到最低， 提高物流效率。
1 原理及步骤
贪心算法每次选择与当 前节点距离最近的未访 问节点，并将其添加到 路径法的时间复杂度 为O(n²)，其中n为节点 数。
3 优缺点
贪心算法计算速度快， 但无法保证得到全局最 优解，只能得到近似解。
算法三：动态规划算法
1 原理及步骤
动态规划算法将问题划 分为子问题，并利用子 问题的解来构建最终问 题的解。
金融保险精准营销
利用图论旅行商问题算法可 以确定最佳营销路线，提高 客户接触率和销售效果。
结论
各算法的适用场景
暴力枚举法适用于节点较 少的情况，贪心算法适用 于规模较大但精度要求不 高的问题，动态规划算法 适用于节点较少且要求精 确解的问题，遗传算法适 用于处理大规模问题。
对比评价
各算法有各自的优点和局 限性，根据实际问题需求 选择合适的算法。
《图论旅行商》PPT课件
旅行商问题ppt课件
C1
图2 C2
5 C5
C6 8 97
C7
6 C8
C4
C9
5
C10
C11
树T
4
7 10
6.5
C3
机动 上页 下页 返回 结束
因此商人的旅行路线可以选为C1C2C3C4C3C10C5C9 C6 C5C10C3C11C3C2C1C7C8C7 C1， 总票价
w = 2 w ( T ) = 2 67.5 = 135 （百元）。 显然这是相当粗略的解。因为从图2中容易看出， 当商人飞到C9后，不必沿树T返回C3，可以直接由C9 飞到C11，再飞到C3，这样更省钱。 另外飞到C4后， 不必返回C3，可以直接由C4飞到C1，这样更省钱。 于是若按路线C1C2C3C10C5 C6C9C11C3C4 C1C7C8C7C1 飞，则有总票价w = 103.5 （百元）。虽然比刚才花费 少，但仍然是相当粗略的。
C2 C3 C4 C1， 如图3中的蓝实线。
图3 C2 8
C1
我们可以选择这样的飞行
C5 4
9 5
8
C6
C7 10
7 C9 6 C8
12 11
C10 C11
6.5
路线：从C1 沿圈CH 飞到
C5 ，然后飞到C10 ， 返回C5 ，再沿
C4 圈CH 飞完未经 过的城市,最后回到
C1，这样总票价 w = 91.5
机动 上页 下页 返回 结束
2 子哈密顿圈法 定义2 任意图G中包含G的所有顶点的圈称为G的 Hamilton圈，简称H圈。具有H圈的图称为Hamilton图, 简称H图。 设 C´是图 G 的子图 G ´的哈密顿圈， G 的 k 个不 在 C ´上的顶点为 v1,v2,…,vk，它们距C´的最短路长分 别为w1,w2,…,wk 。 则问题的较优解
《旅行商问题》PPT课件
3. 分支定界法 初始阶段：1. 将全部边按权由小到大排列；
2. 取前n边作为S，置d0:=∞。 (d0为已考察的H回路中最短的路长) 迭代阶段：3. 若S构成H回路且其路长d(S)＜d0， 则d0:= d(S)。跳过比当前d0差的后续情形后, 用 剩下未考察的第一组边作为S，返回3 全部情形考察完毕时的d0即为最短H回路长 度，取其值的那个S就是问题的解。
d(vi) 0 1 1 2 2 2
18
2. 权有负数时最短路问题的求解
——Ford 算法
权有负数时Dijkstra算法失效。( 为什么? ) 若图中不含负回路时最短路问题可解。
Ford算法采用迭代的办法，逐步逼近并最终 得到最优解。
算法中第k 次迭代后，d(i)表示从起点v1 到点 vi 的一条路的长度，且d(i)小于或等于边数不超 过k 的最短路的长度。
(注意理解jS时标号d(j)的含义)
13
对本算法的理解及算法正确性的证明：
v1
vk0
S
S
(实线表示图中一条边，虚线表示若干条 边组成的一条路)
14
例 求v1到其它各点的最短路。
v4
令d(v1)=0, 则(红点集合表示S):
4
5
vi v1 v2 v3 v4 vvi) 0 7 1 ∞ ∞ ∞
5
故最优解为S6 ，其长度为32。 计算要掌握两个要点：
1. 按字典序逐一考察各边集； 2. 每次考察完一个边集后，应考虑是否可以 用过滤条件(当前d0值)跳过一些不必要情形的考 察，因为比当前d0值差的情形不需考虑。
6
4. 近似算法－－“便宜”算法 分支定界法虽可求得旅行售货员问题的准确
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min 148,15520 p2(2,3,4)4 f2(3,2,4)min 149,13518 p2(3,2,4)4 f2(4,2,3)min 157,15822 p2(4,2,3)2
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当k=3时，即从v1城开始，中间经过三个城市(顺序随便)回 到v1城的最短距离是：
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旅行商问题应用
• 物资运输路线问题 • 自动焊机割咀路线问题 • 管道铺设路线问题
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课堂练习
• 求解四个城市的旅行商问题。问应如何选择行进路线，使 从v1的出发到其他城市一次且仅一次，再回到v1的总路 程最短？
vi vj
1
2
3
4
1
0
3
6
7
2
5
0
2
Байду номын сангаас
3
3
6
4
0
2
4
3
7
5
0
.
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作业
• 求解5个城市的旅行商问题。
第四讲 旅行商问题
讲授：白丹宇
.
1
问题描述
货郎担问题在运筹学里是一个著名的命题。有一个串村 走户卖货郎，他从某个村庄出发，通过若干个村庄一次且 仅一次，最后仍回到原出发的村庄。问应如何选择行走路 线，能使总的行程最短。类似的问题有旅行路线问题，应 如何选择行走路线，使总路程最短或费用最少等。
现在把问题一般化。设有n个城市，以v1，v2，…，vn表 示之。dij表示从vi城到vj城的距离。一个推销员从城市v1 出发到其他每个城市去一次且仅仅是一次，然后回到城
当k=1时，即从v1城开始，中间经过一个城市到达vi城的最 短距离是：
f1(2,3) f0(3,)d32 7815 f1(2,4) f0(4,)d42 9514 f1(3,2)6915 f1(3,4)9514 f1(4,2)6713 f1(4,3)7815
.
5
当k=2时，即从v1城开始，中间经过二个城市(它们的顺序随 便)到达vi城的最短距离是：
3
例： 求解四个城市旅行推销员问题，其距离矩阵 如表所示。当推销员从v1城出发，经过每个城市一 次且仅一次，最后回到v1城，问按怎样的路线走， 使总的行程距离最短。
vj
vi
1
2
1
0
6
2
8
0
3
5
8
4
6
5
.
3
7 9 0 5
4
解: 由边界条件可知：
f 0 ( 2 ,) d 1 2 6 , f 0 ( 3 ,) d 1 3 7 , f 0 ( 4 ,) d 1 4 9
• 最有指标函数fk(i, S)为从V1出发经由k个城镇的S到Vi的最短距 离
• 决策变量Pk(i, S)表示：从V1经由k个中间城镇的S到Vi城镇的最 短路线上邻接Vi的前一个城镇，则动态规划的顺序递推关系为
fk(i,S)mjisnfk1(j,S\j)dj i
f0(i,)d1i 为空集
(k1,2,L,n1， . i2,3,L,n)
市v1。问他如何选择行走的路线，使总的路程最短。这 个问题属于组合最优化问题，当n不太大时，利用动态规
划方法求解是很方便的。
.
2
动态规划模型
• 设S表示从V1到Vi中间所有可能经过的城市集合，S实际上是包 含除V1与Vi两个点之外其余点的集合，但S中的点的个数要随阶 段数改变。
• 状态变量（i，S）表示：从V1点出发，经过S集合中所有点一次 最后到达到Vi
f3 ( 1 , 2 ， 3 ， 4 ) m in f2 ( 2 , 3 ,4 ) d 2 1 ,f2 ( 3 , 2 ,4 ) d 3 1 ,f2 ( 4 , 2 ,3 ) d 4 1
m in 2 0 8 ,1 8 5 ,2 2 6 2 3
p3(1,2,3,4)2
由此可知，推销员的最短旅行路线是1→2→4→3→1，最短 总距离为23。
12345
101234 0000
210132
2
805
329051
3
0
4 3 3 4 0. 8
10