数学模型实验报告传染病

《数学模型实验》实验报告

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学号：专业：时间：年月日

一、实验名称：

传染病SIR模型

二、实验目的：

探讨传染病的SIR模型。通过微分方程的解的特征，分析受感染人数的变化规律，预报感染病的高潮时间，得出控制感染病蔓延的方法。三、实验任务：

大多数传染病如天花、流感、肝炎、荨麻等治愈后均有很强的免疫力，所以对于病愈后即非健康者（易感染者）、也非病人（已感染者）的人，他们已经退出了传染系统。假设：总人数N不变，人群分为健康者、病人和病愈免疫的移出者三类。三类人在总人数N中占的比例分别为s(t),i(t)和r(t)。建立相关模型，进行求解分析

四、实验步骤：

1.模型假设

2.模型构成

3.数值计算

4.结果分析

五、实验内容：

（一）模型假设

1.总人数N不变，人群分为健康者、病人和病愈免疫的移出者三类，称SIR模型。时刻t三类人在总人数中所占的比例分别为s(t),i(t)和r(t)。

2.病人的日接触率为λ，日治愈率为μ，传染期接触数为β=λ/μ。（二）模型构成

由假设1显然有s（t）+i（t）+r（t）=1；由假设2,对于病愈免疫的移出者而言应有：Ndi/dt=λNsi-μNi; Ndr/dt=μNi。再记初始时刻的健康者和病人的比例分别是s0（s0>0）和i0（i0>0），则由此得到SIR模

型的方程可以写作

（三）数值计算

设方程中λ=1，μ=0.3，i（0）=0.02，s（0）=0.98，MATLAB编程语言如下：

建立函数：

function y=ill(t,x)

a=1;b=0.3;

y=[a*x(1)*x(2)-b*x(1),-a*x(1)*x(2)]';

引用：

ts=0:50;

x0=[0.02,0.98];

[t,x]=ode45('ill',ts,x0);

plot(t,x(:,1),t,x(:,2)),grid,pause

plot(x(:,2),x(:,1)),grid,

得到轨迹图如下：

i(t),s(t)图像

i-s图像(相轨线)

（四）结果分析

由图可看出，i(t)由初值增长至约t=7时达到最大值，然后减少，t趋

于无穷，i趋于零；s（t）则单调减少，t趋于无穷，s趋于0.0398.

1.无论初始条件s0，t0如何，病人终将消失

2.最终未被感染的健康者的比例是s∞

3.若s0>1/β，则i(t)先增加，当s=1/β时，i(t)达到最大值，然后i(t)减

小且趋于0，s(t)单调减少至s∞。

4.若s0<=1/β，则i(t)单调减小且至0，s(t)单调减少至s∞。

根据对SIR模型的分析，当s0<=1/β时传染病不会蔓延。所以为了制止蔓延，除了提高卫生和医疗水平，使阈值1/β变大以外，另一个途径就是降低s0，这可以通过预防接种使群众免疫的办法做到。

六、结论体会：

通过本次实验，更深入的了解到关于传染病模型是如何进行假设、建立、求解。SIR模型是一个比较复杂的模型，采用了数值计算、图形观察与理论分析相结合的方法，可看做是计算机技术与建模方法巧妙结合。