数学模型实验报告传染病
数学建模_传染病模型
数学建模_传染病模型第一篇：数学建模_传染病模型传染病模摘要: 本次实验是让同学们进一步了解、巩固、加强微分方程模型的建模、求解能力；学习掌握用MATLAB进行二维和三维基本图形绘制。
因为MATLAB具有很强的图形处理功能和丰富的图形表现方法。
它提供了大量的二维、三维图形函数，使得数学计算结果可以方便地、多样性地实现可视化，这是其它语言所不能比拟的。
MATLAB不仅能绘制几乎所有的标准图形，而且其表现形式也是丰富多样的。
MATLAB不仅具有高层绘图能力，而且还具有底层绘图能力——句柄绘图方法。
在面向对象的图形设计基础上，使得用户可以用来开发各专业的专用图形。
help graph2d可得到所有画二维、三维图形的命令。
描述传染病的传播过程，分析受感染人数的变化规律，预报传染病高潮到来的时刻，预防传染病蔓延的手段，按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型。
数学建模问题重述问题: 有一种传染病（如SARS、甲型H1N1）正在流行。
现在希望建立适当的数学模型，利用已经掌握的一些数据资料对该传染病进行有效地研究，以期对其传播蔓延进行必要的控制，减少人民生命财产的损失。
考虑如下的几个问题，建立适当的数学模型，并进行一定的比较分析和评价展望。
1、不考虑环境的限制，设单位时间内感染人数的增长率是常数，建立模型求t时刻的感染人数。
2、假设环境条件下所允许的最大可感染人数为。
单位时间内感染人数的增长率是感染人数的线性函数，最大感染时的增长率为零。
建立模型求t时刻的感染人数。
3、现有卫生防疫部门采集到的某地区一定时间内一定间隔区间的感染人数数据（见下表），利用该数据确定上述两个模型中的相关参数，并将它们的预测值与实际数据进行比较分析（计算仿真偏差）并对两个模型进行适当的评价。
（注：该问题中，设最大可感染人数为2000人）4、假设总人口可分为传染病患者和易感染者，易感染者因与患病者接触而得病，而患病者会因治愈而减少且对该传染病具有很强的免疫功能，建立模型分析t时刻患病者与易感染者的关系，并对传染情况（如流行趋势，是否最终消灭）进行预测。
1.实验7-1传染病模型2
河北大学《数学模型》实验实验报告一、实验目的二、实验要求1.实验7-1 传染病模型2（ SI模型）——画di/dt~ i曲线图（参考教材 p137-138）传染病模型 2（ SI 模型）：;di/dt=ki(1-i),i(0)=i其中， i(t)是第 t 天病人在总人数中所占的比例。
λ是每个病人每天有效接触的平均人数（日接触率）。
i0是初始时刻（ t=0）病人的比例。
取 k=0.1，画出 di/dt~ i 曲线图，求 i 为何值时di/dt达到最大值，并在曲线图上标注。
试编写一个 m 文件来实现。
参考程序运行结果（在图形窗口菜单选择 Edit/Copy Figure，复制图形）：[提示]1）画曲线图用 fplot 函数，调用格式如下：fplot(fun,lims)fun 必须为一个 M 文件的函数名或对变量 x 的可执行字符串。
若 lims 取[xmin xmax]，则 x 轴被限制在此区间上。
若 lims 取[xmin xmax ymin ymax]，则 y 轴也被限制。
本题可用fplot('0.1*x*(1-x)',[0 1.1 0 0.03]);2）求最大值用求解边界约束条件下的非线性最小化函数 fminbnd，调用格式如下：x=fminbnd(‘fun’,x1,x2)fun 必须为一个 M 文件的函数名或对变量 x 的可执行字符串。
返回自变量 x 在区间 x1<x<x2 上函数取最小值时的 x 值。
本题可用x=fminbnd('-0.1*x*(1-x)',0,1)y=0.1*x*(1-x)4）指示最大值坐标用线性绘图函数plot，调用格式如下：plot(x1,y1,’颜色线型数据点图标’, x2,y2,’颜色线型数据点图标’,…) 说明参见《数学实验》 p225本题可用hold on; %在上面的同一张图上画线（同坐标系）plot([0,x],[y,y],':',[x,x],[0,y],':');3）图形的标注使用文本标注函数 text，调用格式如下：格式 1text(x,y,文本标识内容,’HorizontalAlignment’,’字符串 1’)x,y 给定标注文本在图中添加的位置。
传染病传播地数学模型【范本模板】
传染病传播的数学模型很多医学工作者试图从医学的不同角度来解释传染病传播时的一种现象，这种现象就是在某一民族或地区,某种传染病传播时，每次所涉及的人数大体上是一常数。
结果都不能令人满意,后来由于数学工作者的参与，用建立数学模型来对这一现象进行模拟和论证，得到了较满意的解答.一种疾病的传播过程是一种非常复杂的过程,它受很多社会因素的制约和影响，如传染病人的多少，易受传染者的多少，传染率的大小，排除率的大小，人口的出生和死亡，还有人员的迁入和迁出，潜伏期的长短，预防疾病的宣传以及人的个体差异等。
如何建立一个与实际比较吻合的数学模型，开始显然不能将所有因素都考虑进去。
为此，必须从诸多因素中，抓住主要因素,去掉次要因素。
先把问题简化,建立相应的数学模型。
将所得结果与实际比较，找出问题，修改原有假设，再建立一个与实际比较吻合的模型。
从而使模型逐步完善。
下面是一个由简单到复杂的建模过程，很有代表性,读者应从中体会这一建模过程的方法和思路。
一。
最简单的模型假设:（1）每个病人在单位时间内传染的人数是常数k；（2) 一个人得病后经久不愈,并在传染期内不会死亡.以i（t)表示t时刻的病人数，k表示每个病人单位时间内传染的人数,i(0）=i表示最初时有0i个传染病人，则在t 时间内增加的病人数为()()()i t t i t k i t t+∆-=∆两边除以t∆，并令t∆→0得微分方程()()()di tk i tdti i⎧=⎪⎨⎪=⎩…………（2.1）其解为()0k t i t i e=这表明传染病的转播是按指数函数增加的。
这结果与传染病传播初期比较吻合,传染病传播初期,传播很快，被传染人数按指数函数增长。
但由（2。
1）的解可知，当t→∞时，i(t）→∞,这显然不符合实际情况。
最多所有的人都传染上就是了。
那么问题在那里呢？问题是就出在于两条假设对时间较长时不合理。
特别是假设(1），每个病人单位时间内传染的人数是常数与实际情况不符。
SI.SIR.SIS模型
数学模型实验—实验报告10学院： 专 业： 姓 名： 学号：___ ____ 实验时间：__ ____ 实验地点：一、实验项目：传染病模型求解二、实验目的和要求a.求解微分方程的解析解b.求解微分方程的数值解三、实验容问题的描述各种传染病给人类带来的巨大的灾难，长期以来，建立传染病的数学模型来描述传染病的的传播过程，分析受感染人数的变化规律，探索制止传染病蔓延的手段等，一直是各国有关专家和官员关注的课题。
不同类型传染病有各自不同的特点，在此以一般的传播机理建立几种3模型。
分别对3种建立成功的模型进行模型分析，便可以了解到该传染病在人类间传播的大概情况。
模型一（SI 模型）：（1）模型假设1.在疾病传播期所考察地区的总人数N 不变，人群分为健康人和病人，时刻t 这两类人在总人数中所占比例为s （t ）和i （t ）。
2.每个病人每天有效接触的平均人数是常数a ，a 成为日接触率，当病人与健康者有效接触时，可使其患病。
（2）建立模型根据假设，每个病人每天可使as （t ）个健康人变成病人，t 时刻病人数为Ni （t ），所以每天共有aNs （t ）i （t ）个健康者被感染，即病人的增加率为： Ndi/dt=aNsi 又因为s （t ）+i （t ）=1再记时刻t=0时病人的比例为i0 则建立好的模型为：)1(i ai dt di-=i(0)=i0（3）模型求解 （代码、计算结果或输出结果）syms a i t i0 % a ：日接触率，i ：病人比例， s ：健康人比例，i0：病人比例在t=0时的值i=dsolve('Di=a*i*(1-i)','i(0)=i0','t'); y=subs(i,{a,i0},{0.3,0.02}); ezplot(y,[0,100]) figurei=str2double(i);i=0:0.01:1; y=0.3*i.*(1-i); plot(i,y)SI 模型的i~t 曲线 SI 模型的di/dt~i 曲线（4）结果分析由上图可知，在i=0:1，di/dt 总是增大的，且在i=0.5时，取到最大值，即在t->inf 时，所有人都将患病。
传染病传播的数学模型
传染病传播的数学模型传染病的传播一直是人类社会面临的重大挑战之一。
为了更好地理解和预测传染病的传播规律，数学模型发挥着至关重要的作用。
这些模型基于数学原理和统计学方法，能够帮助我们分析传染病的传播机制、评估防控措施的效果，并为公共卫生决策提供科学依据。
传染病传播的数学模型通常基于一些基本的假设和概念。
首先，需要考虑人群的划分。
一般将人群分为易感者（S）、感染者（I）和康复者（R）三类，这就是著名的 SIR 模型。
在 SIR 模型中，易感者是指那些尚未感染疾病但有可能被感染的人群；感染者是已经感染了疾病并且具有传染性的人群；康复者则是经过感染后已经恢复健康并且获得了免疫力的人群。
模型的核心在于描述这三类人群之间的转化关系。
假设在单位时间内，每个感染者平均能够感染的易感者数量为β，感染者的恢复率为γ。
那么，在某个时刻 t，易感者数量的变化率可以表示为βSI，感染者数量的变化率为βSI γI，康复者数量的变化率为γI 。
通过求解这些微分方程，可以得到传染病在人群中的传播动态。
然而，实际情况往往更加复杂。
例如，有些传染病存在潜伏期，即感染者在感染后一段时间内不具有传染性。
这时就需要引入潜伏期感染者（E），形成SEIR 模型。
还有些传染病在感染后可能会导致死亡，这就需要考虑死亡者（D）的因素。
除了人群的分类，传染病传播的数学模型还需要考虑传播途径。
常见的传播途径包括空气传播、接触传播、飞沫传播等。
对于不同的传播途径，感染的概率和传播的效率可能会有所不同。
例如，空气传播的传染病往往传播速度更快、范围更广，而接触传播的传染病则可能在特定的人群或环境中更容易传播。
另一个重要的因素是人群的流动和社交网络。
在现代社会，人们的移动和交流非常频繁，这会极大地影响传染病的传播范围和速度。
通过将人群的流动模式和社交网络结构纳入数学模型，可以更准确地预测传染病的传播趋势。
比如，在交通枢纽城市或者人口密集的大城市，传染病的传播速度可能会更快；而在相对封闭和人口稀少的地区，传播速度可能会较慢。
传染病疫情报告的模型与趋势分析
传染病疫情报告的模型与趋势分析一、引言传染病疫情报告是了解和控制传染病流行状况的重要手段。
传染病的爆发往往具有一定的规律性和趋势，通过建立合适的数学模型，可以对传染病的发展趋势进行预测和分析，从而为疫情防控提供科学依据。
本文将介绍传染病疫情报告中常用的模型以及趋势分析方法，并结合实际案例进行论述。
二、传染病报告的模型1. SIR模型SIR模型是传染病疫情报告中最常用的模型之一。
该模型将人群划分为易感染者(Susceptible)、感染者(Infectious)和康复者(Removed)三类，通过建立这三类人群之间的转化关系来描述传染病的发展过程。
在传染病爆发初期，SIR模型中的感染者数目迅速增加，而易感染者则逐渐减少。
随着时间的推移，感染者逐渐康复或死亡，成为康复者，康复者的数量也会增加。
通过对SIR模型中的各个参数进行调整，可以拟合出疫情发展的趋势，并预测疫情最终的规模和时长。
2. SEIR模型SEIR模型是对SIR模型的扩展，增加了潜伏期(E)这一概念。
潜伏期是指感染者被感染后尚未出现症状的时间段，潜伏者在这段时间内仍然可以传播病毒。
SEIR模型中的人群被划分为易感染者(S), 潜伏者(E), 感染者(I)和康复者(R)四类。
通过对这四类人群之间的转化关系进行建模，可以更加准确地描述传染病的传播过程。
三、传染病报告的趋势分析1. 疫情曲线分析疫情曲线是描述疫情发展趋势的一种图形表示方式。
根据每天报告的感染者数量，可以绘制出疫情曲线图。
通过观察疫情曲线的形态以及曲线上的波动情况，可以初步判断疾病的传播速度和爆发规模。
当疫情曲线呈现上升趋势时，意味着疫情正在快速扩散，此时需要采取紧急措施进行干预。
而当疫情曲线出现拐点或下降趋势时，表示疫情得到了一定的控制，但仍需警惕可能的反弹。
2. 基本传染数分析基本传染数R0是衡量传染病传播能力的重要指标，表示一个感染者在疫情蔓延过程中平均能够传染的其他人数。
传染病的数学模型(一)
传染病的数学模型（一）引言概述：传染病的数学模型是通过数学方法对传染病的传播过程进行建模和预测的一种方法。
它可以帮助我们理解传染病的传播规律、评估控制措施的有效性，从而指导公共卫生决策。
本文将从概念、数学模型建立、参数估计、应用案例和局限性五个方面阐述传染病的数学模型。
正文内容：一、概念1. 传染病传播过程的基本概念2. 数学模型在理解传染病传播规律中的作用3. 传染病传播的主要途径及其模型4. 传染病的基本流行病学指标5. 常见传染病的数学模型分类及特点二、数学模型建立1. 传染病传播的动力学模型建立过程2. 常见数学模型的基本方程及假设3. 数学模型的参数选择和数据需求4. 模型的数值解和模拟仿真方法5. 模型灵敏度分析和鲁棒性评估方法三、参数估计1. 传染病传播参数的基本概念和估计方法2. 基于数据的参数估计方法及其优缺点3. 遗传算法在参数估计中的应用4. 参数不确定性分析及其影响5. 基于多源数据的参数估计方法及其应用四、应用案例1. 传染病模型在疫情预测中的应用2. 传染病模型在控制措施评估中的应用3. 传染病模型在疫苗接种策略优化中的应用4. 传染病模型在早期预警系统中的应用5. 传染病模型在流行病学调查分析中的应用五、局限性1. 数学模型的假设和简化带来的局限性2. 数据不确定性对模型预测的影响3. 模型的敏感性和鲁棒性问题4. 非线性和时空不均匀性问题的处理5. 模型的外推和推广的合理性评价总结：传染病的数学模型在理解传染病传播规律、预测疫情发展趋势、评估防控措施等方面发挥着重要作用。
通过建立合理的数学模型并进行参数估计，我们能够更好地了解传染病的特点和传播规律，并以此为基础制定出合理的公共卫生决策。
然而，数学模型也存在一定的局限性，需要充分考虑数据不确定性、模型的假设简化以及非线性和时空不均匀性等问题。
因此，在使用传染病的数学模型时，我们需要谨慎并结合其他数据和方法进行综合分析。
传染病的数学模型
传染病模型详解2.2.2 SI/SIS,SIR 经典模型经典的传播模型大致将人群分为传播态S,易感染态/和免疫态R 。
S 态表示该个体 带有病毒或谣言的传播能力，一戸•接触到易感染个体就会以一泄概率导致对方成为传播态。
/表示该个体没有接触过病毒或谣言，容易被传播态个体感染。
R 表示当经过一个或多个 感染周期后，该个体永远不再被感染。
S/模型考虑了最简单的情况，即一个个体被感染，就永远成为感染态，向周用邻居不断传 播病毒或谣言等。
假设个体接触感染的概率为0,总人数为N.在各状态均匀混合网络中 建立传播模型如下:从而得到1-屮严_可见，起初绝大部分的个体为/态，任何一个S 态个体都会遇到/态个体并且传染给对 方，网络中的S 态个数随时间成指数增长。
与此同时，随着/态个体的减少，网络中S 态个 数达到饱和，逐渐网络中个体全部成为S 态。
然而在现实世界中，个体不可能一直都处于传播态。
有些节点会因为传播的能力和意愿 的下降，从而自动转变为永不传播的R 态。
而有些节点可能会从S 态转变/态，因此简单 的S/模型就不能满足节点具有自愈能力的现实需求，因而岀现S/S 模型和S7R 模型。
S/R 是研究复杂网络谣言传播的经典的模型。
采用与病毒传播相似的过程中的S, I , R 态 代表传播过程中的三种状态。
Zanetee, Moreno 先后研究了小世界传播过程中的谣言传播。
Moreno 等人将人群分为S （传播谣言）、I （没有听到谣言），R （对谣言不再相信也不传 播）。
假设没有听到谣言/个体与s 个体接触，以概率久伙）变为s 个体，s 个体遇到s 个体 或/?个体以概率a 伙）变为如图2.9所示。
建立的平均场方程:- = ^■（1-0 dt・仇谊）=M 皿=罠0）对此方程进行求解可得: IS 2.9 SIR 模型的状态转移圏di(t) ・~;-= 一九(k)i ⑴ s(t)dt< = A(k一a伙)s(f)[s(/) + r(t)] dt= a(k)s(/)[$(f) + r(t)]dt与之前人得到的均匀网络的病毒传播的结论相反，谣言在均匀网络中传播没有阈值。
传染病数学模型
传染病数学模型传染病是一种严重的公共卫生问题，它可以通过空气、水和食物等媒介传播，对人类社会造成极大的危害。
为了有效地控制传染病的传播，需要对传染病进行数学建模，以便更好地预测和控制其传播。
一、引言传染病数学模型是一种利用数学工具来模拟传染病的传播和扩散的模型。
通过建立数学模型，可以对传染病的传播过程进行模拟和分析，预测其未来的发展趋势，为制定有效的防控措施提供科学依据。
二、传染病数学模型的建立1、确定模型的基本假设和参数建立传染病数学模型需要先确定模型的基本假设和参数。
这些假设和参数包括：传染病的传播途径、潜伏期、感染期、易感人群的数量、人口的流动等。
2、建立数学方程基于上述假设和参数，可以建立传染病传播的数学方程。
常用的方程包括：SIR（易感者-感染者-康复者）模型、SEIR（易感者-暴露者-感染者-康复者）模型、SEIRD（易感者-暴露者-感染者-康复者-死亡者）模型等。
这些模型可以描述传染病的传播过程，并预测其未来的发展趋势。
三、传染病数学模型的应用1、预测和控制传染病的传播通过建立数学模型，可以对传染病的传播过程进行模拟和分析，预测其未来的发展趋势，为制定有效的防控措施提供科学依据。
例如，通过模拟不同防控措施的效果，可以找到最有效的防控策略，减少传染病的传播。
2、评估疫苗接种的效果通过建立数学模型，可以评估疫苗接种的效果。
例如，通过比较接种疫苗和不接种疫苗的传播情况，可以得出疫苗接种对控制传染病传播的作用。
四、结论传染病数学模型是一种有效的工具，可以帮助我们更好地理解和控制传染病的传播。
通过建立数学模型，可以对传染病的传播过程进行模拟和分析，预测其未来的发展趋势，为制定有效的防控措施提供科学依据。
通过评估疫苗接种的效果，可以为制定合理的疫苗接种策略提供支持。
标题：数学模型在数学论文指导传染病模型1中的应用在当今世界，传染病的爆发和传播已经成为全球面临的共同挑战。
为了有效控制疾病的传播，我们需要对传染病模型进行深入研究。
数学建模传染病模型
传染病的传播摘要：本文先根据材料提供的数据建立了指数模型，并且全面地评价了该模型的合理性与实用性。
而后对模型与数据做了较为扼要地分析了指数模型的不妥之处。
并在对问题进行较为全面评价的基础上引入更为全面合理的假设和建立系统分析模型。
运用联立微分方程组体现疫情发展过程中各类人的内在因果联系，并在此基础上建立方程求解算法结合MATLAB 编程(程序在附件二)拟合出与实际较为符合的曲线并进行了疫情预测。
同时运用双线性函数模型对卫生部的措施进行了评价并给出建议以及指出建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难本文的最后，通过本次建模过程中的切身体会，说明建立如SARS 预测模型之类的传染病预测模型的重要意义。
关键词：微分方程 SARS 数学模型 感染率1问题的重述SARS （Severe Acute Respiratory Syndrome ，严重急性呼吸道综合症, 俗称：非典型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。
SARS 的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。
请你们对SARS 的传播建立数学模型，具体要求如下：1)建立传染病传播的指数模型，评价其合理性和实用性。
2)建立你们自己的模型，说明为什么优于指数模型；特别要说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难在哪里？对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后5天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。
附件1提供的数据供参考。
3)说明建立传染病数学模型的重要性。
2 定义与符号说明N …………………………………表示为SARS 病人的总数；K （感染率）……………………表示为平均每天每人的传染他人的人数；L …………………………………表示为每个病人可能传染他人的天数；dt dN(t)………………………… 表示为每天（单位时间）发病人数；N(t)-N(t-L)………………………表示可传染他人的病人的总数减去失去传染能力的病人数；t …………………………………表示时间；R 2………………………………表示拟合的均方差； 3 建立传染病传播的指数模型3.1模型假设1) 该疫情有很强的传播性，病人（带菌者）通过接触（空气，食物，……）将病菌传播给健康者。
数学建模实验(传染病模型)
实验二：传染病模型1、SI 模型的建立基于以下三个假设，求出平衡点，给出参数，图示模型曲线。
（1）不考虑人口的出生、死亡、流动等种群动力因素。
人口始终保持一个常数，即()K t N ≡。
（2）一个病人一旦与易感者接触就必然具有一定的传染力。
假设t 时刻单位时间内，一个病人能传染的易感者数目与此环境内易感者总数()t S 成正比，比例系数为β，从而在t 时刻单位时间内被所有病人传染的人数为()()t I t S β。
2、SIS 模型的建立基于以下三个假设，求出平衡点，给出参数，图示模型曲线。
（1）不考虑人口的出生、死亡、流动等种群动力因素。
人口始终保持一个常数。
即()K t N ≡。
（2）一个病人一旦与易感者接触就必然具有一定的传染力。
假设t 时刻单位时间内，一个病人能传染的易感者数目与此环境内易感者总数()t S 成正比，比例系数为β，从而在t 时刻单位时间内被所有病人传染的人数为()()t I t S β。
（3）t 时刻，单位时间内从染病者中治愈的人与病人数量成正比，比例系数为γ，单位时间内治愈的人不具有免疫，将再成为易感者。
3、SIR 模型的建立基于以下三个假设，求出平衡点、给出参数、图示模型曲线。
（1）不考虑人口的出生、死亡、流动等种群动力因素。
人口始终保持一个常数，即()K t N ≡。
（2）一个病人一旦与易感者接触就必然具有一定的传染力。
假设t 时刻单位时间内，一个病人能传染的易感者数目与此环境内易感者总数()t S 成正比，比例系数为β，从而在t 时刻单位时间内被所有病人传染的人数为()()t I t S β。
（3）t 时刻，单位时间内从传染者中移出的人数与病人数量成正比，比例系数为γ，单位时间内移出者的数量为γ)(t I 。
求解过程1、SI 模型：由题目条件假设可以得到微分方程：K()()dIK S t I t dtβ=，又因为()()1S t I t +=， 令初始时刻病人的比例为0I ，则有：0()(1()),(0)dII t I t I I dtβ=-= %求平衡点,r 为有效传染率,x 病人比例 syms r xsolve('r*x*(1-x)','x') ans = 0 1 %方程求解syms i r t dsolve('Di=r*i*(1-i)','i(0)=i0','t')ans =1/(1-exp(-r*t)*(-1+i0)/i0) %绘制图形r=0.5,i0=0.01 fplot('1/(1-exp(-r*t)*(-1+i0)/i0)',[0,40]) fplot('1/(1-exp(-0.5*t)*(-1+0.01)/0.01)',[0,40]) function di=isf(t,i)di=0.5*i*(1-i); [t,i]=ode45(@isf,[0 40],[0.01]);plot(t,i)t ♓i♎♓ ♎♦图示4 SI 模型的i~t 曲线 图示5 SI 模型的di/dt~i 曲线2、SIS 模型 根据SI 模型及增加的假设条件，可得：)()()(t KI t I t KS dtdiKγβ-=，即： 0)0(),())(1)((I I t I t I t I dtdi=--=γβ 记 γβσ=， 则方程改写为 )]1([σβ---=i i i dt di%求解方程syms r b i t % b 为有效传染率,r 为治愈率dsolve('Di=b*i*(1-i)-r*i','i(0)=i0','t')ans =(b-r)/(b-exp(-(b-r)*t)*(-b+r+i0*b)/i0/(b-r)*b+exp(-(b-r)*t)*(-b+r +i0*b)/i0/(b-r)*r)%求平衡点syms x %(b=0.5,r=0.2)solve('0.5*x*(1-x)-0.2*x; ')ans =0..60000000000000000000000000000000%绘制图形function di=sisf(t,i)di=0.5*i*(1-i)-0.2*i;[t,i]=ode45(@sisf,[0 40],[0.01]);plot(t,i)t♓t ♓图示6 SIS 模型的i~t 曲线（σ>1） 图示7 SIS 模型的i~t 曲线（σ≤1）fplot('-0.5*x*[x-(1-1/20)]',[0,1]) fplot('-0.5*x*[x-(1-2)]',[ 0,1])i♎♓ ♎♦i♎♓ ♎♦图示8SIS 模型的di/dt~i 曲线（σ>1） 图示9SIS 模型的di/dt~i 曲线（σ≤1） 3、 SIR 模型模型的方程为{00()()(),(0)()(),(0)dIS t I t I t I I dtdSS t I t S S dtβγβ=-==-=function dx=sirf(t,x)dx=zeros(2,1);dx(1)=0.5*x(1)*x(2)-0.2*x(1); %x(1)表示i,x(2)表示s dx(2)=-0.5*x(1)*x(2);[t,x]=ode45(@sirf,[0 50],[0.01 0.99]);plot(t,x(:,1),t,x(:,2)),grid,pauseplot(x(:,2),x(:,1)),grid00.20.40.60.81s图示10 SIR模型的图形)(),(tStI图示11 SIR模型的相轨线备注：由于Matlab与Word连接不好，所绘制的图形上标的字符在Word中看不清楚。
Modeling_传染病的数学建模与分析报告
二、基本的传染病动力学模型
在传染病动力学中.长期以来主要使用的数学模型是所谓的“仓室”（compartment）模型.它的基本思想由Kermack与McKendrick创立于1927年.但一直到现在仍然被广泛的使用和不断地发展着。下面我们以他们提出的一个经典的基本模型为例.来阐述建立仓室模型的基本思想和有关基本概念.并显示由模型能得到的主要结论。
（2）一个病人一旦与易感者接触就必然具有一定的传染力。这里假设 时刻单位时间内.一个病人能传染的易感者数目与此环境内易感者总数 成正比.比例系数为 （称为传染系数）.从而在 时刻单位时间内被所有病人传染的人数（即新病人数）为 。
（3） 时刻.单位时间内从染病者类移出的人数与病人数量成正比.比例系数为 .从而单位时间内移出者的数量为 。显然. 是单位时间内移出者在病人中所占的比例.称为移出率系数.当不致混淆时也简称为移出率。当移出者中仅包括康复者时.移出率系数又称为恢复率系数或简称为恢复率。
表示在发病初期.一个病人在传染期内所传染的人数.称为基本再生数（具有很强的生物学意义）。
应当指出.（1-4）中的 表示平均移出时间.也就是平均患病期。事实上.由移出率系数 的定义可见.若病人数量为 .则单位时间内移出者的数目为 .故经过时间 .病人全部移出。
要防止疾病流行.必须减少 使它小于1.由表达式（1-4）可知.这可以通过加强治疗以缩短染病期 或采取杀菌等措施以减少疾病的传染力 .或通过隔离措施以减少与患病者可能接触的人数即这里的易感者 来实现。更为有效的方法是通过疫苗接种以使易感者成为免疫者而直接进入移出者类 .从而减少初始时刻易感者的数量 。
(6数学建模)传染病模型
3.传染者的恢复数正比于传染者的数量NI，比例系 数ν称为恢复率，则平均传染周期为1／ν。若考虑 死亡，则平均传染周期为1／（μ＋ν）。 σ＝λ／（μ＋ν)为一个传染者在其传染周期
内与其他成员的接触总数，称为接触数。
二、SIS模型
SIS模型是最简单的传染模型，人群只分成两类， S类和I类。人员的流动形式：S→I→S，如图
简化可得SIRS模型 S I (t ) SI S
I SI I I R I R I (t ) S I R 1 S 0 0, I 0 0, R0 0
下图显示模型的理论曲线与实际数据
（四）接触数σ的估计
已经看到，在SIS及SIR模型中，传染病是否流行与接 触数σ直接有关，因而有必要估计这个参数。 一般地，初始传染者数量很小，可近似取 I 0 ， 0 故1 R0 S 0 ，则可得
ln( S 0 S ) ( S0 S )
传 染 病 模 型
朱建青 （苏州科技学院信息与计算科学系）
传染病模型
一、记号与假设 二、SIS模型 三、不考虑出生和死亡的SIR模型 四、考虑出生和死亡的SIR模型 五、SEIR模型 六、SIRS模型
一、记号与假设
首先把人群分成以下三类。 S类：易感类（Susceptible） 指未得病，但缺乏免疫，与患病者接触后易受感染。 I类：传染类（Infective） 指已染上传染病，且可能传给S类成员。 R类：排除类（Removal） 指从I类中被隔离或具有免疫力。 S（t）、I（t)、R（t）分别表示t时刻S类、I类、 R类成员占人口总数的比例，故 S（t）＋I（t）＋R（t）＝1。
称为潜伏期，记为
把处于潜伏期内的成员的全体记为E类，用E(t)
数学模型研究生物传染病传播机制
数学模型研究生物传染病传播机制传染病一直以来都是人类面临的重大公共卫生问题，它们的传播机制复杂多样。
为了更好地理解和控制传染病的传播，数学模型研究成为一种重要手段。
本文将介绍数学模型在研究生物传染病传播机制方面的应用，包括基本概念、建模方法、传播途径和应用案例等。
一、数学模型的基本概念1.1 数学模型的定义和作用数学模型是指用数学语言和符号描述现实系统或问题，并对其进行定量分析和预测的工具。
在研究生物传染病传播机制时，数学模型可以帮助我们理解病原体的传播规律、评估传播风险和预测疫情发展趋势。
1.2 传染病传播的基本要素传染病的传播主要依赖于三个基本要素：感染源、传播途径和易感人群。
感染源是指患者、病原体携带者或者动物等，传播途径可以是空气飞沫、直接接触或者通过生物媒介等，而易感人群是指还没有免疫或接种疫苗的人群。
二、建模方法2.1 定量模型和定性模型在建立数学模型时，我们可以采用定量模型或定性模型。
定量模型是用具体的数学方程描述传染病的传播过程，可以基于微分方程、差分方程或随机过程等进行建模。
而定性模型则是使用有向图或状态转移图等工具描述传播的关系和趋势。
2.2 传统模型和复杂网络模型传统模型是常用的建立数学模型的方法，它将人群划分为若干个互相作用的亚群，通过推导微分方程或差分方程来描述传播动力学。
而复杂网络模型是近年来兴起的一种建模方法，利用图论和复杂网络理论来刻画人群之间的相互关系和传播路径。
三、传播途径3.1 空气传播空气传播是一种重要的传染途径，包括飞沫传播和气溶胶传播。
飞沫传播是通过病人呼吸、咳嗽、打喷嚏等方式释放的病原体携带的液体颗粒传播给他人。
气溶胶传播则是指病原体以微小的颗粒形式悬浮在空气中传播。
3.2 接触传播接触传播是指通过人与人之间的直接接触或者间接接触传播病原体，包括触摸、握手、亲吻、共用餐具等方式。
接触传播在密集人群聚集的场所特别容易发生，如学校、医院和工厂等。
3.3 生物媒介传播生物媒介传播是指某些昆虫、动物或者其他生物作为传播的媒介，将病原体从一个人体传播到另一个人体。
Modeling_传染病的数学建模与分析报告
二、基本的传染病动力学模型
在传染病动力学中.长期以来主要使用的数学模型是所谓的“仓室”（compartment）模型.它的基本思想由Kermack与McKendrick创立于1927年.但一直到现在仍然被广泛的使用和不断地发展着。下面我们以他们提出的一个经典的基本模型为例.来阐述建立仓室模型的基本思想和有关基本概念.并显示由模型能得到的主要结论。
传染病的数学建模与分析
时间：2010年9月7日地点：2楼阶梯教室
一、传染病建模的意义
传染病历来就是威胁人类健康的大敌.人类征服传染病的道路依然曲折漫长。近20年来像AIDS病、SARS、禽流感等重大传染病相继爆发.在全球蔓延。2008手足口病的爆发曾给婴幼儿的健康带来了极大的危害。2009年的H1N1又来侵害年轻的我们。结核、白喉、鼠疫、登革热等一些老的传染病也重新抬头.给人们工作、生活和国民经济的发展带来了极大的影响。2003年突发的SARS传染病给我们的公共卫生体系应对突发性传染病提出了新的要求.也给数学在研究传染病动力学性态和预测等方面提出了一系列新问题。因此.研究和分析传染病传播的数量规律.建立有效的防控机制既是摆在我们面前的一个困难问题.也是一项紧迫任务。
移出者（Removed）类 其数量记为 .表示 时刻已从传染病者类移出的人数。
设总人口为 .则有 。K-M的 模型是一个十分简单粗糙的模型。它的建立基于以下三个基本假设：
（1）不考虑人口的出生、死亡、流动等种群动力因素。这意味着考虑一个封闭环境而且假定疾病随时间的变化要比出生、死亡随时间变化显著得多.从而后者可以忽略不计。这样.此环境的总人口始终保持为一个常数.即 .或 。
数学建模传染病模型
常直数至，从此而疾可病以解在释该医地生们s区(t发)消现s失的oe现。1 象r (t )。
k
鉴于在本模型中的r作(t)用 n，1被 i(t) s(t)
infective
医为生揭们示称产为生此上疾述病现在象该的地原区因（3.18）中
的 较第大其的么的（的中阀此所常1值疾有）数。 病 人式通。没。改常kl的有写是引波成一入及：个解到与dd释ti该疾了地k病为i(区种s什类 )有关的
令：
d 2i dt 2
0
得：
t1
ln co k(n 1)
模型3
将人群划分为三类（见右图）：易感染者、已感染 者和已恢复者（recovered）。分别记t时刻的三类人数为 s(t)、i(t)和r(t)，则可建立下面的三房室模型：
di
dt
ksi
li
l
称为传染病恢(1)复系数
dr
dt
li
(2)
（3.18）
模型1 设某地区共有n+1人，最初时刻共有i人得病，t时刻已
感染（infective）的病人数为i(t)，假定每一已感染者在单位 时间内将疾病传播给k个人（k称为该疾病的传染强度），且 设此疾病既不导致死亡也不会康复
则可导出：
di
dt
ki
i(o) io
故可得： i(t) ioekt
（3.15）
解得： 其中：
i(t)
co
n
co (n 1)ek(n1)t
1 io
coek
(n1)t
1 io
（3.17）
统计结果显示，(3.17)预报结果比(3.15)更
接近实际情况。医学上称曲线 为t ~传d此i 染值与病传曲染病的实际高峰期非常
概率论与数理统计实验_传染病传播问题
传染病传播问题传染病是人类共同的敌人. 小到流感、病毒性肝炎，大到霍乱、天花、艾滋病、非典型性肺炎等，危害着人们的健康，扰乱了人们正常的工作和生活，同时也侵蚀着人类大量的财富. 因此建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程，预报传染病高峰的到来，及时控制传染病的传播是非常重要的事情，一直是各国政府和科学家关注的课题. 以下探讨几类传染病数学模型，对传染病相关的问题做出相应的回答.注：（1）这里不从医学的角度分析各种传染病的传播，而只是按照一般的传播机理建立几种数学模型；（2）讨论问题的前提是假定在疾病的传播期内，所考察地区的总人数不变（总人数为N ）.解：假设 (1) t 时刻健康者和病人在总人数中所占的比例分别为).(),(t i t s 另外,0)0(i i =；(2) 每个病人每天有效接触的平均人数为常数λ. λ称日接触率，即当病人与健康者有效接触时，使健康者感染变成病人. 根据假设，有)0(1)()()()()(i i t i t s t i t Ns dtt di N ==+=λ 故可得⎪⎩⎪⎨⎧=-=0)0()](1)[()(i i t i t i dt t di λ （1）得到te i t i λ-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=1111)(0 (2)这个模型可以用于传染病的前期（对于传染较快的病），早期预报传染病高峰的到来. 1）)(t i ~t 曲线表示传染病的传染曲线；dtdi~t 曲线表示传染病的上升率与时间的关系，医学上称为传染病曲线.2) 求)(t i 的一阶导数：这里已经把0i =0.0012, λ=0.25代入到)(t i 的表达式. 再输入回到)(t i 的表达式(2), 再求)(t i 的二阶导数, 令022=dt i d ，求出dt di函数的极大值点,}}]001Log[{},{{λλai ai t t +--→∞-→ ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-11ln 011i t λ （3）再代入)(t i 的表达式，得21即已求出 21*=i 时，dt di 达到最大值. 即传染病的上升率达到最大，这个时刻是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-11ln 011i t λ. 说明：病人在这个时刻增加得最快，预示着传染病高潮的到来，是医疗卫生部门特别关注的时刻.3）从（3）式可知1t 与λ成反比. 日接触率标志着该地区的卫生水平，λ越小，卫生水平越高. 而λ越小，1t 越大，传染病爆发的时刻就会越迟. 所以改善保健设施，采取有效的隔离措施，降低日接触率，可以推迟传染病高峰的到来.4）由（2）式可知，当∞→t 时，1)(→t i . 这就意味着所有的人都将被传染，处于生病状态. 这是不符合实际情况的. 事实上，传染病人经治疗后，或者痊愈，因而具有免疫力；或者死亡；所以最终病人的比例数)(t i 应该趋于零，即当∞→t 时，0)(→t i . 由此可见，需要重新修改模型假设，再建立数学模型.感染--治愈 假设：(1) 与感染模型相同； (2) 与感染模型相同；(3) 病人可以治愈. 病人每天被治愈的人数占病人总数的比例μ，称为日治愈率. 病人治愈后仍可成为被感染的健康者，所以μ1是这种传染病的平均传染期. 由假设（3）可知1)()()()()()(=+-=t i t s t i t i t s dtt di μλ0)0(i i = 故可得 ⎪⎩⎪⎨⎧=--=0)0()()](1)[()(i i t i t i t i dt t di μλ （4）变换得 ⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=02)0()()()()(i i t i t i dt t di μλλ （5）此方程为贝努利方程，{{i [t]-> 0)()(0)(ai e e e ai e t t t t λμλμλμλμλ-+--}} 得到()te i t i μλμλλμλλ--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-=01)(1 当μλ≠ 当μλ=时，上式不是方程的解，应从原方程出发求解.()⎪⎩⎪⎨⎧=-=020)()(i i t i dtt diλ （6） 可以利用分离变量法求解.{{i[t]->10ai t ai λ+}}即1)(1i t t i +=λ为当μλ=时的解. 所以方程组的解为： ()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≠⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-=----时当时；当μλλμλμλλμλλμλ101011i t e i t i t （7）分析：定义： μλσ= （8） 从λ和μ1的定义可知，σ是一个传染期内每个病人有效接触的平均人数，称为接触数. 1）作出()t t i ~曲线图，分析病人数的变化规律. 首先求出()t i 的极限，讨论极端情况. 因为()⎪⎩⎪⎨⎧≤>⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+∞→10111lim 1σσσμλλ，当；，当t i t （9） 这里有两条()t t i ~曲线, 都是1>σ的情形. 上面一条是0i =0.68, λ=0.25, μ=0.10时的图形; 下面一条是0i =0.0012, λ=0.25, μ=0.10时的图形. 从图25.3可见, 虽然0i 不同, 但()t i 在t 趋于无穷时有相同的极限σ11-.这是0i =0.68, λ=0.10, μ=0.10时的()t t i ~曲线.2）接触数1=σ是一个阈值. 当1≤σ时，病人比例()t i 越来越小，最终趋于零. 说明传染期内，每个病人有效接触的平均人数不超过一个人，最终导致使健康者变为病人的数量不超过病人数. 当1>σ时，病人比例()t i 的增减性取决于初始病人数0i 的大小. 当+∞→t 时，σ11)(-→t i .从上式分析可知σ越大，σ11-越大，即：病人比例()t i 随σ的增加而增加. 相反，增大治愈率μ，减少接触率λ，（即：降低σ的取值）其实际意义就是要提高医疗水平和保健水平，可以降低传染病的传播，避免传染病的爆发.3）特殊情况：当0,1==μλ时，相当于)(,时当+∞→+∞→=t μλσ的情况. 即：随着天数t 的无限增大，接触数无限增大，将导致所有的人都成为病人. 这也就是模型(一)的情况.感染--治愈--免疫考虑大多数传染病治愈后有很强的免疫力. 所以病愈的人既非健康者又非病人，被免疫的人数不再传染别人，别人也不会传染他们，他们已经退出传染系统. 另外死亡者也看作是退出传染系统.假设：（1）人群分为健康者、病人和移出者三类. 三类人在总人数N 中占的比例分别记作()()()t r t i t s ,,，三者之间满足条件：()()()1=++t r t i t s ；（2）病人的日接触率为λ，病人的日治愈率为μ，传染期接触数为μλσ=. 由假设（2）可知()()()t Ni t i t Ns dtdiNμλ-= 对移出者应有 ()t Ni dtdrN μ=，记初始时刻的健康者和病人的比例分别是()0),0(00>>i s ，移出者的初始值00=r .则得到： ()()()()()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=-=000,0s s i i t i t s dt dst i t i t s dt diλμλ （10） 这是非齐次非线性的微分方程组，难以求出精确的解析解.结果为 图25.5, 图25.6, 图25.7三个图形. 这是λ=0.25, μ=0.10, )0(i =0.0012时的i(t )~t,s (t)~t, r (t)~t 曲线.图25.13在理论上可以根据方程组的特点，先确定()t i 与()t s 之间的关系，然后再利用s i ,的关系，确定()t i . 将（10）式前两个方程左右两边分别相除得：()⎪⎩⎪⎨⎧=-=0111i s i sds di σ （11） 利用分离变量容易得到方程（11）的精确解()()000ln1s i s s ss i ++-=σ （12）分析：由（11）式可知，当σ1=s 时，0)(=ds t di .容易验证：当σ1<s 时，0>ds di ；当σ1>s 时，0<ds di.图形25.13中箭头表示随时间t 的增加()t s 和()t i 的变化趋势. 根据图形25.13分析可知，当+∞→t 时，()()∞∞→→→r t r t i s t s ;0;)(. 由此可得到如下结论：(1) 无论初始条件00,i s 如何，病人终将消失. 即：当+∞→t 时，()0→t i .(2) 最终未被感染的健康者的比例是()∞+∞→=s t s t lim . 在（12）式中，令0=i 可得∞s 满足的方程：0ln100=+-+∞∞s s s i s σ（13） 故∞s 是方程（13）式在⎪⎭⎫⎝⎛σ1,0内的单根. (3) 若σ10>s ，则()t i 先增加. 当σ1=s 时，()t i 达到最大值为()000ln 11s i s i m σσ+-+=. 然后()t i 减少且趋于零. ()t s 则单调减少趋于∞s .（4）若σ10≤s ，则()t i 单调减少趋于零，()t s 则单调减少趋于∞s .结果：由上述分析可以得知：(1)如果仅当病人比例()t i 有一段增长的时期才认为传染病在蔓延，这时σ1是一个阈值. 当σ10>s 时，传染病就会蔓延，而当提高阈值（即：减少传染期内接触数σ），使σ10≤s ，传染病就不会蔓延.(2) μλσ1ss =是传染期内一个病人传染健康者的平均数，故s σ称为交换数. 所以当σ10≤s 时，即有10≤s σ时，必有1≤s σ. 说明：传染期内交换数不超过1人，病人比例()t i 不会增加，传染病不会蔓延.(3) 从μλσ=表达式可知，日接触率λ越小，日治愈率μ越大，则接触数σ越小，此时有助于控制传染病的蔓延. 提高卫生水平和医疗水平是控制和降低传染病蔓延的最有效途径.(4) 在上述模型中，σ可以由实际数据估计得到：利用（13）式（一般0i 很小，可忽略不计），可得∞∞--=s s s s 00ln ln σ，其中0s 和∞s 可在传染病结束时，由统计数据获得. 或者，在医学上对血样作免疫检验也可以根据对检验有无反应，估计出0s 和∞s .。
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《数学模型实验》实验报告
姓名：学院：地点：
学号：专业：时间：年月日
一、实验名称：
传染病SIR模型
二、实验目的：
探讨传染病的SIR模型。
通过微分方程的解的特征，分析受感染人数的变化规律，预报感染病的高潮时间，得出控制感染病蔓延的方法。
三、实验任务：
大多数传染病如天花、流感、肝炎、荨麻等治愈后均有很强的免疫力，所以对于病愈后即非健康者（易感染者）、也非病人（已感染者）的人，他们已经退出了传染系统。
假设：总人数N不变，人群分为健康者、病人和病愈免疫的移出者三类。
三类人在总人数N中占的比例分别为s(t),i(t)和r(t)。
建立相关模型，进行求解分析
四、实验步骤：
1.模型假设
2.模型构成
3.数值计算
4.结果分析
五、实验内容：
（一）模型假设
1.总人数N不变，人群分为健康者、病人和病愈免疫的移出者三类，称SIR模型。
时刻t三类人在总人数中所占的比例分别为s(t),i(t)和r(t)。
2.病人的日接触率为λ，日治愈率为μ，传染期接触数为β=λ/μ。
（二）模型构成
由假设1显然有s（t）+i（t）+r（t）=1；由假设2,对于病愈免疫的移出者而言应有：Ndi/dt=λNsi-μNi; Ndr/dt=μNi。
再记初始时刻的健康者和病人的比例分别是s0（s0>0）和i0（i0>0），则由此得到SIR模
型的方程可以写作
（三）数值计算
设方程中λ=1，μ=0.3，i（0）=0.02，s（0）=0.98，MATLAB编程语言如下：
建立函数：
function y=ill(t,x)
a=1;b=0.3;
y=[a*x(1)*x(2)-b*x(1),-a*x(1)*x(2)]';
引用：
ts=0:50;
x0=[0.02,0.98];
[t,x]=ode45('ill',ts,x0);
plot(t,x(:,1),t,x(:,2)),grid,pause
plot(x(:,2),x(:,1)),grid,
得到轨迹图如下：
i(t),s(t)图像
i-s图像(相轨线)
（四）结果分析
由图可看出，i(t)由初值增长至约t=7时达到最大值，然后减少，t趋
于无穷，i趋于零；s（t）则单调减少，t趋于无穷，s趋于0.0398.
1.无论初始条件s0，t0如何，病人终将消失
2.最终未被感染的健康者的比例是s∞
3.若s0>1/β，则i(t)先增加，当s=1/β时，i(t)达到最大值，然后i(t)减
小且趋于0，s(t)单调减少至s∞。
4.若s0<=1/β，则i(t)单调减小且至0，s(t)单调减少至s∞。
根据对SIR模型的分析，当s0<=1/β时传染病不会蔓延。
所以为了制止蔓延，除了提高卫生和医疗水平，使阈值1/β变大以外，另一个途径就是降低s0，这可以通过预防接种使群众免疫的办法做到。
六、结论体会：
通过本次实验，更深入的了解到关于传染病模型是如何进行假设、建立、求解。
SIR模型是一个比较复杂的模型，采用了数值计算、图形观察与理论分析相结合的方法，可看做是计算机技术与建模方法巧妙结合。