反证法证明题
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反证法证明题
例1. 已知A ∠，B ∠，C ∠为ABC ∆内角.
求证：A ∠，B ∠，C ∠中至少有一个不小于60o
.
证明：假设ABC ∆的三个内角A ∠，B ∠，C ∠都小于60o
， 即A ∠<60o ，B ∠<60o ，C ∠<60o
， 所以O
180A B C ∠+∠+∠<， 与三角形内角和等于180o
矛盾， 所以假设不成立，所求证结论成立.
例2. 已知0a ≠，证明x 的方程ax b =有且只有一个根. 证明：由于0a ≠，因此方程ax b =至少有一个根b x a
=. 假设方程ax b =至少存在两个根，
不妨设两根分别为12,x x 且12x x ≠， 则12,ax b ax b ==， 所以12ax ax =， 所以12()0a x x -=.
因为12x x ≠，所以120x x -≠， 所以0a =，与已知0a ≠矛盾， 所以假设不成立，所求证结论成立.
例3. 已知3
3
2,a b +=求证2a b +≤. 证明：假设2a b +>，则有2a b >-，
所以3
3
(2)a b >-即323
8126a b b b >-+-，
所以3
2
3
2
81266(1)2a b b b b >-+-=-+. 因为2
6(1)22b -+≥
所以332a b +>，与已知33
2a b +=矛盾. 所以假设不成立，所求证结论成立.
例4. 设{}n a 是公比为的等比数列，n S 为它的前n 项和.
求证：{}n S 不是等比数列.
证明：假设是{}n S 等比数列，则2
213S S S =⋅，
即222
111(1)(1)a q a a q q +=⋅++.
因为等比数列10a ≠，
所以2
2
(1)1q q q +=++即0q =，与等比数列0q ≠矛盾， 所以假设不成立，所求证结论成立.
例5. 证明2是无理数.
证明：假设2是有理数，则存在互为质数的整数m ，n 使得2m n
=. 所以2m n =
即222m n =，
所以2
m 为偶数，所以m 为偶数. 所以设*
2()m k k N =∈， 从而有2
2
42k n =即2
2
2n k =. 所以2
n 也为偶数，所以n 为偶数. 与m ，n 互为质数矛盾.
所以假设不成立，所求证2是无理数成立.
例6. 已知直线,a b 和平面，如果,a b αα⊄⊂，且//a b ，求证//a α。
证明：因为//a b , 所以经过直线a , b 确定一个平面β。
因为a α⊄，而a β⊂， 所以 α与β是两个不同的平面． 因为b α⊂，且b β⊂， 所以b αβ=I .
下面用反证法证明直线a 与平面α没有公共点．假 设直线a 与平面α有公共点P ，则P b αβ∈=I ，
即点P 是直线 a 与b 的公共点，
这与//a b 矛盾．所以 //a α.
例7．已知0 < a , b , c < 2，求证：(2 a )c ， (2 b )a ，(2 c )b 不可能同时大于1
证明：假设(2 a )c ， (2 b )a ，(2 c )b 都大于1，
即 (2 a )c>1, (2 b )a>1, (2 c )b>1， 则(2 a )c (2 b )a (2 c )b >1 …① 又因为设0 < a , b , c < 2，(2 a ) a 12
)2(=+-≤a
a ,
同理 (2 b ) b≤1, (2 c ) c≤1, 所以(2 a )c (2 b )a (2
c )b ≤1此与①矛盾.
所以假设不成立，所求证结论成立.
例8．若x , y > 0，且x + y >2，则
x
y +1和y x
+1中至少有一个小于2
证明：假设
x
y
+1≥2，y x +1≥2，
因为x , y > 0，所以12,12y x x y +≥+≥ ，
可得x + y ≤2 与x + y >2矛盾. 所以假设不成立，所求证结论成立.
例9．设0 < a , b , c < 1，求证：(1 a )b , (1 b )c , (1 c )a ,不可能同时大于
4
1
证明：假设设(1
a )
b >
41, (1 b )c >41, (1 c )a >4
1, 则三式相乘：ab < (1 a )b •(1 b )c •(1 c )a <64
1
①
又∵0 < a , b , c < 1 ∴412)1()1(02
=⎥⎦
⎤