信号与系统第三章

X
例3-1-2
判断下面的信号是功率信号还是能量信号。
T 2
A
T 4 T 4
f1 (t )

f 2 (t ) d t
1 P T 2

TO T 4 4

t
2 T 2 4 T A cos t d t T 4 2 t A 2 2 T cos 2 1 A 4T dt T 2 2 4 2 T A 0 P W lim P lim T f1 t 为功率信号 2 T 4 T X
f1 (t ) f 2 (t ) d t 0
相关系数
分解的原则：fe(t)的方均值最小，即误差信号功率(能量) 最小。 求相关系数C12
t2 1 2 2 令 f ( t ) f ( t ) d t ，求 最小时的 C12 , e t t 2 t1 1 d 2 即求出 0时的C12 , 即 d C12 2 d t2 t f 1 ( t ) C12 f 2 ( t ) d t 0 d C12 1 2 2 e
2 r 1 t1 r 1 t1

t2
t2
信号的 能量
基底信号的 能量
各信号分量的 能量
n
f (t ) C1 g1 (t ) C 2 g 2 (t ) C r g r (t ) C n g n (t ) C r g r (t )
r 1
物理意义： 一个信号所含有的能量（功率）恒等于此信号在 完备正交函数集中各分量能量（功率）之和。
•一个三维空间矢量 V xi yj zh，必须用三个正交
的矢量来表示，如果用二维矢量表示就会出现误差：
V xi yj , Ve zh 0
X
信号的正交分解(续)
f1 (t ) t t1 0 t2 t1 0 t2 f 2 (t ) t
f1 (t ), f 2 (t ) 为任意两个信号，设 f1 ( t ) C12 f 2 ( t ) f e ( t )
帕斯瓦尔定理证明
设gr ( t )为完备的正交函数集，即 f ( t ) lim C r gr ( t )
n r 1 n
误差函数 即
1 f (t ) t 2 t1
2 e 2
f ( t ) C r g r ( t ) d t 0 t1 r 1
例3-1-3
判断信号f2(t)是功率信号还是能量信号。
f 2 ( t ) A u( t 1) u( t 1)
W lim A 2 dt 2 A 2
T 1 1

f 2 (t )
A
0W
1
0
1
t
2 A2 W lim 0 P lim T T T T
T0 T0 2 T0 2
f 2 (t ) d t
1 平均功率 P Fra Baidu biblioteklim T0 T0

T0 2 T0 2
f 2 (t ) d t
讨论上述两个式子，只可能出现两种情况： 0 W (有限值) 0 P (有限值)
P0 W
满足式的称为能量信号，满足式称功率信号。
t1
gr (t ) gr (t ) d t
,
gr ( t )为g r ( t )的共轭
三．完备正交函数集
f (t ) C 1 g1 ( t ) C 2 g 2 ( t ) C r g r ( t ) C n g n ( t ) C r g r ( t )
f (t ) C 1 g1 (t ) C 2 g 2 (t ) C r g r (t ) C n g n (t ) C r g r ( t )
n
原函数
近似函数
r 1
g1 t , g 2 t g r t 相互正交：
0, t1 g m (t ) g n (t )dt K m ,
t2
2

t2
t1
f ( t ) d t 2 C r g r ( t ) f ( t ) d t C
t2


因为 C r 代入 即

2
t2
r 1
t1
r 1
t 2 2 r t 1

g r2 ( t ) d t 0
t2 2

t2
t1
gi ( t ) g * j (t ) d t 0
i j

t2
t1
gi ( t ) gi* ( t ) d t K i
则此复变函数集为正交函数集。 用 gr (t ), (r 0,1,2, n)表示 f ( t ) ，求相关系数
Cr

t2
t1 t2
f (t ) gr (t ) d t
1 20 2 W T0 v ( t ) d t R 2
T
平均功率可表示为
T0 0 1 1 1 2 2 2 P R 2 i ( t ) d t 或 P v (t ) d t T0 T0 T0 T0 R 2 2 T
X
定义
定义：一般说来，能量总是与某一物理量的平方成正 比。令R = 1 ，则在整个时间域内，实信号f(t)的 能量 W lim
交换微积分次序 t2 d 2 2 2 f ( t ) 2 C f ( t ) f ( t ) f ( t ) C 12 2 1 2 12 d t 0 t1 d C12 1


(1)
(2)
(3)
X
相关系数（续）
先微分
d (1) f 12 ( t ) 0 ( f 1 ( t )不含 C12 ) d C12 d 2C12 f1 ( t ) f 2 ( t ) 2 f1 ( t ) f 2 ( t ) ( 2) d C12 d 2 ( 3) C12 f 22 ( t ) 2C12 f 22 ( t ) d C12
•此公式是个通式，适合于任何正交函数集。 • C1 , C 2 ,C n 是相互独立的，互不影响，计算时先抽取 哪一个都可以，非正交函数就无此特性。 •正交函数集规定： 所有函数应两两正交。 不能因一个函数集中某几个函数相互正交就说该 函数集是正交函数。
X
复变函数的正交特性
在区间 (t1 , t 2 ) 内， 若复变函数集 gr ( t ), (r 0,1,2, n) 满足以下关系


再积分
2 2 f ( t ) f ( t ) dt 2 C f 1 2 t t 12 2 ( t )dt 0 t2
1
t2
1
可得相关系数为
C12

t2
t1
f1 ( t ) f 2 ( t ) d t

t2
t1
f 22 ( t ) d t
X
总结
• 两周期信号在同一周期内(同区间内)正交的条件是 C12=0，即：
误差函数 相关系数
f e ( t ) f1 ( t ) C12 f 2 ( t )
C 12

t2
t1
f1 (t ) f 2 (t ) d t
信号的正 交分解

t2
t1
f 22 ( t ) d t
若 C 12 0，则 f 1 ( t ), f 2 ( t )称为正交函数，满足

t2 t1
r 1
n
fe
误差信号能量 误差信号功率
2 2 2 2 令 0, 0, , 0, , 0可得3式 C1 C2 Cr Cn
理解
Cr

t2
t1
f (t ) gr (t ) d t
t2 t1

g 2 r (t ) d t

t2
t1
f (t ) gr (t ) d t Kr
0
f1 t 中还可以分解出f 2 ( t )以外的函数，如f 3 ( t )等
f1 t C12 f 2 t C13 f 3 t f e1 t
f e1 t ：抽出 f 2 t , f 3 t 后剩下的误差函数
X
二．正交函数集
任意信号f(t)可表示为n维正交函数之和：
n
常用正交函数集
g r t ,
r 1,2 为完备的正交函数集 g r t 称为完备正交函数集的基底
一个信号可用完备的正交函数集表示，正交函数集 有许多，如 正弦函数集 指数函数集 walsh函数集 …… 正弦函数集有许多方便之处,如易实现等，下一节我 们讨论如何用正弦函数集表示信号。
四．能量信号和功率信号
设i(t)为流过电阻R的电流，v(t)为R 上的电压
i (t ) R
v (t ) 2 p (t ) i (t ) R R 在一个周期内，R消耗的能量
W
T0 2 T0 2
瞬时功率为
2

v( t )

p( t ) d t R
T0 2 T0 2
i 2 (t ) d t 或
r 1 n
定义：
当n增加时， 2下降，若 n ，则 2 0，此时 g1 t , g 2 t g r t g n t 为完备的正交函数集。
1 f (t ) t1 t2
2 2 e

t2
t1
[ f (t ) Cr gr (t )]2 dt
r 1

T
f1 ( t ) f 2 ( t ) d t 0
• 对于一般信号，在给定区间正交，而在其它区间不 一定满足正交。 • 两个信号不正交，就有相关关系，必能分解出另一 信号。
例3-1-1用正弦波逼近三角函数,.f t ? 1
e
f1 ( t )
f1 t t ， 0t 3 3 f 2 t sin t ，0 t 3 3
f 2 t 为能量信号
X
规律总结：
一般周期信号为功率信号； 非周期信号，在有限区间有值，为能量信号； 还有一些非周期信号，也是非能量信号， 如u(t)是功率信号； 而tu(t)为非功率非能量信号;
δ(t)是无定义的非功率非能量信号。
X
五．帕色瓦尔定理
t2

t1
f 2 t d t C r2 g r2 t d t C r g r ( t ) d t
e t
ei t
i 0
n
e i t
H
ri t
n n r t H e t H e i t ri t i 0 i 0
X
一．信号的正交分解
正交分解:
•平面中任一矢量可分解为x,y二方向矢量， •空间中任一矢量可分解为x,y,z三方向矢量。
0
f 2 (t )
3 t

1
0
3 t
f 1 t
C 12 f 2 ( t )
3 t
C12

3
0
t f1 ( t ) f 2 ( t ) d t 0 sin t d t 2 3 3 3 2 2 3 0 f 2 (t ) d t sin t d t 0 3
信号与系统
第三章 傅里叶变换
§3.1 任意信号在完备正交函数集 中的表示法
东北大学 2010-3-29
主要内容
信号的正交分解 完备正交函数集 能量信号和功率信号 帕色瓦尔定理 重点 难点 完备正交函数集 相关系数 正交函数集
X
信号分解的目的
将任意信号分解为单元信号之和，从而考查信号 的特性。 简化电路分析与运算， 总响应=单元响应之和。
3
1
0
1
f1 ( t )
2

sin

3
f e (t )
t
( 0 t 3)
f e ( t ) f1 ( t ) C12 f 2 ( t )
0
3
t
X
说明
f e t 和f 2 t 正交
因为 f1 t 中已最大限度抽出 f 2 t ，已无 f 2 t 分量。 可以证明: 3 f e (t ) f 2 (t )dt 0
t2
Cr

t2
t1
f (t ) gr (t ) d t
t2 t1
基底函数
mn mn

t2
g 2 r (t ) d t
t1
f (t ) gr (t ) d t Kr
3
r =0,1,2,...n
误差函数均方值：

2
f e2 ( t )
1 t1 t 2
t
t2
1
[ f ( t ) C r g r ( t )]2 dt