高二数学定积分的概念2

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高二数学定积分知识点总结

高二数学定积分知识点总结一、定积分的概念1.1 定积分的引入在高中数学中，我们学过了不定积分的概念和性质，定积分就是在这个基础上引入的。

当我们对一个函数进行积分时，如果我们要计算的量是函数在一个区间上的面积或者体积，那么我们就需要用到定积分。

定积分可以看做是一个变量的特定区间上的累积和。

1.2 定积分的定义设函数f(x)在区间[a, b]上有定义，将[a, b]分成n等分，每个小区间的长度为Δx=n(b-a)，在第i个小区间上任取一点ξi，则f(x)在[a, b]上的定积分为：∫[a,b]f(x) dx=lim{n→∞}∑{i=1}^{n}f(ξi)Δx其中lim{n→∞}表示当n趋向于无穷大时的极限。

1.3 定积分的几何意义定积分的几何意义即函数f(x)在[a, b]上的定积分就是函数y=f(x)与x轴所围区域的有向面积。

1.4 定积分的性质（1）定积分的线性性质：∫[a,b][f(x)+g(x)] dx=∫[a,b]f(x) dx+∫[a,b]g(x) dx（2）定积分的估值性质：若f(x)在[a, b]上连续，则必定存在α∈[a, b]，使得∫[a,b]f(x)dx=f(α)(b-a)1.5 定积分的计算定积分的计算主要是通过不定积分的计算来实现。

通过不定积分求出F(x)的原函数后，即可得到∫[a,b]f(x) dx=F(b)-F(a)。

二、定积分的应用2.1 定积分的物理意义定积分在物理学中有着重要的应用，它可以用来计算物体的质量、重心、压力、力矩等。

在力学中，定积分常用来计算物体的质心以及转动惯量等。

2.2 定积分的几何应用定积分可以用来求曲线与坐标轴所围成的曲边梯形或者曲边梯形的面积，也可以用来计算曲线的弧长、曲线旋转体的体积等几何问题。

2.3 定积分的工程应用在工程问题中，定积分可以用来计算各种曲线的长度、曲线所围成的区域面积、曲线所绕成的物体的体积等。

2.4 定积分的经济应用在经济学中，定积分可以用来计算总收益、总成本、总利润等与变量有关的经济指标。

人教新课标版数学高二-1.7定积分的应用要点讲解

定积分的应用要点讲解一、要点精析 1.定积分的概念教材上详细地给出了定积分的概念，对定积分的内涵可抓住以下几点进行理解： (1)“分割、近似代替、求和、逼近”是定积分定义的核心，体现了“化整为零、以不变代变、积零为整、以逼近代准确”的辨证思考方法，促使近似向精确转化，这种无限分割（微分）与无限求和（积分）的方法，是微积分的基本思想方法.(2)定积分()baf x dx ⎰的值与被积函数()f x 在积分区间[]a b ，有关，而与积分变量用什么字母表示无关,即()()()bb baaaf x dx f u du f t dt ===⎰⎰⎰（称为积分形式的不变性）．(3)定积分的定义已假定下限a 小于上限b ，为方便起见，规定a b ≤时，交换定积分上、下限的位置，定积分改变符号，即()()baabf x dx f x dx =-⎰⎰，当a b =时，()0aaf x dx =⎰.2.定积分的几何意义与物理背景 (1)几何意义:当()0f x ≥时,()baf x dx ⎰表示的是()y f x =与,x a x b ==和x 轴所围曲边梯形的面积.(2)物理背景:当()f x 表示速度关于时间x 的函数时,()baf x dx ⎰表示的是运动物体从x a =到x b =时所走过的路程.3.定积分的性质(1)1的定积分等于积分的上限与下限之差,即1ba dxb a =-⎰.(2)被积函数的常系数可提到积分号之前, 即()()b baakf x dx k f x dx =⎰⎰（k 为常数）.(3)两个(可推广到有限个)函数的和(差)的定积分等于它们定积分的和(差),即[()()]baf xg x dx ±=⎰()()bbaaf x dxg x dx ±⎰⎰；(4)定积分的积分区间具有可加性，即不论c b a ,,三点的相互位置如何，恒有()()()b cb aacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰．4.微积分基本定理定理:如果连续函数()f x 是函数()F x 的导函数，即()()f x F x '=,则有()()()()bb aaf x dx F x F b F a ==-⎰(*),式子*叫作牛顿-莱布尼茨公式，通常称()F x 是()f x 的一个原函数.剖析:(1)微积分基本定理揭示了导数和定积分之间的内在联系———求导数与求积分互为逆运算,同时它也提供了计算定积分的一种简单有效方法．(2)用微积分基本定理求定积分的关键是找到满足'()()F x f x =的一个原函数()F x ，通常我们运用基本函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出()F x .(3)根据导数知识，连续函数()f x 的原函数)(x F 不惟一，如()F x C +(C 为常数)也是函数()f x 的原函数,求定积分可以选取任意一个原函数，这对于定积分的求解没有影响.(4)由定理易得：若()f x 在[,]a a -上连续,且为偶函数,则有0()2();aaaf x dx f x dx -=⎰⎰若()f x 在[,]a a -上连续,且为奇函数,则有()0aaf x dx -=⎰.二、方法归纳1.用定义求定积分的一般步骤(1)分割：将区间[]a b ，分成n 份;(2)近似代替：取点i ξ(i ζ), 1[,]i i i x x ξ-∈(或1[,]i i i x x ζ-∈;(3)求和：S 或s;(4)逼近:当最大的小区间的长度趋于0,S 与s 的差也趋于0,则S与s 同时趋于某一个常数A,A 就是所求的定积分，即⎰badx x f )(=A.2.求两曲线围成的平面图形面积(1)求解步骤:①画出图形;②确定图形范围，通过解方程组求出交点的横坐标，定出积分上、下限;③确定被积函数，特别要注意分清被积函数的上、下位置;④写出平面图形面积的定积分表达式;⑤运用微积分基本公式计算定积分，求出平面图形的面积.(2)面积公式:设由曲线(),()y f x y g x ==以及直线x a =,x b =所围成的平面图形的面积为S,则()()bbaaS f x dx g x dx =-⎰⎰()a b <.3求简单几何积的体积(1)求解步骤：①画出旋转前的平面图形和旋转体的图形;②确定轴截面图形的范围，即求交点坐标，确定积分上、下限;③确定被积函数; ④确定旋转体体积的表达式（用定积分表示）；⑤求出定积分，即旋转体的体积.(2)体积公式：设曲线()y f x =以及直线x a =,x b =所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积为V ，则V=2[()]()baf x dx a b π<⎰三、友情提示1.根据定积分定义求定积分比较繁琐，故一般利用微积分基本定理求定积分.2.利用定积分求面积或体积时,要用数形结合的方法确定被积函数和积分上下限．3.要特别注意，当()0f x ≤时,()baf x dx ⎰不是()y f x =与,x a x b ==和x 轴所围曲边梯形的面积S ，而是S 的相反数，即S =－⎰badx x f )(或()baS f x dx =⎰．4.利用微积分基本定理计算时，通常把求原函数()F x 与计算的定积分值用一串等式表示出来，注意,把积分上、下限代入原函数求差时，要按步骤进行，以免发生符号错误．。

高二数学定积分

高二数学定积分目标认知学习目标：1．了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法，了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念、几何意义。

2．直观了解微积分基本定理的含义,并能用定理计算简单的定积分。

3．应用定积分解决平面图形的面积、变速直线运动的路程和变力作功等问题，在解决问题的过程中体验定积分的价值.教学重点：正确计算定积分，利用定积分求面积。

教学难点：定积分的概念，将实际问题化归为定积分问题。

知识要点梳理知识点一：定积分的概念如果函数在区间上连续，用分点将区间分为n个小区间，在每个小区间上任取一点（i=1,2,3…,n），作和式，当时，上述和式无限趋近于某个常数，这个常数叫做在区间上的定积分.记作.即＝，这里，与分别叫做积分下限与积分上限，区间叫做积分区间，函数叫做被积函数，叫做积分变量，叫做被积式.说明：（1）定积分的值是一个常数，可正、可负、可为零；（2）用定义求定积分的四个基本步骤：①分割；②近似代替；③求和；④取极限. 知识点二：定积分的几何意义设函数在区间上连续.在上，当时，定积分在几何上表示由曲线以及直线与轴围成的曲边梯形的面积；在上，当时，由曲线以及直线与轴围成的曲边梯形位于轴下方，定积分在几何上表示曲边梯形面积的负值；在上，当既取正值又取负值时，曲线的某些部分在轴的上方，而其他部分在轴下方，如果我们将在轴上方的图形的面积赋予正号，在轴下方的图形的面积赋予负号；在一般情形下，定积分的几何意义是曲线，两条直线与轴所围成的各部分面积的代数和.知识点三：定积分的性质（1）（为常数），（2），（3）（其中），（4）利用函数的奇偶性求积分：若函数在区间上是奇函数，则；若函数在区间上是偶函数，则.知识点四：微积分基本定理如果在上连续，且，则,这个结论叫做微积分基本定理（或牛顿－莱布尼兹公式）。

其中叫做的一个原函数.由于也是的原函数，其中c为常数.一般地，原函数在上的改变量简记作.因此，微积分基本定理可以写成形式：.注意：求定积分主要是要找到被积函数的原函数，也就是说，要找到一个函数，它的导函数等于被积函数.由此，求导运算与求原函数运算互为逆运算.知识点五：应用定积分求曲边梯形的面积1. 如图，由三条直线，，轴（即直线）及一条曲线()围成的曲边梯形的面积：；2. 如图，由三条直线，，轴（即直线）及一条曲线()围成的曲边梯形的面积：；3．由三条直线轴及一条曲线（不妨设在区间上，在区间上）围成的图形的面积为：＝＋.4. 如图，由曲线及直线，围成图形的面积公式为：.知识点六：定积分在物理中的应用①变速直线运动的路程作变速直线运动的物体所经过的路程，等于其速度函数在时间区间上的定积分，即.②变力作功物体在变力的作用下做直线运动，并且物体沿着与相同的方向从移动到，那么变力所作的功.规律方法指导1．利用定积分求平面图形面积的步骤：（1）画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图像；（2）借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；（3）写出定积分表达式；（4）求出平面图形的面积.2.要正确理解定积分的概念，掌握其几何意义，从而解决实际问题；3.要正确计算定积分，需非常熟悉导数的运算。

高二数学《定积分的概念》教案

高二数学《定积分的概念》教案【小编寄语】小编给大家整理了高二数学《定积分的概念》教案，希望能给大家带来帮助!学习目标1、知识与技能目标理解并掌握定积分的概念和定积分的几何意义。

2、过程与方法目标通过学生自主探究、合作交流，培养学生分析、比较、概括等思维能力,形成良好的思维品质。

3、情感态度与价值观目标通过学生积极参与课堂活动，让学生体验创造的激情和成功的喜悦，教学过程中及时地表扬鼓励学生，让学生领会到实实在在的成就感。

教学重点定积分的概念，定积分的几何意义。

教学难点定积分的概念。

一、创设情境，引入新课创设情境：请大家闭上双眼，回忆曲边图形面积的求法，求与直线 =1， =0所围成的平面图形的面积。

教师口述：分割→近似代替→求和→取极限引入新课：定积分的概念如果函数在区间上连续，用分点将区间等分成个小区间，每个小区间长度为 ( )，在每个小区间上取一点，作和式：【问题】如果时，上述和式无限趋近于一个常数，那么称该常数为___________________________，记为：___________________________，即：___________________________。

注意：① 称为______________，叫做_____________，为_____________，与分别叫做________________与________________。

②定积分是一个常数，只与积分上、下限的大小有关，与积分变量的字母无关，。

二、自主探究合作交流探究一：在求积分时要把等分成个小区间，是否一定等分?探究二：在每个小区间上取一点，是否一定选左端点?探究三：分组讨论定积分的几何意义是什么?探究四：分组讨论根据定积分的几何意义，用定积分表示图中阴影部分的面三、例题剖析，初步应用例1 利用定积分的定义，计算的值引导：怎样用定积分法求简单的定积分呢?解：令定积分的性质根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：性质1 (定积分的线性性质)性质2 (定积分的线性性质)思考(用定积分的概念解释)：性质3 (其中 )(定积分对积分区间的可加性)思考(用定积分的几何意义解释)：_四、课堂练习巩固提高1、从几何上解释：表示什么?2、计算的值。

高二数学定积分的概念

i n
(i

1,2,

,n),每
个小区间的长度为Δx i i 1 1. nn n
2近似代替、作和
取ξ i

i n
i
1,2, ,n,则
1fxdx
0
Sn

n i1
f

n i 3 i1 n
1.5.3 定积分的概念
从曲边梯形面积以及求变速直线运动路程
的过程可以发现,它们都可以通过"四步曲": 分割、近似代替、求和、取极限得到解决，
且都可以归结为求一个特定形式和的极限: 曲边梯形面积
S
lim
Δx0
n
f
i1
ξi
Δx lim n
n i1
1f n
ξi
将区间a,b等分成n个小区间,在每个小区间
xi1,xi 上任取一点ξIi 1,2, ,n,作和式
n
i1
fξi Δx

n i1
b
n
af
ξ
i
,当n

时,
上
述
和
式
无
当函数f x 在区间a,b上连续时, 这里的定义与
;
变速运动的路程
S
lim
Δt0
n
v
i1
ξi
Δt lim n
n i1
1v n
ξi
.
事实上,许多问题都可以归结为求这种特定形式
和的极限.一般地,我们有
如果函数f x 在区间a,b上连续,用分点

定积分概念

这个常数为函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，记作
a
b
ba 即 dx lim xfi。 (xi ) lim f (x)dx，即 )) dx f (x i) aa ff((xx n 0 n i 1 i 1
bb
n
n
定积分的定义：即

b
a
ba f ( x)dx lim f (xi ) n n i 1
n i 1
O
a
xi xi xi+1 x

b
x
一、定积分的定义
从求曲边梯形面积S的过程中可以看出,通过“四步
曲”:
小矩形面积和S= f (xi )x f (xi )
i 1 i 1
n求和------取极限得到解决 n 分割---近似代替---b .a
n
如果当n∞时，S 的无限接近某个常数，
的近似值。有理由相信，分点越来越密时，即分割越来越细时，矩形面积和的极限即为曲边形的面积。
o
x
求由连续曲线yf(x)对应的曲边梯形面积的方法
n个小区间: a, x1 , x1, x2 , xi1, xi ,, xn1, b, 每个小区间宽度⊿x
ba n
(1)分割:在区间[0,1]上等间隔地插入n-1个点,将它等分成
y
S lim Sn
1 1 1 lim 1 2 n 6 n n 1 . 3 y x2
O

1 n
2 n
k n
n n
x
1 1 1 2 1 n 1 1 0 n n n n n n n 1 3 (12 22 (n 1)2 ) n 1 (n 1)n(2n 1) 3 n 6 1 1 1 1 2 . 6 n n

高二-数学-选修2-2--定积分与微积分基本定理

定积分与微积分基本定理教学重点：定积分的概念、定积分的几何意义．求简单的定积分,微积分基本定理的应用教学难点：定积分的概念、求曲边图形面积．一．定积分的概念回忆前面曲边图形面积，变速运动的路程等问题的解决方法，这几个问题都有什么共同点呢？分割→以直代曲→求和→取极限（逼近一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，分割用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=L L 将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆（b ax n-∆=），以直代曲在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=L ，每份小曲边梯形的面积近似为()i f x ξ∆ 求和：11()()nnn i i i i b aS f x f nξξ==-=∆=∑∑取极限如果x ∆无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。

记为：()baS f x dx =⎰其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限。

思考定积分()baf x dx ⎰是一个常数还是个函数？即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）称为()baf x dx ⎰，而不是n S ．常见定积分曲边图形面积：()baS f x dx =⎰；变速运动路程21()t t S v t dt =⎰；变力做功 ()baW F r dr=⎰理解本来面积=底⨯高路程=速度⨯时间功=力⨯位移因为都是不规则的，所以都用先分割，再以直代曲，这样就可以相乘了，再求和，再取极限。

二．定积分的几何性质定积分()baf x dx ⎰表示由直线,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线()y f x =所围成的曲边梯形(如图中的阴影部分)的面积，。

高二数学定积分概念

i 1
f (x)及积分区间[a,b]有关，而与积分变量的记法无关，即
b
b
b
a f (x)dx a f (t)dt a f (u)du
n
(ii) 和 f (i )xi通常称为f (x)的积分和。若f (x)在[a,b]
i 1
上的定积分存在，也称f (x)在[a,b]上可积。
2. 可积的充分条件定理1：若f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。
(ii)作积：任取i [xi1, xi ] i 1,2,, n,作乘积f (i )xi n
(iii)求和： S f (i )xi i1
(iv)取极限：记 max{ x1,xn}，若不论对[a,b]怎样
分法，也不论在小区间[xi1, xi ]上点怎样取法，当 0
时，和S总趋于确定的极限I ,则称该极限I为函数f (x)在
n
ei
i 1
1 n
lim
iY
n n1
1
e lim
ni
en
n i1
n n n i1
1
1
lim
n
1 n
1
(e
n)
1
n
1
en
(1 e) lim n
n
1
1 en
1 en
e 1
第二节定积分的性质
定积分的性质
规定：(1)当a b时，b f (x)dx 0; a
(2)当a b时，b f (x)dx a f (x)dx.
b
a f (x)dx f ( )(b a) (a ）1 x2dx与
1 x3dx；（2）1 xdx与
1
ln(1
x)dx.

高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解

年级高二学科数学内容标题定积分的计算编稿老师马利军一、教学目标：1. 理解定积分的基本概念并能利用定积分的几何意义解决一些简单的积分计算问题.2. 理解微积分的基本定理，并会用定积分公式解决简单函数的定积分问题.二、知识要点分析1. 定积分的概念：函数)(x f 在区间［a ，b ］上的定积分表示为：⎰badx x f )(2. 定积分的几何意义：（1）当函数f （x ）在区间[a ，b]上恒为正时，定积分⎰badx x f )(的几何意义是：y=f（x ）与x=a ，x=b 及x 轴围成的曲边梯形面积，在一般情形下.⎰badx x f )(的几何意义是介于x 轴、函数f （x ）的图象、以及直线x=a ，x=b 之间的各部分的面积代数和，在x 轴上方的面积取正号，x 轴下方的面积取负号.在图（1）中：0s dx )x (f ba>=⎰，在图（2）中：0s dx )x (f ba<=⎰，在图（3）中：dx)x (f ba⎰表示函数y=f （x ）图象及直线x=a ，x=b 、x 轴围成的面积的代数和.注：函数y=f （x ）图象与x 轴及直线x=a ，x=b 围成的面积不一定等于⎰badx x f )(，仅当在区间[a ，b]上f （x ）恒正时，其面积才等于⎰badx x f )(.3. 定积分的性质，（设函数f （x ），g （x ）在区间［a ，b ］上可积）（1）⎰⎰⎰±=±bab aba dx )x (g dx )x (f dx )]x (g )x (f [（2）⎰⎰=baba dx x f k dx x kf )()(，（k 为常数）（3）⎰⎰⎰+=bcbac adx x f dx x f dx x f )()()(（4）若在区间［a ，b ］上，⎰≥≥badx x f x f 0)(,0)(则推论：（1）若在区间［a ，b ］上，⎰⎰≤≤babadx x g dx x f x g x f )()(),()(则（2）⎰⎰≤babadx x f dx x f |)(||)(|（3）若f （x ）是偶函数，则⎰⎰=-aaadx x f dx x f 0)(2)(，若f （x ）是奇函数，则0)(=⎰-aadx x f4. 微积分基本定理：一般地，若)()()(],[)(),()('a Fb F dx x f b a x f x f x F ba-==⎰上可积，则在且注：（1）若)()('x f x F =则F （x ）叫函数f （x ）在区间［a ，b ］上的一个原函数，根据导数定义知：F （x ）+C 也是f （x ）的原函数，求定积分⎰badx x f )(的关键是求f （x ）的原函数，可以利用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向求F （x ）.（2）求导运算与求原函数的运算互为逆运算.【典型例题】知识点一：定积分的几何意义例1．根据⎰=π200sin xdx 推断：求直线x=0，x=π2，y=0和正弦曲线y=sinx 所围成的曲边梯形面积下列结论正确的是（）A ．面积为0B ．曲边梯形在x 轴上方的面积大于在x 轴下方的面积C ．曲边梯形在x 轴上方的面积小于在x 轴下方的面积D ．曲边梯形在x 轴上方的面积等于在x 轴下方的面积题意分析：本题考查定积分的几何意义，注意dx x ⎰π20sin 与y=sinx 及直线x=a ，x=b 和x轴围成的面积的区别.思路分析：作出函数y=sinx 在区间[0，π2]内的图象及积分的几何意义及函数的对称性可判断.解：对于（A ）：由于直线x=0，x=π2，y=0和正弦曲线y=sinx 所围成的曲边梯形面积为正可判断A 错.对于（B ），（C ）根据y=sinx 在[0，π2]内关于（)0,π对称知两个答案都是错误的. 根据函数y=sinx 的图象及定积分的几何意义可知：答案（D ）是正确的.解题后的思考：本题主要考查定积分的几何意义，体现了数与形结合的思想的应用，易错点是混淆函数y=sinx 与x 轴、直线x=0，x=π2围成的面积等于⎰π20)(dx x f .例2．利用定积分的几何意义，说明下列等式的合理性（1）121=⎰xdx（2）⎰=-1241πdx x .题意分析：本题主要考查定积分的几何意义：在区间[0，1]上函数y=2x ，及y=21x -恒为正时，定积分⎰102xdx 表示函数y=2x 图象与x=0，x=1围成的图形的面积，dx x ⎰-121表示函数y=21x -图象与x=0，x=1围成的图形的面积.思路分析：分别作出函数y=2x 及y=21x -的图象，求此图象与直线x=0，x=1围成的面积.解：（1）在同一坐标系中画出函数y=2x 的图象及直线x=0，x=1（如图），它们围成的图形是直角三角形.其面积∆S =11221=⨯⨯.由于在区间[0，1]内f （x ）恒为正，故1210=⎰xdx .（2）由]1,0[,11222∈=+⇒-=x y x x y ，故函数y 21x -=（]1,0[∈x 的图象如图所示，所以函数y 21x -=与直线x=0，x=1围成的图形面积是圆122=+y x 面积的四分之一，又y 21x -=在区间［0，1］上恒为正.⎰=-1241πdx x解题后的思考：本题主要考查利用定积分的几何意义来验证函数y=2x 及函数y=21x -在区间［0，1］上的定积分的值，体现了数与形结合的思想的应用，易错点是画函数图象的不准确造成错误的结果.例3．利用定积分的几何意义求⎰-+-4|)3||1(|dx x x 的值.题意分析：本题考查定积分的几何意义，⎰-+-4|)3||1(|dx x x 的值是函数|3||1|-+-=x x y 的图象与直线x=0，x=4所围成图形的面积.思路分析：首先把区间［0，4］分割为［0，1］，［1，3］，［3，4］，在每个区间上讨论x －1，x －3的符号，把函数|3||1|-+-=x x y 化为分段函数，再根据定积分的几何意义求⎰-+-4|)3||1(|dx x x 的值.解：函数|3||1|-+-=x x y 化为⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈∈+-=]4,3[(,42]3,1[(,2]1,0[(,42x x x x x y由于函数⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈∈+-=]4,3[(,42]3,1[(,2]1,0[(,42x x x x x y 在区间［0，1］，［1，3］，［3，4］都恒为正.设函数y=－2x+4的图象与直线x=0，x=1围成的面积为S 1 函数y=2的图象与直线x=1，x=3围成的面积是S 2 函数y=2x －4的图象与直线x=3，x=4围成的面积是S 3 由图知：S 1=S 3=,31)24(21=⨯+S 2=422=⨯ 由定积分的几何意义知：⎰-+-4|)3||1(|dx x x =10231=++S S S解题后的思考：本题考查的知识点是定积分的几何意义，利用其几何意义求定积分⎰-+-4|)3||1(|dx x x 的值，体现了等价转化的数学思想（把区间［0，4］分割，把函数y=|x －1|+|x －3|化成分段函数）、数与形结合的思想的应用.易错点是：区间［0，4］分割不当及画函数图象不准确，造成错误的结果.当被积函数含有绝对值时，常采用分割区间把函数化为分段函数的方法求定积分的值.小结：本题主要考查定积分的几何意义，要分清在区间［a ，b ］上f （x ）恒为正时，f （x ）在区间[a ，b]上定积分值才等于函数图象与直线x=a ，x=b 围成的面积.在画函数图象时注意x 的取值区间.当被积函数含有绝对值时，恰当的分割区间把函数画为分段函数再求定积分的值.高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解一、选择题1．(2010·山东日照模考)a ＝⎠⎛02x d x ，b ＝⎠⎛02e xd x ，c ＝⎠⎛02sin x d x ，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a <c <bB ．a <b <cC ．c <b <aD ．c <a <b2．(2010·山东理，7)由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为( ) A.112B.14C.13D.712(2010·湖南师大附中)设点P 在曲线y ＝x 2上从原点到A (2,4)移动，如果把由直线OP ，直线y ＝x 2及直线x ＝2所围成的面积分别记作S 1，S 2.如图所示，当S 1＝S 2时，点P 的坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，169B.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，169C.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，157D.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，137 3．由三条直线x ＝0、x ＝2、y ＝0和曲线y ＝x 3所围成的图形的面积为( ) A ．4B.43C.185D ．64．(2010·湖南省考试院调研)⎠⎛1－1(sin x ＋1)d x 的值为( )A ．0B ．2C ．2＋2cos1D ．2－2cos15．曲线y ＝cos x (0≤x ≤2π)与直线y ＝1所围成的图形面积是( ) A ．2πB ．3πC.3π2D ．π6．函数F (x )＝⎠⎛0x t (t －4)d t 在[－1,5]上( )A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0和最小值－323C ．有最小值－323，无最大值D ．既无最大值也无最小值7．已知等差数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋n ，函数f (x )＝⎠⎛1x 1td t ，若f (x )<a 3，则x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫36，＋∞ B ．(0，e 21) C ．(e －11，e )D ．(0，e 11)8．(2010·福建厦门一中)如图所示，在一个长为π，宽为2的矩形OABC 内，曲线y＝sin x (0≤x ≤π)与x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC 内随机投一点(该点落在矩形OABC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是( )A.1πB.2πC.3πD.π49．(2010·吉林质检)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2－2≤x <02cos x 0≤x ≤π2的图象与x 轴所围成的图形面积S 为( )A.32B ．1C ．4D.1210．(2010·沈阳二十中)设函数f (x )＝x －[x ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[－1.2]＝－2，[1.2]＝1，[1]＝1.又函数g (x )＝－x3，f (x )在区间(0,2)上零点的个数记为m ，f (x )与g (x )的图象交点的个数记为n ，则⎠⎛mn g (x )d x 的值是( )A ．－52B ．－43C ．－54D ．－7611．(2010·江苏盐城调研)甲、乙两人进行一项游戏比赛，比赛规则如下：甲从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为b ，乙从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为c (b 、c 可以相等)，若关于x 的方程x 2＋2bx ＋c ＝0有实根，则甲获胜，否则乙获胜，则在一场比赛中甲获胜的概率为( )A.13B.23C.12D.3412．(2010·吉林省调研)已知正方形四个顶点分别为O (0,0)，A (1,0)，B (1,1)，C (0,1)，曲线y ＝x 2(x ≥0)与x 轴，直线x ＝1构成区域M ，现将一个质点随机地投入正方形中，则质点落在区域M 内的概率是( )A.12 B.14 C.13D.25二、填空题13．(2010·芜湖十二中)已知函数f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若⎠⎛1－1f (x )d x ＝2f (a )成立，则a ＝________.14．已知a ＝∫π20(sin x ＋cos x )d x ，则二项式(a x －1x )6的展开式中含x 2项的系数是________．15．抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积为________．16．(2010·安徽合肥质检)抛物线y 2＝ax (a >0)与直线x ＝1围成的封闭图形的面积为43，若直线l 与抛物线相切且平行于直线2x －y ＋6＝0，则l 的方程为______．17．(2010·福建福州市)已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图象所围成区域(图中阴影部分)的面积为112，则a 的值为________．三、解答题18．如图所示，在区间[0,1]上给定曲线y ＝x 2，试在此区间内确定t 的值，使图中阴影部分的面积S1＋S2最小．。

定积分的概念

高二数学导学案选修 2-2
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1.5.3 定积分的概念
【学习目标】1．了解定积分的定义、性质及函数在上可积的充分条件； 2．明确定积分的几何意义和物理意义； 3．无限细分和无穷累积的思维方法. 【重点难点】定积分的概念、几何意义. 【知识链接】
3.定积分的性质：（1） a kf ( x)dx k a f ( x)dx （ k 为常数）（2） a [ f1 ( x) f 2 ( x)]dx a f1 ( x)dx a f 2 ( x)dx （3） a f ( x)dx a f ( x)dx c f ( x)dx （其中 a c b ） ※ 典型例题 . . 例 1 利用定积分的定义，计算 0 x3 dx 的值
a
a
） 2. 简化下列格式，并画出所表示的图形的面积.
A．0 C． a f ( x)dx 4. 5.
0
B． 2 a f ( x)dx D． 0 f ( x)dx
dx 的大小关系为
a 1 x2
0

2
3
x 2 dx x 2 dx
2
1
e dx 与 e
x 0 0
1

3
3
变式：计算 0 x 3dx 的值，并从几何上解释这个值表示什么？
2
D y=g(x)
C
O
x
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1. 设 f ( x) 在 [a, b] 上连续，且 ( F ( x) C ) f ( x) ，（ C 为常数），则
x 0
课后作业
））

定积分的概念

1.5.3 定积分的概念学习目标：1.通过求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程，了解定积分的背景；2.借助于几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分定义求简单的定积分；3.理解掌握定积分的几何意义．学习重点：定积分的概念、用定义求简单的定积分、定积分的几何意义．学习难点：定积分的概念、定积分的几何意义．学习过程：知识链接：1．回忆前面曲边梯形的面积，汽车行驶的路程等问题的解决方法，解决步骤：2．对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点．预习交流： 1．定积分的概念一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点 0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=L L将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x D （），在第i 个小区间[ , ]上任取一点()1,2,,i i n ξ=L ，作和式：1()nn ii S f x ξ==∆=∑如果x D 无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。

记为：()baS f x dx =⎰，其中-⎰，b －，a －，()f x －，x －，[,]a b －，()f x dx －。

说明：（1）定积分()baf x dx ⎰是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）记为()baf x dx ⎰，而不是n S ．（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈；③求和：1()ni i b af n ξ=-∑；④取极限：()1()lim n b i a n i b a f x dx f n ξ→∞=-=∑⎰ （3）曲边图形面积：()baS f x dx =⎰；变速运动路程21()t t S v t dt =⎰；变力做功()baW F r dr =⎰2．定积分的几何意义如图：定积分()baf x dx ⎰表示说明：一般情况下，定积分()baf x dx ⎰的几何意义是介于x 轴、函数()f x 的图形以及直线,x a x b ==之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积取负号。

人教版数学高二选修2-2讲义1.5.3定积分的概念

1.5.3定积分的概念1．了解定积分的概念．(难点)2．理解定积分的几何意义．(重点、易混点)3．掌握定积分的几何性质．(重点、难点)[基础·初探]教材整理1 定积分的概念阅读教材P45内容，完成下列问题．如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0<x1<…<x i－1<x i<…<x n＝b将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[x i－1，x i]上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)，作和式∑i＝1nf(ξi)Δx＝________________，当n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作⎠⎛ab f(x)d x，即⎠⎛ab f(x)d x＝__________.其中a与b分别叫做__________与__________，区间[a，b]叫做______，函数f(x)叫做____________，x叫做__________，f(x)d x叫做__________．【答案】∑i＝1n b－an f(ξi)limn→∞∑i＝1n b－an f(ξi)积分下限积分上限积分区间被积函数积分变量被积式⎠⎛12(x＋1)d x的值与直线x＝1，x＝2，y＝0，f(x)＝x＋1围成的梯形的面积有什么关系？【解析】由定积分的概念知：二者相等．教材整理2 定积分的几何意义阅读教材P46的内容，完成下列问题．从几何上看，如果在区间[a，b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，那么定积分⎠⎛ab f(x)d x表示由__________________所围成的曲边梯形的面积．这就是定积分⎠⎛ab f(x)d x的几何意义．【答案】直线x＝a，x＝b，y＝0和曲线y＝f(x)判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)⎠⎛ab f(x)d x＝⎠⎛ab f(t)d t.()(2)⎠⎛ab f(x)d x的值一定是一个正数．()(3)⎠⎛12x d x<⎠⎛22x d x()【答案】(1)√(2)×(3)√教材整理3定积分的性质阅读教材P47的内容，完成下列问题．1.⎠⎛ab kf(x)d x＝________________________(k为常数)．2.⎠⎛ab[f1(x)±f2(x)]d x＝⎠⎛abf1(x)d x±__________________.3.⎠⎛ab f(x)d x＝______________(其中a<c<b)．【答案】 1.k⎠⎛ab f(x)d x 2.⎠⎛ab f2(x)d x 3.⎠⎛ac f(x)d x＋⎠⎛cb f(x)d x填空：(1)由y＝0，y＝cos x，x＝0，x＝π2围成的图形的面积用定积分的形式表示为__________．(2)⎠⎛-11f(x)d x＝⎠⎛-10f(x)d x＋__________.(3)⎠⎛ab(x2＋2x)d x＝⎠⎛ab2x d x＋________.【答案】(1)⎠⎜⎛π2cos x d x(2)⎠⎛1f(x)d x(3)⎠⎛ab x2d x[小组合作型]利用定义求定积分利用定积分的定义，计算⎠⎛12(3x＋2)d x的值．【精彩点拨】根据定积分的意义，分四步求解，即分割、近似代替、求和、取极限．【自主解答】令f(x)＝3x＋2.(1)分割在区间[1,2]上等间隔地插入n－1个分点，将区间[1,2]等分成n个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤n＋i－1n，n＋in(i＝1,2，…，n)，每个小区间的长度为Δx＝n＋in－n＋i－1n＝1n.(2)近似代替、作和取ξi＝n＋i－1n(i＝1,2，…，n)，则S n＝∑i＝1nf⎝⎛⎭⎪⎫n＋i－1n·Δx＝∑i＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤3(n＋i－1)n＋2·1n＝∑i＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤3(i－1)n2＋5n＝3n2[0＋1＋2＋…＋(n－1)]＋5＝32×n2－nn2＋5＝132－32n.(3)取极限⎠⎛12(3x＋2)d x＝limn→∞S n＝limn→∞⎝⎛⎭⎪⎫132－32n＝132.利用定义求定积分的步骤[再练一题]1．利用定积分的定义计算⎠⎛12(－x 2＋2x )d x 的值．【解】令f (x )＝－x 2＋2x . (1)分割在区间[1,2]上等间隔地插入n －1个分点，把区间[1,2]等分为n 个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －1n ，1＋i n (i ＝1,2，…，n )，每个小区间的长度为Δx ＝i n －i －1n ＝1n . (2)近似代替、作和取ξi ＝1＋in (i ＝1,2，…，n )，则 S n ＝∑i ＝1nf ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n ·Δx＝∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n ·1n ＝－1n 3[(n ＋1)2＋(n ＋2)2＋(n ＋3)2＋…＋(2n )2]＋2n 2[(n ＋1)＋(n ＋2)＋(n ＋3)＋…＋2n ]＝－1n 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n (2n ＋1)(4n ＋1)6－n (n ＋1)(2n ＋1)6＋2n 2·n (n ＋1＋2n )2 ＝－13⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋1n ＋16⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ＋3＋1n . (3)取极限⎠⎛12(－x 2＋2x )d x ＝lim n →∞S n ＝lim n →∞ ⎣⎢⎡－13⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋1n ＋16⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ＋⎦⎥⎤3＋1n＝23.定积分的几何意义利用定积分的几何意义求下列定积分． (1)⎠⎛-33－39－x 2d x ；(2)⎠⎛03(2x ＋1)d x ； (3)⎠⎛-11－1(x 3＋3x )d x . 【导学号：62952046】【精彩点拨】对于本题(1)、(2)可先确定被积函数、积分区间，画出图形，然后用几何法求出图形面积，从而确定定积分的值；对于(3)可根据被积函数的奇偶性求解．【自主解答】 (1)曲线y ＝9－x 2表示的几何图形为以原点为圆心以3为半径的上半圆如图(1)所示．其面积为S ＝12·π·32＝92π.由定积分的几何意义知⎠⎛-339－x 2d x ＝92π.(2)曲线f (x )＝2x ＋1为一条直线.⎠⎛03(2x ＋1)d x 表示直线f (x )＝2x ＋1，x ＝0，x＝3围成的直角梯形OABC 的面积，如图(2)．其面积为S ＝12(1＋7)×3＝12.根据定积分的几何意义知⎠⎛03(2x ＋1)d x ＝12.(3)∵y＝x3＋3x在区间[－1,1]上为奇函数，图象关于原点对称，∴曲边梯形在x轴上方部分面积与x轴下方部分面积相等．由定积分的几何意义知⎠⎛-11(x3＋3x)d x＝0.定积分的几何意义的应用(1)利用定积分的几何意义求⎠⎛ab f(x)d x的值的关键是确定由曲线y＝f(x)，直线x＝a，x＝b及y＝0所围成的平面图形的形状．常见的图形有三角形、直角梯形、矩形、圆等可求面积的平面图形．(关键词：平面图形的形状)(2)不规则的图形常利用分割法将图形分割成几个容易求定积分的图形求面积，要注意分割点要确定准确．(关键词：分割)[再练一题]2．上例(1)中变为⎠⎜⎛－32329－x2d x，如何求解？【解】由y＝9－x2，知x2＋y2＝9(y≥0)，x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32，其图象如图所示：由定积分的几何意义，知⎠⎜⎛－32329－x2d x等于圆心角为60°的弓形C ED的面积与矩形ABC D的面积之和．S弓形＝12×π3×32－12×3×332＝6π－934，S矩形＝|AB|×|BC|＝2×32×9－⎝⎛⎭⎪⎫322＝932，∴⎠⎜⎛－32329－x2d x＝6π－934＋932＝6π＋934.[探究共研型]定积分性质的应用探究1 【提示】可先把每一段函数的定积分求出后再相加．探究2 怎样求奇(偶)函数在区间[a ，b ]上的定积分？【提示】 ①若奇函数y ＝f (x )的图象在[－a ，a ]上连续，则⎠⎛-a a f (x )d x ＝0；②若偶函数y ＝g (x )的图象在[－a ，a ]上连续，则⎠⎛-aa g (x )d x ＝2⎠⎛0a g (x )d x .(1)f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，0≤x <1，2x 2，1≤x ≤2，则⎠⎛02f (x )d x ＝( )A.⎠⎛02(x ＋1)d xB.⎠⎛022x 2d x C.⎠⎛01(x ＋1)d x ＋⎠⎛122x 2d x D.⎠⎛122x d x ＋⎠⎛02(x ＋1)d x (2)已知⎠⎛02f (x )d x ＝8，则⎠⎛02[f (x )－2x ]d x ＝________.【自主解答】 (1)∵f (x )在[0,2]上是连续的，由定积分的性质(3)得⎠⎛02f (x )d x＝⎠⎛01f (x )d x ＋⎠⎛12f (x )d x ＝⎠⎛01(x ＋1)d x ＋⎠⎛122x 2d x . (2)由定积分的性质(2)可得⎠⎛02[f (x )－2x ]d x ＝⎠⎛02f (x )d x －⎠⎛022x d x ＝⎠⎛02f (x )d x －2⎠⎛02x d x . 又∵⎠⎛02f (x )d x ＝8，⎠⎛02x d x ＝12×2×2＝2，∴⎠⎛2[f(x)－2x]d x＝⎠⎛2f(x)d x－2⎠⎛2x d x＝8－2×2＝4.【答案】(1)C(2)4利用定积分的性质求定积分的技巧灵活应用定积分的性质解题，可以把比较复杂的函数拆成几个简单函数，把积分区间分割成可以求积分的几段，进而把未知的问题转化为已知的问题，在运算方面更加简洁．应用时注意性质的推广：(1)⎠⎛ab[f1(x)±f2(x)±…±f n(x)]d x＝⎠⎛ab f1(x)d x±⎠⎛ab f2(x)d x±…±⎠⎛ab f n(x)d x；(2)⎠⎛ab f(x)d x＝⎠⎜⎛ac1f(x)d x＋⎠⎜⎛c1c2f(x)d x＋…＋⎠⎜⎛c nb f(x)d x(其中a<c1<c2<…<c n<b，n∈N*)．[再练一题]3．已知⎠⎛e x d x＝e22，⎠⎛e x2d x＝e33，求下列定积分的值．(1)⎠⎛e(2x＋x2)d x；(2)⎠⎛e(2x2－x＋1)d x.【解】(1)⎠⎛e(2x＋x2)d x＝2⎠⎛e x d x＋⎠⎛e x2d x＝2×e22＋e33＝e2＋e33.(2)⎠⎛e(2x2－x＋1)d x＝2⎠⎛e x2d x－⎠⎛e x d x＋⎠⎛e1d x，因为已知⎠⎛e x d x＝e22，⎠⎛e x2d x＝e33，又由定积分的几何意义知：⎠⎛0e 1d x 等于直线x ＝0，x ＝e ，y ＝0，y ＝1所围成的图形的面积，所以⎠⎛0e 1d x ＝1×e ＝e ，故⎠⎛0e (2x 2－x ＋1)d x ＝2×e 33－e 22＋e ＝23e 3－12e 2＋e.1．下列等式不成立的是( )A.⎠⎛a b [mf (x )＋ng (x )]d x ＝m ⎠⎛a b f (x )d x ＋n ⎠⎛a b g (x )d xB.⎠⎛a b [f (x )＋1]d x ＝⎠⎛ab f (x )d x ＋b －a C.⎠⎛a b f (x )g (x )d x ＝⎠⎛a b f (x )d x ·⎠⎛ab g (x )d x D.⎠⎛－2π2πsin x d x ＝⎠⎛－2π0sin x d x ＋⎠⎛02πsin x d x【解析】利用定积分的性质可判断A ，B ，D 成立，C 不成立．例如⎠⎛02x d x ＝2，⎠⎛022d x ＝4，⎠⎛022x d x ＝4，即⎠⎛022x d x ≠⎠⎛02x d x ·⎠⎛022d x . 【答案】 C2．图1-5-3中阴影部分的面积用定积分表示为( )图1-5-3A.⎠⎛012x dxB.⎠⎛01(2x －1)d xC.⎠⎛01(2x ＋1)d xD.⎠⎛01(1－2x )d x 【解析】根据定积分的几何意义，阴影部分的面积为⎠⎛012x d x －⎠⎛011d x ＝⎠⎛01(2x－1)d x.【答案】 B3．由y＝sin x，x＝0，x＝π2，y＝0所围成图形的面积写成定积分的形式是________.【导学号：62952047】【解析】∵0＜x＜π2，∴sin x＞0.∴y＝sin x，x＝0，x＝π2，y＝0所围成图形的面积写成定积分的形式为⎠⎜⎛π2sin x d x.【答案】⎠⎜⎛π2sin x d x4．若⎠⎛ab[f(x)＋g(x)]d x＝3，⎠⎛ab[f(x)－g(x)]d x＝1，则⎠⎛ab[2g(x)]d x＝________.【解析】⎠⎛ab[2g(x)]d x＝⎠⎛ab[(f(x)＋g(x))－(f(x)－g(x))]d x＝⎠⎛ab[f(x)＋g(x)]d x－⎠⎛ab[f(x)－g(x)]d x＝3－1＝2.【答案】 25．用定积分的几何意义求⎠⎛-114－x2d x.【解】由y＝4－x2可知x2＋y2＝4(y≥0)，其图象如图．⎠⎛-114－x2d x等于圆心角为60°的弓形C E D的面积与矩形ABCD的面积之和．S弓形＝12×π3×22－12×2×2sinπ3＝2π3－ 3.S矩形＝|AB|·|BC|＝2 3.高中数学-打印版精心校对完整版 ∴⎠⎛-114－x 2d x ＝23＋2π3－3＝2π3＋ 3.。

定积分的概念(1.5.1-1.5.3)

思维导航
-----割圆术
割圆术：刘徽在《九章算术》注中讲到
“…割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣…” ——刘徽
以“直”代“曲” 无限逼近
刘徽的这种研究方法对你有什么启示?
案例探究
如何求由直线 x 0, x 1, y 0 与抛物线
y x2 所围成的平面图形的面积 S？ y
当分割点无限增多时，小矩形的面积和=曲边梯形的面积
• 通过动画演示我们可以看出，n越大，区间分的越细，各个结果就越接近真实值。为此，我们让n无限变大，这就是一个求极限的过程。
y
f ( i ) ( i )2 nn
f (i 1) (i 1)2
n
n
O
y=x2
f ( i ) ( i )2 nn
i 1 i nn
2
1 n
i
1 n
2
1 n
2 n
(i 1, 2,
,n) ①
（3）求和由①得，
Sn
n
Si
i 1
n i 1
v
i
n
1
t
n i 1
i
1 n
2
1 n
2 n
=
0
1 n
1 n
2
1 n
n
n
1
2
1 n
2
温馨提示： 12 +22 +32 + +n 2
=
1 n3
12
O 1 2 i 1 i n 11 x
n n nn n
案例探究
2、近似代替(以直代曲）思考3：对每个小曲边梯形
y
如何“以直代曲”？

高二数学《认识积分》知识点梳理

高二数学《认识积分》知识点梳理积分是高中数学中的一个重要概念，也是微积分的基础之一。

通过对函数进行积分运算，我们可以求函数的定积分、不定积分，以及利用积分技巧解决一些与函数相关的问题。

本文将针对高二数学中《认识积分》这一章节的知识点进行梳理和总结。

一、定积分的概念与性质定积分是求解函数在一定区间上的面积的工具，它的概念非常重要。

定积分的概念可以用下面这个式子来表示：∫_[a]^b⁡f(x)dx其中，f(x)是被积函数，在区间[a, b]上连续。

定积分具有以下几个性质：1. 定积分存在性定理：若函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，则定积分∫_[a]^b⁡f(x)dx必定存在；2. 定积分的可加性：若函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，则对于区间[a, b]上其他任意点c，有∫_[a]^b⁡f(x)dx = ∫_[a]^c⁡f(x)dx +∫_[c]^b⁡f(x)dx；3. 定积分的性质：所求定积分的结果为实数，且与区间的选取无关。

二、不定积分与原函数不定积分是定积分的逆运算，也被称为原函数。

如果在一个区间内函数f(x)的导函数为F(x)，则称F(x)为f(x)的一个原函数。

不定积分可以用∫f(x)dx表示，其中f(x)为被积函数。

不定积分满足以下性质：1. 不定积分的唯一性：如果F(x)是函数f(x)的一个原函数，那么F(x) + C（C为常数）也是f(x)的原函数；2. 反函数与不定积分关系：若F(x)是函数f(x)的一个原函数，则函数F^(-1)(x)也是函数1/f'(x)的一个原函数；3. 不定积分与特殊函数的关系：我们已知，导数是幂函数f(x) = x^n （n≠-1）的导数是幂函数f'(x) = nx^(n-1)（n+1≠0）。

而导数和幂函数之间存在类似的关系，即（x^n）' = (n+1)x^(n+1) + C，所以对于幂函数，我们可以得出不定积分的结果。

1.5《定积分的概念》课件(新人教选修2-2)(ks5u高考资源网)

定积分的概念
引例曲边梯形的面积
exit
定积分的定义
exit
定积分的几何意义
exit
注：
1.
f ( x)dx 与

b a
n
b
a
f ( x)dx 的差别
是函数是一个确定的常数
f ( x)dx 是 f (x) 的全体原函数
f ( x)dx是一个和式的极限
i 1 i
2 .当
f ( )x 的极限存在时，其极限值仅与被积函数 f(x) 及积分区间 [a,b] 有关，而与区间 a, b 的分法及
x dx lim f ( i )xi a f ( x)dx n
2
b i 1
n
x
2
在
[0,1] 上连续，所以

1
0
x 2 dx 存在
0,1分成n等份，每份长 1 n ，各分点是：
n 2
x0 0, x1 1 n , x2 2 n ,, xn n n 1
n i 1 1 2 xdx lim lim 3 i 0 n n n i 1 n n i 1
i
点的取法无关。 3．定积分的值与积分变量用什么字母表示无关，即有

b
a
f ( x)dx f (t )dt f (u)du
a a
a b
b
b
4．规定： b f ( x)dx a f ( x)dx

a
a
f ( x)dx 0
例 1: 用定义求定积分解因为把区间

1
0
1
1 1 1 lim 3 nn 12n 1 n n 6 3

定积分概念

§1.5.3 定积分的概念编写：齐洪震审阅：高二数学组【目标引领】1.了解定积分的概念,会通过四步曲求连续函数的定积分;2.了解定积分的几何意义及性质. 【自学探究】（1）．回忆前面曲边图形面积，变速运动的路程，变力做功等问题的解决方法，（2）．对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点．【合作解疑】 1．定积分的概念如果函数()x f 在区间[]b a ,上，用分点011i i n a x x xx xb-=<<<<<<= 将区间[]b a ,等分成n 个小区间，在每个小区间[]i i x x ,1-上任取一点()n i i ,3,2,1=ξ，作和式：()x f ni i ∆∑=1ξ= 当∞→n 时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数()x f 在区间[]b a ,上的，记做()dx x f ba⎰。

即()()i ni n baf na b dx x f ξ-∑==∞→⎰1lim其中函数()f x 叫做，x 叫做变量，区间[,]a b 为区间，b 叫积分，叫a 积分。

说明：（1）定积分()ba f x dx ⎰是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）称为()b af x dx ⎰，而不是n S ．定积分()baf x dx ⎰的值只与被积函数()f x 及被积区间[,]a b 有关，而与积分变量所用的符号无关，即定积分()b af x dx ⎰是一个常数，当被积函数()f x 及被积区间[,]a b 给定后，这个数便是确定的，它除了不依赖于定义中的对区间[,]a b 的分法和i ξ的取法外，也不依赖于()b af x dx ⎰中的积分变量，即()b af x dx ⎰＝()baf t dt ⎰。

（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ； ②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈；③求和：1()ni i b a f nξ=-∑；④取极限：()1()lim nbi an i b a f x dx f nξ→∞=-=∑⎰（3）曲边图形面积：()b aS f x dx =⎰；变速运动路程21()t t S v t dt =⎰；变力做功 ()baW F r dr =⎰2．定积分的几何意义（2）用定积分表示下图中阴影的面积说明：一般情况下，定积分()ba f x dx ⎰的几何意义是介于x 轴、函数()f x 的图形以及直线,x a x b ==之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积去负号．分析：一般的，设被积函数()y f x =，若()y f x =在[,]a b 上可取负值。

选修2-2§1.5.3定积分的基本概念

§1.5.3 定积分的概念【学习目标】1.通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分的背景；2.能用定积分的定义求简单的定积分；3.理解掌握定积分的几何意义.【重点难点】学习重点：定积分的概念、定积分法求简单的定积分、定积分的几何意义; 学习难点：定积分的概念、定积分的几何意义.【学法指导】【知识链接】一、定积分的概念一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆（_________x ∆=），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ= ，作和式：1()_________________nn i i S f x ξ==∆=∑如果_____________________________________________________________________，那么称该常数S 为______________________________________________________________,记为：__________________S =，其中()f x 称为______________，x 叫做_____________，[,]a b 为_____________，b 为_________________，a 为________________.由定义可知：曲边图形面积____________S =；变速运动路程________________S =；变力做功 _____________W = .二、用定义求定积分的算法：①分割：____________________；②近似代替：___________________；③求和：__________________________；④取极限：_________________________.三、定积分的几何意义如果在区间[,]a b 上函数连续且恒有()0f x ≥，那么定积分()ba f x dx ⎰表示由直线,x a xb ==（a b ≠），0y =和曲线 ()y f x =所围成的曲边梯形的面积.说明：一般情况下，定积分()ba f x dx ⎰的几何意义是介于x 轴、函数()f x 的图形以及直线,x a x b ==之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积取负号．分析：一般的，设被积函数()y f x =，若()y f x =在[,]a b 上可取负值。