几类特殊N阶行列式的计算概要
n阶行列式的计算方法
n阶行列式的计算方法行列式是线性代数中的一个重要概念，它在矩阵理论、线性方程组的求解等方面都有着重要的应用。
在本文中，我们将讨论n阶行列式的计算方法，希望能够帮助读者更好地理解和掌握行列式的相关知识。
首先，我们来回顾一下行列式的定义。
对于一个n阶方阵A，它的行列式记作|A|或det(A)，定义为：|A| = Σ(−1)^σ(σ) a1σ(1) a2σ(2) ... anσ(n)。
其中，σ是1~n的一个排列，a1σ(1) a2σ(2) ...anσ(n)表示排列σ对应的n个元素的乘积，Σ表示对所有可能的排列求和。
接下来，我们将介绍n阶行列式的计算方法。
对于一个n阶方阵A，我们可以使用以下方法来计算它的行列式：1. 代数余子式法。
代数余子式法是一种经典的计算行列式的方法。
对于一个n阶方阵A，它的行列式可以通过以下公式来计算：|A| = a11A11 + a12A12 + ... + a1nA1n。
其中，aij表示A的第i行第j列的元素，Aij表示它的代数余子式，即去掉第i行第j列后得到的n-1阶子式的行列式。
2. 拉普拉斯展开法。
拉普拉斯展开法是另一种常用的计算行列式的方法。
对于一个n阶方阵A，它的行列式可以通过以下公式来计算：|A| = a11C11 + a12C12 + ... + a1nC1n。
其中，Cij表示A的第i行第j列的元素的代数余子式，即去掉第i行第j列后得到的n-1阶子式的行列式，而Cij的计算可以通过递归地应用相同的方法来完成。
3. 数学归纳法。
数学归纳法是一种较为抽象但十分有效的计算行列式的方法。
通过递归地应用n-1阶行列式的计算方法，我们可以最终得到n阶行列式的值。
在实际应用中，我们可以根据具体的情况选择合适的计算方法来计算行列式，以便更高效地完成计算任务。
除了以上介绍的计算方法，还有一些特殊的行列式计算技巧，比如利用行列式的性质进行变换、化简等操作，以便更快地求得行列式的值。
线性代数-N阶行列式概要
南京工业大学理学院 信息与计算科学系 程 浩
介 绍
线性代数是研究在日常生活里、在工程技术
的许多领域以及在各项科学研究中经常出现的
代数问题的一门学科。 这些代数问题包括：矩阵的运算，线性方 程组的求解理论与方法，化二次型为标准型，
线性空间与线性变换等。
1 什么全国大学生数学建模竞赛？ 2 数学建模竞赛在我校的情况？ 3 该怎样参加数学建模竞赛？
－ ＋ ＋ a31 a32 a33
1 2
＋
－ ＋
A12 = (1)
a21 a23 a31 a33 a21 a22 a31 a32
(a21a33 a23a31 )
和
A13 = (1)
1 3
a21a32 a22a31
而且
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 a11 A11 a12 A12 a13 A13 a31 a32 a33
例1． 解线性方程组
x1 2 x2 0 3 x1 4 x2 1 解 由于方程组的系数行列式 1 2 D 4 6 2 0 3 4 又 1 0 0 2 D2 1 D1 2 3 1 1 4
所以方程组的解为
D1 x1 1 D
D2 1 x2 D 2
1 3
解
8
0 1 1 1
例2．计算行列式 D 1 2 3
D =1 2 1 1 (1) 1 0 3 3
1 2 3 1 3 1 0 (1) 1
=8
但应当指出的是：主、副对角线法则不易于向
一般 n 阶行列式推广。
事实上，三阶行列式的计算，除了主、副对 角线法则
n阶行列式的计算方法
n阶行列式的计算方法姓名：学号：学院：专业：指导老师：完成时间：n阶行列式的计算方法【摘要】本文主要针对行列式的特点，应用行列式的性质，提供了几种计算行列式的常用方法。
例如：利用行列式定义直接计算法，根据行列式性质化为三角形列式法，按一行（列）展开以及利用已知公式法，数学归纳法与递推法，加边法，利用多项式性质法，拉普拉斯定理的应用。
但这几种方法之间不是相互独立，而是相互联系的.一个行列式可能有几种解法，或者在同一个行列式的计算中将同时用到几种方法以简便计算。
这就要求我们在掌握了行列式的解法之后，灵活运用，找到一种最简便的方法，使复杂问题简单化。
【关键词】 n阶行列式行列式的性质数学归纳法递推法加边法Some methods of an n-order determinant calculation【Abstract】In this paper, considering the characteristics ofdeterminant, it provides several commonly used methods to calculate the determinant by applying the properties of the determinant . For example ：The direct method of calculation by using the determinant definition . The method of changing the determinant into a triangular determinant According to the properties of the determinant. The method of expanding the determinant by line (column) .using the known formula , the mathematical induction, recursive Method , adding the edge method, using the properties of polynomial , the application of Laplace theorem. These methods are not independent of each other ,but interrelated. There is probably that a determinant has several solutions, or in the calculation of the same determinant there will be used several methods to calculate simply. This requires us to grasp several solution of the determinant，and to find the easiest ways after, so simplify complex issues .【Key words】n-order determinant the property of the determinant the mathematical induction adding the edge method目录1引言 (1)2 计算行列式的基础方法 (2)2.1利用行列式的定义来计算....................... 错误!未定义书签。
八大类型行列式及其解法
八大类型行列式及其解法一、行列式的定义行列式是一个重要的线性代数概念，用于刻画矩阵的性质和求解线性方程组。
对于一个n阶方阵A，其行列式记作det(A)或|A|。
行列式的定义如下：对于2阶方阵A = [a11 a12] ，其行列式定义为det(A) = a11 * a22 - a12 * a21。
对于3阶及以上的方阵，行列式的定义并不直观，可以通过划线法、拉普拉斯展开等方法进行计算。
接下来，我们将介绍八大类型的行列式及其解法。
二、二阶行列式二阶行列式的计算非常简单，直接应用行列式的定义即可。
对于2阶方阵A =[a11 a12；a21 a22] ，其行列式计算公式为：det(A) = a11 * a22 - a12 * a21。
三、对角行列式对角行列式是指所有非对角元素都为0的行列式。
对于n阶对角行列式A =diag(a1, a2, …, an)，其行列式计算公式为：det(A) = a1 * a2 * … * an。
四、三角行列式三角行列式是指所有主对角线以下元素为0的行列式。
对于n阶上三角行列式A，其行列式计算公式为：de t(A) = a11 * a22 * … * ann。
五、上三角行列式上三角行列式是指所有主对角线及以上元素为0的行列式。
对于n阶上三角行列式A，其行列式计算公式为：det(A) = a11 * a22 * … * ann。
六、下三角行列式下三角行列式是指所有主对角线及以下元素为0的行列式。
对于n阶下三角行列式A，其行列式计算公式为：det(A) = a11 * a22 * … * ann。
七、轮换行列式轮换行列式的计算是一种常用的方法，可以通过对行列式中元素的位置进行变换，从而简化计算过程。
对于n阶轮换行列式A，其行列式计算公式为：det(A) = a1 * a2 * … * an。
八、范德蒙行列式范德蒙行列式是一类特殊的行列式，可以应用于插值、多项式拟合等问题中。
对于n阶范德蒙行列式A，其行列式计算公式为：det(A) = Π i<j (xi - xj)。
n阶行列式的计算方法
n 阶行列式的计算方法1．利用对角线法则“对角线法则”：（1）二、三阶行列式适用“对角线法则”；（2）二阶行列式每项含2项，三阶行列式每项含3项，每项均为不同行、不同列的元素的乘积；（3）平行于主对角线的项为正号，平行于副对角线的项为负号。
例1计算二阶行列式4231=D 。
解：223414231−=×−×==D 例2计算三阶行列式210834021−−=D 。
解：)1(812420)3(0)1(400822)3(1210834021−××−××−×−×−−××+××+×−×=−−=D 14−=2．利用n 阶行列式的定义n 阶行列式==nnn n nn a a a a a a a a a D ⋯⋮⋮⋮⋯⋯212222111211nn np p p p p p a a a ⋯⋯212121)()1(∑−τ其中)(21n p p p ⋯ττ=，求和式中共有!n 项。
显然有上三角形行列式nnnn nn a a a a a a a a a D ⋯⋮⋱⋯⋯221122211211==下三角形行列式nnnnn n a a a a a a a a a D ⋯⋯⋱⋮⋮221121222111==对角阵nnD λλλλλλ⋯⋱2121==另外nn n nD λλλλλλ⋯⋰212)1(21)1(−−==例3计算行列式001002001000000n D n n=−⋯⋯⋮⋮⋮⋮⋯⋯解D n 中不为零的项用一般形式表示为112211!n n n nn a a a a n −−−=⋯.该项列标排列的逆序数t （n －1n －2…1n ）等于(1)(2)2n n −−，故(1)(2)2(1)!.n n n D n −−=−3．利用行列式的性质计算性质1行列式与它的转置行列式相等,即TD D =。
n阶行列式的计算方法
n 阶行列式的计算方法1．利用对角线法则“对角线法则”：（1）二、三阶行列式适用“对角线法则”；（2）二阶行列式每项含 2 项，三阶行列式每项含 3 项，每项均为不同行、不同列的元素的乘积；（3）平行于主对角线的项为正号，平行于副对角线的项为负号。
例 1 计算二阶行列式D= 13。
24解：D= 13= 1× 4 − 3 ×2 = −224例 2 计算三阶行列式D= 1204− 38。
0−12解：D = 1204 − 38= 1× (−3) × 2 + 2 × 8 × 0 + 0 × 4 × (−1) − 0 ×(−3) × 0 − 2 × 4 × 2 −1× 8 × (−1)0−12= −142．利用 n 阶行列式的定义a 11a12⋯ a1nn阶行列式 D = a21a22⋯ a2n=∑(−1)τa1p1a2p2⋯a np n⋮⋮⋮( p1p2⋯p n )an1an2⋯ann其中τ=τ(p1p2⋯ p n)，求和式中共有n!项。
显然有a 11a12⋯ a1n上三角形行列式D=a22⋯a2n=a11a22⋯ann⋱⋮anna11下三角形行列式D= a21a22⋱=a11a22⋯ann⋮ ⋮an 1 a n 2⋯annλ1对角阵 D =λ2= λ1λ2 ⋯ λn⋱λn另外 D =λ2λ1n ( n −1)= (−1) 2λ1λ2 ⋯λn⋰λn例 3 计算行列式⋯ 0 1 00 ⋯ 2 0 0D n = ⋮ ⋮⋮ ⋮n −1 ⋯ 0 0 00 ⋯ 00 n解D n 中不为零的项用一般形式表示为a 1 n −1 a 2 n − 2 ⋯ a n −11 a nn=n !.该项列标排列的逆序数 t （ n －1 n －2…1 n ）等于 ( n − 1)( n − 2)，故2D n =( −1)( n −1)( n −2) n !.23．利用行列式的性质计算性质 1 行列式与它的转置行列式相等, 即 D = D T。
N阶行列式的计算
例4： = = =…
练习：(1) 【160】(2) 【 】
(5)逐行（列）相加（减）（适用于行列式相邻两行相加减后有共同特点时）
例5： =…=0
例6：
= 。
练习： 【 】
(6)拆项计算行列式（适用于行列式中的行（列）元素是两项之和）
例7： = + =
题设行列式正是 ，即y的系数，展开(1)式，得到y的系数为
所以： = 。
7、观察一次因式法
例13：计算 =
解：当 时，第一、第二行对应元素相等，所以 =0，可见 中含有因式， ，当 时，第三、第四行对应元素相等，所以 =0，可见 中含有因式 。
由于 中关于 的最高次数是4，所以
中含 的项是 ，
比较上面两式中 的系数，得 ，故 。
N阶行列式的计算
N阶行列式的计算方法主要有以下几种：
1、直接按定义计算：（适用于行列式中非零元素非常少的情形）
例1：计算 = 解：由定义知 = ，因为 ，所以 的非零项中 只能取2或3，同理，有 = = =0，可推出 只能取2或3，又因为 要求各不相同，故 项中至少有一个必须取零，所以 =0.
练习：用行列式的定义计算下列行列式：【1， ， 0， 0】
例14：解方程 =0
解：当 =0,1,2， 时，行列式的两列对应元素相等，行列式的值为0，因此左边行列式可写成 ，
于是原方程变为 ，
所以原方程的解为 。
8、利用数学归纳法进行证明或计算。
例15：证明n阶范德蒙行列式的正确性
+ =0练习:证明 =
3、降阶法：利用行列式按行（列）展开定理进行降阶，这种方法适用于行列式中某一行（列）非零元素较少。
特殊行列式及行列式计算方法情况总结
特殊行列式及行列式计算方法总结一、 几类特殊行列式1. 上（下）三角行列式、对角行列式（教材P7例5、例6）2. 以副对角线为标准的行列式11112112,1221222,11,21,11,112,1(1)212,11000000000000000(1)n n n n n n n n n n n nnn n n n n nnn n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---------===-L L L LLL MM M M M M M M MNL LL L 3. 分块行列式（教材P14例10）一般化结果：00n n m n n m n m m n m m nmA C A AB BC B ⨯⨯⨯⨯==⋅0(1)0n m n n m nmn n m mm nmm nA C A AB BC B ⨯⨯⨯⨯==-⋅4. 范德蒙行列式（教材P18例12） 注：4种特殊行列式的结果需牢记！以下几种行列式的特殊解法必须熟练掌握！！！ 二、 低阶行列式计算二阶、三阶行列式——对角线法则 （教材P2、P3） 三、 高阶行列式的计算 【五种解题方法】1) 利用行列式定义直接计算特殊行列式；2) 利用行列式的性质将高阶行列式化成已知结果的特殊行列式；3) 利用行列式的行（列）扩展定理以及行列式的性质，将行列式降阶进行计算——适用于行列式的某一行或某一列中有很多零元素，并且非零元素的代数余子式很容易计算； 4) 递推法或数学归纳法； 5) 升阶法（又称加边法） 【常见的化简行列式的方法】1. 利用行列式定义直接计算特殊行列式 例1 （2001年考研题）0001000200019990002000000002001D =L LMM M M M M L L L分析：该行列式的特点是每行每列只有一个元素，因此很容易联想到直接利用行列式定义进行计算。
解法一：定义法(1,2,...,2,1,)012...19990(1)2001!(1)2001!2001!n n n D τ--+++++=-=-=解法二：行列式性质法利用行列式性质2把最后一行依次与第n -1,n -2,…,2,1行交换（这里n =2001），即进行2000次换行以后，变成副对角行列式。
n阶行列式的定义计算
n阶行列式的定义计算标题，n阶行列式的定义与计算方法。
在线性代数中，行列式是一种重要的数学工具，它在解决线性方程组、矩阵求逆、求解特征值等问题中起着关键作用。
在本文中，我们将讨论n阶行列式的定义及其计算方法。
首先，让我们来看一下n阶行列式的定义。
设A是一个n阶方阵，其行列式记作|A|或det(A)。
对于n阶方阵A = [a_ij]，其行列式的定义如下：当n=1时，|A| = a_11；当n=2时，|A| = a_11 a_22 a_12 a_21；当n>2时，|A| = a_11 A_11 + a_12 A_12 + ... + a_1nA_1n，其中A_ij为A的余子式，即在A中划去第i行和第j列后，剩下的元素构成的(n-1)阶子阵的行列式。
接下来，让我们来讨论n阶行列式的计算方法。
一般来说，计算n阶行列式的最直接的方法是利用定义展开式进行计算。
其步骤如下：1. 选择一行或一列作为展开的基准行或基准列；2. 对于选定的基准行或基准列，计算其每个元素与其代数余子式的乘积；3. 将所有计算得到的乘积相加，即得到行列式的值。
此外，还可以利用性质简化计算。
行列式有许多性质，如行列式的某一行（列）的元素都乘以同一个数k，行列式的值变为原来的k倍；行列式中互换两行（列），行列式的值变号等。
利用这些性质可以简化行列式的计算过程。
总之，n阶行列式的定义及其计算方法是线性代数中的基础知识，对于理解矩阵的性质以及解决相关的数学问题具有重要的意义。
希望本文能够帮助读者更加深入地理解n阶行列式的概念和计算方法。
行列式的计算技巧与方法总结
行列式的几种常见计算技巧和方法2.1 定义法适用于任何类型行列式的计算，但当阶数较多、数字较大时，计算量大，有一定的局限性．例1 计算行列式004003002001000.解析：这是一个四级行列式，在展开式中应该有244=！项，但由于出现很多的零，所以不等于零的项数就大大减少．具体的说，展开式中的项的一般形式是43214321j j j j a a a a ．显然，如果41≠j ，那么011=j a ，从而这个项就等于零．因此只须考虑41=j 的项，同理只须考虑1,2,3432===j j j 的这些项，这就是说，行列式中不为零的项只有41322314a a a a ，而()64321=τ，所以此项取正号．故004003002001000=()()241413223144321=-a a a a τ.2.2 利用行列式的性质即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形.该方法适用于低阶行列式． 2.2.1 化三角形法上、下三角形行列式的形式及其值分别如下：nn n nn a a a a a a a a a a a a a2211nn333223221131211000000=，nn nnn n n a a a a a a a a a a a a a 2211321333231222111000000=. 例2 计算行列式nn n n b a a a a a b a a a a ++=+21211211n 111D .解析：观察行列式的特点，主对角线下方的元素与第一行元素对应相同，故用第一行的()1-倍加到下面各行便可使主对角线下方的元素全部变为零．即：化为上三角形．解：将该行列式第一行的()1-倍分别加到第2,3…（1n +）行上去，可得121n 11210000D 0n n na a ab b b b b +==.2.2.2 连加法这类行列式的特征是行列式某行（或列）加上其余各行（或列）后，使该行（或列）元素均相等或出现较多零，从而简化行列式的计算．这类计算行列式的方法称为连加法．例3 计算行列式mx x x x m x x x x mx D n n n n ---=212121.解： mx x mxx m x m xx x mxn ni in ni in ni i-----=∑∑∑===212121n Dmx x x m x x x m x n n nn i i --⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑=2221111mm x x m x nn i i --⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑=0000121()⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∑=-m x m ni i n 11.2.2.3 滚动消去法当行列式每两行的值比较接近时，可采用让邻行中的某一行减或者加上另一行的若干倍，这种方法叫滚动消去法．例4 计算行列式()2122123123122121321D n ≥-------=n n n n n n n n nn.解：从最后一行开始每行减去上一行，有1111111111111111321D n ---------=n n 1111120022200021321----=n n 0111100011000011132122+-=-n n n ()()21211-++-=n n n .2.2.4 逐行相加减对于有些行列式，虽然前n 行的和全相同，但却为零．用连加法明显不行，这是我们可以尝试用逐行相加减的方法．例5 计算行列式111110000000000000D 32211n na a a a a a a ----=. 解：将第一列加到第二列，新的第二列加到第三列，以此类推，得：13210000000000000000D 321+----=n na a a a n()()()()()n n n a a a n a a a n 21n 21n 2211111+-=+--=+.2.3 降阶法将高阶行列式化为低阶行列式再求解． 2.3.1 按某一行（或列）展开例6 解行列式1221n 1000000000100001D a a a a a xx x x n n n-----=.解：按最后一行展开，得n n n n n a x a x a x a D ++++=---12211 .2.3.2 按拉普拉斯公式展开拉普拉斯定理如下：设在行列式D 中任意选定了()1-n k 1k ≤≤个行.由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D.即n n 2211A M A M A M D +++= ，其中i A 是子式i M 对应的代数余子式．即nn nn nn nn nnB A BC A ∙=0， nn nn nnnn nn B A B C A ∙=0.例7 解行列式γβββββγββββγλbbbaa a a n =D .解：从第三行开始，每行都减去上一行；再从第三列开始，每列都加到第二列，得βγβγγββββγλ---=0000D n b aa a a()()βγβγββββγλ---+-=0000021n b aa a a n ()()βγβγβγλ--∙-+-=000021n ba n ()()[]()21n 2-----+=n ab n βγβλλγ.2.4 升阶法就是把n 阶行列式增加一行一列变成n+1阶行列式，再通过性质化简算出结果，这种计算行列式的方法叫做升阶法或加边法．升阶法的最大特点就是要找每行或每列相同的因子,那么升阶之后，就可以利用行列式的性质把绝大多数元素化为0，这样就达到简化计算的效果．其中，添加行与列的方式一般有五种：首行首列，首行末列，末行首列，末行末列以及一般行列的位置．例8 解行列式D=111110111110111110111110 .解：使行列式D 变成1+n 阶行列式，即111010110110101110011111D =.再将第一行的()1-倍加到其他各行，得：D=1101001001010001111111--------. 从第二列开始，每列乘以()1-加到第一列，得：100100000100000101111)1n D ------=（ ()()1n 11n --=+.2.5数学归纳法有些行列式，可通过计算低阶行列式的值发现其规律，然后提出假设，再利用数学归纳法去证明．对于高阶行列式的证明问题，数学归纳法是常用的方法．例9 计算行列式βββββcos 211cos 200000cos 210001cos 210001cos=n D .解:用数学归纳法证明. 当1=n 时，βcos 1=D . 当2=n 时，ββββ2cos 1cos 2cos 211cos 22=-==D .猜想，βn D n cos =.由上可知，当1=n ，2=n 时，结论成立．假设当k n =时，结论成立．即：βk D k cos =.现证当1+=k n 时，结论也成立．当1+=k n 时，βββββcos 211cos 200000cos 210001cos 210001cos 1=+k D .将1+k D 按最后一行展开，得()βββββcos 20cos 21001cos 21001cos cos 21D 111k ∙-=++++k k()10cos 21001cos 21001cos 11 βββkk ++-+ 1cos 2--=k k D D β.因为βk D k cos =，()()βββββββsin sin cos cos cos 1cos 1k k k k D k +=-=-=-，所以1+k D 1cos 2--=k k D D βββββββsin sin cos cos cos cos 2k k k --= ββββsin sin cos cos k k -= ()β1cos +=k .这就证明了当1+=k n 时也成立，从而由数学归纳法可知，对一切的自然数，结论都成立． 即：βn D n cos =.2.6 递推法技巧分析：若n 阶行列式D 满足关系式021=++--n n n cD bD aD .则作特征方程02=++c bx ax .① 若0≠∆，则特征方程有两个不等根，则1211--+=n n n Bx Ax D ．② 若0=∆，则特征方程有重根21x x =，则()11-+=n n x nB A D ． 在①②中， A ，B 均为待定系数，可令2,1==n n 求出．例10 计算行列式94000005940000000594000005940000059D n=.解：按第一列展开，得21209---=n n n D D D .即020921=+---n n n D D D ．作特征方程02092=+-x x .解得5,421==x x .则1154--∙+∙=n n n B A D .当1=n 时，B A +=9； 当2=n 时，B A 5461+=. 解得25,16=-=B A ，所以1145++-=n n n D .3、行列式的几种特殊计算技巧和方法3.1 拆行（列）法3.1.1 概念及计算方法拆行（列）法（或称分裂行列式法），就是将所给的行列式拆成两个或若干个行列式之和，然后再求行列式的值．拆行（列）法有两种情况，一是行列式中有某行（列）是两项之和，可直接利用性质拆项；二是所给行列式中行（列）没有两项之和，这时需保持行列式之值不变，使其化为两项和． 3.1.2 例题解析例11 计算行列式nn n n a a a a a a a a --------=-1110000011000110001D 133221.解：把第一列的元素看成两项的和进行拆列，得nn n n a a a a a a a a --+-+--+-+--=-11010000001100001010001D 133221.1101000001100010000110001000001100011000113322113322nn n nnn a a a a a a a a a a a a a a a -------+-------=--上面第一个行列式的值为1，所以nn n n a a a a a a a ------=-1101000010011D 13321111--=n D a .这个式子在对于任何()2≥n n 都成立，因此有111--=n n D a D()()n n n a a a a a a D a a 2112112211111---+++-==--=()∏∑==-+=ij j ii a 1n111.3.2 构造法3.2.1 概念及计算方法有些行列式通过直接求解比较麻烦，这时可同时构造一个容易求解的行列式，从而求出原行列式的值． 3.2.2 例题解析例12 求行列式n nn nn nn n nnn x x x x x x x x x x x x D21222212222121111---=.解：虽然n D 不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造1+n 阶的范德蒙德行列式来间接求出n D 的值． 构造1+n 阶的范德蒙德行列式，得()nnnn nn n nn n n n nn n n nx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f21111211222221222221211111--------=. 将()x f 按第1+n 列展开，得()n n n n n n n n x A x A x A A x f 1,111,1,21,1++-+++++++= ，其中，1-n x的系数为()()n n n n n n D D A -=-=+++11,1.又根据范德蒙德行列式的结果知()()()()()∏≤<≤----=ni j j in x xx x x x x x x f 121 .由上式可求得1-n x 的系数为()()∏≤<≤-+-ni j j in x xx x x 121 .故有()()∏≤<≤-+++=ni j j in n x xx x x D 121 .3.3 特征值法3.3.1 概念及计算方法设n λλλ ，，21是n 级矩阵A 的全部特征值，则有公式 n A λλλ 21=.故只要能求出矩阵A 的全部特征值，那么就可以计算出A 的行列式．3.3.2 例题解析例13 若n λλλ ，，21是n 级矩阵A 的全部特征值，证明：A 可逆当且仅当它的特征值全不为零． 证明：因为n A λλλ 21=，则A 可逆()n i i n 2,1000A 21=≠⇔≠⇔≠⇔λλλλ. 即A 可逆当且仅当它的特征值全不为零．4、几类特殊的行列式的巧妙计算技巧和方法4.1 三角形行列式4.1.1 概念形如nn n n n a a a a a a a a a a 333223221131211，nnn n n a a a a a a a a a a321333231222111这样的行列式，形状像个三角形，故称为“三角形”行列式．4.1.2 计算方法 由行列式的定义可知，nn nnn nn a a a a a a a a a a a a a2211333223221131211000000=,nn nnn n n a a a a a a a a a a a a a 2211321333231222111000000=. 4.2 “爪”字型行列式4.2.1 概念形如nn na c a c a cb b b a2211210，nn n c a c a c a a b b b2211012，n nn b b b a a c a c a c 211122，121122a b b b c a c a c a n n n这样的行列式，形状像个“爪”字，故称它们为“爪”字型行列式． 4.2.2 计算方法利用对角线消去行列式中的“横线”或“竖线”，均可把行列式化成“三角形”行列式．此方法可归纳为：“爪”字对角消竖横． 4.2.3 例题解析例14 计算行列式na a a a 111111321，其中.,2,1,0n i a i =≠分析：这是一个典型的“爪”字型行列式，计算时可将行列式的第.),3,2(n i i =列元素乘以ia 1-后都加到第一列上，原行列式可化为三角形行列式．解:na a a a 111111321nni ia a a a a 00011113221∑=-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=∑=ni i n a a a a a 21321. 4.3 “么”字型行列式4.3.1 概念形如n n n b b b a a c a c a c 211122，nn na b c a b c a b c a2221110，n n nc a c a c a a b b b 2211012，0111222a cb ac b a c b a nn n ，121122c a c a b a b c a b nnn，n n n a c a c a c b b b a2211210，0121122a b b b c a c a c a nnn，nnn b a b c b a b a c a c 12211201这样的行列式，形状像个“么”字，因此常称它们为“么”字型行列式． 4.3.2 计算方法利用“么”字的一个撇消去另一个撇，就可以把行列式化为三角形行列式．此方法可以归纳为：“么”字两撇相互消．注意：消第一撇的方向是沿着“么”的方向，从后向前，利用n a 消去n c ，然后再用1-n a 消去1-n c ，依次类推． 4.3.3 例题解析例15 计算1+n 阶行列式nn n b b b D 1111111111----=-+ .解：从最后一行开始后一行加到前一行（即消去第一撇），得nnn ni ini in b b b bb D 11111111-+--+-=-==+∑∑()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+--∙-=∑=+ni i nn n b 121111()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=∑=+ni i n n b 12311.4.4 “两线”型行列式4.4.1 概念形如nnn a b b b a b a0000000012211-这样的行列式叫做“两线型”行列式． 4.4.2 计算方法对于这样的行列式，可通过直接展开法求解． 4.4.3 例题解析例16 求行列式nn n n a b b b a b a00000000D 12211-=. 解：按第一列展开，得()1221112211000010000-+-+-+=n n n nn n b b a b b a b b a a D()n n n b b b a a a 211211+-+=.4.5 “三对角”型行列式4.5.1 概念形如ba ab ba ab b a abb a ab b a +++++10000000000100000100000这样的行列式，叫做“三对角型”行列式． 4.5.2 计算方法对于这样的行列式，可直接展开得到两项递推关系式，然后变形进行两次递推或利用数学归纳法证明． 4.5.3 例题解析例17 求行列式ba ab ba ab b a abb a ab b a n +++++=10000000000100000100000D.解：按第一列展开，得()ba ab ba b a ab b a abb a ab D b a n n +++++-+=-100000010000100000D 1()21---+=n n abD D b a .变形，得()211D ----=-n n n n aD D b aD .由于2221,b ab a D b a D ++=+=， 从而利用上述递推公式得()211D ----=-n n n n aD D b aD ()()n n n n b aD D b aD D b =-==-=---122322 .故()nn n n n n n n n n b ab b a D a b b aD a b aD D ++++==++=+=------12211121 n n n n b ab b a a ++++=--11 .4.6 Vandermonde 行列式4.6.1 概念形如113121122322213211111----n nn n n nna a a a a a a a a a a a这样的行列式，成为n 级的范德蒙德行列式．4.6.2 计算方法通过数学归纳法证明，可得()∏≤<≤-----=11113121122322213211111i j j i n nn n n nna a a a a a a a a a a a a a. 4.6.3 例题解析例18 求行列式n nn nn nn n nnn x x x x x x x x x x x x D21222212222121111---=.解：虽然n D 不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造1+n 阶的范德蒙德行列式来间接求出n D 的值． 构造1+n 阶的范德蒙德行列式，得()nnnn nn n nn n n n nn n n nx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f21111211222221222221211111--------=. 将()x f 按第1+n 列展开，得()n n n n n n n n x A x A x A A x f 1,111,1,21,1++-+++++++= ， 其中，1-n x 的系数为()()n n n n n n D D A -=-=+++11,1.又根据范德蒙德行列式的结果知()()()()()∏≤<≤----=ni j j in x xx x x x x x x f 121 .由上式可求得1-n x 的系数为()()∏≤<≤-+-ni j j in x xx x x 121 ,故有()()∏≤<≤-+++=ni j j in n x xx x x D 121 .5、行列式的计算方法的综合运用有些行列式如果只使用一种计算方法不易计算，这时就需要结合多种计算方法，使计算简便易行．下面就列举几种行列式计算方法的综合应用．5.1 降阶法和递推法例19 计算行列式2100012000002100012100012D=n .分析：乍一看该行列式，并没有什么规律．但仔细观察便会发现，按第一行展开便可得到1-n 阶的形式．解：将行列式按第一行展开，得212D ---=n n n D D . 即211D ----=-n n n n D D D .∴12312211=-=-==-=----D D D D D D n n n n . ∴()()111111---++++==+=n n n n D D D()121+=+-=n n .5.2 逐行相加减和套用范德蒙德行列式例20 计算行列式43423332232213124243232221214321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1sin 1sin 1sin 11111D ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ++++++++++++=解：从第一行开始，依次用上一行的()1-倍加到下一行，进行逐行相加，得43332313423222124321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1111ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ=D .再由范德蒙德行列式，得()∏≤<≤-==4143332313423222124321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1111i j j i D ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ.5.3 构造法和套用范德蒙德行列式例21 求行列式n nn nn nn n nnn x x x x x x x x x x x x D21222212222121111---=.解：虽然n D 不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造1+n 阶的范德蒙德行列式来间接求出n D 的值． 构造1+n 阶的范德蒙德行列式，得()nnnn nn n nn n n n nn n n nx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f21111211222221222221211111--------=. 将()x f 按第1+n 列展开，得()n n n n n n n n x A x A x A A x f 1,111,1,21,1++-+++++++= ，其中，1-n x 的系数为()()n n n n n n D D A -=-=+++11,1.又根据范德蒙德行列式的结果知()()()()()∏≤<≤----=ni j j in x xx x x x x x x f 121 .由上式可求得1-n x 的系数为()()∏≤<≤-+-ni j j in x xx x x 121 .故有()()∏≤<≤-+++=ni j j in n x xx x x D 121 .。
N阶行列式的计算方法
N阶行列式的计算方法行列式是矩阵的一个特征值，在线性代数中占有重要地位。
它可以帮助我们解决求解线性方程组和矩阵的逆等问题。
其中，N阶行列式的计算方法是非常重要并且复杂的。
在这篇文章中，我们将详细解释N阶行列式的计算方法，包括定义、性质和计算公式等内容。
一、定义行列式是一个正方形矩阵的一个数值特征，用来描述该矩阵的线性无关性和相似性，在代数中被广泛应用。
假设A是一个N阶方阵，即A为一个N×N的矩阵。
那么A的行列式用det(A)或者，A，表示，它可以通过递归定义来求解。
当N=1时，det(A)=，A，=a11，即一个1×1矩阵的行列式为这个元素本身。
当N=2时，det(A)=，A，=a11×a22-a12×a21，即一个2×2矩阵的行列式为主对角元素的乘积减去副对角线元素的乘积。
当N>2时，行列式的定义是一个递归定义，如下所示：det(A)=，A，=Σ（-1）^i+ja1i·det(M[ij])其中M[ij]是A删去第i行第j列后得到的N-1阶子式，i表示剩下的元素里的其中一行，j表示剩下的元素里的其中一列，i+j为奇数时前面带负号。
二、性质1.如果矩阵A的两行（列）互换位置，那么行列式的值取相反数。
det(A)=，A，=-，A2.如果矩阵A的其中一行（列）的元素都分别是两个矩阵B和C对应行（列）的元素之和，那么行列式的值是这两个矩阵行列式之和。
det(A)=，A，=，B，+，C3.如果矩阵A的其中一行（列）的元素都等于一个数k与另一个矩阵B对应行（列）的元素相乘，那么行列式的值等于k乘以矩阵B的行列式。
det(A)=，A，=k，B4.如果矩阵A的其中一行（列）的元素都是同一个矩阵B对应行（列）的元素的倍数，那么行列式的值等于矩阵B的行列式的N次方。
det(A)=，A，=，B，^N5.如果矩阵A的其中一行（列）是两个矩阵B和C对应行（列）相加或者相减，那么行列式的值是这两个矩阵的行列式之差。
N阶行列式的性质汇总
N阶行列式的性质汇总行列式是线性代数中的基本概念之一，广泛应用于各个领域。
1.行列式的定义及表示：行列式是一个数，用于度量矩阵的一些性质。
对于一个n阶方阵A=[aij]，其行列式用det(A)表示，也可以用，A，表示。
n阶行列式的定义为：det(A) = Σ(±a1j1a2j2...anjn)，其中±a1j1a2j2...anjn表示n个元素的排列，并且符号取决于这个排列的逆序数。
2.行列式的性质：(1) 行列式与矩阵的转置：一个矩阵的行列式等于其转置矩阵的行列式，即det(A) = det(A^T)。
(2) 行列式与矩阵的相等：如果矩阵B可以通过对矩阵A的一些行或列进行初等行变换得到，则det(B) = det(A)。
(3) 行列式与纯量因子：如果矩阵A的其中一行或列中所有元素都乘以同一个数k，那么行列式的值也会乘以k，即det(kA) = k^n * det(A)。
(4) 行列式与矩阵的乘积：对于两个n阶矩阵A和B，其行列式的乘积等于行列式的乘积，即det(AB) = det(A) * det(B)。
(5) 行列式与逆矩阵：如果矩阵A可逆，则其逆矩阵A^(-1)的行列式等于矩阵A的行列式的倒数，即det(A^(-1)) = 1 / det(A)。
(6) 行列式与可交换性：对于任意两个n阶矩阵A和B，有det(A*B) = det(B*A)。
(7)行列式与初等变换：对于矩阵A，如果应用了一次初等行变换，其行列式的值也会发生相应的变化，具体变化规律取决于初等行变换的类型。
3.行列式的计算方法：(1)按行（列）展开法：利用行列式的定义，通过对其中一行（列）展开计算，将n阶行列式转化为n-1阶行列式的计算。
(2)初等变换法：通过一系列初等行变换，将矩阵转化为上（下）三角矩阵，此时行列式的值就是对角线上元素的乘积。
(3)行列式性质法：利用行列式的性质，对矩阵进行化简计算，如将矩阵转化为对角矩阵，或利用矩阵的行列变换得到行列式的乘积或分解。
线性代数---特殊行列式及行列式计算方法总结
特殊行列式及行列式计算方法总结一、几类特殊行列式1.上（下）三角行列式、对角行列式（教材P7例5、例6）2.以副对角线为标准的行列式000a1na a a00a11121n1n00a a2,n12na a00a021222,n10000a a an1,2n1,n1n1,na000a00 nn n1a a a an1n2n,n1nnn(n1)(1)2a a a1n2,n1n13.分块行列式（教材P14例10）一般化结果：A C A0n n m n n m 0B C B m n m m n m A B n m0A C An m n n m n mn(1)B C B0m m n m m n A Bn m4.范德蒙行列式（教材P18例12）注：4种特殊行列式的结果需牢记！以下几种行列式的特殊解法必须熟练掌握！！！二、低阶行列式计算二阶、三阶行列式——对角线法则（教材P2、P3）三、高阶行列式的计算【五种解题方法】1)利用行列式定义直接计算特殊行列式；2)利用行列式的性质将高阶行列式化成已知结果的特殊行列式；3)利用行列式的行（列）扩展定理以及行列式的性质，将行列式降阶进行计算——适用于行列式的某一行或某一列中有很多零元素，并且非零元素的代数余子式很容易计算；4)递推法或数学归纳法；5)升阶法（又称加边法）【常见的化简行列式的方法】5.利用行列式定义直接计算特殊行列式例1 （2001年考研题）0001000200D019990002000000000002001分析：该行列式的特点是每行每列只有一个元素，因此很容易联想到直接利用行列式定义进行计算。
解法一：定义法D(n1,n2,...,2,1,n)012 (19990)(1)2001!(1)2001!2001!解法二：行列式性质法利用行列式性质2把最后一行依次与第n-1,n-2,⋯,2,1行交换（这里n=2001），即进行2000次换行以后，变成副对角行列式。
几类特殊N阶行列式的计算
几类特殊N阶行列式的计算在线性代数中，N阶行列式是一个非常重要的概念。
行列式可以看作是一个矩阵的一种特殊性质，它在很多数学和应用问题中都有广泛的应用。
在这篇文章中，我们将讨论一些特殊的N阶行列式的计算方法。
一、对称行列式对称行列式是指行列式中的每个元素都关于主对角线镜像对称。
例如，一个3阶对称行列式可以写成如下形式：$$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{12} & a_{22} & a_{23} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{vmatrix}$$对称行列式的计算方法有很多，以下是其中几种常用的方法。
1.代数余子式法代数余子式法是一种常用的计算对称行列式的方法。
首先，我们可以按照主对角线元素展开行列式，得到：$$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{12} & a_{22} & a_{23} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{vmatrix}=a_{11}\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{23} & a_{33}\end{vmatrix} - a_{12}\begin{vmatrix} a_{12} & a_{23} \\ a_{13}& a_{33} \end{vmatrix} + a_{13}\begin{vmatrix} a_{12} & a_{22}\\ a_{13} & a_{23} \end{vmatrix}$$然后，继续按照代数余子式展开行列式，直到得到一个2阶行列式。
最后，根据2阶行列式的计算公式计算出最终的结果。
2.克拉默法则克拉默法则是一种利用行列式计算方程组的方法。
n阶行列式的计算方法总结及例题
n阶行列式的计算方法总结及例题n阶行列式的计算方法总结及例题一、引言行列式是线性代数中的重要概念，它是一个数学对象，用来表示一个n阶方阵的一种性质。
在实际应用中，我们经常需要计算n阶行列式来解决各种数学和工程问题。
本文将对n阶行列式的计算方法进行总结，并且通过例题来加深理解。
二、行列式的基本定义在n阶行列式中，其中一个基本概念是排列。
一个排列是指1, 2, ..., n 的一种次序。
当n=3时，有6个排列{1,2,3}、{1,3,2}、{2,1,3}、{2,3,1}、{3,1,2}和{3,2,1}。
在行列式中，每个排列的正负号是由该排列的逆序数来决定的。
逆序数是指在一个排列中，逆序对的个数。
若逆序数为奇数，则该排列为负排列；若逆序数为偶数，则该排列为正排列。
三、n阶行列式的计算方法1. 代数余子式法代数余子式法是一种递归的方法，可以用来计算n阶行列式。
我们选择矩阵的某一行（或某一列），然后对该行（或列）中的每个元素，每个元素对应一个代数余子式。
根据代数余子式的定义和符号来计算每个元素的代数余子式。
将这些代数余子式与对应的元素相乘，并相加起来，即得到行列式的值。
2. 公式法当n=2时，行列式的计算方法非常简单，即ad-bc。
当n>2时，可以利用展开定理，将n阶行列式展开为n-1阶行列式的和。
通过递归的方法，最终可以将n阶行列式转化为2阶行列式的组合。
3. 三角形法三角形法是一种几何方法，通过对矩阵进行初等行变换，将矩阵化为上（下）三角矩阵。
根据上（下）三角矩阵的特殊性，可以直接求出行列式的值。
四、例题我们通过以下例题来加深对n阶行列式计算方法的理解：例题1：计算3阶行列式给定矩阵 A =\[ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{bmatrix} \]我们可以使用代数余子式法，按照第一行展开，得到\[ |A| = 1*|M11| - 2*|M12| + 3*|M13| \]其中，M11、M12、M13分别为A的三个元素对应的代数余子式，根据代数余子式的定义和符号，可以计算得到|A|的值。
N阶行列式的计算
a2 0 0 1
0 0 1
a3
0 c 2 +c1 0 0 c3 +新c 2 0 c 4 +新c3 an ... 0 1 1
a3
1 2 3 4 1 1 练习： D 1
n
= (1)n (n 1)a1a2 an 。
1 2 3 n 1 x 1 2 n2 x x 1 n 3 【 (-1)n+1x n-2 】 x x x x 2 1
-1 -2
-1 -2 -3
-1 -2 -3 1-n 0
的行列式的第一行各项分别加到后面各行对应元素上，可将行列式化为上三角形行列式） (3)各行（列）都加至同一行（列）上（适用于行列式的行（列）的诸元素之和相等时） (4)行列式的某一行各项乘 k 分别加到其余各行对应元素上
1/4
x-a a 例 4： a a 1
题设行列式正是 A24 ， 即 y 的系数， 展开(1)式， 得到 y 的系数为 x1 x2 +x2 x3 +x3 x1
3i >j 1
(x -x )
i j
1
所以： x
1 x x
2 2 3 2
1
2 x3 = x1 x2 +x2 x3 +x3 x1 (xi -x j ) 。 3i >j 1 3 x3
1 1+d d +d 2 d 2 +d 3
l +l (-1) 2 1 l3 +新l2(-1) l +新l (-1) 4 3
1 a a2 a3
1 b b2 b3
1 c c2 c3
1 d =… d2 d3
n阶行列式的计算方法
n阶行列式的计算方法行列式是线性代数中的一个重要概念，它在数学和工程领域中有着广泛的应用。
n阶行列式是一个n×n的方阵所对应的一个数，它的计算方法有很多种。
在本文中，我们将介绍n阶行列式的计算方法，希望能够帮助读者更好地理解和掌握这一重要概念。
首先，我们来介绍n阶行列式的定义。
对于一个n×n的方阵A，它的行列式记作|A|，定义为所有由n个不同行和n个不同列所组成的乘积之和，其中每个乘积的符号取决于排列的奇偶性。
换句话说，行列式是一个数，它是方阵中元素按照一定规律排列所得到的一个表达式。
接下来，我们将介绍如何计算n阶行列式。
在实际计算中，有几种常用的方法，包括按行（列）展开、化为三角形式、利用性质等。
首先是按行（列）展开的方法。
这种方法是最基本的计算行列式的方法，它的思想是利用代数余子式的概念，将n阶行列式转化为n-1阶行列式的计算。
具体来说，我们可以选择某一行（列）的元素，计算出对应的代数余子式，然后将这些代数余子式与对应元素相乘再求和，就可以得到n阶行列式的值。
其次是化为三角形式的方法。
这种方法的思想是通过初等变换，将原始的n阶行列式化为上（下）三角形形式，然后利用三角形矩阵的性质直接求出行列式的值。
这种方法的优点是计算简单，适用于一些特殊的矩阵。
另外，我们还可以利用行列式的性质来计算。
行列式有许多性质，比如行（列）互换会改变行列式的符号、某一行（列）乘以一个数会使行列式的值乘以这个数等等。
利用这些性质，我们可以通过变换矩阵的形式来简化行列式的计算过程。
除了上述方法外，还有一些其他的计算方法，比如利用特征值和特征向量、利用逆矩阵等。
这些方法在特定的情况下可能更加高效，但在一般情况下，按行（列）展开、化为三角形式和利用性质是最常用的计算方法。
总的来说，n阶行列式的计算方法有很多种，每种方法都有其适用的场景和特点。
在实际应用中，我们可以根据具体的问题和矩阵的性质来选择合适的计算方法，从而更加高效地求解行列式的值。
几类特殊N阶行列式的计算
几类特殊N阶行列式的计算目录1 引言............................................... 错误!未定义书签。
2 文献综述........................................... 错误!未定义书签。
2.1 国内研究现状....................................... 错误!未定义书签。
2.2 国内研究现状评价................................... 错误!未定义书签。
2.3 提出问题........................................... 错误!未定义书签。
3 预备知识........................................... 错误!未定义书签。
3.1 N阶行列式的定义.................................... 错误!未定义书签。
3.2 行列式的性质 (5)3.3 行列式的行(列)展开和拉普拉斯定理 (5)3.3.1 行列式按一行(列)展开 (5)3.3.2 拉普拉斯定理 (6)4 几类特殊N阶行列式的计算 (6)4.1 三角形行列式的计算 (7)4.2 两条线型行列式的计算 (8)4.3 箭形行列式的计算 (9)4.4 三对角行列式的计算 (9)4.5 Hessenberg型行列式的计算 (11)4.6 行（列）和相等的行列式的计算 (12)4.7 相邻行（列）元素差1的行列式的计算 (13)4.8 范德蒙型行列式的计算 (14)5 结论 (16)5.1 主要发现 (16)5.2 启示 (16)5.3 局限性 (16)5.4 努力方向 (16)参考文献 (17)3.2 行列式的性质行列式的计算是一个重要的问题,也是一个麻烦的问题.当N 较小时,可以由定义去计算行列式的值,但当N 较大时,按定义去计算就很困难了.因此,行列式的性质在行列式中的地位就非常特别要了,我们通常总是利用行列式的性质,把一个复杂的行列式化成简单的,易算的行列式,最终计算出结果.在行列式的诸多性质中,以下几条是最基本的,其他性质都可以通过它们推导出来.该部分性质可参见文献[14].性质1 行与列互换,行列式不变.性质2 某行(列)的公因子可以提到行列式符号外.性质 3 如果某行(列)的所有元素都可以写成两项之和,则该行列式可以写成两个行列式之和.这两个行列式的这一行(列)的元素分别为对应的两个加数之一,其余各行(列)元素与原行列式相同.性质4 两行(列)的对应元素相同,行列式的值为零.性质5 两行(列)对应元素成比例,行列式的值为零.性质6 某行(列)的倍数加到另一行(列),行列式的值不变.性质7 交换两行(列)的位置,行列式的值反号.3.3 行列式的行(列)展开和拉普拉斯定理行列式按行(列)展开的定理是行列式的一条非常重要的性质,是行列式常用计算方法的重要依据,特别是在行列式降阶的过程中,将行列式按行(列)展开,是计算行列式的一种行之有效的方法之一,可参见文献[7].3.3.1 行列式按一行(列)展开(1)在N 阶行列式的中，将元素ij a 所在的第i 行第j 列的元素划去后剩下的元素按照原来位置次序构成的n-1阶行列式，称为元素ij a 的余子式，记为ij M ，即111,11,111,11,11,11,1,11,11,1,1,1,j j n i i j i j i n ij i i j i j i i n n n j n j i nn a a a a a a a a M a a a a a a a a -+----+-++-+++-+=， 而(1)i j ij ij A M +=-称为元素ij a 的代数余子式.(2) 行列式的值等于它的某一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即111112211122(1,2,,)(1,2,,)n i i i i in in n nnj j j j nj nj a a D a A a A a A i n a a a A a A a A j n ==+++==+++= (3)n 阶行列式中某一行（列）的每个元素与另一行（列）相应元素的代数余子式乘积之和等于零.3.3.2 拉普拉斯定理拉普拉斯定理可以看成是行列式按行(列)展开公式的推广,在行列式的计算中也是一个不可或缺的定理之一,下面将该定理陈述如下:拉普拉斯定理 任意取定n 阶行列式D 的某k 行（列）（1≤k<n ）,由这k 行（列）元素所组成的一切k 阶子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D.4 几类特殊N 阶行列式的计算除了较简单的行列式可以用定义直接计算和少数几类行列式可利用行列式性质直接计算外,一般行列式计算的主要方法是利用行列式的性质做恒等变形化简,使行列式中出现较多的零元素,然后直接上(下)三角行列式或利用行列式按行展开定理降阶.在化简时,必须根据行列式的特点和元素的规律性,运用适当的步骤来进行,所以研究行列式的规律性是重要的.下面是对一些典型行列式的计算方法的探究,并举例说明其求解方法和技巧.4.1 三角形行列式的计算在行列式的计算中,有一类特殊的行列式是除主对角线以外的元素全为零的行列式,我们称为对角行列式或三角行列式,该行列式的计算是很有规律的,也即(1)上(下)三角行列式等于其主对角线上元素的乘积,即a. （2）次三角行列式的值等于添加适当正、负号的对角线元素的乘积，即. (3) 分块三角行列式可化为低级行列式的乘积,即0 .4．2两条线型行列式的计算在行列式的计算中,遇见两条线型的行列的情况很多,对于形如，，的两条线型行列式，我们的计算方法是先展开看看该行列式能否可以降阶,化为三角或次三角行列式,由三角行列式的计算性质算出该类行列式.例1 计算n 阶行列式1211n n n n n a b a b D a b b a --=.分析:本题中所给的行列式,我们先观察一下行列式的元素间的规律,显然,这是一个两条线型的行列式,根据行列式的性质,把行列式按第一行或第一列展开得到两个三角行列式,由三角行列式的性质即可算出该行列式.解: 按第1列展开得22122111111(1)n n n n n n n n a b b a b D a b a b a a b +----=+- 11212(1)n n n a a a b b b +=+-总结:由该题的分析与解答过程,易得出解两条线型行列式的规律:按某一(列)展开,化简为三角行列式或次三角行列式,再根据三角行列式的计算方法求出所给的行列式.4.3 箭形行列式的计算在平时所遇见的行列式中,有许多形如，的箭形行列式, 这类行列式不易下手,得想办法化简,从行列式的相关性质和定理上入手.这样的行列式成箭形,只要我们把一边消去就能转化为三角或次三角行列式,从而就能用相关三角行列式的计算性质去计算该类行列式了.例2 计算n+1阶行列式112111100100100n n a a D a a +=12(0)n a a a ≠分析:题中所给的n+1阶行列式，显然是一个箭形行列式，对于这样的行列式，得相办法变为三角或次三角行列式，把每一列的ia 1倍加到第一列即可得到一个三角行列式，本题即可算出.解：把每一列的（i a 1-）加到第一列，得)1(101∑∏==-=n i ii n i a a a 总结:对于箭形行列式的计算,可以直接利用行列式性质化为三角或次三角行列式来计算,即利用对角元素或次对角元素将一条边消为零.4.4 三对角行列式的计算对于形如的三对角行列式,. 计算就比较复杂一点了,因为这样的行列式要想办法消去主对角线外的两条线上的元素,这样一来计算量上就比较大了,但是在展开的过程中,我们易发现,在展开的过程中会得到一个递推公式,从代数方面的角度出发,就能解出这样的行列式.例3 计算n 阶“三对角”行列式D n =00010001000001αβαβαβαβαβαβ+++＋ 分析:把该行列式展开,我们会发现,逐渐展开后得到一个递推公式,根据递推公式的特点,应用相关的代数方法,即可求出行列式的值.解: 把行列式展开,得到D n 1=按c 展开()αβ+D 1-n —(1)00001000001n αβαβαβαβ-++ 1=按r 展开()αβ+D 1-n －αβD 2-n即有递推关系式D n =()αβ+D 1-n －αβD 2-n (n ≥3)故 1n n D D α--＝12()n n D D βα---递推得到1n n D D α--＝12()n n D D βα---＝223()n n D D βα---＝＝221()n D D βα--而 1()D αβ=+，2D ＝β+α1αββ+α＝22ααββ++， 代入得1n n n D D αβ--=1n n n D D αβ-=+由递推公式得1n n n D D αβ-=+＝12()n n n D ααββ--++＝α2D 2-n ＋1n n αββ-+＝＝n α＋1n αβ-＋ ＋1n n αββ-+＝时＝，当时，当－－βαβα1)α(n αβαβ111≠⎪⎩⎪⎨⎧++++n n n总结:对于三对角线行列式的计算,可直接展开得到两项的递推关系21--+=n n n D D D βα,然后根据递推关系的特点采用相应的一些代数方法去求解出行列式.4.5 Hessenberg 型行列式的计算对于形如，的行列式,我们叫做Hessenberg 型行列式，这类行列式类似于箭形行列式,但差别又有一定的差别.对于这类行列式可直接展开得到递推公式，也可以利用行列式性质化简并降阶.例4 计算N 阶行列式分析:对于该行列式,将每一列都加到第N 列,能化为三角行列式,即可算出该行列式.解:将第1,2,…，n-1列加到第n 列，得总结:对于Hessenberg型行列式的计算,可直接展开得到递推公式,根据递推公式的特点从代数方面即可算出,也可利用行列式性质化简并降阶,利用三角行列式或次三角行列式的性质计算.4.6 行（列）和相等的行列式的计算在平时的行列式计算中,行(列)和相等的行列式不在少数,也是行列式计算中的一个难点.对于这样的行列式,我们就可以很好的去利用它的这个行(列)和相等的特点了,把每一行(列)都加到一行(列),再提出公因式,这样就能出现大量的零或1的行列式,从而利用行列式的相关性质就能算出该类行列式了.例5 计算行列式.分析:因为第行(例)的和都相等,所以把每一列都加到第一列利用行列式的性质提出公因式,把每一行都减去第一行即可行到三角行列式,根据三角行列式的性质即可算出该行列式.解: 把每一列都加到第一列提出公因式得总结:对于各行（列）这和相等的行列式，将其各列（或行）加到第1列（或行）或第N 列（或行），然后再利用行列式的性质,化为三(或次三角)行列式,根据行列式的性质计算出行列式的值.4.7 相邻行（列）元素差1的行列式的计算计算完行(列)和相等的行列式,现在来看一下行(列)元素差1的行列式的计算.同样,这样的行列式他们的行(列)元素差1,我们可以利用它的这一特点,每一行(列)递减,得到大量元素是1的行列式,进一步运用行列式的性质就能很好的解出这类行列式了.例6 计算元素满足j i a ij -=的N 阶行列式n D . 分析: 根据题设写出N 阶行列式这是相邻两行(列)元素差1的行列式,用前行减去后行可出现大量元素为1或-1的行列式,进一步化为三角行列式,即可算出该行列式. 解:前行（列）减去后行（列）,得=总结:以数字1,2,…，n 为（大部分）元素，且相邻两行（列）元素差1的N 阶行列式可以如下计算：自第1行（列）开始，前行（列）减去后行（列）；或自第N 行（列）开始，后行（列）减去前行（列），即可出现大量元素为1或-1的行列式，再进一步化简即出现大量的零元素.对于相邻两行（列）元素相差倍数K 的行列式,采用前行（列）减去后行（列）的-K 倍,或后行（列）减去前行（列）得-K 倍的步骤,即可使行列式中出现大量的零元素.4.8 范德蒙型行列式的计算范德蒙行列式具有逐行元素方幂递增的特点,在行列式的计算中,如果有这样特点的行列式或类似的行列式,我们就可以想办法与范德蒙行列式联系起来,利用行列式的计算方法去计算了.首先,先来回顾一下范德蒙行列式的一些定义和性质.可参见文献[17]. 范德蒙行列式122221212221211112111()nnn i j j i nn n n n n n n nx x x x x x D x x x x x x x x ≤<≤------==-∏即等于这N 个数的所有可能的差的乘积.例7 计算行列式12222122221212111n nn n n n n n n n nx x x x x x D x x x x x x ---=(1)分析:和范德蒙行列式相比较,发现本行列式缺少n-2次幂行,所以我们能补成范德蒙行列式,利用范德蒙行列式就能求出了.解：比较范德蒙行列式，缺少2n -次幂行，所以应补之．于是考察1n +阶范德蒙行列式122222121111121211111()nnn n n n nn n n nnn x x x x x x x x f x x x x x x x x x ----+=(2)121()()()()n i j j i nx x x x x x x x ≤<≤=----∏视x 文字，一方面，由（1）知n D 是行列式()f x 中元素1n x -的余子式.1n n M +，即：1,1,1,1(1)n n n n n n n n n D M A A +++++==-=-于是将()f x 按其第1n +列展开可得()f x 中1n x -的系数为n D -．另一方面，从()f x 的表达式（2）及根与系数的关系知，()f x 中1n x -的系数为：121()().n i j j i nx x x x x ≤<≤-+++-∏所以 121()()n n i j j i nD x x x x x ≤<≤-=-+++-∏所以 121()()n n ijj i nD x x x x x ≤<≤=+++-∏总结: 范德蒙行列式具有逐行元素方幂递增的特点,因此遇到具有逐行（或列）元素言幂递增或递减的范德蒙行列式时，可以考虑将其转化为范德蒙行列式并利用相应的结果求值.5 结论5.1 主要发现行列式的计算是高等代数和线性代数里面的一个重难点之一,在平时的考式计算中,灵活多变,有较大的难度,特别是对于特殊N阶行列式的计算,这类行列式的计算技巧性非常大,在我们掌握这些技巧和计算方法之前,对于这些行列式的计算有相当大的难度.5.2 启示和意义在行列式的计算中,特别是对于特殊N阶行列式的计算,有一定的技巧性.从特殊到一般,能把各种特殊行列式的计算技巧融会贯通,领悟渗透,那么在将来的行列式计算中将会取得事半功倍的效果. 特别是学生在平时的学习中,应熟悉行列式的一些计算方法,达到举一反三.掌握了这几类特殊行列式的计算方法,并将其融会贯通后,那么行列式的计算问题将能够迎刃而解，尤其在计算N阶行列式时，能做到思路清晰，计算上快速，准确.5.3 局限性本文只介绍了几类特殊N阶行列式的计算方法与技巧,对于一般普通行列式的计算还有待补充和完善,特别对于像行列式这样题型多变的计算部分更需进一步的探讨与研究.5.4 努力方向行列式的计算方法多种多样,而行列式也是变化繁多,并不是短时间内学习就可以掌握的,需要长时间的积累探讨,除了本文介绍的这几类特殊N阶行列式外，对于一般普通的行列式的计算也应该归纳总结出相关的计算方法与技巧.参考文献[1] 陈治中.线性代数[M].北京:科学出出版社,2009:6-23.[2] 邵建峰、刘彬. 线性代数[M].北京：化学工业出版社，2007：1-18.[3] 张翠莲. 线性代数[M].北京:中国水利水电出版社，2007：4-16.[4] 李小刚.线性代数能及其应用[M].北京:科学出出版社,2006:37-61.[5] 郭立焕、汤琴芳. 线性代数[M]. 北京：科学技术文献出版社，1988：1-32.[6] 俞正光、王飞燕. 线性代数[M]. 北京：清华大学出版社，2005；1-26.[7] 郑素文.线性代数与应用名师导学[M]. 北京: 中国水利水电出版社,2004:1-45.[8] 刘剑平、施劲松.线性代数[M].上海:华东理工大学出版社,2011:35-53.[9] 贾兰香、张建华.线性代数[M].天津:南开大学生出版社,2004:1-42.[10] 居余马.线性代数[M]. 北京:清华大学出版社,2002:1-32..[11] 詹耀华.线性代数[M]. 北京:中国金融出版社,2007:1-17.[12] 宋光艾、刘玉凤、姚光同、陈卫星.高等代数[M]. 北京:清华大学出版社,2012:1-15. 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目录1 引言 (2)2 文献综述 (2)2.1 国内研究现状 (2)2.2 国内研究现状评价 (3)2.3 提出问题 (3)3 预备知识 (3)3.1 N阶行列式的定义 (3)3.2 行列式的性质 (4)3.3 行列式的行(列)展开和拉普拉斯定理 (4)3.3.1 行列式按一行(列)展开 (4)3.3.2 拉普拉斯定理 (5)4 几类特殊N阶行列式的计算 (5)4.1 三角形行列式的计算 (6)4.2 两条线型行列式的计算 (7)4.3 箭形行列式的计算 (8)4.4 三对角行列式的计算 (8)4.5 Hessenberg型行列式的计算 (10)4.6 行（列）和相等的行列式的计算 (11)4.7 相邻行（列）元素差1的行列式的计算 (12)4.8 范德蒙型行列式的计算 (13)5 结论 (15)5.1 主要发现 (15)5.2 启示 (15)5.3 局限性 (15)5.4 努力方向 (15)参考文献 (16)1 引言行列式是代数学中的一个重要内容,在数学理论上有十分重要的地位.早在17世纪和18世纪初,行列式就在解线性方程组中出现.1772年法国数学家范德蒙(1735-1796)首先把行列式作为专门理论独立于线性方程之外研究.到了19世纪,是行列式理论形成和发展的重要时期,19世纪中叶出现了行列式的大量定理.因此,到19世纪末行列式基本面貌已经勾画清楚.行列式的计算是高等代数的重要内容之一,也是理工科线性代数的重要内容之一,同时也是学习中的一个难点.在数学和现实中有着广泛的应用,懂得如何计算行列式尤为重要.对于阶数较低的行列式,一般可直接利用行列式的定义和性质计算出结果.对于一般的N阶行列式,特别是当N较大时，直接用定义计算行列式往往是困难和繁琐的，因此研究行列式的计算方法则显得十分必要.通常需灵活运用一些计算技巧和方法，使计算大大简化，从而得出结果.本文归纳了几类特殊N阶行列式的计算方法,从这几类特殊的N阶行列式的计算中,可以总结出归纳出一些行列式的计算方法,只要将这些方法与传统方法结合起来，就可以基本上解决n阶行列式的计算问题.本文先阐述行列式的定义及其基本性质,然后介绍了几类特殊行列式的计算方法,并结合了相关例题讨论了行列式的求解方法.2 文献综述2.1 国内研究现状现查阅到的文献资料中,大部分只是简单的介绍了行列式的定义、行列式的性质、行列式按行（列）展开、克拉默法则等.其中[1]、[3]介绍了行列式的定义、性质、行列式按行（列）展开，[2]、[4]介绍了利用行列式的性质计算行列式，[4]、[8]直接介绍行列式的计算，主要讲解了行列式的计算在Matlab上的实现，[7]、[9]、[10]介绍了行列式的简单计算和行列式的常用计算方法，[11]、[12]、[13]同样也是介绍了行列式的性质、定义和克拉默法则，[14]在行列式的定义、性质、按行（列）展开克拉默法则等方面介绍得比较完整，[15]-[18]系统介绍了行列式计算中和各种方法,如定义法、降阶法、升降法、拆开法、目标行列式法、乘积法、化三角开法、消去法、加边法、归纳法、递推法、特征值法等行列式的计算方法.2.2 国内研究现状评价现查阅到的参考资料、文献中,在行列式的计算方面已经做到相当不错的成绩，特别是在用行列式的定义和性质去计算高阶行列式方面,而对于一些特殊行列式的计算还有所欠缺.2.3 提出问题行列式是高等代数课程里基本而重要的内容之一,而在一些特殊行列式的计算上还有所欠缺,本文将从几类特殊N 阶行列式的计算方面入手,对特殊N 阶行列式的计算归纳总结出一些固定的计算方法,以便在今后的计算中较为方便、快速,以便达到事半功倍的效果.3 预备知识为了更好的计算行列式,我们先要对行列式的一些性质有一些了解.下面我们来回顾一下行列式的定义和相关的行列式的性质.可参见文献资料[1].3.1 N 阶行列式的定义 由一个n 行n 列的正方形数表⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n a a a a A 1111（称为n 阵方阵）按以下规则确定的数称为n 阶行列式，记为D,或A ，或det A,det ()n ij a ，即D=det ()n ij a =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n a a a a A 1111其中为n 个数，1，2，n 的一个排列，为此排列的逆序数.而符号表示对所有的n 无排列求和，共有n!项.3.2 行列式的性质行列式的计算是一个重要的问题,也是一个麻烦的问题.当N 较小时,可以由定义去计算行列式的值,但当N 较大时,按定义去计算就很困难了.因此,行列式的性质在行列式中的地位就非常特别要了,我们通常总是利用行列式的性质,把一个复杂的行列式化成简单的,易算的行列式,最终计算出结果.在行列式的诸多性质中,以下几条是最基本的,其他性质都可以通过它们推导出来.该部分性质可参见文献[14].性质1 行与列互换,行列式不变.性质2 某行(列)的公因子可以提到行列式符号外.性质 3 如果某行(列)的所有元素都可以写成两项之和,则该行列式可以写成两个行列式之和.这两个行列式的这一行(列)的元素分别为对应的两个加数之一,其余各行(列)元素与原行列式相同.性质4 两行(列)的对应元素相同,行列式的值为零. 性质5 两行(列)对应元素成比例,行列式的值为零. 性质6 某行(列)的倍数加到另一行(列),行列式的值不变. 性质7 交换两行(列)的位置,行列式的值反号.3.3 行列式的行(列)展开和拉普拉斯定理行列式按行(列)展开的定理是行列式的一条非常重要的性质,是行列式常用计算方法的重要依据,特别是在行列式降阶的过程中,将行列式按行(列)展开,是计算行列式的一种行之有效的方法之一,可参见文献[7]. 3.3.1 行列式按一行(列)展开(1)在N 阶行列式的中，将元素ij a 所在的第i 行第j 列的元素划去后剩下的元素按照原来位置次序构成的n-1阶行列式，称为元素ij a 的余子式，记为ij M ，即111,11,111,11,11,11,1,11,11,1,1,1,j j n i i j i j i n ij i i j i j ii n n n j n j inna a a a a a a a M a a a a a a a a -+----+-++-+++-+=， 而(1)i j ij ij A M +=-称为元素ij a 的代数余子式.(2) 行列式的值等于它的某一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即111112211122(1,2,,)(1,2,,)ni i i i in in n nnj j j j nj nj a a D a A a A a A i n a a a A a A a A j n ==+++==+++=(3)n 阶行列式中某一行（列）的每个元素与另一行（列）相应元素的代数余子式乘积之和等于零. 3.3.2 拉普拉斯定理拉普拉斯定理可以看成是行列式按行(列)展开公式的推广,在行列式的计算中也是一个不可或缺的定理之一,下面将该定理陈述如下:拉普拉斯定理 任意取定n 阶行列式D 的某k 行（列）（1≤k<n ）,由这k 行（列）元素所组成的一切k 阶子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D.4 几类特殊N 阶行列式的计算除了较简单的行列式可以用定义直接计算和少数几类行列式可利用行列式性质直接计算外,一般行列式计算的主要方法是利用行列式的性质做恒等变形化简,使行列式中出现较多的零元素,然后直接上(下)三角行列式或利用行列式按行展开定理降阶.在化简时,必须根据行列式的特点和元素的规律性,运用适当的步骤来进行,所以研究行列式的规律性是重要的.下面是对一些典型行列式的计算方法的探究,并举例说明其求解方法和技巧.4.1 三角形行列式的计算在行列式的计算中,有一类特殊的行列式是除主对角线以外的元素全为零的行列式,我们称为对角行列式或三角行列式,该行列式的计算是很有规律的,也即(1)上(下)三角行列式等于其主对角线上元素的乘积,即a. （2）次三角行列式的值等于添加适当正、负号的对角线元素的乘积，即. (3) 分块三角行列式可化为低级行列式的乘积,即.4．2两条线型行列式的计算在行列式的计算中,遇见两条线型的行列的情况很多,对于形如，，的两条线型行列式，我们的计算方法是先展开看看该行列式能否可以降阶,化为三角或次三角行列式,由三角行列式的计算性质算出该类行列式.例1 计算n 阶行列式1211n n n nna b a b D a b b a --=.分析:本题中所给的行列式,我们先观察一下行列式的元素间的规律,显然,这是一个两条线型的行列式,根据行列式的性质,把行列式按第一行或第一列展开得到两个三角行列式,由三角行列式的性质即可算出该行列式. 解: 按第1列展开得22122111111(1)nn n n n nn n a b b a b D a b a b a a b +----=+-11212(1)n n n a a a b b b +=+-总结:由该题的分析与解答过程,易得出解两条线型行列式的规律:按某一(列)展开,化简为三角行列式或次三角行列式,再根据三角行列式的计算方法求出所给的行列式.4.3 箭形行列式的计算在平时所遇见的行列式中,有许多形如，的箭形行列式, 这类行列式不易下手,得想办法化简,从行列式的相关性质和定理上入手.这样的行列式成箭形,只要我们把一边消去就能转化为三角或次三角行列式,从而就能用相关三角行列式的计算性质去计算该类行列式了.例2 计算n+1阶行列式01121111001001n na a D a a +=12(0)n a a a ≠ 分析:题中所给的n+1阶行列式，显然是一个箭形行列式，对于这样的行列式，得相办法变为三角或次三角行列式，把每一列的ia 1倍加到第一列即可得到一个三角行列式，本题即可算出. 解：把每一列的（ia 1-）加到第一列，得)1(101∑∏==-=ni ii n i a a a 总结:对于箭形行列式的计算,可以直接利用行列式性质化为三角或次三角行列式来计算,即利用对角元素或次对角元素将一条边消为零.4.4 三对角行列式的计算对于形如的三对角行列式,. 计算就比较复杂一点了,因为这样的行列式要想办法消去主对角线外的两条线上的元素,这样一来计算量上就比较大了,但是在展开的过程中,我们易发现,在展开的过程中会得到一个递推公式,从代数方面的角度出发,就能解出这样的行列式.例3 计算n 阶“三对角”行列式D n =00100010001αβαβαβαβαβαβ+++＋分析:把该行列式展开,我们会发现,逐渐展开后得到一个递推公式,根据递推公式的特点,应用相关的代数方法,即可求出行列式的值. 解: 把行列式展开,得到D n1=按c 展开()αβ+D 1-n —(1)000010001n αβαβαβαβ-++1=按r 展开()αβ+D 1-n －αβD 2-n即有递推关系式D n =()αβ+D 1-n －αβD 2-n (n ≥3)故 1n n D D α--＝12()n n D D βα--- 递推得到1n n D D α--＝12()n n D D βα---＝223()n n D D βα---＝ ＝221()n D D βα--而1()D αβ=+，2D ＝β+α1αββ+α＝22ααββ++， 代入得1n n n D D αβ--=1n n n D D αβ-=+由递推公式得1n n n D D αβ-=+＝12()n n n D ααββ--++＝α2D 2-n ＋1n n αββ-+＝＝n α＋1n αβ-＋ ＋1n n αββ-+＝时＝，当时，当－－βαβα1)α(n αβαβ111≠⎪⎩⎪⎨⎧++++n n n总结:对于三对角线行列式的计算,可直接展开得到两项的递推关系21--+=n n n D D D βα,然后根据递推关系的特点采用相应的一些代数方法去求解出行列式.4.5 Hessenberg 型行列式的计算对于形如，的行列式,我们叫做Hessenberg 型行列式，这类行列式类似于箭形行列式,但差别又有一定的差别.对于这类行列式可直接展开得到递推公式，也可以利用行列式性质化简并降阶.例4 计算N 阶行列式分析:对于该行列式,将每一列都加到第N 列,能化为三角行列式,即可算出该行列式.解:将第1,2,…，n-1列加到第n 列，得总结:对于Hessenberg型行列式的计算,可直接展开得到递推公式,根据递推公式的特点从代数方面即可算出,也可利用行列式性质化简并降阶,利用三角行列式或次三角行列式的性质计算.4.6 行（列）和相等的行列式的计算在平时的行列式计算中,行(列)和相等的行列式不在少数,也是行列式计算中的一个难点.对于这样的行列式,我们就可以很好的去利用它的这个行(列)和相等的特点了,把每一行(列)都加到一行(列),再提出公因式,这样就能出现大量的零或1的行列式,从而利用行列式的相关性质就能算出该类行列式了.例5 计算行列式.分析:因为第行(例)的和都相等,所以把每一列都加到第一列利用行列式的性质提出公因式,把每一行都减去第一行即可行到三角行列式,根据三角行列式的性质即可算出该行列式.解: 把每一列都加到第一列提出公因式得总结:对于各行（列）这和相等的行列式，将其各列（或行）加到第1列（或行）或第N 列（或行），然后再利用行列式的性质,化为三(或次三角)行列式,根据行列式的性质计算出行列式的值.4.7 相邻行（列）元素差1的行列式的计算计算完行(列)和相等的行列式,现在来看一下行(列)元素差1的行列式的计算.同样,这样的行列式他们的行(列)元素差1,我们可以利用它的这一特点,每一行(列)递减,得到大量元素是1的行列式,进一步运用行列式的性质就能很好的解出这类行列式了.例6 计算元素满足j i a ij -=的N 阶行列式n D . 分析: 根据题设写出N 阶行列式这是相邻两行(列)元素差1的行列式,用前行减去后行可出现大量元素为1或-1的行列式,进一步化为三角行列式,即可算出该行列式. 解:前行（列）减去后行（列）,得=总结:以数字1,2,…，n 为（大部分）元素，且相邻两行（列）元素差1的N 阶行列式可以如下计算：自第1行（列）开始，前行（列）减去后行（列）；或自第N 行（列）开始，后行（列）减去前行（列），即可出现大量元素为1或-1的行列式，再进一步化简即出现大量的零元素.对于相邻两行（列）元素相差倍数K 的行列式,采用前行（列）减去后行（列）的-K 倍,或后行（列）减去前行（列）得-K 倍的步骤,即可使行列式中出现大量的零元素.4.8 范德蒙型行列式的计算范德蒙行列式具有逐行元素方幂递增的特点,在行列式的计算中,如果有这样特点的行列式或类似的行列式,我们就可以想办法与范德蒙行列式联系起来,利用行列式的计算方法去计算了.首先,先来回顾一下范德蒙行列式的一些定义和性质.可参见文献[17]. 范德蒙行列式122221212221211112111()nnn i j j i nn n n nn n n nx x x x x x D x x x x x x x x ≤<≤------==-∏即等于这N 个数的所有可能的差的乘积.例7 计算行列式12222122221212111n nn n n n n n n n nx x x x x x D x x x x x x ---=(1) 分析:和范德蒙行列式相比较,发现本行列式缺少n-2次幂行,所以我们能补成范德蒙行列式,利用范德蒙行列式就能求出了.解：比较范德蒙行列式，缺少2n -次幂行，所以应补之．于是考察1n +阶范德蒙行列式122222121111121211111()nnn n n n nn n n nnn x x x x x x x x f x x x x x x x x x ----+=(2)121()()()()n i j j i nx x x x x x x x ≤<≤=----∏视x 文字，一方面，由（1）知n D 是行列式()f x 中元素1n x -的余子式.1n n M +，即：1,1,1,1(1)n n n n n n n n n D M A A +++++==-=-于是将()f x 按其第1n +列展开可得()f x 中1n x -的系数为n D -．另一方面，从()f x 的表达式（2）及根与系数的关系知，()f x 中1n x -的系数为：121()().n i j j i nx x x x x ≤<≤-+++-∏所以 121()()n n i j j i nD x x x x x ≤<≤-=-+++-∏所以 121()()n n ijj i nD x x x x x ≤<≤=+++-∏总结: 范德蒙行列式具有逐行元素方幂递增的特点,因此遇到具有逐行（或列）元素言幂递增或递减的范德蒙行列式时，可以考虑将其转化为范德蒙行列式并利用相应的结果求值.5 结论5.1 主要发现行列式的计算是高等代数和线性代数里面的一个重难点之一,在平时的考式计算中,灵活多变,有较大的难度,特别是对于特殊N阶行列式的计算,这类行列式的计算技巧性非常大,在我们掌握这些技巧和计算方法之前,对于这些行列式的计算有相当大的难度.5.2 启示和意义在行列式的计算中,特别是对于特殊N阶行列式的计算,有一定的技巧性.从特殊到一般,能把各种特殊行列式的计算技巧融会贯通,领悟渗透,那么在将来的行列式计算中将会取得事半功倍的效果. 特别是学生在平时的学习中,应熟悉行列式的一些计算方法,达到举一反三.掌握了这几类特殊行列式的计算方法,并将其融会贯通后,那么行列式的计算问题将能够迎刃而解，尤其在计算N阶行列式时，能做到思路清晰，计算上快速，准确.5.3 局限性本文只介绍了几类特殊N阶行列式的计算方法与技巧,对于一般普通行列式的计算还有待补充和完善,特别对于像行列式这样题型多变的计算部分更需进一步的探讨与研究.5.4 努力方向行列式的计算方法多种多样,而行列式也是变化繁多,并不是短时间内学习就可以掌握的,需要长时间的积累探讨,除了本文介绍的这几类特殊N阶行列式外，对于一般普通的行列式的计算也应该归纳总结出相关的计算方法与技巧.参考文献[1] 陈治中.线性代数[M].北京:科学出出版社,2009:6-23.[2] 邵建峰、刘彬. 线性代数[M].北京：化学工业出版社，2007：1-18.[3] 张翠莲. 线性代数[M].北京:中国水利水电出版社，2007：4-16.[4] 李小刚.线性代数能及其应用[M].北京:科学出出版社,2006:37-61.[5] 郭立焕、汤琴芳. 线性代数[M]. 北京：科学技术文献出版社，1988：1-32.[6] 俞正光、王飞燕. 线性代数[M]. 北京：清华大学出版社，2005；1-26.[7] 郑素文.线性代数与应用名师导学[M]. 北京: 中国水利水电出版社,2004:1-45.[8] 刘剑平、施劲松.线性代数[M].上海:华东理工大学出版社,2011:35-53.[9] 贾兰香、张建华.线性代数[M].天津:南开大学生出版社,2004:1-42.[10] 居余马.线性代数[M]. 北京:清华大学出版社,2002:1-32..[11] 詹耀华.线性代数[M]. 北京:中国金融出版社,2007:1-17.[12] 宋光艾、刘玉凤、姚光同、陈卫星.高等代数[M]. 北京:清华大学出版社,2012:1-15.[13] 蓝以中.高等代数简明教程[M]. 北京:北京大学出版社,2002:147-203.[14] 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数[M]. 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