几类特殊N阶行列式的计算概要

目录

1 引言 (2)

2 文献综述 (2)

2.1 国内研究现状 (2)

2.2 国内研究现状评价 (3)

2.3 提出问题 (3)

3 预备知识 (3)

3.1 N阶行列式的定义 (3)

3.2 行列式的性质 (4)

3.3 行列式的行(列)展开和拉普拉斯定理 (4)

3.3.1 行列式按一行(列)展开 (4)

3.3.2 拉普拉斯定理 (5)

4 几类特殊N阶行列式的计算 (5)

4.1 三角形行列式的计算 (6)

4.2 两条线型行列式的计算 (7)

4.3 箭形行列式的计算 (8)

4.4 三对角行列式的计算 (8)

4.5 Hessenberg型行列式的计算 (10)

4.6 行（列）和相等的行列式的计算 (11)

4.7 相邻行（列）元素差1的行列式的计算 (12)

4.8 范德蒙型行列式的计算 (13)

5 结论 (15)

5.1 主要发现 (15)

5.2 启示 (15)

5.3 局限性 (15)

5.4 努力方向 (15)

参考文献 (16)

1 引言

行列式是代数学中的一个重要内容,在数学理论上有十分重要的地位.早在17世纪和18世纪初,行列式就在解线性方程组中出现.1772年法国数学家范德蒙(1735-1796)首先把行列式作为专门理论独立于线性方程之外研究.到了19世纪,是行列式理论形成和发展的重要时期,19世纪中叶出现了行列式的大量定理.因此,到19世纪末行列式基本面貌已经勾画清楚.

行列式的计算是高等代数的重要内容之一,也是理工科线性代数的重要内容之一,同时也是学习中的一个难点.在数学和现实中有着广泛的应用,懂得如何计算行列式尤为重要.对于阶数较低的行列式,一般可直接利用行列式的定义和性质计算出结果.对于一般的N阶行列式,特别是当N较大时，直接用定义计算行列式往往是困难和繁琐的，因此研究行列式的计算方法则显得十分必要.通常需灵活运用一些计算技巧和方法，使计算大大简化，从而得出结果.本文归纳了几类特殊N阶行列式的计算方法,从这几类特殊的N阶行列式的计算中,可以总结出归纳出一些行列式的计算方法,只要将这些方法与传统方法结合起来，就可以基本上解决n阶行列式的计算问题.

本文先阐述行列式的定义及其基本性质,然后介绍了几类特殊行列式的计算方法,并结合了相关例题讨论了行列式的求解方法.

2 文献综述

2.1 国内研究现状

现查阅到的文献资料中,大部分只是简单的介绍了行列式的定义、行列式的性质、行列式按行（列）展开、克拉默法则等.其中[1]、[3]介绍了行列式的定义、性质、行列式按行（列）展开，[2]、[4]介绍了利用行列式的性质计算行列式，[4]、[8]直接介绍行列式的计算，主要讲解了行列式的计算在Matlab上的实现，[7]、[9]、[10]介绍了行列式的简单计算和行列式的常用计算方法，[11]、[12]、[13]同样也是介绍了行列式的性质、定义和克拉默法则，[14]在行列式的定义、性质、按行（列）展开克拉默法则等方面介绍得比较完整，[15]-[18]系统介绍了行列式计算中和各种方法,如定义法、降阶法、升降法、拆开法、目标行列式法、乘积法、化三角开法、消去法、加边法、归纳法、递推法、特征值法等行列式的计算方法.

2.2 国内研究现状评价

现查阅到的参考资料、文献中,在行列式的计算方面已经做到相当不错的成

绩，特别是在用行列式的定义和性质去计算高阶行列式方面,而对于一些特殊行列式的计算还有所欠缺.

2.3 提出问题

行列式是高等代数课程里基本而重要的内容之一,而在一些特殊行列式的

计算上还有所欠缺,本文将从几类特殊N 阶行列式的计算方面入手,对特殊N 阶行列式的计算归纳总结出一些固定的计算方法,以便在今后的计算中较为方便、快速,以便达到事半功倍的效果.

3 预备知识

为了更好的计算行列式,我们先要对行列式的一些性质有一些了解.下面我

们来回顾一下行列式的定义和相关的行列式的性质.可参见文献资料[1].

3.1 N 阶行列式的定义 由一个n 行n 列的正方形数表

⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=nn n n a a a a A 1111

（称为n 阵方阵）按以下规则确定的数称为n 阶行列式，记为D,或A ，或det A,det ()

n ij a ，即

D=det ()

n ij a =⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛=nn n n a a a a A 1111

其中为n 个数，1，2，

n 的一个排列，

为此排列的逆序数.而符

号

表示对所有的n 无排列求和，共有n!项.

3.2 行列式的性质

行列式的计算是一个重要的问题,也是一个麻烦的问题.当N 较小时,可以由定义去计算行列式的值,但当N 较大时,按定义去计算就很困难了.因此,行列式的性质在行列式中的地位就非常特别要了,我们通常总是利用行列式的性质,把一个复杂的行列式化成简单的,易算的行列式,最终计算出结果.在行列式的诸多性质中,以下几条是最基本的,其他性质都可以通过它们推导出来.该部分性质可参见文献[14].

性质1 行与列互换,行列式不变.

性质2 某行(列)的公因子可以提到行列式符号外.

性质 3 如果某行(列)的所有元素都可以写成两项之和,则该行列式可以写成两个行列式之和.这两个行列式的这一行(列)的元素分别为对应的两个加数之一,其余各行(列)元素与原行列式相同.

性质4 两行(列)的对应元素相同,行列式的值为零. 性质5 两行(列)对应元素成比例,行列式的值为零. 性质6 某行(列)的倍数加到另一行(列),行列式的值不变. 性质7 交换两行(列)的位置,行列式的值反号.

3.3 行列式的行(列)展开和拉普拉斯定理

行列式按行(列)展开的定理是行列式的一条非常重要的性质,是行列式常用计算方法的重要依据,特别是在行列式降阶的过程中,将行列式按行(列)展开,是计算行列式的一种行之有效的方法之一,可参见文献[7]. 3.3.1 行列式按一行(列)展开

(1)在N 阶行列式的中，将元素ij a 所在的第i 行第j 列的元素划去后剩下的元素按照原来位置次序构成的n-1阶行列式，称为元素ij a 的余子式，记为ij M ，即