第讲连续系统的时域分析(a)剖析
第二章 连续系统的时域分析
du (t ) 整理方程组得：d 2u2 (t ) + 7 2 + 6u2 (t ) = 6e(t ) dt 2 dt 特征方程：a2+7a+6=0 特征根：a=-1, a=-6 齐次解：rh(t) = A1e-t +A2e-6t
5
第二章 连续系统的时域分析
② 选定特解后，将它代入到原微分方程，即得到一个由 yh(t)及其各阶导数以及激励共同组成的一个非齐次微 分方程，依据此方程求出待定系数，然后可确定方程 的特解。
3. 求系统的全响应y(t)
y(t)＝方程的全解y(t)＝齐次解yh(t) + 特解 yP(t)
＝自由响应+强迫响应 将上面方程的全解代入系统的初始条件即可得齐次解中 的待定系数，从而进一步得到系统的全响应。此时， 方程的齐次解yh(t)为系统的自由响应，特解yP(t)为系 统的强迫响应（固有响应）。
解: 由原方程可得
dh 2 (t ) dh(t ) +3 + 2h(t ) = 2δ ′(t ) + 3δ (t ) 2 dt dt
(t ≥ 0)
特征方程: λ2+3λ+2 = 0 特征根: λ1= -1，λ2= -2，且n > m
h (t ) = Ae − t u (t ) + e −2 t (t ) u(t)
20
第二章 连续系统的时域分析
式中A、B为待定系数，将h(t)代入原方程 式，解得A=1，B=1。因此，系统的冲激 响应为 h(t ) = e − t u(t ) + e −2 t (t )
21
第二章 连续系统的时域分析
连续时间系统的时域分析
连续时间系统的时域分析时域分析是对连续时间系统进行分析和研究的一种方法。
通过时域分析，可以了解系统的时间响应特性、稳定性以及系统的动态行为。
本文将从连续时间系统的时域分析方法、常用的时域参数以及时域分析在系统设计中的应用等方面进行详细介绍。
一、连续时间系统的时域分析方法连续时间系统的时域分析方法主要有两种：解析法和数值法。
1. 解析法：通过解析方法可以得到系统的解析表达式，从而分析系统的时间响应特性。
常用的解析方法包括微分方程法、拉普拉斯变换法和傅里叶变换法等。
- 微分方程法：对于线性时不变系统，可以通过设立系统输入和输出之间的微分方程，然后求解微分方程来得到系统的时间响应。
- 拉普拉斯变换法：通过对系统进行拉普拉斯变换，将微分方程转化为代数方程，从而得到系统的传递函数，进而分析系统的时间响应。
- 傅里叶变换法：通过对系统输入和输出进行傅里叶变换，将时域信号转化为频域信号，从而分析系统的频率响应。
2. 数值法：当系统的解析表达式难以获得或无法求解时，可以通过数值方法进行时域分析。
常用的数值方法包括欧拉法、中点法和四阶龙格-库塔法等。
- 欧拉法：通过差分近似，将微分方程转化为差分方程，然后通过计算差分方程的递推关系来得到系统的时间响应。
- 中点法：在欧拉法的基础上，在每个时间步长内，通过计算两个相邻时间点上的导数平均值来改进估计值，从而提高精度。
- 四阶龙格-库塔法：在中点法的基础上，通过对导数进行多次计算和加权平均，从而进一步提高精度。
二、常用的时域参数时域分析除了对系统的时间响应进行分析外，还可以提取一些常用的时域参数来描述系统的性能和特性。
1. 零点：系统的零点是指系统传递函数中使得输出为零的输入值。
2. 极点：系统的极点是指系统传递函数中使得输出无穷大的输入值。
3. 零极点图：零极点图是用来描述系统传递函数中的零点和极点分布情况的图形。
4. 频率响应：频率响应是指系统对不同频率的输入信号的响应。
信号与系统分析第二章 连续时间系统的时域分析
第二章 连续时间系统的时域分析
2.1.1
对系统进行分析时, 首先要建立系统的数学模型。 对于电的系统, 只要利用理想的电路元件, 根据基尔霍 夫定律, 就可以列出一个或一组描述电路特征的线性 微分方程。 现举例来说明微分方程的建立方法。
第二章 连续时间系统的时域分析
例2.1 图2.1所示为RLC串联电路, 求电路中电流i(t) 与激励e(t)之间的关系。
第二章 连续时间系统的时域分析
(3)
y(t) C 1 e t C 2 e 6 t5 2c 0 1o 2 t)s 5 3 (s0i2 n t) (
D(p)y(t)=N(p)f(t)
y(t) N(p) f (t) D(P)
式(2.15)中的 N ( p ) 定义为转移算子, 用H(p)表示,
D (P)
(2.14) (2.15)
H (p ) N D ( (P p ) ) b a m n p p m n a b n m 1 1 p p n m 1 1 a b 1 1 p p a b 0 0 (2.16)
t0
解 (1) 齐次解。 由例2.4 yh (t)=C1e-t+C2e-6t
第二章 连续时间系统的时域分析
(2) 特解。 查表2.2, yp(t)=B1cos (2t)+B2sin(2t)
－14B1+2B2－6=0 2B1+14B2=0
于是,
B15201,
B2530
yp(t)5 20 c 1o2ts) (530 si2 nt)(
第二章 连续时间系统的时域分析
3. 用算子符号表示微分方程, 不仅书写简便, 而且在建 立系统的数学模型时也很方便。 把电路中的基本元件R、 L、 C的伏安关系用微分算子形式来表示, 可以得到相应 的算子模型, 如表2.1所示。
信号与系统第2章连续信号与系统的时域分析
信号f1(t)与f2(t)的卷积运算可通过以下几个步骤来完成： 第一步，画出f1(t)与f2(t)波形，将波形图中的t轴改换成τ轴， 分别得到f1(τ)和f2(τ)的波形。 第二步，将f2(τ)波形以纵轴为中心轴翻转180°，得到f2(-τ) 波形。
第三步，给定一个t值，将f2(-τ)波形沿τ轴平移|t|。在t<0时， 波形往左移；在t>0时，波形往右移。这样就得到了f2(t-τ)的波形。
d
n (t
d tn
)
,
第 2 章 连续信号与系统的时域分析
, (n)(t),, (2)(t), (1) (t), (t), (1)(t), (2) (t), (n) (t),
它是由δ(t)及其各次积分和各阶导数组成的。自左至右，每 一项都是前一项的导数，或者每一项都是后一项的积分。 这样 得到的函数族统称为奇异函数。
解 方法一 图解法。由于门函数是偶函数，故其波形绕纵 轴翻转180°后与原波形重叠，图中用虚线表示。注意，t=0时， 门函数左边沿位于x=-τ/2位置，右边沿位于x=τ/2位置，如图2.2 - 5(b)所示。在任一t时刻，移动门函数左边沿位于x=t-τ/2位置， 右边沿则位于x=t+τ/2位置，如图2.2 - 5(c)所示。按照图2.2- 5中 卷积过程的图解表示，可计算求得：
1
0 1234 (a)
f2(－ ) 1
o (b)
f2(t－ )
1
f1( )
t0 (c) t＜ 0
3
1
f1( )
f2(t－ )
0 t3 (d) 0 ＜t ＜ 3
y(t)
1
f1( ) f2(t－ )
y(3)
第二章连续时间系统的时域分析
第二章连续时间系统的时域分析第二章连续时间系统的时域分析§2.1 引言系统分析过程§2.2 系统微分方程的建立与求解§2.2 系统微分方程的建立与求解主要内容一．物理系统的模型二．微分方程的列写三．n阶线性时不变系统的描述四．求解系统微分方程的经典法经典法几种典型激励函数相应的特解例2-2-1 例2-2-3 例2-2-4 (2) §2.3 起始点的跳变电容电压的突变电感电流的突变冲激函数匹配法确定初始条件一．起始点的跳变说明 1．电容电压的突变例2-3-2 例2-3-3 (2) §2.4 零输入响应和零状态响应起始状态与激励源的等效转换系统响应划分对系统线性的进一步认识一．起始状态与激励源的等效转换电容器的等效电路电感的等效电路二．系统响应划分各种系统响应定义求解三．对系统线性的进一步认识§2.5 冲激响应和阶跃响应冲激响应阶跃响应 2．阶跃响应与冲激响应的关系求冲激响应的几种方法例2-5-1 一阶系统的冲激响应求解方法1：求§2.６卷积卷积利用卷积积分求系统的零状态响应卷积图解说明卷积积分的几点认识一．卷积（Convolution）二．利用卷积求系统的零状态响应三．卷积的计算卷积的图解说明四．对卷积积分的几点认识总结例2-6-2 浮动坐标 t ?-1 -1? t ?1 1? t ?2 2 ? t ? 4 t ? 4 卷积结果积分上下限和卷积结果区间的确定§2.7 卷积的性质代数性质微分积分性质与冲激函数或阶跃函数的卷积微积分性质的证明证明交换律时两波形有公共部分，积分开始不为0，积分下限-1，上限t ，t 为移动时间; 即1 ? t ? 2 即2 ? t ? 4 即t ? 4 t-3?1 [A,B] [C,D] [A+C,B+D] 一般规律：上限下限当或为非连续函数时，卷积需分段，积分限分段定。
上限取小，下限取大(1)积分上下限 (2)卷积结果区间 -1 + 1 在一定条件下，激励源与起始状态之间可以等效转换。
第2章连续系统的时域分析
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第二章 连续系统的时域分析 本章的主要内容
难点：
单位冲激响应的求解；
利用卷积积分的性质求系统的零状态响应。
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第二章 连续系统的时域分析 引言
系统分析的任务： 对给定的系统模型和输入信号，求系统的输出响应
连续时间信号输入
连续时间信号输出
LTI连续时间系统
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bi (i 0,1, 2, , m ) constant
an 1
9
第二章 连续系统的时域分析 2.1 LTI连续系统的响应
微分方程的经典解
微分方程的经典法解法
微分方程的全解即系统的完全响应, 由齐次解yh(t) 和特解yp(t)组成
y(t)yh(t)yp(t)
齐次解yh(t)的形式由齐次方程的特征根确定 特解yp(t)的形式由等号右边激励信号的形式确定
y(n)(t)an1y(n1)(t) a1y(1)(t)a0y(t) bmf(m)(t)bm1f(m1)(t) b1f(1)(t)b0f(t) （通常nm）
n
m
或缩写为： a j y ( j) (t ) bi f (i) (t )
j0
i0
a j ( j 0,1, 2, , n 1) constant
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第二章 连续系统的时域分析 2.1 LTI连续系统的响应
齐次方程的求解
特征根的求解
微分方程的经典解
齐次方程为
y ( n ) ( t ) a n 1 y ( n 1 ) ( t ) a 1 y ( 1 ) ( t ) a 0 y ( t ) = 0
《信号与系统》第二章 连续系统的时域分析
（2）当f(t) = e-2t，t≥0；y(0)= 1，y’(0)=0时的全解。
解：齐次解同上。由于f(t)=e–2t，其指数与特征根之 一相重。故其特解可设为yp(t) = (P1t + P0)e–2t 代入微分方程可得P1e-2t = e–2t 所以P1= 1 但P0不能求得。全解为
将其代入微分方程得
Pe – t + 5(– Pe – t) + 6Pe – t = 2e – t 解得P=1 于是特解为yp(t) = e – t
全解为：y(t) = yh(t) + yp(t) = C1e – 2t + C2e – 3t + e – t
其中待定常数C1,C2由初始条件确定。 y(0) = C1+C2+ 1 = 2，y’(0) = – 2C1 – 3C2 – 1= – 1 解得C1 = 3 ，C2 = – 2 最后得全解y(t) = 3e – 2t – 2e– 3t + e – t , t≥0
零输入响应
零状态响应
讨论
• 虽然自由响应和零输入响应都是齐次方程的解， 但两者的系数各不相同，czij仅由系统的初始 状态所决定，而cj由系统的初始状态和激励信 号共同来确定。
• 也就是说，自由响应包含零输入响应的全部和 零状态响应的一部分。
2.2 冲激响应和阶跃响应
一、冲激响应 由单位冲激函数δ(t)所引起的零状态响应称
对式(1)两端积分有
由于积分在无穷小区间[0-，0+]进行的，且y(t)在t=0 连续，故
于是由上式得 [y’(0+) – y’(0-)] + 3[y(0+) – y(0-)]=2
因为y(0+) = y(0-)=2 ，所以 y’(0+) – y’(0-) = 2 ， y’(0+) = y’(0-) + 2 =2 由上可见，当微分方程等号右端含有冲激函数（及其各阶导数） 时，响应y(t)及其各阶导数中，有些在t=0处将发生跃变。但如果 右端不含时，则不会跃变。
第二章 连续系统的时域分析法
第二章连续系统的时域分析法时域分析法不通过任何变换，直接求解系统的微分方程。
系统的分析计算全部在时间变量领域内进行。
这种方法直观，物理概念清楚，是学习各种变换域分析方法的基础。
本章将在用经典法求解微分方程的基础上，讨论零输入响应，特别是零状态响应的求解。
在引入系统的冲激响应之后，零状态响应等于冲激响应与激励的卷积积分，最后介绍卷积积分的性质。
主要内容§2.1 LTI连续系统的响应§2.2 冲激响应和阶跃响应§2.3 卷积积分§2.4 卷积积分的性质§2.1 LTI连续系统的响应一、微分方程的经典解二、关于0-和0+初始值三、零输入响应四、零状态响应五、全响应一、微分方程的经典解：一般而言，如果单输入—单输出系统的激励为f (t )，响应为y (t )，则描述LTI 连续系统激励与响应之间关系的数学模型是n 阶常系数线性微分方程，它可写为：∑∑==−−−−=++++=++++n i m j j j i i m m m m n n n t f b t y a t f b t f b t f b t f b t y a t y a t y a t y 00)()(0)1(1)1(1)(0)1(1)1(1)()()( )()()()( )()()()(L L 即：其中，均为常数，且),,1,0(),,,1,0( m j b n i a j i L L ==1=n a该方程的全解由齐次解和特解组成，即)(t y h )(t y p )()()(t y t y t y p h +=齐次解：齐次解是齐次微分方程0)()()()(0)1(1)1(1)(=++++−−t y a t y a t y a t y n n n L 的解，它是形式为的一些函数的线性组合。
λ为特征方程的根----特征根。
t Ce λ特征根：特征方程00111=++++−−a a a n n n λλλL ),,2,1(n i i L =λ的n 个根称为微分方程的特征根。
第2章连续系统的时域分析ppt课件
n
yh (t)
cit iejt
i 1
(2―12)
《 信号与线性系统》
第2章 连续系统的时域分析
(3)特征根有一对单复根。即λ1, 2=a±jb，则微分 方程的齐次解
yh(t)=c1eatcosbt+c2eatsinbt
(2―13)
(4)特征根有一对m重复根。即共有m重λ1,2=a±jb的 复根，则微分方程的齐次解
yh (t) c1 cos dt c2teat cos dt cmt e m1 at cos dt d1eat sin bt d2teat sin bt dmt e m1 at sin dt (2―14)
《 信号与线性系统》
第2章 连续系统的时域分析
例2―3 求微分方程y″(t)+3y′(t)+2 y(t)=f(t)的齐次解。
(2―10)
《 信号与线性系统》
第2章 连续系统的时域分析
(1)特征根均为单根。如果几个特征根都互不相同 (即无重根)，则微分方程的齐次解
n
yh (t) cieit
i 1
(2―11)
(2) 特征根有重根。若λ1是特征方程的γ重根，即
有λ1=λ2=λ3=…=λγ，而其余(n-γ)个根λγ+1，λγ+2，…，λn都 是单根，则微分方程的齐次解
n
n
n
y(t) cieit y p (t) cxieit c fieit y p (t) (2―20)
i 1
i 1
i 1
式中
n
n
n
cieit
cxieit
c fieit
i 1
i 1
i 1
(2―21)
连续系统的时域分析法
电容电压的突变
由伏安关系 iC (t ) C 1 t vc ( t ) ic ( ) d vC (t ) C 1 0 1 0 1 t ic ( ) d ic ( ) d ic ( ) d C C 0 C 0 1 0 1 t vc (0 ) ic ( ) d ic ( ) d C 0 C 0 当有冲激电流 1 0 令t 0 , v c (0 ) v c (0 ) i c ( ) d 0 或阶跃电压作 C 0 用于电容时： 如果i c (t )为有限值 0 vC ( 0 ) vC ( 0 ) ic ( ) d 0 , 此时v (0 ) v (0 ) 0 c c 如果i c ( t )为 t 1 0 1 1 此时 0 ic ( ) d C ， vc (0 ) vc (0 ) C C
yh (t ) C1e
2 t
C2e
3 t
求特解： f t 2e , t 0 y'' ( t ) y' ( t ) y( t ) f ( t )
t
查表2-2设 y p (t ) Pe
t t
t
，代入原方程，得
t t
Pe 5( Pe ) 6Pe 2e
an 1
该方程的全解由齐次解 yh (t ) 和特解 即 y(t ) yh (t ) y p (t ) 1.齐次解：齐次解是齐次微分方程
y p (t ) 组成，
y( n) (t ) an1 y( n1) (t ) a1 y(1) (t ) a0 y(t ) 0 的解，
为使方程两边平衡ht应含有冲激及其高阶导数即将ht代入微分方程使方程两边平衡确定系数a冲激平衡法求系统的单位冲激响应冲激平衡法求系统的单位冲激响应由动态方程右边t的最高阶导数与方程左边ht的最高阶导数确定1由系统的特征根来确定前的指数形式
信号与系统--连续时间信号和系统的时域分析课件
得：
LC 2
d
2r( t dt 2
)
L R
dr( t dt
)
r(
t
)
e(
t
)
二阶常系数线性微分方程
温州大学瓯江学院
信号与系统
三、 用算子符号表示微分方程
1、定义：算子作用于某一时间函数时，此时间函数将进行 算子所表示的特定运算。
•微分算子（Differential operator）：
p d ; dt
p dt
3. 1 Px p
t
[
dx dt
]t
d
x( t ) x( )
若x( ) 0, 则 1 Px＝x p
4.Px Py , 其中P不能消去 dx ＝ dy 两边积分得 x y C
dt dt
温州大学瓯江学院
信号与系统
引入算子后，可以简化系统模型的表示，如：
列方程的基本方法： 节点分析法和网孔电流法。
温州大学瓯江学院
信号与系统
例1：已知电路，求输出电容电压。 一阶系统：
电源：
us (t)
电容电压： uc (t)
VCR
Ri 电阻电压：
RC duc (t) dt
KVL
RC
duc (t) dt
uc
(t)
us
(t)
一阶常系数线性微分方程
温州大学瓯江学院
(
p2
5
p
3 2
)i2
(t)
0.5
pf
(t)
d2 dt 2
i2
(t
)
连续系统的时域分析
(Cr-1 tr-1+ Cr-2 tr-2+… C1 t1+C0) et e t[Ccos(t)+Dsin(t)]或Acos(t-) 其中A e j =C+jD [Ar-1tr-1 cos(t+r-1)+ Ar-2tr-2 cos(t+r-2)+…+ A0cos(t+0)] e t
2
+ 5λ + 6 = 0 其特征根
λ 1 = – 2 ，λ 2 = – 3 。 齐次解为yh(t) = C1e – 2t + C2e – 3t 因为f(t) = 2e – t，故其特解可设为 yp(t) = Pe – t 将其代入微分方程得 Pe – t + 5(– Pe – t) + 6Pe – t = 2e – t 解得P=1 于是特解为yp(t) = e – t
2.1 LTI连续系统的响应
• 一、微分方程的经典解 • 二、关于0-和0+值 • 三、零输入响应 • 四、零状态响应 • 五、全响应
一、微分方程的经典解
y(n)(t) + an-1y (n-1)(t) + …+ a1y(1)(t) + a0y (t) = bmf(m)(t) + bm-1f (m-1)(t) + …+ b1f(1)(t) + b0f (t)
P1 cos t P2 sin t 特征根≠±jβ
特解举例
例：给定微分方程式
d 2 y t dt2 2 d y t d f t 3 y t f t dt dt
如果已知： 1 f t t 2 ; 2 f t et , 分别求两种情况下此 方程的特解。 解: (1)由于f(t)=t2，故特解函数式为
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而y(j)(0+)包含了输入信号的作用，不便于描述系 统的历史信息。
10
在t=0-时，激励尚未接入，该时刻的值y(j)(0-)反映了系 统的历史情况而与激励无关。称这些值为初始状态。
第二章 连续系统的时域分析
§2.1 LTI连续系统的响应
LTI连续系统的时域分析，归结为： 建立并求解线性微分方程
由于在其分析过程中涉及的函数变量均为时 间t，故称为时域分析法。这种方法比较直观， 物理概念清楚，是学习各种变换域分析法的基 础。
微分方程的经典解
关于0-和0+值 零输入响应和零状态响应
12
aδ"(t)+bδ'(t)+cδ(t)+r1(t) + 3aδ'(t)+3bδ(t)+3r2(t) + 2aδ(t)+2r3(t)= 2δ"(t) + δ'(t)
7
•固有响应与强迫响应
固有（natural）响应
微分方程齐次解所对应的响应 yh (t) ，由系统
的固有特性决定 强迫（forced）响应
微分方程特解所对应的响应 yp (t) ，由系统外加激励 确定
例2-1-1:
8
•瞬态响应与稳态响应
•瞬态（transient）响应 yT (t) 由输入或系统初始状态激励，但随时间增长将趋
1
一、微分方程的经典解
y(n)(t) + an-1y (n-1)(t) + ···+ a1y(1)(t) + a0y (t) = bmf(m)(t) + bm-1f (m-1)(t) +···+ b1f(1)(t) + b0f (t)
微分方程的经典解：完全解 = 齐次解 + 特解。
2
1. 齐次解
通常，需要从已知的初始状态y(j)(0-)设法求得y(j)(0+)。 ➢当微分方程右端含有冲激函数时，响应y(t)及其各阶导 数中，有些在t=0处将发生跃变。否则不会跃变。
11
例1：描述某系统的微分方程为 y"(t) + 3y'(t) + 2y(t) = 2f '(t) + f(t)
已知y(0-)=2，y'(0-)= 0，f(t)=δ'(t)，求y(0+)和y'(0+)。
解: (1) 特征方程为λ2 + 5λ+ 6 = 0 其特征根λ1= – 2，λ2= – 3。齐次解为 yh(t) = C1e – 2t + C2e – 3t 当f(t) = 2e –t时，其特解可设为 yp(t) = Pe – t 将其代入微分方程得
Pe – t + 5(– Pe – t) + 6Pe – t = 2e – t 解得 P=1 于是特解为 yp(t) = e – t
于0的响应，如指数衰减振荡，衰减指数响应 •稳态（steady-state）响应 yS (t)
随时间增长趋于稳定不再变化的响应，通常在激 励为阶跃信号或有始的无限长信号时存在
全响应： y(t) yT (t) yS (t) 教材例2-1-2:
9
二、关于0-和0+值
•一般设系统输入f（t）是在t = 0时接入的，则方程的解也 适用于t≥0。
t r (Pmt m Pm1t m1 P1t P0 )(有r重为0的特征根）
Pe t (不等于特征根）
e t
（P1t P0 )e t (等于特征单根）
（Prt r Pr1t r1 P0 )e t (等于r重特征根）
cos t或 sin t P1 cos t P2 sin t(特征根不等于 j )
全解为： y(t) = yh(t) + yp(t) = C1e – 2t + C2e – 3t + e – t
其中 待定常数C1,C2由初始条件确定。
y(0) = C1+C2+ 1 = 2，y'(0) = – 2C1 – 3C2 – 1= – 1
解得 C1 = 3 ，C2 = – 2 最后得全解 y(t) = 3e – 2t – 2e – 3t + e – t , t≥0
a1 y(t) a0 y(t) 0
特征根λ 单实根 r重实根
一对共轭复根
j
r重共轭复根
j
齐次解 yh (t)
Ce t
Cr1t r1e t Cr2t r2e t C1t1e t C0e t
e t[C cos(t) D sin(t)]或Ae t cos(t ),
其中待定系数满足关系式Ae j C jD
由特征方程→求出特征根→写出齐次解形式
n
yh (t) Ci eit i 1
注意重根情况处理方法。
2. 特 解：
根据微分方程右端函数式形式，设含待定系数的特
解函数式→代入原方程，比较系数定出特解。
3.全 解：
齐次解+特解，由初始条件定出待定系数。
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•齐次解
y(n) (t) an1 y(n1) (t)
解：将输入f(t)= δ'(t)代入上述微分方程得 y"(t) + 3y'(t) + 2y(t) = 2δ"(t) + δ'(t) （1）
利用系数匹配法分析： 令y"(t)=aδ"(t)+b δ'(t)+cδ(t)+r1(t)， r1(t)中不含冲激
y'(t)= aδ'(t)+bδ(t)+ r2(t)， r2(t)=cε(t)+ r1(-1)(t) y(t)= aδ(t)+ r3(t)， r3(t)=bε(t)+ r2(-1)(t) 将上述关系代入式（1），并整理得
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3. 全解
完全解 = 齐次解 + 特解 由初始值定出齐次解中的待定常数Ci。
• 齐次解的函数形式仅与系统本身的特性有关，而 与激励f(t)的函数形式无关，称为系统的固有响应或 自由响应； • 特解的函数形式由激励确定，称为强迫响应。
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例2.1-1: 描述某系统的微分方程为
y"(t) + 5y'(t) + 6y(t) = f(t) 求当f(t) = 2e-t，t≥0；y(0)=2，y'(0)= -1时的全解；
Ar1t r1e t cos(t r1) Ar2t r2e t cos(t r2 ) A0e t cos(t 0 )
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特解
根据微分方程右端函数式形式，设含待定系数的特 解函数式→代入原方程，比较系数定出特解。
激励Байду номын сангаас(t)
F (常数)
响应y(t)的特解yp(t) P(常数)
tm
Pmt m Pm1t m1 P1t P0 (特征根均不为0）