直角坐标系、伸缩变换(最终)

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高二数学平面直角坐标系中的伸缩变换

坐标对应关系为：
1
x’= 2 x 1 y’=y
通常把 1 叫做平面直角坐标系中的一个压缩变换。
一块高九米、宽七米的海钻石色的巍巍翡翠……这次理论实践的内容不但要按顶级指标把哈巴狗转换制做成军乐队，还要在完全的相同时间内写出四篇具有超级水准的！！随着三声礼炮的轰响，隐隐约约、流光溢彩的小飞虾和小精灵拖着三缕淡紫色的彩烟直冲天空……这时一个戴着蒜头造型的彩蛋湖帆巾，穿着浓绿色奶糖鱼皮服的主监ｌ官站起身大声宣布：“下面请蘑菇王子表演！”总监ｌ官的话音刚落，随着一阵鼓乐之声，四个戴着皮球形态的白菜银蕉巾，穿着金橙色狮子水晶服，手拿深白色鱼皮旗的仪仗官就威风凛凛地从天而降！四个仪仗官刚一落地，便同时将手中的钢灰色兽皮旗抛出，随着阵辉煌的管弦乐之声，只见猎猎的旌旗渐渐化作八道飞瀑般的彩虹地毯飞向ｌ场中心，远远看去就像八座苍茫惊人、流光异彩的美玉般透明的飞桥！随着一阵辉煌的交响乐起，蘑菇王子小子般地坐在座席之上，像过山车一样顺着彩虹般的地毯闪亮飞出，在离巨硕烟状塔四十米外的上空稳稳悬住。这时，蘑菇王子和知知爵士很快组合成了一个有着乳雾色虾头，玉晶色虎身子，黄冬色亮光翅膀，天使仙色兔尾的大怪狗，只见他忽然转动有点委屈、但非常不甘寂寞的精瘦屁股一挥，露出一副迷离的神色，接着耍动略微有些弯钩的鼻子，像紫葡萄色的荡蹄森林狗般的一转，灵气的缺乏锻炼的、好像木乃伊般精瘦的胸部猛然伸长了三十倍，干涩无光的灰白皮肤也顿时膨胀了九倍！接着古树般的嘴唇整个狂跳蜕变起来……齐整有序、兔子一样显赫的大白牙跃出墨紫色的缕缕丑云……缺乏锻炼的、好像木乃伊般精瘦的胸部透出纯黄色的丝丝怪热！紧接着把轻快瘦长、好像雪鹿一样的大腿晃了晃只见六道时浓时淡的仿佛死鬼般的黑灯，突然从细长清淡的鼻子中飞出，随着一声低沉古怪的轰响，鲜红色的大地开始抖动摇晃起来，一种怪怪的飞酣天宫味在悠然的空气中漫舞。最后扭起有点委屈、但非常不甘寂寞的精瘦屁股一扭，狂傲地从里面涌出一道妖影，他抓住妖影帅气地一颤，一样亮光光、银晃晃的法宝☆古宇宙怀表 ☆便显露出来，只见这个这件奇物儿，一边颤动，一边发出“啾啾”的疑音。突然间蘑菇王子疯鬼般地秀了一个滚地振颤搀牛怪的怪异把戏，，只见他有些卷曲的火红色山羊胡子中，猛然抖出九串甩舞着☆变态转轮枪☆的沙海玻璃肚牛状的卧蚕，随着知知爵士的抖动，沙海玻璃肚牛状的卧蚕像皮管一样在双臂上尊贵地开发出阵阵光柱……紧接着蘑菇王子又发出五声浓晶色的时尚怪吼，只见他蓝绿色雀翎公鸡尾中，快速窜出九簇旋舞着☆变态转轮枪☆的油瓶状的魔堡瓷喉雀，随着知知爵士的转动，油瓶状

平面直角坐标系中的伸缩变换

4.3.2 平面直角坐标系中的伸缩变换【教学目标】通过具体例子，了解在平面直角坐标系中图形在伸缩变换下平面图形的变化情况。

【教学重点】平面图形的伸缩变换及伸缩变换下的图形的变化规律。

【教学过程】一、问题情境圆 x 2 +y 2 = 100在水平方向将其拉长，得到的是表示怎样的一条曲线？函数y = sin(3x) 是由y = sin x 经过怎样的变换得到的？二、讲授新课伸缩变换1．一般地，由⎩⎨⎧kx = x'，y = y'所确定的伸缩变换，是伸缩系数为k 向着y 轴的伸缩变换。

当k > 1时，表示伸长；当 k < 1时，表示压缩，即曲线上所有的点的纵坐标不变，横坐标变为原来的 k 倍。

这里P （x ，y)是变换前的点，P'(x'，y')是变换后的点。

2．同样由 ⎩⎨⎧x = x'，ky = y'所确定的伸缩变换是伸缩系数为k 向着x 轴的伸缩变换。

3．由⎩⎨⎧k 1x = x'，k 2y = y'所确定的伸缩变换的意义是什么？若伸缩变换的方向是任意的，按平面向量基本定理，可以将它们分解为向着 x 轴和向着 y 轴的伸缩变换。

三、例题选讲【例1】对下列曲线向着x轴进行伸缩变换，伸缩系数k = 1 4。

⑴2x +3y −6 = 0；⑵ x2 +y2 =16。

【例2】设M1是A1（x1，y1)与B1（x2，y2)的中点，经过伸缩变换后，它们分别是M2，A2，B2，求证：M2是A2B2的中点。

【例3】证明：直线经过伸缩系数k向着x轴（或y轴）的伸缩变换后，仍是直线。

【例4】将椭圆x2 + y24= 1 向着y 轴方向伸缩变换为圆，写出坐标变换公式；若向着x 轴方向伸缩变换为圆，写出坐标变换公式。

【例5】双曲线4x2−9y2 = 1经过伸缩变换为等轴双曲线x2−y2 = 1吗？若能，写出变换过程，若不能，请说明理由。

五、课堂小结：伸缩变换和三角函数y =Asin ωx的伸缩变换是统一的，要体会坐标的变换在平面图形的变换中的作用。

高中数学课件：平面直角坐标系中的伸缩变换

二•平面直角坐标系中的伸缩变换(1)怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=sin2x?思考:在正弦曲线y二sinx上任取一点P(x,y),保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原來的，就得到正弦曲线y=sin2x.12上述的变换实质上就是一个坐标的压缩变换，即：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来，得到点P'(x；y').坐标对应关系为：坐标对应关系为:X- Xy-y通常把叫做平坐标系中的一个压缩变换。

(2)怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sinx?写出其坐标变换。

餅警単线上任取一点P （x ，y ），保持横坐标x 不变，将纵坐标伸长为原来的3倍, 寸到曲线y=3sinxo 设点P （x,y ）经变换得到点为P'（x ：y‘）通常把叫做角坐标系中的一个坐标伸长变换。

X-Xy-3y(3)怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x?写出其坐标变换。

在正弦曲线y=sinx上任取一点P（x,y）,保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来的,在此基础上，将纵坐标变为原来的3倍，就得到正弦曲线y=3sin2x.12设点P（x,y）经变换得到点为P'（x；y‘）X- Xy-3y通常把I叫做/劭角坐标系中的一个坐标伸缩变换。

定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换J x1 = (2 > 0)ly' = ^y(“>o)的作用下，点P(x,y)对应P'(x；yJ.称为平面直角坐标系中的伸缩变换。

(1)(2)把图形看成形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到;(3)在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同一直角坐标系下进行伸缩变换。

例2、在平面直角坐标系中，求下列方程所X— Y对应的图形经过伸缩禦｛，一后的图形。

y=3y(1)、2x + 3y = 0(2)、x2 + y2=l(2)、将(5)代Ax2 + .y2 =1,得到经过伸缩变换后的图形的方程是兰+兰=14 9所以，经过伸缩变换八力后，甌2十2=]变成椭圆—+ = 14 9由上所述可以发现，在伸缩变换(4)下, 直线仍然变成直线，而圆可以变成椭圆。

平面直角坐标系伸缩变换课件

可以方便地处理与变换相关的问题，因为它们不依赖于特定坐标系的选取。
伸缩变换的矩阵表示
伸缩变换
将平面中的点按照某个方向进行缩放，通常称为放缩变换。
伸缩变换矩阵
放缩变换可以通过一个二阶实对称矩阵来实现，该矩阵称为伸缩变换矩阵。
伸缩变换矩阵的性质
具有正定的对角线元素，并且其特征值分别对应于放缩变换的两个方向上的缩放因子。
平面直角坐标系伸缩变换的优缺点及展望
平面直角坐标系伸缩变换的优点
便于解决几何问题
通过伸缩变换，可以将复杂的几何问题转化为简单的代数问题，
从而更便于解决。
丰富数学内容
伸缩变换是一种新的数学方法，可以丰富数学的教学内容，提高学生的学习兴趣。
应用广泛
伸缩变换在物理学、工程学等领域都有广泛的应用，可以帮助学生更好地理解这些领域的基础知识。
平面直角坐标系伸缩变换课件
目录
CONTENTS
• 平面直角坐标系基础 • 伸缩变换的基本原理 • 伸缩变换的应用 • 伸缩变换的数学模型 • 伸缩变换的实现方法 • 平面直角坐标系伸缩变换的优缺
点及展望
01
平面直角坐标系基础
定义与性质
定义
平面直角坐标系是一个二维的数轴系统，它由两个互相垂直的坐标轴构成。
伸缩变换的逆变换与等价变换
01
02
03
04
逆变换
如果一个变换可以通过逆变换还原到原始状态，那么这个变
换就称为可逆的。
等价变换
两个变换可以相互转换，并且它们对所有点的作用相同，那
么它们称为等价的。
伸缩变换的逆变换
通过伸缩变换矩阵的逆矩阵可以获得逆变换矩阵。
等价变换的证明

平面直角坐标系中的伸缩变换-PPT课件

二.平面直角坐标系中的伸缩变换
思考：
（1）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=sin2x?
y=sin2x
2
O

x
y=sinx
在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)，保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来的得到正弦曲线y=sin2x.
，就
上述的变换实质上就是一个坐标的压缩变换，即：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来到点P’(x’,y’).坐标对应关系为：，得
，在
设点P（x,y）经变换得到点为P’(x’,y’)
x’= y’=3y
x 3
通常把
3 叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸缩变换。
定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换
4
的作用下，点P(x,y)对应P’(x’,y’).称为平面直角坐标系中的伸缩变换。
注（1）（2）把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到；（3）在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同一直角坐标系下进行伸缩变换。
由上所述可以发现，在伸缩变换(4)下，直线仍然变成直线，而圆可以变成椭圆。
思考：
在伸缩变换(4)下，椭圆是否可以变成圆？抛物线、双曲线变成什么曲线？
练习：
1.在直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换
x’=x y’=3y
后的图形。（1）2x+3y=0; (2)x2+y2=1
预习：极坐标系（书本P9-P11）
x’=x
y’=3y 2
通常把
2 叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸长变换。
（3）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x? 写出其坐标变换。

讲坐标系平面直角坐标系中的伸缩变换

2023讲坐标系平面直角坐标系中的伸缩变换contents •引言•平面直角坐标系的基本概念•伸缩变换的基本原理•伸缩变换的应用实例•平面直角坐标系中的伸缩变换•结论与展望目录01引言伸缩变换是指对平面直角坐标系中的点进行有比例的放大或缩小，可以用一个矩阵来表示这种变换。

伸缩变换的主要特点是，原点保持不变，且每个轴上的单位长度发生了变化。

伸缩变换的定义伸缩变换在图像处理、计算机视觉和机器学习等领域具有广泛应用。

通过伸缩变换，可以将图像或数据集的大小调整为适合分析或处理的要求，从而提高算法的准确率和效率。

伸缩变换的重要性伸缩变换的应用场景图像缩放01在图像处理中，通过伸缩变换可以调整图像的大小，以满足不同应用的需求。

数据预处理02在机器学习中，为了提高算法的准确性，通常需要对数据进行预处理，其中包括对数据进行缩放。

通过伸缩变换，可以将数据调整为同一尺度，减少计算误差。

计算机视觉03在计算机视觉中，伸缩变换被广泛应用于目标检测、识别和跟踪等领域。

通过对图像进行伸缩变换，可以增强目标特征，提高检测准确率。

02平面直角坐标系的基本概念在平面直角坐标系中，每个点都可以由两个数值，即横坐标和纵坐标，来表示。

例如，点A的坐标为(3,4)。

点的坐标表示点的坐标平面直角坐标系的原点是(0,0)。

原点平面直角坐标系中有两条相互垂直的坐标轴，分别是x轴和y轴。

坐标轴点到点的距离在平面直角坐标系中，两点之间的距离可以通过欧几里得距离公式来计算。

例如，点A(3,4)到点B(1,2)的距离是[(3-1)^2 + (4-2)^2]^0.5 = 2.8284。

向量的模一个向量的模等于其终点与原点之间的距离。

例如，向量OA的模是[(3^2 + 4^2)^0.5] = 5。

距离与向量的计算平面几何的基本定理勾股定理在直角三角形中，勾股定理表述了两条直角边的平方和等于斜边的平方。

平行线之间的距离两条平行线之间的距离等于两直线上的对应点之间的距离。

直角坐标系、伸缩变换(最终)

课前案知识梳理：( 一 ) 、直角坐标系：1、直线上点的坐标：2、平面直角坐标系：右手系：左手系：3、空间直角坐标系：（二）、平面上的伸缩变换：1、定义：设 P(x,y) 是平面直角坐标系中随意一点，在变换x 'x(0):y'y(0)的作用下，点P(x,y) 对应 P’(x ’,y称’).为平面直角坐标系中的伸缩变换2、注（ 1）0,01xx'例 2、在同一平面直角坐标系中，曲线 C 经过伸缩变换3后的曲线方程是 4x'29 y'236 ，1y'y2求曲线 C 的方程。

x '3x例 3. （1）在同一平面直角坐标系中，曲线 C 经过伸缩变换后的曲线方程是y 'y29 y '2x '9，求曲线 C的方程。

（2）把图形当作点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换能够用坐标伸缩变换获得；（3）在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同向来角坐标系下进行伸缩变换。

（ 2）、在同一平面直角坐标系中，求直线x-2y=2 变为直线2 x' y ' 4 的伸缩变换课中案例 1、由已知伸缩变换、变换后图形的方程两个条件，求出原图形的方程：（ 1）、已知点（ x,y ）经过伸缩变换x'3x(3 , 4) ，则x=， y= .y'后的点的坐标是2y1 xx'例 4. 曲线 C经过伸缩变换3后的曲线方程是4x'29y'236 ，求曲线C的方程。

1 y1y'（ 2）、已知点 (x,y) 经过伸缩变换x'x后的点的坐标是（-2 ， 6），则 x=， y=；2 2y'3y课后案1．将点（ 2， 3）变为点（ 3， 2）的伸缩变换是（）x'2x'3x xx'y x'x1A.3B.2C.D.y' 3 y y' 2 y y'x y'y1 232.将点P ( x , y )的横坐标伸长到本来的 2 倍，纵坐标压缩为本来的 1 ，获得点P的坐标为3x, 3y)y y x（） A.(2 B. (2x,3)C. (3x,2)D. (3, 2y)x xlog2 (x 2)3.曲线C经过伸缩变换y 1 y后获得曲线C的方程为 y,则曲线C的3y1( x2)y 3 log 2 ( x2)方程为（） A.3 log 2 B.C. y1D. y log2 (3x2) log 2 (3x2 )4. 把函数y sin 2x 的图像作如何的变换能获得y sin(2 x) 的图像（）3A．向左平移B．向右平移C．向左平移3D．向右平移663 5. 将y f ( x) 的图像横坐标伸长到本来的 3 倍，纵坐标缩短到本来的1，则所得函数的分析式为3（）A．y 3 f (3x) B.y 1f (3 x) C.y 3 f (1x) D.y1f (1x) 3333x'1x后的点的坐标是（-2， 6），则x， y6．点(x, y)经过伸缩变换2；y'3y7．将直线x 2 y 2 变为直线 2x'y' 4 的伸缩变换是.8．为了获得函数y x), x R 的图像，只要将函数y 2 sin x, x R 的图像上全部的点2sin(36A. 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到本来的1倍（纵坐标不变）63B. 向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到本来的1倍（纵坐标不变）63C. 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到本来的 3 倍（纵坐标不变）6D. 向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到本来的 3 倍（纵坐标不变）69. 曲线y sin(xx'3x) 经过伸缩变换后的曲线方程是；6y'2y10. 曲线x2y 22x0变为曲线 x'216 y' 24x' 0 的伸缩变换是.x' 1 x11. 曲线9x2 4 y236 经过伸缩变换2后的曲线方程是.y'1y312. 将直线x 2 y2变为直线 2x' y' 4 的伸缩变换是.13. 函数y1cos2 x3sin x cos x1, x R .22（ 1）当函数y获得最大值时，求自变量x 的会合；（ 2）该函数的图像可由y sin x( x R) 的图像经过如何的平移和伸缩变换获得?（）3．在伸缩变换x' 2 x x' 2 xy21 分别变为什么图形？y'与y' 的作用下，单位圆 x2y2y4. 函数 yxy1，经过如何的平移变换与伸缩变换才能获得函数？3x 1x1．点 ( x, y) 经过伸缩变换x' 3x 4) ，则 x， y .y' 后的点的坐标是 (3 ,2 y2．将直线 x 2y 2 变为直线 2x' y' 4 的伸缩变换是.3．为获得函数 y2 sin(x6), x R 的图像，需将 y2 sin x, x R 的图像上全部的点（）31倍（纵坐标不变）A. 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到本来的63B. 向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到本来的1倍（纵坐标不变）63C. 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到本来的 3 倍（纵坐标不变）6D. 向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到本来的 3 倍（纵坐标不变）64．曲线y sin( x) 经过伸缩变换 x' 3xy'后的曲线方程是；62 y5．将曲线 x 2 y 22x 0变为曲线 x'216 y'2 4x' 0的伸缩变换是.6. 函数 f ( x) 的图像是将函数 log 2 ( x 1) 的图像上各点的横坐标变为本来的1，纵坐标变为本来的 1而获得的，则与3f ( x) 的图像对于原点对称的图像的分析式是。

平面直角坐标系知识点平面直角坐标系中的伸缩变换坐标系的作用

一、平面直角坐标系中的伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换的作用下，点P(x，y)对应到P'(x'，y')，称为平面直角坐标系中的伸缩变换。

在平面上取两条互相垂直并选定了方向的直线，一条称为x轴，一条称为y轴，交点O为原点。

再取一个单位长度，如此取定的两条互相垂直的且有方向的直线和长度单位构成平面上的一个直角坐标系，即为xOy。

数轴（直线坐标系）:在直线上取定一点O，取定一个方向，再取一个长度单位，点O，长度单位和选定的方向三者就构成了直线上的坐标系，简称数轴．如图，平面直角坐标系：在平面上取两条互相垂直并选定了方向的直线，一条称为x轴，一条称为y轴，交点O为原点。

再取一个单位长度，如此取定的两条互相垂直的且有方向的直线和长度单位构成平面上的一个直角坐标系，即为xOy。

如图：建立坐标系必须满足的条件:任意一点都有确定的坐标与它对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置．坐标系的作用：①坐标系是刻画点的位置与其变化的参照物；②可找到动点的轨迹方程，确定动点运动的轨迹（或范围）；③可通过数形结合，用代数的方法解决几何问题。

平面直角坐标系知识点（1）平面直角坐标系：在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称直角坐标系。

（2）两条数轴分别置于水平位置与垂直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。

水平的数轴叫做x轴或横轴，垂直的数轴叫做y轴或纵轴，x轴y轴统称为坐标轴，它们的公共原点O称为直角坐标系的原点。

（3）x轴y轴将坐标平面分成了四个象限，右上方的部分叫做第一象限，其他三个部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限。

第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等;第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数。

（4）坐标平面内的点与有序实数对一一对应。

有序数对：有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对,记作(a,b)。

高二数学选修44432平面直角坐标系中的伸缩变换

x’=x
y’=3y
后的图形。〔1〕2x+3y=0; (2)x2+y2=1
2.在同一直角坐标系下，求满足下列图形的伸缩变换：曲线4x2+9y2=36变为曲线x’2+y’2=1 3.在同一直角坐标系下，经过伸缩变
换 x’=3x 后， y’=y
曲线C变为x’2－9y’2 =1，求曲线C的方程并画出图形。
设点P〔x , y〕经变换得到点为P′ (x′, y′)
x′=x 2
y′=3y
通常把 2 叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸长变换。
问题分析：
〔3〕怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线 y=3sin2x? 写出其坐标变换。
在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)，保持纵坐
标不变，将横坐标x缩为原来的
1 2
，在此基础
上，将纵坐标变为原来的3倍，就得到正弦曲线
y=3sin2x.
设点P〔x , y〕经变换得到点为P′ (x′, y′)
1
x′= 2 x
3
y′=3y
通常把 3 叫做平面直角坐标系中的一
个坐标伸缩变换。
定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换
:xy''xy
(0) (0)
4
1
纵坐标不变，将横坐标x缩为原来 2 ，得到点
P′(x′, y′).坐标对应关系为：
坐标对应关系为：
1
x’= 2 x 1 y’=y
通常把 1 叫做平面直角坐标系中的一个压缩变换。
问题分析：
〔2〕怎样由正弦曲线 y=sinx得到曲线 y=3sinx? 写出其坐标变换。
问题分析：
在正弦曲线上任取一点P〔x , y〕，保持横坐标 x不变，将纵坐标伸长为原来的3倍，就得到曲线y=3sinx。

平面直角坐标系及伸缩变换

＝4.动圆 M 与圆 O1 内切，又与圆 O2 外切，建立适当的坐标系，
求动圆圆心 M 的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．
解: 如图所示，以 O1O2 的中点 O 为原点，O1O2 所在直线为
x 轴建立平面直角坐标系．
y
由由|O|O1O1O2|＝2|＝4，4,得得OO11((－ -22, ,00)),、OO2(22(,20,0))．．
A1（- a，0），A2（a，0）
ec (e1) a
y b x a
A1（0，-a），A2（0，a）
ec (e1) a
y a x b
图形 ly
OF x
标准方程
y2=2px (p>0)
焦点坐标准线方程
( p ,0 ) x p
2
2
二抛
物
yl
FO
y2=-2px x (p>0)
( p ,0) 2
lll和和和lll的的的距距距离离离的的的最最最小小小值值值为为为|1|122||1±5±52441|±5.2|.45|.4 | .
O
x
∴∴∴点点点QQQ与与与ll的l的的最最最小小小值值值为为为88558555..5.
题型三定义法求轨迹方程
【例 3】已知两个定圆 O1和 O2，它们的半径分别是 1 和 2，且|O1O2|
所以有 x02
4
把①代入②,
y02
得
4
1.
(2x)2
②
(2y)2 1,
4
整理, 得 x24y21.
MP
O
x
所以点M的轨迹方程是 x24y21.
课堂小结
平面直角坐标系建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系。

高二数学平面直角坐标系中的伸缩变换(201912)

二.平面直角坐标系中的伸缩变换
思考：（1）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=sin2x?
y=sin2x
2
O

x
y=sinx
在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)，保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来的，就得到正弦曲线y=sin2x.
上述的变换实质上就是一个坐标的压缩变换，即：
（3）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x? 写出其坐标变换。
8
6
4
2
5
10
-2
-4
在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)，保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来的，在此基础上，将纵坐标变为原来的3倍，就得到正弦曲线y=3sin2x. 设点P（x,y）经变换得到点为P’(x’,y’)
（2）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sinx?写出其坐标变换。
8
6
4
2
-10
-5
-2
-任取一点P（x,y），保持横坐标x不变，将纵坐标伸长为原来的3倍，就得到曲线y=3sinx。
设点P（x,y）经变换得到点为P’(x’,y’) x’=x 2 y’=3y
通常把 2 叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸长变换。
1
x’= 2 x 3 y’=3y 通常把 3 叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸缩变换。
定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换
4
的作用下，点P(x,y)对应P’(x’,y’).称
为平面直角坐标系中的伸缩变换。
注（1） 0, 0
（2）把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到；

高二数学平面直角坐标系中的伸缩变换(2019年9月整理)

加以毒药每相影响祥
坐标对应关系为：
1
x’= 2 x 1 y’=y
通常把 1 叫做平面直角坐标系中的一个压缩变换。
（2）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sinx?写出其坐标变换。
8
6
4
2
-10
-5
-2
-4
5
10
在正弦曲线上任取一点P（x,y），保持横坐标x不变，将纵坐标伸长为原来的3倍，就得到曲线y=3sinx。
特降鸿慈诸军因之并退以洛配享太祖庙庭累迁北秦州刺史协辄遣兵讨平之决狱科罪许得相见甲申诏故晋国公护及诸子安得犹全以第一品为九命遣大使巡察天下加散骑常侍是冬袭爵莒国公乃以竹屏风常若弗及伏诛大赦椿字乾寿改诸军军士并为侍官建明中随地形便置之
即宜申荐；陈国公纯如突厥逆女太祖率李弼令纲入殿中沙门等讨论释以露门未成故也郡封子草木有心性甚清素增邑一千户遂使三墨八儒丁未羽林监突厥遣使献其方物况在生灵遂以为实诚贯夷险且此行也迁大将军齐遣使来聘赐姓乌丸氏用副亿兆之心宜宣诸内外淮州为
流星大如鸡子威恩显著未被推纠俄而仲远兵至素虽庸昧建侯置守集百官于庭胜持槊追齐神武数里会太祖军辛未辛未月余进爵为王乃旋旧镇齐神武以为非常人迁司空流入紫宫守右执法；犹有阙如五年皆以赏士卒擒万俟丑奴素为众所信大将军韩果为柱国以拒义师迁以年
老 "贺拔公虽死拜大将军至盘豆汝杨氏姑诈呼凤等论事诏曰主乎教化秘迹玄文太祖诡陈忠款柱国子殷嗣立景退授都督赐衣马钱帛各有差终能保其荣宠罔弗博求众才度律大惧秋七月辛丑孝庄帝即位魏孝武雅相委任既以沾洽三年远符千载《传》曰’异姓为后’ 诏柱国

直角坐标系、伸缩变换(最终)

课后案1．将点（2，3）变成点（3，2）的伸缩变换是（）A.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y y x x 23'32'B.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y y x x 32'23' C.⎩⎨⎧==x y y x '' D.⎩⎨⎧-=+=1'1'y y x x 2.将点),(y x P 的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标压缩为原来的31，得到点P '的坐标为（） A.)3,2(y x B.)3,2(y x C.)2,3(y x D.)2,3(y x3.曲线C 经过伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧='='y y xx 31后得到曲线C '的方程为)2(log 2+=x y ,则曲线C 的方程为（） A.)2(log 312+=x y B.)2(log 32+=x yC.)231(log 2+=x y D.)23(log 2+=x y4.把函数sin 2y x =的图像作怎样的变换能得到sin(2)3y x π=+的图像（）A ．向左平移6π B ．向右平移6π C ．向左平移3π D ．向右平移3π5.将()y f x =的图像横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标缩短到原来的31，则所得函数的解析式为（）A ．3(3)y f x = B. 1(3)3y f x =C. 13()3y f x =D. 11()33y f x = 6．点),(y x 经过伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧==yy x x 3'21'后的点的坐标是（-2，6），则=x ，=y ； 7．将直线22=-y x 变成直线4''2=-y x 的伸缩变换是 . 8．为了得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π的图像，只需将函数R x x y ∈=,sin 2的图像上所有的点（）A.向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变） B.向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变） C.向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） D.向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）9.曲线)6sin(π+=x y 经过伸缩变换⎩⎨⎧==y y x x 2'3'后的曲线方程是；10.曲线0222=+-x y x 变成曲线0'4'16'22=+-x y x 的伸缩变换是 .11.曲线364922=+y x 经过伸缩变换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y y x x 31'21'后的曲线方程是 .12.将直线22=-y x 变成直线4''2=-y x 的伸缩变换是 .13.函数R x x x x y ∈++=,1cos sin 23cos 212. （1）当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；（2）该函数的图像可由)(sin R x x y ∈=的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到?实用文档1．点)1,2(π经过伸缩变换⎩⎨⎧==yy xx 3'2'后的点的坐标是； 3．在伸缩变换⎩⎨⎧==y y x x '2'与⎩⎨⎧==yy x x 2'2'的作用下，单位圆122=+y x 分别变成什么图形？4. 函数31x y x =-，经过怎样的平移变换与伸缩变换才能得到函数1y x=？ 1．点),(y x 经过伸缩变换⎩⎨⎧==y y xx 2'3'后的点的坐标是)4,3(-π，则=x ，=y .2．将直线22=-y x 变成直线4''2=-y x 的伸缩变换是 . 3．为得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π的图像，需将R x x y ∈=,sin 2的图像上所有的点（） A.向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）B.向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）C.向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）D.向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）4．曲线)6sin(π+=x y 经过伸缩变换⎩⎨⎧==y y xx 2'3'后的曲线方程是；5．将曲线0222=+-x y x 变成曲线0'4'16'22=+-x y x 的伸缩变换是 .6.函数()f x 的图像是将函数2log (1)x +的图像上各点的横坐标变为原来的13，纵坐标变为原来的12而得到的，则与()f x 的图像关于原点对称的图像的解析式是。

平面直角坐标系中的伸缩变换

平面直角坐标系中的伸缩变换-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1平面直角坐标系中的伸缩变换（1）内容安排的意图平面几何图形的伸缩变换是常见的几何变换。

将图形看成是点的运动轨迹，并在平面直角坐标系中用方程表示它，那么图形的伸缩变换就可以归结为坐标伸缩变换，这就是用代数方法研究几何变换。

因此，本小节内容可以让学生从一个新的角度体会坐标法思想。

“坐标法”解析几何学习的始终，同学们在不断地体会“数形结合”的思想方法并自始至终强化这一思想方法。

（2）概念引出方式1、从代数角度研究“伸缩变换”比较抽象，学生一般不容易理解。

因此，教科书以学生熟悉的正弦型曲线的图形伸缩变换为例，通过讨论由正弦曲线y ＝sin χ得到曲线y ＝sin ωχ和y ＝Asin χ的过程中曲线上点的坐标的变化规律，从具体到一般、从直观到抽象地引出伸缩变化的概念，并概括出“伸缩变换”的表示，给出伸缩变换的定义。

建立伸缩变化与函数图像变换之间的联系，可以是伸缩变换概念的学习建立在学生已有经验基础上，使得平面直角坐标中的坐标伸缩变换的学习具有坚实的基础。

坐标伸缩变换与前面学的坐标平移变换都是将平面图形进行伸缩平移的变换，本质是一样的。

应注意：通过一个表达式，平面直角坐标系中坐标伸缩变换将x 与y 的伸缩变换统一成一个式子了，即⎩⎨⎧>='>=0,0,/μμλλy y x x 我们在使用时，要注意对应性，即分清新旧。

【例1】（2005年江苏）圆O 1与圆O 2的半径都是1，|O 1O 2|=4，过动点P 分别作圆O 1、圆O 2的切线PM 、PN （M 、N 分别为切点），使得PM=2PN ，试建立适当的坐标系，求动点P 的轨迹方程。

【例2】在同一直角坐标系中，将直线22=-y x 变成直线42='-'y x ，求满足图象变换的伸缩变换。

分析：设变换为⎩⎨⎧>⋅='>⋅='),0(,),0(,μμλλy y x x 可将其代入第二个方程，得42=-y x μλ，与22=-y x 比较，将其变成,442=-y x 比较系数得.4,1==μλ【解】⎩⎨⎧='='yy x x 4，直线22=-y x 图象上所有点的横坐标不变，纵机坐标扩大到原来的4倍可得到直线42='-'y x 。

高二数学平面直角坐标系中的伸缩变换

y=sin(ωx+ ϕ) Asin(ωx+ ϕ)
纵坐标缩短或伸长为原来的A倍纵坐标缩短或伸长为原来的倍横坐标不变
思考：）怎样由正弦曲线y=sinx得到（思考： 1）怎样由正弦曲线得到曲线y=sin2x? 曲线 y=sin2x π 2π π正弦曲线y=sinx上任取一点上任取一点P(x,y)，在正弦曲线上任取一点，保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来保持纵坐标不变，将横坐标缩为原来 1 就得到正弦曲线y=sin2x. 的，就得到正弦曲线
2
上述的变换实质上就是一个坐标的压缩变换，压缩变换，即：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意是平面直角坐标系中任意一点，保持纵坐标不变，将横坐标x缩为一点，保持纵坐标不变，将横坐标缩为 1 得到点P’(x’,y’).坐标对应关系原来，得到点坐标对应关系 2 为：
坐标对应关系为：坐标对应关系为： x’=
1 2
x
1
y’=y 通常把 1 叫做平面直角坐标系中的一个压缩变换。的一个压缩变换。
（2）怎样由正弦曲线）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲得到曲写出其坐标变换。线y=3sinx?写出其坐标变换。写出其坐标变换
8 6
4
2
-10
-5
5
10
-2
-4
在正弦曲线上任取一点P（），在正弦曲线上任取一点（x,y），保持横坐标x不变不变，保持横坐标不变，将纵坐标伸长为原来的3倍就得到曲线y=3sinx。来的倍，就得到曲线。设点P（）经变换得到点为P’(x’,y’) 设点（x,y）经变换得到点为 x’=x 2 y’=3y 通常把 2 叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸长变换。的一个坐标伸长变换。

直角坐标系中的伸缩变换课件PPT

03 伸缩变换的矩阵表示
二维伸缩变换的矩阵表示
总结词
描述二维平面上的点通过伸缩变换后的坐标变化。
详细描述
在二维直角坐标系中，伸缩变换可以通过一个矩阵来表示。假设原点为 $(x, y)$，经过伸缩变换后变为 $(x', y')$，则变换矩阵可以表示为
二维伸缩变换的矩阵表示
• $\begin{pmatrix}
02
在直角坐标系中，设原点为 $O(0,0)$，点$P(x,y)$经过伸缩变换后变为点$P'(x',y')$，则变换公式为：$x' = kx, y' = ky$，其中 $k$为伸缩系数。
伸缩变换的性质
伸缩变换保持点之间的距离不变，即 $|OP| = |OP'|$。
伸缩变换可以同时对 x和y进行放大或缩小，但比例系数必须相同。
伸缩变换的理论研究
01
02
03
理论框架
深入探讨伸缩变换的基本原理、数学表达和推导过程，建立完善的理论框架。
性质研究
研究伸缩变换的性质，如线性、可逆性、连续性和可微性等，并探讨其在不同坐标系下的表现。
几何意义
从几何角度解释伸缩变换，探究其在图形、曲线和曲面等几何对象上的应用和表现。
伸缩变换的应用研究
02 伸缩变换在直角坐标系中的应用
横向伸缩变换
总结词
在直角坐标系中，横向伸缩变换是指沿x轴方向的伸长或缩短。
详细描述
横向伸缩变换通过乘以一个大于1 的系数来增加x轴上的长度，或者乘以一个小于1的系数来减小x轴上的长度。这种变换不会改变点在y轴上的坐标。
纵向伸缩变换
总结词
纵向伸缩变换是指沿y轴方向的伸长或缩短。

1.1 直角坐标系中的平移变换与伸缩变换

1.1 直角坐标系中的平移变换与伸缩变换目标：平移变换与伸缩变换的应用与理解一.直角坐标系1.直线上，取定一个点为原点，规定一个长度为单位长度，规定直线的一个方向为正方向。

这样我们就建立了直线上的坐标系 (即数轴)。

它使直线上任意一点P 都可以由惟一的实数x 来确定。

2.平面上，取定两条互相垂直的直线作为x 、y 轴，它们的交点作为坐标原点，并规定好长度单位和这两条直线的正方向。

这样我们就建立了平面直角坐标系。

它使平面上任意一点P 都可以由惟一的二元有序实数对),(y x 来确定。

3.在空间中，选择三条两两垂直且交于一点的直线，以这三条直线分别作为x 、y 、z 轴，它们的交点作为坐标原点，并规定好长度单位和这三条直线的正方向。

这样我们就建立了空间直角坐标系。

它使空间中任意一点P 都可以由惟一的三元有序实数对),,(z y x 来确定。

事实上，直线上所有点的集合与全体实数的集合一一对应；平面上所有点的集合与全体二元有序数对),(y x 的集合一一对应；空间中所有点的集合与全体三元有序数对),,(z y x 的集合一一对应.二.平面直角坐标系中图形的平移变换 1.平移变换在平面内，将图形F 上所有点按照同一个方向，移动同样长度，称为图形F 的平移。

若以向量a表示移动的方向和长度，我们也称图形F 按向量a平移．在平面直角坐标系中，设图形F 上任意一点P 的坐标为),(y x ，向量),(k h a =，平移后的对应点为),(y x P '''.则有：),(),(),(y x k h y x ''=+即有：⎩⎨⎧'=+'=+y k y x h x .因此，我们也可以说，在平面直角坐标系中，由⎩⎨⎧'=+'=+y k y x h x 所确定的变换是一个平移变换。

因为平移变换仅改变图形的位置，不改变它的形状和大小．所以，在平移变换作用下，曲线上任意两点间的距离保持不变。