余角和补角练习题
人教版七年级上第四章余角和补角同步练习题(含答案)
人教版七年级上第四章余角和补角同步练习题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知7622α'∠=︒，则α∠的补角是（ ）．A ．10338'︒B ．10378'︒C ．1338'︒D ．1378'︒ 2．若一个角的补角加上20︒后等于这个角余角的3倍，则这个角的度数为（ ）． A ．25︒ B ．35︒ C ．45︒ D ．55︒ 3．如图，一副三角尺按不同的位置摆放，下列摆放方式中α∠与β∠互补的是（ ） A ． B ． C ． D ．4．将一副三角板按如图方式摆放，则下列结论错误的是（ ）A ．1135∠=︒B ．2145∠=︒C ．12∠=∠D ．12270∠+∠=︒ 5．如果∠α和∠β互补，且∠α＜∠β，则下列表示∠α的余角的式子中：∠90°﹣∠α；∠∠β﹣90°；∠12（∠α+∠β）；∠12（∠β﹣∠α）．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 6．如图，点A 在点O 的北偏西60°的方向上，点B 在点O 的南偏东20°的方向上，那么AOB ∠的大小为（ ）A ．110°B ．130°C ．140°D ．150°7．在如图所示的方位角中，射线OA 表示的方向是（ ）A ．东偏南60°B ．南偏东30°C ．南偏东60°D ．南偏西60°8．如果一个角的余角等于这个角的补角的14，那么这个角是（ ） A ．30 B ．45︒ C ．60︒ D ．75︒9．如图，直线DE 与BC 相交于点O ，1∠与2∠互余，150BOE ∠=︒，则AOE ∠的度数是（ ）A ．120︒B ．130︒C ．140︒D ．150︒10．已知∠AOB ＝70°，以O 为端点作射线OC ，使∠AOC ＝42°，则∠BOC 的度数为（ ） A ．28° B ．112° C ．28°或112° D ．68°二、填空题11．将18.25°换算成度、分、秒的结果是__________．12．如图，直线AB ，CD 相交于点O ，EO ∠AB ，垂足为O ，∠EOC =35°，则∠AOD 的度数为______．13．如图，在渔船上的渔民在A 处看见灯塔M 在北偏东60°方向，这艘渔船以28海里/时的速度向正东方向航行，半小时后到达B 处，在B 处看见灯塔M 在北偏东15°方向，此时灯塔M 与渔船的距离是______海里．14．如果∠1与∠2互余，∠3与∠4互余，且∠1＝∠3，∠2＝55°，那么∠4＝_____度．三、解答题15．如图，AB CD ，连接CA 并延长至点H ，CF 平分ACD ∠，CE CF ⊥，GAH ∠与AFC ∠互余．(1)求证：AG CE ∥；(2)若110GAF ∠=，求AFC ∠的度数．16．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：(1)如图1，点A 在直线l 上，90,BAD AB AD ∠=︒=，过点B 作BC l ⊥于点C ，过点D作DE l ⊥交于点E ．由12290D ∠+∠=∠+∠=︒，得1D ∠=∠．又90BCA AED ∠=∠=︒，可以推理得到()ABC DAE AAS ≌．进而得到结论：AC =_____，BC =_____．我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三直角”模型；(2)如图2，90,,,BAD MAN AB AD AM AN BM l ∠=∠=︒==⊥于点C ，NG l ⊥于点G ，由（1）易知NG =_______，ND 与直线l 交于点P ，求证：NP DP =．17．南海是我国的南大门，如图所示，某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航，在A 处测得北偏东30°方向上，距离为20海里的B 处有一艘不明身份的船只正在向正东方向航行，便迅速沿北偏东75°的方向以20海里/小时的速度前去拦截．问：经过多少小时，海监执法船恰好在C 处成功拦截．18．如图，点O 是等边三角形ABC 内的一点，∠BOC ＝150°，将∠BOC 绕点C 按顺时针方向旋转一定的角度，得到∠ADC ，连接OD ，OA ．(1)求∠ODC 的度数；(2)试判断AD 与OD 的位置关系，并说明理由；(3)若OB ＝2，OC ＝3，求AO 的长（直接写出结果）．参考答案：1．A【分析】直接将180°减去∠α即可．【详解】解：∠∠α=7622︒'，∠∠α的补角为180180762210338α︒-∠=︒-︒'=︒'，故选A ．【点睛】本题考查了补角的定义，即如果两个角的和是180°，那么其中一个角就是另一个角的补角，因此，已知一个角，那么它的补角就等于180°减去这个已知角，解题的关键是牢记概念和公式等．2．B【分析】可先设这个角为∠α，则根据题意列出关于∠α的方程，问题可解【详解】解：设这个角为∠α，依题意，得180°-∠α+20°＝3（90°﹣∠α）解得∠α＝35°．故选B ．【点睛】此题考查的两角互余和为90°，互补和为180°的性质，关键是根据题意列出方程求解．3．D【分析】根据同角的余角相等，等角的补角相等和邻补角的定义对各小题分析判断即可得解．【详解】解：A 、图中∠α+∠β＝180°﹣90°＝90°，∠α与∠β互余，故本选项不符合题意；B 、图中∠α＝∠β，不一定互余，故本选项错误；C 、图中∠α+∠β＝180°﹣45°+180°﹣45°＝270°，不是互余关系，故本选项错误；D 、图中∠α+∠β＝180°，互为补角，故本选项正确．故选：D ．【点睛】本题考查了余角和补角，是基础题，熟记概念与性质是解题的关键．4．B【分析】如图，根据一副三角板的特征可得∠3=∠4=45°，然后根据平角的定义可得∠1和∠2的度数，进而可排除选项．【详解】解：如图，由题意得：∠3=∠4=45°，∠13180,24180∠+∠=︒∠+∠=︒，∠12135∠=∠=︒，故A 、C 正确，B 错误；∠12270∠+∠=︒，故D 正确；故选B ．【点睛】本题主要考查补角的性质及角的和差关系，熟练掌握补角的性质及角的和差关系是解题的关键．5．C【分析】由α∠和β∠互补，可得180αβ∠+∠=︒，即：180αβ=︒-∠，119022αβ∠+∠=︒，再用不同的形式表示α∠的余角．【详解】解：α∠和β∠互补， 180αβ∴∠+∠=︒，180αβ∴∠=︒-∠，119022αβ∠+∠=︒ 于是有：α∠的余角为：90α︒-∠，故∠正确，α∠的余角为：9090(180)90αββ︒-∠=︒-︒-∠=∠-︒，故∠正确，α∠的余角为：1111902222ααβαβα︒-∠=∠+∠-∠=∠-∠，故∠正确， 而1()902αβ∠+∠=︒，而α∠不一定是直角，因此∠不正确，因此正确的有∠∠∠，故选：C ．【点睛】本题考查互为余角、互为补角的意义，熟悉利用等式的性质进行变形和整体代入的方法是解题的关键．6．C【分析】结合图形，然后求出OA 与西方的夹角的度数，再列式计算即可得解．【详解】解：∠点A 在点O 北偏西60°的方向上，∠OA 与西方的夹角为90°-60°=30°，又∠点B 在点O 的南偏东20°的方向上，∠∠AOB =30°+90°+20°=140°．故选：C ．【点睛】本题考查了方向角，熟记概念是解题的关键，结合图形更形象直观．用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．7．C【分析】表示OA 的方式有两种，东偏南30°；南偏东60°；作出判断即可.【详解】根据题意，得表示OA 的方式有东偏南30°；南偏东60°两种，故选C.【点睛】本题考查了方位角的表示法，熟练掌握方位角的表示方法是解题的关键. 8．C【分析】设这个角是x ︒，根据题意得190(180)4x x -=-，解方程即可． 【详解】解：设这个角是x ︒，根据题意得190(180)4x x -=-， 解得x =60，故选：C ．【点睛】此题考查角度计算，熟练掌握一个角的余角及补角定义，并正确列得方程解决问题是解题的关键．9．A【分析】直接利用互余的定义以及结合平角的定义得出∠AOC 以及∠EOC 的度数，进而得出答案．【详解】解：∠∠1与∠2互余，∠1290∠+∠=︒，∠90AOC ∠=°，∠150BOE ∠=︒，∠18015030EOC ∠=︒-︒=°，∠9030120AOE AOC EOC ∠=∠+∠=︒+︒=︒．故选：A【点睛】此题主要考查了邻补角以及余角，正确掌握相关定义是解题关键．10．C【分析】根据题意画出图形，利用数形结合求解即可．【详解】解：如图，当点C与点C1重合时，∠BOC=∠AOB﹣∠AOC=70°﹣42°=28°；当点C与点C2重合时，∠BOC=∠AOB+∠AOC=70°+42°=112°．故选C．【点睛】本题考查的是角的计算，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．11．18°15′0″【分析】根据将高级单位化为低级单位时，乘以60，即可求得答案．【详解】18.25°=18°+0.25×60=18°15′0″，故答案为18°15′0″．【点睛】本题考查了度、分、秒的换算，掌握1度=60分，即1°=60′，1分=60秒，即1′=60″是解题的关键．12．125°【分析】由两直线垂直，求得∠AOE=90°；由∠AOC与∠EOC互余，∠EOC=35°，即可得到∠AOC的度数；再由∠AOD与∠AOC互补，即可得出∠AOD的度数．【详解】解：∠EO∠AB，∠∠AOE=90°，又∠∠EOC=35°，∠∠AOC=∠AOE-∠EOC=90°-35°= 55°，∠∠AOD=180°-∠AOC=180°-55°=125°，故答案为：125°．【点睛】本题主要考查补角、余角和垂直的定义．解题的关键是熟练利用补角、余角关系求角的度数．13．【分析】过点B作BN∠AM于点N，由已知可求得BN的长；再根据勾股定理求BM的长．×28=14海里，∠MAB=30°，∠ABM=105°．【详解】解：由已知得，AB=12过点B作BN∠AM于点N．∠在直角∠ABN中，∠BAN=30°AB=7海里．∠BN=12在直角∠BNM中，∠MBN=45°，则直角∠BNM是等腰直角三角形．即BN=MN=7海里，∠BM=．故答案为：【点睛】本题考查的是勾股定理解直角三角形的应用-方向角问题，正确标注方向角、掌握勾股定理是解题的关键．14．55【分析】根据余角的定义及等角的余角相等即可求解．【详解】解：∠∠1与∠2互余，∠∠1+∠2=90°，∠∠3与∠4互余，∠∠3+∠4=90°，又∠1=∠3，∠∠2=∠4=55°，故答案为：55．【点睛】本题考查了余角的定义及等角的余角相等等知识点，属于基础题，计算过程中细心即可．15．(1)见解析(2)20AFC ∠=︒【分析】（1）根据角平分线得出ACF FCD ∠∠＝，利用平行线的性质可得AFC FCD ∠∠＝，然后利用各角之间的关系得出GAH ECA ∠∠＝，再由平行线的判定即可证明；（2）根据平行线的性质得出HAF ACD ∠∠＝，GAH ECA ∠∠＝．结合图形利用各角之间的数量关系得出20∠︒＝FCD ，再由平行线的性质即可得出结果．(1)证明：∠CF 平分ACD ∠，∠ACF FCD ∠∠＝．∠AB ∠CD ，∠AFC FCD ∠∠＝，∠ACF AFC ∠∠＝，∠GAH ∠与AFC ∠互余，即90GAH AFC ∠+∠︒＝，∠90GAH ACF ∠+∠︒＝．∠CE CF ⊥，∠90ECF ECA ACF ∠∠+∠︒＝＝，∠GAH ECA ∠∠＝，∠AG ∠CE(2)解：∠AB ∠CD ，AG ∠CE ，∠HAF ACD ∠∠＝，GAH ECA ∠∠＝．∠HAF GAH ACD ECA ∠+∠∠+∠＝，即GAF ECD ∠∠＝．∠110GAF ∠︒＝，∠110ECD ∠︒＝．∠90ECF ∠︒＝，∠1109020FCD ECD ECF ∠∠∠︒︒＝－＝－＝．∠AB ∠CD ，∠20AFC ∠︒＝．【点睛】题目主要考查平行线的判定和性质及各角之间的等量代换，熟练掌握平行线的判定和性质是解题关键．16．(1)DE ，AE ；(2)AC ．证明见详解．【分析】（1）根据(AAS)≌ABC DAE ，得出AC =DE ，BC =AE 即可；（2）过D 作DE ∠直线l 于E ，先证∠MCA ∠∠AGN （AAS ），得出AC =NG ，由（1）知(AAS)≌ABC DAE ，得出AC =DE ，再证∠NGP ∠∠DEP （AAS ）即可．（1）解：∠(AAS)≌ABC DAE ，∠AC =DE ，BC =AE ，故答案为DE ，AE ；（2）证明：过D 作DE ∠直线l 于E ，∠90MAN ∠=︒，∠∠CAM +∠NAG =90°，∠BM ∠l ，∠∠MCA =90°，∠∠M +∠CAM =90°，∠∠M =∠NAG ，∠NG l ⊥，∠∠AGN =90°，在∠MCA 和∠AGN 中，MCA AGN M GAN MA AN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠MCA ∠∠AGN （AAS ），∠AC =NG ，由（1）知(AAS)≌ABC DAE ，∠AC =DE ，∠NG =DE ，在∠NGP 和∠DEP 中，90NGP DEP GPN EPDNG DE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∠∠NGP ∠∠DEP （AAS ）∠NP =DP ，故答案为AC ．【点睛】本题考查一线三直角全等问题，掌握余角性质，三角形全等判定与性质是解题关键． 17【分析】过点C 作CD ∠AB 交线段AB 延长线于点D ，证∠ACD 是等腰直角三角形，得AD ＝CD ，由勾股定理得AC，AD ＝CD，然后由AD −BD ＝AB 求出BD ，进而求出AC ，再利用路程＝速度×时间即可求解．【详解】解：如图，过点C 作CD ∠AB 交线段AB 延长线于点D ，∠∠BAC ＝75°−30°＝45°，∠∠ACD 是等腰直角三角形，∠AD ＝CD ，∠ACCD ，∠∠DBC ＝∠BAE ＝90°−30°＝60°，∠∠BCD ＝30°，∠BC ＝2BD ，AD ＝CD =， ∠AD −BD ＝AB ，20BD -= 海里，解得：BD ＝10)1 海里，∠CD (30=+ 海里，∠AC =（海里），∠t ==C 处成功拦截． 【点睛】此题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，勾股定理、等腰直角三角形的判定等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．18．(1)60°(2)AD OD ⊥，见解析(3)AO =【分析】（1）根据旋转的性质得到三角形ODC 为等边三角形即可求解；（2）将∠BOC 绕点C 按顺时针方向旋转一定的角度，得到∠ADC ，可知∠ADC =∠BOC =150°，即得∠ADO =∠ADC -∠ODC =90°，故AD ∠OD ；（3）在Rt ∠AOD 中，由勾股定理即可求得AO 的长．（1）由旋转的性质得：CD CO =，OCB DCA ∠=∠．∠ACO OCB ACO DCA ∠+∠=∠+∠，即ACB DCO ∠=∠．∠ABC 为等边三角形，∠60ACB ∠=︒．∠60DCO ∠=︒．∠OCD 为等边三角形，60ODC ∠=︒．（2）由旋转的性质得，150BOC ADC ∠=∠=︒．∠60ODC ∠=︒，∠90ADO ADC ODC ∠=∠-∠=︒．即AD OD ⊥．（3）由旋转的性质得，AD =OB =2，∠∠OCD 为等边三角形，∠OD =OC =3，在Rt ∠AOD 中，由勾股定理得：AO【点睛】本题考查等边三角形中的旋转变换，涉及直角三角形判定、勾股定理等知识，解题的关键是掌握旋转的性质，旋转不改变图形的大小和形状．。
余角和补角练习题
余角和补角练习题一、选择题1. 若一个角的度数是30°，则它的余角的度数是（）A. 30°B. 60°C. 150°D. 120°2. 若一个角的度数是135°，则它的补角的度数是（）A. 45°B. 135°C. 45°D. 135°3. 下列哪个角的余角是直角？（）A. 30°B. 60°C. 90°D. 120°4. 下列哪个角的补角是周角？（）A. 90°B. 180°C. 270°D. 360°二、填空题1. 一个角的度数是50°，它的余角是______°，补角是______°。
2. 若一个角的补角比它的余角大60°，则这个角的度数是______°。
3. 两个互为余角的角分别是25°和______°。
4. 两个互为补角的角分别是x°和（180 x）°，若x = 100，则另一个角的度数是______°。
三、判断题1. 一个角的余角和补角的和是180°。
（）2. 所有锐角的补角都是钝角。
（）3. 若两个角的和是90°，则这两个角互为补角。
（）4. 若两个角的和是180°，则这两个角互为余角。
（）四、解答题1. 已知一个角的度数是80°，求它的余角和补角的度数。
2. 设一个角的度数是x°，求它的余角和补角的度数。
3. 在一个三角形中，若一个内角的度数是70°，求其余两个内角的补角的度数。
4. 若两个角的和是360°，这两个角互为余角还是补角？为什么？5. 在一个四边形中，若四个内角的度数之和是360°，求其中任意两个相邻内角的补角的度数。
(完整版)余角和补角练习题大全及答案
余角与补角练习题及答案A 卷：基础题一、选择题1.如图1所示，直线 AB, CD 相交于点O, OEIAB 那么下列结论错误的是（ ）A . / AOC 与/ COES 为余角B . / BOD 与/ COES 为余角C . / COE 与/ BOES 为补角D . / AOC 与/ BOD 是对顶角3.下列说法正确的是（ ）二、填空题如图4所示，直线 AB, CD 相交于点 0, 0M 丄AB ?若/ COB=?135? ?则/ MOD 三三、解答题10.如图所示，直线 AB, CD 相交于点O,/ BOE=90，若/ COE=55 , ?求/ BOD 的度数.2.如图所示，/1与/2是对顶角的是（A .锐角一定等于它的余角 .钝角大于它的补角 C .锐角不小于它的补角 .直角小于它的补角 4.如图2所示,AOL OC BOL DO 则下列结论正确的是（B . / 2=/3 CD . / 仁/2=/ 3* :伞已知/ 1与/ 2互余，且/1=35 ，则/ 2的补角的度数为如图3所示，直线a 丄b ，垂足为OL 是过点0的直线，/ 1=40°,则/ 2=三条直线相交于一点，共有对对顶角.9. 如图5所示，AB 丄CD 于点C, CE1CE 则图中共有对互余的角.BDa11.如图所示，直线 AB 与CD 相交于点 0, 0E 平分/ AOD / AOC=?120?.求/ B0D / A0E 的度数.二、知识交叉题一、七彩题1.（一题多解题）B 卷：提高题如图所示，三条直线 AB CD, EF 相交于点0,/ A0F=3/ F0B/ A0C=90 , 求/ E0C 的度数.2.（科内交叉题） 一个角的补角与这个角的余角的和比平角少 10°，求这个角.3.（科外交叉题） 如图所示，当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就度.C是光的折射现象.若/1=42则/ 1与/ 2的关系一定成立的是（参考答案点拨：因为/ COE 与/ DOE 互为补角，所以 C 错误，故选C.2.所以/ AOC=90 ,/ BOD=90 ,4.点拨：因为 AOL 0C BOL DO 即/ 3+/ 2=90,/ 2+ / 1=90°,三、实际应用题4.如图所示是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中4个角上的阴影部分分别表示 4个入球袋.如果一个球按图中所示的方向被击出（？假设用足够的力气击出， 使球可以经过多次反射），那么该球最后落入哪个球袋？在图上画出被击的球所走路程.1号球袋2号球袋3四、经典中考题5. （2007,济南，4分）已知：如图所示,AB 丄CD 垂足为点 0, EF 为过点0?的一条直线,6. A.相等 B .互余 C .互补.互为对顶角（2008，南通，3分）已知/ A=40°则/ A 的余角等于1.根据同角的余角相等可得/ 1 = / 3，故选C.125 ° 点拨：因为/ 1与/ 2互余，所以/ 1+/ 2=90 °,所以/ MOD / BOD=90 , 所以/ MOD=90 - / BOD又因为/ BOD=180 - / COB=180 -135 ° =45 °, 所以/ MOD=90 -45 ° =45°.6 点拨：如图所示，直线 AB, CD EF 相交于点 O,/ AOD 与/ BOC / AOE 与/ BOF / DOE 与/ COF / DOBWZ COA / EOB 与/ FOA / EOC 与/ FOD?匀分别构成对顶角， 共有 6对对顶角.由CE 丄CF ,可得/ ECD 与/ DCF 互余，又由于/ 所以/ ACE 与/ BCF 互余，共有 4对.10.解：因为/ BOE 与/ AOE 互补，/ BOE=90 ,所以/ AOE=180 - / BOE=?180 -90 ° =90°，即/ COE / COA=90 , 又/ COE=55，所以/ COA=90 - / COE=90 -?55 ° =35 ° , 因为直线 AB, CD 相交于点 O,所以/ BOD / COA=35 .11.解：因为直线 AB 与CD 相交于点 O 所以/ BOD / AOC=120 ,因为/ AOC+/ AOD=180，所以/ AOD=180 -120 ° =60 ° , 因为 OE 平分/ AOD 所以/ AOE=~ / AOD 二 X 60° =30°.2 25. 6. 7. 又因为/ 1=35°, ?所以/所以 180° - / 2=180° -55 50° 点拨：由已知可得/ / 2=90° - / 1=90° -?40 2=90 ° -35=55=125°，即/ 2?的补角的度数是125°.1 + / 2=180° -90 ° =90=5045° 点拨：因为 OML AB,9. 4 点拨：由AB 丄CD 可得/ ACE 与/ ECD 互余,/ DCF 与/ FCB 互余.ACB 为平角,点拨：由/ BOD与/ AOC是对顶角，可得/ BOD的度数.由/ AOC与/ AOD互补，？可得/ AOD 勺度数，又由 OE 平分/ AOD 可得/ AOB 的度数.解法一：因为/ FOB+Z AOF=180 , / AOF=3/ FOB （已知），所以/ FOB+3?/ FOB=180 （等量代换），所以/ FOB=45 , 所以/ AOE 玄FOB=45 （对顶角相等），因为/ AOC=9O , 所以/ EOC=/ AOC ■/ AOE=90 -45 ° =45 ° . 解法二：因为/ FOB+/ AOF=180 , / AOF=3/ FOB 所以/ FOB+3/ FOB=180 , ?所以/ FOB=45 , 所以/ AOF=3/ FOB=3< 45 ° =135 BOE / AOF=135 .又因为/ AOC=90 ,列出方程.点拨：此题应与实际相联系， 球被击中后在桌面上走的路线与台球桌面的边缘构成的角 等于反弹后走的路线与台球桌面的边缘构成的角. 四、1. 所以/所以/ BOC=180 - / AOC=180 -90 =90 所以/ EOC / BOE-/ BOC=?135 -90=45°2. 解：设这个角为 x ，则其补角为180-x ，余角为90 ° -X ,根据题意，得（?180-X ） + （ 90 ° -X ） =180 ° -10 °，解得 x=50 ° ,所以这个角的度数为 50点拨：本题是互余, 互补及平角的概念的一个交叉综合题，要理清各种关系, 才能正确3. 14点拨：本题是对顶角的性质在物理学中的应用.4. 解：落入2号球袋，如图所示.3号球袋5. B 点拨：因为AB丄CD于点O,所以/ BOC=90 .又CD与EF相交于点O, ?所以/ COE2 2,所以/ 1 + / 2=/ 1 + / COE2 BOC=90，即/ 1 与/ 2 互余，故选B.6. 50°点拨：/ A 的余角为90° - / A=90° -40 ° =50。
(完整版)余角和补角的练习题
2.1 余角与补角一、选择题1．如图1所示，直线AB ，CD 相交于点O ，OE ⊥AB ，那么下列结论错误的是（ ）A ．∠AOC 与∠COE 互为余角B ．∠BOD 与∠COE 互为余角C ．∠COE 与∠BOE 互为补角D ．∠AOC 与∠BOD 是对顶角2．如图所示，∠1与∠2是对顶角的是（ ） 图13．下列说法正确的是（ ） A ．锐角一定等于它的余角 B ．钝角大于它的补角C ．锐角不小于它的补角D ．直角小于它的补角4．如图2所示，AO ⊥OC ，BO ⊥DO ，则下列结论正确的是（ ）A ．∠1=∠2B ．∠2=∠3C ．∠1=∠3D ．∠1=∠2=∠3图2 图3 图4 图5二、填空题5．已知∠1与∠2互余，且∠1=35°，则∠2的补角的度数为 ．6．如图3所示，直线a ⊥b ，垂足为O ，L 是过点O 的直线，∠1=40°，则∠2= ．7．如图4所示，直线AB ，CD 相交于点O ，OM ⊥AB ，•若∠COB=•135•，•则∠MOD= ．8．三条直线相交于一点，共有 对对顶角．9．如图5所示，AB ⊥CD 于点C ，CE ⊥CF ，则图中共有 对互余的角．三、解答题10．如图所示，直线AB ，CD 相交于点O ，∠BOE=90°，若∠COE=55°，•求∠BOD 的度数．C O E DB A11．如图所示，直线AB与CD相交于点O，OE平分∠AOD，∠AOC=•120•°.求∠BOD，∠AOE的度数．一、七彩题1．（一题多解题）如图所示，三条直线AB，CD，EF相交于点O，∠AOF=3∠FOB，∠AOC=90°，求∠EOC的度数．二、知识交叉题2．（科内交叉题）一个角的补角与这个角的余角的和比平角少10°，求这个角．3．（科外交叉题）如图所示，当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象．若∠1=42°，∠2=•28•°，则光的传播方向改变了______度．三、实际应用题4．如图所示是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中4个角上的阴影部分分别表示4个入球袋．如果一个球按图中所示的方向被击出（•假设用足够的力气击出，使球可以经过多次反射），那么该球最后落入哪个球袋？在图上画出被击的球所走路程．四、经典中考题5．（2007，济南，4分）已知：如图所示，AB⊥CD，垂足为点O，EF为过点O•的一条直线，则∠1与∠2的关系一定成立的是（）A．相等B．互余C．互补D．互为对顶角6．（2008，南通，3分）已知∠A=40°，则∠A的余角等于______．参考答案A卷一、1．C 点拨：因为∠COE与∠DOE互为补角，所以C错误，故选C．2．D 3．B4．C 点拨：因为AO⊥OC，BO⊥DO，所以∠AOC=90°，∠BOD=90°，即∠3+∠2=90°，∠2+∠1=90°，根据同角的余角相等可得∠1=∠3，故选C．二、5．125°点拨：因为∠1与∠2互余，所以∠1+∠2=90°，又因为∠1=35°，•所以∠2=90°-35=55°，所以180°-∠2=180°-55°=125°，即∠2•的补角的度数是125°．6．50°点拨：由已知可得∠1+∠2=180°-90°=90°，∠2=90°-∠1=90°-•40°=50°．7．45°点拨：因为OM⊥AB，所以∠MOD+∠BOD=90°，所以∠MOD=90°-∠BOD，又因为∠BOD=180°-∠COB=180°-135°=45°，所以∠MOD=90°-45°=45°．8．6 点拨：如图所示，直线AB，CD，EF相交于点O，∠AOD与∠BOC，∠AOE与∠BOF，∠DOE与∠COF，∠DOB与∠COA，∠EOB与∠FOA，∠EOC与∠FOD•均分别构成对顶角，共有6对对顶角．9．4 点拨：由AB⊥CD，可得∠ACE与∠ECD互余，∠DCF与∠FCB互余．由CE⊥CF，可得∠ECD与∠DCF互余，又由于∠ACB为平角，所以∠ACE与∠BCF互余，共有4对．三、10．解：因为∠BOE与∠AOE互补，∠BOE=90°，所以∠AOE=180°-∠BOE=•180°-90°=90°，即∠COE+∠COA=90°，又∠COE=55°，所以∠COA=90°-∠COE=90°-•55°=35°，因为直线AB，CD相交于点O，所以∠BOD=∠COA=35°．11．解：因为直线AB与CD相交于点O，所以∠BOD=∠AOC=120°，因为∠AOC+•∠AOD=180°，所以∠AOD=180°-120°=60°，因为OE平分∠AOD，所以∠AOE=12∠AOD=12×60°=30°．点拨：由∠BOD与∠AOC是对顶角，可得∠BOD的度数．由∠AOC与∠AOD 互补，•可得∠AOD的度数，又由OE平分∠AOD，可得∠AOE的度数．B卷一、1．解法一：因为∠FOB+∠AOF=180°，∠AOF=3∠FOB（已知），所以∠FOB+3•∠FOB=180°（等量代换），所以∠FOB=45°，所以∠AOE=∠FOB=45°（对顶角相等），因为∠AOC=90°，所以∠EOC=∠AOC-∠AOE=90°-45°=45°．解法二：因为∠FOB+∠AOF=180°，∠AOF=3∠FOB，所以∠FOB+3∠FOB=180°，•所以∠FOB=45°，所以∠AOF=3∠FOB=3×45°=135°，所以∠BOE=∠AOF=135°．又因为∠AOC=90°，所以∠BOC=180°-∠AOC=180°-90°=90°，所以∠EOC=∠BOE-∠BOC=•135°-90°=45°．二、2．解：设这个角为x，则其补角为180°-x，余角为90°-x，根据题意，得（•180°-x）+（90°-x）=180°-10°，解得x=50°，所以这个角的度数为50°．点拨：本题是互余，互补及平角的概念的一个交叉综合题，要理清各种关系，才能正确列出方程．3．14 点拨：本题是对顶角的性质在物理学中的应用．三、4．解：落入2号球袋，如图所示．点拨：此题应与实际相联系，球被击中后在桌面上走的路线与台球桌面的边缘构成的角等于反弹后走的路线与台球桌面的边缘构成的角．四、5．B 点拨：因为AB⊥CD于点O，所以∠BOC=90°．又CD与EF相交于点O，•所以∠COE=∠2，所以∠1+∠2=∠1+∠COE=∠BOC=90°，即∠1与∠2互余，故选B．6．50°点拨：∠A的余角为90°-∠A=90°-40°=50°．。
人教版七年级上第四章余角和补角同步练习题(含解析)
人教版七年级上第四章余角和补角同步练习题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知∠1和∠2互为余角，且∠2与∠3互补，∠1＝60°，则∠3为（ ）A ．120°B ．60°C ．30°D ．150° 2．下列命题中，真命题的个数为（ ）个．∠一个角的补角可以是锐角；∠两条平行线上的任意一点到另一条平行线的距离是这两条平行线间的距离； ∠平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；∠平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 3．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，下列结论中错误的是（ ）A ．ACDB ∠=∠ B ．2CD AD BD =C ．··AC BC ABCD = D ．2·BC AD AB = 4．如果90αβ∠+∠=︒，且β∠与γ∠互余，那么α∠与γ∠的关系为（ ）．A ．互余B ．互补C ．相等D ．不能确定 5．在ABC 中，60C ∠=°，按图中虚线将C ∠剪去后，12∠+∠等于（ ）．A ．120︒B ．220︒C ．240︒D ．300︒ 6．如图，OA 是北偏东30方向的一条射线，若90AOB ∠=︒，则OB 的方向角是（ ）A ．北偏西30B ．北偏西60︒C ．东偏北30D ．东偏北60︒ 7．如图，下列说法中错误的是（ ）．A ．OA 方向是北偏东20︒B ．OB 方向是北偏西15︒C ．OC 方向是南偏西30︒D ．OD 方向是东南方向8．若1∠与2∠互为余角，1∠与3∠互为补角，则下列结论：∠3290∠-∠=︒；∠3227021∠+∠=︒-∠；∠3122∠-∠=∠；∠312∠<∠+∠．其中正确的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个9．如图所示，已知//AB CD ，则（ ）．A ．123∠=∠+∠B ．123∠∠∠>+C ．213∠=∠+∠D ．123∠∠∠<+10．入射光线和平面镜的夹角为40︒，转动平面镜，使入射角减小10︒，反射光线与入射光线的夹角和原来相比较将（ ）A ．减小40︒B ．减小10︒C ．减小20︒D ．不变二、填空题11．若∠B 的余角为57.12°，则∠B=_____°_____’_____”12．如图，AB CD 、相交于点O ，OE 平分AOD ∠，若60BOC ∠=︒，则COE ∠的度数是_____________.13．如图，B 处在A 处的南偏西45°方向，C 处在A 处的南偏东15°方向，∠ACB ＝85°，则C 处在B 处的_____ 度方向．14．如图，直线AB 与CD 相交于点O ，OM ∠AB ，若∠DOM ＝55°，则∠AOC ＝______°．三、解答题15．小宋对三角板在平行线间的摆放进行了探究(1)如图（1），已知a b ∥，小宋把三角板的直角顶点放在直线b 上．若140∠=︒，直接写出2∠的度数；若1m ∠=︒，直接写出2∠的度数（用含m 的式子表示）．(2)如图（2），将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的直角顶点与45°角的顶点重合于点A ，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边b 重合，含45°角的三角板的另一个顶点在纸条的另一边a 上，求1∠的度数．16．李华同学用11块高度都是1cm 的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个正方形ABCD （∠ABC ＝90°，AB ＝BC ），点B 在EF 上，点A 和C 分别与木墙的顶端重合，求两堵木墙之间的距离EF ．17．如图，B 处在A 处的南偏西45°方向，C 处在B 处的北偏东80°方向．（1）求ABC ∠；（2）若//CD AB ，则D 处应在C 处的什么方向？并说明理由．18．如图，在ABC 中，75A ∠=︒，45C ∠=︒，BE 是ABC 的角平分线，BD 是边AC 上的高．（1）求CBE ∠的度数；（2）求DBE ∠的度数．参考答案：1．D【分析】根据∠1和∠2互为余角，可得230∠=︒ ，再由∠2与∠3互补，即可求解．【详解】解：∠∠1和∠2互为余角，∠1＝60°，∠∠2＝90°﹣∠1＝90°﹣60°＝30°，∠∠2与∠3互补，∠∠3＝180°﹣∠2＝180°﹣30°＝150°．故选：D ．【点睛】本题主要考查了余角和补角的性质，熟练掌握互为余角的两角之和等于90°，互为补角的两角之和等于180°是解题的关键．2．C【分析】根据补角的定义、平行公理、平行线的性质、点到直线的距离的定义、垂线的性质定理判断即可，【详解】∠一个角的补角可以是锐角，理由：钝角的补角是锐角，故∠正确.∠两条平行线上的任意一点到另一条平行线的距离是这两条平行线间的距离，理由：两条平行直线之间距离的定义，故∠正确.∠平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，理由：垂线的性质定理，故∠正确. ∠平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故∠错误.故选：C.【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．3．D【分析】A ．利用同角的余角即可推出结果；B ．证∠ADC∠∠CDB ，由性质得AD CD =CD BD 即可；C ．利用三角形面积两种求法相等即可；D ．证∠ABC∠∠CBD ，由性质得BC AB =BD BC即可．【详解】解：A ．90ACB ∠=︒，90ACD BCD ∴∠+∠=︒， CD AB ⊥，90B BCD ∴∠+∠=︒，ACD B ∴∠=∠，A 正确，不符合题意；B ．90ACB ∠=︒，CD AB ⊥，∠∠A+∠B=90º，∠A+∠ACD=90º，∠ADC=∠CDB=90º，∠∠ACD=∠B ，∠△ADC∠△CDB ，AD CD =CD BD， 2·CD AD BD ∴=，B 正确，不符合题意；C ．由三角形的面积公式得，11 (22)AC BC AB CD =， ··AC BC ABCD ∴=，C 正确，不符合题意；D ．90ACB ∠=︒，CD AB ⊥，∠∠A+∠B=90º，∠BCD+∠B =90º，∠ACB=∠CDB =90º，∠∠A=∠BCD ，∠∠ABC∠∠CBD ， ∠BC AB =BD BC． 2·BC BD AB ∴=，D 错误，符合题意；故选择：D ．【点睛】本题考查同角的余角性质，三角形面积的求法，三角形相似的判定与性质，比例中项问题，掌握同角的余角性质，会用三角形面积的求法证等积式，三角形相似的判定与性质证比例中项问题是解题关键．4．C【分析】根据同角的余角相等即可得到答案．【详解】解：∠∠β与∠γ互余，∠∠β+∠γ=90°，又∠∠α+∠β=90°，∠∠α=∠γ，故选C ．【点睛】本题主要考查了同角的余角相等，解题的关键在于能够熟练掌握相关概念． 5．C【分析】利用补角的定义可知：1180∠+∠=︒DEC ，2180EDC ∠+∠=︒，由三角形内角和定理可知： 180120∠+∠=︒-∠=︒DEC EDC C ，代入即可求出12=240∠+∠︒．【详解】解：假设虚线为DE ，∠1180∠+∠=︒DEC ，2180EDC ∠+∠=︒，∠12360∠+∠+∠+∠=︒DEC EDC ，∠60C ∠=°，∠18060=120∠+∠=︒-︒︒DEC EDC ，∠()12360=240∠+∠=︒-∠+∠︒DEC EDC ，故选：C ．【点睛】本题考查补角的定义，三角形内角和定理，理解补角的定义，找出12360∠+∠+∠+∠=︒DEC EDC 是解题的关键．6．B【分析】利用已知得出∠1的度数，进而得出OB 的方向角．【详解】解：如图所示：∠OA 是北偏东30°方向的一条射线，∠AOB=90°，∠∠1=90°-30°=60°，∠OB 的方向角是北偏西60°．故选：B ．【点睛】此题主要考查了方向角，正确利用互余的性质得出∠1度数是解题关键． 7．A【分析】由方位角的含义逐一判断各选项即可得出答案．【详解】解：OA 方向是北偏东70︒，故A 错误；OB 方向是北偏西15︒，故B 正确；OC 方向是南偏西30︒，故C 正确；OD 方向是东南方向，故D 正确；故选：A ．【点睛】本题考查的是方位角，掌握方位角的含义是解题的关键．8．B【分析】根据互余的两角之和为90°，互补的两角之和为180°，即可求出有关的结论．【详解】解：∠∠1＋∠2＝90°（1），∠1＋∠3＝180°（2），∠（2）−（1）得，∠3−∠2＝90°，∠∠正确．（1）＋（2）得，∠3＋∠2＝270°−2∠1，∠∠正确．（2）−（1）×2得，∠3−∠1＝2∠2，∠∠正确．由∠1＋∠3＝180°，∠1＋∠2＝90°，得，∠3＝180°−∠1＝2∠1＋2∠2−∠1＝∠1＋2∠2，∠∠3＞∠1＋∠2，∠∠错误．故选：B ．【点睛】本题考查互余互补的有关定义，掌握在不同题型中的变式应用，每一问中的运算所用的运算方法是解题关键．9．A【分析】根据平行线的性质，得3ABO ∠=∠；根据补角的性质，得1801AOB ∠=-∠；根据角的和差的性质计算，即可得到123∠=∠+∠，从而完成求解．【详解】∠//AB CD∠3ABO ∠=∠∠1801AOB ∠=-∠又∠1802ABO ABO ∠=-∠-∠∠312∠=∠-∠∠123∠=∠+∠故选：A ．【点睛】本题考查了平行线、角的知识；解题的关键是熟练掌握平行线、补角、角的和差的性质，从而完成求解．10．C【分析】要知道入射角和反射角的概念：入射光线与法线的夹角，反射角是反射光线与法线的夹角，在光反射时，反射角等于入射角．【详解】解：入射光线与平面镜的夹角是40︒，所以入射角为904050︒-︒=︒．根据光的反射定律，反射角等于入射角，反射角也为50︒，所以入射光线与反射光线的夹角是100︒．入射角减小10︒，变为501040︒-︒=︒，所以反射角也变为40︒，此时入射光线与法线的夹角为80︒．则反射光线与入射光线间的夹角和原来比较将减小20︒．故选：C ．【点睛】本题考查了有关角的计算，首先要熟记光的反射定律的内容，搞清反射角与入射角的关系，特别要掌握反射角与入射角的概念，它们都是反射光线和入射光线与法线的夹角．11． 32 52 48【分析】根据互为余角列式，再进行度分秒换算，求出结果.【详解】57.12°='''57712︒ 根据题意得：∠B=90°-'''57712︒='''895960︒-'''57712︒=()8957︒-()'597-''（60-12） ='''325248︒故答案为'''325248︒.【点睛】本题考查余角的定义，正确进行角度的计算是解题的关键.12．150°【分析】根据对顶角、邻补角，角平分线的定义即可判断.【详解】∠∠BOC ＝60︒，∠∠AOD ＝∠BOC ＝60︒.∠∠AOC ＝180︒−60︒＝120︒，∠OE 平分∠AOD∠∠AOE ＝12∠AOD ＝12×6030︒︒＝. ∠∠AOC ＋12030150AOE COE ∠∠︒︒︒＝＝＋＝，故答案为150︒.【点睛】本题主要考查对顶角、邻补角，角平分线的定义.13．80【分析】方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90︒的角．【详解】解：B 处在A 处的南偏西45︒方向，C 处在A 处的南偏东15︒方向，451560BAC ∴∠=︒+︒=︒，85ACB ∠=︒，180608535ABC ∴∠=︒-︒-︒=︒，C ∴处在B 处的北偏东453580︒+︒=︒，故答案为80．【点睛】本题考查了方向角，解题的关键是熟练利用平行线的性质与三角形的内角和定理．14．35【分析】根据垂线的定义，求一个角的余角即可求解．【详解】解：∠OM ∠AB ，∠∠BOM ＝90°，∠∠DOM ＝55°，∠∠BOD ＝90°﹣55°＝35°，∠∠AOC ＝∠BOD ＝35°，故答案为：35．【点睛】本题考查了求一个角的余角，掌握垂线的定义是解题的关键．15．(1)130º，(90+m )º(2)15º【分析】（1）根据两直线平行同旁内角互补，以及平角的定义来解决此题；（2）如图，先由两直线平行同旁内角互补得出∠DBA+∠FCA=180º，再根据三角板中各角的度数计算拼接后图形中有关角的度数，再通过三角形内角和等于180度计算即可．(1)∥，解：∠a b∠∠2+∠3=180°，由题意和图知，∠1+∠3=90º，∠1=40º∠∠2=180º-（90º-∠1）=90º+∠1=90º+40º=130º；∠=︒，那么若1m∠2=（90+m）º(2)解：如图，把图中各点标上字母，延长CA交直线a于点B，由题意知，∥，∠a b∠∠DBA+∠FCA=180º，∠∠FCA=60º，∠∠DBA=120º，∠∠DAE=45º，∠F AC=90º，∠∠BAD=180º-∠DAE-∠F AC=45º△中，∠1+∠DBA+∠BAD=180º，在ABD∠∠1=180º-45º-120º=15º；【点睛】此题考查了平行线的性质和三角板中的角度计算问题，解题的关键是数形结合．16．11cm【分析】根据∠ABE的余角相等求出∠EAB＝∠CBF，然后利用“角角边”证明∠ABE和∠BCF 全等，根据全等三角形对应边相等可得AE＝BF，BE＝CF，于是得到结论．【详解】解：∠AE ∠EF ，CF ∠EF ，∠∠AEB ＝∠BFC ＝90°，∠∠EAB +∠ABE ＝90°，∠∠ABC ＝90°，∠∠ABE +∠CBF ＝90°，∠∠EAB ＝∠CBF ，在∠ABE 和∠BCF 中，90EAB CBF AEB BFC AB BC ︒∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∠∠ABE ∠∠BCF （AAS ），∠AE ＝BF ＝5cm ，BE ＝CF ＝6cm ，∠EF ＝5+6＝11（cm ）．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS 、SAS 、ASA 、AAS 和HL ）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．17．（1）35ABC ∠=︒；（2）D 处应在C 处的南偏西45°的方向上，见解析【分析】（1）根据方位角的定义，可知由已知得：45A ∠=，80EBC ∠=，再根据AF ∠BE 得到45EBA A ∠=∠=，即可求解；（2）根据平行线的性质，求出∠DCG 的度数即可得到答案.【详解】解：（1）由已知得：45A ∠=︒，80EBC ∠=︒．∠AF ∠BE∠45EBA A ∠=∠=，∠804535ABC EBC EBA ∠=∠-∠=-=（2）D 处应在C 处的南偏西45°的方向上理由如下：∠CG ∠BE ，∠80BCG EBC ∠=∠=∠CD ∠AB ，∠35BCD ABC ∠=∠=∠803545DCG BCG BCD ∠=∠-∠=-=．故D 处应在C 处的南偏西45°的方向上【点睛】本题主要考查了方位角和平行线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.18．（1）∠CBE =30；（2）∠DBE =15°．【分析】（1）根据三角形内角和可求∠ABC =180°-∠A -∠C =180°-75°-45°=60°，然后根据角平分线∠CBE =11603022ABC ∠=⨯︒=︒； （2）先求∠DBC =90°-∠C=90°-45°=45°，再利用两角之差计算即可．【详解】解：（1）∠∠ABC +∠A +∠C =180°，75A ∠=︒，45C ∠=︒，∠∠ABC =180°-∠A -∠C =180°-75°-45°=60°，∠BE 是ABC 的角平分线，∠∠CBE =11603022ABC ∠=⨯︒=︒； （2）∠BD ∠AC ，∠∠BDC =90°，∠∠DBC +∠C =90°，∠45C ∠=︒∠∠DBC =90°-∠C=90°-45°=45°，∠∠DBE =∠DBC -∠CBE =45°-30°=15°．【点睛】本题考查三角形内角和，角平分线定义，直角三角形两锐角互余，角的和差，掌握三角形内角和，角平分线定义，直角三角形两锐角互余，角的和差是解题关键．。
余角和补角提高题及复习资料
余角和补角练习及答案一、填空题（共3小题，每小题5分，满分15分）1．（5分）已知∠1=20°，∠2=30°，∠3=60°，∠4=150°，则∠2是_________的余角，_________是∠4的补角．2．（5分）如果∠α=39°31′，∠α的余角∠β=_________，∠α的补角∠γ=_________，∠α﹣∠β=_________．3．（5分）若∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°，∠1=40°，则∠3=_________°，依据是_________．二、选择题（共3小题，每小题4分，满分12分）5．（4分）如图，甲从A点出发向北偏东70°方向走50m至点B，乙从A出发向南偏西15°方向走80m至点C，则∠BAC的度数是（）A．85°B．160°C．125°D．105°6．（4分）（2001•四川）如图，将矩形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边的F处，若∠BAF=60°，则∠DAE等于（）三、解答题（共7小题，满分0分）7．已知∠α，用两种不同的方法，画出∠α的余角∠β和∠α的补角∠γ．8．一个角的余角比它的补角的还少40°，求这个角．9．在图中，确定A、B、C、D的位置：（1）A在O的正北方向，距O点2cm；（2）B在O的北偏东60°方向，距O点3cm；（3）C为O的东南方向，距O点1.5cm；（4）D为O的南偏西40°方向，距O点2cm．10．直线AB、CD相交于O，∠BOC=80°，OE平分∠BOC，OF为OE的反向延长线．画出图形并求出∠BOD和∠DOF的度数．11．如图所示，A、B两条海上巡逻艇同时发现海面上有一不明物体，A艇发现该不明物体在它的东北方向，B艇发现该不明物体在它的南偏东60°的方向上，请你试着在图中确定这个不明物体的位置．12．小华从A点出发向北偏东50°方向走了80米到达B地，从B地他又向西走了100米到达C地．（1）用1：2000的比例尺（即图上1cm等于实际距离20米）画出示意图；（2）用刻度尺和量角器量出AC的距离，以及C点的方向角；（3）回答C点距A点的实际距离是多少（精确到1米），C点的方向角为多少．（精确到1°）．13．在飞机飞行时，飞行方向是用飞行路线与实际的南或北方向线之间的夹角大小来表示的，如图，用AN（南北线）与飞行线之间顺时针方向夹角作为飞行方向角，从A到B的飞行方向角为35°，从A到C的飞行方向角为60°，从A到D的飞行方向角为145°，试求AB与AC之间夹角为多少度？AD与AC之间夹角为多少度？并画出从A飞出且方向角为105°的飞行线．《4.3.3 余角和补角》2010年同步练习参考答案与试题解析一、填空题（共3小题，每小题5分，满分15分）1．（5分）已知∠1=20°，∠2=30°，∠3=60°，∠4=150°，则∠2是∠3的余角，∠2是∠4的补角．2．（5分）如果∠α=39°31′，∠α的余角∠β=50°29′，∠α的补角∠γ=140°29′，∠α﹣∠β=﹣10°58′．3．（5分）若∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°，∠1=40°，则∠3=40°，依据是同角的余角相等．二、选择题（共3小题，每小题4分，满分12分）根据余角与补角的定义求解．解：由题意，可知，解得0＜n＜90．故选B．本题主要考查了余角与补角的定义．如果两角的和为90°，则这两个角互余；如果两角的和为5．（4分）如图，甲从A点出发向北偏东70°方向走50m至点B，乙从A出发向南偏西15°方向走80m至点C，则∠BAC的度数是（）6．（4分）（2001•四川）如图，将矩形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边的F处，若∠BAF=60°，则∠DAE等于（）A．15°B．30°C．45°D．60°本题主要考查矩形的性质以及折叠，求解即可．解：因为∠EAF是△DAE沿AE折叠而得，所以∠EAF=∠DAE．又因为在矩形中∠DAB=90°，即∠EAF+∠DAE+∠BAF=90°，又∠BAF=60°，所以∠AED==15°．故选A．图形的折叠实际上相当于把折叠部分沿着折痕所在直线作轴对称，所以折叠前后的两个图形是全三、解答题（共7小题，满分0分）7．已知∠α，用两种不同的方法，画出∠α的余角∠β和∠α的补角∠γ．②过另一条边作其反向延长线，延长线与一边所组成的钝角即为∠α的补角．解：∠α的余角如图（1）、（2），∠α的补角如图（3）、（4）：8．一个角的余角比它的补角的还少40°，求这个角．计算题．利用“一个角的余角比它的补角的还少40°”作为相等关系列方程求解即可．解：设这个角为x，则有90°﹣x+40°=（180°﹣x），解得x=30°．答：这个角为30°．主要考查了余角和补角的概念以及运用．互为余角的两角的和为90°，互为补角的两角9．在图中，确定A、B、C、D的位置：（1）A在O的正北方向，距O点2cm；（2）B在O的北偏东60°方向，距O点3cm；（3）C为O的东南方向，距O点1.5cm；（4）D为O的南偏西40°方向，距O点2cm．找出各点的位置．解：建立坐标系xOy，以原点O为坐标原点，1cm为单位长度，（1）A在O的正北方向，距O点2cm，即A点在y轴上2cm处；（2）B在O的北偏东60°方向，距O点3cm，知点B到x轴的距离为1.5cm，到y轴的距离为cm处；（3）C为O的东南方向，距O点1.5cm，即C的坐标为（，），在坐标系中画出即可．（4）D为O的南偏西40°方向，距O点2cm．利用量角器在第三象限作出南偏西的射线，以O点为一端，取2cm，这个点就是D点．各点位置如下图所示：本题考查的是对方向角的准确理解和运用．10．直线AB、CD相交于O，∠BOC=80°，OE平分∠BOC，OF为OE的反向延长线．画出图形并求出∠BOD和∠DOF的度数．利用邻补角互补，得∠BOD的度数，利用角平分线的定义，即可求∠DOF的度数，解：作图如下：∠BOD=180°﹣∠BOC=100°，∵OE平分∠BOC，OF为OE的反向延长线，∴∠DOF=∠BOC=40°．此题综合考查了角平分线的定义和邻补角互补的性质．11．如图所示，A、B两条海上巡逻艇同时发现海面上有一不明物体，A艇发现该不明物体在它的东北方向，B艇发现该不明物体在它的南偏东60°的方向上，请你试着在图中确定这个不明物体的位置．解答：解：根据题意，分别以A和B所在位置作出不明物体所在它们的方向上的射线，两线的交点D即为不明物体所处的位置．如下图所示：点评：本题考查的是方向角在生活中的应用，要求学生要学以致用，灵活运用所学知识解决问题．12．小华从A点出发向北偏东50°方向走了80米到达B地，从B地他又向西走了100米到达C地．（1）用1：2000的比例尺（即图上1cm等于实际距离20米）画出示意图；（2）用刻度尺和量角器量出AC的距离，以及C点的方向角；（3）回答C点距A点的实际距离是多少（精确到1米），C点的方向角为多少．（精确到1°）．解答：解：如图所示，∠1=50°，（1）∵A到B点的实际距离是80米，B到C点实际距离是100米，∴AB=4厘米，BC=5厘米；（2）用刻度尺测量可知，AC=3cm，量角器量可量出∠CAD=40°；（3）∵AC=3cm，∠CAD=40°，∴A、C的实际距离为：3×20=60（米），∵∠CAD=40°，∴C点的方向角为：北偏西40°．点评：本题考查的是方向角的概念及比例尺，根据题意正确画出方向角是解答此题的关键．13．在飞机飞行时，飞行方向是用飞行路线与实际的南或北方向线之间的夹角大小来表示的，如图，用AN（南北线）与飞行线之间顺时针方向夹角作为飞行方向角，从A到B的飞行方向角为35°，从A到C的飞行方向角为60°，从A到D的飞行方向角为145°，试求AB与AC之间夹角为多少度？AD与AC之间夹角为多少度？并画出从A飞出且方向角为105°的飞行线．角度解答．解：由题意可知∠NAB=35°，∠NAC=60°，∠NAD=145°．故AB与AC之间夹角为∠NAC﹣∠NAB=60°﹣35°=25°，AD与AC之间夹角为∠NAD﹣∠NAC=145°﹣60°=85°，从A飞出且方向角为105°的飞行线，即∠NAE=105°．此题是一道材料分析题，解答时要认真阅读，明确题目条件，特别是题目中的新概念，依据。
4.3.3余角和补角_
余角和补角课前预习要点感知1如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为________；如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为________．预习练习1－1已知∠1＝30°，则∠1的余角度数是________，∠1的补角度数是________．要点感知2同角(等角)的余角________，同角(等角)的补角________．预习练习2－1已知∠1与∠2互余，∠2与∠3互余，则∠1与∠3的关系是________．已知∠1与∠3互补，∠2与∠3互补，则∠1与∠2的关系是________．当堂训练知识点1余角和补角的定义1．(黄冈中考)如果α与β互为余角，那么( )A．α＋β＝180°B．α－β＝180°C．α－β＝90°D．α＋β＝90°2．(柳州中考改编)如图，直线a与直线c相交于点O，∠1的余角的度数是( )A．60°B．50°C．40°D．30°3．若两个角互补，则( )A．这两个角都是锐角B．这两个角都是钝角C．这两个角一个是锐角，一个是钝角D．以上答案都不对4．如图，已知：∠AOB＝∠COD＝90°，则∠1与∠2的关系是( )A．互余B．互补C．相等D．无法确定5．(安顺期末)已知∠α与∠β互余，且∠α＝35°20′，则∠β ＝________.6．(黔东南期末)已知∠α＝67°15′，则∠α的补角的度数是________．7．已知∠AOB＝40°，OC是∠AOB的平分线，则∠AOC的余角等于________．8．(来宾中考)(1)已知一个角是它的余角的一半，求这个角的度数；(2)如图，∠AOB ＝114°，OD 是∠AOB 的平分线，∠1与∠2互余，求∠1的度数．知识点2 余角、补角的性质9．(黔东南期末)若∠1＋∠2＝90°，∠1＋∠3＝90°，则( )A ．∠2＋∠3＝180°B ．∠2＋∠3＝90°C ．∠2＝∠3D ．∠2－∠3＝45°10．已知∠1和∠2互补，∠2和∠3互补，∠1＝65°，则∠3＝________.11．若∠α＝∠β，且∠α＋∠1＝180°，∠β＋∠2＝180°，则∠1与∠2的关系为________．知识点3 方位角12．如图，下列说法中错误的是( )A ．OA 方向是北偏东30°B ．OB 方向是北偏西15°C ．OC 方向是南偏西25°D ．OD 方向是东南方向13．一轮船A 观测灯塔B 在其北偏西50°，灯塔C 在其南偏西40°，则此时∠BAC ＝( )A ．80°B ．90°C ．40°D ．不能确定课后作业14．下列说法中不正确的是( )A ．钝角没有余角，但一定有补角B ．一个锐角的补角比它的余角大90°C ．一个锐角的余角比这个锐角大D ．若两个角相等且互为补角，则这两个角都是90°15．已知∠1与∠2互为余角，那么∠1的补角是( )A ．180°＋∠1B ．90°＋∠1C ．90°＋∠2D ．90°－∠216．一个角的余角比这个角的补角的13还小10°，求这个角的度数．17．如图，指出OA是表示什么方向的一条射线？仿照这条射线画出表示下列方向的射线：(1)南偏东60°；(2)北偏西70°；(3)西南方向(即南偏西45°)．18．如图，AOB是一条直线，∠AOD＝∠BOD＝∠EOC＝90°，∠BOC∶∠AOE＝3∶1.(1)求∠COD的度数；(2)图中有哪几对角互为余角？(3)图中有哪几对角互为补角？挑战自我19．如图1所示，将一副三角尺的直角顶点重合在点O处．(2)若将等腰的三角尺绕点O 旋转到如图2的位置．①∠AOD 和∠BOC 相等吗？说明理由；②∠AOC 和∠BOD 的以上关系还成立吗？说明理由．参考答案课前预习要点感知1 余角 补角 预习练习1－1 60° 150° 要点感知2 相等 相等 预习练习2－1 ∠1＝∠3 ∠1＝∠2当堂训练1．A 2.A 3.D 4.B 5.54°40′ 6.112°45′ 7.70° 8.(1)设这个角的度数是x °，根据题意，得x ＝12°. (2)因为OD 平分∠AOB ，所以∠2＝12∠AOB ＝12×114°＝57°.又因为∠1和∠2互余，所以∠1＝90°－∠2＝90°－57°＝33°.9．C 10.65° 11.相等 12.A 13.B课后作业14．C 15.C 16.设这个角的度数为x °，则90－x ＝13(180－x)－10.解得x ＝60.答：这个角的度数为60°. 17.OA 表示北偏东40°.(1)(2)(3)画图略． 18.(1)根据题意，得∠BOC ＋∠AOE ＝90°，因为∠BOC ∶∠AOE ＝3∶1，所以∠BOC ＝34×90°°.所以∠COD ＝90°°°. (2)∠COB 与∠COD ，∠COB 与∠AOE ，∠DOE 与∠COD ，∠DOE 与∠AOE. (3)∠COB 与∠COA ，∠DO E 与∠COA ，∠AOE 与∠EOB ，∠COD 与∠EOB ，∠AOD 与∠BOD ，∠EOC 与∠AOD ，∠EOC 与∠BOD.挑战自我19．(1)①∠AOD ＝∠BOC.理由略．②∠AOC 和∠BOD 互补．理由略． (2)①∠AOD ＝∠BOC.理由略．②∠AOC 和∠BOD 互补．理由略．。
专训4.3.2 余角与补角-七年级上册考点专训(含答案)(人教版)
专训4.3.2 余角与补角一、单选题1．（2021·福建南安·七年级期末）已知50.5α︒∠=，则α∠的余角等于（ ） A ．3930︒'B ．3950︒'C ．4930︒'D ．12930︒'【答案】A【分析】根据互余的两个角的和等于90°列式计算即可得解，注意1°=60′．【详解】解：∵50.5α︒∠=∴α∠的余角=9050.539.53930'︒-︒=︒=︒故选：A2．（2020·全国七年级课时练习）如图，∠1的余角可能是图中的（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】根据余角的定义选出正确选项．【详解】解：互余两角的和为90°，选项中只有C 符合．故选C ．3．（2021·浙江南浔·九年级二模）已知7622α'∠=︒，则α∠的补角是（ ）． A ．10338'︒B ．10378'︒C ．1338'︒D ．1378'︒【答案】A【分析】直接将180°减去∠α即可．【详解】解：∵∠α=7622︒'，∴∠α的补角为180180762210338α︒-∠=︒-︒'=︒'，故选A ．4．（2021·武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）七年级期末）如图，C 、D 在线段BE 上，下列说法：①直线CD 上以B 、C 、D 、E 为端点的线段共有6条；②图中有4对互补的角；③若∠BAE =110°，∠DAC =40°，则以A 为顶点的所有小于平角的角的度数和为370°；④若BC =4，CD =DE =5，点F 是线段BE 上任意一点（包含端点），则点F 到点B 、C 、D 、E 的距离之和最大值为27，最小值为15，其中正确的说法有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】 ①按照一定的顺序输出线段的条数即可判断；②根据补角的定义即可判断；③根据角的和差计算机可判断；④分两种情况讨论：当点F 在线段CD 上最小，当点F 和E 重合最大计算即可判断．【详解】解：①以B 、C 、D 、E 为端点的线段BC 、BD 、BE 、CE 、CD 、DE 共6条，故本选项正确； ②图中互补的角就是分别以C 、D 为顶点的两对邻补角，即∠BCA 和∠ACD 互补，∠ADE 和∠ADC 互补，故本选项错误；③由∠BAE =100°，∠CAD =40°，根据图形可以求出∠BAC +∠DAE +∠DAC +∠BAE +∠BAD +∠CAE =110°+110°+110°+40°=370°，故选项正确；④当F 在的线段CD 上最小，则点F 到点B 、C 、D 、E 的距离之和为FB +FE +FD +FC =4+5+5+5=19，当F 和E 重合最大则点F 到点B 、C 、D 、E 的距离之和FB +FE +FD +FC =14+0+5+10=25，故本选项错误．故选B ．5．（2020·广西南丹·七年级期末）已知75α∠=︒，则α∠的补角等于（ ）A ．15︒B ．25︒C ．75︒D ．105︒【答案】D【分析】根据补角的定义求解即可．【详解】解：∠α的补角=180°-∠α=180°-75°=105°．故选：D ．6．（2021·全国七年级）已知一个角是30°，那么这个角的补角的度数是（ ）A ．120°B ．150°C ．60°D ．30°【答案】B【分析】 根据互补的两角之和为180°即可得出这个角的补角．【详解】解：这个角的补角18030150=︒-︒=︒．故答案为：B ．7．（2021·安徽定远·七年级期末）如图，点O 在直线ED 上，90AOB COD ∠=∠=︒，下列说法错误．．的是（ ）A ．AOC BOD ∠=∠B ．AOE ∠和AOC ∠互余 C ．AOE BOD ∠=∠D ．AOC ∠和∠BOE 互补【答案】C【分析】根据余角和补角的定义逐一判断即可得．【详解】解：∵90AOB COD ∠=∠=︒，∴AOC BOC BOD BOC ∠+∠=∠+∠＝90°，∴AOC BOD ∠=∠，故A 选项正确；∵90COD ∠=︒，点O 在直线ED 上 ∴∠AOE ＋AOC ∠＝90°，即AOE ∠和AOC ∠互余，故B 选项正确；∵AOC BOD ∠=∠，∠AOE ＋AOC ∠＝90°∴∠AOE ＋BOD ∠＝90°，故C 错误；∵AOC BOD ∠=∠，∠BOE ＋BOD ∠＝180°∴AOC ∠+∠BOE ＝180°，即AOC ∠和∠BOE 互补，故D 选项正确；故选：C ．8．（2021·天津滨海新·七年级期末）如图，120AOD ∠=︒，OC 平分AOD ∠，OB 平分AOC ∠．下列结论：①AOC COD ∠=∠；②2COD BOC ∠=∠；③AOB ∠与COD ∠互余；④AOC ∠与AOD ∠互补． 正确的个数有（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【分析】 根据角平分线的性质求出各角，再根据余角与补角的性质即可判断．【详解】∵120AOD ∠=︒，OC 平分AOD ∠， ∴1120602AOC DOC ∠=∠=⨯︒=︒ ∵OB 平分AOC ∠． ∴160302AOB BOC ∠=∠=⨯︒=︒ ∴①AOC COD ∠=∠，正确；②2COD BOC ∠=∠，正确；③AOB ∠与COD ∠互余，正确；④AOC ∠与AOD ∠互补，正确故选D ．9．（2020·河北新乐·七年级期中）若90αθ∠+∠=︒，βθ∠=∠，则α∠与β∠的关系是（ ）A ．α∠与β∠互余B ．α∠与β∠互补C ．α∠与β∠相等D ．α∠大于β∠【答案】A【分析】根据等角的余角相等可直接进行排除选项．【详解】解：∵90αθ∠+∠=︒，βθ∠=∠，∴90αβ∠+∠=︒，故选A ． 10．（2019·哈尔滨市萧红中学七年级月考）如图AB CD ⊥，垂足为D ，ED DF ⊥，下列结论正确的有（ ）（1）ADE CDF ∠=∠；（2）EDC FDB ∠=∠；（3）ADE ∠与BDF ∠互余；；（4）CDF ∠与ADE ∠互补．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】根据余角和补角的性质即可得到结论；【详解】∵AB CD ⊥，ED DF ⊥，∴90ADC EDF ∠=∠=︒，∴90ADE CDE CDF CDE ∠+∠=∠+∠=︒，∴ADE CDF ∠=∠，故（1）正确；同理可得EDC FDB ∠=∠，故（2）正确；∵1801809090ADE BDF EDF ∠+∠=︒-∠=︒-︒=︒，∴ADE ∠与BDF ∠互余，故（3）正确；∵CDF ADE ∠=∠＜90︒，∴CDF ADE ∠+∠＜180︒，∴CDF ∠与ADE ∠不互补，故（4）错误；故答案选C ．11．（2020·全国七年级单元测试）如图∠AOC=∠BOD=90︒，4位同学观察图形后分别说了自己的观点.甲：∠AOB=∠COD ；乙：图中小于平角的角有6个；丙：∠AOB+∠COD =90︒；丁：∠BOC+∠AOD = 180 .其中正确的结论有（ ）.A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】B【分析】 根据余角的性质，补角的性质，可得答案．【详解】解：甲∠AOB+∠BOC=∠BOC+∠COD=90°，∠AOB=∠COD ，故甲正确；乙∠AOB ，∠AOC ，∠AOD ，∠BOC ，∠BOD ，∠COD ，故乙正确；丙∠AOB=∠COD ，故丙错误；丁：∠BOC+∠AOD=∠BOC+∠AOB+∠BOD=∠AOC+∠BOD=180°，故丁正确； 故选：B ．12．（2021·安徽金寨·七年级期末）已知∠α和∠β互补，且∠α＞∠β，下列表示角的式子：①90°-∠β；②∠α-90°；③12（∠α+∠β）；④12（∠α-∠β）．其中能表示∠β的余角的有（ ）个．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】互补即两角的和为180°，互余即两角的和为90°，根据这一条件判断即可．【详解】解：已知∠β的余角为：90°−∠β，故①正确；∵∠α和∠β互补，且∠α＞∠β，∴∠α＋∠β＝180°，∠α＞90°，∴∠β＝180°−∠α，∴∠β的余角为：90°−（180°−∠α）＝∠α−90°，故②正确；∵∠α＋∠β＝180°， ∴12（∠α＋∠β）＝90°，故③错误，∴∠β的余角为：90°−∠β＝12（∠α＋∠β）−∠β＝12（∠α−∠β），故④正确． 所以①②④能表示∠β的余角，故答案为：C ．13．（2020·河南邓州·七年级期末）如图，直线m 、n 相交于一点，12180∠+∠=︒，13180∠+∠=︒，则23∠∠=，理由是（ ）A ．如果两个角的和等于90︒，那么这两个角互余B ．同角（等角）的余角相等C ．如果两个角的和等于180︒，那么这两个角互补D ．同角（等角）的补角相等【答案】D【分析】∠2和∠3都是∠1的补角，同角（等角）的补角相等，可得23∠∠=．【详解】∵12180∠+∠=︒，13180∠+∠=︒∴∠2和∠3都是∠1的补角∵同角（等角）的补角相等∴23∠∠=所以答案为：D ．二、填空题14．（2021·全国九年级）553840'︒''的角的余角等于________．【答案】342120'︒''【分析】利用余角的定义，以及度分秒的计算求解即可．【详解】解：553840'︒''的角的余角为90553840342120''''''-︒=︒︒．故答案为：342120'︒''．15．（2020·山东德城·德州四中七年级期末）若∠1=35°22′，则∠1的余角是______．【答案】5438'︒【分析】用90︒减去1∠的度数得到1∠的余角的度数．【详解】解：9035225438''︒-︒=︒．故答案是：5438'︒．16．（2021·全国七年级）已知35a ∠=，则a ∠的余角是________，a ∠的补角是________．【答案】55 145【分析】根据余角的概念、补角的概念计算即可得解．【详解】解：∵90903555a ︒-∠=︒-︒=︒，180********a ︒-∠=︒-︒=︒∴a ∠的余角是55︒，a ∠的补角是145︒，故答案为：55；145．17．（2021·广西德保·七年级期末）已知6032α∠=︒'，则α∠的余角是__．【答案】2928︒'【分析】根据余角的定义计算得出答案即可．【详解】解：∵6032α∠=︒'，∴α∠的余角是：9060322928︒-︒'=︒'．故答案为：2928︒'．18．（2020·肃南裕固族自治县第一中学七年级期末）231745'''︒的余角是_________________，补角是___________________．【答案】664215'''︒ 1564215'''︒【分析】根据互为余角、互为补角的定义进行计算即可求得答案．【详解】解：∵90231745895960231745664215''''''''''''︒-︒=︒-︒=︒∴231745'''︒的余角是664215'''︒；∵18023174517959602317451564215''''''''''''︒-︒=︒-︒=︒∴231745'''︒的补角是1564215'''︒．故答案是：664215'''︒；1564215'''︒19．（2021·广东增城·七年级期末）已知∠A ＝60°，则∠A 的补角是______度．【答案】120【分析】两角互余和为90°，互补和为180°，求∠A 的补角只要用180°﹣∠A 即可．【详解】解：设∠A 的补角为∠β，则∠β＝180°﹣∠A ＝120°．故答案为：120．20．（2020·山西孝义·七年级期末）已知∠A 与∠B 互补，若∠A =89°30′16″，则∠B =________．【答案】902944'''︒【分析】由题，∠A 与∠B 互补，可知∠A+∠B=180°；又度、分、秒之间转换：160'︒= ，160'''=；即可求解．【详解】依题意可知：∠A 与∠B 互补，∴∠A+∠B=180°；180180893016902944B A ''''''∠=︒-∠=︒-︒=︒；故答案为：902944'''︒．【点睛】本题考查度、分、秒之间进制转换，关键在理解进制的使用和熟练程度，属于基础题型． 21．（2021·全国九年级）若'''351628α∠=，则α∠的补角为________．【答案】'1444332"．【分析】利用角度的单位互化，1=60,1=60''''︒，根据补角的定义计算即可．【详解】解：∵351628α'''∠=，∴α∠的补角18035162817959603516281444332''''''''''''=-=-=．故答案为：1444332'''．22．（2020·重庆沙坪坝·七年级期末）已知∠α＝75°，则∠α的补角的度数为_____．【答案】105°【分析】根据互为补角的两个角的和等于180°列式计算即可得解．【详解】解：∵∠α＝75°，∴∠α的补角＝180°﹣75°＝105°．故答案为：105°．23．（2020·石家庄市栾城区教育局教研室七年级期中）如图，90BOC ∠=°，45COD ∠=︒，则图中互为补角的角共有______对．【答案】3对【分析】根据题意，补角的定义是两个角的和为180°即可得出结论．【详解】由题意知，∵90BOC ∠=°，45COD ∠=︒，∴∠BOD=45°，∠AOD=135°，∴互补的角为：∠BOD 和∠AOD ，∠COD 和∠AOD ，∠AOC 和∠BOC,共3对， 故答案为：3对．【点睛】本题考查了补角的定义，掌握补角的定义是解题的关键．24．（2020·内蒙古四子王旗·七年级期末）已知∠α= 29°18′，则∠α的余角的补角等于_________．【答案】119°18´【分析】利用互余和互补两角的关系即可求出答案．【详解】解：∵∠α= 29°18′，∴∠α的余角=90°-29°18′=60°42′，∴∠α的余角的补角=180°-60°42′=119°18´．25．（2021·北京交通大学附属中学七年级期末）如图，将一副三角板按如图所示位置摆放，其中∠α与∠β相等的是_____，∠α与∠β互补的是_____．（填序号）【答案】②③ ④【分析】根据平角的意义，同角的余角相等，互为补角，互为余角的意义逐项探索∠α和∠β的关系即可．【详解】解：图①中，∠α+∠β＝180°﹣90°＝90°，图②中，根据同角的余角相等可得∠α＝∠β，图③中，∠α＝180°﹣45°＝135°，∠β＝180°﹣45°＝135°，因此∠α＝∠β，图④中，∠α+∠β＝180°，所以∠α与∠β相等的有②③，∠α与∠β互补的有④，故答案为：②③，④．26．（2021·江苏高邮·七年级期末）若∠1+∠2＝180°，∠3+∠4＝180°，∠1＝∠4，则∠2＝∠3，理由是_____．【答案】等角的补角相等【分析】根据补角的性质：等角的补角相等进行解答．【详解】解：∵∠1+∠2＝180°，∠3+∠4＝180°，且∠1＝∠4．∴∠2＝∠4（等角的补角相等）．故答案为：等角的补角相等．27．（2020·浙江七年级期末）若30.2α∠=︒，则α的补角=______．（用“度、分”表示）．【答案】14948'︒.【分析】把度数写成度，分的形式，后计算即可.【详解】∵30.2α∠=︒，∴30+0.2α∠=︒︒，∵0.2=0.260=12''︒⨯，∴3012α'∠=︒，∴α的补角为180-3012=17960-3012'''︒︒︒︒=14948'︒，故答案为：14948'︒.28．（2020·河南唐河·七年级期末）如图，下列推理正确的是__________________.①∵直线AB ，CD 相交于点E （如图1），∴12∠=∠；②∵90ABD EBC ∠=∠=︒（如图2），∴12∠=∠；③∵OB 平分AQC ∠（如图3），∴12∠=∠；④∴128.3∠=︒，2283'∠=︒（如图4），∴12∠=∠.【答案】①②③【分析】①根据对顶角性质可得；②根据“同角的余角相等”可得；③根据角平分线定义可得；④根据角的度数换算可得.【详解】①根据对顶角性质可得，∵直线AB ，CD 相交于点E （如图1），∴12∠=∠；②根据“同角的余角相等”可得，∵90ABD EBC ∠=∠=︒（如图2），∴12∠=∠； ③根据角平分线定义可得，∵OB 平分AQC ∠（如图3），∴12∠=∠；④∵128.32818'∠=︒=︒，2283'∠=︒（如图4），∴12∠≠∠.故答案为：①②③三、解答题29．（2021·全国七年级）已知'7642α∠=，'4141β∠=，求：（1）β∠的余角；（2）α∠与β∠的2倍的和．【答案】（1）'4819；（2）1604'【分析】（1）根据互为余角的两个角的和为90度可得∠β的余角=90°-∠β，将∠β=41°41′代入计算即可；（2）将∠α=76°42'，∠β=41°41'代入∠α+2∠β，然后计算即可．【详解】解：()1β∠的余角90β=-∠.'904141=-'4819=.()'27642α∠=，'4141β∠=，.''2764224141αβ∴∠+∠=+⨯.''76428322=+1604='．30．（2021·全国七年级专题练习）（1）已知一个角的余角是这个角的补角的15，求这个角的度数以及这个角的余角和补角．（2）已知线段AB 长为9，点C 是线段AB 上点，满足12AC CB =，点D 是直线AB 上一点，满足12BD AC =．①求出线段AC 的长；②求出线段CD 的长．【答案】（1）这个角的度数为67.5︒，余角为22.5︒，补角为112.5︒；（2）①3；②4.5或7.5．【分析】（1）设这个角的度数为x ，则它的余角为90x ︒-，补角为180x ︒-，再根据题意列出方程，求出x 的值，进一步求解即可；（2）①由AB 的长，即AC 为BC 的一半求出AC 与BC 的长；②由BD 为AC 一半求出BD 的长，由BC−BD 及BD ＋BC 即可求出CD 的长．【详解】解：（1）设这个角的度数为x ，则它的余角为90x ︒-，补角为180x ︒-， 依题意得：()1901805x x ︒-=︒-， 解得67.5x =︒，909067.522.5x ︒-=︒-︒=︒，18018067.5112.5x ︒-=︒-︒=︒． 故这个角的度数是67.5︒，这个角的余角是22.5︒，补角是112.5︒．（2）如图1，2，分两种情况讨论：①∵9AB =，12AC CB =，12BD AC =，∴AC ＝3，BC ＝6，BD ＝1.5，故线段AC 的长为3；②由图1得CD ＝BC−BD ＝4.5，由图2得CD ＝BC ＋BD ＝7.5．故线段CD 的长为4.5或7.5．31．（2021·贵州万山·七年级期末）如图，点A ，O ，B 在一条直线上，80AOC ∠=︒，50COE ∠=︒，OD 是AOC ∠的平分线．（1）请直接写出COD ∠的余角和补角．（2）求AOE ∠和DOE ∠的度数；（3）OE 是COB ∠的平分线吗？为什么？【答案】（1）COD ∠的余角为COE ∠和∠BOE ，补角为BOD ∠；（2）130AOE ∠=︒，90DOE ∠=︒；（3）是，理由见解析．【分析】（1）根据角平分线的定义和角的和差计算其它几个角，再根据余角和补角的定义分析即可； （2）直接根据角平分线的定义和角的和差计算即可；（3）利用角的和差计算∠BOE ，再依据角平分线的定义判断．【详解】解：（1）∵80AOC ∠=︒，OD 是AOC ∠的平分线，∴40AOD COD ∠=∠=︒，∵50COE ∠=︒，∴18050BOE AOC COE ∠=︒-∠-∠=︒，∴90COD COE ∠+∠=︒，90COD BOE ∠+∠=︒，180BOD COD BOD AOD ∠+∠=∠+∠=︒ ， 即COD ∠的余角为COE ∠和∠BOE ，补角为BOD ∠；（2）∵80AOC ∠=︒，50COE ∠=︒，∴8050130AOE AOC COE ∠=∠+∠=︒+︒=︒．∵OD 是AOC ∠的平分线， ∴180402COD AOD ∠=∠=⨯︒=︒． ∴405090DOE COD COE ∠=∠+∠=︒+︒=︒；（3）∵180********BOE AOE ∠=︒-∠=︒-︒=︒，∴BOE COE ∠=∠．∴OE 是COB ∠的平分线．32．（2021·天津滨海新·七年级期末）（1）如图，点C 是线段AB 的中点，D 是线段AB 的三等分点，如果2cm CD =，求线段AB 的长．（2）如图，O 为直线AB 上一点，50AOC ∠=︒，OD 平分AOC ∠，90DOE ∠=︒．①求BOD ∠的度数；②OE 是BOC ∠的平分线吗？为什么？【答案】（1）12；（2）①155°，②OE 是BOC ∠平分线，理由见解析【分析】（1）根据中点的定义和三等分点的定义可知：12AC AB =，13AD AB =从图中可知，CD=AC -AD ，从而得到AB 与CD 的关系列出方程求解即可；（2）①先根据角平分线的定义求出1252AOD COD AOC ∠=∠=∠=︒，再由邻补角的性质即可求出BOD ∠的度数，②根据已知条件分别求出∠BOE 和COE ∠的度数即可．【详解】（1）解：∵点C 是线段AB 的中点，∴12AC AB =（线段中点定义）． ∵D 是线段AB 的三等分点， ∴13AD AB =（线段三等分点定义）． ∵2cm CD =，∴11223CD AC AD AB AB =-=-=． ∴12AB =．（2）①解：∵OD 平分AOC ∠，∴1252AOD COD AOC ∠=∠=∠=︒（角平分线定义）． ∵180AOD BOD AOB ∠+∠=∠=︒（平角定义）∴18025155BOD AOB AOD ∠=∠-∠=︒-︒=︒．②答：OE 是BOC ∠平分线．理由：∵90COD COE DOE ∠+∠=∠=︒，∴902565COE DOE COD ∠=∠-∠=︒-︒=︒．∵180259065BOE AOB AOD EOD ∠=∠-∠-∠=︒-︒-︒=︒．∴BOE COE ∠=∠，∴OE 平分BOC ∠（角平分线定义）．33．（2021·全国七年级单元测试）如图，两个直角三角形的直角顶点重合，∠AOC ＝40°，求∠BOD 的度数．结合图形，完成填空：解：因为∠AOC+∠COB ＝ °，∠COB+∠BOD ＝ ①所以∠AOC ＝ ．②因为∠AOC ＝40°，所以∠BOD ＝ °．在上面①到②的推导过程中，理由依据是： ．【答案】90，90，∠BOD ，40，同角的余角相等【分析】根据同角的余角相等即可求解．【详解】解：因为∠AOC+∠COB ＝ 90 °，∠COB+∠BOD ＝ 90 ° -﹣﹣﹣①所以∠AOC ＝ ∠BOD ．﹣﹣﹣﹣②-因为∠AOC ＝40°，所以∠BOD ＝ 40 °．在上面①到②的推导过程中，理由依据是：同角的余角相等．故答案为：90，90，∠BOD ，40，同角的余角相等．34．（2020·广西环江·七年级期中）任选一题作答，只计一题的成绩：a.如图，在65⨯的正方形网格中，点A ，B ，C ，D ，E ，F 都在格点上．连接点A ，B 得（1）画出过C ，D ，E ，F 中的任意两点的直线；（2）互相平行的直线（线段）有 ；（请用“”表示）（3）互相垂直的直线（线段）有 ．（请用“⊥”表示）b.如图，直线AB 和CD 相交于O ，90EOC ∠=︒，OF 是AOE ∠的角平分线，34COF ∠=︒，求BOD ∠的度数．其中一种解题过程如下，请在括号中注明根据，在横线上补全步骤．解：90EOC ∠=︒34COF ∠=︒( )EOF ∴∠= ︒ OF 是AOE ∠的角平分线AOF ∴∠= 56=︒( )AOC ∴∠= ︒AOC ∠+ 90=︒90BOD EOB ∠+∠=︒( )BOD AOC ∴∠=∠= ︒( )【答案】a.（1）详见解析；（2）AB ∥DE ；（3）CD CF ⊥，DF DE ⊥，DF AB ⊥．b.已知，903456EOF ∠=︒-︒=︒；1562AOF AOE ∠=∠=︒；角平分线定义；563422AOC ∠=︒-︒=︒；90AOC EOB ∠+∠=︒；平角定义；22BOD AOC ∠=∠=︒；同角的【分析】a.（1）根据直线的定义过C ，D ，E ，F 中的任意两点的直线可以作出6条直线；（2）根据平行线的判定即可得出答案；（3）根据垂线的定义即可得出答案；b.根据互余角的定义、角平分线的定义、平角的定义、同角的余角相等来求解即可．【详解】a ．解：（1）如图；（2）AB ∥DE ；（3）CD CF ⊥，DF DE ⊥，DF AB ⊥．b.解： 90EOC ∠=︒34COF ∠=︒( 已知 )∴903456EOF ∠=︒-︒=︒； OF 是AOE ∠的角平分线 ∴1562AOF AOE ∠=∠=︒；角平分线定义 ∴563422AOC ∠=︒-︒=︒；∵90AOC EOB ∠+∠=︒；90BOD EOB ∠+∠=︒( 平角定义 )∴22BOD AOC ∠=∠=︒；同角的余角相等；35．（2020·河北青县·七年级期末）将一副三角板按图甲的位置放置．（1）那么∠AOD和∠BOC相等吗?请说明理由；（2）试猜想∠AOC和∠BOD在数量上有何关系?请说明理由；（3）若将这副三角板按图乙所示摆放，三角板的直角顶点重合在点O处．上述关系还成立吗?请说明理由．【答案】（1）∠AOD和∠BOC相等；理由见解析；（2）∠AOC和∠BOD互补；理由见解析；（3）成立．理由见解析．【分析】（1）根据角的和差关系解答，（2）利用周角的定义解答；（3）根据同角的余角相等解答∠AOD和∠BOC的关系，根据图形，表示出∠BOD+∠AOC=∠BOD+∠AOB+∠COB整理即可得到原关系仍然成立．【详解】解：(1)∠AOD和∠BOC相等,∵∠AOB=∠COD=90°,∴∠AOB+∠BOD=∠COD+∠BOD,∴∠AOD=∠COB;(2)∠AOC和∠BOD互补∵∠AOB=∠COD=90°,∴∠BOD+∠AOC=360°-90°-90°=180°,∴∠AOC和∠BOD互补.⑶成立.∵∠AOB=∠COD=90°,∴∠AOB-∠BOD=∠COD-∠BOD,∴∠AOD=∠COB;∵∠AOB=∠COD=90°,∴∠BOD+∠AOC=∠BOD+∠AOB+∠COB=90°+∠BOD+∠COB=90°+∠DOC=90°+90°=180°.。
(完整版)余角和补角练习题
8.7 余角和补角[基础训练]1、下列说法错误的是 （ ）A 、同角或等角的余角相等B 、同角或等角的补角相等C 、两个锐角的余角相等D 、两个直角的补角相等2、如果两个锐角的和是 ，则这两个角互为余角，如果两个角的和是 ，则这两个角互为补角。
3、若∠α=50º，则它的余角是 ，它的补角是 。
4、若∠β=110º，则它的补角是 ，它的补角的余角是 。
5、如图，∠ACB=∠CDB=90º，图中∠ACD 的余角有 个。
6、若∠1与∠2互余，∠3和∠2互补，且∠3=120º，那么∠1= 。
[综合提高] 一、选择题：1、一个角的补角是 （ ） A 、锐角 B 、直角 C 、钝角 D 、以上三种情况都有可能2、一个锐角的补角比这个角的余角大 （ ） A 、30º B 、45º C 、60º D 、90º3、如图，∠AOD=∠DOB=∠COE=90º，其中共有互余的角( ）A 、2对B 、3对C 、4对D 、6对 4、若∠1与∠2互补，∠3与∠1互余，∠2+∠3=240º，由∠2是∠1的 （ ）A 、251倍 B 、5倍 C 、11倍 D 、无法确定倍数5、若∠1与∠2互为补角，且∠1<∠2，则∠1的余角是 （ ）A 、∠1B 、∠1+∠2C 、21（∠1+∠2）D 、21（∠2-∠1）二、填空题6、32º28’的余角为 ，137º45’的补角是 。
7、∠1与∠2互余，∠1=（6x+8）º,∠2=(4x-8)º,则∠1= ，∠2= 。
8、如图，O 是直线AB 一点，∠BOD=∠COE=90º， 则（1）如果∠1=30º，那么∠2= ，∠3= 。
（2）和∠1互为余角的有 。
和∠1相等的角有 。
9、如图，O 是直线BD 上一点，∠BOC=36º，∠AOB=108º，则与∠AOB 互补的角有 。
余角和补角专项练习30题(有答案)ok
余角和补角专项练习30题（有答案）1．若∠α=40°，则∠α的余角是_________．2．已知一个角的补角比这个角的余角的3倍大10°，求这个角的度数．3．已知一个角的补角等于这个角的余角的4倍，求这个角的度数．4．一个角的余角比它的补角的还少20°，求这个角．5．一个角的补角是123°24′16″，则这个角的余角是多少．6．一个角的补角是它的3倍，这个角是多少度？7．如图，∠AOC和∠BOD都是直角，如果∠AOB=150°，求∠COD的度数．8．已知∠α和∠β互余，且∠α比∠β小25°，求∠α﹣∠β的度数．9．一个角的补角是它的余角的10倍，求这个角．10．已知一个角的补角比这个角小30°，求这个角的度数．11．已知∠α与∠β互为补角，并且∠α的两倍比∠β大60°，求∠α、∠β．12．已知∠α=2∠β，∠α的余角的3倍等于∠β的补角，求∠α、∠β的度数．13．若∠1与∠2互余，∠3与∠1互补，∠2=27°18′，求∠3的度数．14．如图，A、O、B在同一条直线上，∠AOD=∠DOB=∠COE=90°．（1）图中∠2的余角有_________，∠1的余角有_________．（2）请写出图中相等的锐角，并说明为什么？（3）∠1的补角是什么？∠2有补角吗？若有，请写出．15．若一个角的余角与这个角的补角之比是2：7，求这个角的邻补角．16．一个角的补角与它的余角的2倍的差是平角的，求这个角．17．已知互余两角的差为20°，求这两个角的度数．18．如图，OC是∠AOB的平分线，且∠AOD=90°．（1）图中∠COD的余角是_________；（2）如果∠COD=24°45′，求∠BOD的度数．19．如图，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，若∠BOC=70°，∠AOC=50°，请求出∠AOB与∠DOE的大小，并判断它们是否互补．20．一个角的余角比它的2倍角的补角还少15°，求这个角的度数．21．如图，点A、O、E在同一条直线上，OB、OC、OD都是射线，∠1=∠2，∠1与∠4互为余角．（1）∠2与∠3的大小有何关系？请说明理由．（2）∠3与∠4的大小有何关系？请说明理由．（3）说明∠3的补角是∠AOD．22．如图所示，∠AOC=90°，OB⊥OD，则与∠BOC相等的角有谁？图中共有多少对互为余角请写出来．23．如图，直线AB与CD相交于O，OE平分∠AOB，OF平分∠COD．（1）图中与∠COA互补的角是_________；（把符合条件的所有角都写出来）（2）如果∠AOC=35°，求∠EOF的度数．24．已知∠α与∠β互为补角，且∠β的比∠α大15°，求∠α的余角．（1）指出图中∠AOD的补角，∠BOE的补角；（2）若∠BOC=68°，求∠COD和∠EOC的度数；（3）∠COD与∠EOC具有怎样的数量关系？26．如图，点A、O、B三点在一条直线上，C为直线AB外任意一点，OE、OF分别是∠AOC和∠BOC的平分线．（1）你能求出∠EOF的度数吗？如果能，请直接写出∠EOF的度数；（2）写出∠COF的所有余角；（3）写出∠AOF的所有补角．27．有两个角，若第一个角割去它的后，与第二个互余，若第一个角补上它的后，与第二个角互补，求这两个角的度数．28．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥CD，射线OF平分∠AOE．（1）请写出图中三对互余的角；（2）若∠BOD=20°，求∠BOE及∠COF的度数．29．已知∠AOB=40°，∠BOC与∠AOB互为补角，OD是∠BOC的平分线，求∠AOD的度数．30．如图，已知直线AB与CD相交于点O，OE、OF分别是∠BOD、∠AOD的平分线．（1）∠DOE的补角是_________；（2）若∠BOD=62°，求∠AOE和∠DOF的度数；（3）判断射线OE与OF之间有怎样的位置关系？并说明理由．参考答案：1．若∠α=40°，则∠α的余角是50°．2．设这个角是x，则（180°﹣x）﹣3（90°﹣x）=10°，解得x=50°．3．设这个角为x，则它的补角为（180°﹣x）余角为（90°﹣x），由题意得：180°﹣x=4（90°﹣x）解得x=60°4．设这个角为x，则它的余角为（90°﹣x），补角为（180°﹣x），根据题意可，得90°﹣x=（180°﹣x）﹣20°，解得x=75°．5．若一个角的补角是123°24′16″，则这个角为180°﹣123°24′16″=56°35′46″，则它的余角为90°﹣56°35′46″=33°24′16″，故这个角的余角为33°24′16″6．设这个角为x，则它的补角为（180°﹣x），依题意得，180°﹣x=3x 解得x=45°．故答案为45°7．∵∠BOD是直角，∴∠BOD=90°，∵∠AOB=150°，∴∠AOD=60°，又∵∠AOC是直角，∴∠AOC=90°，∴∠COD=30°．故答案为30°8．根据题意可知，∠α+∠β=90°①，∠α+25°=∠β②，把②式代入①中，得∠α=32.5°，∠β=57.5°，所以∠α﹣∠β=32.5°﹣11.5°=21°．故答案为21°9．设这个角是x，则180°﹣x=10（90°﹣x），解得x=80°．故答案为80°10．设这个角为x，则这个角的补角为（180﹣x），那么180°﹣x=x﹣30°，解得x=105°．答：这个角为105°11．设∠β为x°，则∠α为（180﹣x）°2（180﹣x）﹣x=60∴x=100∴∠α=80°，∠β=100°．故答案为∠α=80°，∠β=100°．12．根据题意得∠α=2∠β，3（90°﹣∠α）=180°﹣∠β，解得：∠α=36°，∠β=18°．故答案为∠α=36°，∠β=18°13．∵∠1与∠2互余，∠2=27°18′∴∠1=62°42′，∵∠3与∠1互补，∴∠3=117°18′．答：∠3的度数为117°18′．又∠2和∠4都是∠1的余角，根据同角的余角相等得∠2=∠4．（3）∠1的补角是∠BOC，∠2有补角，是∠AOE15．设这个角为α，则这个角的余角为90°﹣α，这个角的补角为180°﹣α．依照题意，这两个角的比为：（90°﹣α）：（180°﹣α）=2：7．所以360°﹣2α=630°﹣7α，5α=270°，所以α=54°．从而，这个角的邻补角为：180°﹣54°=126°16．设这个角为x，（180°﹣x）﹣2（90°﹣x）=180×=60°，答：这个角是60°17．设这个角为α（α＞45°），则它的余角为90°﹣α，根据题意，α﹣（90°﹣α）=20°；得，α=55°，则其余角为35°．答：这两个角分别为55°和35°18．（1）∠AOC，∠BOC；（答对1个给1分）（2）∠AOC=∠AOD﹣∠COD=90°﹣24°45′=65°15′∵OC是∠AOB的平分线，所以∠AOB=2∠AOC=130°30′∴∠BOD=∠AOB﹣∠AOD=130°30′﹣90°=40°30′19．∵OD平分∠BOC，∠BOC=70°，∴∠BOD=∠BOC=35°，同理∠COE=25°，∴∠DOE=∠COD+∠COE=60°，∵∠BOC=70°，∠AOC=50°，∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=120°，∴∠AOB+∠DOE=120°+60°=180°．答：∠AOB与∠DOE互补．20．设这个角的度数为x，则它的余角为（90°﹣x），补角为（180°﹣x），依题意，得：（90°﹣x）=180°﹣2x﹣15°，解得x=75°，∴这个角的度数为75°21．（1）∠2与∠3互余．理由：由A、O、E在同一直线上知∠1+∠2+∠3+∠4=180°．由∠1与∠4互余知∠1+∠4=90°，则∠2+∠3=90°，所以∠2与∠3互余．（2）∠3=∠4．理由：由（1）知∠1+∠4=∠2+∠3，又∠1=∠2，则∠3=∠4．（3）由（2）中∠3=∠4知∠3的补角就是∠4的补角．因为∠4的补角是∠AOD，所以∠3的补角是∠AOD22．∵∠AOC=90°，OB⊥OD，∴∠EOA+∠AOB=∠AOB+∠BOC，∴∠BOC=∠AOE，23．（1）图中与∠COA互补的角是∠AOD或∠COB．故答案为：∠AOD或∠COB．（2）∵OE平分∠AOB，OF平分∠COD．∴∠AOE=90°，∠COF=90°，∵∠AOC=35°，∴∠EOF=∠AOE+∠COF﹣∠AOC=90°+90°﹣35°=145°．或∠EOF=∠AOE+∠COF+∠AOC=215°．答：∠EOF为145°或215°．24．根据题意及补角的定义，∴，解得，∴∠α的余角为90°﹣∠α=90°﹣63°=27°．25．（1）∠AOD的补角为∠BOD，∠BOE的补角为∠AOE；（2）∵OD平分∠BOC，∠BOC=68°，∴∠COD=∠BOC=×68°=34°，∵∠BOC=68°，∴∠AOC=180°﹣∠BOC=180°﹣68°=112°，∵OE平分∠AOC，∴∠EOC=∠AOC=×112°=56°；（3）∵OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，∴∠COD=∠BOC，∠EOC=∠AOC，∴∠COD+∠EOC=（∠BOC+∠AOC）=×180°=90°，∴∠COD与∠EOC互余26．（1）∵OE、OF分别是∠AOC和∠BOC的平分线．∴∠BOF=∠COF，∠AOE=COE，又∵∠AOC+∠BOC=180°，∴∠AOE+∠COE+∠BOF+∠COF=180°，∴∠EOC+∠COF=90°，又∵∠EOF=∠EOC+∠EOF，∴∠EOF=90°；（2）由（1）可知，∠COF的余角有∠EOC，∠AOE；27．设第一个角为α，第二个角为β，根据题意得：，解得：∴这两个角分别是90°和3028．（1）∵OE⊥CD，∴∠EOD=∠EOC=90°，∴∠BOE+∠BOD=90°，∠EOF+∠COF=90°，∴∠BOE与∠BOD互为余角；∠EOF与∠COF互为余角；又∵射线OF平分∠AOE．∴∠AOF=∠EOF，∴∠AOF+∠COF=90°，∴∠COF与∠AOF互为余角；（2）∵∠BOD=20°，∴∠BOE=70°，∴∠EOF+∠AOF=90°+20°=110°，∵∠EOF=∠AOF，∴∠EOF=∠AOF=55°，∴∠COF=55°﹣20°=35°29．解：∵∠AOB=40°，∠BOC与∠AOB互为补角，∴∠BOC=140°，又∵OD是∠BOC的平分线，∴∠DOB=70°，∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=110°．②∵∠AOB=40°，∠BOC与∠AOB互为补角，∴∠BOC=140°，又∵OD是∠BOC的平分线，综上可得∠AOD的度数为110°或30°30．（1）∵OE是∠BOD的平分线，∴∠DOE=∠BOE，又∵∠BOE+∠AOE=180°，∠DOE+∠COE=180°，∴∠DOE的补角是∠AOE或∠COE；（2））∵OE是∠BOD的平分线，∠BOD=62°，∴∠BOE=∠BOD=31°，∴∠AOE=180°﹣31°=149°，∵∠BOD=62°，∴∠AOD=180°﹣62°=118°，∵OF是∠AOD的平分线，∴∠DOF=×118°=59°；（3）OE与OF的位置关系是：OE⊥OF．理由如下：∵OE、OF分别是∠BOD、∠AOD的平分线，∴∠DOE=∠BOD，∠DOF=∠AOD，∵∠BOD+∠AOD=180°，∴∠EOF=∠DOE+∠DOF=（∠BOD+∠AOD）=90°，∴OE⊥OF。
余角与补角
）
7、 A 25 , B 75 , 那么A与B互为余角（ ） 。 8、 A
x , B (90 x) , 那么A与B互余.
0 0
（ ）
我来试一试：
∠α
5°
32° 45° 77° 62°23′
∠α的余角
85° 58° 45° 13° 27°37′ 90° x
B
B
把一张长方形纸条按图的方式折 叠后，量得∠AOB＇=110°，则 ∠B＇OC=______.
比萨斜塔
2
1
互为余角(互余):
如果两个角的和是90°(直 角)，那么这两个角叫做互为余 角，其中一个角是另一个角的 余角。 即:∠1是∠2的余角或∠2 是∠1的余角.
2
1
考考你:
图中给出的各角，那些互为余角？
170o
活学活用.加深理解
判断题：
1、90度的角叫余角，180度的角叫补角。 （ ）
0
2、若1 2 3 90
角（ ） , 则1, 2, 3互为余角.
3、如果一个角有补角，那么这个角一定 是钝角。（ ） 4、互补的两个角不可能相等。 ( )
5、钝角没有余角，但一定有补角。（ 6、互余的两个角一定都是锐角，两个 锐角一定互余.（ ）
∠α的补角
175° 148° 135° 103° 117°37′ 180° x
x
同一个锐角的补角比它的余角大 90° 互余和互补是两个角的数量关系，与它们的位 置无关。
例1:
若一个角的补角等 于它的余角的4倍，求 这个角的度数。
练习:
解答题: 1、一个角的补角是它 的3倍,这个角是多少度?
你的点滴收获
本节课你学到了哪些知识？请你说一说. 互余和互补
七上余角和补角
2
3 1
பைடு நூலகம்
3
3
3
4
∠1和∠2互余，∠3和∠4互余，如果 ∠1=∠3，那么， ∠2和∠4相等吗？ 为什么？
•补角性质：
同角或等角的补角相等。
•余角性质：
同角或等角的余角相等。
A
1 O 2
D
如图∠AOB = 90 °
B
∠COD = 90 ° 则∠1与∠2是什么关系？
C
答： ∠1 = ∠2 因为∠1+ ∠BOD = 90 ° ∠2+ ∠BOD = 90 ° 所以∠1 = ∠2 （同角的余角相等)
A
O
B
同角或等角的补角相等 同角或等角的余角相等. 如图,∠AOB=90°,∠COD=∠EOD=90°,C,O,E 在一条直线上,且∠2=∠4,请说出∠1与∠3之 间的关系？并试着说明理由？
D B 4 E 3 2 1 O C A
互为余角
对应图形
1
互为补角
2 1
2
数量关系 ∠1+ ∠2 = 90 ° ∠1+ ∠2 = 180 ° 性 质
同角或等角的 余角相等。 同角或等角 的补角相等。
检测
D
E C
1. ∠1=120 °, ∠1与∠2互补, ∠3与∠2互余,则 ∠3= 30 °. 2.O为直线AB上的一点，OD 平分∠AOB， ∠COE = 90 ° 则∠BOC = ∠DOE ， ∠COD = ∠AOE。
3、A看B的方向是北偏东30°，那么B看A 的方向是（ ） （A）南偏东60°（B）南偏西60° （C）南偏东30° （D）南偏西30°
北 北
B
1 2 A
东
东
4、 小明从点A出发向北偏西50° 方向走了3米，到达点B，小林从点A 出发向南偏西40°方向走了4米，试 画图确定出A、B、C三点的位置（用 1厘米表示3米），并从图上求出B点 到C点的实际距离。 北
余角和补角
？
B C A
O
看谁思考的快！！
一定 1．锐角的余角一定是锐角吗？ 2．一个锐角和一个钝角一定互 （不一定） 为补角吗？ 3．一个角的补角比这个角的余 角大多少度？ （大90°） 4．相等且互补的两个角各是多 少度？ （90°、 90°） 5．一个角的补角一定比这个角 （不一定） 大吗？
D
C
4、看图回答：
60
o
80o
100o 120o 150o
170o
找一找1 的补角
2 3 1
五．小试牛刀
1 的补角 2, 4 .
4
3 4
1 2
1 的补角 3, 4
.
1 2
练一练
判断题：
1、如果一个角有补角，那么这个角一定是 钝角（ ） 2、互补的两个角不可能相等。（ ） ▲锐角既有余角又有补角； ▲相等的两个角互补， 这两个角是直角；
A
M
2
1
O A
∠AOB=90°
B M A
M
2 1
∠1+∠2=90°
O
2 1
B O
B
∠1+∠2=90°
互为余角
两个角 一般地，如果两个角的和等于90° 互为 （直角），就说这两个角互为余角．即 其中每一个角都是另一个角的余角。
请你判断:
∠1、∠2互为余角 ∠1是∠2的余角， 或∠2是∠1的余角
(1)∠1+∠2=90°则∠1是余角.( ) (2) ∠1 +∠2+ ∠3=90°,则∠1 、∠2、 ∠3互为余角.( )
(同角的余角相等)
D E C
A
O
B
活学活用 加深理解
如图，OD平分∠COA ，OE平 分∠COB， 则①∠ EOD=__ ° 90 ②图中互余角有 4 对， 互补 C 角有 5 对。
余角和补角
(3) 这一结论用文字怎么叙述？
同(等)角的余角相等
(2) 动手画一画
已知∠α(如图)， 请利用三角板画的∠α的补角
C
A
α
O2 D
B
α
2
β
图中∠α的补角∠1，∠2的大小有什么关 系？为什么？
同(等)角的补角相等
比一比 : 看谁快
1. 如图A、O、 B在同一直线 上,∠AOC= ∠DOE= ９０度 找出图中
2
⑶∠1是∠2 的余角。
1. 观察下面两个图形，回答以下问题？ （1）射线OM把平角AOB，分别分成了几个角？
（2）∠1和∠2具有什么样的数量关系？
两个角的和等于180°（平角）， 就说这两个角互为补角，简称互补。
如果∠1+∠2=180°，那么∠1与∠2互为补角
2
1
2
1
如果∠1与∠2互为补角,那么∠1＋∠2＝180°
2
海塘大坝要修复加固，施工前要求先测出大坝 的倾斜角（即图中的∠1），坝底是石块堆积而 成,量角器无法伸入大坝底部测量,聪明的你有什么 简单的方法？
3
活动四：
点滴收获 ● 本节课你学到了哪些知识？
通过这节课的学习后,你有什么 感受?
●
理一理 . 今天学习的知识
互为余角
对应图形
1 2
互为补角
2 1
余角和补角
β
α
β
α
活动一
海塘大坝要修复加固，施工前要求先测 大坝的倾斜角（即图中的∠1），坝底是石块 堆积而成,量角器无法伸入大坝底部测量,聪明 的你有什么简单的方法？
1.理解余角和补角的定义; 2. 知道余角和补角的性质 及它们的来源; 3.学会使用余角和补角的 性质处理一些简单的问题.
第四章第7课时 余角和补角
巩固提高
10．一个角的余角与这个角的3倍互补，求这个角 的度数．
解：设这个角为x， 则（90°﹣x）+3x=180°， 得x=45°， ∴这个角为45°．
Page 11
巩固提高
11.如图，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．若 ∠BOC=70°，∠AOC=50°． （1）求出∠AOB及其补角的度数； （2）请求出∠DOC和∠AOE的度数，并判断∠DOE 与∠AOB是否互补，并说明，OA是北偏东30°方向的一条射线，若射 线OB与射线OA成90°角，则OB的方位角是（B） A． 北偏西30° B． 北偏西60° C． 东偏北30° D． 东偏北60°
7.如果你与 互补，
且 : 5 : 4 ，那么
_1_0_0__ , __8_0___ .
Page 4
变式练习
2.若∠α补角加上30°是∠α余角的3倍，则 ∠α= 30°． 解：设∠α为x， 由题意得，180°﹣x+30°=3（90°﹣x） 解得x=30°， 故答案为：30°．
Page 5
精典范例
例3.在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西54°的方向， 同时轮船B在南偏东15°的方向，那么∠AOB的大 小为（ C ） A．69° B．111° C．141° D．159°
Page 9
巩固提高
8.如图，甲从A点出发向北偏东70°方向走50m至 点B，乙从A出发向南偏西15°方向走80m至点C， 则∠BAC的度数是（ C ） A．85° B．160° C．125° D．105°
9.如果 180 , 180 , 那么 与 的 大小关系是_相__等___， 理由是_同__角__的__补__角__相__等___.
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余角和补角练习
一、选择题
1．下列结论中，正确的个数有( )(1)一个角的补角比这个角的余角大900
(2)互余的两个角的比是4:6，这两个角分别是360和540(3)小于平角的角是钝角
(4)两个角互补，必定一个锐角，另一个钝角．
A．0个B．1个C．2个D．3个
2．一个锐角的余角加上900，就等于( )
A．这个锐角的余角B．这个锐角的补角
C．这个锐角的2倍D．这个锐角的3倍
3．一个角的余角比它本身小，这个角是( )
*
A．大于450B．小于450C．大于00小于450D．大于450小于900 4．下列说法中正确的是( )
A．一个角的补角只有一个B．一个角的补角必大于这个角
C．若不相等的两个角互补，则这两个角一个是锐角，一个是钝角
D．互余的两个角一定相等
5．如果一个角等于360，那么它的余角等于( )
A. 640
B. 540
C. 1440
D. 360
6．∠α=∠β，且∠α与∠β互余，则( )
A. ∠α=900
B.∠β=450
C.∠β=600
D.∠α=300
7．下列说法正确的是( )
（
A．一个锐角的余角是一个锐角B．一个锐角的补角是一个锐角
C．一个锐角的补角不是一个钝角D．一个锐角的余角是一个直角
8．A看B的方向是北偏东190，那么B看A的方向是( )
A．南偏东710B．南偏西710C．南偏东190D．南偏西190
9．如图，已知∠ACB= 900，∠l=∠B，∠2=∠A，那么下列说法错误的是( )
A．∠l与∠2是互为余角B．∠A与∠B不是互为余角
C．∠1与∠A是互为余角D．∠2与∠B是互为余角
10. OA表示南偏西400方向的一条射线，则OA的方向还可以
表示为( )
A．北偏西400B．西偏南500C．西偏南400D．北偏东400
]
二、填空题
11.若∠α与∠β都是_______角，则∠α与∠β互补，若∠α与∠β互补，∠α是锐角，则∠β是______角．
12. 如图，OA与OB的夹角为______0，OC的方向为________．
13．如图，直线AB、CD相交于O，∠BOE=900，若∠3=450，则∠1=______0，∠4=_____0.
∠1和∠2叫做互为____角，∠3和∠4互为_____角．
14. 一个角的补角是这个角的5倍，则这个角的余角为_______0
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15. 一个角的余角是55047/2516．如图，∠AOC=∠COB=900，OE平分∠AOC，OD平分∠COB，则∠COD的余角有_____个，是______________________.
17．若两角之和是1800，我们说这两个角互补．∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，如果∠l=∠2，则∠2=____0，∠1+∠2+∠3+∠4=_______0.
18．互补两角之比是2：3，则这两个角分别是______________.
19．已知∠a= 35019/，则∠a的余角等于一个角的余角比它的补角的1
2
少200，则这个角为
______0
三、解答题
21．如图，已知AOB为直线，OC平分∠AOD，∠BOD=300，求∠AOC的度数．
22.如图，O是直线AB上一点，∠AOE=∠FOD= 900，OB平分∠COD，图中与∠DOE互余的角有哪些与∠DOE互补的角有哪些。