行列式计算方法总结(12.15)

二、三阶公式 元素为数值 利用性质化简 行列式计算 观察特点化简
基本运算化简
元素为字母
利用性质观察化简
小结
计算行列式常用方法： (1)对角线法（二、三阶）; (2)化三角行列式法； (3)降阶（按行列展开法，选0元较多的）； （4）拆行列式； （5）各行（列）求和（适用类型？）； （6）利用性质化简其他形式．
14 24 34 44 ( 1 ) M ( 1 ) M ( 1 ) M ( 1 ) A44 D. 14 24 34
1 1 2、D 1 1
0 1 1 2
1 0 1 5
2 3 , 0 4
则D=（ ） A
A. A31 A32 A33
B. A31 2 A32 5A33 4 A34 C. A23 A33 2 A43 D.
定理2 行列式D中任意一行(列)的各元素 与 (列)对应元素的代数余子式乘积 另一行 之和等于零，即当 i j 时，
a
k 1
n
ik
A jk 0
或 aki Akj 0
k 1
n
【说明】
综合定理1 和定理2可得： D 当i j 时 n
a
k 1
ki
Akj

1 0 1 5
2 3 0 4
1,3,0,2
1,3,0,2
练习
四阶行列式第三行的元素分别是
6,7,3,4, 1,2,10,4,
对应的余子式分别为 求：D
1, 2, 10, 4
提示：第三行的代数余子式为：
D (6) 1 7 2 3 10 4 (4)
22
a11
如
3 D1 5 17
3 D2 5 17
4 0 2
4 0 2
1
1
4 0
4 0 2
5 10 23
3 5
2 4 5
7 25 34
4 4 6 6
4 1 12 5 2
2 17
1
2 D3 4 8
5 0 3
7
2
11 0 0 6
（2）把第一行分别乘以 a21 ,a31 ,,an1
【说明】
1 0 0 0 1 0 1 1 0 2 0 3 2 2 4 5
2 4 12 1 (1) 3 5
例1
计算行列式
解：
D
(2) 2 (1)
1 0 2 1 D 1 2 0 3 2 1
2 1 0 2
1 0 3 1
目标：1、最好 首非零元是1 2、最好能化为 三角行列式
0 0 1 4 0 2 0 4 1 (1) 3 0 5
0 2 3 0
4 (6) 24
例2 选择题
1 1 D 1、 1 1 0 1 1 2 1 0 1 5 2 3 , 0 4
则D=（ ） C
A. A31 A32 A33 A34
B. A31 2 A32 5A33 4 A34 C. A13 A33 5 A43
的方法。
行列式展开定理
定理
a11 a12 a1n a21 a22 a2 n n阶行列式 D an1 an 2 ann
等于它的任意一行(列)中所有元素与它 们对应的代数余子式的乘积之和，即
D ai1 Ai1 ai 2 Ai 2 ain Ain aik Aik (i 1,2, n)
(1)14 M14 (1)24 M 24 (1)34 M34 (1)44 A44
例3
1 1 已知 D 1 1
0 1 1 x
1 0 1 5
2 3 , 0 4
注意区分余 子式与代数 余子式
(1)、若第二行的余子式为：1,3,0,2 (2)、若第二行的代数余子式为： 1,3,0,2
行列式计算方法总结
【练习18】
a11 a12 • 设行列式 a21 a22 a31 a32
3a11 • 则 a31 a21 a31 3a12 a32 a22 a32
a13 a23 =6， a33
3a13 a33 a23 a33
=（
C
）
• A．－12
B．－ 18
C．18
D．12
3a11 3a12 a31 a32 a21 a31 a22 a32
2 1 1 0 0 3 2 1
选零元最多 的行（列）
解：
1 0 2 1 1 0 1 0
2 1 0 2
1 1 0 2 2 (1) (1) 1 3 1 1
2 0 2
1 3 1
1 1 1
2 0 2
1 3 (1) 1
2 1
2 1 2 23 1 3(1) 2 1 1 2
0 当i j时
a11 a12 a1n
如： D
a21 a22 a2 n an1 an 2 ann
D a11 A11 a12 A12 a1n A1n
a11 A31 a12 A32 a1n A3n 0
1 0 1 2 例4 已知 D 1 1 0 3 , 则下列等于零（ ） 1 1 1 1 2 5 0 4
求：D
解： (1)、若第二行代数的余子式为：
1, 3, 0 , 2
D (1) (1) 1 3 0 0 3 (2)
2
(2)、D (1) (1) 1 3 0 0 3 (2)
2
1 1 1 1
ຫໍສະໝຸດ Baidu
0 1 1 x
k 1 n
或 D a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj
akj Akj ( j 1,2, n)
k 1 n
其中， Aij是元素D在 aij中的代数余子式 称上式为行列式 Dn按第 i 行( j列)的
展开式.
例1
计算行列式
1 0 2 1 1 0 1 0

2 0
3 1
1 1
0 0
0 8 3 1
(4) 5 (3)
0 0
0 1 1 0 5 1
2 0 0
1 1 1
0 0 8 1
0
0
0
4
(二)、利用“降阶法”计算行列式
所谓降阶法就是应用行列式按行(列) 展开定理，把高阶行列式的计算转化为
低阶行列式的计算。
方法：
先结合行列式的性质，把行列式的某 一行(列)的元素尽可能多的转化为零，然 后再展开。这是行列式最常用、最有效
1 3 1
2 12 2
练习
计算
0 0 D 3 8 0 2 0 5 1 0 5 9 0 24 0 __________ _. 0 4
提示：
0 0 D 3 8 0 2 0 5 1 0 5 9 0 0 0 1 0 4 (1) 4 4 0 2 0 0 3 0 5 4
13
计算行列式的基本方法
(一)、利用“化三角法”计算行列式 1、数字元素行列式化为三角 行列式的方法 （1）先把 a11变换为1或-1. 1 一般可通过变换行(列)、 乘以第1行 或r1 kri (c1 kci ) 等变换来实现， 要注意保值，同时要避免元素变为分 数，否则将给后面的计算增加困难.
(3) 1 (1)
1
0
0 1 3 2 0 2 2 2
0 3 2 1
(4) 3 (2) (3) 2 (2)
1 0 2 1 0 1 3 2
0 0 0 0
8 2 7 5
8 2 1 (1) 26 7 5
2 3 1 0 例2 4 2 1 1 计算行列式 D 2 1 2 1 0 1 1 0
2 3 1 0 (3) 1 (1) 2 3 1 0 4 2 1 1 (2) 2 (1) 0 8 3 1 解： D 2 1 2 1 0 4 3 1 0 1 1 0 0 1 1 0
2 0 (2) (4) 0
3 1 0 1 1 0 4 3 1
3 1 0
(4) 8 (2) (3) 4 (2)
1 0 0 0
2 5 6 (1) (1)13 9 3 4 0 7 3 6
3 1 1
6 3 0
5
0
1 1
3 0
3 2
(1) (1)
7 5
6 9 3
3a13 a33 a23 a33
a11 a12 a13 3 (1) a31 a32 a33 a21 a31 a22 a32 a23 a33
a11 (3) a31 a21 a12 a32 a22 a13 a33 a23
a11 a12 a13 (3) a21 a22 a23 a31 a32 a33
A. A31 A32 A33 A34
B. A31 2 A32 5 A33 4 A34
B
C. A13 A33 5 A43
D.
(1)14 M14 (1)24 M 24 (1)34 M34 (1)44 A44
2 5 9 4
4 3 1 1
加到第 2,3,n 行对应元素上去， 这样 就把第一列 a11 以下的元素全化为零.
再逐次用类似的方法把主对角线以下 (以上)的元素全部化为零.
（3）利用三角行列式求值.
【说明】
在上述变换过程中，主对角线上 元素aii (i 1,2,, n) 不能为零， 若出现零， 可通过行(列)变换使得主对角线上不为 零.