初三数学.圆中三大切线定理.学生版

中考内容

中考要求

A

B

C 圆的有关概念

理解圆及其有关概念

会过不在同一直线上的三

点作圆；能利用圆的有关概念解决简单问题

圆的性质

知道圆的对称性，了解弧、弦、圆心角的关系 能用弧、弦、圆心角的关系解决简单问题

能运用圆的性质解决有关问题 圆周角

了解圆周角与圆心角的关系；知道直径所对的圆周角是直角

会求圆周角的度数，能用圆周角的知识解决与角有关的简单问题

能综合运用几何知识解决与圆周角有关的问题 垂径定理 会在相应的图形中确定垂径定理的条件和结论 能用垂径定理解决有关问题 点与圆的位置关系

了解点与圆的位置关系

直线与圆的位置关系

了解直线与圆的位置关系；了解切线的概念，理解切线与过切点的半径之间的关系；会过圆上一点画圆的切线；了解切线长的概念

能判定直线和圆的位置关系；会根据切线长的知识解决简单的问题；能利用直线和圆的位置关系解决简单问题

能解决与切线有关的问题

圆与圆的位置关系 了解圆与圆的位置关系 能利用圆与圆的位置关系解决简单问题

弧长 会计算弧长 能利用弧长解决有关问题 扇形

会计算扇形面积

能利用扇形面积解决有关问题

圆锥的侧面积和全面积

会求圆锥的侧面积和全面积 能解决与圆锥有关的简单实际问题

中考内容与要求

暑期班第六讲秋季班第六讲

秋季班第八讲

圆中三大切线定理

圆是北京中考的必考内容，主要考查圆的有关性质与圆的有关计算，每年的第20题都会考查，第1小题一般是切线的证明，第2小题运用圆与三角形相似、解直角三角形等知识求线段长度问题，有时也以阅读理解、条件开放、结论开放探索题作为新的题型。

要求同学们重点掌握圆的有关性质，掌握求线段、角的方法，理解概念之间的相互联系和知识之间的相互转化，理解直线和圆的三种位置关系，掌握切线的性质和判定方法，会根据条件解决圆中的动态问题。

年份2011年2012年2013年

题号20，25 8，20，25 8，20，25

分值13分17分17分

考点圆的有关证明，计

算（圆周角定理、

切线、等腰三角形、

相似、解直角三角

形）；直线与圆的

位置关系

圆的基本性质，圆

的切线证明，圆同

相似和三角函数的

结合；直线与圆的

位置关系

圆中的动点函数图

像，圆的基本性质

(垂径定理、圆周角

定理)，圆同相似和

三角函数的结合；

直线与圆的位置关

系

中考考点分析

知识互联网

题型一：切线的性质定理

题目中已知圆的切线，可以“连半径，标直角”，然后在直角三角形中利用勾股、相似或锐角三角函数解决问题。

【例1】 如图，在△ABC 中，BC AB =，以AC 为直径的⊙0与BC 边

交于点D ，过点D 作⊙O 的切线DE ，交AB 于点E ，若 DE ⊥AB ．求证：BE AE 3=．

判定切线共有三种方法：定义法、距离法和定理法，其中常用的是距离法和定理法，可以总结为六字口诀，定理法是“连半径，证垂直”，距离法是“作垂直，证半径”，定理法的使用频率最高，必须熟练掌握。

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典题精练

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题型二：切线的判定定理

E O

D

C

B

A

【例2】 如图，C 是以AB 为直径的⊙O 上一点，过O 作OE ⊥AC

于点E ，过点A 作⊙O 的切线 交OE 的延长线于点F ， 连结CF 并延长交BA 的延长线于点P . ⑴ 求证：PC 是⊙O 的切线.

⑵ 若AB =4，2 1：：=PC AP ，求CF 的长.

【例3】 如图，已知Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，BD 平分ABC ∠，以

D 为圆心、CD 长为半径作D ⊙，与AC 的另一个交点为

E ．

⑴ 求证：AB 与D ⊙相切； ⑵ 若43AC BC ==，，求AE 的长．

【例4】 已知：如图，AB 是O ⊙的直径，C 是O ⊙上一点，OD BC ⊥于

点D ，过点C 作O ⊙的切线，交OD 的延长线于点E ，连结BE ． ⑴ 求证：BE 与O ⊙相切；

⑵ 连结AD 并延长交BE 于点F ，9OB =，2

sin 3

ABC ∠=，

求BF 的长．

典题精练

E D

C

B

A

O

P

E

D

C B

A

切线长和切线长定理：

⑴ 在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．

⑵ 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．

【引例】已知：如图，PA PB 、分别与O ⊙相切于A B 、两点．求证：⑴ APO BPO ∠=∠；

⑵ PA PB =；⑶ OP 垂直平分线段AB ．

【解析】 连结OA OB ， ∵PA PB ，分别与O ⊙相切，

∴PA OA PB OB ⊥⊥，， ∵OA OB =，OP=OP ∴AOP BOP △≌△ ∴APO BPO ∠=∠． ∴PA PB =，

由等腰三角形“三线合一”可知：OP AB ⊥且AC BC =， ∴OP 垂直平分线段AB ．

【例5】 ⑴ 如图，PA PB DE 、、分别切O ⊙于A B C 、、，若10PO =，

PDE △周长为16，求O ⊙的半径．

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题型三 切线长定理

C O

B A

P A

B

O C