大数定律与中心极限定理
大数定律及中心极限定理
增加，事件的频率逐渐稳定于某个常数. 大量测量值的平均值 也具有这种稳定性，这种稳定性就是大数定律的客观背景.
大数定律的客观背景
大量抛掷硬币 正面出现频率
生产过程中的 废品率
某字母使用 频率
5.1 Chebyshev不等式
次定数理， （p契是比事雪件夫A大在数每定次律试）验A中发生的概率，
2这大种数 现定象 次律就是数(续中2心，) 极限p定是理事的客件观背A景。在每次试验中发生的概率，
解得 N>115.
则对任给的ε> 0， 第5章 大数定律与中心极限定理
设随机变量 服从二项分布B(n, p)，n=1,2,…,则对任意
∴
次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，
nA XPp n
解：对每部话机的观察作为一次试验，
伯努利大数定律表明，当重复试验次数n充分大时，事件 解：记同时开着的灯数为X，X ~B(10000,0.
证：因为nA~B(n,p),可记 nA=X1+X2+…+Xn
时X称1,,XX12,,X依…2概,,A…X率n,发相X收n互的敛生独算于立术的，平E均(X频值i)=p率,i=1,n2,.A/n与事件A的概率p有较大偏差的概率很小.
设 X1,X2, …是相互独立的随机变量，它们都有有限的方差，并且方差有共同的上界，即 D(Xk) ≤C，k=1,2, …，
时,X1,X2,…,Xn的算术平均值
伯努利大数定律提供了通过试验来确定事件概率的方法.
5.2 大数定律 (续3) 下面给出的独立同分布下的大数定律，不要求随 机变量的方差存在. 定理（辛钦大数定律）
大数定律和中心极限定理
大数定律和中心极限定理1 大数定律这里强调的是总体与样本大数定律就是说：当随机事件发生的次数足够多时，发生的频率趋近于预期的概率大数定律说的是当随机事件重复多次时频率的稳定性，随着试验次数的增加，事件发生的频率趋近于预期的“概率”2 赌徒缪误：1，2，4，8-----在赌钱时——输了就翻倍，一直到赢为止有人说：如果已经连续4次出现正面，接下来的第5次还是正面的话，就接连有5次“正面”，根据概率论，连抛5次正面的几率是1/25=1/32。
所以，第5次正面的机会只有1/32，而不是1/2。
以上混淆了“在硬币第1次抛出之前，预测接连抛5次均为正的概率”和“抛了4次正之后，第5次为正的概率”，既（11111）---- 1/32，(1111)1 ---- 1/2。
3 中心极限定理3.1 大数定律和中心极限定理的关系：上面通过赌徒谬误介绍了概率论中的大数定律。
大数定律说的是当随机事件重复多次时频率的稳定性，随着试验次数的增加，事件发生的频率趋近于预期的“概率”。
但大数定律并未涉及概率之分布问题。
此外大数定律说明了在一定条件下，当系统的个体足够多时，系统的算数平均值会集中在期望位置。
从这个角度，中心极限定理包含了大数定律。
因为中心极限定理在于揭示系统在期望附近的统计性质，即“以何种方式”集中在期望。
总的来说就是——大数定律反映的是频率->概率（或者认为广义的期望）；而中心极限定理反映的是——在整体结果下，结果内部发生各种情况下的一个概率分布情况。
3.2 那什么是中心极限定理？中心极限定理指的是分别适用于不同条件的一组定理，但基本可以用一句通俗的话来概括它们：大量相互独立的随机变量，其求和后的平均值以正态分布（即钟形曲线）为极限。
Eg：以二项分布为例进行解释（抛硬币）对于抛n次硬币，出现正面k次的一个分布情况，如下：但是对于二项分布不一定是对对称的，除了受抛的次数n影响，还受对应的概率p的影响3.3 晋级再后来，中心极限定理的条件逐渐从二项分布推广到独立同分布随机序列，以及不同分布的随机序列。
大数定律与中心极限定理
第五章 大数定律与中心极限定理大数定律：概率论中，说明、提示大量随机现象平均结果的稳固性的一系列定律。
如：前面学习过：(1) 在一样条件下，进展大量重复独立实验时，随机事件发生的频率具有稳固性，即()()A n n f A p n n=→→+∞当时。
(2) 实践中得出，大量测量值的平均值也是具有稳固性， 即12...()n X X X X n nμ+++=→→+∞常数当时。
大数定律从理论上给出了这种问题的论证。
一、切贝雪夫不等式1. 切贝雪夫不等式：设随机变量X 有数学期望EX 及方差DX ，那么任意给出0ε>，有2{||}DX P X EX εε-≥≤或 2{||}1DXP X EX εε-<≥-。
例 1. 某批产品次品率，试估量10000件产品中，次品数X 介于400~600件之间的概率。
解：~(10000,0.05)X B ，500EX np ==，(1)100000.050.95475DX np p =-=⨯⨯=， 因此22475{400600}{|500|100}110.525100100DX P X P X <<=-<≥-=-=。
二、大数定律1. 依概率收敛：假设存在常数a ,使得关于任意正数ε，有lim {||}1,n n P X a ε→+∞-<=那么称随机变量序列{}n X 依概率收敛于a .2. 切比雪夫大数定律：设12,,...X X 是彼此独立的随机变量序列，各有数学期望12,,...EX EX 及方差12,,...DX DX ，而且关于所有1,2...i =都有i DX C <，其中常数C 与i 无关，那么关于0ε∀>，有1111lim {||} 1.n ni i n i i P X EX n n ε→+∞==-<=∑∑ 3. 贝努里大数定律：设A n 为n 重贝努里实验中事件A 发生的次数，p 为事件A 发生的概率。
中心极限定理证明大数定律
中心极限定理证明大数定律中心极限定理是概率论中的一个基本定理，它给出了一个数列的平均值符合正态分布的极限分布，也就是中心极限定理。
同时，也是证明大数定律的一个重要定理。
本文将从数学上给出中心极限定理证明大数定律的法则和方法。
一、大数定律和中心极限定理的基础概念1、大数定律大数定律指的是当试验次数足够多时，随机变量的经验平均值趋近于该随机变量的数学期望。
也就是说，大数定律就是在相同的条件下，如果重复进行同样的实验，其结果会趋近于某个确定的值，即为大数定律的实质。
2、中心极限定理中心极限定理指的是随着试验次数的增加，样本均值分布将变得越来越像正态分布。
也就是说，无论原始分布是什么样子，只要样本数量足够大，样本均值的分布就会趋向于一个正态分布。
二、大数定律证明大数定律的证明，需要从不同的方面进行论证，主要分为点态和渐进的两类。
其中，点态是通过概率不等式或直接取极限的方法得到，而渐进方法则是建立在弱收敛定理的基础上，它提供了更强的证明。
1、切比雪夫不等式切比雪夫不等式是由俄国数学家切比雪夫于1884年提出的一个重要不等式，它在大数定律证明中也有所运用。
切比雪夫不等式表述如下：对于随机变量 X 的任意实数 t>0，有 P[|X -E(X)|>=t] <= Var(X) / t^2 ，其中 Var(X) 表示 X 的方差。
现在设有一个随机变量序列X1,X2,...,Xn，其中E(X)表示期望，则：E[(X1+X2+...+Xn)/n] = (E(X1) + E(X2) + ... +E(Xn)) / n = E(X)又由于Var[(X1+X2+...+Xn)/n] = Var(X) / n，因此P[|(X1+X2+...+Xn)/n - E(X)|>=t] <= Var(X) / (nt^2)则有P[|(X1+X2+...+Xn)/n - E(X)|>=t] <= Var(X) / (nt^2) <= ε当ε趋于0时，上式成立。
大数定律与中心极限定理总结
大数定律与中心极限定理总结大数定律和中心极限定理是概率论中两个重要的基本定理，它们对于理解随机事件的规律性和统计推断具有重要的作用。
首先，大数定律是指当重复独立地进行同一试验时，随着试验次数的增加，样本平均值将趋近于总体均值的定理。
在统计学中，我们常常关注样本均值和总体均值之间的关系。
大数定律告诉我们，当样本容量足够大时，样本均值将逼近总体均值。
大数定律的核心思想是随机性的抵消效应。
随机性使得每次试验的结果都有一定的波动，但当试验次数足够多时，各种波动的效应会被抵消掉，使得样本均值逼近总体均值。
大数定律可以分为以下几种形式：1.切比雪夫大数定律：设随机变量X的方差存在，并且有限，那么对任意ε>0，有lim(n->∞) P[|X1+X2+...+Xn - nEX| > ε] = 02.伯努利大数定律：设X1，X2，…，Xn是n个独立同分布的0-1分布的随机变量，p=P(Xi=1), q=1-P(Xi=1)，那么对任意ε>0，有lim(n->∞) P[|X1+X2+...+Xn - np| > ε] = 03.辛钦大数定律：设X1，X2，…，Xn是n个独立同分布的随机变量，E(Xi)=μ，D(Xi)=σ^2(有限)，那么对任意ε>0，有lim(n->∞) P[|X1+X2+...+Xn/n - μ| > ε] = 0大数定律的应用非常广泛，可以用来解释各种现象，例如：抛硬币的结果、掷骰子的点数、随机抽样的样本均值等等。
它在统计学、经济学、物理学等领域都有应用。
与大数定律相对应的是中心极限定理。
中心极限定理是指当n趋向于无穷大时，独立同分布随机变量的和的分布趋近于正态分布的定理。
中心极限定理揭示了随机变量和的分布的稳定性。
中心极限定理可以分为以下几种形式：1.李雅普诺夫中心极限定理：假设X1，X2，…，Xn是n个独立同分布的随机变量，且具有有限的期望μ和方差σ^2，并且它们的方差和有界，那么当n趋向于无穷大时，lim(n->∞) P[(X1+X2+...+Xn - nμ)/σ√n ≤ x] = Φ(x)2.林德伯格-列维中心极限定理：假设X1，X2，…，Xn是n个独立同分布的随机变量，且具有有限的期望μ和方差σ^2，那么当n趋向于无穷大时，lim(n->∞) P[(X1+X2+...+Xn - nμ)/σ√n ≤ x] = Φ(x)3.棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理：当n趋向于无穷大时，二项分布B(n,p)的近似分布近似于正态分布N(np,npq)，其中p为成功的概率，q=1-p为失败的概率。
中心极限定理 大数定律
中心极限定理大数定律
中心极限定理和大数定律是概率论中非常重要的两个定理，它们在统计学、经济学、物理学等领域都有广泛的应用。
本文将从理论和实际应用两个方面来介绍这两个定理。
中心极限定理是指在一定条件下，大量独立同分布的随机变量的和或平均值的分布趋近于正态分布。
这个定理的意义在于，当我们面对大量的数据时，可以通过对数据进行求和或求平均值来得到一个近似于正态分布的结果。
这个定理的应用非常广泛，例如在统计学中，我们可以通过对样本数据进行求和或求平均值来估计总体的参数；在经济学中，我们可以通过对市场数据进行求和或求平均值来预测未来的趋势。
大数定律是指在一定条件下，随着样本数量的增加，样本的平均值趋近于总体的期望值。
这个定理的意义在于，当我们面对大量的数据时，可以通过对数据进行求平均值来得到一个近似于总体期望值的结果。
这个定理的应用也非常广泛，例如在物理学中，我们可以通过对实验数据进行求平均值来得到一个近似于真实值的结果；在金融学中，我们可以通过对市场数据进行求平均值来评估投资的风险和收益。
总的来说，中心极限定理和大数定律是概率论中非常重要的两个定理，它们在统计学、经济学、物理学等领域都有广泛的应用。
在实际应用中，我们可以通过对数据进行求和或求平均值来得到一个近
似于正态分布或总体期望值的结果，从而进行预测、估计或评估。
但是需要注意的是，这两个定理的应用条件是非常严格的，需要满足一定的前提条件才能得到正确的结果。
因此，在实际应用中，我们需要仔细分析数据的性质和应用条件，才能得到准确的结果。
大数定律与中心极限定理
解： EX i = 10, DX i = 100. 系统寿命X = ∑ X i
P{ X ≥ 350} = P{∑ X i ≥ 350}
i =1 30 i =1
30
= P{
∑X
i =1
30
350 − 300 ≥ } 30 × 100 30 × 100
i
− 300
∑X
k =1
n
近似 k~ N (nµຫໍສະໝຸດ , nσ )∞ n n =1
1 n 1 n lim P | ∑ X k − E ∑ X k |≥ ε = 0. n →∞ n k =1 n k =1
定理1( Markov)：若随机变量序列{ X n }∞=1 ,对∀n ≥ 1, n 1 n n→∞ DX n 存在; 且 2 D ∑ X k 0,则称{ X n }服从大数定律. → n k =1 proof ： 1 n 1 n 1 n 0 ≤ P | ∑ X k − E ∑ X k |≥ ε ≤ 2 2 D ∑ X k k =1 n k =1 n k =1 nε
第 k 个学生来参加会议的家 长数,
Xk 则 X k 的分布律为 pk
0 1 2 0.05 0.8 0.15
易知 E ( X k ) = 1.1, D( X k ) = 0.19, ( k = 1,2,⋯,400)
根据独立同分布的中心极限定理 独立同分布的中心极限定理， 而 X = ∑ X k , 根据独立同分布的中心极限定理，
1 则 lim Fn ( x) = lim P{Yn ≤ x} = n →∞ n →∞ 2π
近似 n
∫
x
−∞
e
1 − t2 2
大数定律与中心极限定理
大数定律与中心极限定理大数定律和中心极限定理是概率论中两个重要的定理，它们分别描述了随机变量序列的极限行为。
在统计学和概率论中，这两个定理被广泛应用于估计和推断，对于理解随机现象的规律具有重要意义。
一、大数定律大数定律是概率论中的一个基本定理，它描述了独立同分布随机变量序列的均值在概率意义下收敛于其数学期望的现象。
大数定律分为弱大数定律和强大数定律两种形式。
1. 弱大数定律弱大数定律又称为辛钦大数定律，它是概率论中最早被证明的大数定律之一。
弱大数定律指出，对于独立同分布的随机变量序列$X_1, X_2, \cdots, X_n$，如果这些随机变量的数学期望存在且有限，记为$E(X_i)=\mu$，则随着样本量$n$的增大，样本均值$\bar{X}_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$以概率1收敛于数学期望$\mu$，即$\lim_{n \to \infty}P(|\bar{X}_n-\mu|<\varepsilon)=1$，其中$\varepsilon$为任意小的正数。
弱大数定律的直观解释是，随着样本量的增加，样本均值会逐渐接近总体均值，即样本的平均表现会趋向于总体的真实情况。
这一定律在统计学中有着广泛的应用，例如在抽样调查、质量控制等领域中被频繁使用。
2. 强大数定律强大数定律是大数定律的另一种形式，它要求更高，即要求随机变量序列的方差有限。
强大数定律指出，对于独立同分布的随机变量序列$X_1, X_2, \cdots, X_n$，如果这些随机变量的方差存在且有限，记为$Var(X_i)=\sigma^2$，则随着样本量$n$的增大，样本均值$\bar{X}_n$以概率1收敛于数学期望$\mu$，即$\lim_{n \to\infty}P(\bar{X}_n=\mu)=1$。
强大数定律相比于弱大数定律更加严格，要求随机变量序列的方差有限，但在实际应用中，强大数定律的条件并不总是成立。
大数定律与中心极限定理总结
大数定律与中心极限定理总结一、引言在统计学中，大数定律和中心极限定理是两个非常重要的概念。
它们揭示了随机变量的一些基本性质，对于理解和应用统计学具有重要意义。
本文将对大数定律和中心极限定理进行总结，并通过事实举例来加深理解。
二、大数定律大数定律是指当随机变量的样本容量足够大时，样本均值会趋近于总体均值的现象。
根据大数定律，我们可以得出以下两个重要的大数定律：1. 辛钦大数定律辛钦大数定律是指当样本容量趋近于无穷大时，样本均值会收敛于总体均值。
这意味着随着样本容量的增加，我们可以更加准确地估计总体的特征。
举例：假设我们想要估计某地区成年人的平均身高。
我们可以随机抽取100个人的身高进行测量，并计算出样本均值。
然后，我们再随机抽取1000个人的身高进行测量，并计算出样本均值。
根据辛钦大数定律，当样本容量足够大时，这两个样本均值会非常接近，从而准确估计总体的平均身高。
2. 切比雪夫大数定律切比雪夫大数定律是指对于任意一个正数ε，当样本容量足够大时，样本均值与总体均值之间的差异小于ε的概率趋近于1。
这意味着大数定律的适用范围更广泛，不仅仅局限于样本均值的收敛性。
举例：假设我们有一个硬币，我们想要知道它正面朝上的概率。
我们可以进行一系列的抛硬币实验，每次记录正面朝上的次数，并计算出样本均值。
根据切比雪夫大数定律，当我们进行足够多的实验时，样本均值与真实的正面朝上的概率之间的差异将非常小。
三、中心极限定理中心极限定理是指当样本容量足够大时，样本均值的分布会趋近于正态分布。
中心极限定理是统计学中最重要的定理之一，它为许多统计推断方法的应用提供了理论基础。
举例：假设我们有一个班级，我们想要知道学生的平均考试成绩。
我们可以进行一次随机抽样，抽取若干个学生的考试成绩，并计算出样本均值。
然后，我们再进行多次随机抽样，并计算出每次抽样的样本均值。
根据中心极限定理，当样本容量足够大时，这些样本均值的分布将近似于正态分布，从而可以利用正态分布的性质进行统计推断。
概率论-第5章 大数定律及中心极限定理
§1 大数定律
一、问题的引入
生产过程中的 字母使用频率 废品率 启示:从实践中人们发现大量测量值的算术平均值 有稳定性.
大量抛掷硬币 正面出现频率
§1 大数定律
一、问题的引入
大数定律的概念 概率论中用来阐明大量随机现象平均结果的 稳定性的一系列定理，称为大数定律（law of large number)
§2 中心极限定理
即考虑随机变量X k (k 1, n)的和 X k的标准化变量
k 1 n
Yn
X
k 1
n
k
E ( X k )
k 1 n
n
D ( X k )
2
说明每一个随机变量都有相同的数学期望。
§1 大数定律
检验是否具有相同的有限方差？
Xn P
2
( na ) 1 2 2n
2 n
2
0 1 1 2 n
2
( na ) 1 2 2n
2
1 2 a , E ( X ) 2( na ) 2 2n 2 ) [ E ( X n )]2 a 2 . D( X n ) E ( X n
使得当 x a y b 时,
g( x , y ) g(a , b)பைடு நூலகம் ,
§1 大数定律
于是 { g( X n , Yn ) g(a, b) }
{ X n a Yn b }
X n a Yn b , 2 2
§2 中心极限定理
自从高斯指出测量误差服从正态分布之后，人 们发现，正态分布在自然界中极为常见.
如果一个随机变量是由大量相互独立的随机因 素的综合影响所造成，而每一个别因素对这种综合 影响中所起的作用不大. 则这种随机变量一般都服 从或近似服从正态分布. 现在我们就来研究独立随机变量之和所特有 的规律性问题.
概率论第五章 大数定律及中心极限定理
的标准化变量为
n
X i n
Yn i1 n
则Yn的分布函数Fn(x)对任意的x∈(-∞,+∞)都有
n X i n
lim
n
Fn
(
x)
lim
n
P(Yn
x)
lim
n
P
i 1
n
x
x
1
t2
e 2 dt
2
该定理说明，当n充分大时， Yn近似地服从标准正 态分布，Yn~N(0,1)， (n )
P|
X
|
2 2
P X
1
2 2
证明 (1)设X的概率密度为p(x),则有
P{| X | } p(x)dx
| x |2
p(x)dx
|x|
|x|
2
1
2
(x
)2
p(
x)dx
2 2
Xi 2
0
pi
1 4
1 2
2
(i 1,2, , n, )
1 4
解
因为 X1, X 2 , , X n ,
相互独立， EX i 0 ， E
X
2 i
1
又
DX i
E
X
2 i
EX i
2
1 0
1， i
1,2,
, n,
所以,满足切比雪夫大数定理的条件,可使用大数定理.
大数定律和中心极限定理
1 n
,则X n
P
证明: 利用切比雪夫不等式 :
P(|
Xn
0 | )
D(Xn )
2
1
n 2
0.
9
例：在n重贝努里试验中，若已知每次试验 事件A出现的概率为0.75， 试利用切比雪夫不等式计算, (1)若n=7500,估计A出现的频率在0.74至0.76 之间的概率至少有多大； （2）估计n,使A出现的频率在0.74至0.76之 间的概率不小于0.90。
解：设在n重贝努里试验中，事件A出现的次数为X，
则X Bn,0.75,
E X np 0.75n, D X npq 0.1875n,
又
fn A
X n
(1) n 7500, P
0.74
X n
0.76
P X 0.75n 0.01n
1
0.1875n
0.01n 2
1
1875 7500
解：设X
i为第i次所倒的红酒重量(单位:ml),则X
相互独立且
i
分布相同,E(Xi ) 100, D(Xi ) 322,i 1, 2,L ,55.
根据独立同分布的中心极限定理:知
55
Xi 55100 近似
i 1
~ N 0,1，
32 55
所以
55
P{倒了55次后该瓶红酒仍有剩余} P{ Xi 6000} i 1
由德莫佛--拉普拉斯中心极限定理，知
Y
1500
1 10
近似
~ N (0,1).
1500
1 10
9 10
设教室需要设a个座位，由题意知a需要满足
a 1500 1
95% P{Y a} (
大数定律与中心极限定理
大数定律与中心极限定理大数定律和中心极限定理是数理统计中的两个重要概念，它们描述了随机现象的统计规律。
本文将介绍大数定律和中心极限定理的定义、作用和应用，并分析它们在实际问题中的重要性。
一、大数定律大数定律是指在独立重复试验中，随着试验次数的增加，随机变量的平均值会趋向于其数学期望。
大数定律分为两种形式：辛钦大数定律和伯努利大数定律。
辛钦大数定律是指对于独立同分布的随机变量序列，其算术平均值会以概率1收敛于其数学期望。
也就是说，随着试验次数的增加，随机变量的平均值将无限接近于其数学期望，而且以极高的概率收敛。
伯努利大数定律是指对于一系列相互独立的伯努利试验，当试验次数趋向于无穷大时，随机变量的频率会趋向于其概率。
也就是说，当我们对一个随机事件进行大量重复试验时，事件发生的频率将逐渐接近事件发生的概率。
大数定律的作用在于揭示了随机现象的规律性。
通过大数定律，我们可以准确估计随机变量的期望值或概率，并且通过增加样本量可以提高估计的准确性。
在实际应用中，大数定律常被用于统计推断、抽样调查、质量控制等领域。
二、中心极限定理中心极限定理是指在一定条件下，大量独立随机变量的和的分布近似于正态分布。
中心极限定理包括李雅普诺夫中心极限定理、林德伯格-列维中心极限定理和伯努利-拉普拉斯中心极限定理。
李雅普诺夫中心极限定理适用于具有有限方差的独立同分布随机变量序列。
当样本量足够大时，这些随机变量的和的分布将接近于正态分布。
林德伯格-列维中心极限定理适用于具有相同数学期望和方差的独立随机变量序列。
同样地，随着样本量的增加，这些随机变量的和的分布将趋于正态分布。
伯努利-拉普拉斯中心极限定理适用于大量相互独立的伯努利试验。
当重复伯努利试验的次数很大时，事件发生的次数将近似于正态分布。
中心极限定理的作用在于在不知道总体分布的情况下，通过大样本推断总体的统计规律。
它对于统计推断、假设检验、置信区间估计等方面具有重要意义。
总结起来，大数定律和中心极限定理是数理统计中两个基本的定理，它们揭示了随机现象的统计规律，为我们处理随机数据提供了重要依据。
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定理5.3 （辛钦大数定律 如果ξ1,ξ2… 是相互独立 辛钦大数定律） 辛钦大数定律 并且具有相同分布的随机变量.有E ξk=μ (k=1,2, …), 有 n
1 lim P ∑ ξ k p ε =1 n →∞ n k=1
(5.4)
1 n P Yn = ∑ ξ k → n k =1
0
2
σ P{| Yn |< ε } ≥ 1 2 . nε
∴ lim P{| Yn |< ε } = 1
n →∞
江苏大学数学系 17
2010-9-1
定理5.1(切贝夫定理)设ξ1,ξ2…是相互独立的 随机变量序列,各有数学期望Eξ1,Eξ2…及方 差 Dξ1,Dξ2… 并且对于所有k=1,2,…都有Dξk< ,其中 是 与k无关的常数,则任给ε>0,有
令 0.01 ≤ 0.1 2 a
0.01 P{| ξ 1|≥ a} ≤ 2 ; a
a ≥ 0.1
2
a ≥ 0.32
§5.3大数定律
§5.3大数定律
一、依概率收敛 定义5.1 若存在常数a,使对于任何
ε > 0, 有 lim P( ξ n a < ε ) = 1
n →∞
则称随机变量序列{ξn}依概率收敛于a
f n p →
n→∞
证明:设 证明 设 则
次试验事件A发生 次试验事件 1 第i次试验事件 发生 ξi = 次试验事件A不发生 次试验事件 0 第i次试验事件 不发生
E (ξi ) = p, D(ξi ) = p (1 p )
fn =
由切比雪夫大数定理 由切比雪夫大数定理
∑ξ
i =1
n
i
n
p →
1 n 1 n lim P ∑ ξ k ∑ Eξ k p ε =1 n →∞ n k=1 n k=1
2. 随机事件的频率
ξ lim P p p ε =1 n →∞ n
p f n p →
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切比雪夫不等式 (P104) 若随机变量 随机变量ξ的期望和方差存在，则对任意 随机变量 ε>0，有
P{| ξ E (ξ ) |≥ ε } ≤
D(ξ )
ε
2
(5.1)
这就是著名的切比雪夫 切比雪夫(Chebyshev)不等式。 不等式。 切比雪夫 不等式 它有以下等价的形式：
(a ε , a + ε ) 内的概率越来越大 n0 , n > n0 内的概率越来越大.
ξn
a ε
而 a
lim P{ ξ n -a ≤ ε }=1
n →∞
a +ε
当 ξ n → a 意思是 ε > 0, n0 ,当 n > n0 意思是:
| ξ n a |< ε
lim ξ n =a
n →∞
1.切比雪夫大数定律的特殊情况 1.切比雪夫大数定律的特殊情况 设{ξk, k=1,2,...}为相互独立的随机变量序列，且具 有相同的数学期望，及方差σ2>0，则
1 2 n
是不完全相同的.这些结果可以看作是服从同一分 布并且期望值为μ的n个相互独立的随机变量ξ1,ξ2… ξn 的试验数值。由定理3可知,当n充分大时,取 1 n
作为的近似值,可以认为所发生的误差是很小的,即 对于同一个随机变量ξ进行n次独立观察,则所有观察结 果的算术平均数依概率收敛于随机变量的期望值.
可见,虽然有10000盏灯,但是只要有供应7200 盏灯的电力就能够以相当大的概率保证够用. 事实上,切贝谢夫不等式的估计只说明概率大 于0.95,后面将具体求出这个概率约为0.99999, 切贝谢夫不等式在理论上具有重大意义,但估 计的精确度不高.
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已知某种股票每股价格ξ的平均值为1 已知某种股票每股价格ξ的平均值为1元 标准差为0.1 0.1元 a,使股价超过 使股价超过1+a ，标准差为0.1元，求a,使股价超过1+a 元或低于1 元的概率小于10% 10%。 元或低于1-a元的概率小于10%。 由切比雪夫不等式 解:由切比雪夫不等式 由切比
第五章
大数定律与中心极限定理
§5.1大数定律的概念 §5.2切贝谢夫不等式 §5.3切贝谢夫定理 §5.4中心极限定理
§5.1大数定律的概念
例1 掷一颗均匀的正六面体的骰子,出现么点的概率 是1/6,在掷的次数比较少时,出现么点的频率可能与 1/6相差得很大.但是在掷的次数很多时,出现么点的频 率接近1/6几乎是必然的. 例2 测量一个长度a,一次测量的结果不见得就等于a,量 了若干次,其算术平均值仍不见得等于a,但当测量的 次数很多时,算术平均值接近于a几乎是必然的.
定理5.2(贝努里大数定律)在独立试验序列中,当 试验次数n无限增加时,事件A的频率ξ/n(ξ是n次试 验中事件A发生的次数),依概率收敛于它的概率 P(A).即对于任意给定的ε>0,有
ξ lim P p p ε =1 n →∞ n
(5.3)
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即：
设进行n次独立重复试验，每次试验中事件 设进行 次独立重复试验，每次试验中事件A 次独立重复试验 发生的概率为p，记fn为n次试验中事件 发生的频 发生的概率为 ， 次试验中事件A发生的频 次试验中事件 率，则 p
推论:若 为独立同分布随机变量序列, 推论 若{ξi,i=1.2,...}为独立同分布随机变量序列 为独立同分布随机变量序列 E(ξ1k)= <∞, 则 ∞
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1 n k P k → ∑ ξi E (ξ1 ) n i =1
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这一定理使算术平均值的法则有了理论依据.假使 要测量某一个物理量,在不变的条件下重复测量n 次,得到的观测值 x ,x ,L ,x
1 n ∑ ξk n k=1
→
p
1 n ∑ Eξk n k=1
将比较密地聚集在它的数学期望的附近.它与数学期 望之差,当时n→∞,依概率收敛到0.这就是大数定律. 切贝谢夫定理为这一定律作出了精确的数学公式.它 也称为切贝谢夫大数定律. 切贝谢夫定理的一个推论通常称为贝努里大数定律.
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P{| ξ E (ξ ) |≥ ε } ≤
D(ξ )
9 2
ε
;
例3 设电站供电网有10000盏电灯,夜晚每一盏电灯 开灯的概率都是0.7,而假定开关时间彼此独立,估计 夜晚同时开着的灯数在6800与7200之间的概率. 解:令ξ表示在夜晚同时开着的灯的数目,它服从参数 n=10000,p=0.7的二项分布.若要准确计算,应该用贝 努里公式:
并验证切贝谢夫不等式成立. 解:因为ξ的概率函数是 P(ξ = k ) = 1/ 6(k = 1, 2,L 6)
所以
Eξ=7/2 Dξ=35/12 P(│ξ-7/2│≥1)=2/3 P(│ξ-7/2│≥2)=P(ξ=1)+P(ξ=6)=1/3
ε=1: Dξ/ε2=35/12>2/3 ε=2: Dξ/ε2=1/4×35/12=35/48>1/3 可见,ξ满足切贝谢夫不等式.
1 n P Yn = ∑ ξ k → n k =1
即若任给ε>0, 使得
lim P{| Yn |< ε } = 1
n →∞
这说明： 这说明：在定理成立的条件下，n个随机变量的算术 平均值，当n无限增加时，将几乎变成一个常数。
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证明:由切比雪夫不等式 证明 由切比雪夫不等式 由切
P{6800 p ξ p 7200} =
7199
∑
k C10000 × 0.7 k × 0.310000 k
如果用切贝谢夫不等式估计: Eξ=np=10000×0.7=7000
k=6801
Dξ=npq=2100
2100 P{6800 p ξ p 7200} =P{ ξ -7000 p 200} ≥ 12 ≈ 0.95 200
∑x n
k =1
k
1 n P Yn = ∑ ξ k → n k =1
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大数定律告诉我们两个结论: 大数定律告诉我们两个结论 随机变量序列依概率收敛
ξ n a →
p
1 n lim P ∑ ξ k p ε =1 n →∞ n平均值 Y = ξ k → ∑ n n k =1
大数定律以确切的数学形式表达了这种规律 性,并论证了它成立的条件,即从理论上阐述了 这种大量的、在一定条件下的、重复的随机现 象呈现的规律性即稳定性.由于大数定律的作用, 大量随机因素的总体作用必然导致某种不依赖 于个别随机事件的结果.
§5.2 切贝谢夫不等式
§5.2 切贝谢夫不等式
一个随机变量离差平方的数学期望就是它的方 差,而方差又是用来描述随时机变量取值的分散程 度的.下面研究随机变量的离差与方差之间的关系 式.
lim P{| Yn |< ε } = 1
n →∞
1 n Yn = ∑ ξ k n k =1
这里
P{| Yn E (Yn ) |< ε } ≥ 1
D(Yn )
ε
2
.
故
1 n E (Yn ) = ∑ E (ξ k ) = n k =1 2 n 1 σ D(Yn ) = 2 ∑ D(ξ k ) = n k =1 n
P{| ξ E (ξ ) |< ε } ≥ 1
D(ξ )
ε
2
.
切贝谢夫不等式的证明:
设随机变量ξ 有期望值Eξ 及方差Dξ ,则任给ε >0,有