北师大高中数学选修44精讲精练课时作业 双曲线的参数方程 含解析
高中数学选修4-4 北师大版 圆的参数方程、椭圆的参数方程、双曲线的参数方程 同步精练 Word版 含答案
圆的参数方程、椭圆的参数方程、双曲线的参数方程练习1过点M(2,1)作曲线C：4cos,4sinxyθθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)的弦，使M为弦的中点，则此弦所在直线方程为( )．A．y－1＝－12(x－2)B．y－1＝－2(x－2)C．y－2＝－12(x－1)D．y－2＝－2(x－1)2曲线=5cos,=3sinxyθθ⎧⎨⎩(θ是参数)的左焦点的坐标是( )．A．(－4,0) B．(0，－4) C．(－2,0) D．(0,2)3圆锥曲线4=cos=3tanxyθθ⎧⎪⎨⎪⎩，(θ是参数)的焦点坐标是( )．A．(－5,0) B．(5,0) C．(±5,0) D．(0，±5)4P(x，y)是曲线=2cos=sinxyαα+⎧⎨⎩，(α为参数)上任意一点，则(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为( )．A．36 B．6 C．26 D．255点M(x，y)在椭圆22=1124x y+上，则点M到直线x＋y－4＝0的距离的最大值为__________，此时点M坐标是__________．6已知A，B分别是椭圆22=1369x y+的右顶点和上顶点，动点C在该椭圆上运动，则△ABC的重心G的轨迹的参数方程是__________．7求椭圆22=194x y+的参数方程．(1)设x＝3cos φ，φ为参数；(2)设y＝2t，t为参数．8已知双曲线方程为x2－y2＝1，M为双曲线上任意一点，点M到两条渐近线的距离分别为d1和d2，求证：d1与d2的乘积是常数．参考答案1答案：B 把曲线C的参数方程化为普通方程为x2＋y2＝16，表示圆心在原点，半径r＝4的圆，所以过点M的弦与线段OM垂直，又12OMk=.∴弦所在直线的斜率为－2，∴直线方程为y－1＝－2(x－2)．2答案： A 由=5cos=3sinxyθθ⎧⎨⎩，，得22259x y+＝1，∴左焦点的坐标为(－4,0)．3答案：C 由4=cos=3tanxyθθ⎧⎪⎨⎪⎩，，得22169x y-＝1，∴它的焦点坐标为(±5,0)．4答案：A 由参数方程可知，(x－2)2＋y2＝1，圆心O(2,0)，另一定点M(5，－4)，∴|OM|5.∴(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为(5＋1)2＝62＝36.5答案：(－3，－1)椭圆参数方程为=2sinxyθθ⎧⎪⎨⎪⎩，(θ为参数)，则点M(cos θ，2sin θ)到直线x＋y－4＝0的距离d＝π|4sin4|θ⎛⎫+-⎪.当π3π=32θ+时，maxd＝此时，点M的坐标为(－3，－1)．6 答案：=22cos,=1sinxyθθ+⎧⎨+⎩π2θθθ⎛⎫≠≠⎪⎝⎭为参数，且由于动点C在该椭圆上运动，故可设点C的坐标为(6cos θ，3sin θ)，重心G的坐标为(x，y)，则由题意可知点A(6,0)，B(0,3)，由重心坐标公式可知有606cos==22cos,3033sin==1sin3xyθθθθ++⎧+⎪⎪⎨++⎪+⎪⎩π2θθθ⎛⎫≠≠⎪⎝⎭为参数，且.7 答案：分析：把x，y含参表达式分别代入椭圆方程求出参数方程．解：(1)把x＝3cos φ代入椭圆方程，得229cos=194yϕ+，∴y2＝4(1－cos2φ)＝4sin2φ，即y＝±2sin φ.由φ的任意性，可取y＝2sin φ.∴22=194x y+的参数方程为=3cos,=2sinxyϕϕ⎧⎨⎩(φ为参数)．(2)把y ＝2t 代入椭圆方程，得224=194x t +. ∴x 2＝9(1－t 2)，∴=x ±.∴参数方程为=2x y t⎧⎪⎨⎪⎩(t 为参数)或==2x y t ⎧⎪-⎨⎪⎩t 为参数)．8答案：分析：利用双曲线的参数方程代入距离公式，利用三角函数公式进行转化． 证明：设d 1为点M 到渐近线y ＝x 的距离，d 2为点M 到渐近线y ＝－x 的距离， 因为点M 在双曲线x 2－y 2＝1上，则可设点M 的坐标为1tan cos αα⎛⎫ ⎪⎝⎭，. 1d，2d ， d 1·d 2＝221tan 1cos =22αα-， 故d 1与d 2的乘积是常数．。
北师大版高中数学选修4-4精讲精练课时作业10 参数方程的概念
课时作业(十)1．已知曲线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ，y ＝cos2θ(θ为参数)，则下列各点在曲线上的是( )A ．(2，7)B ．(13，23)C ．(12，12)D ．(1，0)答案 C解析 由参数方程中x 、y 的取值范围，可排除A ；参数方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ，y ＝1－2sin 2θ(θ为参数)，把点的坐标代入验证知，点(12，12)满足方程，故选C.2．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋5t ，y ＝1－2t (t 为参数)与坐标轴的交点是( )A ．(0，25)，(12，0)B ．(0，15)，(12，0)C ．(0，－4)，(8，0)D ．(0，59)，(8，0)答案 B3．曲线xy ＝1的参数方程是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 12，y ＝t －12B.⎩⎨⎧x ＝sin α，y ＝1sin α C.⎩⎨⎧x ＝cos α，y ＝1cos αD.⎩⎨⎧x ＝tan α，y ＝1tan α答案 D4．已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝6＋4cos θ，y ＝5tan θ－3(θ为参数，π≤θ<2π)．已知点M(14，a)在曲线C 上，则a ＝( ) A ．－3－5 3 B ．－3＋5 3 C ．－3＋533D ．－3－533答案 A5．(2016·咸阳模拟)点P(1，0)到曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t (其中参数t ∈R)上的点的最短距离为( )A ．0B ．1 C. 2 D ．2答案 B解析 点P(1，0)到曲线上的点的距离设为d ，则 d ＝（x －1）2＋（y －0）2 ＝（t 2－1）2＋（2t ）2 ＝（t 2＋1）2＝t 2＋1≥1. 当t ＝0时，d min ＝1.所以，点P 到曲线上的点的距离的最小值为1.选B.6．由方程x 2＋y 2－4tx －2ty ＋5t 2－4＝0(t 为参数)所表示的一组圆的圆心轨迹方程是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝2t B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝－2t C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2t ，y ＝tD.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝t答案 D解析 原方程可变形为(x －2t)2＋(y －t)2＝4，则这组圆的圆心坐标为(2t ，t)，设圆心坐标为(x ，y)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝t (t 为参数)，故选D. 7．已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数，0≤θ<2π)，则曲线C 上的点A(1，－3)对应的θ值为( ) A.π3 B.2π3 C.5π3 D.116π 答案 C解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1＝2cos θ，－3＝2sin θ，即⎩⎨⎧sin θ＝－32，cos θ＝12，所以θ＝5π3，故选C.8．曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1，y ＝t 2－1(t 为参数)必过点( )A ．(1，0)B ．(0，1)C ．(0，0)D ．(2，0)答案 C解析 将点的坐标依次代入曲线的参数方程，若参数有解即为所求．由于当t ＝1时，x ＝y ＝0，故选C.9．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2cos θ，y ＝3＋2sin θ(θ为参数)围成图形的面积等于( )A ．πB ．2πC ．3πD ．4π答案 D解析 曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2cos θ，y ＝3＋2sin θ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝2cos θ，y －3＝2sin θ，(θ为参数)表示圆心为(－1，3)，半径为2的圆，所以面积等于4π.10．已知点P(x ，y)在曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)上，则x －2y 的最大值为( )A ．2B ．－2C ．1＋ 5D ．1－ 5答案 C解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ，所以x －2y ＝1＋cos θ－2sin θ ＝1－(2sin θ－cos θ)＝1－5(25sin θ－15cos θ) ＝1－5sin(θ－φ)(其中tan φ＝12)，所以x －2y 的最大值为1＋ 5.11．已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t 2(t 为参数)，若y ＝1，则x ＝________．答案 0或2解析 若y ＝1，则t 2＝1，则t ＝±1，x ＝0或2.12．已知点A(4，b)在曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝－2＋t (t 为参数)上，则b ＝________．答案 7解析 由题意得⎩⎨⎧4＝t ＋1，b ＝－2＋t ，解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝9，b ＝7.所以b ＝7.13．已知圆C 的圆心是直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝1＋t (t 为参数)与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切．则圆C 的方程为________． 答案 (x ＋1)2＋y 2＝2解析 直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＝1＋t(t 为参数)与x 轴的交点为(－1，0)，故圆C 的圆心坐标为(－1，0)．又圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，所以圆C 的半径为r ＝|－1＋0＋3|2＝2， 所以圆C 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝2.14．设x ＝2pt 2(t 为参数)，求抛物线y 2＝2px 的参数方程． 解析 由x ＝2pt 2得y 2＝2p·2pt 2＝(2pt)2. 又t ∈R ，所以y ＝2pt. 即抛物线y 2＝2px的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)．15．一位同学从楼房的阳台上以v 0＝2.5 m/s 的水平初速度平抛一物体，测得该物体抛出落在楼前5 m 的水平地面上，若不计空气阻力，g 取10 m/s 2，求： (1)物体的轨迹的参数方程； (2)楼房阳台的高度．解析 设阳台的高度为h ，平抛物体在空中运动的时间为t ，如图建立平面直角坐标系，则平抛物体在水平方向做匀速直线运动， x ＝v 0t ＝2.5t ，竖直方向向下是自由落体运动y ＝h －12gt 2，则物体轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2.5t y ＝h －5t 2(t 为参数)， 将x ＝5，y ＝0代入t ＝2 s ，h ＝20 m. 所以阳台高度为20 m.1．在方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin2θ，y ＝sin θ＋cos θ(θ为参数)所表示的曲线上的一点的坐标是( )A ．(1，3)B ．(2，3)C ．(12，－2)D ．(－34，12)答案 D2．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)上的点到两坐标轴的距离之和的最大值为( )A.12 B.22C ．1 D. 2答案 D解析 由题意，曲线上的点到两坐标轴的距离之和为d ＝|cos θ|＋|sin θ|.设θ∈[0，π2]，d ＝sin θ＋cos θ＝2sin(θ＋π4)∈[1，2]，∴d max ＝ 2.3．由方程x 2＋y 2－4tx －2ty ＋3t 2－4＝0(t 为参数)所表示的一族圆的圆心的轨迹方程为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝tB.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2t ，y ＝t C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝－tD.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2t ，y ＝－t答案 A4．已知参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，θ∈[0，2π)．(1)点A(1，3)________参数方程表示的曲线上，点B(2，1)________参数方程表示的曲线上；(填“在”或“不在”)(2)若点C(－3，a)在参数方程表示的曲线上，则a 的值为________． 答案 (1)在 不在 (2)±1解析 (1)把A(1，3)的坐标代入方程，得⎩⎪⎨⎪⎧1＝2cos θ，3＝2sin θ，在[0，2π)内，此方程组的解是θ＝π3， 把B(2，1)的坐标代入方程，得⎩⎪⎨⎪⎧2＝2cos θ，1＝2sin θ，在[0，2π)内，此方程组无解．故A 点在参数方程表示的曲线上，而B 点不在参数方程表示的曲线上． (2)由点C(－3，a)在参数方程表示的曲线上，得⎩⎪⎨⎪⎧－3＝2cos θ，a ＝2sin θ，解得cos θ＝－32，sin θ＝±12，∴a ＝±1. 5．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2t ，y ＝－1＋t(t 为参数)上对应t ＝0，t ＝1两点间的距离是________．答案5解析 将t ＝0，t ＝1分别代入曲线的参数方程，可得相应两点的直角坐标分别为(2，－1)与(4，0)，故两点间的距离为 5.6．直角坐标系中，经过原点O 作圆x 2＋y 2－2ax ＝0(a>0)的弦，选择适当的参数，求出这些弦的中点的轨迹的参数方程．解析 把圆的一般方程x 2＋y 2－2ax ＝0化为标准方程得(x －a)2＋y 2＝a 2，则圆心坐标为C(a ，0)，半径为a.如图，设OP 是过原点的任意一条弦，M(x ，y)是弦OP 的中点，弦OP 与x 轴的夹角为θ，θ为参数，连接CM ，过M 作MN ⊥x 轴于N ，则|OM|＝|OC|cos θ＝acos θ，∴|ON|＝|OM|cos θ＝acos 2θ，|MN|＝|OM|sin θ＝acos θsin θ，∴所求弦的中点的轨迹的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝acos 2θ，y ＝acos θsin θ(θ为参数)．由Ruize收集整理。
2019-2020学年北师大版高中数学选修4-4精讲精练课时作业第二章综合练习 Word版含解析
姓名，年级：时间：第二章 综合练习1．下列参数方程(t 为参数)中与普通方程x 2－y ＝0表示同一曲线的是( ）A.错误!B.错误! C 。
错误!D.错误! 答案 B2．若圆的参数方程为错误!（θ为参数)，直线的参数方程为错误!(t 为参数），则直线与圆的位置关系是( )A ．过圆心B ．相交而不过圆心C ．相切D ．相离答案 B3．设圆的半径为r>0，其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝rcos φy ＝rsin φ（φ为参数）直线的方程为xcos θ＋ysin θ＝r ，则直线与圆的位置关系（ ）A ．相切B ．相交C ．相离D ．与r 的大小有关答案 A4．直线l ：y ＋kx ＋2＝0与曲线C ：ρ＝2cos θ相交，则k 的取值范围是（ ）A ．k 〈－错误!B ．k ≥－错误!C ．k ∈RD ．k ∈R 且k≠0 答案 A5．直线l 的参数方程是错误!（t∈R），则l 的方向向量是（ )A ．（1，2)B ．（2,1)C ．（－2,1）D ．（1，－2) 答案 C解析 化为普通方程为y ＝－错误!x ＋错误!，∴方向向量为(－2，1）6．直线l ：错误!(t 为参数)与圆错误!（α为参数)相切，则直线的倾斜角θ为（ ）A.错误!或错误!B 。
错误!或错误! C.π3或错误! D ．－错误!或－错误! 答案 A7．曲线错误!上的点与x轴的距离的最大值为（）A．1 B．2C．3 D．4答案C解析曲线错误!的普通方程为(x－1)2＋（y＋2)2＝1,曲线的中心即圆心坐标为（1，－2)，半径为1，圆心到x轴的距离为2，所以圆上的点与x轴的距离的最大值为2＋1＝3. 8．(2015·重庆理)已知直线l的参数方程为错误!（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ＝4（ρ〉0，错误!〈θ〈错误!),则直线l与曲线C的交点的极坐标为________．答案(2，π）解析对错误!(t为参数）消去参数t，得x－y＋2＝0.ρ2cos2θ＝ρ2（2cos2θ－1）＝2ρ2cos2θ－ρ2＝2x2－（x2＋y2)＝x2－y2.又34π〈θ〈错误!，联立错误!得交点坐标（－2,0），化为极坐标为(2,π）．9．已知圆C的参数方程为错误!(θ为参数），则点P(5，3）与圆C上的点的最远距离是________．答案7解析圆C:错误!的普通方程为（x－1)2＋y2＝4，故圆心C（1,0)，半径r＝2,由于点P（5，3）在圆外部，所以点P与圆C上的点的最远距离为｜PC｜＋2＝错误!＋2＝7。
北师大版数学高二选修4-4讲义第二讲参数方程2.32.4习题解答
习题2－2 (第28页)A 组1.解 (1)a 作为参数时，方程表示直线；φ作为参数时，方程表示圆.(2)x ，y 分别表示曲线上任意一点的横、纵坐标；x 0，y 0分别表示曲线上某一定点的横、纵坐标；若a 作为参数，则它表示直线上定点M 0(x 0，y 0)与直线上任意一点M (x ，y )构成的有向线段M 0M →的数量，此时φ是直线的倾斜角；若φ作为参数，则它表示圆的半径与x 轴正方向所夹的角，此时a 表示圆的半径.2.2π33.解直线方程⎩⎨⎧x ＝－2－2t ，y ＝3＋2t (t 为参数)可以变形为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2－22（2t ），y ＝3＋22（2t ）.所以|2t |＝2，2t ＝±2.所以所求点的坐标为(－3，4)或(－1，2).4.解 将直线l 1的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋613t ，y ＝3＋413t ，代入l 2：x ＋y －2＝0，得t ＝－132. 所以点Q 的坐标为(1，1)，所以|PQ |＝13. 5.解(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝5＋32t (t 为参数). (2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝5＋32t代入x －y －23＝0，得t ＝－10－6 3. 由t 的几何意义知，两直线的交点到点M 的距离为|t |＝10＋6 3.(3)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝5＋32t代入x 2＋y 2＝16， 得t 2＋(53＋1)t ＋10＝0.所以t 1＋t 2＝－(53＋1)，t 1t 2＝10.由t 的几何意义知，直线与圆的两个交点到点M 的距离分别为|t 1|，|t 2|.因为t 1t 2＞0，所以t 1，t 2同号，所以|t 1|＋|t 2|＝53－1，|t 1|·|t 2|＝10.6.解 (1)⎩⎨⎧x ＝2＋5cos α，y ＝3＋5sin α(α为参数). (2)若a ＞0，如图，设点P (x ，y )，则由题意，取|OP |＝t为参数.在Rt △AOP 中，作PM ⊥OA ，根据射影定理，所以⎩⎨⎧|OP |2＝OM ·OA ，t 2＝x ·2a ， 所以x ＝t 22a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 22a ，y ＝±t 2a 4a 2－t2(t 为参数). 若a ＜0，同理.7.证明 以圆心为原点，建立平面直角坐标系，设圆的半径为R ，则圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝R cos θ，y ＝R sin θ(θ为参数).圆内接矩形在第一象限内的顶点坐标为(R cos θ，R sin θ).所以S ＝4R cos θ·R sin θ＝2R 2sin 2θ.要使S 最大，则2θ＝π2，θ＝π4.即圆的内接矩形中正方形的面积最大.8.解 直线方程为y ＝tan θ·x .由⎩⎨⎧y ＝tan θ·x ，x 2＋y 2－2x ＝0，得圆x 2＋y 2－2x ＝0的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝21＋tan 2θ，y ＝2tan θ1＋tan 2θ(θ为参数).9.P ⎝ ⎛⎭⎪⎫332，1，θ＝arctan 239 10.解 直线方程为y ＝tx ＋4.由⎩⎨⎧y ＝tx ＋4，4x 2＋y 2－16＝0，得椭圆4x 2＋y 2＝16的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t t 2＋4，y ＝－4t 2＋16t 2＋4(t 为参数).B 组1.以时间t 为参数，点M 轨迹的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋9t ，y ＝1＋12t .2.解直线的参数方程⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝4－t 可以变形为直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－22（－2t ），y ＝4＋22（－2t ），则两个交点到点A (2，4)的距离之和为2(|t 1|＋|t 2|)，将直线方程⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝4－t ，代入y 2＝4x ，得t 2－12t ＋8＝0.所以t 1＋t 2＝12，t 1t 2＝8.所以2(|t 1|＋|t 2|)＝2|t 1＋t 2|＝12 2.3.解 因为点B (x ′，y ′)在椭圆⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)上运动，所以⎩⎨⎧x ′＝2cos θ，y ′＝3sin θ.设⎩⎨⎧x ＝x ′＋y ′，y ＝x ′－y ′，则⎩⎨⎧x ＝2cos θ＋3sin θ，y ＝2cos θ－3sin θ，所以动点P 的轨迹的普通方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 62＝1. 4.解 由cos ∠MOQ ＝35，得在Rt △MOQ 中，OQ OM ＝35.因为OM ＝10，所以OQ ＝6，即a ＝6.所以双曲线的方程为x 236－y 29＝1，且点P 为(10，4).5.略6.⎩⎨⎧x ＝7 782.5cos θ，y ＝7 721.5sin θ(θ为参数). 7.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝v 0t ，y ＝－12gt 2(t 为参数). 8.点M 的轨迹的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数).。
(常考题)北师大版高中数学高中数学选修4-4第二章《参数方程》测试题(包含答案解析)(2)
一、选择题1．点(, )A x y 是曲线2cos 13sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩，（θ为参数）上的任意一点，则2 -x y 的最大值为（ ） AB5C ．3D3+2．点(,)P x y 是椭圆222312+=x y 上的一个动点，则2x y +的最大值为（ ） A．B．CD3．已知点A ，B 是曲线2241x y +=上两点，且OA OB ⊥（O 为坐标原点），则2211OAOB+=（ ）A ．34 B ．1C ．54D ．54．已知在平面直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程为 4cos ()sin x y 为参数ααα=⎧⎨=⎩，M 是曲线C 上的动点．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，若曲线T 的极坐标方程为2sin cos 20ρθρθ+=，则点M 到点T 的距离的最大值为（ ） A．2+BC．4+D．5．已知(,)P x y是椭圆sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩上任意一点，则点P到40x -=的距离的最大值为（ ） AB．2CD．26．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为()y 4t?x t t 为参数=⎧⎨=+⎩，以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则直线l 和曲线C 的公共点有 A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个7．4sin 4πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭与直线122{12x y =-=（t 为参数）的位置关系是（ ） A ．相切B ．相离C ．相交且过圆心D ．相交但不过圆心8．曲线C 的参数方程为2x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为3212x t y t⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，则AB 等于（ ） A ．877B ．477C ．81313D ．413139．已知椭圆C 的参数方程为3cos 5sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），则C 的两个焦点坐标是（ ）A ．(4,0)±B ．(0,4)±C ．(34,0)±D ．(0,34)±10．已知曲线C 的参数方程为：[]2cos ,0,1sin x y θθπθ=+⎧∈⎨=+⎩，且点(),P x y 在曲线C 上，则1y x x+-的取值范围是（ ） A ．30,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．31,12⎡⎤+⎢⎥⎣⎦C ．31,13⎡⎤+⎢⎥⎣⎦D ．41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦11．若动点(,)x y 在曲线2221(0)4x yb b+=>上变化，则22x y +的最大值为（ ）A ．24(04)42(4)b b b b ⎧+<⎪⎨⎪>⎩B ．24(02)42(4)b b b b ⎧+<<⎪⎨⎪⎩C ．244b +D ．2b12．在直角坐标系中，椭圆的参数方程为（为参数），直线的方程为 ，若上的点到的距离的最大值为，则（ ） A ． B ． C ． D ．或二、填空题13．已知点(,)P x y 在曲线2cos sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩，（θ为参数）上，则yx 的取值范围为_____.14．直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A B ，分别在曲线13cos :sin x C y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）和曲线2:1C ρ=上，则AB 的最小值为______.15．在极坐标系中，曲线的方程为，以极点为直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立直角坐标系，设为曲线上一动点，则的取值范围为_____________16．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．已知抛物线C 的极坐标方程为2cos 4s 0()in ρθθρ≥＝，直线l 的参数方程为31x ty t⎧=⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）．设直线l 与抛物线C 的两个交点为A 、B ，点F 为抛物线C 的焦点，则||||AF BF 的值为________．17．已知直线参数方程为355435x t y t⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩(t 为参数)，直线与圆5ρ=交于B 、C 两点,则线段BC 中点直角坐标________. 18．直线被圆所截得的弦长为 ．19．直线415{315x ty t =+=--（t 为参数）被曲线24πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所截得的弦长为 .20．变量,x y 满足21x ty t⎧=⎪⎨=-⎪⎩t 为参数），则代数式22y x ++的最小值是__________．三、解答题21．已知纵坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴的正半轴重合，直线l 的参数方程为：3112x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为：4cos ρθ=． （1）写出C 的直角坐标方程，并指出C 是什么曲线． （2）设直线l 与曲线C 相交于P ，Q 两点，求PQ 值．22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos ,3x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2cos 4πρθ⎛⎫+=⎪⎝⎭（1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，且设点(2,1)P ，求22||||PM PN +的值． 23．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为22cos 4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，直线l 的参数方程为1x t y t=⎧⎨=-+⎩，(t 为参数)，直线l 和圆C 交于A 、B 两点，P 是圆C 上异于A 、B 的任意一点. （1）求圆C 的参数方程； （2）求PAB 面积的最大值.24．在平面直角坐标系xoy 中，曲线C 1的参数方程为244x t y t ⎧=⎨=⎩(其中为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度，圆C 2的极坐标方程为28sin 150ρρθ++=.（1）求曲线C 1的方程普通方程和C 2的直角坐标方程； （2）过圆C 2的圆心，倾斜角为4π的直线l 与曲线C 1交于A 、B 两点，则求22+C A C B 的值.25．平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为212x ty t =-⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.且曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=. （1）求直线l 的普通方程以及曲线C 的直角坐标方程；（2）若点M 的极坐标为(1,)2π，直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求11||||MA MB +的值 26．在平面直角坐标系xOy 中，直线1l ：cos ,sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，π02α<<），曲线1C ：2cos 4+2sin x y ββ=⎧⎨=⎩,（β为参数），1l 与1C 相切于点A ，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求1C 的极坐标方程及点A 的极坐标； （2）已知直线2l ：()6R πθρ=∈与圆2C ：243cos 20ρρθ-+=交于B ，C 两点，记AOB ∆的面积为1S ，2COC ∆的面积为2S ，求1221S S S S +的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D【分析】利用曲线的参数方程得32co sin -32s x y θθ=+-化简求解即可 【详解】由题()32cos 3sin 2313co -s x y θθθϕ=+-=++ 故当()cos 1θϕ+=时，2 -x y 的最大值为133+ 故选D 【点睛】本题考查参数方程求最值，考查辅助角公式，是基础题2．D解析：D 【解析】试题分析：由于椭圆，所以可设点Ｐ(x,y)的代入2x y +得：（其中）=，故知2x y +22考点：１．椭圆的性质；2.最值的求法．3．D解析：D 【解析】 【分析】将曲线2241x y +=化为极坐标方程，设12(,),(,)2A B πρθρθ+，可将2211OAOB+表示为θ的函数，可得答案. 【详解】解：将曲线2241x y +=化为极坐标方程得：2222cos 4sin 1ρθρθ+=，可得2221cos 4sin ρθθ=+，由OA OB ⊥，可设12(,),(,)2A B πρθρθ+,可得2211OAOB+=221211+ρρ=2222cos 4sin +cos +4sin +22ππθθθθ++（）（）=5， 故选D. 【点睛】本题主要考查椭圆的极坐标方程，注意灵活运用其性质解题.4．A解析：A 【分析】首先求出曲线T 的直角坐标系方程，设点(4cos ,sin )M αα，求出点M 到直线T 的距离，利用三角函数即可求出点M 到直线T 的距离的最大值． 【详解】由曲线T 的极坐标方程为2sin cos 20ρθρθ+=，可得曲线T 的直角坐标方程为2200x y +-=，由于点M 为曲线C 的一个动点，故设点(4cos ,sin )M αα， 则点M 到直线T 的距离：2sin()d αϕ===+-所以当sin()1αϕ+=-时，距离最大max 2d =+，点M 到直线T的距离的最大值为2+故答案选A 【点睛】本题考查极坐标与参数方程的相关知识，考查推理论证能力、运算求解能力，属于中档题．5．A解析：A 【分析】设点,sin )P αα，求得点P到直线的距离为d =数的性质，即可求解. 【详解】由题意，点(),P x y是椭圆x y sin αα⎧=⎪⎨=⎪⎩上任意一点，设点,sin )P αα，则点P到直线40x -=的距离为d ==当cos()14πα+=-时，距离dA. 【点睛】本题主要考查了椭圆的参数方程的应用，以及点到直线的距离公式和三角函数的性质的应用，其中解答中合理利用椭圆的参数方程，设点(3cos ,sin )P αα，再利用点到直线的距离公式和三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.6．B解析：B 【分析】首先，将给定的参数方程和极坐标方程化为普通方程，然后，利用直线与圆的位置关系, 圆心到直线的距离为224222d -+==,进行判断．【详解】∵直线l 的参数方程为(4x tt y t=⎧⎨=+⎩ 为参数．所以它的普通方程为：40x y -+=，∵曲线C 的极坐标方程为42sin 4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴()42sin 4sin cos 4πρθθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， 两边同乘ρ，得2244x y x y +=+，所以直角坐标方程为()()22228x y -+-=，所以圆C 它的半径为22，圆心为()2,2， 圆心到直线的距离为224222d -+==，所以直线l 和曲线C 的公共点有1个． 故选B ． 【点睛】这个题目考查了参数方程和极坐标方程化为普通方程，直线和圆的位置关系，一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理和垂径定理.7．D解析：D 【解析】分析：先应用cos ?x y sin ρθρθ==，244sin πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭化为直角坐标方程，轨迹为圆，再化简1221222x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为直线10x y +-=，利用圆心到直线的距离公式，求出距离，判断与半径的关系，从而确定直线与圆的位置关系)4sin cos4sinπθθθ⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，化为直角坐标方程为：22220x y x y+--=即()()22112x y-+-=，圆心为()11，12212xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩化为普通方程为直线10x y+-==<故直线与圆相交且不过圆心故选D点睛：本题主要考查了极坐标方程转化为直角坐标方程，参数方程转化为普通方程，还考查了直线与圆的位置关系，属于基础题。
北师大高中数学选修44精讲精练课时作业1 平面直角坐标系与曲线方程 含解析
课时作业(一)1．点B(1，－2)关于点A(－1，1)的对称点P ′的坐标为( )A ．(3，4)B ．(－3，4)C ．(3，－4)D ．(－3，－4)答案 B解析 设P ′(x ，y)，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋x 2＝－1，－2＋y 2＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝4.故选B.2．方程(x 2－3)2＋(y 2－4)2＝0表示的图形是( )A ．两个点B ．四个点C ．两条直线D ．四条直线答案 B解析 由(x 2－3)2＋(y 2－4)2＝0得，x 2－3＝0且y 2－4＝0，所以x ＝±3且y ＝±2，所以方程表示的图形是四个点，故选B.3．已知△ABC 中，A(4，－3)，B(5，－2)，重心G(2，－1)，则点C 的坐标为() A ．(－3，2) B ．(3，－2)C ．(2，－3)D ．(－2，3)答案 A解析 设点C(x ，y)，线段AB 的中点为D(92，－52)，依题意得GC →＝2DG →，即(x －2，y ＋1)＝2(2－92，－1＋52)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝－5，y ＋1＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝2.所以C(－3，2)为所求．4．动点P到直线x＋y－4＝0的距离等于它到点M(2，2)的距离，则点P的轨迹是() A．直线B．椭圆C．双曲线D．抛物线答案 A解析因为M(2，2)在直线x＋y－4＝0上，所以点P的轨迹是过M与直线x＋y－4＝0垂直的直线．选A.5．已知两定点A(－2，0)，B(1，0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所围成的图形的面积等于()A．πB．4πC．8πD．9π答案 B解析设P(x，y)，则（x＋2）2＋y2＝2（x－1）2＋y2，化简得x2＋y2－4x＝0，即(x－2)2＋y2＝4，图形为以(2，0)为圆心，2为半径的圆，面积S＝4π.故选B.6.如图所示的曲线方程是()A．|x|－y＝0B．x－|y|＝0C．x－1＝|y|D．|x|－1＝y答案 B解析由图像知：一个x对应两个y值且y可以为0.7．已知等腰△ABC中，∠C＝90°，A(－1，0)，B(3，2)，则点C的坐标为() A．(3，－3) B．(0，3)或(3，－3)C．(2，－1) D．(0，3)或(2，－1)答案 D→·BC→＝(4，－3)·(0，－5)＝15≠0，解析若点C(3，－3)，则AC所以不满足AC⊥BC，排除A、B项；若点C(2，－1)，则AC →·BC →＝(3，－1)·(－1，－3)＝0，所以AC ⊥BC ，又|CA|2＝|CB|2＝10，故C(2，－1)满足题意，由于AB 的中点坐标为(1，1)，由对称性，得另一点C 的坐标为(0，3)．8．已知两点M(－2，0)，N(2，0)，点P 为坐标平面内的动点，满足|MN→|·|MP →|＋MN →·NP →＝0，则动点P(x ，y)的轨迹方程为( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝－4x答案 B解析 设P(x ，y)，又由M(－2，0)，N(2，0)，则MN→＝(4，0)，|MN →|＝4，MP →＝(x ＋2，y)，NP →＝(x －2，y) 又由|MN→|·|MP →|＋MN →·NP →＝0， 则4（x ＋2）2＋y 2＋4(x －2)＝0， 化简整理得y 2＝－8x.9．在一次科学探测活动中，探测人员发现一目标在如图所示的阴影部分区域内，则探测目标可能的坐标是________．①(9，600)；②(7，－500)；③(－3，300)；④(－2，－800)．答案 ③解析 由图可知，阴影部分区域在第二象限，即探测目标应该是第二象限的点，则探测目标可能的坐标是(－3，300)．10．已知点P(x ，y)在第四象限，它到x 轴的距离为2，到y 轴的距离为1，则P 点坐标为________．答案 (1，－2)解析 ∵点P(x ，y)到x 轴距离为2，到y 轴距离为1，∴|y|＝2，|x|＝1.又∵P(x ，y)在第四象限，x>0，y<0，∴x ＝1，y ＝－2，即P 点坐标为(1，－2)．11．已知等边△ABC 的两顶点坐标为A(2，0)，B(－4，0)，则点C 的坐标为________． 答案 (－1，33)或(－1，－33)解析 如图，设C 点坐标为(a ，b)，过C 作CD ⊥BA 于D ，∴|DA|＝12|AB|，又|AB|＝6， ∴|DA|＝3，|OD|＝|AD|－|AO|＝3－2＝1，又∵|CD|＝32|AB|＝32×6＝33， ∴a ＝－1，b ＝±33，∴C 点坐标为(－1，33)或(－1，－33)．12．一动点在圆x 2＋y 2＝1上移动，它与定点(3，0)连线的中点的轨迹方程是________． 答案 (2x －3)2＋4y 2＝1解析 设中点P(x ，y)，圆上动点M(x 0，y 0)则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋32＝x ，y 0＋02＝y ，且x 02＋y 02＝1. 所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －3，y 0＝2y ，代入x 02＋y 02＝1，得(2x －3)2＋(2y)2＝1. 故中点P 的轨迹方程是(2x －3)2＋4y 2＝1.13．平面内有一固定线段AB ，|AB|＝4，动点P 满足|PA|－|PB|＝3，O 为AB 的中点，则|OP|的最小值是________．答案 32 解析 以AB 的中点O 为原点，AB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，如图，则P 点的轨迹是以A ，B 为焦点的双曲线的右支．所以2c ＝4，2a ＝3，所以c ＝2，a ＝32. 所以b 2＝c 2－a 2＝4－94＝74. 所以点P 的轨迹方程为x 294－y 274＝1(x ≥32)． 由图可知，P 点为双曲线的右顶点时，|OP|最小，且|OP|min ＝32. 14．在△ABC 中，已知A(4，2)，B(3，5)，|AB|＝|AC|，则点C 的轨迹方程为________． 答案 (x －4)2＋(y －2)2＝10(去掉(3，5)，(5，－1)两点)解析 设C(x ，y)，则由|AB|＝|AC|可得（4－3）2＋（2－5）2＝（x －4）2＋（y －2）2，化简得(x －4)2＋(y －2)2＝10.又因为A ，B ，C 三点不共线，所以(x －4)2＋(y －2)2＝10(去掉(3，5)，(5，－1)两点)．15．已知M 为等腰△ABC 底边BC 上的任意一点．求证：|AB|2＝|AM|2＋|BM|·|MC|.证明 取BC 的中点O 为坐标原点，OA 所在直线为y 轴，建立如图的直角坐标系． 设A(0，b)，B(－a ，0)，则C(a ，0)，从而|AB|2＝a 2＋b 2.令M 的坐标为(x ，0)(－a ≤x ≤a)，则|AM|2＋|BM|·|MC|＝x 2＋b 2＋(a ＋x)(a －x)＝x 2＋b 2＋a 2－x 2＝a 2＋b 2.所以|AB|2＝|AM|2＋|BM|·|MC|.1．在△ABC 中，底边BC 长为8，顶点A 到B 、C 两点距离之和为10，则顶点A 的轨迹为( )A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线 答案 C2．在体育场排练团体操，甲、乙两名同学所在位置的坐标分别为(2，1)、(3，2)，丙同学所在位置的坐标为(5，a)．若这三名同学所在位置是在一条直线，则a 的值为________． 答案 4解析 设A(2，1)、B(3，2)、C(5，a)，则过A 、B 两点的直线方程为y －12－1＝x －23－2，即y ＝x －1，∵点C 在直线AB 上，∴a ＝5－1＝4.3．定义运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc ，则符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 1－2y 1＋2y x －1＝0的点P(x ，y)的轨迹方程为________．答案 (x －1)2＋4y 2＝1 解析 由定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 1－2y 1＋2y x －1＝0， 得到(x －1)2－(1－4y 2)＝0.∴(x －1)2＋4y 2＝1.4．已知一条曲线在x 轴的上方，它上面的每一点到点A(0，2)的距离减去它到x 轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程．解析 设点M(x ，y)是曲线上的任意一点，根据题意，得它到x 轴的距离是y ，所以x 2＋（y －2）2－y ＝2，化简整理可得y ＝18x 2. 因为曲线在x 轴的上方，y<0，虽然原点O 的坐标(0，0)满足方程y ＝18x 2，但不属于已知曲线，所以所求曲线方程为y ＝18x 2(x ≠0)． 5．有一种大型商品，A 、B 两地都有出售，且价格相同．某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：每单位距离A地的运费是B地的运费的3倍，已知A、B两地距离为10公里，顾客选择A或B地购买这种商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低，求A、B两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点．解析如右图，以A、B所在的直线为x轴，AB中点O为坐标原点，建立平面直角坐标系，则A(－5，0)，B(5，0)．设某地P的坐标为(x，y)，且P地居民选择到A地购买商品便宜，并设A地的运费为3a元/公里，B地的运费为a元/公里．价格＋运费×到A地的距离≤价格＋运费×到B地的距离，即3a（x＋5）2＋y2≤a（x－5）2＋y2.∵a>0，∴3（x＋5）2＋y2≤（x－5）2＋y2.即(x＋254)2＋y2≤(154)2.∴以点C(－254，0)为圆心，154为半径的圆是这两地购货的分界线．圆C内的居民从A地购货便宜．圆C外的居民从B地购货便宜．圆C上的居民从A、B两地购货的总费用相等，因此，可随意从A、B两地之一购货．。
北师大高中数学选修44精讲精练课时作业 椭圆的参数方程 含解析
课时作业(十三)1．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)表示的曲线是( )A ．以(±7，0)为焦点的椭圆B ．以(±4，0)为焦点的椭圆C ．离心率为75的椭圆 D ．离心率为35的椭圆答案 A解析 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos φ，y ＝3sin φ⇒⎩⎨⎧x4＝cos φ，y 3＝sin φ.平方相加，得x 216＋y 29＝1，∴c 2＝16－9＝7.∴c ＝7，∴焦点为(±7，0)．2．椭圆x 2＋4y 2＝1的参数方程为(φ为参数)( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ，y ＝2sin φ B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ，y ＝12sin φ C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin φ，y ＝2cos φD.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2sin φ，y ＝cos φ答案 B3．曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝5sin φ(φ为参数)的离心率为( )A.23 B.35 C.32 D.53答案 A解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝5sin φ，得⎩⎨⎧x3＝cos φ，y 5＝sin φ.∴x 29＋y 25＝cos 2φ＋sin 2φ＝1. ∴方程的曲线为椭圆，由a 2＝9，b 2＝5，得c 2＝4.∴离心率e ＝c a ＝23.4．设O 是椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ的中心，P 是椭圆上对应于φ＝π6的点，那么直线OP 的斜率为( ) A.33B. 3C.332D.239答案 D解析 当φ＝π6时，x ＝3cos π6＝332，y ＝2sin π6＝1，∴k OP ＝y x ＝1332＝239.5．曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝3t ，y ＝4＋4t 与C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝4sin θ(0≤θ≤π)的交点对应的θ值为( )A.π6或π3 B.π6或π2 C ．0或π2D.5π6或π2答案 D解析 根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧3t ＝cos θ，4＋4t ＝4sin θ，∴3(sin θ－1)＝cos θ，∴3sin θ－cos θ＝ 3. ∴2sin(θ－π6)＝3，∴sin(θ－π6)＝32.∵0≤θ≤π，∴θ＝5π6或π2.6．椭圆x 29＋y 24＝1上的点到直线x ＋2y －4＝0的距离最小值为( )A.55B. 5C.655 D ．0答案 A解析 设椭圆上任意一点P(3cos θ，2sin θ)， 由点到直线距离公式，得d ＝|3cos θ＋4sin θ－4|1＋4＝|5sin （θ＋φ）－4|5.∴d min ＝15＝55. 7．已知点P 是椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝23sin θ(θ为参数)上一点，点O 是坐标原点，OP 倾斜角为π3，则|OP|等于( ) A.13 B ．213 C.855 D ．2 5答案 C解析 设P 点坐标为(4cos θ，23sin θ)，∵OP 的倾斜角为π3，∴4cos θ＝|OP|·cos π3，23sin θ＝|OP|·sin π3，∴|OP|＝855.8．定点(2a ，0)和椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝acos θ，y ＝bsin θ(θ为参数)上各点连线段的中点轨迹方程是( )A.（x －a ）2a 24＋y 2b 24＝1B.（x ＋a ）2a 24＋y 2b 24＝1C.（x －a ）2a 24－y 2b 24＝1D.（x ＋a ）2a 24－y 2b 24＝1答案 A解析 设中点坐标为(x ，y)，椭圆上任意一点坐标为(acos θ，bsin θ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝acos θ＋2a2，y ＝bsin θ2，消去θ，得（x －a ）2a 24＋y 2b 24＝1，故选A.9．椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)内接正方形的面积是________．答案57625解析 设内接正方形在第一象限的顶点为(4cos φ，3sin φ)， ∴4cos φ＝3sin φ，∴tan φ＝43.∴sin φ＝45，cos φ＝35.S ＝4·4cos φ·3sin φ＝48·45·35＝57625.10．已知点P 是曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝4sin φ(φ为参数，0≤φ≤π)上一点，O 为坐标原点，直线PO 的倾斜角为π4，则P 点坐标是________．答案 (125，125)解析 将曲线化为普通方程，得x 29＋y 216＝1.因为直线OP 的倾斜角为π4，所以其斜率为1.则直线OP 的方程为y ＝x ，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 29＋y 216＝1，y ＝x ，解得x ＝y ＝125，即P 点坐标为(125，125)．11．P(x ，y)是曲线x 225＋y 216＝1上的动点，则45x ＋34y 的最大值是________．答案 5解析 令⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，则45x ＋34y ＝4cos θ＋3sin θ＝5sin(θ＋φ)， ∴最大值为5.12．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝3sin α(α为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，曲线C 2的方程为ρ(cos θ－sin θ)＋1＝0，则C 1与C 2的交点个数为________． 答案 2解析 本题考查了参数方程与极坐标知识．由题意知C 1方程为x 24＋y 23＝1，表示椭圆；而C 2方程即ρcos θ－ρsin θ＋1＝0表示直线x －y＋1＝0，由C 1和C 2方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，x －y ＋1＝0，消去y ，得7x 2＋8x －8＝0，由Δ＝64＋4×7×8>0知曲线C 1与曲线C 2有两个交点．13．对任意实数，直线y ＝x ＋b 与椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(0≤θ≤2π)恒有公共点，则b 的取值范围是________． 答案 [－25，25]解析 将(2cos θ，4sin θ)代入y ＝x ＋b ，得 4sin θ＝2cos θ＋b.∵恒有公共点，∴以上方程有解． 令f(θ)＝4sin θ－2cos θ＝25sin(θ＋φ)． ∴－25≤f(θ)≤2 5.∴－25≤b ≤2 5.14．在椭圆x 216＋y 212＝1上找一点，使这一点到直线x －2y －12＝0的距离最小．解析 设椭圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝23sin θ，椭圆上的任意一点(x ，y)到直线x －2y －12＝0的距离为 d ＝|4cos θ－43sin θ－12|5＝455|cos θ－3sin θ－3|＝455|2cos(θ＋π3)－3|，当cos(θ＋π3)＝1时，d min ＝455，此时所求点为(2，－3)．15．已知在平面直角坐标系xOy 中，圆锥曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，定点A(0，－3)，F 1，F 2是圆锥曲线C 的左、右焦点．(1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求经过点F 1且平行于直线AF 2的直线l 的极坐标方程；(2)设(1)中直线l 与圆锥曲线C 交于M ，N 两点，求|F 1M|·|F 1N|.解析 (1)圆锥曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，∴普通方程为x 24＋y 23＝1.∵A(0，－3)，F 2(1，0)，F 1(－1，0)， ∴kAF 2＝3，l ：y ＝3(x ＋1)， ∴直线l 的极坐标方程为ρsin θ＝3ρcos θ＋3⇒2ρsin(θ－π3)＝ 3.(2)直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝－1＋t2，y ＝3t 2(t 为参数)，代入椭圆方程，得5t 2－4t －12＝0， ∴t 1t 2＝－125，∴|F 1M|·|F 1N|＝|t 1t 2|＝125.1．当参数θ变化时，由点P(2cos θ，3sin θ)所确定的曲线过点( ) A ．(2，3) B ．(1，5) C ．(0，π2)D ．(2，0)答案 D解析 当2cos θ＝2，即cos θ＝1时，3sin θ＝0.2．把椭圆的普通方程9x 2＋4y 2＝36化为参数方程是________．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)解析 把椭圆的普通方程9x 2＋4y 2＝36化为x 24＋y 29＝1，则b ＝2，a ＝3，其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)．3．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)和极坐标方程ρ＝4sin θ所表示的图形分别是________．答案 椭圆和圆解析 把参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ化为普通方程是x 24＋y 29＝1，表示焦点在y 轴上的椭圆；把极坐标方程ρ＝4sin θ两边都乘ρ，得ρ2＝4ρsin θ，化为直角坐标方程是x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝4，表示圆心在(0，2)的圆．4．(2012·新课标全国)已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2.正方形ABCD 的顶点都在C 1上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2，π3)．(1)求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；(2)设P 为C 1上任意一点，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2的取值范围． 解析 (1)由已知可得 A(2cos π3，2sin π3)，B(2cos(π3＋π2)，2sin(π3＋π2))，C(2cos(π3＋π)，2sin(π3＋π))，D(2cos(π3＋3π2)，2sin(π3＋3π2))，即A(1，3)，B(－3，1)，C(－1，－3)，D(3，－1)． (2)设P(2cos φ，3sin φ)，令S ＝|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2，则 S ＝16cos 2φ＋36sin 2φ＋16＝32＋20sin 2φ.因为0≤sin 2φ≤1，所以S 的取值范围是[32，52]．。
高中数学(北师大版)选修4-4 同步教学课件+练习+作业：第二讲 参数方程 2.1.1 课后
第二讲 2.1 2.1.1一、选择题1．(2016·重庆期末)P (x ，y )是曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)上任一点，则(x －2)2＋(y ＋4)2的最大值是( A )A ．36B ．6C ．26D ．25解析：消去参数得(x ＋1)2＋y 2＝1，故曲线是以C (－1,0)为圆心，1为半径的圆，(x －2)2＋(y ＋4)2表示圆上点(x ，y )到P (2，－4)距离的平方，最大距离为|CP |＋R (圆的半径)，即(－1－2)2＋(0＋4)2＋1＝6，即所求的最大值为36. 2．曲线xy ＝1的参数方程是( D )A ．⎩⎨⎧x ＝t12y ＝t －12B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin αy ＝1sin α C ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝cos αy ＝1cos αD ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan αy ＝1tan α解析：注意x ，y 的范围，知答案为D ．3．已知曲线C 满足方程⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝2t －1(t 为参数)，则曲线C 上点的横坐标的取值范围是( D )A ．RB ． [0，＋∞)C ． [1，＋∞)D ．⎣⎡⎭⎫12，＋∞解析：横坐标的取值范围即为t 的范围，由y ＝2t －1，知2t －1≥0即t ≥12，故选D ．4．(2016·湖北黄冈中学检测)设曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝－1＋3sin θ(θ为参数)，直线l 的方程为x －3y ＋2＝0，则曲线C 上到直线l 距离为71010的点的个数为( B ) A ．1B ．2C ．3D ．4解析：化曲线C 的参数方程为普通方程：(x －2)2＋(y ＋1)2＝9，圆心(2，－1)到直线x －3y ＋2＝0的距离d ＝|2－3×(－1)＋2|10＝71010<3，直线和圆相交，过圆心和l 平行的直线和圆的2个交点符合要求，又71010>3－71010，在直线l 的另外一侧没有圆上的点符合要求，所以选B ．5．曲线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－1t ，y ＝1－t2(t 是参数，t ≠0)，它的普通方程是( B )A ．(x －1)2(y －1)＝1(y <1)B ．y ＝x (x －2)(1－x )2(y <1)C ．y ＝1(1－x )2－1(y <1)D ．y ＝x1－x 2－1(y <1)解析：由x ＝1－1t ，得t ＝11－x ，故y ＝1－1(1－x )2＝x (x －2)(1－x )2，又y ＝1－t 2，t ≠0，故y ＜1，因此所求的普通方程为y ＝x (x －2)(1－x )2(y ＜1)．6．直线y ＝x －1上的点到曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋cos θ，y ＝1＋sin θ(θ为参数)上点的最近距离是( C )A ．2 2B ．2－1C ．22－1D ．1解析：设曲线上任一点P (－2＋cos θ，1＋sin θ)，则点P 到直线x －y －1＝0的距离d ＝|－2＋cos θ－1－sin θ－1|2＝12|cos θ－sin θ－4|＝12⎪⎪⎪⎪2sin ⎝⎛⎭⎫π4－θ－4，所以d min ＝12|2－4|＝22－1.二、填空题7．(2016·湖南怀化期末)若正数x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则x ＋2y 解析：令x ＝cos θ，y ＝sin θ，则x ＋2y ＝cos θ＋2sin θ ＝5⎝⎛⎭⎫15cos θ＋25sin θ＝5sin (α＋θ)⎝⎛⎭⎫其中sin α＝15，cos α＝25， 则x ＋2y 的最大值是 5.8．(2016·广东广州模拟)已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝1＋5cos α，y ＝2＋5sin α(α为参数)，以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，并取相同的长度单位建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程是ρ＝2cos_θ＋4sin_θ.解析：曲线C 的普通方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5，，即x 2＋y 2－2x －4y ＝0，把ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入，得其极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＝0，即ρ＝2cos θ＋4sin θ.9．(2016·广东期末)如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝cos θ·sin θ(θ∈R )．解析：圆的方程⇒⎝⎛⎭⎫x －122＋y 2＝14⇒圆的半径r ＝12⇒OP ＝cos θ·2r ＝cos θ⇒x ＝OP ·cos θ＝cos 2 θ，y ＝OP ·sin θ＝cos θ·sin θ，所以圆的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝cos θ·sin θ(θ∈R )．三、解答题10．已知点P (x ，y )是圆x 2＋y 2＝2y 上的动点． (1)求2x ＋y 的取值范围；(2)若x ＋y ＋a ≥0恒成立，求实数a 的取值范围．解析：(1)设圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ，则2x ＋y ＝2cos θ＋sin θ＋1＝5sin (θ＋φ)＋1， 所以－5＋1≤2x ＋y ≤5＋1.即2x ＋y 的取值范围是[－5＋1，5＋1]．(2)因为x ＋y ＋a ＝cos θ＋sin θ＋1＋a ≥0恒成立，所以a ≥－(cos θ＋sin θ)－1＝－2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－1恒成立， 所以a ≥2－1.故实数a 的取值范围为[2－1，＋∞)．11．(2016·江西南昌校级二模)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)求C 1的极坐标方程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)．解析：(1)曲线C 1的普通方程为(x －4)2＋(y －5)2＝25化为极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.(2)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋(y －1)2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋(y －1)2＝1，(x －4)2＋(y －5)2＝25得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，即交点坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，⎝⎛⎭⎫2，π2. 12．过点P (2,4)作两条互相垂直的直线l 1，l 2，若l 1交x 轴于A 点，l 2交y 轴于B 点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．解析：设M (x ，y )，设直线l 1的方程为y －4＝k (x －2)(k ≠0)，又l 1⊥l 2，则直线l 2的方程为y －4＝－1k(x －2)，故l 1与x 轴交点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫2－4k ，0， l 2与y 轴交点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，4＋2k . ∵M 为AB 的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－4k 2＝1－2k，y ＝4＋2k2＝2＋1k(k 为参数)．消去k ，得x ＋2y －5＝0.另外，当k ＝0时，AB 中点为M (1,2)，满足上述轨迹方程； 当k 不存在时，AB 中点为M (1,2)，也满足上述轨迹方程． 综上所述，M 的轨迹方程为x ＋2y －5＝0.。
高中数学(北师大版)选修4-4 同步教学课件+练习+作业：第二讲 参数方程 2.4
数学 选修4-4
返回导航
第二讲 参数方程
【例题3】 设圆的半径为8，沿x轴正向滚动，开始时圆与x轴相切于原点O，记 圆上动点为M，它随圆的滚动而改变位置，写出圆滚动一周时M点的轨迹方程，画 出相应曲线，求此曲线上点的纵坐标y的最大值，说明该曲线的对称轴．
思维导引：本题考查摆线的参数方程的求法及应用．解答本题需要先分析题 意，搞清M点的轨迹的形状，然后借助图象求得最值．
数学 选修4-4
返回导航
第二讲 参数方程
【例题2】 已知一个圆的摆线过一定点(2,0)，请写出该圆的半径最大时该摆线
的参数方程．
思维导引：根据摆线的参数方程xy＝ ＝rrφ1－－csions
φ， φ
(φ 为参数)，只需把(2,0)代入
参数方程求出 r 的表达式，根据表达式求出 r 的最大值，再确定对应的摆线和渐开线
数学 选修4-4
返回导航
第二讲 参数方程
【例题 1】 给出圆的渐开线方程yx＝＝33scions
φ＋3φsin φ－3φcos
φ， φ (φ 为参数)．根据参数
方程可以看出该渐开线的基圆的半径是__3__，当参数 φ 取π2时，对应的曲线上点的坐 标是__32_π_，__3_ .
标是32π，3.
数学 选修4-4
返回导航
第二讲 参数方程
【变式1】 求半径为4的圆的渐开线的参数方程．
解析：以圆心与原点 O，绳端点的初始位置为 M0，向量―OM→0的方向为 x 轴正方向， 建立直角坐标系，设渐开线上的任一点 M(x，y)，绳拉直时和圆的切点为 A，故 OA⊥ AM，按渐开线定义，弧A︵M0 的长和线段 AM 的长相等，记―O→A 和 x 轴正向所夹的角为 θ(以弧度为单位)，则|AM|＝A︵M0 ＝4θ.
高中数学(北师大版)选修4-4 同步教学课件+练习+作业：第二讲 参数方程 2.2
数学 选修4-4
返回导航
第二讲 参数方程
解析：(1)由 C1 的参数方程yx＝＝21s＋in3αcos α，
得x－3 1＝cos α， 2y＝sin α，
平方消去 α 得曲
即 5sin 2φ－2sin φ－3＝0.
数学 选修4-4
返回导航
第二讲 参数方程
解得 sin φ＝1 或 sin φ＝－35. sin φ＝1 时，cos φ＝0(舍去)． sin φ＝－35时，cos φ＝±45. ∴P 的坐标为54，－34或－54，34.
数学 选修4-4
x＝2pt (4)抛物线x2＝－2py(p>0)的参数方程为____y_＝__－__2_p_t2(t为参数)，t∈(－∞，＋∞)．
数学 选修4-4
返回导航
第二讲 参数方程
课堂深度拓展
考点一 椭圆参数方程的应用
【例题 1】 已知 A，B 分别是椭圆3x62 ＋y92＝1 右顶点和上顶点，动点 C 在该椭圆 上运动，求△ABC 的重心 G 的轨迹的普通方程．
第二讲 参数方程
【变式 2】 在双曲线 x2－y2＝1 上求一点 P，使 P 到直线 y＝x 的距离为 2.
解析：设
P
的坐标为co1s
φ，tan
φ，
由 P 到直线 x－y＝0 的距离为
1 2得cos
φ－tan 2
φ ＝
2
即co1s φ－csoins φφ＝2，|1－sin φ|＝2|cos φ| 平方得 1－2sin φ＋sin 2φ＝4(1－sin 2φ)，
新北师大版高中数学高中数学选修4-4第二章《参数方程》检测(含答案解析)(1)
一、选择题1．设直线1l 的参数方程为113x ty t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），直线2l 的方程为34y x =+，则1l 与2l 的距离为（ ）A ．1BCD ．22．点(, )A x y 是曲线2cos 13sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩，（θ为参数）上的任意一点，则2 -x y 的最大值为（ ） AB5C ．3D3+3．已知直线l的参数方程为2x m t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2222cos 3sin 12ρθρθ+=，且曲线C 的左焦点F 在直线l 上，若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，则FA FB ⋅的值等于（ ） A ．1BCD ．24．已知在平面直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程为 4cos ()sin x y 为参数ααα=⎧⎨=⎩，M 是曲线C 上的动点．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，若曲线T 的极坐标方程为2sin cos 20ρθρθ+=，则点M 到点T 的距离的最大值为（ ） A．2+BC．4+D．5．已知点()1,2A -，()2,0B ，P为曲线y =上任意一点，则AP AB ⋅的取值范围为（ ） A ．[]1,7B ．[]1,7-C．1,3⎡+⎣D．1,3⎡-+⎣6．已知12,F F 椭圆22184x y +=的左右焦点,Q ，P 是椭圆上的动点,则1PQ PF ⋅的最大值为( )A ．4B ．92C ．5D．47．直线4x 1t 5(t 3y 1t5⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数)被曲线πρθ4⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所截的弦长为( ) A ．15B ．710C ．75D ．578．椭圆3cos (4sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数)的离心率是( ) A．4B．3C．2D．59．直线1sin 70{2cos70x t y t =+=+(t 为参数)的倾斜角为 ( )A ．70°B ．20°C ．160°D ．110°10．直线320{ 20x tsin y tcos =+=- （t 为参数）的倾斜角是( )A ．20B ．70C ．110D ．16011．已知圆()22:11M x y -+=,圆()22:11N x y ++=,直线12,l l 分别过圆心,M N ,且1l 与圆M 相交于,A B 两点,2l 与圆N 相交于,C D 两点,点P 是椭圆22149x y+=上任意一点,则PA PB PC PD ⋅+⋅的最小值为（ ） A ．7B ．8C ．9D ．1012．已知点A 是曲线2213x y +=上任意一点，则点A到直线sin()6πρθ+=的距离的最大值是（ ）A．2BCD．二、填空题13．已知点(,)P x y 在曲线2cos sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩，（θ为参数）上，则yx 的取值范围为_____.14．已知直线l 的普通方程为x+y+1=0，点P是曲线(x C y sin ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩：为参数）上的任意一点，则点P 到直线l 的距离的最大值为______．15．直线1413x ty t=+⎧⎨=--⎩（t 为参数）的斜率为______.16．已知曲线C 的参数方程是2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A ，B 的极坐标分别为(2,)A π，4(2,)3B π．设M 为曲线C 上的动点，过点M 作一条与直线AB 夹角为30︒的直线l 交直线AB 于点N ，则MN 的最大值是_________． 17．直线被圆所截得的弦长为 ．18．无论k 取任何实数，直线2y kx =+与椭圆()2 θm x cos y sin θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数恒有交点，则实数m 的取值范围是_____。
数学北师大版选修4-4课后训练：2.2.1直线和圆锥曲线的参数方程含解析
直线的参数方程练习1直线3sin20,cos20x t y t =+︒⎧⎨=︒⎩（t 为参数)的倾斜角是（ ）．A ．20°B ．70°C ．110°D ．160°2直线l 经过点M 0（1，5)，倾斜角为π3，且交直线x －y －2＝0于点M ，则|MM 0｜等于（ ）．A1 B ．61） C ．6D ．13直线23,1x t y t=+⎧⎨=-+⎩(t 为参数)上对应t ＝0，t ＝1两点间的距离是（ )．A ．1 BC ．10 D．4过抛物线y 2＝4x 的焦点F 作倾斜角为π3的弦AB ，则弦AB 的长是( )．A ．16B ．3C ．163D ．3165直线12,2112x t y t⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）与圆x 2＋y 2＝1有两个交点A ，B ，若点P 的坐标为(2，－1)，则｜PA ｜·|PB ｜＝__________。
6过点(6,7)，倾斜角的余弦值是2的直线l 的参数方程为__________．7已知直线l 经过点P (1，-，倾斜角为π3，求直线l 与直线l ′：y ＝x －Q 与点P 的距离｜PQ ｜。
8已知直线l 经过点P （1,1),倾斜角π6α=。
(1）写出直线l 的参数方程；（2)设l 与圆x 2＋y 2＝4相交于点A 和点B ，求点P 到A ，B 两点的距离之积．参考答案1答案：B 将=cos20yt ︒代入x ＝3＋t sin 20°，得x ＝3＋y tan 20°，即x －y tan 20°－3＝0。
设直线的倾斜角为α，则tan α＝1tan20︒＝tan 70°。
又α∈[0，π)，∴α＝70°.2答案：B 由题意可得直线l的参数方程为1=1,2=52x t y ⎧+⎪⎪⎨⎪+⎪⎩ （t 为参数)，代入直线方程x －y －2＝0,得1＋12t－5⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭－2＝0，解得t ＝－6（1)．根据t 的几何意义可知|MM 0｜＝61)．3 答案：B 将t ＝0，t ＝1分别代入方程得到两点的坐标为(2，－1)和(5,0）4 答案：C 抛物线y 2＝4x 的焦点F 的坐标为(1，0），又倾斜角为π3,所以弦AB所在直线的参数方程为1=1,2x t y ⎧+⎪⎪⎨⎪⎪⎩(t为参数)．代入抛物线方程y 2＝4x得到21=4122t ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得3t 2－8t －16＝0。
新北师大版高中数学高中数学选修4-4第二章《参数方程》测试(包含答案解析)(3)
一、选择题1．在极坐标系中，曲线C 的方程为22312sin ρθ，以极点O 为直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy ，设(),P x y 为曲线C 上一动点，则1x y +-的取值范围为（ ）A ．31,31⎡⎤---⎣⎦B ．[]3,1-C ．[]22-,D ．[]2,1-- 2．已知点是曲线：（为参数，）上一点，点，则的取值范围是 A ．B ．C ．D ．3．直线4x 1t 5(t 3y 1t5⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数)被曲线πρ2cos θ4⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所截的弦长为( ) A ．15B ．710C ．75D ．574．椭圆3cos (4sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数)的离心率是( )A ．74 B ．73C ．72D ．755．过()0,2P -，倾斜角为60︒的直线与曲线232y x x =-+交于A B 、两点，则PA PB ⋅= ( )A ．623+B ．16C ．8D ．623-6．直线21{(1x t t y t =-=+为参数) 被圆229x y +=截得的弦长等于（ ）A ．125B ．1255C ．925D ．91057．直线（为参数）与圆(为参数)的位置关系是( ) A ．相离 B ．相切 C ．过圆心 D ．相交不过圆心 8．在极坐标系下，已知圆的方程为，则下列各点在圆上的是 （ ）A ．B ．C ．D ．9．在平面直角坐标系中，参数方程2211x ty t⎧=-⎪⎨=+⎪⎩（t 是参数）表示的曲线是（ ） A ．一条直线 B ．一个圆 C ．一条线段D ．一条射线10．若动点(,)x y 在曲线2221(0)4x yb b+=>上变化，则22x y +的最大值为（ ）A ．24(04)42(4)b b b b ⎧+<⎪⎨⎪>⎩B ．24(02)42(4)b b b b ⎧+<<⎪⎨⎪⎩C ．244b +D ．2b11．已知两条曲线的参数方程1C ：5cos 5sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）和2C ：4cos 453sin 45x t y t =+︒⎧⎨=+︒⎩（t 为参数），则这两条曲线的交点为端点的线段的长度是（ ）A ．5B ．52C ．7D ．7212．设椭圆C ：2211612x y +=上的一点P 到两条直线4y =和8x =的距离分别是1d ，2d ，则122d d +的最小值（ ） A ．5B ．6C ．7D ．8二、填空题13．已知点()4,4P -,曲线C :8cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数),若Q 是曲线C 上的动点,则线段PQ 的中点M 到直线l :322x ty t =+⎧⎨=-+⎩(t 为参数)距离的最小值为______.14．若直线y x b =+与曲线cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数，且12128222,328t t a t t a+==+有两个不同的交点，则实数b 的取值范围是_________．15．已知椭圆22:1,3x C y +=过C 上一点(P 第一象限)的直线l 与x 轴正半轴，y 轴正半轴分别交于点,.A B 若1PA =，则PB 的值为___________.16．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为：3sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），P 为曲线C 上的动点，直线的方程：4x y +=，则点P 到直线的距离d 的最小值为____17．若实数x 、y 满足2214xy +=，则()()121x y ++的取值范围是_________.18．已知点P 是圆221x y +=上的任意一点，(50),(,0)(5)A B b b -≠-，，若||PA PBλ=，（λ为定值），则b λ=________.19．变量,x y 满足21x t y t⎧=⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数），则代数式22y x ++的最小值是__________．20．与参数方程为（t 为参数）等价的普通方程为_____．三、解答题21．已知直线l 的参数方程为23x ty t=+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），()2,0P ，曲线C 的极坐标方程为()2212sin 1ρθ-=.（1）求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，设A 、B 中点为Q ，求弦长AB 以及PQ .22．曲线1C ：2121x t y t =+⎧⎨=-⎩(其中t 为参数)，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线2C ：()2cos 0a a ρθ=>关于1C 对称. （1）求曲线1C 的普通方程，曲线2C 直角坐标方程；（2）将2C 向左平移2个单位长度，按照123x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩变换得到3C ，点P 为3C 上任意一点，求点P 到曲线1C 距离的最大值.23．在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2222cos 3sin 12ρθρθ+=，直线l 的参数方程为22(22x ty ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数)，直线l 与曲线C 分别交于,M N 两点.（1）若点P 的极坐标为(2,)π，求PM PN ⋅的值； （2）求曲线C 的内接矩形周长的最大值.24．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为8242x tt y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩（t 为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=.（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）若射线4πθ=（0ρ>）与直线l 和曲线C 分别交于A ，B 两点，求||AB 的值.25．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），将曲线C 按伸缩变换公式12x x y y =⎧''⎪⎨=⎪⎩，变换得到曲线E（1）求E 的普通方程；（2）直线l 过点()0,2M -，倾斜角为4π，若直线l 与曲线E 交于,A B 两点，N 为AB 的中点，求OMN 的面积.26．已知直线l的参数方程为4x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=．（Ⅰ）求出直线l 的普通方程以及曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，设()0,4P -，求PA PB +的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】 将曲线C 的方程22312sin ρθ化为直角坐标形式，可得2213xy +=，设x α=，sin y α=，由三角函数性质可得1x y +-的取值范围.【详解】解：将cos =x ρθ ，sin y ρθ=代入曲线C 的方程22312sin ρθ，可得：2222sin 3ρρθ+=，即2233x y +=，2213x y +=设3cos x α=，sin y α=， 可得313cos sin 12(cos sin )12sin()12213x y πααααα+-=-=+++--=， 可得1x y +-的最大值为：1，最小值为：3-， 故选：B. 【点睛】本题主要考查极坐标和直角坐标的互换及椭圆的参数方程，属于中档题，注意运算准确.2．D解析：D 【解析】 【分析】将曲线的参数方程化为普通方程，可知曲线是圆的上半圆，再利用数形结合思想求出的最大值和最小值。
2019_2020年高中数学课时作业14双曲线的参数方程北师大版选修4_4(精编)
答案 (2 ，－ 4)
2
x＋ y＝－ 2，
解析 曲线 C1 的直角坐标方程为 x＋ y＝－ 2，曲线 C2 的普通方程为 y ＝8x，由 y 2＝ 8x ，
x＝ 2，
得
所以 C1 与 C2 交点的直角坐标为 (2 ，－ 4) ．
y＝－ 4，
13．曲线
a x＝cos α ， ( α 为参数 ) 与曲线 y＝ btan α
18
4
则
－
＝ 1，∴λ＝ 4 或 λ＝－ 14( 舍去 ) ，
16－λ 4＋λ
x2 y2
∴所求双曲线的标准方程为
－ ＝ 1.
12 8
双曲线的参数方程为
23 x＝ cos θ， ( θ 为参数 ) ． y＝2 2tan θ
x＝sin2 θ，
11．参数方程
( θ 为参数 ) 表示的曲线的普通方程是
y＝sin θ＋ cos θ
2
1
1
1
2
π
△ ＋ MAO S△MOB＝2OA· y M＋2OB· x M＝ 2ab(sin φ＋ cos φ ) ＝ 2 absin ( φ＋ 4 ) ．
π 所以，当 φ＝ 4 时，四边形 MAOB的面积有最大值，最大值为
2 ab.
2
15．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 C： (y － 2) 2－x2＝ 1 交于 A， B 两点．
2 x＝cos φ ， ( φ 为参数 ) y＝ 3tan φ
x
1
y
由 已知双曲 线的普 通方程 ，设
2 ＝ cos φ ，
＝ tan φ，即 得其参 数方程为 3
2 x＝ cos φ， ( φ 为参数 ) ． y＝ 3tan φ
新北师大版高中数学高中数学选修4-4第二章《参数方程》测试(答案解析)(4)
一、选择题1．点(, )A x y 是曲线2cos 13sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩，（θ为参数）上的任意一点，则2 -x y 的最大值为（ ） AB5C ．3D3+2．已知点(),x y 在圆22()(23)1x y -=++上，则x y +的最大值是( ) A ．1B ．1-C1D．1-3．过椭圆C：2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）的右焦点F 作直线l ：交C 于M ，N 两点，MF m =，NF n =，则11m n+的值为（） A ．23B ．43C ．83D ．不能确定4．已知直线2sin 301sin 30x t y t ︒︒⎧=-⎨=-+⎩（t 为参数）与圆228x y +=相交于B 、C 两点，则||BC 的值为（ ） A．BC．D5．已知点A ，B 是曲线2241x y +=上两点，且OA OB ⊥（O 为坐标原点），则2211OAOB+=（ ）A ．34 B ．1C ．54D ．56．点(,)P x y 是椭圆222312x y +=上的一个动点,则2x y +的最大值为( ) AB ．22CD ．47．直线4x 1t 5(t 3y 1t5⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数)被曲线πρθ4⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所截的弦长为( ) A ．15B ．710C ．75D ．578．在平面直角坐标系中以原点为极点，以x 轴正方向为极轴建立的极坐标系中，直线:20l y kx ++=与曲线2:cos C ρθ=相交，则k 的取值范围是( )A ．k ∈RB ．34k ≥-C ．34k <-D ．k ∈R 但0k ≠9．直线21{(1x t t y t =-=+为参数) 被圆229x y +=截得的弦长等于（ ）A ．125B ．1255C ．925D ．910510．把曲线12cos 2sin x C y θθ=⎧⎨=⎩：（θ为参数）上各点的横坐标压缩为原来的14，纵坐标压缩为原来的34，得到的曲线2C 为 A ．221241x y +=B ．224413y x +=C ．2213y x +=D ．22344x y +=11．直线（为参数）被曲线截得的弦长是（ ）A ．B ．2C ．D ．212．直线320{20x tsin y tcos =+=- （t 为参数）的倾斜角是( )A ．20B ．70C ．110D ．160二、填空题13．已知点M 在直线223324x ty t⎧=-⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）上，点N 为曲线3cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）上的动点，则MN 的最小值为________________. 14．已知直线l 的参数方程为：21x aty a t =⎧⎨=-⎩(t 为参数)，椭圆C 的参数方程为：1cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数)，若它们总有公共点 ，则a 取值范围是___________． 15．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知抛物线参数方程为2x 4ty 4t (t =⎧=⎨⎩为参数)焦点为F ，直线l 的极坐标方程为π2ρsin θ24⎛⎫-= ⎪⎝⎭F 到直线l 的距离为______．16．已知直线l的参数方程为1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），圆C 的参数方程为cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），则圆心C 到直线l 的距离为___________． 17．设直线315:{45x tl y t=+=（t 为参数），曲线1cos :{sin x C y θθ==（θ为参数），直线l 与曲线1C 交于,A B 两点，则AB =__________.18．若直线y x b =+与曲线cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数，且1212,328t t t t a +==+有两个不同的交点，则实数b 的取值范围是_________．19．曲线1C 的极坐标方程2cos sin ρθθ=，曲线2C 的参数方程为31x ty t =-⎧⎨=-⎩，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则曲线1C 上的点与曲线2C 上的点最近的距离为__________．20．已知抛物线的参数方程为244x t y t⎧=⎨=⎩（t 为参数），若斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于A ，B 两点，则线段AB 的长为________.三、解答题21．已知直线l的参数方程为2x ty =+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)，()2,0P ，曲线C 的极坐标方程为2cos21ρθ=.（1）求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，设A ，B 中点为Q ，求弦长AB 以及PQ .22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩(α为参数)，在以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为sin 42πρθ⎛⎫-=⎪⎝⎭. （1）求曲线C 在直角坐标系中的普通方程和直线l 的倾斜角.（2）设点()0,1P ，若直线l 与曲线C 相交于不同的两点,A B ，求||||PA PB +的值.23．（1）已知圆M的极坐标方程为2cos 604πρθ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭，求ρ的最大值． （2）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线L的参数方程为1,222x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），直线l 与抛物线24y x =相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.24．已知直线l的参数方程为2x ty =+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为2cos21ρθ=.（参考公式22cos sin cos 2θθθ-=）（1）求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程； （2）求直线l 被曲线C 截得的弦长.25．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为244x t y t ⎧=⎨=⎩(其中t 为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度，圆2C 的极坐标方程为28sin 150ρρθ-+=.（1）求曲线1C 的方程普通方程和2C 的直角坐标方程； （2）过圆2C 的圆心2C ，倾斜角为34π的直线l 与曲线1C 交于,A B 两点，则22C A C B +的值.26．平面直角坐标系中，直线l的参数方程是x ty =⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2222cos sin 2sin 30ρθρθρθ+--=.（1）求直线l 的极坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，求AB .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】利用曲线的参数方程得32co sin -32s x y θθ=+-化简求解即可 【详解】由题()32cos 3sin 23-s x y θθθϕ=+-=++ 故当()cos 1θϕ+=时，2 -x y3+ 故选D 【点睛】本题考查参数方程求最值，考查辅助角公式，是基础题2．C解析：C 【分析】设圆上一点()2,3P cos sin αα+-,则1x y sin cos αα+=+-,利用正弦型函数求最值,即可得出结论 【详解】设22(2)(3)1x y -++=上一点()2,3P cos sin αα+-,则231114x y cos sin sin cos πααααα⎛⎫+=++-=+-=+-≤ ⎪⎝⎭,故选：C 【点睛】本题考查圆的参数方程的应用,考查正弦型函数的最值3．B解析：B 【分析】消去参数得到椭圆的普通方程，求得焦点坐标，写出直线l 的参数方程，代入椭圆的普通方程，写出韦达定理，由此求得11m n+的值. 【详解】消去参数得到椭圆的普通方程为22143x y +=，故焦点()1,0F ，设直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），代入椭圆方程并化简得()223sin 6cos 90t t αα++⋅-=.故1212226cos 9,03sin 3sin t t t t ααα+=-⋅=-<++（12,t t 异号）.故11m n m n mn ++=1212t t t t -===⋅43.故选B. 【点睛】本小题主要考查椭圆的参数方程化为普通方程，考查直线和椭圆的位置关系，考查利用直线参数的几何意义解题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.4．B解析：B 【分析】根据参数方程与普通方程的互化方法，然后联立方程组，通过弦长公式，即可得出结论． 【详解】曲线2sin 301sin 30x t y t ︒︒⎧=-⎨=-+⎩（t 为参数），化为普通方程1y x =-， 将1y x =-代入228x y +=，可得22270x x --=， ∴BC ==B ． 【点睛】本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．5．D解析：D 【解析】 【分析】将曲线2241x y +=化为极坐标方程，设12(,),(,)2A B πρθρθ+，可将2211OAOB+表示为θ的函数，可得答案. 【详解】解：将曲线2241x y +=化为极坐标方程得：2222cos 4sin 1ρθρθ+=，可得2221cos 4sin ρθθ=+，由OA OB ⊥，可设12(,),(,)2A B πρθρθ+,可得2211OAOB+=221211+ρρ=2222cos 4sin +cos +4sin +22ππθθθθ++（）（）=5， 故选D. 【点睛】本题主要考查椭圆的极坐标方程，注意灵活运用其性质解题.6．A解析：A 【解析】【分析】设,2sin )P θθ，由此24sin )x y θθθϕ++=+，根据三角函数的有界性可得结果. 【详解】椭圆方程为22164x y +=,设,2sin )P θθ,则24sin )x y θθθϕ++=+ (其中tan ϕ=),故2x y +≤2x y +A. 【点睛】本题主要考查椭圆参数方程的应用，辅助角公式的应用，属于中档题. 利用公式()sin cos )f x a x b x x ωωωϕ=+=+ 可以求出:①()f x 的周期2πω;②单调区间（利用正弦函数的单调区间可通过解不等式求得）；③值域⎡⎣；④对称轴及对称中心（由2x k πωϕπ+=+可得对称轴方程，由x k ωϕπ+=可得对称中心横坐标. 7．C解析：C 【解析】 【详解】分析：先把参数方程和极坐标方程化为普通方程，并求出圆心到直线的距离d ，再利用关系：l =l ．详解：直线415(t 315x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数)化为普通方程：直线3410x y ++= ． ∵曲线πρθ4⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，展开为2cos sin cos sin ρθθρρθρθ=-∴=-，，化为普通方程为22x y x y +=- ，即22111()()222x y -++＝， ∴圆心11()222C r -，，＝圆心C到直线距离110d == ， ∴直线被圆所截的弦长75l =． 故选C ．点睛：本题考查直线被圆截得弦长的求法，正确运用弦长l 、圆心到直线的距离、半径r 三者的关系：l =是解题的关键．8．C解析：C 【解析】:2cos C ρθ=22222(1)1x y x x y ⇒+=⇒-+=314k <⇒<- ，选C.9．B解析：B 【解析】试题分析：由直线的参数方程21{(1x t t y t =-=+为参数)，可得直线的普通方程为230x y -+=，则圆229x y +=的圆心到直线的距离为d ==，所以所求弦长是5l ==，故选B.考点：直线与圆的位置关系及圆的弦长公式.10．B解析：B 【解析】根据题意，曲线C 2：12θ 2x cos y sin θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（为参数）， 消去参数，化为直角坐标方程是224413y x +=故选B ．点睛：化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法，经常用到公式：22221cos sin 1,1tan cos θθθθ+=+=.不要忘了参数的范围. 11．D解析：D 【解析】试题分析：首先将直线（为参数）代入曲线方程中得，，整理得，所以．设直线与双曲线的交点分别为A 、B ，由直线参数方程 的几何意义知，即为所求.考点：直线的参数方程；弦长公式.12．C解析：C【解析】本题考查直线的斜率，倾斜角的概念，诱导公式以及消参技能. 〖思路分析〗设法从参数方程中消去参数t ，再借助直线斜率的定义求解. 〖解答〗由320{20x tsin y tcos =+=-得 320{20x tsin y tcos -==-，消去参数t 得cos20cot203sin20y x =-=-- 因为20tan70tan110cot -=-=即有tan1103yx =- 所以此直线的倾斜角为110 故选择C〖评注〗消去参数t ，得到斜率的表达式cot203yx =--并不难，大多数同学都能做到；把cot20-转化为tan70-进而转化为tan110，是本题的难点.二、填空题13．【分析】先求出直线的普通方程再求出点到直线的距离再利用三角函数的性质求出|MN|的最小值【详解】由题得直线方程为由题意点到直线的距离∴故答案为【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化考查点到直线 2【分析】先求出直线的普通方程，再求出点到直线的距离，再利用三角函数的性质求出|MN|的最小值. 【详解】由题得直线方程为431720x y -+=，由题意，点N到直线的距离d===，∴minMN=【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，考查点到直线的距离的最值的求法和三角函数的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.14．【分析】把参数方程化为普通方程若直线与椭圆有公共点对判别式进行计算即可【详解】直线l的参数方程为（t为参数）消去t化为普通方程为ax﹣y ﹣1＝0且椭圆C的参数方程为：（θ为参数）消去参数化为联立直线解析：3[,0)(0,)2-+∞【分析】把参数方程化为普通方程，若直线与椭圆有公共点，对判别式0∆≥进行计算即可.【详解】直线l的参数方程为21x aty a t=⎧⎨=-⎩（t为参数），消去t化为普通方程为a x﹣y﹣1＝0，且a0≠,椭圆C的参数方程为：12x cosy sinθθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），消去参数化为()22114yx-+=．联立直线与椭圆()2210114ax yyx--=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，消y整理得()()224+8210a x a x-++=，若它们总有公共点，则()()22=8+24416(23)0a a a∆-+=+≥，解得32a≥-且a0≠,故答案为()3,00,2⎡⎫-⋃+∞⎪⎢⎣⎭．【点睛】本题考查参数方程与普通方程之间的互化，考查直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，属于基础题．15．【解析】【分析】求出抛物线直角坐标方程为直线的直角坐标方程为由此能求出点F到直线l的距离【详解】抛物线参数方程为为参数焦点为F抛物线直角坐标方程为直线l的极坐标方程为直线的直角坐标方程为点F到直线l【解析】 【分析】求出抛物线直角坐标方程为24y x =，()1,0F ，直线的直角坐标方程为10x y -+=，由此能求出点F 到直线l 的距离． 【详解】抛物线参数方程为2x 4ty 4t (t =⎧=⎨⎩为参数)焦点为F ，∴抛物线直角坐标方程为2y 4x =，()F 1,0，直线l 的极坐标方程为π2ρsin θ4⎛⎫-= ⎪⎝⎭2ρθθ⎫∴-=⎪⎪⎝⎭∴直线的直角坐标方程为x y 10-+=， ∴点F 到直线l 的距离为：d ==【点睛】本题考查点到直线的距离的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．16．【解析】将直线的参数方程化为普通方程是：将圆的参数方程化为普通方程是：∴圆心到直线的距离解析：2【解析】将直线的参数方程化为普通方程是：10x y -+=，将圆的参数方程化为普通方程是：22(2)1x y -+=，∴圆心(2,0)到直线10x y -+=的距离d ==． 17．【解析】试题分析：由题意得曲线的普通方程为直线的直角坐标方程为所以圆心到直线的距离为所以直线与曲线交于考点：直线与圆的位置的弦长的计算解析：65【解析】试题分析：由题意得，曲线1C 的普通方程为221x y +=，直线l 的直角坐标方程为4340x y --=，所以圆心到直线的距离为224454(3)d ==+-，所以直线l 与曲线1C 交于224621()55AB =-=． 考点：直线与圆的位置的弦长的计算．18．【解析】试题分析：曲线（为参数且）的普通方程为它是半圆单位圆在右边的部分作直线如图它过点时当它在下方与圆相切时因此所求范围是考点：两曲线的交点个数【名师点睛】在数形结合时既要进行几何直观的分析又要进 解析：(2,1⎤--⎦【解析】 试题分析：曲线cos {sin x y θθ==（θ为参数，且22ππθ-≤≤）的普通方程为221(0)x y x +=≥，它是半圆，单位圆在y 右边的部分，作直线y x b =+，如图，它过点(0,1)A -时，1b =-，当它在下方与圆相切时，2b =-，因此所求范围是(2,1]b ∈--．考点：两曲线的交点个数．【名师点睛】在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析（或仅对几何问题进行代数分析）在许多时候是很难行得通的．在解析几何中，我们主要是运用代数的方法来研究几何问题，但是在许多时候，如本题，若能充分地挖掘利用图形的几何特征，将会使得复杂的问题简单化．19．【解析】由曲线的极坐标方程化简为化为曲线的参数方程为化为设为曲线上的任意一点则曲线上的点到曲线上的点的距离当且仅当时即点时取等号∴最近的距离为故答案为 解析：2a b a b -=+【解析】由曲线1C 的极坐标方程2cos sin ρθθ=，化简为22cos sin ρθρθ=，化为2x y =曲线2C 的参数方程为3{1x ty t=-=-，化为20x y --=设()2,P x x 为曲线21:C x y =上的任意一点，则曲线1C 上的点P 到曲线2C上的点的距离82d ==≥，当且仅当12x =时，即点11,24P ⎛⎫⎪⎝⎭时取等号 ∴最近的距离为2a b a b -=+ 故答案为2a b a b -=+20．8【分析】先根据抛物线方程求得抛物线的焦点坐标进而根据点斜式求得直线的方程与抛物线方程联立消去根据韦达定理求得的值进而根据抛物线的定义可知求得答案【详解】抛物线的参数方程为普通方程为抛物线焦点为且直解析：8 【分析】先根据抛物线方程求得抛物线的焦点坐标，进而根据点斜式求得直线的方程与抛物线方程联立，消去y ，根据韦达定理求得12x x +的值，进而根据抛物线的定义可知1222p p AB x x =+++， 求得答案． 【详解】抛物线的参数方程为24t 4x y t⎧=⎨=⎩，普通方程为24y x =，抛物线焦点为()1,0 ，且直线l 斜率为1，则直线方程为1y x =- ，代入抛物线方程24y x =得2610x x -+=， 设()()1122,,,A x y B x y ，所以126x x +=， 根据抛物线的定义可知|121262822Ap px x x x p B +++=++=+==， 故答案为：8. 【点睛】本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系，抛物线的简单性质．对学生基础知识的综合考查．关键是：将直线的方程代入抛物线的方程，消去y 得到关于x的一元二次方程，再结合根与系数的关系，利用弦长公式即可求得AB 值，从而解决问题.三、解答题21．（1）l 0y --=，曲线C 的直角坐标方程为221x y -=． （2）AB =2PQ =．【分析】（1）消去参数t 得直线的普通方程，利用公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可得曲线C 的直角坐标方程；（2）把直线l 的标准参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，利用参数的几何意义求弦长． 【详解】（1）由2x ty =+⎧⎪⎨=⎪⎩消去参数t得2)y x =-，所以l0y --=，222222cos2(cos sin )(cos )(sin )1ρθρθθρθρθ=-=-＝，所以曲线C 的直角坐标方程为221x y -=．（2）直线l的标准参数方程为122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入221x y -=得2460t t --=，2(4)4(6)400∆=--⨯-=>， 124t t +=，126t t =-，12,t t 异号，所以12AB t t =-===设Q 对应的参数是0t ，则12022t t t +==，所以02PQ t ==． 【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线参数方程，掌握直线参数方程中参数的几何意义是解题关键．22．（1）曲线C 的普通方程为22142x y +=，直线l 的倾斜角为4π；（2）3. 【分析】（1）根据曲线C 的参数方程，消去α，可得曲线C 的普通方程，将直线极坐标方程展开，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入，可得直线l 的普通方程，根据斜率，即可求得直线l 的倾斜角；（2）根据点P 在线上，可得直线l 的参数方程，代入曲线C 的普通方程，可得关于t 的一元二次方程，设点,A B 对应的参数为1t ，2t ，利用韦达定理，可得12t t +，12t t ⋅的值，代入公式，即可求得答案. 【详解】（1）由曲线C的参数方程2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩，得其普通方程为22142x y +=，将直线l的极坐标方程sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭展开化为：sin cos 222ρθρθ-=，即sin cos 1ρθρθ-=，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入，可得1y x -=，即10x y -+=， 所以斜率1k =，则tan 1θ=，由[0,)θπ∈可得4πθ=，所以直线l 的倾斜角为4π. （2）由（1）知，点()0,1P 在直线l ：10x y -+=上，则直线l的参数方程为：1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）将直线l 的参数方程代入曲线C的普通方程得2211114222⎛⎫⎛⎫⨯++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得2340t +-=， 设点,A B 对应的参数为1t ，2t ，则123t t +=-，1243t t ⋅=-，所以1212||||PA PB t t t t +=+=-212124t t tt == 【点睛】解题的关键是掌握直线参数方程中t 的几何意义，易错点为：当120t t ⋅<时，1212||||PA PB t t t t +=+=-，当120t t ⋅>时，1212||||PA PB t t t t +=+=+，求解时需先判断12t t ⋅的正负，再求值，考查分析理解，计算化简的能力，属中档题.23．（1）2） 【分析】（1）先化简方程得到圆的直角坐标方程，再求圆上的点到原点距离的最大值得解； （2）将直线参数方程代入抛物线，利用参数的几何意义可求解. 【详解】（1）原方程化为260ρθθ⎫-++=⎪⎪⎝⎭，即24(cos sin )60ρρθρθ-++=.故圆的直角坐标方程为224460x y x y +--+= 圆心为(2,2)M故max ||OM ρ===（2）将直线L的参数方程1,222x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）代入抛物线方程24y x =，得224122⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得10t =，2t =-所以12AB t t =-= 【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查圆中距离的最值问题，考查直线参数方程参数的几何意义，属于中档题.24．（1）2)y x =-；221x y -=（2） 【分析】(1)求直线l 的普通方程可由参数方程消去参数即可；求曲线C 的直角坐标方程先对曲线C 的极坐标方程为2cos21ρθ=进行化简，然后用cos x ρθ=，sin y 代入即可；(2)联解直线和双曲线方程，求出交点的横坐标，代入圆锥曲线的弦长公式即可.【详解】解：（1）直线l的方程为2)y x =- 由2cos21ρθ=得22(cos2sin )1ρθθ-=22(cos )(sin )1ρθρθ-=∵cos x ρθ=，sin y∴221x y -=（2）直线l的方程为2)y x -将3(2)y x =-代入221x y -=得 2212130x x -+=解得16102x +=，26102x -= ∴弦长为21212113210k x x x x +-=+-=. 【点睛】本题考查了参数方程转普通方程以及由极坐标方程转直角坐标方程，弦长公式，考查了学生的计算能力，属于一般题.25．（1）1C ：24y x =，2C ：22(4)1x y +-=；（2）122 【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果． 【详解】解：(1)曲线1C 的参数方程为244x t y t⎧=⎨=⎩(其中t 为参数)，消去参数可得24y x = 曲线2C 的极坐标方程28sin 150ρρθ-+=变为直角坐标的方程为：22(4)1x y +-=(2) 可知2C 的圆心坐标为(0,4)，直线l 的参数方程为32cos 42324sin 442x t t y t t ππ⎧=⋅=-⎪⎪⎨⎪=+⋅=+⎪⎩(其中为参数)，代入24y x =可知2122320t t ++=，因为1232t t =，12122t t +=2212||||||122C A C B t t +=+=【点睛】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题． 26．（1）3y x =；（215【分析】（1）直线l 的参数方程消去参数，能求出直线l 的普通方程（2）曲线22:(1)4C x y +-=，求出圆心(0,1)到直线3y x =的距离d ，圆的半径2r，22||2AB r d =-【详解】（1）直线l 的参数方程为(3x tt y t=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数）， ∴直线l 的普通方程为3y x =.（2）曲线22:(1)4C x y +-=圆心(0,1)到直线y =的距离12d ==， 圆的半径2r，∴222||115()4244AB r d =-=-=，∴||AB =【点睛】本题考查直线的普通方程、曲线的直角坐标方程的求法，考查弦长的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．。
新北师大版高中数学高中数学选修4-4第二章《参数方程》测试(答案解析)(5)
一、选择题1．点(, )A x y 是曲线2cos 13sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩，（θ为参数）上的任意一点，则2 -x y 的最大值为（ ） AB5C ．3D3+2．在直角坐标系xOy 中，曲线C：2x ty ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）上的点到直线l：30x +=的距离的最小值为（ ）A ．23B．3CD3．已知1F ，2F 分别是椭圆2222:1x y C a b+=(0,0)a b >>的左、右焦点，过1F 的直线l 交椭圆于D 、E 两点，115,DF F E=2DF =2DF x ⊥轴.若点P 是圆22:1O x y +=上的一个动点，则12PF PF ⋅的取值范围是（ ）A ．[3,5]B ．[2,5]C ．[2,4]D ．[3,4]4．已知直线2sin 301sin 30x t y t ︒︒⎧=-⎨=-+⎩（t 为参数）与圆228x y +=相交于B 、C 两点，则||BC 的值为（ ） A．BC．D．25．已知点A ，B 是曲线2241x y +=上两点，且OA OB ⊥（O 为坐标原点），则2211OAOB+=（ ）A ．34 B ．1C ．54D ．56．已知椭圆4cos :3sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）与x 轴正半轴，y 轴正半轴的交点分别为,A B ，动点P 是椭圆上任一点，则PAB ∆面积的最大值为（ ）A．)61B．)61C ．125D ．2457．直线4x 1t 5(t 3y 1t5⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数)被曲线πρθ4⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所截的弦长为( )A ．15B ．710C ．75D ．578．已知直线l的参数方程为112x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），直线l 与圆2216x y +=相交于A ，B 两点，则线段AB 的中点坐标为（ ） A ．(3,3)-B．3)-C．(D．3(,9．已知曲线C 的参数方程为：[]2cos ,0,1sin x y θθπθ=+⎧∈⎨=+⎩，且点(),P x y 在曲线C 上，则1y x x+-的取值范围是（ ） A．0,3⎡⎢⎣⎦B．1,12⎡+⎢⎣⎦C．1,13⎡+⎢⎣⎦D ．41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦10．已知椭圆()222210,x y a b M a b+=>>为椭圆上一动点，1F 为椭圆的左焦点则线段1MF 的中点P 的轨迹是（ ）A ．椭圆B ．圆C ．双曲线的一支D ．线段11．过()0,2P -，倾斜角为60︒的直线与曲线232y x x =-+交于A B 、两点，则PA PB ⋅= ( )A．6+B ．16C ．8D．6-12．直线1sin 70{2cos70x t y t =+=+(t 为参数)的倾斜角为 ( )A ．70°B ．20°C ．160°D ．110°二、填空题13．已知直线l 的普通方程为x+y+1=0，点P是曲线(x C y sin ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩：为参数）上的任意一点，则点P 到直线l 的距离的最大值为______．14．以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线的极坐标方程为()4R πθρ=∈，它与曲线1222x cos y sin αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）,相交于两点A 和 B ，则AB =__________．15．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为,sin ,x y φφ⎧=⎪⎨=⎪⎩（φ为参数），直线l 的方程为40x y +-=，则曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为__________．16．在平面直角坐标系xOy 中,点O 是坐标原点,点A(2,1),B(0,2),点P 在圆()2211x y -+=上运动,若OA xOB yOP =+，则2x y +的最小值为________.17．若实数x 、y 满足2214xy +=，则()()121x y ++的取值范围是_________.18．若点(,)P x y 在曲线2cos sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数，R θ∈）上，则yx 的最小值是__________．19．直线3,423x t y t =⎧⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数），点C 在椭圆2214x y +=上运动，则椭圆上点C 到直线l 的最大距离为______.20．在椭圆2211612x y +=上找一点，使这一点到直线2120x y --=的距离的最小.则这个点的坐标为________三、解答题21．已知纵坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴的正半轴重合，直线l 的参数方程为：3112x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为：4cos ρθ=． （1）写出C 的直角坐标方程，并指出C 是什么曲线． （2）设直线l 与曲线C 相交于P ，Q 两点，求PQ 值．22．在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数)，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρcos 4πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝－22，曲线C 3：ρ＝2sin θ. (1)求曲线C 1与C 2的交点M 的直角坐标；(2)设点A ，B 分别为曲线C 2，C 3上的动点，求|AB |的最小值．23．已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为122112x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为π4cos 4ρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （1）求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程； （2）已知(2,1)P ，直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求11||||PA PB -的值. 24．（1）已知圆M的极坐标方程为2cos 604πρθ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭，求ρ的最大值． （2）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线L的参数方程为1,222x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），直线l 与抛物线24y x =相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.25．在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为3cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩，（α为参数），直线l的参数方程为112x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点M 的极坐标为22,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭． （1）求直线l 与曲线C 的普通方程；（2）若直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点，求MP MQ +的值． 26．极坐标系中椭圆C 的方程为2222cos 2sin ρθθ=+，以极点为原点，极轴为x 轴非负半轴，建立平面直角坐标系，且两坐标系取相同的单位长度．（Ⅰ）求该椭圆的直角标方程，若椭圆上任一点坐标为(),P x y，求x 的取值范围；（Ⅱ）若椭圆的两条弦AB ，CD 交于点Q ，且直线AB 与CD 的倾斜角互补，求证：QA QB QC QD ⋅=⋅．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】利用曲线的参数方程得32co sin -32s x y θθ=+-化简求解即可 【详解】由题()32cos 3sin 23-s x y θθθϕ=+-=++ 故当()cos 1θϕ+=时，2 -x y3+ 故选D 【点睛】本题考查参数方程求最值，考查辅助角公式，是基础题2．C解析：C 【分析】设曲线C上点的坐标为()2t ，利用点到直线的距离公式表示出距离，即可求出最小值. 【详解】设曲线C上点的坐标为()2t ， 则C 上的点到直线l的距离2233d===，即C 上的点到直线1． 故选：C. 【点睛】本题考查参数方程的应用，属于基础题.3．A解析：A 【分析】由题意可得,D E 两点坐标，代入椭圆方程可求出椭圆的焦点，然后设()cos ,sin P θθ，利用两点间的距离公式以及三角函数的性质可求出12PF PF ⋅的范围. 【详解】由题意可知，(D c ，7,55E c ⎛-- ⎝⎭，将,D E 代入椭圆方程得2222222222112492412525c c a b a c b a b ⎧⎧+=⎪=⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪=+=⎩⎪⎩， 所以()12,0F -，()22,0F ， 设()cos ,sin P θθ， 则12PF PF ⋅==，所以12PF PF ⋅的取值范围是[3,5]. 故选：A 【点睛】本题考查了椭圆的性质，考查了转化与化归的思想，同时考查了圆的参数方程以及三角函数的性质，属于中档题.4．B解析：B 【分析】根据参数方程与普通方程的互化方法，然后联立方程组，通过弦长公式，即可得出结论． 【详解】曲线2sin 301sin 30x t y t ︒︒⎧=-⎨=-+⎩（t 为参数），化为普通方程1y x =-， 将1y x =-代入228x y +=，可得22270x x --=，∴BC ==B ． 【点睛】本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．5．D解析：D 【解析】 【分析】将曲线2241x y +=化为极坐标方程，设12(,),(,)2A B πρθρθ+，可将2211OAOB+表示为θ的函数，可得答案. 【详解】解：将曲线2241x y +=化为极坐标方程得：2222cos 4sin 1ρθρθ+=，可得2221cos 4sin ρθθ=+，由OA OB ⊥，可设12(,),(,)2A B πρθρθ+,可得2211OAOB+=221211+ρρ=2222cos 4sin +cos +4sin +22ππθθθθ++（）（）=5， 故选D. 【点睛】本题主要考查椭圆的极坐标方程，注意灵活运用其性质解题.6．B解析：B 【解析】分析：根据椭圆的方程算出A （4，0）、B （0，3），从而得到|AB|=5且直线AB ：3x+4y ﹣12=0．设点P （4cosθ，3sinθ），由点到直线的距离公式算出P 到直线AB 距离为d=125()4πθ+﹣1|，结合三角函数的图象与性质算出d max =1251），由此结合三角形面积公式，即可得到△PAB 面积的最大值．详解：由题得椭圆C 方程为：221169x y +=，∴椭圆与x 正半轴交于点A （4，0），与y 正半轴的交于点B （0，3）， ∵P 是椭圆上任一个动点，设点P （4cosθ，3sinθ）（θ∈[0，2π]） ∴点P 到直线AB ：3x+4y ﹣12=0的距离为=125()4πθ+﹣1|，由此可得：当θ=54π时，d max =1251）∴△PAB 面积的最大值为S=12|AB|×d max =61）. 点睛：(1)本题主要考查椭圆的参数方程和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知 识的掌握水平和分析推理能力计算能力.(2)对于()4πθ+﹣1|，不是sin ()4πθ+=1时，整个函数取最大值，而应该是sin ()4πθ+=-1，要看后面的“-1”.7．C解析：C 【解析】 【详解】分析：先把参数方程和极坐标方程化为普通方程，并求出圆心到直线的距离d ，再利用关系：l =l ．详解：直线415(t 315x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数)化为普通方程：直线3410x y ++= ． ∵曲线πρθ4⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，展开为2cos sin cos sin ρθθρρθρθ=-∴=-，，化为普通方程为22x y x y +=- ，即22111()()222x y -++＝， ∴圆心11()222C r -，，＝圆心C到直线距离110d == ， ∴直线被圆所截的弦长75l =． 故选C ．点睛：本题考查直线被圆截得弦长的求法，正确运用弦长l 、圆心到直线的距离、半径r 三者的关系：l =是解题的关键．8．C解析：C 【解析】分析：将直线l 的参数方程化为普通方程，与圆方程联立，由韦达定理结合中点坐标公式可得结果.详解：直线112x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t为参数），即x =-， 代入圆2216x y +=化简可得y y -+=2680，126y y ∴+=，即AB 的中点的纵坐标为3，AB ∴的中点的横坐标为=故AB的中点的坐标为()，故选C.点睛：本题主要考查参数方程化为普通方程，以及直线与圆的位置关系，属于中档题. 消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法.9．C解析：C 【解析】分析：由题意得曲线C 是半圆，借助已知动点在单位圆上任意动，而所求式子111y x y x x +--=+，1y x-的形式可以联想成在单位圆上动点P 与点C （0，1）构成的直线的斜率，进而求解．详解：∵21x cos y sin θθ=+⎧⎨=+⎩即21x cos y sin θθ-=⎧⎨-=⎩ 22211x y ∴-+-=（）（），其中[12]y ∈， 由题意作出图形，111y x y x x+--=+， 令11y k x-=+，则k 可看作圆22211x y ∴-+-=（）（），上的动点P 到点01C （，）的连线的斜率而相切时的斜率， 由于此时直线与圆相切，在直角三角形ACB 中，330ACB k ∠=︒⇒=， 由图形知，k 的取值范围是3[0，．则1y x x +-的取值范围是31,1⎡+⎢⎣⎦．故选C ．点睛：此题重点考查了已知两点坐标写斜率，及直线与圆的相切与相交的关系，还考查了利用几何思想解决代数式子的等价转化的思想．10．A解析：A 【解析】设10M acos bsin F c（，）（，），θθ-∴线段1MF 的中点22acos c bsin P θθ-（，）， 22acos c x bsin y θθ-⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩，22 x c y cos sin a b θθ+∴==，，∴点P 的轨迹方程为2222()2 144c x y a b ++＝，∴线段1MF 的中点P 的轨迹是椭圆． 故选A ．11．B解析：B 【解析】设直线参数方程12,()2x t t y 为参数⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩代入曲线，得2122(3160,16,t t t t -+==由参数t 的几何意义可知，PA PB ⋅1216t t ==．选B.【点睛】对于过定点P 且知道倾斜角（或斜率）的直线，与曲线交于两点A,B,求22,,PB PA PB PA PB PA +⋅+等式子的值时，我们常设直线的参数方程，再利用参数t 的几何意义解题．12．B解析：B 【解析】 由题设可知02cos70sin 20tan 201sin 70cos 20y k x -====-，故依据直线的斜率与与倾斜角之间的关系可知该直线的倾斜角为020α=，应选答案B 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
课时作业(十四)1．双曲线⎩⎨⎧x ＝23tan α，y ＝6cos α(α为参数)的两焦点坐标是( ) A ．(0，－43)，(0，43) B ．(－43，0)，(43，0) C ．(0，－3)，(0，3) D ．(－3，0)，(3，0)答案 A解析 双曲线方程化为y 236－x 212＝1，所以c 2＝36＋12＝48，c ＝43，且焦点在y 轴上，故选A.2．双曲线C ：⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝4tan φ(φ为参数)的一个焦点为( )A ．(3，0)B ．(4，0)C ．(5，0)D ．(0，5)答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3sec φ，y ＝4tan φ，得⎩⎨⎧x3＝sec φ，y 4＝tan φ.于是(x 3)2－(y4)2＝sec 2φ－tan 2φ＝1，即双曲线方程为x 29－y 216＝1，焦点为F 1(－5，0)，F 2(5，0)．故选C.3．抛物线y 2＝2x 的参数方程为(t 为参数)( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2tB.⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝2tC.⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝2tD.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y 2＝2t 答案 D 解析 由抛物线y 2＝2x ，令x ＝t ，则y 2＝2t ，所以参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y 2＝2t(t 为参数)． 4．与普通方程x 2＋y －1＝0等价的参数方程(t ，φ，θ为参数)是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sint ，y ＝cos 2t B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan φ，y ＝1－tan 2φC.⎩⎨⎧x ＝1－t ，y ＝tD.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin 2θ答案 B解析 ∵方程x 2＋y －1＝0中的x ∈R ，而选项A 中，x ∈[－1，1]，选项C 中x ∈[0，＋∞)，选项D 中x ∈[－1，1]，故选B.5．点M 0(0，1)到双曲线x 2－y 2＝1的最小距离(即双曲线上任一点M 到点M 0距离的最小值)为( ) A ．1 B.62C. 6 D ．2答案 B解析 把双曲线方程化为参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sec θ，y ＝tan θ，设双曲线上动点M(sec θ，tan θ)，则 |M 0M|2＝sec 2θ＋(tan θ－1)2 ＝(tan 2θ＋1)＋(tan 2θ－2tan θ＋1) ＝2tan 2θ－2tan θ＋2＝2(tan θ－12)2＋32.当tan θ－12＝0时，|M 0M|2取得最小值32，此时有|M 0M|＝62，即M 0点到双曲线的最小距离为62. 6．把双曲线的普通方程x 22－y 23＝1化为参数方程是________．答案 ⎩⎨⎧x ＝2cos φ，y ＝3tan φ(φ为参数)解析 由已知双曲线的普通方程，设x 2＝1cos φ，y 3＝tan φ，即得其参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos φ，y ＝3tan φ(φ为参数)．7．抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2m ，y ＝－m 2(m 为参数)的准线方程是________． 答案 y ＝1解析 由已知抛物线的参数方程，消去参数m ，得抛物线的普通方程为x 2＝－4y ，则p ＝2，p2＝1，抛物线的准线方程是y ＝1. 8．已知双曲线的参数方程是⎩⎨⎧x ＝2cos φ，y ＝3tan φ(φ为参数)，点P 在双曲线上且对应的参数φ＝7π6，则直线OP 的斜率为________． 答案 －34解析 把φ＝7π6代入双曲线的参数方程，得点P 的坐标为(－43，1)，则直线OP 的斜率为k＝－34. 9．已知双曲线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2tan θ，y ＝4cos θ(θ为参数)，则双曲线的离心率是________． 答案52解析 由已知双曲线的参数方程，知双曲线的焦点在y 轴上，且a ＝4，b ＝2，则c ＝a 2＋b 2＝25，离心率e ＝c a ＝52.10．与双曲线x 216－y 24＝1有相同焦点，且经过点(32，2)的双曲线参数方程为________．答案 ⎩⎨⎧x ＝23cos θ，y ＝22tan θ(θ为参数)解析 设所求双曲线方程为x 216－λ－y 24＋λ＝1(－4<λ<16)，又∵点(32，2)在双曲线上，则1816－λ－44＋λ＝1，∴λ＝4或λ＝－14(舍去)，∴所求双曲线的标准方程为x 212－y 28＝1.双曲线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝23cos θ，y ＝22tan θ(θ为参数)．11．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin2θ，y ＝sin θ＋cos θ(θ为参数)表示的曲线的普通方程是________．答案 y 2＝x ＋1(－1≤x ≤1) 解析 由参数方程，有y 2＝(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝1＋sin2θ， 将x ＝sin2θ代入，得y 2＝x ＋1.又－1≤sin2θ≤1，则此参数方程表法的曲线的普通方程是y 2＝x ＋1(－1≤x ≤1)． 12．(2015·广东)在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 1的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t 2，y ＝22t ，(t为参数)，则C 1与C 2交点的直角坐标为________． 答案 (2，－4)解析 曲线C 1的直角坐标方程为x ＋y ＝－2，曲线C 2的普通方程为y 2＝8x ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝－2，y 2＝8x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－4，所以C 1与C 2交点的直角坐标为(2，－4)．13．曲线⎩⎨⎧x ＝acos α，y ＝btan α(α为参数)与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝atan β，y ＝bcos β(β为参数)的离心率分别为e 1和e 2，求e 1＋e 2的最小值．解析 将两个参数方程化为普通方程，则可得： x 2a 2－y 2b 2＝1与y 2b 2－x 2a 2＝1， 其离心率分别为：e 1＝a 2＋b 2a，e 2＝a 2＋b 2b，故e 1＋e 2 ＝a 2＋b 2a＋a 2＋b 2b＝a 2＋b 2·a ＋b ab≥2ab ·2abab＝2 2.14．如图所示，已知点M 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)上在第一象限的点，A(a ，0)和B(0，b)的椭圆的两个顶点，O 为原点，求四边形MAOB 的面积的最大值．解析 点M 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)上在第一象限的点，由于椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝acos φ，y ＝bsin φ，(φ为参数)，故可设M(acos φ，bsin φ)，其中0<φ<π2，因此，S 四边形MAOB ＝S △MAO ＋S △MOB ＝12OA ·y M ＋12OB ·x M ＝12ab(sin φ＋cos φ)＝22absin(φ＋π4)．所以，当φ＝π4时，四边形MAOB 的面积有最大值，最大值为22ab.15．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋35t ，y ＝2＋45t(t 为参数)，它与曲线C ：(y －2)2－x 2＝1交于A ，B 两点． (1)求|AB|的长；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P 的极坐标为(22，3π4)，求点P 到线段AB 中点M 的距离．解析 (1)将直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝－2＋35t ，y ＝2＋45t(t 为参数)，代入(y －2)2－x 2＝1，得725t 2＋125t－5＝0.∴t 1＋t 2＝－607，t 1t 2＝－1257.∴|AB|＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝10771.(2)P 点直角坐标为(－2，2)， 线段AB 中点对应的参数值为t 1＋t 22，∴点P 到线段AB 中点M 的距离为|t 1＋t 22|＝307.1．曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3sec φy ＝4tan φ(φ为参数)的一个焦点为( )A ．(3，0)B ．(4，0)C ．(5，0)D ．(0，5)答案 C 解析 由sec 2φ＝1＋tan 2φ，得x 29－y 216＝1，方程的曲线为双曲线，由a 2＝9，b 2＝16，得c 2＝25，∴焦点坐标为(5，0)或(－5，0)，故选C.2．已知圆C ：(x －1cos θ)2＋(y －tan θ)2＝1，则圆C 的圆心所在的曲线是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆答案 B解析 设圆C 的圆心坐标为(m ，n)，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＝sec θ，①n ＝tan θ，②①2－②2得m 2－n 2＝1，方程m 2－n 2＝1表示的图形是等轴双曲线．故选B.3．已知椭圆x 24＋y 23＝1和直线l ：x －2y ＋c ＝0有公共点，则实数c 的取值范围是________．答案 [－4，4]解析 设M(2cos θ，3sin θ)，θ∈[0，2π)是椭圆和直线的公共点，则有2cos θ－23sin θ＋c ＝0，所以c ＝23sin θ－2cos θ＝4sin(θ－π6)∈[－4，4]．4．(2016·深圳高二检测)在直角坐标系中，已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋s ，y ＝2－s (s 为参数)与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋3，y ＝t 2(t 为参数)相交于A ，B 两点，则|AB|＝________． 答案 2解析 直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋s ，y ＝2－s (s 为参数)的普通方程为y ＝3－x ，曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋3，y ＝t2(t 为参数)的普通方程为y ＝(x －3)2，依题意，得(x －3)2＝3－x ，解得x 1＝3，y 1＝0；x 2＝2，y 2＝1，所以坐标为A(3，0)，B(2，1)，则|AB|＝ 2.5．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝acos φ，y ＝bsin φ，(a>b>0，φ为参数)在以O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2是圆心在极轴上，且经过极点的圆，已知曲线C 1上的点M(1，32)对应的参数φ＝π3，射线θ＝π3与曲线C 2交于点D(1，π3)． (1)求曲线C 1，C 2的方程；(2)若点A(ρ1，θ)，B(ρ2，θ＋π2)在曲线C 1上，求1ρ12＋1ρ22的值．解析 (1)方法一：将M(1，32)及对应的参数φ＝π3代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝acos φ，y ＝bsin φ，得⎩⎪⎨⎪⎧1＝acos π3，32＝bsin π3，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.所以曲线C 1的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ，(φ为参数)化为普通方程为x 24＋y 2＝1.设圆C 2的半径为R ，由题意得圆C 2的方程为ρ＝2Rcos θ， 将点D(1，π3)代入ρ＝2Rcos θ得1＝2Rcos π3，解得R ＝1，所以曲线C 2的方程为ρ＝2cos θ.方法二：将点M(1，32)及对应的参数φ＝π3代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝acos φ，y ＝bsin φ，得⎩⎪⎨⎪⎧1＝acos π3，32＝bsin π3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.故曲线C 1的方程为x 24＋y 2＝1.由题意设圆C 2的半径为R ，则方程为(x －R)2＋y 2＝R 2， 由D(1，π3)化直角坐标为(12，32)代入(x －R)2＋y 2＝R 2得R ＝1，故圆C 2的方程为(x －1)2＋y 2＝1.(2)因为点A(ρ1，θ)，B(ρ2，θ＋π2)在曲线C 1上，所以ρ12cos 2θ4＋ρ12sin 2θ＝1，ρ22cos 2（θ＋π2）4＋ρ22sin 2(θ＋π2)＝1，即ρ22sin 2θ4＋ρ22cos 2θ＝1， 所以1ρ12＋1ρ22＝(cos 2θ4＋sin 2θ)＋(sin 2θ4＋cos 2θ)＝54.。