第五讲 异方差和自相关.
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异方差和自相关
对于经典计量模型，我们的基本假设有：
假设 对于解释变量的所有观测值，随机误差项 有相同的方差。 Var ( i ) E ( i2 ) 2 i 1, 2,...n
Var (U ) E[U E (U )][U E (U )]' E (UU ')
1 ) E E (μμ n
2 2
H0： a1=a2=...=0 （不存在） H1： a1，a2...不全为0 （存在）
Step1：估计原方程，提取残差，并求其平方ei2。 Step2：计算残差平方和的均值avg(ei2) 。
Step3：估计方程，被解释变量为ei2/avg(ei2) ， 解释变量依然为原解释变量。 Step4：构造统计量Score=0.5*RSS服从自由度为 k的卡方分布。查表检验整个方程的显著性。 注意：在第3步中，方便起见也可以用被解释变量的 拟合值作为解释变量。
2。利用广义最小二乘法（GLS）
广义最小二乘法是对原模型加权，使之变成一个新 的不存在异方差性的模型，然后采用普通最小二乘 法估计其参数。 其含义为 Var(b) =σ2 (X'X)-1(X'Σ X) (X'X)-1 通过加权使得Σ =I 因此，GLS和WLS要求Σ 已知。
加权最小二乘法（WLS）：
1
12 1 n n E 2 n n 1
var( 1 ) cov( 1 , n ) 2 0 2I cov( , ) 0 2 var( ) n 1 n
Breusch and Pagan 检验
根据异方差检验的基本思路，Breusch and Pagan（1979）和Cook and Weisberg （1983） 主要思路：用 ei2/avg(ei2) 对一系列可能导致 异方差的变量作回归。
ei / avg (ei ) a0 a1 X 1 a 2 X 2 ... akXk ui
一般截面数据容易产生异方差 而时间序列数据容易产生自相关
异方差的检验
1。残差图 2。怀特检验 3。Breusch-Pagan（BP）检验 4。 G-Q 检验 (Goldfeld-Quandt,1965) 5。 Szroeter's 秩检验(Szreter,1978)
后两种现在已经基本不用。
1。画图：散点图和残差图。
3。BP 检验：做完回归后，使用命令： estat hettest ,normal（使用拟合值yˆ ） estat hettest,rhs （使用方程右边的解释变量，而 不是yˆ ） 最初的BP 检验假设扰动项服从正态分布，有一定局 限性。Koenker（1981）将此假定放松为iid，在 实际中较多采用，其命令为： estat hettest, iid estat hettest, rhs iid
此时可得：
Var ( ) ( X ' X )
2
1
在存在异方差的情wk.baidu.com下：
Var ( ) ( X ' X ) X ' X ( X ' X )
2 1
1
因此，估计结果无偏，但不是有效的（随机误 差项方差变大）。
误差项存在异方差：U的方差-协方差矩阵 Var(u)主对角线上的元素不相等 。
1.sysuse auto,clear reg price weight length mpg 检查是否具有异方差。 2。reg weight length mpg 检查是否具有异方差。 3。use production,clear reg lny lnk lnl 检查是否具有异方差
4。use nerlove,clear reg lntc lnq lnpl lnpf lnpk 检验是否具有异方差
sysuse auto,clear reg price weight length foreign estat hettest,normal 假设异方差由weight引起，即：
i * lengthi
2 2
reg price weight length foreign [aw=1/length] estat hettest,normal
1。残差图： rvfplot （residual-versus-fitted plot） rvpplot varname （residual-versuspredictor plot） 作图命令一定要在回归完成之后进行 rvfplot yline(0)
2。怀特检验：
2。怀特检验命令： 做完回归后，使用命令： estat imtest, white
异方差的处理
1。使用“OLS+异方差稳健标准误”（robust standard error）：这是最简单，也是目前比较 流行的方法。只要样本容量较大，即使在异方差 的情况下，只要使用稳健标准误，则所有参数估 计、假设检验均可照常进行。
sysuse nlsw88, clear reg wage ttl_exp race age industry hours reg wage ttl_exp race age industry hours, r
0 . 0
2 1
0
2 2
. 0
0 0 ... . 2 ... n .. ...
异方差是违背了球型扰动项假设的一种情形。 在存在异方差的情况下： （1）OLS 估计量依然是无偏、一致且渐近 正态的。 （2）估计量方差Var(b|X) 的表达式不再是 σ2(X’X)−1，因为Var(ε|X) ≠σ2I。 （3）Gauss-Markov 定理不再成立，即 OLS不再是最佳线性无偏估计（BLUE）。
对于经典计量模型，我们的基本假设有：
假设 对于解释变量的所有观测值，随机误差项 有相同的方差。 Var ( i ) E ( i2 ) 2 i 1, 2,...n
Var (U ) E[U E (U )][U E (U )]' E (UU ')
1 ) E E (μμ n
2 2
H0： a1=a2=...=0 （不存在） H1： a1，a2...不全为0 （存在）
Step1：估计原方程，提取残差，并求其平方ei2。 Step2：计算残差平方和的均值avg(ei2) 。
Step3：估计方程，被解释变量为ei2/avg(ei2) ， 解释变量依然为原解释变量。 Step4：构造统计量Score=0.5*RSS服从自由度为 k的卡方分布。查表检验整个方程的显著性。 注意：在第3步中，方便起见也可以用被解释变量的 拟合值作为解释变量。
2。利用广义最小二乘法（GLS）
广义最小二乘法是对原模型加权，使之变成一个新 的不存在异方差性的模型，然后采用普通最小二乘 法估计其参数。 其含义为 Var(b) =σ2 (X'X)-1(X'Σ X) (X'X)-1 通过加权使得Σ =I 因此，GLS和WLS要求Σ 已知。
加权最小二乘法（WLS）：
1
12 1 n n E 2 n n 1
var( 1 ) cov( 1 , n ) 2 0 2I cov( , ) 0 2 var( ) n 1 n
Breusch and Pagan 检验
根据异方差检验的基本思路，Breusch and Pagan（1979）和Cook and Weisberg （1983） 主要思路：用 ei2/avg(ei2) 对一系列可能导致 异方差的变量作回归。
ei / avg (ei ) a0 a1 X 1 a 2 X 2 ... akXk ui
一般截面数据容易产生异方差 而时间序列数据容易产生自相关
异方差的检验
1。残差图 2。怀特检验 3。Breusch-Pagan（BP）检验 4。 G-Q 检验 (Goldfeld-Quandt,1965) 5。 Szroeter's 秩检验(Szreter,1978)
后两种现在已经基本不用。
1。画图：散点图和残差图。
3。BP 检验：做完回归后，使用命令： estat hettest ,normal（使用拟合值yˆ ） estat hettest,rhs （使用方程右边的解释变量，而 不是yˆ ） 最初的BP 检验假设扰动项服从正态分布，有一定局 限性。Koenker（1981）将此假定放松为iid，在 实际中较多采用，其命令为： estat hettest, iid estat hettest, rhs iid
此时可得：
Var ( ) ( X ' X )
2
1
在存在异方差的情wk.baidu.com下：
Var ( ) ( X ' X ) X ' X ( X ' X )
2 1
1
因此，估计结果无偏，但不是有效的（随机误 差项方差变大）。
误差项存在异方差：U的方差-协方差矩阵 Var(u)主对角线上的元素不相等 。
1.sysuse auto,clear reg price weight length mpg 检查是否具有异方差。 2。reg weight length mpg 检查是否具有异方差。 3。use production,clear reg lny lnk lnl 检查是否具有异方差
4。use nerlove,clear reg lntc lnq lnpl lnpf lnpk 检验是否具有异方差
sysuse auto,clear reg price weight length foreign estat hettest,normal 假设异方差由weight引起，即：
i * lengthi
2 2
reg price weight length foreign [aw=1/length] estat hettest,normal
1。残差图： rvfplot （residual-versus-fitted plot） rvpplot varname （residual-versuspredictor plot） 作图命令一定要在回归完成之后进行 rvfplot yline(0)
2。怀特检验：
2。怀特检验命令： 做完回归后，使用命令： estat imtest, white
异方差的处理
1。使用“OLS+异方差稳健标准误”（robust standard error）：这是最简单，也是目前比较 流行的方法。只要样本容量较大，即使在异方差 的情况下，只要使用稳健标准误，则所有参数估 计、假设检验均可照常进行。
sysuse nlsw88, clear reg wage ttl_exp race age industry hours reg wage ttl_exp race age industry hours, r
0 . 0
2 1
0
2 2
. 0
0 0 ... . 2 ... n .. ...
异方差是违背了球型扰动项假设的一种情形。 在存在异方差的情况下： （1）OLS 估计量依然是无偏、一致且渐近 正态的。 （2）估计量方差Var(b|X) 的表达式不再是 σ2(X’X)−1，因为Var(ε|X) ≠σ2I。 （3）Gauss-Markov 定理不再成立，即 OLS不再是最佳线性无偏估计（BLUE）。