第五讲 异方差和自相关.
第五章异方差与自相关问题
X11 f (X j1) X12 f (X j2 ) M X1n f (X jn )
L L M L
Xk1 f (X j1) Xk2 f (X j2 ) M Xkn f (X jn )
~ Y=
Y f (X j )
Xi ~ Xi = f (X j )
~ X0 =
2
§5.3 异方差模型的估计
（一）广义最小平方估计对于异方差模型的意义
1 2 d 1 − 1 Ω = 1 2 dn
O
~ − ~ 1 ~ ~~ ′ ~ ~~ = (Y − Xβ)′Ω 1(Y − Xβ) = ∑ 2 ei2 (Y − Xβ) (Y − Xβ) di
2 n ）的观测值。再对模型中的其余变量，以 c= 4
∑ei2
A
A
∑ei2
B
2 2 B
（ｃ）构造统计量 F = ∑ei ∑ei或
F = ∑ei2
B
∑ei2；
A
（d）根据显著性水平 α，以及双自由度 n −c −(k +1 ，查取 F 分布临 ) 界值 F 。若经比较 F > F ，则接受模型存在单调形式的异方差，否 α α 则拒绝异方差。
D−W =1.980
F =14.747
20
Residual
Fitted
§5.3 异方差模型的估计
的广义最小平方估计： 例5.1 的广义最小平方估计：
~ Y = −0.637 + 0.072X
（-2.087）（6.636）
广义最小平方估计的残差平方和：
~ ~2 = (Y −Y )2 = 43.046 ei ∑ i ∑ i
1 X11 1 X12 M M 1 X1n
异方差、自相关检验及修正
异方差、自相关的检验与修正实验目的：通过对模型的检验掌握异方差性问题和自相关问题的检验方法及修正的原理，以及相关的Eviews 操作方法。
模型设定：εβββ+++=23121i i i X X YYi----人均消费支出X1--从事农业经营的纯收入X2--其他来源的纯收入 中国内地2006年各地区农村居民家庭人均纯收入与消费支出 单位：元 城市 y x1 x2 城市 y x1 x2 北京 5724.5 958.3 7317.2 湖北 2732.5 1934.6 1484.8 天津 3341.1 1738.9 4489 湖南 3013.3 1342.6 2047 河北 2495.3 1607.1 2194.7 广东 3886 1313.9 3765.9 山西 2253.3 1188.2 1992.7 广西 2413.9 1596.9 1173.6 内蒙古 2772 2560.8 781.1 海南 2232.2 2213.2 1042.3 辽宁 3066.9 2026.1 2064.3 重庆 2205.2 1234.1 1639.7 吉林 2700.7 2623.2 1017.9 四川 2395 1405 1597.4 黑龙江 2618.2 2622.9 929.5 贵州 1627.1 961.4 1023.2 上海 8006 532 8606.7 云南 2195.6 1570.3 680.2 江苏 4135.2 1497.9 4315.3 西藏 2002.2 1399.1 1035.9 浙江 6057.2 1403.1 5931.7 陕西 2181 1070.4 1189.8 安徽 2420.9 1472.8 1496.3 甘肃 1855.5 1167.9 966.2 福建 3591.4 1691.4 3143.4 青海 2179 1274.3 1084.1 江西 2676.6 1609.2 1850.3 宁夏 2247 1535.7 1224.4 山东 3143.8 1948.2 2420.1 新疆 2032.4 2267.4 469.9 河南 2229.3 1844.6 1416.4 数据来源：《中国农村住户调查年鉴（2007）》、《中国统计年鉴（2007）》参数估计：估计结果如下：2709030.01402097.01402.728X X Y ++=Λ(2.218) (2.438) (16.999) 922173.02=R D.W.=1.4289 F=165.8853 SE=395.2538实验步骤：一、检查模型是否存在异方差1．图形分析检验(1)散点相关图分析分别做出X1和Y 、X2和Y 的散点相关图，观察相关图可以看出，随着X1、X2的增加，Y 也增加，但离散程度逐步扩大，尤其表现在X1和Y .这说明变量之间可能存在递增的异方差性。
异方差与自相关问题
a
与 b 。 a 与 b 的线性相关系数，称为
q
z
的等级相关系数 。
(ai a )(bi b ) rs (ai a ) 2 (bi b ) 2
6 (ai bi ) 2 rs 1 n(n 2 1)
§5.2
等级相关检验
异方差问题
(ａ) 完成模型的OLS估计，获取残差数据
X 11 f ( X j1 ) X 12 f ( X j2 ) X 1n f ( X jn )
X k1 f ( X j1 ) X k2 f ( X j2 ) X kn f ( X jn )
~ Y
Y f (X j )
~ Xi
Xi f (X j )
1 1 1
X 11 X 12 X 1n
Y1 X k 1 f ( X j1 ) Y2 X k2 f ( X j2 ) Y n X kn f ( X jn )
1 f ( X j1 ) 1 f ( X j2 ) 1 f ( X jn )
第五章
异方差与自相关问题
除了本章讨论所涉及的同方差性与不自相关性以外，
关于线性回归模型的其它假定在本章中都成立。 ——广义最小平方估计； ——异方差模型及其估计； ——自相关模型及其估计； ——异方差模型、自相关模型的预测。
§5.1
广义最小平方法
同方差且不自相关
cov(U ) 2 I cov(U ) 2
ei ；
(ｂ) 选择可能与异方差有关的解释变量 rs ( j )，计算变量 X j与变
量
e 的等级相关系数
(ｃ) 计算统计量
自相关和异方差处理顺序
自相关和异方差处理顺序引言自相关和异方差是时间序列分析中常见的两种问题，它们影响了模型的准确性和可靠性。
在进行时间序列建模时，需要处理这些问题，以确保模型的有效性。
本文将深入探讨自相关和异方差处理的顺序，并讨论不同处理顺序的影响。
什么是自相关和异方差自相关自相关是指时间序列中当前观测值与之前观测值之间的相关性。
它衡量的是时间序列中各个观测值之间的依赖关系。
自相关可以用自相关函数（ACF）图来表示，通过观察ACF图，可以判断时间序列是否存在自相关。
异方差异方差是指时间序列中方差不稳定的特征。
在时间序列中，方差可能随着时间的推移发生变化，这会导致模型的拟合不准确。
异方差可以用方差函数（VCF）图来表示，通过观察VCF图，可以判断时间序列是否存在异方差。
自相关和异方差处理的重要性自相关和异方差对时间序列建模的准确性和可靠性有重要影响，它们需要被处理以获得可靠的模型结果。
•自相关的存在会导致参数估计不准确，预测结果失真。
如果存在自相关，模型会无法捕捉到序列的真实动态，导致预测结果不准确。
•异方差使得模型的残差不符合正态分布，违背了建模的基本假设。
这会使得模型的显著性检验和置信区间估计不可靠，影响模型的有效性。
因此，为了获得可靠的模型结果，需要对自相关和异方差进行处理。
自相关和异方差处理顺序的影响自相关和异方差的处理顺序会对最终的模型结果产生影响。
不同的处理顺序可能导致不同的模型结构和参数估计。
先处理自相关后处理异方差如果先处理自相关再处理异方差，可能会导致如下影响：1.自相关处理可能会改变时间序列的动态特征。
当我们去除自相关时，可能会削弱序列中的一些重要信息，导致模型无法准确捕捉到序列的动态变化。
2.异方差处理可能会影响自相关的结构。
当我们对残差进行异方差处理时，可能会改变残差序列的结构，从而使得自相关的估计失真。
先处理异方差后处理自相关如果先处理异方差再处理自相关，可能会产生如下影响：1.异方差处理可能改变原始序列的动态特征。
异方差性、自相关以及广义最小二乘(GLS)
（6）
其中C的各列是Ω的特征向量经过正交化而得到，即CC’=I，而且Ω的特征根被放在对角矩阵 中。令 是对角元素为 的对角矩阵，并令 ，于是 。另外，令 ，因此
用P’前乘（1）中的模型可得
或
（7）
的方差是
因此，这个变换后的模型就是一个我们熟悉的古典回归模型。由于Ω已知，所以，
三）可行的最小二乘估计（FGLS）
上一节的结果是基于Ω必须是已知的条件基础上的。如果Ω含有必须估计的未知参数，则GLS是不可行的。但在无约束的情况下， 中有n(n+1)/2个附加参数。这对于用n个观测值来估计这么多的参数是不现实的。只有当模型中需要估计的参数较少时，即模型中Ω某种结构要简化，才可以找到求解的方法。
异方差性、自相关以及广义最小二乘（GLS、FGLS）
蒋岳祥
（浙江大学经济学院）
一、古典模型中的b的非线性函数的分布及其检验
二、异方差性和自相关（非球形扰动）
1、问题的提出
2、广义最小二乘（GLS）
3、可行广义最小二乘（FGLS）
三、异方差不含自相关的检验（怀特检验）
一、古典模型中的b的非线性函数的分布及其检验
对于假设检验，我们可以把所有结果应用到变换后的模型（7）中。为了检验J个线性约束Rβ=q，相应的统计量是
，
其中残差向量是
而
有约束的GLS残差 ，基于
（11）
总之，对于古典模型的所有结果，包括通常的推断过程，都适用于（7）中的模型。
应该注意的是：在广义回归模型中没有R2的准确对等物。不同的统计量有不同的意义，但使用它们时一定要谨慎。
可行的最小二乘估计（FGLS）
具有代表性的问题涉及到一小组参数 ，满足 。例如， 只有一个未知数 ，其常见的表达形式是
异方差与自相关
七、 异方差与自相关一、背景我们讨论如果古典假定中的同方差和无自相关假定不能得到满足，会引起什么样的估计问题呢？另一方面，如何发现问题，也就是发现和检验异方差以及自相关的存在性也是一个重要的方面，这个部分就是就这个问题进行讨论。
二、知识要点1、引起异方差的原因及其对参数估计的影响2、异方差的检验（发现异方差）3、异方差问题的解决办法4、引起自相关的原因及其对参数估计的影响5、自相关的检验（发现自相关）6、自相关问题的解决办法 （时间序列部分讲解） 三、要点细纲1、引起异方差的原因及其对参数估计的影响原因：引起异方差的众多原因中，我们讨论两个主要的原因，一是模型的设定偏误，主要指的是遗漏变量的影响。
这样，遗漏的变量就进入了模型的残差项中。
当省略的变量与回归方程中的变量有相关关系的时候，不仅会引起内生性问题，还会引起异方差。
二是截面数据中总体各单位的差异。
后果：异方差对参数估计的影响主要是对参数估计有效性的影响。
在存在异方差的情况下，OLS 方法得到的参数估计仍然是无偏的，但是已经不具备最小方差性质。
一般而言，异方差会引起真实方差的低估，从而夸大参数估计的显著性，即是参数估计的t 统计量偏大，使得本应该被接受的原假设被错误的拒绝。
2、异方差的检验 （1）图示检验法由于异方差通常被认为是由于残差的大小随自变量的大小而变化，因此，可以通过散点图的方式来简单的判断是否存在异方差。
具体的做法是，以回归的残差的平方2i e 为纵坐标，回归式中的某个解释变量i x 为横坐标，画散点图。
如果散点图表现出一定的趋势，则可以判断存在异方差。
（2）Goldfeld-Quandt 检验Goldfeld-Quandt 检验又称为样本分段法、集团法，由Goldfeld 和Quandt 1965年提出。
这种检验的思想是以引起异方差的解释变量的大小为顺序，去掉中间若干个值，从而把整个样本分为两个子样本。
用两个子样本分别进行回归，并计算残差平方和。
异方差与自相关
1.5 假定条件的不成立用OLS 法得到的估计模型通过统计检验后，还要检验摸型是否满足假定条件。
由1.3 节知，只有模型的4个假定条件都满足时，用OLS 法得到的估计量才具有最佳线性无偏特性。
当一个或多个假定条件不成立时，OLS 估计量将丧失上述特性。
本节讨论当假定条件不成立时，对参数估计带来的影响以及相应的补救措施。
以下讨论都是在某一个假定条件被违反，而其他假定条件都成立的情况下进行。
分为5个步骤。
（1）回顾假定条件。
（2）假定条件不成立对模型参数估计带来的影响。
（3）定性分析假定条件是否成立。
（4）假定条件是否成立的检验（定量判断）。
（5）假定条件不成立时的补救措施。
1.5.1 同方差假定-224681012050100150200XY图5.1 同方差情形 图5.2 同方差情形模型的假定条件⑴ 给出V ar(u ) 是一个对角矩阵， Var(u ) = E(u u ' ) = σ 2I = σ 21011⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦(5.1) 且u 的方差协方差矩阵主对角线上的元素都是常数且相等，即每一误差项的方差都是有限的相同值（同方差假定）；且非主对角线上的元素为零（非自相关假定），当这个假定不成立时，Var(u ) 不再是一个纯量对角矩阵。
Var(u ) = σ 2 Ω = σ 211220..00...0 00...TT σσσ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦≠σ 2 I (5.2)当误差向量u 的方差协方差矩阵主对角线上的元素不相等时，称该随机误差系列存在异方差，即误差向量u 中的元素u t 取自不同的分布总体。
非主对角线上的元素表示误差项之间的协方差值。
比如 Ω 中的 σi j 与σ 2的乘积 ,（i ≠ j ）表示与第i 组和第j 组观测值相对应的u i 与 u j 的协方差。
若 Ω 非主对角线上的部分或全部元素都不为零，误差项就是自相关的。
本节讨论异方差。
下一节讨论自相关问题。
异方差、自相关、多重共线性比较(计量经济学)
方差扩大（膨胀）因子检验
多元线性回归模型，构造辅助回归。方差扩大因子VIF=1/（1-R^2）,它的大小反映了解释变量之间是否存在多重共线性。VIF越大，多重共线性越严重。
2.构造子样本区间，建立回归模型。在sample菜单里定义区间，然后用OLS方法回归，分别得到残差平方和 和 。
3.求F统计量值。F
4.判断。比较F与
的大小，判断模型是否存在异方差。
White检验
基本思想：
如果存在异方差，其方差δ^2与解释变量有关系，分析δ^2是否与解释变量有某些形式的联系以判断异方差。
2.导入数据(quick/empty group)；
3.做回归(quick/estimate eqation )，输入y c x.
4.观察DW值。
1.DW值落在两个不能确定的区域就不能判断。此时增大样本容量或选取其他方法。
2.DW统计量的高阶序列相关的检验。
其他
BG检验
基于所分析模型普通最小二乘估计的残差贵解释变量和一定数量滞后残差的辅助回归，如果滞后残差足以解释当前残差的差异，就拒绝误差项无自相关的原假设。
1.用OLS估计原模型式，并得到残差e.
2.用残差e对解释变量X及滞后残差e(-1)做辅助回归。
3.计算辅助回归的可决系数R^2,构建统计量LM=TR^2。LM=TR^2~χ²
2.Quick/graph,在series list对话框中输入“e(-1) e”,选择scatter’,得到e(-1)与e的散点图。
方法二:1.用OLS估计Resid→e。
第五讲 自相关
第五讲、自相关1、自相关的概念：古典线性回归中假设扰动项u i中不存在自相关，即E(u i u j)=0, i≠j这表明任一观察值的扰动项不受其他观察值的扰动项的影响。
但是如果存在E(u i u j) ≠0, i≠j表明存在自相关问题。
自相关通常与时间序列数据有关，但截面数据中也可能产生自相关的问题（空间相关），例如，某一家庭消费支出的增加可能影响不愿比别人逊色的另一家庭消费支出的影响。
图a-d表明扰动项u存在可辨别的模式（可能存在自相关），而图e则表明不存在系统模式（可能不存在自相关）。
2、导致自相关的因素：（1）在涉及时间序列数据的回归方程中，大多数经济时间序列数据的一个显著特征是“惯性”或“延迟性”。
如GDP、就业、货币供给等时间序列都呈现周期性，连续的观察值之间很可能存在相互依赖或是相关的。
（2）模型设定错误：应该包括在模型中的重要变量未包括进模型（过低设定）或模型选择了错误的函数形式，这时残差会呈现出系统模式。
（3）蛛网现象：即解释变量是时间滞后变量，即具有时间滞后效应。
如农产品供给模型中价格对供给的影响存在蛛网现象（滞后效应）。
这种情况下的扰动项不是随机的。
（4）数据加工：在实证研究中，通常原数据是要经过加工的。
例如季度数据的时间序列回归中，数据通常是由月度数据按季相加再平均得到，而这种“平滑”过程的本身可能导致扰动项的系统模式，从而产生自相关。
3、自相关的后果：（1）虽然最小二乘估计仍然是线性和无偏的，但不是有效的，即最小二乘估计量(OLS)不是最优线性无偏估计量(BLUE)。
（2）OLS估计量的方差是有偏的，计算OLS估计量的方差或标准差的公式可能严重低估真实的方差或标准差，从而导致常用的t检验和F检验是不可靠的。
（3）通常计算的R2也是不可靠的。
4、自相关的诊断自相关的诊断存在异方差诊断中的类似问题，即ui是无法观察的，而且也不知道其产生机制：我们通过OLS估计，仅仅得到的是ei，通过对ei的讨论来“了解”自相关是否存在。
自相关和异方差处理顺序
自相关和异方差处理顺序在统计学和计量经济学中，自相关和异方差是两个常见的问题，需要进行相应的处理才能保证模型的准确性和可靠性。
本文将以人类的视角，采用准确的中文进行描述，详细介绍自相关和异方差的处理顺序及其重要性。
一、自相关处理自相关是指时间序列数据中观测值之间存在的相关性。
当序列中的观测值之间存在一定的相关性时，会导致统计模型的参数估计不准确，假设检验无效，预测结果不可靠。
因此，需要进行自相关的处理。
自相关处理的一种常见方法是使用自相关函数（ACF）和偏自相关函数（PACF）进行分析。
ACF表示观测值与不同滞后期的观测值之间的相关性，PACF表示观测值与滞后期观测值之间的相关性，探究观测值之间的相关性结构。
在进行自相关处理时，可以采取以下步骤：1. 绘制时间序列图，观察序列的趋势和波动性。
2. 进行序列的平稳性检验，确保序列满足平稳性的要求。
3. 绘制ACF和PACF图，分析观测值之间的相关性结构。
4. 根据ACF和PACF的图形特征，选择合适的自回归移动平均模型（ARMA模型）。
5. 估计模型参数，进行模型拟合。
6. 检验模型的残差序列是否存在自相关，如果存在，则返回第3步，重新选择模型。
通过以上步骤，可以有效地处理自相关问题，提高模型的准确性和可靠性。
二、异方差处理异方差是指随着自变量的变化，因变量的方差也发生变化。
当存在异方差时，会导致模型的参数估计不准确，假设检验无效，预测结果不可靠。
因此，需要进行异方差的处理。
异方差处理的一种常见方法是使用加权最小二乘法（Weighted Least Squares, WLS）。
WLS是一种在回归分析中常用的方法，通过对误差项进行加权，降低异方差对回归结果的影响。
在进行异方差处理时，可以采取以下步骤：1. 绘制残差图，观察残差的分布特征。
2. 进行异方差检验，判断是否存在异方差。
3. 如果存在异方差，可以使用加权最小二乘法进行回归估计。
4. 根据异方差的特点，选择合适的加权函数，对误差项进行加权。
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●●●学术利剑Stata ：论文中数据分析的一把利剑学术论文分析利剑 Stata的简介异方差Stata检查是否存在异方差的方法：1、看残差图，模型回归之后使用即可rvfplot（残差与拟合值的散点图）rvpplot（残差与解释变量的的散点图）2、White检验其基本命令是在完成基本的OLS 回归之后，输入imtest， white如果输出的P-Value 显著小于0.05，则拒绝原假设，即不存在异方差性3、BP(Breusch and Pagan,1979)检验关于stata处理异方差问题的命令基本命令是：estat hettest var1 var2 var3其中，var1 var2 var3 分别为你认为导致异方差性的几个自变量。
是你自己设定的一个滞后项数量。
同样，如果输出的P-Value 显著小于0.05，则拒绝原假设，即不存在异方差性。
estat hettest（默认设置使用拟合值y_hat）estat hettest（使用方程邮编的解释变量，而不是y_hat）estat hettest varlist（指定使用某些解释变量）解决办法方法一：WLSWLS是GLS（一般最小二乘法）的一种，也可以说在异方差情形下的GLS就是WLS。
在WLS下，我们设定扰动项的条件方差是某个解释变量子集的函数。
之所以被称为加权最小二乘法，是因为这个估计最小化的是残差的加权平方和，而上述函数的倒数恰为其权重。
在stata中实现WLS的方法如下：reg （被解释变量）（解释变量1）（解释变量2）…… [aweight=变量名]其中，aweight后面的变量就是权重，是我们设定的函数。
一种经常的设定是假设扰动项的条件方差是所有解释变量的某个线性组合的指数函数。
在stata中也可以方便地实现：首先做标准的OLS回归，并得到残差项；reg （被解释变量）（解释变量1）（解释变量2）……predict r, resid生成新变量logusq，并用它对所有解释变量做回归，得到这个回归的拟合值，再对这个拟合值求指数函数；gen logusq=ln(r^2)reg logusq (解释变量1) （解释变量2）……predict g, xbgen h=exp(g)最后以h作为权重做WLS回归；reg （被解释变量）（解释变量1）（解释变量2）…… [aweight=h]如果我们确切地知道扰动项的协方差矩阵的形式，那么GLS估计是最小方差线性无偏估计，是所有线性估计中最好的。
【计量经济学】虚拟变量、异方差、自相关
–105 + x
D = 1 (男)
y = - 100 + x - 5D =
注意：
– 100 + x
D = 0 (女)
① 若定性变量含有 m 个类别，应引入 m-1 个虚拟变量，否则会导致多重共线性，称作
虚拟变量陷阱（dummy variable trap）。 ② 关于定性变量中的哪个类别取 0，哪个类别取 1，是任意的，不影响检验结果。 ③ 定性变量中取值为 0 所对应的类别称作基础类别（base category）。
retail price
wholesale
2000 1800
2. 8 retail pric e
1600
2. 6
2.8
1400
2.6
1200
2. 4
2.4
1000
2. 2 2.2
2.0 95 96 97 98 99 00 01 02
图1
2. 0 1000
1200
wholes ale 1400 1600 1800 2000
4
1990~1997 年香港季度 GDP 呈线性增长。1997 年由于遭受东南亚金融危机的影响，经 济发展处于停滞状态，1998~2002 年底 GDP 总量几乎没有增长（见上图）。对这样一种先增 长后停滞，且含有季节性周期变化的过程简单地用一条直线去拟合显然是不恰当的。为区别 不同季节，和不同时期，定义季节虚拟变量 D2、D3、D4 和区别不同时期的虚拟变量 DT 如下（数据见附录）：
案例 5 天津市粮食市场小麦批发价与面粉零售价的关系研究（file: xiezhiyong） 首先看天津市粮食市场小麦批发价格的变化情况（图 1）。1995 年初，天津市粮食市场 的小麦批发价格首先放开。在经历 5 个月的上扬之后，进入平稳波动期。从 1996 年 8 月份 开始小麦批发价格一路走低。至 2002 年 12 月份，小麦批发价格降至是 1160 元/吨。 其次看面粉零售价的变化情况。因为面粉零售价格直接关系到居民的日常生活，所以开 始时没有与小麦批发价格一起放开。当小麦批发价格一路看涨时，1995 年 1 月至 1996 年 6 月面粉零售价格一直处于 2.14 元/千克的水平上。1996 年 7 月起，面粉零售价格也开始在市 场上放开。受小麦批发价格上涨的影响，一个月内面粉零售价格从 2.14 元/千克涨到 2.74 元 /千克。在这个价位上坚持了 11 个月之后，面粉零售价格开始下降。与小麦批发价格的下降 相一致，在经历了 5 年零 7 个月的变化之后，面粉零售价格又恢复到接近开放前 2.14 元/千 克的水平上（2.17 元）。 散点图如图 2。按时间分析这些观测点的变化情况（见图 3，逆时针方向运动）。见图 4， 直接拟合这些数据效果将很差（R2 = 0.027, r = 0.17）。
自相关和异方差处理顺序
自相关和异方差处理顺序自相关和异方差是统计学中常见的两个问题，它们在数据分析和建模中起着重要的作用。
在本文中，我们将讨论自相关和异方差的处理顺序，并介绍一些常用的方法和技巧。
一、自相关的处理自相关是指同一时间序列数据中不同时间点之间的相关性。
在时间序列分析中，我们经常会遇到自相关的问题，这会影响到模型的准确性和可靠性。
为了解决自相关问题，我们可以采取以下几种方法：1. 平稳化处理：对于非平稳的时间序列数据，我们可以通过差分、对数变换或者其他方法来使其变得平稳。
平稳化后的数据能够更好地满足模型的假设条件，从而减小自相关的影响。
2. 引入滞后项：在建立模型时，我们可以引入滞后项来考虑时间序列数据中不同时间点之间的相关性。
常用的方法有自回归（AR）模型和移动平均（MA）模型等。
3. 模型诊断：在建立模型后，我们需要对模型进行诊断，检验是否存在自相关。
常用的方法有自相关图和部分自相关图等。
如果发现存在自相关，我们可以进一步调整模型的参数或者引入其他变量来解决自相关问题。
二、异方差的处理异方差是指同一时间序列数据中不同时间点之间方差不相等的现象。
异方差会导致模型的预测结果不准确，因此需要进行处理。
以下是一些处理异方差的方法：1. 变换方法：对于存在异方差的数据，我们可以通过对数变换、平方根变换或者倒数变换等方法来使其变得更加稳定。
变换后的数据能够更好地满足模型的假设条件，从而减小异方差的影响。
2. 加权最小二乘法：在建立模型时，我们可以采用加权最小二乘法来解决异方差问题。
加权最小二乘法能够根据不同时间点的方差大小来调整模型的参数，从而减小异方差的影响。
3. 残差诊断：在建立模型后，我们需要对模型的残差进行诊断，检验是否存在异方差。
常用的方法有残差图和方差稳定性检验等。
如果发现存在异方差，我们可以进一步调整模型的参数或者引入其他变量来解决异方差问题。
自相关和异方差是统计学中常见的问题，它们在数据分析和建模中起着重要的作用。
第5讲 自相关与异方差
绘制1：y轴为残差平方，x轴为y的拟合值
绘制2：y轴为残差平方，x轴为某个解释变量
绘制3：y轴为被解释变量，X轴为某个解释变 量
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如何检验异方差：方法2white和bp检 验
适用于：误差项方差的变化连续 White检验步骤： 1、OLS回归，得到残差 2、残差取平方，然后对所有解释变量，解释 变量的平方，解释变量的交互进行回归 3、零假设：同方差。此时所有斜率项系数应 为0，大样本下有
2-19
如何检验异方差：方法3 Goldfeld– Quandt检验
SSRL SSRS (5) Relabel the groups as L and S , such that nL k nS k SSRL nL k Compute G SSRS nS k (6) Compare G to the critical value for an F -statistic with ( nL k ) and ( nS k ) degrees of freedom.
ˆ X ) ( X ' X )1 X ' E( X ) E(
ˆ E E ˆ X E X
2-9
异方差下的OLS2：不是最小方差
• 高斯马尔科夫定理（四个假定都用上） ，OLS估计量是方差最小（最优）的线 性无偏估计量BLUE。异方差下：
思路:仍然用OLS无偏估计 处理：重新正确估计方差，white稳健方差
此时OLS仍然不是BLUE,但无偏，
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多元回归DGP：高斯马尔科夫假定4
• 4b无自相关假定
cov(i , j | X ) 0 E(i j | X ) E (i | X )E ( j | X ) E(i j | X ) 0
第五讲 异方差和自相关.
3。BP 检验：做完回归后，使用命令： estat hettest ,normal（使用拟合值yˆ ） estat hettest,rhs （使用方程右边的解释变量，而 不是yˆ ） 最初的BP 检验假设扰动项服从正态分布，有一定局 限性。Koenker（1981）将此假定放松为iid，在 实际中较多采用，其命令为： estat hettest, iid estat hettest, rhs iid
可行广义最小二乘法（FGLS）：广义差分法： CO-PW方法Cochrane-Orcutt(1949) 估计 (舍弃第一期观察值) Prais-Winsten(1954) 估计(对第一期观察值 进行处理 sqrt(1-rho^2)*y1)
Cochrane-Orcutt(1949) 估计(舍弃第一期观察 值) prais D.rs LD.r20,corc prais D.rs LD.r20,rho(dw) corc Prais-Winsten(1954) 估计(对第一期观察值进行 处理 sqrt(1-rho^2)*y1) prais D.rs LD.r20 prais D.rs LD.r20,rho(dw) 时间序列一般样本不会太大，因此不要轻易舍弃。
2 2
H0： a1=a2=...=0 （不存在） H1： a1，a2...不全为0 （存在）
Step1：估计原方程，提取残差，并求其平方ei2。 Step2：计算残差平方和的均值avg(ei2) 。
Step3：估计方程，被解释变量为ei2/avg(ei2) ， 解释变量依然为原解释变量。 Step4：构造统计量Score=0.5*RSS服从自由度为 k的卡方分布。查表检验整个方程的显著性。 注意：在第3步中，方便起见也可以用被解释变量的 拟合值作为解释变量。
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一般截面数据容易产生异方差 而时间序列数据容易产生自相关
异方差的检验
1。残差图 2。怀特检验 3。Breusch-Pagan（BP）检验 4。 G-Q 检验 (Goldfeld-Quandt,1965) 5。 Szroeter's 秩检验(Szreter,1978)
后两种现在已经基本不用。
1。画图：散点图和残差图。
1
12 1 n n E 2 n n 1
var( 1 ) cov( 1 , n ) 2 0 2I cov( , ) 0 2 var( ) n 1 n
2。利用广义最小二乘法（GLS）
广义最小二乘法是对原模型加权，使之变成一个新 的不存在异方差性的模型，然后采用普通最小二乘 法估计其参数。 其含义为 Var(b) =σ2 (X'X)-1(X'Σ X) (X'X)-1 通过加权使得Σ =I 因此，GLS和WLS要求Σ 已知。
加权最小二乘法（WLS）：
1。残差图： rvfplot （residual-versus-fitted plot） rvpplot varname （residual-versuspredictor plot） 作图命令一定要在回归完成之后进行 rvfplot yline(0)
2。怀特检验：
2。怀特检验命令： 做完回归后，使用命令： estat imtest, white
此时可得：
Var ( ) ( X ' X )
2
1
在存在异方差的情况下：
Var ( ) ( X ' X ) X ' X ( X ' X )
2 1
1
因此，估计结果无偏，但不是有效的（随机误 差项方差变大）。
误差项存在异方差：U的方差-协方差矩阵 Var(u)主对角线上的元素不相等 。
3。BP 检验：做完回归后，使用命令： estat hettest ,normal（使用拟合值yˆ ） estat hettest,rhs （使用方程右边的解释变量，而 不是yˆ ） 最初的BP 检验假设扰动项服从正态分布，有一定局 限性。Koenker（1981）将此假定放松为iid，在 实际中较多采用，其命令为： estat hettest, iid estat hettest, rhs iid
0 . 0
2 1
0
2 2
. 0
0 0 ... . 2 ... n .. ...况下： （1）OLS 估计量依然是无偏、一致且渐近 正态的。 （2）估计量方差Var(b|X) 的表达式不再是 σ2(X’X)−1，因为Var(ε|X) ≠σ2I。 （3）Gauss-Markov 定理不再成立，即 OLS不再是最佳线性无偏估计（BLUE）。
2 2
H0： a1=a2=...=0 （不存在） H1： a1，a2...不全为0 （存在）
Step1：估计原方程，提取残差，并求其平方ei2。 Step2：计算残差平方和的均值avg(ei2) 。
Step3：估计方程，被解释变量为ei2/avg(ei2) ， 解释变量依然为原解释变量。 Step4：构造统计量Score=0.5*RSS服从自由度为 k的卡方分布。查表检验整个方程的显著性。 注意：在第3步中，方便起见也可以用被解释变量的 拟合值作为解释变量。
异方差的处理
1。使用“OLS+异方差稳健标准误”（robust standard error）：这是最简单，也是目前比较 流行的方法。只要样本容量较大，即使在异方差 的情况下，只要使用稳健标准误，则所有参数估 计、假设检验均可照常进行。
sysuse nlsw88, clear reg wage ttl_exp race age industry hours reg wage ttl_exp race age industry hours, r
Breusch and Pagan 检验
根据异方差检验的基本思路，Breusch and Pagan（1979）和Cook and Weisberg （1983） 主要思路：用 ei2/avg(ei2) 对一系列可能导致 异方差的变量作回归。
ei / avg (ei ) a0 a1 X 1 a 2 X 2 ... akXk ui
异方差和自相关
对于经典计量模型，我们的基本假设有：
假设 对于解释变量的所有观测值，随机误差项 有相同的方差。 Var ( i ) E ( i2 ) 2 i 1, 2,...n
Var (U ) E[U E (U )][U E (U )]' E (UU ')
1 ) E E (μμ n
sysuse auto,clear reg price weight length foreign estat hettest,normal 假设异方差由weight引起，即：
i * lengthi
2 2
reg price weight length foreign [aw=1/length] estat hettest,normal
1.sysuse auto,clear reg price weight length mpg 检查是否具有异方差。 2。reg weight length mpg 检查是否具有异方差。 3。use production,clear reg lny lnk lnl 检查是否具有异方差
4。use nerlove,clear reg lntc lnq lnpl lnpf lnpk 检验是否具有异方差