第1节常数项级数的概念与性质
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常数项级数的概念和性质
n uk 1 uk 2 uk n sk n sk
当 n 时， 部分和序列 n 与 sk n 必同时收敛， 或同时发散，即级数①和级数②有相同的敛散性。
同理可证，在级数前添 加有限项，不改变级数 的 敛散性。
#
性质 3 在收敛级数的相邻项间 任意加括号后 （不改变项的原来顺序 ）所得新级数仍然 收敛，且两个级数收敛 于同一个和。
k 1 k 1 k 1
n
n
n
故 lim l n lim As n lim B n
n n n
A s B ( Aun Bv n )
n 1
#
想一想： 1 若对
o
u
n 1
n
加括号后所得新级数发 散，
那么级数 un 是否可能收敛？
2 若对
o
u
n 1
n 1
n
加括号后所得新级数收 敛，
那么级数 un 是否一定收敛？
n 1
三、级数收敛的必要条件
定理： 若 un 收敛，则必有 lim un 0
n 1
n
1 （2 ）调和级数 发散 . n １n
返回
证：
设 sn uk ， n vk ，
k 1 k 1
n
n
据题示条件可知 l i msn s ， l i m n 均存在
n n
令 l n ( Ask B k ) A uk B vk Asn B n
n n n
n
当 q 1 时，limq ，此时 limsn 不存在，级数发散；
常数项级数的概念和
n(n 2
1)
.
ln im snln im n(n21), ∴所给级数是发散的. 3
定 义 如 果 级un数 的 部 分{和 sn}有 数极 列 s， 限
n1
则 称 级 un数 收 敛 ， 并 un且 s.
n1
n1
例2 判定级数1 的收敛 . 性
课堂练习 判别级数1 的敛散. 性
P255.4(3)
n2 n 3
解ln im un
1 lim
3 nn
级数
1 发散.
lim
n
1
1
3n
1 1 0. 1
|q|1,
该级数收敛,
并且
4
n
n0 5
1
1
4
5.
5
9
二、收敛级数的基本性质
性质1 设常k数 0,则kun与un有相同的敛
n1
n1
证 设u n的部sn 分 u 1 和 u 2 为 u n;
n 1
则knu 的 部n 分 k1 u 和 k2u 为 knu ksn . n 1
( u 1 u 2 u n ) ( v 1 v 2 v n ) snn,
ln i m nln i (m snn)s,
(un vn)收敛，且其和s为 ．
n1
11
性质2 如果级 数 un、 vn分别收敛s、 于 , 和
例3 讨 论 等a比 nq aa 级 qa数 2q anq
n0
第十章第一节常数项级数的概念与性质
n
u1 u2 un
其中第 n项 un 称为级数的一般项。
可从极限思想出发来理解无穷多个数相加的含义。
2、级数的收敛和发散 定义1：作级数 u n 的前 n 项和
n 1
u n 的部分和。 称其为级数 显然，可得到一个新数列 n 1 u n 的部分和数列。 {Sn } ，称为级数 n 1
2 n
lim S n
n
a 1 q
n
a 此时级数收敛，且 aq 1 q n 0
如果 | q | 1 ，则 Sn (n ) ，故级数发散。 如果 | q | 1 ，当 q 1时 Sn a a a na (n ) 此时级数发散。 当 q 1 时 a, n为 奇 数 n S n a a (1) a 0， n为 偶 数 当 n 时，Sn的极限不存在，故级数发散。
第一节
常数项级数的概念与性质
一、常数项级数的概念 二、常数项级数的性质
一、常数项级数的概念
1、定义 给定一个无穷数列 u1 , u2 ,, un ,，则由这个数 列构成的表达式 u1 u2 un
u n ，即 称为常数项无穷级数，简称级数，记作 n 1
u
n 1
n 1 n 1
(1 1) (1 1) (1 1)
收敛；不过，若加括号后的级数发散，则原级数一 定发散。 性质5（级数收敛的必要条件）
lim un 0 如果级数 u n 收敛，则 n
n 1
一般项的极限为零仅是级数收敛的必要但非充
1 分条件。可考察级数 ln(1 ) n n 1
数的和S的近似值，它们的差
高等数学一节常数项级数的概念及其性质
ln 2ln 3ln 4.. .ln n 1
23
n
ln2(34...n1)lnn(1). 23 n
nl imsn
lim ln1 (n)
n
故原级数发散.
三、级数的基本性质
性质1 若 a0且n与 无,级 关 数 un与 an u 敛散.性
1 1 1(n ), n1
limsn1
n
故原级数收敛, 且和等于1.
例3 讨论级 n 1l数 n1(n 1)的收敛 . 性
解: s n l1 n 1 ) ( l1 n 1 2 ) ( l1 n 1 3 ) ( . .l.1 n n 1 )(
假设 (anbn)收敛 , 则由收敛级数的性,知 质:
n1
[(anbn)an] b n 收敛, 与bn发散矛盾 .
n1
n1
n1
故 （an bn)收敛 .
n1
五、小结
常数项级数的基本概念(部分和,收敛,发散); 收敛级数的性质； 级数收敛的必要条件; 级数的基本审敛法：定义法.
本节知识结构
常概 数念 项及 级其 数性 的质
常数项 级数的概念
级数的 基本性质
定义1 定义2 定义3
性质1 性质2 性质3
性质4 （收敛级数的必要条件）
n1
n i 1
n i 1 i 1
n
n
lim uilim vi ni1 ni1
sq
un
n1
vn.
n1
性质2
若级数 un与vn均收, 则 敛级 数(unvn)
第一节常数项级数的概念与性质
性质4 若级数 un收敛，则对级数的项任意加括号后所成
n 1
的级数仍然收敛，且其和不变. 即 若s u1 u2 un1 un1 1 un2 成立，则
s u1 u2 un1 un1 1 un2 也成立
n 1
如果级数 un的部分和数列sn 没有极限，则称级数 un发散.
n 1 n 1
记 rn s sn un1 un2 ，称为级数的余项.
1 例1 判别级数 的敛散性. n 1 n n 1
解 级数的一般项可变形为 1 1 1 un n n 1 n n 1 所以级数的部分和为
性质2 若级数 un , vn分别收敛于s与 ，则级数
n 1 n 1
u
n 1
n
vn 收敛于s ；级数 un vn 收敛于s .
n 1
性质3 在级数 un的前面部分去掉或添加有限项，
n 1
级数的收敛性不变. 但级数的和会改变！
可见改变级数的有限项，不改变级数的敛散性， 但改变级数的和！
1 例4 证明：调和级数 发散. n 1 n 1 证明：假设调和级数 收敛于s. n 1 n 则应有 lim sn s, lim s2 n sn n Nhomakorabea
所以有 lim s2n sn 0
n
而 s2n sn un1 un2 u2n
n
2 当公比 q 1时，
若q 1 ，则级数的部分和为sn na n ；
若q 1，则级数的部分和为sn a 1
n 1 n 1
§9.1常数项级数的概念与性质
un 2
L
)
0.
注：rn un1 un2 L 称为级数 un的余项。 n1
例 7 判定下列级数的敛散性：
n
(1) n ln
n1n11 2(2)[ n1 n
3n
]
定理 2(Cauchy收敛准则)
级数 un收敛的充分要条件为： n1
对于任给的 0,存在正整数N，使当n>N时，对任
意正整数p，总有
（2） 一个收敛级数与一个发散级数逐项相加所组 成的级数一定发散。
性质 3 在级数中去掉或加上有限多项，不改变级数的 敛散性。
如 a1 1,
q1 2
的等比级数1 1 1 1 248
是收敛的，
其和
S
1 1 1
2
，
2
减去它的前五项得到的级数 1 1 1 仍收敛 ， 32 64 128
1
其和
n1
推论1 乘以非零常数不改变级数的敛散性。
性质 2 若级数 un 和 vn 都收敛，其和分别为 S 与 T ，
n1 n1
则级数 (un vn ) 也收敛，其和为S T 。
n1
即：两个收敛级数逐项相加（或相减）所得的级数收敛。
例 6．试问下列说法是否正确，并说明理由或举例。 （1）两个发散级数逐项相加所组成的级数一定发散。
n
n1
称 S 为级数的和，记为 un S 。若部分和 数列Sn
n1
极限不存在，则称级数 un 发散。
n1
例 1.判别级数
1 的敛散性，若收敛，求其和。
n1n(n 1)
例 2. 讨论等比级数（几何级数） aqn (a 0) 的敛散性。
n0
注：
aq
【高数(下)课件】11-1常数项级数的概念和性质
1 1 n n 1 n 2 sn n 2 n 1 n 1 2 2 2 1 2 1 n 故 s lim sn lim( 2 n1 n ) 2 n n 2 2
所以,此级数收敛, 且其和为2.
二、级数的基本性质
性质1 (级数收敛的必要条件) 若 un 收敛，
1 1 1 sn L 1 3 3 5 ( 2n 1 ) ( 2n 1 )
1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) ( )L ( ) 2 3 2 3 5 2 2n 1 2n 1
1 1 sn (1 ) 2 2n 1 1 1 1 lim sn lim (1 0)的敛散性. 例 讨论级数 n 1
n 3 ln a 是以 ln a 为公比的等比级数, 解 因为 n 1
故 1 当 a e时, | ln a | 1, 级数 收敛. e 1 当0 a 或a e时, | ln a | 1, 发散. e
n 1
u
n 1
n
u1 u2 u3 L un L
(1)
对收敛级数(1), 称差
rn s sn un1 un 2 L un i
rn 0 为级数(1)的余项或余和.显然有 lim n
i 1
当n充分大时, sn s
误差为 | rn |
定义
当n无限增大时, 如果级数 un的部分和
数列sn有极限s, 即 lim sn s. 则称无穷级数
s叫 做 级 数 u 收 敛, 这 时 极 限 u 的 和.
n 1 n
n 1 n
n 1
n
第十二章 第1节 常数项级数的概念和性质
∑
n=1
若它按某一规律加括弧 , 例如设为
显然, 新级数的部分和序列 σ m ( m = 1 , 2 ,L) 为原级数 部分和序列 Sn ( n = 1 , 2 ,L) 的一个子序列. 因此必有 用反证法可证 lim σ m = lim Sn = S
m→∞ n→∞
( u1 + u2 ) + ( u3 + u4 + u5 ) +L
2
n−1
a 当 q < 1时, 由于 lim q = 0 , 从而 lim Sn = n→∞ n→∞ 1− q a ; 因此级数收敛 , 其和为 1− q n 当 q > 1时, 由于 lim q = ∞ , 从而 lim Sn = ∞ , 因此 n→∞
n
a − a qn = 1− q
级数发散 .
n→∞
推论: 推论 若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散. 注意:原级数发散,则加括号后不一定发散 例如 注意 ( 级数 1−1+1−1+ L 却发散 . 但 1−1) + (1−1) +L= 0 , 18
三. 级数收敛的必要条件 设收敛级数 S =
n=1
un , 则必有 lim un = 0 ∑
n→∞
un+1 = un
故
enn! nn
e = > 1 (n = 1, 2,L) 1 n (1+ n )
∞ n
un > un−1 >L> u1 = e
从而 lim un ≠ 0 , 这说明级数 发散 . n n→∞ n=1 n
∑
e n!
21
1 (2) ∑ 3 n + 3n2 + 2n n=1 1 1 (n + 2) − n 1 = = 因 n3 + 3n2 + 2n n(n +1)(n + 2) 2 n(n +1)(n + 2) 1 1 1 = − ( n = 1, 2, L) 2 n(n +1) (n +1)(n + 2) n 1 1 n 1 1 Sn = ∑ 3 = ∑ − 2 k + 3k + 2k 2 k=1 k(k +1) (k +1)(k + 2) k =1 1 1 1 进行拆项相消 = − 2 1⋅ 2 (n +1)(n + 2)
高数-常数项级数的概念和性质
23
n
证: 当 k≤x ≤ k+1 时，1 1 ,从而
xk
k1 dx
k1 1 dx
1
k x kk
k
于是
sn
n
S n
k 1
1 k
1 1 1 1
23
n
n
k1 dx
2 dx
3 dx
n1 dx
k
k 1
x 1 x 2x
nx
n1 dx 1x
lnx
|n1
1
ln(n
1)
因为 limsn limln（n 1）
9
1 105
2
1 106
6
1 107
无穷多项相加意味着什么？怎样进行这种“相加” 运算？“相加”的结果是什么？
定义1 给定数列 u1, u2 , u3 un 则称
u1 u2 u3 un
为常数项无穷级数 简称级数，记做 un
n1
即： un u1 u2 u3 un
n1
式子中每一项都是常数，称作常数项级数，
S
由极限的运算可知
lim
n
un
lim
n
(
Sn
S n1 )
lim
n
Sn
lim
n
Sn1
S
S
0.
注意：这个性质的逆命题不正确，即级数 un的通项
n1
的极限为零，并不一定能保证原级数收敛.
例 如：
调和级数
1
n n
的一般项 un
1 n
它满足
lim
n
un
lim
n
1 n
0,
但 1 不收敛. n n
第一节 常数项级数的概念与性质
n
1n 1 1 = ∑ 2 k=1 k(k + 1) (k + 1)(k + 2)
进行拆项相消
1 1 1 = 2 1 2 (n + 1)(n + 2)
11 1 (2) 其和为 . ∴lim Sn = , 这说明原级数收敛 , ∑ 3 n→∞ 4 4 2 + 2n n=1 n + 3n
a ; 几何级数 ∑ aq 当q < 1时收敛 , 其和为 1 q n =1 当 q ≥ 1时发散 . 时发散
n 1
其中a ≠ 0, q ≠ 0.
∞
1 1 1 例2 判别级数 + ++ + 1 6 6 11 ( 5 n 4 )( 5 n + 1) 的敛散性 .
1 例 3 证明调和级数 ∑ 发散 . n =1 n
∞
二,无穷级数的基本性质
性质 1
设 A 为非零常数 , 则级数
n =1
∑ Au n 与级数 ∑ u n
n =1
∞
∞
同时收敛或同时发散 , 且同时收敛时 , 有
n =1
∑ Au n
∞
= A ∑ un
n =1
∞
说明: 级数各项乘以非零常数 非零常数后其敛散性不变 说明 级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 .
三,级数收敛的必要条件
性质 5 (级数收敛的必要条件 ), 如果级数
n =1
∑ u n 收敛 ,
∞
则其一般项 u n 收敛于零 , 即有 lim u n = 0
并非级数收敛的充分条件. 注意: lim 注意 n→∞ un = 0 并非级数收敛的充分条件 例如, 调和级数 例如 虽然 但此级数发散 .
1n 1 1 = ∑ 2 k=1 k(k + 1) (k + 1)(k + 2)
进行拆项相消
1 1 1 = 2 1 2 (n + 1)(n + 2)
11 1 (2) 其和为 . ∴lim Sn = , 这说明原级数收敛 , ∑ 3 n→∞ 4 4 2 + 2n n=1 n + 3n
a ; 几何级数 ∑ aq 当q < 1时收敛 , 其和为 1 q n =1 当 q ≥ 1时发散 . 时发散
n 1
其中a ≠ 0, q ≠ 0.
∞
1 1 1 例2 判别级数 + ++ + 1 6 6 11 ( 5 n 4 )( 5 n + 1) 的敛散性 .
1 例 3 证明调和级数 ∑ 发散 . n =1 n
∞
二,无穷级数的基本性质
性质 1
设 A 为非零常数 , 则级数
n =1
∑ Au n 与级数 ∑ u n
n =1
∞
∞
同时收敛或同时发散 , 且同时收敛时 , 有
n =1
∑ Au n
∞
= A ∑ un
n =1
∞
说明: 级数各项乘以非零常数 非零常数后其敛散性不变 说明 级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 .
三,级数收敛的必要条件
性质 5 (级数收敛的必要条件 ), 如果级数
n =1
∑ u n 收敛 ,
∞
则其一般项 u n 收敛于零 , 即有 lim u n = 0
并非级数收敛的充分条件. 注意: lim 注意 n→∞ un = 0 并非级数收敛的充分条件 例如, 调和级数 例如 虽然 但此级数发散 .
12.1 常数项级数的概念和性质
敛的（具体解释见课本 253、254 页） 。
2．级数的部分和：级数 un 的前 n 项的和
n 1
sn u1 u2 u3 un ui
i 1
n
称为级数 un 的部分和。
n 1
例： s1 u1 ， s2 u1 u2 ， s3 u1 u2 u3 。
3．级数的收敛与发散：对于级数 un ，
注 2：一般来说，一般项的极限为 0 不能保证级数一定为收敛的，即：
lim un 0 级数 un 收敛
n
n 1
比方说，虽然 lim
1 1 1 1 lim 2 0 ，但是，级数 是发散的，而级数 2 是收 n n n n n 1 n n 1 n
第一节 常数项级数的概念和性质
1．常数项无穷级数：给定一个数列 u1 , u2 , u3 , , un , ，则称
u
n 1
n
u1 u2 u3 un
为常数项无穷级数，记为 un ，简称为级数，且将数列 u1 , u2 , u3 , , un , 中的第
1 1 2n
1 对部分和 sn 取极限，得： lim sn lim 1 n n n 2
1
1 1 1 1 1 1 1 1 于是，级数 n 是收敛的，且 n 1 2 4 8 2 2 4 8 2
例 3：考虑级数
1 1 1 1 的收敛性。 1 2 2 3 3 4 n(n 1) 1 1 1 ，从而级数的部分和为 n(n 1) n n 1
该级数的一般项为 un
sn
高等数学@12.1 级数概念与性质
n0
（1）当|q|
<1时，收敛，其和为
1
a
q
（2）当|q|≥1时，发散
如：
n0
5 3n
,
收敛
(1)n
n0 2n , 收敛
(2)n
n0
发散
思考(2)：级数 1 1 1 1 1 是否收敛？
n1 n
23
n
S
n
1
1 2
1 3
(1)
lim
n
un
0
则 un 发散。
n1
(2)若加括号后的级数发散， 则原级数必发散。
(3)若级数 un 收敛， vn 发散
n1
n1
则级数 (un vn ) 必发散
n1
(4) 级数 kun与 un 收敛性相同 (k 0)
n1
n1
(5) 级数 un 与 un 收敛性相同。
收敛，则
lnimun
0
（必要条件）
问题
1.若
lim
n
un
0
则 un 发散
n1
2.若
lim
n
un
0
则 un
n1
未必收敛
如 1 n1 n
性质1 若常数k≠0，则级数 un 与 kun 收敛性相同.
n1
n1
证 设 Sn u1 u2 un
1. 级数收敛的性质：
（1）常数 k≠0，级数 un与 kun同敛散。
微积分 第九章 第一节 常数项级数的概念与性质
1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 2448888 2
子
序
列
无极
限
，
所
以lim n
sn不
存
在
，
级
数
发散.
二、级数的基本性质
性质1
如果级数 un 收敛,则 kun 亦收敛，且有
n1
n1
kun k un .
思考：可逆吗？
n1
n1
性质2 如果级数 un 、 vn 都收敛,则 (un vn )
连续复利计算利息，则该合同的现值等于多少？
解 （1）以年复利计算利息
总的现值
3
3 1.05
3 1.052
3 1.05n
63（百万元）
（2）以连续复利计算利息
总的现值 3 3e0.05 3(e0.05 )2
61.5（百万元）
齐诺悖论——阿基里斯与乌龟
公元前5世纪，以诡辩著称的古希腊哲学家齐诺(Zeno) 用他的无穷、连续以及部分和的知识，引发出以下著名的 悖论：
3n
n1
1
3
1
1 4
3
4
n1 4n2 1
n1
2 2n
1
2 2n
1
sn
2
2 3
2 3
2 5
2 2n 1
2 2n 1
2 2 2n 1
n1
4 4n2
1
lim
n
sn
2
原级数收敛，且其和为 3 . 4
性质3 去掉、添加或改变级数中的有限项,不会影 响它的敛散性(但收敛级数的和可能要改变).
第一节 常数项级数的概念与性质
一、问题的提出
子
序
列
无极
限
，
所
以lim n
sn不
存
在
，
级
数
发散.
二、级数的基本性质
性质1
如果级数 un 收敛,则 kun 亦收敛，且有
n1
n1
kun k un .
思考：可逆吗？
n1
n1
性质2 如果级数 un 、 vn 都收敛,则 (un vn )
连续复利计算利息，则该合同的现值等于多少？
解 （1）以年复利计算利息
总的现值
3
3 1.05
3 1.052
3 1.05n
63（百万元）
（2）以连续复利计算利息
总的现值 3 3e0.05 3(e0.05 )2
61.5（百万元）
齐诺悖论——阿基里斯与乌龟
公元前5世纪，以诡辩著称的古希腊哲学家齐诺(Zeno) 用他的无穷、连续以及部分和的知识，引发出以下著名的 悖论：
3n
n1
1
3
1
1 4
3
4
n1 4n2 1
n1
2 2n
1
2 2n
1
sn
2
2 3
2 3
2 5
2 2n 1
2 2n 1
2 2 2n 1
n1
4 4n2
1
lim
n
sn
2
原级数收敛，且其和为 3 . 4
性质3 去掉、添加或改变级数中的有限项,不会影 响它的敛散性(但收敛级数的和可能要改变).
第一节 常数项级数的概念与性质
一、问题的提出
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计算圆的面积
R
正六边形的面积 a 1
正十二边形的面积
正 32n形的面积
a a1 1 a a2 2 a n
即 A a 1a 2 a n
1.级数的定义
一般项
unu1u2u3 un
n1
—— (常数项)无穷级数
级数的部分和
n
Snu1u2 un ui i1
部分和数列
S1 u1, S2u1u2, S3u1u2u3, ,
n0
如 果| q| 1，
当q1时, Snna 发散
当q1时, 级 数a 变 aa为 a
ln im Sn不存,在发散
a
综上所述,
aqn
n0
当|q|1时,收 当|q|1时,发
敛1 散
q
齐诺悖论——阿基里斯与乌龟
公元前5世纪，以诡辩著称的古希腊哲学家齐诺(Zeno) 用他的无穷、连续以及部分和的知识，引发出以下著名的 悖论：
n1
性质3 去掉、添加或改变级数中的有限项,不会影 响它的敛散性(但收敛级数的和可能要改变).
因为部分和数列只相差一个常数.
性质4 收敛级数任意加括号后仍收敛,且其和不变.
n
证 记 级 数u n的 部 分 和 数 列 为 S n u k,
n 1
k 1
加 括 号 后 的 级 数 的 部 分 和 数 列 记 为 { A n } ,
例6 已 知 ( 1 )n 1 u n 2 , u 2 n 1 5,求 u n.
n 1
n 1
n 1
解
(u2n1u2n)8, 记 Snu 1u 2 u n，
n1
所以 ln i m S2n 8,
由性质2，
llnn iim m SS22nn1 SSln im Sn S
(1)n1un 2 ln im un0,
如此分析下去，显然阿基里斯离乌龟越来越近，但却是 永远也追不上乌龟的.这个结论显然是错误的，但奇怪的是， 这种推理在逻辑上却没有任何毛病.那么，问题究竟出在哪儿 呢？
如果我们从级数的角度来分析这个问题,齐诺的这个悖论
就会不攻自破.
设乌龟的速度为v,则阿基里斯的速度为10v,他跑完1000米所化
的时间为100010,0在这段时间里,乌龟又爬了v10010米 0,
n 1
n 1
n 1
解 由性质3， (1)n1un 2 (u2n1u2n)2,
n1
n1
由性质2， u 2 n [u2n1(u2n1u2n)]
n1
n1
u2n1 (u2n1u2n)523,
n1
n1
所以 (u2n1 u2n) u2n1 u2n 8 ,
n1
n1
n1
注意：不能去括号
例如，( u 1 u 2 ) ( u 3 u 4 u 5 ) ( u 6 u 7 u 8 u 9 )
A1 S2, A2 S5, A3 S9,
性质4 收敛级数任意加括号后仍收敛,且其和不变.
续证 则 { A n } 实 际 上 是 { S n } 的 一 个 子 数 列 ,
故 由 { S n } 的 收 敛 性 可 知 { A n } 的 收 敛 性 , 且 其 极 限 不 变 .
1 n0 ( 3n
5 4n
)
n0
1 3n
5
n0
1 4n
1 1 1
5 1 1
49 6
.
34
例5 判断下列级数的敛散性：
2.123 1100 0n 15 1n
收敛；
3. 1 1 1 1 1 1
2 4 6 2n
2 n1 n
发散.
例6 已 知 ( 1 )n 1 u n 2 , u 2 n 1 5,求 u n.
n1
所以 于是
lnim S2n1 ln i m (S2nu2n) 8 ,
un
n1
ln im Sn
8.
练习：
P251 习题七
Snu 1u 2 u n,
2.级数的收敛与发散
当 n 时,如果级数 un 的部分和数列 Sn 有极限 S ,
n1
即 ln i m SnS,则 称 无 穷 级 数u n收 敛 , n 1
这 时 极 限 S叫 做 级 数un的 和 ， 并 写 成
n1
un S
n1
如 果 数 列 {S n }没 有 极 限 , 则 称 无 穷 级 数u n发 散 .
10v v
v
阿基里斯为跑完这段路又花费时间10010,此时乌龟又在他前面 10v v
10米处,……,依次类推,阿基里斯需要追赶的全部路程为
10 1 00 0 10 0
这 是 一 个 公 比 为 q 1 1 的 几 何 级 数 , 易 求 得 它 的 和 为 10
1 0 0 0 1 0 0 001 1 111，
如此分析下去，显然阿基里斯离乌龟越来越近，但却是 永远也追不上乌龟的.这个结论显然是错误的，但奇怪的是， 这种推理在逻辑上却没有任何毛病.那么，问题究竟出在哪儿 呢？
第一节 常数项级数的概念与性质
无穷级数是高等数学的一个重要组成部分, 它是表示函数、研究函数的性质以及进行数值 计算的一种工具.
一、级数的基本概念
第七章 无穷级数
齐诺悖论——阿基里斯与乌龟
公元前5世纪，以诡辩著称的古希腊哲学家齐诺(Zeno) 用他的无穷、连续以及部分和的知识，引发出以下著名的 悖论：
如果让阿基里斯(Achilles,古希腊神话中善跑的英雄) 和乌龟之间举行一场赛跑，让乌龟在阿基里斯前头1000米开 始，假定阿基里斯能够跑得比乌龟快10倍，也永远追不上乌 龟.齐诺的理论依据是：当比赛开始的时候，阿基里斯跑了 1000米，此时乌龟仍然前于他100米；当阿基里斯跑了下一 个100米时，乌龟仍然前于他10米，……
思考：可逆吗？
n1
n1
性质2 如 果 级 数u n、vn都 收 敛 , 则(u n vn )
n 1 n 1
n 1
也收敛,且有 （ unvn) un vn.
n1
n1
n1
由级数收敛的定义，以及极限的性质，不难证明.
说明：
( 1 )不 能 由 (u n v n )收 敛 推 出 u n、 v n收 敛 ；
例2
讨论无穷级数
11 1
1335 (2n1)(2n1)
的收敛性. 解 un(2n1)1(2n1)12(2n112n11),
S n11 331 5 (2n1)1 (2n1)
1 ( 1 1 ) 1 ( 1 1 ) 1 (11) 2 32 35 2 2 n 12 n 1
1 (1
1
)1 (n) ,
说明： 1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散.
例1 如 2 3 ( 1 )n 1 n
234
n 1
|un|1, 所u 以 n0, 级数发散；
再 ， c如 o c s 2
o c s 4
o 8 s co 2 n s
limco2sn 10,
级数发散.
2.必要条件不充分.
若 ln i u m n 0 , 级 数 却 不 一 定 收 敛 .
如果让阿基里斯(Achilles,古希腊神话中善跑的英雄) 和乌龟之间举行一场赛跑，让乌龟在阿基里斯前头1000米开 始，假定阿基里斯能够跑得比乌龟快10倍，也永远追不上乌 龟.齐诺的理论依据是：当比赛开始的时候，阿基里斯跑了 1000米，此时乌龟仍然前于他100米；当阿基里斯跑了下一 个100米时，乌龟仍然前于他10米，……
2 2n1 2
级数收 , 且敛和1为 . 2
例3 讨 论 级 数ln1(1)的 敛 散 性 .
n1
n
解
un
ln(1
1) n
lnn(1)lnn,
所以
S n l2 n l1 n l3 n l2 n ln n 1 ) l (n n
lnn(1) n
所以级数发散.
例4 证明调和级数 1111 1,
n 1
n 1 n 1
( 2 )若u n收 敛 , 而 v n发 散 , 则 (u n v n )必 发 散 .
n 1
n 1
n 1
证 假设 (unvn)收敛,由vn(unvn)un,
n1
而已知 un 收敛, 由上述性质得 vn 收敛,矛盾.
n1
n1
所以 (unvn) 发散.
n1n 2 3
n
证
S2nSnn1 1n 12 2 1 n 2nn
1 2
,
假设调和级数收敛，其和为S .
于是 ln im （S2n Sn）SS 0 , 便有 01 (n), 矛盾， 级数发散.
2
二、级数的基本性质
性质1
如 果 级 数u n收 敛 ,则knu 亦 收 敛 ， 且 有
n1
n 1
kun kun .
若 级 数u n收 敛 ,则 必 有 ln i m u n0. n1
证明 unSnSn1, ln im Sn S，
ln i u m nln i (m S nS n 1)ln i m Snln i m Sn1 SS 0 .
若 级 数u n收 敛 ,则 必 有 ln i m u n0. n1
n 1
例1 讨论等比级数(几何级数)
anq aa qa2q anq1，
S na a q a2 q an q 1 a
aq 1q
n
，
当|q|1时, limqn0 n
a ln i m Sn 1q
收敛
当|q|1时,
limqn
n
ln im Sn
发散
anq aa qa2q anq (a0)
如 l n1( 1) :ln1(1)0(n), 但级数发散.