专题 25 配方法--拔高题
人教版九年级数学上《配方法》拔高练习
《配方法》拔高练习一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）用配方法解方程x2﹣6x+7＝0，将其化为（x+a）2＝b的形式，正确的是（）A．（x+3）2＝2B．（x﹣3）2＝16C．（x﹣6）2＝2D．（x﹣3）2＝2 2．（5分）用配方法解一元二次方程x2+4x+1＝0，下列变形正确的是（）A．（x﹣2）2﹣3＝0B．（x+4）2＝15C．（x+2）2＝15D．（x+2）2＝3 3．（5分）用配方法解方程x2﹣8x+2＝0，则方程可变形为（）A．（x﹣4）2＝5B．（x+4）2＝21C．（x﹣4）2＝14D．（x﹣4）2＝8 4．（5分）下列方程配方正确的是（）A．x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣1B．x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣4C．y2﹣2y﹣2＝（y﹣1）2+1D．y2﹣6y+1＝（y﹣3）2﹣85．（5分）用配方法解方程x2﹣8x+5＝0，将其化为（x+a）2＝b的形式，正确的是（）A．（x+4）2＝11B．（x+4）2＝21C．（x﹣8）2＝11D．（x﹣4）2＝11二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）将一元二次方程x2+2x﹣1＝0化成（x+a）2＝b的形式，其中a，b是常数，则a ＝，b＝．7．（5分）用配方法将x2﹣8x﹣1＝0变形为（x﹣4）2＝m，则m＝．8．（5分）把方程x2+2x﹣5＝0配方后的方程为．9．（5分）一元二次方程x2﹣8x﹣1＝0配方后可变形为．10．（5分）方程4x2﹣4x+1＝0的解为．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）（1）解不等式组：（2）解方程2x2﹣4x﹣1＝012．（10分）解方程．（1）（x﹣1）2﹣4＝0（2）x2﹣2x﹣2＝0（3）x2﹣6x+9＝013．（10分）解一元二次方程：4x2＝4x﹣1．14．（10分）小明在解方程x2﹣2x﹣1＝0时出现了错误，其解答过程如下：x2﹣2x＝﹣1（第一步）x2﹣2x+1＝﹣1+1（第二步）（x﹣1）2＝0（第三步）x1＝x2＝1（第四步）（1）小明解答过程是从第步开始出错的，其错误原因是；（2）请写出此题正确的解答过程．15．（10分）解方程：x2﹣2x＝4．《配方法》拔高练习参考答案与试题解析一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）用配方法解方程x2﹣6x+7＝0，将其化为（x+a）2＝b的形式，正确的是（）A．（x+3）2＝2B．（x﹣3）2＝16C．（x﹣6）2＝2D．（x﹣3）2＝2【分析】移项，配方，即可得出选项．【解答】解：x2﹣6x+7＝0，x2﹣6x＝﹣7，x2﹣6x+9＝﹣7+9，（x﹣3）2＝2，故选：D．【点评】本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键．2．（5分）用配方法解一元二次方程x2+4x+1＝0，下列变形正确的是（）A．（x﹣2）2﹣3＝0B．（x+4）2＝15C．（x+2）2＝15D．（x+2）2＝3【分析】移项，配方，即可得出选项．【解答】解：x2+4x+1＝0，x2+4x＝﹣1，x2+4x+4＝﹣1+4，（x+2）2＝3，故选：D．【点评】本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键．3．（5分）用配方法解方程x2﹣8x+2＝0，则方程可变形为（）A．（x﹣4）2＝5B．（x+4）2＝21C．（x﹣4）2＝14D．（x﹣4）2＝8【分析】移项，配方，即可得出选项．【解答】解：x2﹣8x+2＝0，x2﹣8x＝﹣2，x2﹣8x+16＝﹣2+16，（x﹣4）2＝14，故选：C．【点评】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．4．（5分）下列方程配方正确的是（）A．x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣1B．x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣4C．y2﹣2y﹣2＝（y﹣1）2+1D．y2﹣6y+1＝（y﹣3）2﹣8【分析】利用配方法解一元二次方程的方法将四个选项中的一元二次方程进行变形，由此即可得出结论．【解答】解：A、∵x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2，故错误；B、x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3，故错误；C、∵y2﹣2y﹣2＝（y﹣1）2﹣3，故错误；D、∵y2﹣6y+1＝（y﹣3）2﹣8＝0，故正确．故选：D．【点评】本题考查了解用配方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握配方法解一元二次方程的方法．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟练掌握一元二次方程的解法是关键．5．（5分）用配方法解方程x2﹣8x+5＝0，将其化为（x+a）2＝b的形式，正确的是（）A．（x+4）2＝11B．（x+4）2＝21C．（x﹣8）2＝11D．（x﹣4）2＝11【分析】把常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，把方程变化为左边是完全平方的形式．【解答】解：x2﹣8x+5＝0，x2﹣8x＝﹣5，x2﹣8x+16＝﹣5+16，（x﹣4）2＝11．故选：D．【点评】本题考查一元二次方程的配方法，解题的关键是熟练运用配方法，本题属于基础题型．二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）将一元二次方程x2+2x﹣1＝0化成（x+a）2＝b的形式，其中a，b是常数，则a ＝1，b＝2．【分析】方程常数项移到右边，两边加上1，变形得到结果，即可确定出a与b的值．【解答】解：方程x2+2x﹣1＝0，变形得：x2+2x＝1，配方得：x2+2x+1＝2，即（x+1）2＝2，则a＝1，b＝2．故答案为：1，2．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．7．（5分）用配方法将x2﹣8x﹣1＝0变形为（x﹣4）2＝m，则m＝17．【分析】将方程的常数项移到右边，两边都加上16，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．【解答】解：x2﹣8x﹣1＝0，移项得：x2﹣8x＝1，配方得：x2﹣8x+16＝17，即（x﹣4）2＝17．所以m＝17．故答案为17．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，用配方法解一元二次方程的步骤：（1）形如x2+px+q＝0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．（2）形如ax2+bx+c＝0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q＝0，然后配方．8．（5分）把方程x2+2x﹣5＝0配方后的方程为（x+1）2＝6．【分析】移项后配方，再变形，即可得出答案．【解答】解：x2+2x﹣5＝0，x2+2x＝5，x2+2x+1＝5+1，（x+1）2＝6，故答案为：（x+1）2＝6．【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键，有直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法等．9．（5分）一元二次方程x2﹣8x﹣1＝0配方后可变形为（x﹣4）2＝17．【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上16，然后把方程左边写成完全平方形式即可．【解答】解：x2﹣8x＝1，x2﹣8x+16＝17，（x﹣4）2＝17，故答案为（x﹣4）2＝17．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．10．（5分）方程4x2﹣4x+1＝0的解为x1＝x2＝．【分析】方程的左边是完全平方式，则方程即可变形成（2x﹣1）2＝0，再利用直接开平方法即可求解．【解答】解：∵4x2﹣4x+1＝0，∴（2x﹣1）2＝0，则2x﹣1＝0，解得：x1＝x2＝，故答案为：x1＝x2＝．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）（1）解不等式组：（2）解方程2x2﹣4x﹣1＝0【分析】（1）先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．（2）移项，系数化成1，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：（1），解不等式①，得x≥﹣1．解不等式②，得x＜3．则原不等式的解集为：﹣1≤x＜3．（2）2x2﹣4x﹣1＝0，2x2﹣4x＝1，x2﹣2x＝，配方得：x2﹣2x+1＝+1，（x﹣1）2＝，开方得：x﹣1＝，解得：x1＝，x2＝．【点评】考查了配方法解一元二次方程和解一元一次不等式组，选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．12．（10分）解方程．（1）（x﹣1）2﹣4＝0（2）x2﹣2x﹣2＝0（3）x2﹣6x+9＝0【分析】（1）移项后开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）先求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可；（3）先分解因式，再开方，即可得出一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：（1）（x﹣1）2﹣4＝0（x﹣1）2＝4，x﹣1＝±2，x1＝﹣1，x2＝3；（2）x2﹣2x﹣2＝0，b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣2）＝12，x＝，x1＝1+，x2＝1﹣；（3）x2﹣6x+9＝0，（x﹣3）2＝0，x﹣3＝0，即x1＝x2＝3．【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．13．（10分）解一元二次方程：4x2＝4x﹣1．【分析】方程化成一般式后，左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解；【解答】解：原方程可化为：4x2﹣4x+1＝0∴（2x﹣1）2＝0，解得：x1＝x2＝．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握解方程的方法是解本题的关键．14．（10分）小明在解方程x2﹣2x﹣1＝0时出现了错误，其解答过程如下：x2﹣2x＝﹣1（第一步）x2﹣2x+1＝﹣1+1（第二步）（x﹣1）2＝0（第三步）x1＝x2＝1（第四步）（1）小明解答过程是从第一步开始出错的，其错误原因是不符合等式的性质1；（2）请写出此题正确的解答过程．【分析】（1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上9，然后把方程左边写成完全平方的形式即可；（2）先把方程两边加上1，再把方程两边加上1，利用完全平方公式得到（x﹣1）2＝2，然后利用直接开平方法解方程．【解答】解：（1）小明解答过程是从第一步开始出错的，因为把方程两边都加上1时，方程右边为1．故答案为一；不符合等式性质1；（1）x2﹣2x＝1，x2﹣2x+1＝2，（x﹣1）2＝2，x﹣1＝±，所以x1＝1+，x2＝1﹣．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．15．（10分）解方程：x2﹣2x＝4．【分析】利用配方法得到（x﹣1）2＝5，然后利用直接开平方法解方程．【解答】解：x2﹣2x+1＝5，（x﹣1）2＝5，x﹣1＝±，所以x1＝1+，x2＝1﹣．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．。
一元二次方程配方法专项练习
一元二次方程的解法（2）——配方法一选择题1.用配方法解一元二次方程x 2−4x=5时，此方程可变形为（ ）A. (x+2)2=1B. (x −2)2=1C. (x+2)2=9D. (x −2)2=92.用配方法解方程x 2+4x+1=0，配方后的方程是（ ）A. （x+2）2=3B. （x-2）2=3C. （x-2）2=5D. （x+2）2=53.方程x 2+2x −1=0的两个根为( )A. x 1=1+2x 2=1−2B. x 1=2，x 2=−2C. x 1=−1+2，x 2=−1−2D. x 1=2+1，x 2=2−14.方程x 2+4x=2的正根为（ ）A. 2−6B. 2+6C. −2−6D. −2+65.用配方法解一元二次方程x 2−4x=5时，此方程可变形为（ ）A. (x+2)2=1B. (x −2)2=1C. (x+2)2=9D. (x −2)2=96．如果用配方法将20mx n x -+=变形为()217x -=-的形式，那么m 、n 的值分别为 （ ）A. m=-2，n=6 B ．m=-2，n=8 C ．m=2，n=6 D ．m=2，n=8二、填空题1．用配方法解方程2420x x -+=，可以变形为 ．2．方程25302x x --=的实数根是 ．3．当m= 时，22160mx x ++=是完全平方式．4．若x=0是一元二次方程()2223280m x m x m -+++-=的实数根，则m= ．5.x 2+6x+______=(x+______)26.若把方程x 2−4x=6化成(x+m)2=n 的形式，则m+n=______.三、解答题1．用配方法解下列方程：(1) 2520x x --=； (2) 2670x x +-=：(3) 27402x x +-=； (4) 2443x x -=．2．等腰三角形的底和腰是方程2680x x -+=的实数根，求这个三角形的周长．3．用配方法证明：无论x 为何值时，2123130x x --=的值恒小于0．4阅读并解答问题：配方法可以用来解一元二次方程,还可以用它来解决很多问题。
配方法解方程练习题及答案
配方法解方程练习题及答案解方程是数学中的基础内容，也是数学中的重要部分之一。
配方法解方程是一种常用的解方程的方法，它适用于一些特定的方程。
在本文中，我们将介绍一些配方法解方程的练习题，并提供答案以帮助大家巩固和加深理解。
一、配方法解一元二次方程练习题1. 解方程：x^2 - 5x + 6 = 0解答：首先，我们观察方程的系数，发现a=1，b=-5，c=6。
根据配方法解方程的步骤：Step 1: 计算b^2 - 4ac= (-5)^2 - 4(1)(6)= 25 - 24= 1Step 2: 如果b^2 - 4ac > 0，则方程有两个不相等的实数解。
计算并求解。
计算：x_1 = (-b + √(b^2 - 4ac)) / (2a)= (-(-5) + √(1)) / (2(1))= (5 + 1) / 2= 3计算：x_2 = (-b - √(b^2 - 4ac)) / (2a)= (-(-5) - √(1)) / (2(1))= (5 - 1) / 2= 2因此，方程x^2 - 5x + 6 = 0的实数解为x = 3和x = 2。
2. 解方程：2x^2 + 5x + 2 = 0解答：观察方程的系数，发现a=2，b=5，c=2。
根据配方法解方程的步骤：Step 1: 计算b^2 - 4ac= (5)^2 - 4(2)(2)= 25 - 16= 9Step 2: 如果b^2 - 4ac > 0，则方程有两个不相等的实数解。
计算并求解。
计算：x_1 = (-b + √(b^2 - 4ac)) / (2a)= (-(5) + √(9)) / (2(2))= (-5 + 3) / 4= -1/2计算：x_2 = (-b - √(b^2 - 4ac)) / (2a)= (-(5) - √(9)) / (2(2))= (-5 - 3) / 4= -2因此，方程2x^2 + 5x + 2 = 0的实数解为x = -1/2和x = -2。
配方法计算专题
配方法计算专题配方法可是数学里超有趣的一个小技能呢！那啥是配方法呢？简单来说，就是把一个式子或者一个等式，通过加上或者减去一些数，让它变成一个完全平方式。
就像变魔术一样哦！比如说对于二次函数\(y = ax^{2}+bx + c\)（\(a\neq0\)），我们就可以用配方法把它变成\(y=a(x + h)^{2}+k\)的形式。
具体咋做呢？1. 先提出二次项系数\(a\)。
就像\(ax^{2}+bx + c=a(x^{2}+\frac{b}{a}x)+c\)。
2. 然后在括号里加上和减去一次项系数一半的平方。
\(x^{2}+\frac{b}{a}x\)，一次项系数一半就是\(\frac{b}{2a}\)，那它的平方就是\((\frac{b}{2a})^{2}\)，式子就变成\(a(x^{2}+\frac{b}{a}x + (\frac{b}{2a})^{2}-(\frac{b}{2a})^{2})+c\)。
3. 把前三项写成完全平方式\(a((x + \frac{b}{2a})^{2}-(\frac{b}{2a})^{2})+c\)，然后再化简一下就好啦。
再举个简单的例子吧，比如\(x^{2}+6x + 5 = 0\)。
1. 先看\(x^{2}+6x\)，一次项系数\(6\)，一半是\(3\)，它的平方是\(9\)。
2. 就在式子上加上和减去\(9\)，变成\(x^{2}+6x+9 - 9+5 = 0\)。
3. 前三项写成\((x + 3)^{2}\)，式子就成了\((x + 3)^{2}-4 = 0\)，这样就很容易求解\(x\)啦。
下面来做几道练习题吧，每题20分哦。
1. 用配方法解方程\(x^{2}-4x - 5 = 0\)。
•首先把\(x^{2}-4x\)拿出来，一次项系数\(-4\)，一半是\(-2\)，平方是\(4\)。
•式子变成\(x^{2}-4x+4 - 4 - 5 = 0\)。
初三配方法例题20道
初三配方法例题20道题目一某班有35名学生，其中男生和女生的人数比为4：5，那么男生和女生各有多少人？解析：设男生人数为4x，女生人数为5x。
根据题目可得：4x + 5x = 35 解得：x = 7 所以男生人数为4x = 4 * 7 = 28人，女生人数为5x = 5 * 7 = 35人。
题目二某校举行篮球比赛，男生和女生共有60人参加比赛，男生人数比女生人数多8人，那么男生和女生各有多少人参加比赛？解析：设女生人数为x，男生人数为x + 8。
根据题目可得：x + (x + 8) = 60 解得：2x + 8 = 60 解得：2x = 52 解得：x = 26 所以女生人数为26人，男生人数为26 + 8 = 34人。
题目三某班共有40人，男生和女生的人数比为2：3，那么男生和女生各有多少人？解析：设男生人数为2x，女生人数为3x。
根据题目可得：2x + 3x = 40 解得：5x = 40 解得：x = 8 所以男生人数为2x = 2 * 8 = 16人，女生人数为3x = 3 * 8 = 24人。
题目四一群人分成4组，每组人数相等，共有36人，那么每组有多少人？解析：设每组人数为x。
根据题目可得：4x = 36 解得：x = 9 所以每组有9人。
题目五一群人分成3组，每组人数相等，共有30人，那么每组有多少人？解析：设每组人数为x。
根据题目可得：3x = 30 解得：x = 10 所以每组有10人。
题目六一群人分成5组，每组人数相等，共有40人，那么每组有多少人？解析：设每组人数为x。
根据题目可得：5x = 40 解得：x = 8 所以每组有8人。
题目七某班共有48人，男生和女生的人数比为2：3，那么男生和女生各有多少人？解析：设男生人数为2x，女生人数为3x。
根据题目可得：2x + 3x = 48 解得：5x = 48 解得：x = 9.6 由于人数必须为整数，所以x不能为小数。
因此不能找到满足题目条件的解。
配方法及其应用(题目)
配方法及其应用(题目)配方法及其应用一、配方法配方法是恒等变形的重要手段，也是求最大最小值的常用方法，在数学中有广泛的应用。
它是对数学式子进行一种定向变形的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。
何时需要使用配方需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。
有时也将其称为“凑配法”。
二、基本配方配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²。
将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：a²+b²=(a+b)²-2ab=(a-b)²+2ab；a+ab+b=(a+b)-ab=(a-b)+3ab=(a+3b)/2+(b+3a)/2；a²+b²+c²+ab+bc+ca=[(a+b)²+(b+c)²+(c+a)²]。
三、应用实例1.求字母的值已知a，b满足a+2b-2ab-2b+1=0，求a+2b的值。
分析：可将含a,b的方程化为两个非负数和为0的形式，从而求出两个未知数的值。
解：a+2b-2ab-2b+1=0，整理得到(a-b)+(b-1)=0.因为(a-b)≥0，(b-1)≥0，所以a-b=0，b-1=0.解得a=1，b=1，因此a+2b=3.变式练：1.已知x²y²+x²+4xy+13=6x，求x和y的值。
解：将方程变形为(x²+4x+4)(y²+1)=25，整理得到(x+2)²(y²+1)=25.因为x，y为实数，所以(x+2)²和(y²+1)都是非负数，所以(x+2)²=1或25，(y²+1)=1或25.当(x+2)²=1时，解得x=-3或-1；当(x+2)²=25时，解得x=-7或3.将x的四个解代入原方程，可得y的四个解为-3，-1，1/2，3/2.因此，方程的解为(-3,-3)，(-1,-1)，(3/2,-1/2)，(1/2,3/2)。
(完整版)初中数学竞赛专题选讲-配方法(含答案)
初中数学竞赛专题［配方法］一、内容提要1. 配方：这里指的是在代数式恒等变形中，把二次三项式a2土2ab+b2写成完全平方式(a土b) 2.有时需要在代数式中添项、折项、分组才能写成完全平方式.常用的有以下三种：①由a +b配上2ab, ②由 2 ab 配上a +b ,③由a2土2ab配上b2.2. 运用配方法解题，初中阶段主要有：①用完全平方式来因式分解例如：把x4+4因式分解.2 2 2 2 2母乱=x +4 + 4x — 4x =(x +2) — 4x = ...........这是由a2+b2配上2ab.②二次根式化简常用公式：福|a ,这就需要把被开方数写成完全平方式.例如：化简、一5一2 6.我们把5-2*写成2 - 2逐+ 3=(克V - ^ 2^3 + (V3)2=(V2 —V3 ).这是由2 ab配上a2+b2.③求代数式的最大或最小值，方法之一是运用实数的平方是非负数，零就是最小值.即a >0, .,•当a=0时, a2的值为0是最小值.例如：求代数式a2+2a — 2的最值... a2+2a— 2= a2+2a+1 - 3=(a+1) 2- 3当a=— 1时,a +2a— 2有最小值—3.这是由a2土2ab配上b2④有一类方程的解是运用几个非负数的和等于零，则每一个非负数都是零，有时就需要配方.例如：：求方程x2+y2+2x-4y+5=0的解x, y.解：方程x2+y2+2x-4y+1 + 4= 0.配方的可化为(x+1) 2+(y - 2) 2=0.要使等式成立，必须且只需x 1 0y 2 0x 1 y2解得此外在解二次方程中应用根的判别式，或在证明等式、不等式时，也常要有配方的知识和技巧.二、例题2 2 2 2例 1.因式分解：a b —a +4ab— b +1.解：a b — a +4ab — b +1 = a b +2ab+1+( — a +2ab — b ) (折项，分组)=(ab+1 ) 2 - (a - b)：(配方)= (ab+1+a-b ) (ab+1-a+b) (用平方差公式分解)本题的关键是用折项，分组，树立配方的思想^例2.化简下列二次根式：①J7 5 ；②*2焰；③了10时3 2豆. 解：化简的关键是把被开方数配方①(7 4>/3 = J4 2 2/3 3 = J(2 V3)2=2 < 3 = 2 + 43.②户=居=疗=\吁<2（73 1）=无V2 2 . 2③\；10 4^3 2龙=寸10 4》（。
初中数学竞赛奥数培优资料第二辑专题25 配方法
【例 6】 已知自然数 n 使得 n2 19n 91 为完全平方数，求 n 的值.
(“希望杯”邀请赛试题)
解题思路：原式中 n 的系数为奇数，不能直接配方，可想办法化奇为偶，解决问题.
能力训练
1、计算 10+8 3+2 2 =_________.
(“希望杯”邀请赛试题)
2、已知 a2 b2 c2 2(a b c) 3 0 ，则 a3 b3 c3 3abc _________ .
(全国初中数学联赛试题)
解题思路：通过引元，把不满意的总分用相关字母的代数式表示，解题的关键是对这个 代数式进行恰当的配方，进而求出代数式的最小值.
把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到 增加问题条件的目的，这种解题方法叫配方法.
配方法的作用在于改变代数式的原有结构，是变形求解的一种手段；配方法的实质在于 揭示式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具.
(全国通讯赛试题)
6、若 M 10a2 b2 7a 6, N a2 b2 5a 1 ，则 M－N 的值 ( )
A、负数
B、正数
C、非负数
D、可正可负
7、计算 14 6 5 14 6 5 的值为 ( )
A、1
B、 5
C、 2 5
D、 3 5
(全国初中数学联赛试题)
8、设 a ， b , c 为实数， x a2 2b , y b2 2c , z c2 2a ，则 x，y，z 中
2
配方法在代数式的求值，解方程、求最值等方面有较广泛的应用，运用配方解题的关键 在于：
(1) 具有较强的配方意识，即由题设条件的平方特征或隐含的平方关系，如 a ( a )2 能
联想起配方法. (2) 具有整体把握题设条件的能力，即善于将某项拆开又重新分配组合，得到完全平方式.
配方法解方程练习题300道
配方法解方程练习题300道1. 通过配方法解下列方程：(a) $x^2-3x+2=0$(b) $2x^2+5x-3=0$(c) $3x^2+7x+2=0$(d) $4x^2-6x+2=0$(e) $5x^2-4x-1=0$解答：(a) $x^2-3x+2=0$可以通过配方法进行求解。
我们需要找到两个数$q$和$p$，使得它们的和等于$-3$，积等于$2$。
显然，$-2$和$-1$满足这个条件。
因此，我们可以将方程改写为$(x-2)(x-1)=0$，从而得到$x=2$和$x=1$作为方程的解。
(b) $2x^2+5x-3=0$同样可以通过配方法进行求解。
我们需要找到两个数$q$和$p$，使得它们的和等于$5$，积等于$-6$。
可以得到，$6$和$-1$满足这个条件。
因此，将方程改写为$(2x-1)(x+3)=0$，可得到$x=\frac{1}{2}$和$x=-3$作为方程的解。
(c) $3x^2+7x+2=0$可以进行配方法求解。
我们需要找到两个数$q$和$p$，使得它们的和等于$7$，积等于$6$。
可以得到，$6$和$1$满足这个条件。
将方程改写为$(3x+1)(x+2)=0$，可得到$x=-\frac{1}{3}$和$x=-2$作为方程的解。
(d) $4x^2-6x+2=0$可以通过配方法求解。
我们需要找到两个数$q$和$p$，使得它们的和等于$-6$，积等于$8$。
可以得到，$-4$和$-2$满足这个条件。
将方程改写为$(2x-1)(2x-2)=0$，可得到$x=\frac{1}{2}$和$x=1$作为方程的解。
(e) $5x^2-4x-1=0$同样可以进行配方法求解。
我们需要找到两个数$q$和$p$，使得它们的和等于$-4$，积等于$-5$。
很明显，$1$和$-5$满足这个条件。
将方程改写为$(5x+1)(x-1)=0$，我们可以得到$x=-\frac{1}{5}$和$x=1$作为方程的解。
初中数学用配方法解一元二次方程的拔高题
标题：初中数学拔高题：配方法解一元二次方程一、引言在初中数学学习中，解一元二次方程是一个重要的内容，而用配方法解一元二次方程更是一个拔高的难题。
本文将以初中数学拔高题：配方法解一元二次方程为主题，深入探讨配方法的原理、应用及解题技巧，帮助读者更全面地理解和掌握这一知识点。
二、配方法的原理和应用1. 配方法的原理在初中数学中，当一元二次方程的普通解法（如公式法、因式分解法）难以进行时，可以尝试使用配方法。
配方法的原理是利用完全平方公式，将一元二次方程转化为一个完全平方的形式，从而更容易求解未知数的值。
2. 配方法的应用配方法在实际应用中具有重要意义。
比如在物理、工程等领域，经常会遇到需要解一元二次方程的情况，而有些问题无法直接运用公式法或因式分解法求解，这时就需要用到配方法。
深入理解配方法对解决实际问题具有重要意义。
三、配方法解一元二次方程的拔高题以学习初中数学的同学为例，我们可以通过一个拔高题来深入探讨配方法的应用。
比如以下的一元二次方程：\[x^2 + 6x + 9 = 0\]这个方程看似普通，但是采用配方法后会发现并不容易求解。
我们可以通过以下步骤来解决这个拔高题：1. 对方程两边同时减去9，化为\[x^2 + 6x = -9\]2. 通过配方法转化为完全平方的形式：\[x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2\]3. 原方程变为：\[(x+3)^2 = 0\]4. 进一步得出：\[x+3 = 0\]\[x = -3\]通过以上步骤，我们成功地用配方法解决了这个拔高题，展现了配方法在解决一元二次方程中的重要作用。
四、解题技巧和个人观点在使用配方法解一元二次方程时，我们需要注意一些解题技巧。
要灵活运用完全平方公式，找出方程中的完全平方项；要注意方程中各项之间的关系，确定变形的方向。
多做练习是掌握配方法的关键。
在个人看来，配方法是解一元二次方程中的一种高级解法，能帮助我们更深入地理解方程的性质和求解方法。
初三数学配方法练习题
初三数学配方法练习题
在初三学习数学时，掌握各种解题方法是非常重要的。
为了提高数学能力并巩固知识点，以下是一些配方法练习题，帮助你更好地理解和运用不同的数学解题方法。
1. 配方法求解二次方程
解决以下二次方程，使用配方法找出x的值：
a) x^2 - 7x + 10 = 0
b) x^2 + 8x + 15 = 0
c) 2x^2 - 9x - 35 = 0
2. 配方法求解简单的因式分解
使用配方法对以下表达式进行因式分解：
a) x^2 + 4x + 4
b) x^2 - 9
3. 配方法解决分数方程
使用配方法解决下列方程：
a) (3/x) + (2/x^2) = 5
b) (x/4) - (2/(x+1)) = 1
4. 配方法解决带有开放的方程
使用配方法解决以下带有开放的方程：
a) 2√x + √2 = 6
b) √(3x + 2) + √(x + 1) = 5
5. 配方法解决其他类型的方程
使用配方法解决以下类型的方程：
a) 3x^3 - 2x^2 + x - 5 = 0
b) (x^2 - 4)/(x + 2) = 2
6. 问题解决
使用配方法解决以下实际问题：
小明乘坐火车去旅行，他发现，当速度为x时，他的旅行时间比速度为(x+10)时多1小时。
如果总行程为150公里，求速度x。
以上是一些初三数学的配方法练习题，通过这些练习，你将掌握配方法并能够灵活运用于解决各种数学问题。
记得在解题过程中将方程化简为标准形式，并准确使用配方法进行运算。
祝你能在练习中取得好成绩，提高数学能力！。
配方法练习题
配方法练习题一、选择题1. 配方法是一种将二次三项式转化为完全平方公式的方法，以下哪个表达式不能通过配方法转化为完全平方公式？A. x^2+2x+1B. x^2-4x+4C. x^2+6x+9D. x^2+10x+252. 对于二次方程x^2+8x+16=0，使用配方法解得x的值为：A. x=-4B. x=4C. x=-2D. x=23. 配方法中，将二次三项式x^2+4x+4转化为完全平方公式后，其结果为：A. (x+2)^2B. (x-2)^2C. (x+1)^2D. (x-1)^2二、填空题1. 将二次三项式3x^2-6x+2转化为完全平方公式，应添加的项是______。
2. 已知二次方程x^2-6x+5=0，使用配方法可将其转化为完全平方公式，求得x的值为______。
3. 对于二次方程x^2+2ax+b=0，配方法后得到(x+a)^2=a^2-b，当a=3，b=1时，方程的解为______。
三、计算题1. 将二次三项式2x^2-4x+1转化为完全平方公式，并求出其顶点坐标。
2. 解二次方程x^2+6x-7=0，使用配方法，并写出解方程的步骤。
3. 已知二次方程x^2-10x+24=0，通过配方法求出x的值，并验证解的正确性。
四、解答题1. 说明配方法的一般步骤，并给出一个二次三项式的例子，展示如何通过配方法将其转化为完全平方公式。
2. 讨论在什么情况下，配方法不适用于解二次方程，并给出一个例子说明。
3. 给定一个二次方程ax^2+bx+c=0，讨论如何使用配方法将其转化为完全平方公式，并求出方程的解。
五、应用题1. 一个长方形的长为x米，宽为y米，面积为20平方米。
如果长和宽都增加2米，求新的面积，并说明如何使用配方法简化计算。
2. 一个物体从静止开始下落，其下落距离s与时间t的关系为s=1/2gt^2，其中g为重力加速度。
如果物体下落了4秒，求其下落的距离，并使用配方法简化计算。
3. 一个圆的半径为r米，求圆的面积，并说明如何使用配方法将面积公式转化为完全平方公式。
数学配方法压轴题
数学配方法压轴题数学配方法压轴题通常是指一些难度较高、涉及多个知识点的数学题目，可以检验学生对于数学知识的理解与运用能力。
以下是一道常见的数学配方法压轴题示例：题目：已知函数 f(x) 的定义域为实数集 R，其中 f(x) 满足f(x+y) = f(x) + f(y) + xy，对于任意的实数 x 和 y 成立。
同时，函数 f(x) 在 x = 0 处的函数值为 0，且 f(1) = 2。
求 f(2019) 的值。
解析：题目中给出了函数 f(x) 的定义域为实数集 R，并且满足函数方程 f(x+y) = f(x) + f(y) + xy。
首先，我们可以尝试找到一些函数值来推导出函数的性质。
根据函数方程，我们令 x = y = 0，则有 f(0) = 2f(0)，即 f(0) = 0。
再令 x = 1，y = -1，则有 f(0) = f(1) + f(-1) - 1，代入已知条件f(0) = 0 和 f(1) = 2，得到 f(-1) = -1。
再令 y = -1，则有 f(x-1) = f(x) + f(-1) - x，即 f(x-1) = f(x) - x - 1。
由此，我们可以推导出 f(x) 的一个性质：f(x) - x = f(x-1)。
换句话说，函数 f(x) 减去 x 的值等于函数 f(x-1) 的值。
继续推导，我们可以得到 f(x) - x = f(x-1) = f(x-2) - (x-1) = f(x-3) - (x-2) = ... = f(1) - 1 = 1。
因此，对于任意的实数 x，我们有 f(x) = x + 1。
代入 x = 2019，得到 f(2019) = 2020。
所以，f(2019) 的值为 2020。
高级高中数学方法篇之配方法
高中数学方法篇之配方法配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。
何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。
有时也将其称为“凑配法”。
最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。
它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。
配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab；a2＋ab＋b2＝(a＋b)2－ab＝(a－b)2＋3ab＝(a＋b2)2＋（32b）2；a2＋b2＋c2＋ab＋bc＋ca＝12[(a＋b)2＋(b＋c)2＋(c＋a)2]a2＋b2＋c2＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c)2－2(ab－bc－ca)＝…结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如：1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα）2；x2＋12x＝(x＋1x)2－2＝(x－1x)2＋2 ；……等等。
一、再现性题组：1. 在正项等比数列{an }中，a1a5+2a3a5+a3a7=25，则 a3＋a5＝_______。
2. 方程x2＋y2－4kx－2y＋5k＝0表示圆的充要条件是_____。
A. 14<k<1 B. k<14或k>1 C. k∈R D. k＝14或k＝13. 已知sin4α＋cos4α＝1，则sinα＋cosα的值为______。
A. 1B. －1C. 1或－1D. 04. 函数y＝log12(－2x2＋5x＋3)的单调递增区间是_____。
A. （－∞, 54] B. [54,+∞) C. (－12,54] D. [54,3)5. 已知方程x2+(a-2)x+a-1=0的两根x1、x2，则点P(x1,x2)在圆x2+y2=4上，则实数a＝_____。
最新人教版九年级初三数学上册《配方法》提升练习题
21.2 解一元二次方程21．2.1 配方法第2课时 配方法基础题知识点1 配方1．下列各式是完全平方式的是( )A ．a 2＋7a ＋7B ．m 2－4m －4C ．x 2－12x ＋116D ．y 2－2y ＋2 2．若x 2＋6x ＋m 2是一个完全平方式，则m 的值是( )A ．3B ．－3C ．±3D ．以上都不对3．(兰州中考)用配方法解方程x 2－2x －1＝0时，配方后得的方程为( )A ．(x ＋1)2＝0B ．(x －1)2＝0C ．(x ＋1)2＝2D ．(x －1)2＝24．(河北模拟)把一元二次方程x 2－6x ＋4＝0化成(x ＋n)2＝m 的形式时，m ＋n 的值为( )A ．8B ．6C ．3D ．25．(吉林中考)若将方程x 2＋6x ＝7化为(x ＋m)2＝16，则m ＝________．6．用适当的数或式子填空：(1)x 2－4x ＋______＝(x －______)2；(2)x 2－______＋16＝(x －______)2；(3)x 2＋3x ＋94＝(x ＋______)2； (4)x 2－25x ＋______＝(x －______)2. 知识点2 用配方法解一元二次方程7．如果一元二次方程通过配方能化成(x ＋n)2＝p 的形式，那么(1)当p>0时，方程有____________的实数根，x 1＝__________，x 2＝__________；(2)当p ＝0时，方程有________的实数根，x 1＝x 2＝________；(3)当p<0，方程__________．8．解方程：2x 2－3x －2＝0.为了便于配方，我们将常数项移到右边，得2x 2－3x ＝______；再把二次项系数化为1，得x 2－______x ＝______；然后配方，得x 2－______x ＋______＝______；进一步得(x －34)2＝2516，解得方程的两个根为____________________．9．用配方法解下列方程：(1)x 2－4x －2＝0；(2)2x 2－3x －6＝0；(3)23x 2＋13x －2＝0；(4)x 2－23x ＋1＝0.中档题10．(燕山区一模)在多项式x 2＋9中添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，则添加的单项式可以是() A ．x B ．3xC ．6xD ．9x11．(长清区期末)用配方法解下列方程时，配方正确的是( )A ．方程x 2－6x －5＝0，可化为(x －3)2＝4B ．方程y 2－2y －2 015＝0，可化为(y －1)2＝2 015C ．方程a 2＋8a ＋9＝0，可化为(a ＋4)2＝25D ．方程2x 2－6x －7＝0，可化为(x －32)2＝23412．若方程4x 2－(m －2)x ＋1＝0的左边是一个完全平方式，则m 等于( )A ．－2B ．－2或6C ．－2或－6D ．2或－613．(聊城中考)用配方法解一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，此方程可变形为( )A ．(x ＋b 2a )2＝b 2－4ac4a 2B ．(x ＋b 2a )2＝4ac －b 24a 2C ．(x －b 2a )2＝b 2－4ac4a 2D ．(x －b 2a )2＝4ac －b 24a 214．用配方法解下列方程：(1)2x 2＋7x －4＝0；(2)x 2－6x ＋1＝2x －15；(3)x(x ＋4)＝6x ＋12；(4)3(x －1)(x ＋2)＝x －7.15．(河北中考)嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求根公式时，对于b 2－4ac>0的情况，她是这样做的：由于a ≠0，方程ax 2＋bx ＋c ＝0变形为：x 2＋b a x ＝－c a，第一步 x 2＋b a x ＋(b 2a )2＝－c a ＋(b 2a)2，第二步 (x ＋b 2a )2＝b 2－4ac 4a 2，第三步 x ＋b 2a ＝b 2－4ac 2a(b 2－4ac>0)，第四步 x ＝－b ＋b 2－4ac 2a.第五步 (1)嘉淇的解法从第______步开始出现错误；事实上，当b 2－4ac>0时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求根公式是________________________；(2)用配方法解方程：x 2－2x －24＝0.16．若要用一根长20厘米的铁丝，折成一个面积为16平方厘米的矩形方框，则应该怎样折呢？综合题17．(葫芦岛中考)有n 个方程：x 2＋2x －8＝0；x 2＋2×2x －8×22＝0；……；x 2＋2nx －8n 2＝0.小静同学解第1个方程x 2＋2x －8＝0的步骤为：“①x 2＋2x ＝8；②x 2＋2x ＋1＝8＋1；③(x ＋1)2＝9；④x ＋1＝±3；⑤x ＝1±3；⑥x 1＝4，x 2＝－2.”(1)小静的解法是从步骤______开始出现错误的；(2)用配方法解第n 个方程x 2＋2nx －8n 2＝0.(用含n 的式子表示方程的根)基础题1.C2.C3.D4.D5.36.(1)4 2 (2)8x 4 (3)32 (4)125 157.两个不相等 －n －p －n ＋p 两个相等 －n 无实数根8.2 32 1 32 (34)2 1＋(34)2 x 1＝2，x 2＝－129.(1)(x －2)2＝6，x 1＝6＋2，x 2＝－6＋2.(2)方程无实数根.(3)(x －34)2＝5716，x 1＝3＋574，x 2＝3－574.(4)(x ＋14)2＝4916，x 1＝32，x 2＝－2 中档题10.C 11.D 12.B 13.A 14.(x ＋74)2＝8116，x 1＝12，x 2＝－4.(2)(x －4)2＝0，∴x 1＝x 2＝4.(3)(x －1)2＝13，x 1＝1＋13，x 2＝1－13.(4)(x ＋13)2＝－29，原方程无实数解． 15.(1)四 x ＝－b±b 2－4ac 2a(2)方程x 2－2x －24＝0变形，得x 2－2x ＝24，x 2－2x ＋1＝24＋1，(x －1)2＝25，x －1＝±5，x ＝1±5，所以x 1＝－4，x 2＝6.16.设折成的矩形的长为x 厘米，则宽为(10－x)厘米，由题意，得x(10－x)＝16.解得x 1＝2，x 2＝8.∴矩形的长为8厘米，宽为2厘米．综合题17．(1)⑤(2)x 2＋2nx －8n 2＝0，x 2＋2nx ＝8n 2，x 2＋2nx ＋n 2＝8n 2＋n 2，(x ＋n)2＝9n 2，x ＋n ＝±3n ，x ＝－n±3n ，∴x 1＝－4n ，x 2＝2n.我爸爸告诉我，你现在翻的一页书都是将来要数的一张张钞票，所以不让你学习的人，就是在抢你的财富，不想要的都是傻子。
初中数学竞赛专题选讲-配方法(含答案)
初中数学竞赛专题选讲-配方法(含答案)初中数学竞赛专题[配方法]一、内容提要1. 配方：这里指的是在代数式恒等变形中，把二次三项式a 2±2ab+b 2写成完全平方式（a ±b ）2. 有时需要在代数式中添项、折项、分组才能写成完全平方式.常用的有以下三种：①由a 2+b 2配上2ab ， ②由 2 ab 配上a 2+b 2， ③由a 2±2ab 配上b 2.2. 运用配方法解题，初中阶段主要有： ① 用完全平方式来因式分解例如：把x 4+4 因式分解.原式＝x 4+4＋4x 2－4x 2=(x 2+2)2－4x 2＝……这是由a 2+b 2配上2ab. ② 二次根式化简常用公式：aa =2，这就需要把被开方数写成完全平方式.例如：化简625-.我们把5－26写成 2－232＋3＝2)2(－232＋2)3(＝（2－3）2.这是由2 ab 配上a 2+b 2.③ 求代数式的最大或最小值，方法之一是运用实数的平方是非负数，零就是最小值.即∵a 2≥0， ∴当a=0时， a 2的值为0是最小值.例如：求代数式a 2+2a －2 的最值. ∵a 2+2a －2= a 2+2a+1－3=(a+1)2－3 当a=－1时, a 2+2a －2有最小值－3. 这是由a 2±2ab 配上b2④ 有一类方程的解是运用几个非负数的和等于零，则每一个非负数都是零，有时就需要配方.例如:：求方程x 2+y 2+2x-4y+5=0 的解x, y.解：方程x 2+y 2+2x-4y+1＋4＝0.配方的可化为 （x+1）2+(y －2)2=0.要使等式成立，必须且只需⎩⎨⎧=-=+0201y x .解得 ⎩⎨⎧=-=21y x此外在解二次方程中应用根的判别式，或在证明等式、不等式时，也常要有配方的知识和技巧.二、例题例1. 因式分解：a 2b 2－a 2+4ab －b 2+1.解：a 2b 2－a 2+4ab －b 2+1＝a 2b 2+2ab+1+(－a 2+2ab －b 2) （折项，分组）＝（ab+1）2－(a －b)2（配方）＝（ab+1+a-b ）(ab+1-a+b)（用平方差公式分解）本题的关鍵是用折项，分组，树立配方的思想.例2. 化简下列二次根式：①347+；②32-；③223410+-.解：化简的关键是把被开方数配方①347+＝33224+⨯+＝2)32(+ ＝32+＝2＋3.②32-＝2322-＝2324-＝2)13(2-＝2)13(2-＝.226-③223410+-＝2)12(410+-＝）＋（12410- ＝246-＝22224+⨯-＝2)22(-=2－2.=例3. 求下列代数式的最大或最小值：① x 2+5x+1； ② －2x 2－6x+1 .解：①x 2+5x+1＝x2+2×2`5x+225⎪⎭⎫⎝⎛－425+1＝（x+25）2－421.∵（x+25）2≥0，其中0是最小值.即当x=25时，x 2+5x+1有最小值－421.②－2x 2－6x+1 ＝－2（x 2+3x-21）=－2(x 2+2×23x+4949-－21)＝－2（x+23）2+211∵－2（x+23）2≤0，其中0是最大值，∴当x=－23时，－2x 2－6x+1有最大值211.例4. 解下列方程：①x 4－x 2+2xy+y 2+1=0 ； ②x 2+2xy+6x+2y 2+4y+10=0.解：①（x 4－2x 2＋1）＋（x 2+2xy+y 2）=0 . （折项，分组） (x 2－1)2+(x+y)2=0. （配方）根据“几个非负数的和等于零，则每一个非负数都应等于零”. 得⎪⎩⎪⎨⎧=+=-012y x x ∴⎩⎨⎧-==1,1y x 或 ⎩⎨⎧=-=11y x ②x 2+2xy+y 2+6x+6y+9+y 2－2y+1=0 . (折项，分组) (x+y)2+6（x+y ）+9+y 2－2y+1=0.(x+y+3)2+(y －1)2＝0. （配方） ∴⎩⎨⎧=-=++0103y y x ∴⎩⎨⎧=-=14y x 例5. 已知：a, b, c, d 都是整数且m=a 2+b 2, n=c 2+d 2,则mn 也可以表示为两个整数的平方和，试写出其形式. 解：mn=( a 2+b 2)( c 2+d 2)= a 2c 2+ +a 2d 2+b 2c 2+ b 2d 2= a 2c 2+ b 2d 2+2abcd+ a 2d 2+b 2c 2－2abcd (分组，添项)=(ac+bd)2+(ad-bc)2例6. 求方程 x 2+y 2-4x+10y+16=0的整数解 解：x 2-4x+16+y 2+10y+25=25 (添项) （x －4）2+(y+5)2＝25 （配方）∵25折成两个整数的平方和，只能是0和25；9和16.∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=-⎪⎩⎪⎨⎧=+=-⎪⎩⎪⎨⎧=+=-⎪⎩⎪⎨⎧=+=-9)5(16)4(16)5(9)40)5(25)4(25)5(0)422222222y x y x y x y x 或（或或（ 由⎩⎨⎧=+=-5504y x 得⎩⎨⎧==04y x同理，共有12个解⎩⎨⎧-==104y x ⎩⎨⎧==5-9y x ⎩⎨⎧-=-=51y x ……三、练习 1. 因式分解：①x 4+x 2y 2+y 4；②x 2-2xy+y 2-6x+6y+9 ； ③x 4+x 2-2ax-a 2+1. 2. 化简下列二次根式： ①25204912422+-+++x x x x （－23＜x<25）；②2234432++-+-+x x x x x (1<x<2)；③21217-；④53+；⑤324411-+； ⑥5353-++；⑦（14＋65）÷（3＋5）；⑧（x -3）2＋1682+-x x .3求下列代数式的最大或最小值： ①2x 2+10x+1 ； ②－21x 2+x-1.4.已知：a 2+b 2－4a －2b+5 . 求：223-+b a 的值.5.已知：a 2+b 2+c 2=111, ab+bc+ca=29 . 求：a+b+c 的值. 6.已知：实数a, b, c 满足等式a+b+c=0, abc=8 . 试判断代数式cba111++值的正负.7.已知：x=3819-,求：1582316262234+-++--x x x x x x .参考答案1. ②（x －y －3）22. ①8， ②0.5x ， ③3－22，④2210+， ⑤2＋3，⑥10⑦3＋5， ⑧7－2x （x ≤3）3. ①当x=－25时，有最小值－223 ②x=1时，有最大值－214. a=2, b=1 代数式值是3＋225. ±136.负数。
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于(
)
A、2
B、3
C、4
D、5
(河北省竞赛试题)
解“存在”、“不存在”“至少存在一个”等形式的问题时，常从整体考虑并经常用到一下
重要命题：
设 x1，x2，x3,… xn 为实数.
(1) 若 x1 x2 xn 0 则 x1，x2，x3,… xn 中至少有(或存在)一个为零；
(2) 若 x1 x2 xn 0 ，则 x1，x2，x3，… xn 中至少有(或存在)一个大于零；
y 间数（个）
990
540
0
50 100 x
单价（元）
解题思路：对题设条件实施变形，设法确定 x， y 的值.
(“祖冲之杯”邀请赛试题)
【例 2】 若实数 a ，b ， c 满足 a2 b2 c2 9 ，则代数式 (a b)2 (b c)2 (c a)2 的
最大值是 ( )
A、27
B、18
C、15
D、12
(全国初中数学联赛试题)
解题思路：题设条件是一个含三个未知量的等式，三个未知量，一个等式，怎样才能确
定未知量的值呢？不妨用配方法试一试. 复合根式的化简，含多元的根式等式问题，常常用到配方法.
【例 4】 证明数列 49，4489， 444889，44448889，…的每一项都是一个完全平方数.
解 题 思 路 ： 49 72, 4489 672, 444889 6672, 44448889 66672 ， 由 此 可 猜 想
【例 6】 已知自然数 n 使得 n2 19n 91 为完全平方数，求 n 的值.
(“希望杯”邀请赛试题)
解题思路：原式中 n 的系数为奇数，不能直接配方，可想办法化奇为偶，解决问题.
能力训练
1、计算 10+8 3+2 2 =_________.
(“希望杯”邀请赛试题)
2、已知 a2 b2 c2 2(a b c) 3 0 ，则 a3 b3 c3 3abc _________ .
解题思路：运用乘法公式 ，将原式变形为含常数项及完全平方式的形式.
配方法的实质在于揭示式子的非负性，而非负数有以下重要性质；
(1) 非负数的最小值为零； (2) 有限个非负数的和为零，则每一个非负数都为零.
【例 3】 已知 a b 2 a 1 4 b 2 3 c 3 1c 5 ， 求 a + b + c 的值. 2
(全国初中数学联赛试题)
13、已知 a b ，且 (a b) (a ab b) a 243 ， a ， b 为自然数，求 a ， b 的值. b
(天津市竞赛试题)
13、设 a 为质数，b 为正整数，且 9(2a b)2 509(4a 511b) ，求 a ， b 的值.
(全国初中数学联赛试题)
解题思路：通过引元，把不满意的总分用相关字母的代数式表示，解题的关键是对这个 代数式进行恰当的配方，进而求出代数式的最小值.
把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到 增加问题条件的目的，这种解题方法叫配方法.
配方法的作用在于改变代数式的原有结构，是变形求解的一种手段；配方法的实质在于 揭示式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具.
配方法解题的关键在于“配方”，恰当的“拆”与“添”是配方常用的技巧，常见的等 式有：
1、 a2 2ab b2 (a b)2
2、 a 2 ab b ( a b ) 2
3、 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca (a b c)2 4、 a2 b2 c2 ab bc ac 1 [(a b )2 (b c )2 (a c )2 ]
专题 25 配方法
阅读与思考
把一个式子或一个式子的部分写成完全平方式或者几个完全平方式的和的形式，这种方 法叫配方法，配方法是代数变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧.
配方法的作用在于改变式子的原有结构，是变形求解的一种手段；配方法的实质在于揭 示式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具.
(全国通讯赛试题)
6、若 M 10a2 b2 7a 6, N a2 b2 5a 1 ，则 M－N 的值 ( )
A、负数
B、正数
C、非负数
D、可正可负
7、计算 14 6 5 14 6 5 的值为 ( )
A、1
B、 5
C、 2 5
D、 3 5
(全国初中数学联赛试题)
444 488 89 (6666 1) 2 ，只需完成从左边到右边的推导过程即可.
n1
n
几个有趣的结论：
(1) 444488889 (6666 1) 2
n1
n
n
(2) 111155556 (3333 1) 2
)
A、 3n2 3n 3
B、 4n2 4n 4
C、 5n2 5n 5
D、 7n2 7n 7
E、11n2 11n 11
10、已知实数 a ， b ， c 满足 a2 2b 7,b2 2c 1, c2 6a 17 ，则 a + b + c 的值等
(3) 若 x1 x2 xn 0 ，则 x1，x2，x3，… xn 中至少有(或存在)一个小于零.
x
2z2 1 z
2
11、解方程组
y
2x2 1 x2
z
2y2 1 y2
(苏州市竞赛试题)
12、能使 2n 256 是完全平方数的正整数 n 的值为多少？
2
配方法在代数式的求值，解方程、求最值等方面有较广泛的应用，运用配方解题的关键 在于：
(1) 具有较强的配方意识，即由题设条件的平方特征或隐含的平方关系，如 a ( a )2 能
联想起配方法. (2) 具有整体把握题设条件的能力，即善于将某项拆开又重新分配组合，得到完全平方式.
例题与求解
【例 1】 已知实数 x ， y ， z 满足 x y 5, z2 xy y 9 ，那么 x 2 y 3z _____
n1
n
n
这表明：只出现 1 个奇数或只出现 1 个偶数的完全平方数分别有无限多个.
【例 5】 一幢 33 层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多容纳 32 人，而且只能在第 2 层至第 33 层中某一层停一次，对于每个人来说，他往下走一层楼梯感到 1 分不满意，往上走 一层楼梯感到 3 分不满意，现在有 32 个人在第一层，并且他们分别住在第 2 至第 33 层的每一 层，问：电梯停在哪一层时，可以使得这 32 个人不满意的总分达到最小？最小值是多少？（有 些人可以不乘电梯即直接从楼梯上楼）．
(全国初中数学联赛试题)
14、某宾馆经市场调研发现，每周该宾馆入住的房间数 y 与房间单价 x 之间存在如图所示的一 次函数关系.
(1) 根据图象求 y 与 x 之间的函数关系式(0＜ x ＜160)；
(2) 从经济效益来看，你认为该宾馆如何制定房间单价，能使其每周的住宿收入最高？为实数， x a2 2b , y b2 2c , z c2 2a ，则 x，y，z 中
3
6
2
至少有一个值 (
)
A、大于零 B、等于零
C、不大于零
D、小于零
(全国初中数学竞赛试题)
9、下列代数式表示的数一定不是某个自然数的平方(其中 n 为自然数)的是(
3、 x ，y 为实数，且 x2 y2 4 xy 2y ，则 x + y 的值为__________. 2
4、当 x ＞2 时，化简代数式 x 2 x 1 x 2 x 1 ，得___________. 5、已知 m 4x2 12xy 10 y2 4 y 9 ，当 x =________，y=______时， m 的值最小.