第十五章电路方程的矩阵形式

第十五章电路方程的矩阵形式

一、本章的核心、重点及前后联系 （一）本章的核心

列出结点电压方程的矩阵形式。 （二）本章重点

1.关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵；

2.结点电压方程的矩阵形式。 （三）本章前后联系

本章是第三章电阻电路一般分析方法的扩充。 二、本章的基本概念、难点及学习方法指导 （一）本章的基本概念 1.割集定义

定义：连通图G 的一个割集是G 的一个支路集合，把这些支路移去将使G 分离为两个部分，但是如果少移去其中一条支路，图仍将是连通的。

割集：Q 1（a 、d 、f ）；Q 2（a 、b 、e ）；Q 3（b 、c 、f ）；Q 4（c 、d 、e ）；Q 5（b 、d 、e 、f ）；

Q 6（a 、c 、e 、f ）；Q 7（a 、b 、c 、d ）。

图G 的割集

2.关联矩阵定义

定义：对于具有n 个节点、b 条支路的图，其关联矩阵（节点、支路关联矩阵）为一个

)(b n ⨯的矩阵，用a A 表示。行对应节点，列对应支路，它的任意元素jk a 定义如下：

1+=jk a ，表示支路k 与节点j 关联并且它的方向背离节点； 1-=jk a ，表示支路k

与节点j 关联并且它的方向指向节点；

0=jk a ，表示支路k 与节点j 不关联。

⎥

⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---++-++--++=0111001

0011001001110100143216

54321a A 划去a A 中的任意一行，剩下的b n ⨯-)1(矩阵用

A 表示，称为降阶关联矩阵： a

b c d e

f

5

Q 6

Q 7Q a

b

c d e

f

1

Q

2

Q 3Q 4

Q 13

⎥⎥

⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡++-++--++=10011001001110100

1A

A 阵表示的KCL 、KVL 方程：

KCL ：0Ai =

KCL ：n T

u A u =

3.回路矩阵定义

回路矩阵（回路、支路关联矩阵）用B 表示，行对应回路，列对应支路，任意元素b jk 定义如下：

1+=jk b ，表示支路k 与回路j 关联，且他们的方向一至； 1-=jk b ，表示支路k 与回路j 关联，且他们的方向相反； 0=jk b ，表示支路k 与回路j 不关联。

选树（1、2、5），则有单连支回路（1、4、5），（1、2、6），（2、3、5），回路方向为连支方向，所以：

⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡-+++++-+-=0101101000110110013216

54321B

支路如果按先连支后树枝的顺序，则有：

⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡+++--+-++=1011001010101100013215

21643f B

B 阵表示的KCL 、KVL 方程：

KCL ：l i B i T

= KVL ：0Bu =

4.割集矩阵定义

割集矩阵（割集、支路关联矩阵）用Q 表示，行对应割集，列对应支路，任意元素q jk 定义如下：

1+=jk q ，表示支路k 与割集j 关联，且他们的方向一至； 1-=jk q ，表示支路k 与割集j 关联，且他们的方向相反； 0=jk q ，表示支路k 与割集j 不关联。

选树（1、2、5），则有单树支割集（1、4、6）， （3、4、5），（2、3、6），割集方向为树支方向， 所以：

⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡+++--+-+=0111001001101010013216

54321Q

支路如果按先连支后树枝的顺序，则有基本割集矩阵：

⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡+--+--+-+=1000110101010011103215

21643f Q

Q 阵表示的KCL 、KVL 方程：

KCL ：0i Q =f KVL ：t T

f u Q u =

5．复合支路

1）电路中无受控源（0d =k

I ），无耦合 ()k

k k k k k k I U U Y I U Y I S S S e -+=-= 对整个电路有

()S

S I U U Y I -+= Y ——支路导纳矩阵，是一个对角阵。

2）有受控源

()

S

S I U U -+

6A KCL ：0Ai = KVL ：n T

u A u =

支路方程：()

S

S I U U Y I -+= 结点矩阵方程：

S

S n T U AY I A U AY A -= 设T

n AY A Y =，S

S n U AY I A -=J ，则有 +

-

k

U +

-k

U +

-

U j

U

n

n n J =U Y （二）本章难点及学习方法指导

本章难点:

1.割集定义、基本回路矩阵、基本割集矩阵； 2．含有受控源的结点电压方程的矩阵形式。 学习方法指导:

1．理解每个矩阵表示的含义； 2．针对典型电路列方程。 三、典型例题分析

例一个直流电阻网络如图所示，给定G 1=G 2=G 3=G 4=G 5=1S ，U S3=1V ，I S5=1A ，编写结点电压方程的矩阵形式。

①

②

③

④

1

2

3

4 5

解：

G b =diag[11111]；U Sb =[00100]T ；I Sb =[00001]T 结点电导矩阵：

13

11124222502101310012T n b G G G G G G G G G G G +--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-++-=--⎢⎥⎢⎥⎢-+⎥⎢-⎥⎣⎦⎣⎦G AG A 结点独立电流源矩阵：

3351001S Sn

Sb b Sb S G U I --⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥=-==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦J AI AG U

G n U n =J Sn ，即(1)(2)(3)210113100121U U U ⎡⎤--⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢

⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 四、思考题

（一） 思考题、习题

关联矩阵A 为：101001101001001⎡⎤

⎢⎥=-⎢⎥-⎣⎦

A