第一节 函数的概念
离散数学 第三章 函数
下面先规定几个标准集合的基数： 1) 空集的基数为0。 2) 设n为一自然数，Nn为从1到n的连贯的自然数集合， Nn={1,2,3,…,n}，Nn的基数为n，|Nn|=n 。 3) 设N为自然数的全体，N={1,2,3,…},N的基数为ℵ0(读成 阿列夫零， ℵ是希伯莱文的第一个字母)。 4) 设R为实数的全体，R的基数为ℵ ,|R|= ℵ 。 • • 以上四项规定，对于空集及Nn的基数，实际上就是集 合中元素的个数，关于ℵ0及ℵ，下面将予探讨。 有了标准基数之后，我们可以对各种集合测量其基数。 测量的手段是以双射函数为主体的等价关系一等势。 比如说，一个集合与N等势，那么这个集合的基数为 ℵ0 。
定理6 设A及B为两个可数集，那么A×B为一可数集。 定理 推论1 推论 设A1,A2,A3,…,An为n个可数集，那么 × A是可数集。
i=1 i n
定理7 (0,1)开区间上的实数不是可数集。 定理 定理8 设A为一集Y的函数，若f 是双射函数，则f 的逆关系 f –1是从Y到X的双射函数。 定理2 定理 设f 是从X到Y的函数，g 是从Y到Z的函数，则复合关 系f οg是从 X到Z的函数，将f ο g记为g ο f 。 定理3 定理 设f 是从X到Y的函数，g 是从Y到Z的函数。 1）若f 和g是满射函数，则g ο f 是满射函数； 2）若f 和g是单射函数，则g ο f 是单射函数； 3）若f 和g是双射函数，则g ο f 是双射函数。 定理4 定理 设f 是从X到Y的双射函数， f –1是f 的逆函数，则 1) (f –1) –1 = f 2) f –1 ο f = IX 3) f ο f –1 = IY
定义3 定义 设 |X|=n，P是从X到X的双射函数，称P为X上的置 换，称n为置换的阶。 • 在n个元素的集合中，不同的n阶置换的个数为n!。 • 通常用下面的方法表示置换。 x1 x2 x3 … xn P = p(x ) p(x ) p(x ) … p(x ) 1 2 3 n • 若∀xi∈X 有 p(xi) = xi ，则称P是恒等置换。 • P的逆函数P-1可表示为 p(x1) p(x2) p(x3) … p(xn) P-1 = x1 x2 x3 … xn • 置换的复合与关系的复合相同。 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 2 1 2 1 3 3 1 2
第2章 第1节 函数的概念及表示-2023届高三一轮复习数学精品备课(新高考人教A版2019)
►考向二 求函数的解析式[师生共研]
[例 2] (1)已知 f(x)是一次函数，且 f[f(x)]＝4x＋3，则 f(x) 的解析式为_f(_x_)＝__－__2_x_－__3__或__f_(_x)_＝__2_x_＋；1.
(2)已知 f( x＋1)＝x＋2 x，则 f(x)的解析式为_f(_x_)_＝__x_2－__1_(；x≥1)
►规律方法 求函数解析式的常用方法
(1)换元法：已知复合函数 f[g(x)]的解析式，可用换元法， 此时要注意新元的取值范围.
(2)待定系数法：已知函数的类型(如一次函数、二次函数)， 可用待定系数法.
(3)配凑法：由已知条件 f[g(x)]＝F(x)，可将 F(x)改写成关 于 g(x)的表达式，然后以 x 替代 g(x)，便得 f(x)的解析式.
►规律方法 1.求给定解析式的函数定义域的方法 求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解 析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等 式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义. 2.求抽象函数定义域的方法 (1) 若 已 知 函 数 f(x) 的 定 义 域 为 [a ， b] ， 则 复 合 函 数 f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出. (2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a，b]，则f(x)的定义 域为g(x)在x∈[a，b]上的值域.
命题点 2 求抽象函数的解析式
[例 1－2] 已知函数 f(x＋1)的定义域为(－2，0)，则 f(2x
－1)的定义域为( C )
A.(－1，0)
B.(－2，0)
C.(0，1)
－1，0 D. 2
[自主解答] ∵函数f(x＋1)的定义域为(－2，0)， 即－2＜x＜0，∴－1＜x＋1＜1， 则f(x)的定义域为(－1，1)， 由－1＜2x－1＜1，得0＜x＜1， ∴f(2x－1)的定义域为(0，1).故选C.
2019新版高中数学人教A版必修一第三章 函数的概念与性质 第1节 函数的概念及其表示
2019新版高中数学人教A 版必修一 第1节 函数的概念及其表示一．知识点： 1．函数的概念一般地，设A ，B 是非空的实数集，如果对于集合A 中的任意一个数x ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f: A→B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y ＝f(x)，x ∈A. 2．函数的定义域与值域在函数y ＝f(x)，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域．如果自变量x =a ，则由法则f 确定的值y 称为函数在a 处的函数值，记作y ＝f(a)或y|x ＝a .所有函数值构成的集合{y|y ＝f(x)，x ∈A}叫做这个函数的值域． 3．区间及表示设a ，b 是两个实数，而且a<b.（1） 满足不等式a≤x≤b 的实数x 的集合叫做闭区间，表示为[a ，b]； （2） 满足不等式a<x<b 的实数x 的集合叫做开区间，表示为(a ，b)； （3） 满足不等式a≤x<b 或a<x≤b 的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别 表示为[a ，b)，(a ，b]；（4）实数集R 可以用区间表示为(－∞，＋∞) 二．考点突破 考点一：函数的概念例1：下列各式中，函数的个数是( )①y ＝1；②y ＝x 2；③2y x =；④y =.A ．4B ．3C ．2D ．1答案：C练习：下列图象中，表示函数关系y ＝f （x ）的是（ ）A ．B ．C ．D ．解：根据函数的定义知，一个x 有唯一的y 对应，由图象可看出，只有选项D 的图象满足这一点．故选：D ． 作业：1.下列式子中能确定y 是x 的函数的是________． ①x 2＋y 2＝1；②y ＝x －2＋1－x ； ③y ＝12gx 2(g ＝9.8 m/s 2)；④y ＝x.解析：①中每一个x 对应两个y ，故①不是函数． ②中满足式子有意义的x 取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，1－x≥0即x≤1且x≥2，∴为∅，故②也不是，而③④可以确定y 是x 的函数． 答案：③④考点二：函数的定义域 例2：求下列函数的定义域： (1)y ＝2＋3x －2； (2)y ＝3－x ·x －1； (3)y ＝(x －1)0＋2x ＋1. 解：(1)当且仅当x －2≠0，即x≠2时，函数y ＝2＋3x －2有意义，所以这个函数的定义域为{x|x≠2}．(2)函数有意义，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧3－x≥0，x －1≥0.解得1≤x≤3，所以这个函数的定义域为{x|1≤x≤3}．(3)函数有意义，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x －1≠0，2x ＋1≥0，x ＋1≠0.解得x>－1，且x≠1，所以这个函数的定义域为{x|x>－1，且x≠1}. 练习：求下列函数的定义域： (1)y ＝x ＋12x ＋1－1－x ；(2)y ＝x ＋1|x|－x.解：(1)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，1－x≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x≠－1，x≤1，所以函数的定义域为{x|x≤1，且x≠－1}． (2)要使函数有意义，需满足 |x|－x≠0，即|x|≠x， ∴x<0.∴函数的定义域为{x|x<0}． 作业：2．求下列函数的定义域： (1)f(x)＝1x ＋1；(2)y ＝x 2－1＋1－x 2； (3)y ＝2x ＋3； (4)y ＝x ＋1x 2－1. 解：(1)要使函数有意义，即分式有意义，需x ＋1≠0，x≠－1.故函数的定义域为{x|x≠－1}．(2)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1≥0，1－x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2≥1，x 2≤1.所以x 2＝1，从而函数的定义域为{x|x ＝±1}＝{1，－1}． (3)函数y ＝2x ＋3的定义域为{x|x ∈R}．(4)因为当x 2－1≠0，即x≠±1时，x ＋1x 2－1有意义，所以原函数的定义域是{x|x≠±1，x ∈R}．例3：已知函数y=f （x ）定义域是{x|-2≤x ≤3}，则y=f （2x ﹣1）的定义域是（ ） A ．{x|0≤x ≤52}B ．{x|-1≤x ≤4}C{x|12-≤x ≤2} D ． {x|-5≤x ≤5} 解：∵函数y=f （x ）定义域是-2≤x ≤3， ∴由﹣2≤2x ﹣1≤3， 解得﹣≤x ≤2，即函数的定义域为12≤x≤2，故选：C ．练习：已知函数y=f（x+1）的定义域是{x|-2≤x≤3}，则y=f（x2）的定义域是（）A．{x|-1≤x≤4} B．{x|0≤x≤16} C．{x|-2≤x≤2} D．{x|1≤x≤4} 解：∵函数y=f（x+1）的定义域是{x|-2≤x≤3}，即﹣2≤x≤3，∴﹣1≤x+1≤4，即函数y=f（x）的定义域为{x|-1≤x≤4}，由﹣1≤x2≤4，得﹣2≤x≤2．∴y=f（x2）的定义域是{x|-2≤x≤2}．故选：C．作业：3. 已知函数y=f（x+1）定义域是{x|-2≤x≤1} ，则y=f（2x﹣1）的定义域（）A．{x|0≤x≤32} B．{x|-1≤x≤4} C．{x|-5≤x≤5} D．{x|-3≤x≤7}解：∵函数y=f（x+1）定义域是{x|-2≤x≤1}，∴-2≤x≤1，∴-1≤x+1≤2，∴-1≤2x﹣1≤2，∴0≤x≤3 2∴y=f（2x﹣1）的定义域为{x|0≤x≤32}．故答案为：A考点三：函数值例4：若f(x)＝1－x1＋x(x≠－1)，求f(0)，f(1)，f(1－a)(a≠2)，f[f(2)]．解：f(0)＝1－01＋0＝1；f(1)＝1－11＋1＝0；f(1－a)＝1－1－a1＋1－a＝a2－a(a≠2)；f[f(2)]＝1－f21＋f2＝1－1－21＋21＋1－21＋2＝2.练习: 设函数f(x)＝41－x，若f(a)＝2，则实数a＝________.解析：由题意知，f(a)＝41－a＝2，得a＝－1. 答案：－1作业：4.已知f(x)＝11＋x(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)．(1)求f(2)，g(2)的值；(2)求f[g(2)]，g[f(2)]的值． 解：(1)f(2)＝11＋2＝13，g(2)＝22＋2＝6； (2)f[g(2)]＝f(6)＝11＋6＝17，g[f(2)]＝g(13)＝(13)2＋2＝199. 考点四：简单的求函数的值域 例5：求下列函数的值域： (1)y ＝2x ＋1，x ∈{1,2,3,4,5}； (2)y ＝x ＋1；(3)y ＝－x 2－2x ＋3(－1≤x≤2)； (4)y ＝1－x21＋x2.解：(1)将x ＝1,2,3,4,5分别代入y ＝2x ＋1，算得函数的值域为{3,5,7,9,11}． (2)∵x ≥0，∴x ＋1≥1，即函数的值域为[1，＋∞)．(3)y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4.∵－1≤x≤2，∴0≤x＋1≤3，∴0≤(x＋1)2≤9.∴－5≤－(x ＋1)2＋4≤4.∴函数的值域为[－5,4]．(4)∵y ＝1－x 21＋x 2＝－1＋21＋x 2，∴函数的定义域为R.∵x 2＋1≥1，∴0<21＋x2≤2.∴y ∈(－1,1]． ∴函数的值域为(－1,1]．练习：（1）已知函数y=2x+1，x ∈{x ∈Z|0≤x ＜3}，则该函数的值域为（ ） A ．{y|1≤y ＜7} B ．{y|1≤y ≤7} C ．{1，3，5，7} D ．{1，3，5} 解：函数y=2x+1，x ∈{x ∈Z|0≤x ＜3}={0，1，2}． 当x=0时，y=1，当x=1时，y=3，当x=2时，y=5． ∴函数的值域为{1，3，5}．故选D ．（2）函数y=x 2﹣4x+1，x ∈[1，5]的值域是（ ） A ．{y|1≤y ≤6} B ．{y|-3≤y ≤1}C ．{y|y ≥-3}D ．{y|-3≤y ≤6}解：对于函数f （x ）=x 2﹣4x+1，是开口向上的抛物线． 对称轴x=，所以函数在区间[1，5]上面是先减到最小值再递增的．所以在区间上的最小值为f （2）=﹣3．又f （1）=﹣2＜f （5）=6，，所以最大值为6．故选D ．作业：5.求下列函数的值域：(1)f(x)＝(x －1)2＋1，x ∈{－1,0,1,2,3}； (2)f(x)＝(x －1)2＋1，x ∈R ； (3)y ＝1－x 2，x ∈R ； (4)y ＝2x ＋1x，x≠0. 解：(1)函数的定义域为{－1,0,1,2,3}，∵f(－1)＝5， f(0)＝2，f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝5， ∴这个函数的值域为{1,2,5}．(2)函数的定义域为R ，∵(x －1)2＋1≥1， ∴这个函数的值域为{y|y≥1}． (3)函数的定义域为R ，∵1－x 2≤1， ∴函数y ＝1－x 2的值域为{y|y≤1}． (4)y ＝2x ＋1x ＝2＋1x ，∵x≠0，∴1x≠0， ∴y ＝2＋1x ≠2，∴函数的值域为{y|y≠2}．考点五：判断两函数是否相等例6：下列各组函数表示相等函数的是( ) A ．y ＝x 2－9x －3与y ＝x ＋3B ．y ＝x 2－1与y ＝x －1C ．y ＝x 0(x≠0)与y ＝1(x≠0) D ．y ＝2x ＋1，x ∈Z 与y ＝2x －1，x ∈Z解析：选C A 中两函数定义域不同，B 、D 中两函数对应法则不同，C 中定义域与对应法则都相同．练习：下列四组函数中，表示同一函数的是（ ） A ．f （x ）＝|x|，g （x ）＝B ．f （x ）＝|x|，g （x ）＝（）2C ．f （x ）＝，g （x ）＝x+1D ．f （x ）＝，g （x ）＝解：要判断两个函数是否是同一个函数，需要从三个方面来分析，即定义域，对应法则和值域，B 选项两个函数的定义域不同，前面函数的定义域为R ，后面函数的定义域为[0，+∞），C 选项两个函数的定义域不同，前面函数的定义域为{x|x ≠1}，后面函数的定义域为R ，D 选项两个函数的定义域不同，前面函数的定义域为[1，+∞），后面函数的定义域为（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞），故选：A ． 作业：6. 下列四组函数中，表示同一函数的是（ ） A ．y ＝，y ＝（）2B ．y ＝|x|，y ＝C ．y ＝，y ＝x+1D ．y ＝x ，y ＝解：对于A ，y ＝＝|x|（x ∈R ），与y ＝＝t （t ≥0）的定义域不同，对应关系也不同，不是同一函数； 对于B ，y ＝|x|（x ∈R ），与y ＝＝|t|（t ∈R ）的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数； 对于C ，y ＝＝x+1（x ≠1），与y ＝x+1（x ∈R ）的定义域不同，不是同一函数；对于D ，y ＝x （x ∈R ），与y ＝＝x （x ≠0）的定义域不同，不是同一函数．故选：B ．考点六：区间及其表示例7：集合{x|－12≤x<10，或x>11}用区间表示为________． 答案：[－12,10)∪(11，＋∞)练习：已知函数y ＝1－x 2x 2－3x －2，则其定义域为( )A ．(－∞，1]B ．(－∞，2]C ．(－∞，－12)∪(－12，1)D ．(－∞，－12)∪(－12，1]解析：选D 要使式子1－x2x 2－3x －2有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x≥0，2x 2－3x －2≠0即⎩⎪⎨⎪⎧x≤1，x≠2且x≠－12，所以x≤1且x≠－12，即该函数的定义域为(－∞，－12)∪(－12，1]，故选D.作业： 7. 函数y=+1的值域为（ ） A ．（0，+∞） B ．（1，+∞）C ．[0，+∞）D ．[1，+∞）解：函数y=+1，定义域为[1，+∞），当x=1时，函数y 取得最小值为1， 函数y=+1的值域为[1，+∞），故选D。
高等数学 第一章
数列中的每一个数称为数列的项，第 n 项 xn 称 为数列的一般项或通项．
（一）数列极限的概念
定义 2 对于数列 {xn} ，当 n 无限增大时，如果数列的一般项 xn 无限地接近于某一确定的数
值
a，则称常数
a
是数列 {xn} 的极限，或称数列 {xn} 收敛，其收敛于
（二）指数函数
y ax (a 0 ，a 1) 为指数函数，它的定义域为 ( ， ) ，值域为 (0 ， ) ．当 a 1 时，y ax 单调增加；当 0 a 1 时， y ax 单调减少．指数函数的图形都经过点 (0 ，1) ，且均在 x 轴上方。
（三）对数函数
y loga x (a 0 ，a 1) 为对数函数，它是指数函数 y ax 的反函数，其定义域为 (0 ， ) ，值 域为 ( ， ) ．当 a 1 时， y loga x 单调增加；当 0 a 1 时， y loga x 单调减少．对数函数 的图形都经过点 (1，0) ，且均在 y 轴的右方.
其中，D 称为函数的定义域，x 称为自变量，y 称为因变量．
（三）函数的定义
当 x 取定义域 D 内的某一定值 x0 时，按照对应法则 f ，所得的对应值 y0 称为函数 y f (x) 在
x0 处的函数值，记作
y0
y x x0
f (x0 ) ，
当 x 取遍定义域 D 中的所有数值时，按照对应法则 f ，所得的所有对应值 y 构成的集合称为函 数的值域，记作 M {y | y f (x) ，x D}．
则称函数 f (x) 在区间 I 上是单调增加的，区间 I 称为单调增区间；如果对于区间 I 内的任意两 点 x1 ，x2 ，当 x1 x2 时，恒有 f (x1) f (x2 ) ，
第一节函数
则称 f 为定义在D上的函数f : D R, x y, x D
其中称D为函数的定义域，记作D（f），D中的每一个 根据映射 f 对应于一个y ，记作y =f(x)，称为函数 f 在 x的函数值，全体函数值的集合称为函数的值域
单调增加 (或单调减少).
如果对于区间I上任意两点 x1, x2，当 x1 x2均 有 f ( x1 ) f ( x2 ) (或 f ( x1 ) f ( x2 )), 则称函数y=f(x) 在区间Ｉ上严格单调增加(或严格单调减少).
单调函数图形特征: 严格单调增加的函数的图形是沿x 轴正向上升的； 严格单调减少的函数的图形是沿x 轴正向下降的；
x r cos t
y
r
s
in
t
, (0 t )
三、函数的特性 1.函数的有界性 定义 设函数y=f (x)的定义域为D, 数集 X D ， 如果存在正数M, 使得对于任意的 x X , 都有不等式 | f ( x ) | M 成立, 则称 f (x)在X上有界, 如果这样的M不 存在, 就称函数 f (x)在X上无界. 注: 如果M为 f (x)的一个界, 易知比 M大的任何一 个正数都是 f (x)的界. 如果f(x)在X上无界, 那么对于任 意给定的正数M, X中总有相应的点 x, 使 | f ( x ) | M
第一章 函 数
第一节 函数的概念 第二节 反函数与复合函数 第三节 初等函数 第四节 函数模型
第一节 函数的概念 一、函数的概念 二、具有特性的几类函数
第一节 函数的概念
一、函数的概念 常量：如果一个量在某过程中保持不变, 总取同
一值, 则称这种量为常量. 常量通常用a, b, c， 表示.
高等数学 第一节 函数的概念
3
2.5
y∈[0，π]
2
arccos( x) arccos x
x [1,1].
1.5
π
1
0.5
-4
-3
-2
-1
-1
1
2
3
1
-0.5
-1
(4)单调性: 是减函数。
yx
o
4
x
y=cosx,x∈[0，π]
y∈[-1，1]
反正切函数y arctan x，定义域为R，值域为(
注意：
复合函数都必须要有内层和外层函数。
2、简单函数：
简单函数即基本初等函数或基本初等函数的四则运算构成的函数。
注意：
复合函数都可以分解为简单函数。
例题1：指出下列函数是由哪些简单函数复合而成的
1、y = cosx
2、y = e
2
3、y = 2 + e
x
sin
1
x
x 2 -1
4、y = arctan 2
2
3
x
-1
-1.5
y arcsin x, x [1,1], y [ , ]
2
2 2
其图象关于坐标原点对称，
-2
arcsin( x) arcsin x
x [1,1].
(4)单调性:
是增函数。
yx
反余弦函数 y arccos x，定义域为[1,1]，值域为[0, ]
3
2.5
2
1.5
1
0.5
-1
-0.5
0.5
1
是y cos x的反函数，在定义域上 单调递减，非奇非偶， 无周期
函数与极限知识点
x2
x2
8811
例2.求 lim 5x x1 x 2 1
解
: 原式
lim 5x
x1
lim（x 2
1）
5 2
x1
例3.求 lim x3 1 x1 x 1
解 : (当x 1时, 分母的极限为0,故不能用极限的商定理)
原式 lim (x 1)(x 2 x 1) 3
x1
x 1
例5
:
定理: 设在某变化过程中有 lim f (x)=A , lim g (x)=B ,则有: ① lim [ f (x)±g (x)]=lim f (x) ±lim g (x) =A±B、 ② lim [f (x) g (x)] =lim f (x) lim g (x) =AB ③ lim f (x) / g(x) =lim f (x) / lim g (x) =A / B (B≠0)
x→x0+0 时,函数得极限
2 、 自变量 x →∞ 时函数得极限、
x→-∞ 时,函数得极限 x→+∞时,函数得极限
1 、 x →x0 时函数得极限:
⑴定义: 设函数 f (x) 在点 x0 附近有定义 (但在 x0 处可以没有定义) , 当自变量 x 以任何方式无限趋近于定值 x0 时 , 若函数 f (x) 无限趋近于一个常数 A ,就说当 x 趋近于 x0时 , 函数 f (x)以
右极限： x从右侧趋近于x0时产生得极限、
记作 : lim f (x) A xx0 0
▲. 极限 lim f (x) A存在的充要条件 : (当且仅当) x x0
lim f (x) lim f (x) A
xx0 0
xx0 0
即左极限与右极限都存在并且相等时,才能说函数得极限存在
3.1函数的基本概念 教案
第三章：函数的基本性质第一节：函数的概念【知识讲解】 1.复习引入：初中（传统）的函数的定义是什么？初中学过哪些函数？设在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数.并将自变量x 取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x 的值对应的y 值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.这种用变量叙述的函数定义我们称之为函数的传统定义.初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等问题1：1=y （R x ∈）是函数吗？问题2：x y =与xx y 2=是同一函数吗？2.函数的有关概念设A ，B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的函数，记作)(x f y =， x ∈A 其中x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈|)(（⊆B ）叫做函数y=f(x)的值域.函数符号)(x f y =表示“y 是x 的函数”，有时简记作函数)(x f .(1)函数实际上就是集合A 到集合B 的一个特殊对应 B A f →:这里 A, B 为非空的数集. （2）A ：定义域，原象的集合；{}A x x f ∈|)(：值域，象的集合,其中{}A x x f ∈|)( ⊆ B ；f ：对应法则 ， x ∈A ， y ∈B（3）函数符号：)(x f y = ↔y 是 x 的函数，简记 )(x f 3.已学函数的定义域和值域1．一次函数b ax x f +=)()0(≠a :定义域________值域_________; 2．反比例函xkx f =)()0(≠k :定义域_________, 值域__________;3．二次函数c bx ax x f ++=2)()0(≠a :定义域 值域：当0>a 时， ；当0<a 时， 4.函数的值：关于函数值 )(a f例：)(x f =2x +3x+1 则 f(2)=22+3×2+1=11注意：1︒在)(x f y =中f 表示对应法则，不同的函数其含义不一样2︒)(x f 不一定是解析式，有时可能是“列表”“图象” 3︒)(x f 与)(a f 是不同的，前者为变数，后者为常数5.函数的三要素： 对应法则f 、定义域A 、值域{}A x x f ∈|)( 只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数【例题讲解】例1.下列各图中，能成为某个函数的图像的为 （ ）()C()D()A()B巩固练习：例2.求下列函数的定义域：① 21)(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ xx x f -++=211)(.小结：函数的定义域：要使函数有意义的自变量x 的取值的集合。
高中数学必修一第三章第一节函数的概念及其表示的知识点综合能力提升总结归纳
高中数学必修一第三章第一节函数的概念及其表示的知识点综合能力提升总结归纳高中数学必修一第三章第一节为函数的概念及其表示，是数学中非常基础和重要的知识点。
本文将从以下几个方面对该知识点进行综合能力提升总结归纳。
一、函数的概念函数是数学中重要的概念之一，是一种数学关系。
它是一个集合到另一个集合的一种映射，其中每一个元素都与另一个集合中唯一的元素对应。
函数的概念是数学中重要的基础，任何涉及到数值的计算和分析都必须依赖于函数的概念。
二、函数的表示函数的表示有多种形式，如函数表、函数图像、符号表示等。
其中，函数表是最简单和最基本的表示方式，它以表格的形式列出函数的输入和输出值。
函数图像是一种用图像的形式来表示函数的方法。
符号表示则是将函数用数学符号来表达。
三、函数的性质函数有很多性质，如定义域、值域、单调性、奇偶性等。
其中，定义域是指函数的自变量可能取的值的集合；值域是指函数的因变量可能取的值的集合。
单调性是指函数在定义域上的增减性质，可以分为单调递增和单调递减。
奇偶性则是指函数在定义域上的对称性质，可以分为奇函数和偶函数。
四、函数的分类函数可以分为多种类型，如常函数、一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
其中，常函数是指函数的值在整个定义域上都相等；一次函数是指函数的表达式为y=kx+b，其中k和b 为常数；二次函数是指函数的表达式为y=ax+bx+c，其中a、b、c为常数；指数函数是指函数的形式为y=a^x，其中a为正实数；对数函数则是指函数的形式为y=loga(x)，其中a为正实数；三角函数则是指函数的形式为y=sin(x)、y=cos(x)、y=tan(x)等。
以上是本文对高中数学必修一第三章第一节函数的概念及其表示的知识点综合能力提升总结归纳。
函数是数学中非常基础和重要的知识点，掌握好函数的概念、表示、性质和分类，可以帮助我们更好地理解和应用数学知识。
函数基本知识
七、作业
1(2)(4)；2(2)(3)； 第6页 1(2)(4)；2(2)(3)；5
y M y=f(x) o -M x X M y
x0
o -M X
x
有界
无界
（4）函数的周期性: 函数的周期性:
f D 设函数 ( x)的定义域为 , 如果存在一个不为零的
且 x 数l, 使得对于任一 ∈ D, ( x ± l ) ∈ D. f ( x + l ) = f ( x)
f , f . 恒成立. 则称 (x)为周期函数 l称为 ( x)的周期
1 0≤ x ≤1 例1 设f ( x) = , 求函数 f ( x + 3)的定义域 . − 2 1 < x ≤ 2
解
1 0≤ x ≤1 Q f ( x) = − 2 1 < x ≤ 2
1 0≤ x + 3≤1 ∴ f ( x + 3) = − 2 1 < x + 3 ≤ 2 1 − 3 ≤ x ≤ −2 = − 2 − 2 < x ≤ −1
故
Df : [−3,−1]
(3)隐函数与显函数 (3)隐函数与显函数
隐函数： 隐函数：函数的对应法则是由方程 给出， 的隐函数。 给出，称 y为 的隐函数。
x
F(x, y) = 0
显函数： 显函数：由
确定的函数， y = f (x) 确定的函数，如 2 y = lg x, y = x − 2x + 3等。
u = ϕ(x)的值域为 Zϕ , 若 Df ∩ Zϕ ≠ ∅, 则称
复合函数. 函数 y = f [ϕ( x)]为 x的复合函数
, , x ←自变量 u ←中间变量 y ←因变量 ,
第一节 函数的概念及其表示
第一节函数的概念及其表示考试要求1．了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用．[知识排查·微点淘金]知识点1函数的有关概念(1)函数的概念一般地，设A，B是两个非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：y＝f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．(2)函数的三要素为定义域、值域、对应关系．微思考：函数f(x)＝x3，x∈{0，1}与g(t)＝t3，t∈{0，1}是同一函数吗？提示：是．因为两函数的定义域和对应法则相同，故是同一函数．知识点2函数的表示法函数常用的表示方法有图象法、列表法、解析法．知识点3分段函数若函数在定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．[微提醒]1．分段函数是一个函数，虽由几个部分构成，但它表示同一个函数．2．分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．常用结论求函数的定义域时常用的结论①分式中，分母不为0；②偶次方根中，被开方数非负；③对于y ＝x 0，要求x ≠0，负指数的底数不为0； ④对数函数中，真数大于0，底数大于0且不等于1； ⑤指数函数的底数大于0且不等于1；⑥对于正切函数y ＝tan x ，要求x ≠k π＋π2，k ∈Z .[小试牛刀·自我诊断]1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”)(1)函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝a 最多有2个交点．(×) (2)函数f (x )＝x 2－2x 与g (t )＝t 2－2t 是同一函数．(√)(3)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．(×) (4)分段函数是由两个或几个函数组成的．(×)2．(链接教材必修1 P 25B 2)若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )答案：B3．(链接教材必修1P 18例2)下列函数中，与函数y ＝x ＋1是相等函数的是( ) A ．y ＝(x ＋1)2B ．y ＝3x 3＋1 C ．y ＝x 2x＋1D ．y ＝x 2＋1解析：选B 对于A ，函数y ＝(x ＋1)2的定义域为{x |x ≥－1}，与函数y ＝x ＋1的定义域不同，不是相等函数；对于B ，定义域和对应关系都相同，是相等函数；对于C ，函数y ＝x 2x ＋1的定义域为{x |x ≠0}，与函数y ＝x ＋1的定义域不同，不是相等函数；对于D ，定义域相同，但对应关系不同，不是相等函数．故选B ．4．(忽视新元范围)已知f (x )＝x －1，则f (x )＝________． 解析：设t ＝x (t ≥0)，则f (t )＝t 2－1，即f (x )＝x 2－1(x ≥0)． 答案：f (x )＝x 2－1(x ≥0)5．(忽视自变量的取值范围)设函数f (x )＝⎩⎨⎧（x ＋1）2，x <1，4－x －1，x ≥1，则使得f (x )≥1的自变量x 的取值范围为________．解析：当x <1时，f (x )≥1⇒(x ＋1)2≥1⇒x ≤－2或x ≥0， ∴x ≤－2或0≤x <1. 当x ≥1时，f (x )≥1⇒4－x －1≥1，即x －1≤3，∴1≤x ≤10.综上所述，x ≤－2或0≤x ≤10， 即x ∈(－∞，－2]∪[0，10]． 答案：(－∞，－2]∪[0，10]一、基础探究点——函数的定义域(题组练透)1．(2021·湖北六校联考)函数f (x )＝3x －1＋1ln （2－x ）的定义域为( )A ．⎣⎡⎭⎫13，1∪(1，＋∞)B ．⎣⎡⎭⎫13，2C ．⎣⎡⎭⎫13，1∪(1，2)D ．(0，2)解析：选C由条件知要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧3x －1≥0，2－x >0，ln （2－x ）≠0，解得13≤x ＜1或1<x <2，故选C ．2．(2021·江苏无锡模拟)若函数f (x 2＋1)的定义域为[－1，1]，则f (lg x )的定义域为( ) A ．[－1，1] B ．[1，2] C ．[10，100]D ．[0，lg 2]解析：选C 因为f (x 2＋1)的定义域为[－1，1]，则－1≤x ≤1，故0≤x 2≤1，所以1≤x 2＋1≤2.因为f (x 2＋1)与f (lg x )是同一个对应法则，所以1≤lg x ≤2，即10≤x ≤100，所以函数f (lg x )的定义域为[10，100]．故选C ．3．(2021·四川省棠湖中学模拟)若函数f (x )＝1ax 2－2ax ＋2的定义域为R ，则实数a 的取值范围是( )A ．(0，2)B ．[0，2]C ．(0，2]D ．[0，2)解析：选D 由题意可知，当x ∈R 时，不等式ax 2－2ax ＋2>0恒成立． ①当a ＝0时，ax 2－2ax ＋2＝2>0显然成立，故a ＝0符合题意；②当a ≠0时，要想x ∈R 时，不等式ax 2－2ax ＋2>0恒成立，只需满足a >0且(－2a )2－4·a ·2<0成立即可，解得0<a <2.综上可得，实数a 的取值范围是[0，2)．故选D .函数定义域的求解策略(1)求给出定函数的定义域往往转化为解不等式(组) 的问题．在解不等式组取交集时可借助于数轴，要特别注意端点值的取舍．(2)求抽象函数的定义域：①若y ＝f (x )的定义域为(a ，b )，则解不等式a <g (x )<b 即可求出y ＝f (g (x ))的定义域；②若y ＝f (g (x ))的定义域为(a ，b )，则求出g (x )在(a ，b )上的值域即得y ＝f (x )的定义域．二、综合探究点——函数的解析式(思维拓展)[典例剖析][例1] 求下列函数的解析式：(1)已知f (1－sin x )＝cos 2x ，求f (x )的解析式； (2)已知f ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 2＝x 4＋1x4，求f (x )的解析式； (3)已知f (x )是一次函数且3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )的解析式； (4)定义在(－1，1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，求f (x )的解析式． 解：(1)(换元法)设1－sin x ＝t ，t ∈[0，2]，则sin x ＝1－t ，因为f (1－sin x )＝cos 2x ＝1－sin 2x ，所以f (t )＝1－(1－t )2＝2t －t 2，t ∈[0，2]．即f (x )＝2x －x 2，x ∈[0，2]．(2)(配凑法)因为f ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 22－2，所以f (x )＝x 2－2，x ∈[2，＋∞)． (3)(待定系数法)因为f (x )是一次函数，可设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，所以3[a (x ＋1)＋b ]－2[a (x－1)＋b ]＝2x ＋17.即ax ＋(5a ＋b )＝2x ＋17，因此应有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，5a ＋b ＝17，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝7.故f (x )的解析式是f (x )＝2x ＋7.(4)(方程组法)当x ∈(－1，1)时，有2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)． ①又－x ∈(－1，1)，以－x 代替x 得2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1)． ② 由①②消去f (－x )得f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，x ∈(－1，1)．[拓展变式]1．[变条件]本例(1)中条件变为“f (x －1)＝x －2x ”，求f (x )的解析式． 解：解法一：设u ＝x －1，则x ＝u ＋1(u ≥－1)， ∴f (u )＝(u ＋1)2－2(u ＋1)＝u 2－1(u ≥－1)， 即f (x )＝x 2－1(x ≥－1)．解法二：∵x －2x ＝(x －1)2－1， 由于x ≥0，所以x －1≥－1. ∴f (x －1)＝(x －1)2－1， 即f (x )＝x 2－1(x ≥－1)．2．[变条件]本例(3)中条件变为“y ＝f (x )是二次函数方程，f (x )＝0有两个相等实根且f ′(x )＝2x ＋2”，求f (x )的解析式．解：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b ＝2x ＋2. ∴a ＝1，b ＝2， ∴f (x )＝x 2＋2x ＋C ．又∵方程f (x )＝0有两个相等实根， ∴Δ＝4－4c ＝0，c ＝1， 故f (x )＝x 2＋2x ＋1.3．[变条件]若本例(4)中条件变为“函数f (x )满足2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2x ，x ∈R 且x ≠0”，求f (x )的解析式．解：∵2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2x ，① 将x 换成1x ，则1x 换成x ，得2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f (x )＝2x.②由①②消去f ⎝⎛⎭⎫1x ，得3f (x )＝4x －2x . ∴f (x )＝43x －23x(x ∈R 且x ≠0)．求函数解析式的常用方法[学会用活]1．(2021·贵州安顺期末)已知函数f (x )满足f (cos x －1)＝cos 2x －1，则f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝2x 2＋4x (－2≤x ≤0)B ．f (x )＝2x 2＋4x (x ∈R )C ．f (x )＝2x －1(－2≤x ≤0)D ．f (x )＝2x －1(x ∈R )解析：选A 函数f (x )满足f (cos x －1)＝cos 2x －1＝2cos 2 x －1－1＝2cos 2x －2， 设cos x －1＝t ，则cos x ＝t ＋1.由cos x ∈[－1，1]，得t ∈[－2，0]， 所以原函数可转化为f (t )＝2(t ＋1)2－2＝2t 2＋4t ，t ∈[－2，0]， 则f (x )的解析式为f (x )＝2x 2＋4x (－2≤x ≤0)．故选A ．2．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )，若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x <0时，f (x )＝________．解：当－1≤x <0时，则 0≤x ＋1<1， 故f (x ＋1)＝(x ＋1)(1－x －1)＝－x (x ＋1)， 又f (x ＋1)＝2f (x )，所以－1≤x <0时，f (x )＝－x （x ＋1）2.三、应用探究点——分段函数(多向思维)[典例剖析]思维点1 分段函数求值问题[例2] (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2cos πx ，x ≤0，f （x －1）＋1，x >0，则f ⎝⎛⎭⎫43的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．32D ．52解析：依题意得f ⎝⎛⎭⎫43＝f ⎝⎛⎭⎫13＋1＝f ⎝⎛⎭⎫－23＋1＋1＝2cos ⎝⎛⎭⎫－2π3＋2＝2×⎝⎛⎭⎫－12＋2＝1.故选B ．答案：B(2)若函数f (x )＝⎩⎨⎧lg （1－x ），x <0，－2x ，x ≥0，则f (f (－9))＝______．解析：因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg （1－x ），x <0，－2x ，x ≥0，所以f (－9)＝lg 10＝1，所以f (f (－9))＝f (1)＝－2.答案：－2求分段函数的函数值的步骤(1)先确定要求值的自变量属于哪一个区间；(2)然后代入相应的函数解析式求值，直到求出具体值为止． 提醒：(1)求值时注意函数奇偶性、周期性的应用； (2)出现f (f (a ))求值形式时，应由内到外逐层求值． 思维点2 分段函数与方程、不等式问题[例3] (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e 2－x ，x ≤1，lg （x ＋2），x >1，则不等式f (x ＋1)<1的解集为( )A ．(1，7)B ．(0，7)C ．(1，8)D ．(－∞，7)解析：①当x ＋1≤1，即x ≤0时，f (x ＋1)＝e 2－(x ＋1)<1，即2－(x ＋1)<0，即x >1，又∵x ≤0，∴不等式无解．②当x ＋1>1，即x >0时，f (x ＋1)＝lg(x ＋1＋2)<1， 即x ＋3<10，∴0<x <7.综上，不等式f (x ＋1)<1的解集为(0，7)，故选B ． 答案：B(2)(2021·浙江卷)已知a ∈R ，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4，x >2，|x －3|＋a ，x ≤2.若f (f (6))＝3，则a ＝____．解析：因为6>2，所以f (6)＝6－4＝2，所以f (f (6))＝f (2)＝1＋a ＝3，解得a ＝2. 答案：2(1)对求含有参数的自变量的函数值，如果不能确定自变量的范围，应对自变量分类讨论．(2)解由分段函数构成的不等式，一般要根据分段函数的不同分段区间进行分类讨论．[学会用活]3．已知定义在R 上的函数f (x )满足：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2，x ≤0，f （x －1）－f （x －2），x >0，则f (2020)＋f (2021)的值等于( )A ．－5B ．－4C ．－3D ．－2解析：选D 当x >0时，f (x ) ＝f (x －1)－f (x －2)，则有f (x ＋1)＝f (x )－f (x －1)＝f (x －1)－f (x －2)－f (x －1)＝－f (x －2)，所以f (x ＋3)＝－f (x )，则有f (x ＋6)＝－f (x ＋3)＝f (x )，即周期T ＝6，故f (2020)＋f (2021)＝f (4)＋f (5)＝－f (1)－f (2)＝－f (1)－[f (1)－f (0)]＝－2f (1)＋f (0)＝－2[f (0)－f (－1)]＋f (0)＝2f (－1)－f (0)＝－2.故选D ．4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2（x ＋1），x >1且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( )A ．－74B ．－54C ．－34D ．－14解析：选A 因为f (a )＝－3，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，2a －1－2＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧a >1，－log 2（a ＋1）＝－3，解得a ＝7，所以f (6－a )＝f (－1)＝2－1－1－2＝－74.故选A ．5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12>1的x 的取值范围是________． 解析：当x >12时， 不等式f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12>1可化为2x ＋2x －12>1，结合指数函数的性质，该不等式在x >12时恒成立，所以x >12适合；当0<x ≤12时，不等式f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12>1可化为2x ＋⎝⎛⎭⎫x －12＋1>1，即2x ＋x >12，显然2x ＋x >20＋0＝1>12，所以0<x ≤12适合；当x ≤0时，不等式f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12>1可化 为x ＋1＋⎝⎛⎭⎫x －12＋1>1，解得x >－14， 又x ≤0，所以－14<x ≤0适合．综上，所求x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－14，＋∞. 答案：⎝⎛⎭⎫－14，＋∞函数的新定义问题[案例] 在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，若函数f (x )的图象恰好经过n (n ∈N *)个整点，则称函数f (x )为n 阶整点函数．给出下列函数：①f (x )＝sin 2x ；②g (x )＝x 3；③h (x )＝⎝⎛⎭⎫13x；④φ(x )＝ln x ．其中是一阶整点函数的是( )A ．①②③④B ．①③④C ．①④D ．④[解法探究] 对于函数f (x )＝sin 2x ，它的图象(图略)只经过一个整点(0，0)，所以它是一阶整点函数，排除D ；对于函数g (x )＝x 3，它的图象(图略)经过整点(0，0)，(1，1)，…，所以它不是一阶整点函数，排除A ；对于函数h (x )＝⎝⎛⎭⎫13x，它的图象(图略)经过整点(0，1)，(－1，3)，…，所以它不是一阶整点函数，排除B ．选C ．[答案] C求解函数新定义问题的思路(1)理解定义：深刻理解题目中新函数的定义、新函数所具有的性质或满足的条件，将定义、性质等与所求之间建立联系．(2)合理转化：将题目中的新函数与已学函数联系起来，仔细阅读已知条件进行分析，通过类比已学函数的性质、图象解决问题，或将新函数转化为已知函数的复合函数等形式解决问题．(3)特值思想：如果函数的某一性质(一般是等式、不等式等)对某些数值恒成立，那么通过合理赋值可以得到特殊函数值甚至是函数解析式，进而解决问题．[应用] 已知定义域为D 的函数y ＝f (x )和常数c ，若对∀ε>0，∃x 0∈D ，使得0<|f (x 0)－c |<ε，则称函数y ＝f (x )为“c 敛函数”．给出下列函数：①f (x )＝x (x ∈Z )；②f (x )＝2－x ＋1(x ∈Z )；③f (x )＝log 2x ；④f (x )＝1－x －1.则其中是“1敛函数”的序号是( ) A ．①② B ．③④ C ．①②③D ．②③④解析：选D 对于f (x )＝x (x ∈Z )，对∀ε>0，不会存在x ∈Z ，满足0<|x －1|<ε； 对于f (x )＝2－x ＋1(x ∈Z )，|f (x )－1|＝2－x ，那么0<2－x <ε，存在x >log 12ε满足题意；对于f (x )＝log 2x ，|f (x )－1|＝|log 2x2|，存在x ＝21－ε2满足题意；对于f (x )＝1－x －1，|f (x )－1|＝x －1， 存在x ＝2ε满足题意．综上可知，②③④是“1敛函数”．故选D ．限时规范训练 基础夯实练1．已知f (2x －1)＝4x 2，则f (－3)＝( ) A ．36 B ．16 C ．4D ．－16解析：选C 令2x －1＝－3，则x ＝－1，4x 2＝4.故选C ．2．(2021·河南濮阳模拟)函数y ＝－x 2＋x ＋6＋1x －1的定义域为( ) A ．[－2，3]B ．[－2，1)∪(1，3]C ．(－∞，－2]∪[3，＋∞)D ．(－2，1)∪(1，3) 解析：选B 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ＋6≥0，x －1≠0，解得－2≤x ＜1或1<x ≤3，故选B ． 3．(2021·江西南昌名校一模)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≤0，f （x －3），x >0，则f (5)的值为( ) A ．－7B ．－1C ．0D ．12解析：选D f (5)＝f (5－3)＝f (2)＝f (2－3)＝f (－1)＝(－1)2－2－1＝12.故选D ． 4．(2021·衡水调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥0，3x 2，x <0，且f (x 0)＝3，则实数x 0的值为( ) A ．－1B ．1C ．－1或1D ．－1或－13解析：选C 由条件可知，当x 0≥0时，f (x 0)＝2x 0＋1＝3，所以x 0＝1；当x 0<0时，f (x 0)＝3x 20＝3，所以x 0＝－1.所以实数x 0的值为－1或1.5．设函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2（x ＋1），x ≥0，－x ，x <0，则满足f (x ＋1)<2的x 的取值范围为( ) A ．(－4，3)B ．(－5，2)C ．(－3，4)D ．(－∞，－3)∪(4，＋∞)解析：选B 当x ≥－1时，f (x ＋1)<2等价于log 2[(x ＋1)＋1]<2＝log 24，即x ＋2<4，解得－1≤x <2；当x <－1时，f (x ＋1)<2等价于－（x ＋1）<2，解得－5<x <－1.综上，使得f (x ＋1)<2的x 的取值范围是(－5，2)，故选B ．6．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln （－x ），－1≤x <0，e ax ，0≤x ≤1(a ∈R ，e 是自然对数的底数)且f (1)＝2，则f ⎝⎛⎭⎫－1e －f (log 43)＝( )A ．－1－ 3B ．－1＋ 3C ．1－ 3D ．1＋ 3 解析：选A 由f (1)＝2，即e a ＝2，得a ＝ln 2，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln （－x ），－1≤x <0，2x ，0≤x ≤1，于是f ⎝⎛⎭⎫－1e －f (log 43)＝ln 1e－2log 43＝－1－ 3.故选A ． 7．已知f (2x ＋1)＝x 2－2x ，则f (3)＝________．解析：解法一：令t ＝2x ＋1，∴x ＝t －12. ∴f (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122－2·t －12＝14(t 2－2t ＋1)－t ＋1 ＝14t 2－32t ＋54， ∴f (x )＝14x 2－32x ＋54. ∴f (3)＝14×9－32×3＋54＝－1. 解法二：令2x ＋1＝3，得x ＝1，所以f (3)＝12－2×1＝－1.答案：－18．若函数y ＝f (x )的定义域是[1，2022]，则函数g (x )＝f （x ＋1）x －1的定义域是________． 解析：因为y ＝f (x )的定义域为[1，2022]，所以要使g (x )有意义，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋1≤2022，x －1≠0， 所以0≤x ≤2021，且x ≠1.因此g (x )的定义域为[0，1)∪(1，2021]．答案：[0，1)∪(1，2021]综合提升练9．(2021·安徽合肥168中期末)中文“函数”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译出来的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，即函数指一个量随着另一个量的变化而变化．下列选项中，两个函数相同的一组是( )A ．f (x )＝3x 3与g (x )＝|x |B ．f (x )＝2lg x 与g (x )＝lg x 2C ．f (x )＝22x 与g (t )＝4tD ．f (x )＝x －1与g (x )＝x 2－1x ＋1解析：选C 对于A ，f (x )＝3x 3＝x ，定义域为R ，g (x )＝|x |，定义域为R ，但两个函数的对应关系不同，不是相同函数；对于B ，f (x )＝2lg x ，定义域为(0，＋∞)，g (x )＝lg x 2，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，两个函数的定义域不同，不是相同函数；对于C ，f (x )＝22x ＝4x ，定义域为R ，g (t )＝4t ，定义域为R ，两个函数的定义域相同，对应关系也相同，是相同函数；对于D ，f (x )＝x －1，定义域为R ，g (x )＝x 2－1x ＋1＝x －1，定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，两个函数的定义域不同，不是相同函数．故选C ．10．(2021·重庆育才中学月考)定义H (x )表示不小于x 的最小整数，例如：H (1.5)＝2，对x ，y ∈R ，则下列说法正确的是( )A ．H (－x )＝－H (x )B ．H (2－x )＝H (x )C ．H (x ＋y )≥H (x )＋H (y )D ．H (x －y )≥H (x )－H (y )解析：选D 对于A ，H (1.5)＝2，H (－1.5)＝－1，∴A 错误；对于B ，H (1.5)＝2，H (0.5)＝1，∴B 错误；对于C ，H (1.5)＝2，H (0.5)＝1，∴H (1.5＋0.5)＝2<H (1.5)＋H (0.5)，∴C 错误．故根据排除法，D 正确．故选D ．11．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x <2，log 3（x 2－1），x ≥2，则不等式f (x ＋1)>2的解集为( ) A ．(－2，4)B ．(0，1)∪(10－1，＋∞)C ．(1，2)∪(10，＋∞)D ．(2，3)∪(10＋1，＋∞)解析：选B 当x ＋1<2，即x <1时，不等式f (x ＋1)>2可化为2e x >2，解得x >0，故0<x <1；当x ＋1≥2，即x ≥1时，不等式f (x ＋1)>2可化为log 3[(x ＋1)2－1]>2，所以(x ＋1)2－1>32，即(x ＋1)2>10，解得x >10－1.综上所述，不等式f (x ＋1)>2的解集为(0，1)∪(10－1，＋∞)．12．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x <1，x 2，x ≥1，则满足2f (f (a ))＝f (a )的a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0]B ．[0，2]C ．[2，＋∞)D ．(－∞，0]∪[2，＋∞)解析：选D 因为2f (f (a ))＝f (a )，所以f (f (a ))＝f （a ）2. ①当a <1时，f (a )＝⎝⎛⎭⎫12a ，要使f (f (a ))＝f （a ）2，必有⎝⎛⎭⎫12a ≥1，即a ≤0； ②当a ≥1时，f (a )＝a 2，要使f (f (a ))＝f （a ）2，必有a 2≥1，即a ≥2. 综上，实数a 的取值范围是(－∞，0]∪[2，＋∞)．故选D ．13．(2021·四川诊断性测试)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≤2，log 2（x －1），x >2，则f (f (5))＝______，不等式f (x ＋2)＋f (x )>f (2)的解集为______．解析：∵f (5)＝log 24＝2，∴f (f (5))＝f (2)＝1.∴f (x ＋2)＋f (x )>f (2)＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≤2，x ＋2－1＋x －1>1或⎩⎪⎨⎪⎧x >2，log 2（x ＋1）＋log 2（x －1）>1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2>2，x ≤2，log 2（x ＋1）＋x －1>1，解得x >2或1<x ≤2，则原不等式的解集为{x |x >1}．答案：1 {x |x >1}创新应用练14．(2021·滨州模拟)具有性质f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数．下列函数：①y ＝x －1x ；②y ＝x ＋1x ；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1中满足“倒负”变换的函数是( ) A ．①②B ．②③C ．①③D ．只有①解析：选C 对于①，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )，满足“倒负”变换；对于②，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x ＋x ≠－f (x )，不满足“倒负”变换；对于③，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，0<x <1，0，x ＝1，1x ，x >1，满足f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )．故①③满足“倒负”变换．15．(2021·安徽六安一中模拟)黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用，其定义为：定义在区间[0，1]上的函数R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1p ，x ＝q p （p ，q 都是正整数，q p 是既约真分数）.0，x ＝0，1或无理数.若函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意x 都有f (2－x )＋f (x )＝0，当x ∈[0，1]时，f (x )＝R (x )，则f ⎝⎛⎭⎫185＋f (lg 30)＝________．解析：由于函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＋f (2－x )＝0，所以f (x )＝－f (2－x )＝f (x －2)，所以2是函数f (x )的周期．则f ⎝⎛⎭⎫185＝f ⎝⎛⎭⎫185－4＝f ⎝⎛⎭⎫－25＝－f ⎝⎛⎭⎫25＝－R ⎝⎛⎭⎫25＝－15. f (lg 30)＝f (lg 3＋lg 10)＝f (lg 3＋1)＝f (lg 3－1)＝－f (1－lg 3)＝－R (1－lg 3)＝0，所以f ⎝⎛⎭⎫185＋f (lg 30)＝－15. 答案：－15。
数学第一节函数知识点总结
数学第一节函数知识点总结一、函数的概念函数是数学中的一个重要概念，它描述了输入和输出之间的关系。
简单来说，函数就是将一个或多个输入映射到一个输出的规则。
在数学中，函数通常用符号来表示，例如 f(x) = x^2 表示一个将输入x映射到其平方的函数。
二、函数的符号表示在函数的表示中，常见的符号包括函数名称、自变量、函数表达式和输出值。
例如在 f(x) = x^2 中，f(x) 表示函数名称，x表示自变量，x^2表示函数表达式，而 f(x) 对应的输出值就是 x^2。
三、定义域和值域函数的定义域是指输入的取值范围，即可能的自变量的集合。
而值域则是函数输出的取值范围，即可能的函数值的集合。
例如在函数 f(x) = x^2 中，定义域为实数集，而值域也为实数集。
四、函数的性质1. 函数的奇偶性：一个函数的奇偶性取决于其表达式中的次数，如果一个函数满足 f(-x) = f(x)，则它是偶函数；如果一个函数满足 f(-x) = -f(x)，则它是奇函数。
2. 函数的单调性：一个函数在定义域上的变化趋势称为函数的单调性，可以是增函数或减函数。
3. 函数的周期性：如果对于任意实数x，存在一个正实数T，使得f(x+T)=f(x)，则称函数f(x)为周期函数。
五、常见的函数类型1. 多项式函数：多项式函数是指形式为 f(x) = a0 + a1x + a2x^2 + ... + anx^n 的函数，其中a0,a1,...,an为常数，n为非负整数。
2. 指数函数：指数函数是形如f(x) = a^x的函数，其中a为正实数，x为任意实数。
3. 对数函数：对数函数是指形如f(x) = loga(x)的函数，其中a为正实数，x为正实数。
4. 三角函数：三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，是正弦曲线、余弦曲线、正切曲线的函数表达式。
5. 无理函数：无理函数是指在定义域上可以表示为rational函数之外的函数。
六、函数的运算1. 函数的加减运算：当两个函数f(x)和g(x)定义域相同时，可以对它们进行加减运算，即(f+g)(x) = f(x) + g(x)。
高等数学(微积分学)教学课件
三、两个重要极限
重要极限Ⅰ lim sin x 1 x0 x
它可以拓展为 lim sin[ f (x)] 1 f (x)0 f (x)
sin 2x
例：lim x 2x
1
1 cos x
lim
x0
x2
lim
x0
2 sin 2 x 2
4 x2 4
lim
1
sin
x 2
x0 2 x
2
2
1 2
判断：lim sin x 1
叫做因变量.
数集 D 称为这个函数的定义域.
全体函数值的集合称为函数的值域.
2. 函数的表示法
解析法（公式法）：用解析表达式（或公式）表示函数关系.
y x 1
表格法：用列表的方法来表示函数关系.
x123456789 y 1 4 9 16 25 36 49 64 81
图示法：用平面直角坐标系 xoy 上的曲线来表示函数关系.
x
x
1 0
x
x
1
1
1 lim( x0 1
x
)
1 x
x
lim
x0
(1 (1
x) x
1
x) x
lim x0
(1 x) x
1 (1)
[1 (x)] x
e e1
e2
一类特殊极限
若f
(x)
a0 xm a1xm1 a2 xm2 b0 xn b1xn1 b2 xn2
am1x am bn1x bn
x 果对于定义区间的任意点 , 恒有 f (x) f (x) , 则称f (x)
为 D 内的偶函数；如果恒有 f (x) f (x) , 则称 f (x)为D
第一节 函数的概念
例如U 1,1.5 = x 0 < x - 1 <1.5
o
表示以点x0 = 1为中心， 以 =1.5为半径的邻域， 即 -0.5,1 1, 2.5
三、函数
• 引例1：圆的面积A与其半径r之间的相互关 系为： A = r 2 ，当r在（0，+∞）内任 意取定一个数值时，就可由上式确定圆面积 A的对应数值。 • 引例2：某商品的销售单价为k元，销售数 量x与销售收入R之间的相互关系为：R=kx， 当x在自然数集1,2,3，…中任意取定一个 数值时，就可由上式确定销售收入R的对应 数值。
二、区间与集合
•集合与集合的元素 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 集合可 用大写的字母A, B, C, D 等表示. 组成集合的事物称为集合的元素. 集合的元素可用 小写的字母a, b, c, d 等表示. a是集合M的元素记为aM, 读作a属于M. a不是集合M的元素记为aM, 读作a不属于M. •集合的表示 A={a, b, c, d, e, f, g}是用列举法表示的. M={(x, y)|x, y为实数, x2+y2=1}是用描述法表示的.
三、 函数
• 引例3：某百货商店记录了毛线历年来的月销售量 （单位：百公斤），并将近10年来的平均月销售 量列成下表。
月份t 平均月 销售量s 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
81 84 45 49 9 5 6 17 94 161 144 123
• 该表表示了该商店毛线的销售量与月份之间的相 互关系，且当t在1,2,3，…，12中任意确定一个 数值时，从表中就可确定一个平均月销售量s的对 应数值。
•几个数集 所有自然数构成的集合记为N, 称为自然数集. 所有实数构成的集合记为R, 称为实数集.
高等数学11 第一节 函数的概念和性质
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2.函数的周期性
设函数 y f x 的定义域为Df ,如果存在一个
常数 T 0 ,使得对任意 x Df有 x T Df ,且
f x T f x,则称函数 f x为周期函数, T 称为f x
的周期.
显然,若 是T周期函数 的f 周x期,则 也是kT f x的 周期 k 1,2,通,3, 常说的周期就是最小正周期.
I 上是单调减少的. 它们统称为单调函数.使函数 保持单调性的自变量的取值区间称为该函数的单 调区间 .
如函数 y ln x在0, 内是单调增加的,函数 y x在 ,内是单调减少的.
4.函数的有界性
设函数 y f x在区间 I上有定义,如果存在正 常数 M ,使得对于区间 I 内所有x ,恒有 f x M , 则称函数 f x在区间 I 上有界.如果这样的M 不存 在,则称f x在区间 I 上无界.
解 ⑴ f x与gx不是相同的函数,因为定义域不同. ⑵ f x与 gx是 相同的函数,因为定义域与对应
法则都相同.
注 求函数定义域时应注意的一般规律
① 开偶次方,根号内的表达式不小于零; ② 对数中的真数必须大于零; ③ 分式中的分母不能为零; ④ 反正弦和反余弦符号下的表达式的绝对值不能
大于1; ⑤ 分段函数的定义域是各段定义域的并集.
如函数y sin x 和 y cos x 都是以2 为周期的 周期函数.
3.函数的单调性
设函数 y f x在区间 I上有定义,对I 内的任 意两点 x1, x2 ,当 x1 x2时,若有f x1 f x2 ,则称f x 在 I 上是单调增加的;若有 f x1 f x2 ,则称 f x在
如函数 y sin x 在区间 ,内是有界的.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
y arctan 3x . y ln( x 1) ， y sin 3 2 x ，
思考:函数 y x 是不是初等函数?
四. 分段函数
有些函数虽然也可以用解析式表示， 但不能用一个解析式表示，在定义域的不同 范围具有不同的解析式，这样的函数称为分 段函数。 1 x0
x 例如 y x
指出函数 y 2 cos 3( x 2) 1 的复合过
2 2 2
解 复合过程为 思考:
y 2u 2 1, u cos v,
v 3w2 , w x 2 2.
y arcsin( x 2 2) 没有意义,为什么?
例1.1.2 把下列复合函数表示或分解为若干个简单 函数. 2 x . (1) y ln 2 x ; (2) y ln sin 2 x ; (3) y arctan 2 x 解 1 1 (1)复合函数可表示为: y ln 2 x ln 2 ln x ; 2 2 (2)复合函数可分解为: y ln u, u sin v, v , 2 x;
2 x . (3)复合函数可分解为: y arctan u, u 2 x
三.初等函数
定义1.1.2 由基本初等函数和常数经过有限次的四则运算 或经过有限次的复合步骤所构成的，并且可用一个 解析式子表示的函数叫做初等函数.
y 2 x ， y 3 sin x ， 例如 y 2 ，
y （元）与物件重量 x（kg）之
间的函数关系是： 3x 0 x 20 y x 20 4.5x 30
x0 ，y 0 x0 1 x0 . x0
例1.1.3【快递邮费】 某快递公司规定：寄送到某 地的物件，当物件不超过20kg时，按基本邮费每千克3元 计算；当超过20kg时，超过部分按每千克4.5元计算．试 y 求寄送到该地的物件的邮费 （元）与物件重量 x（kg） 之间的函数关系． 解 当物件重量 0 x 20 时，邮费为 y 3 x; 当物件重量 x 20 时，邮费为： y 3 20 4.5 x 20 4.5x 30 所以，到该地的邮费
授课建议
1．根据中学所学的情况，函数的概念、函数极限、 极限的四则运算，可作简单的复习介绍； 2．重点介绍无穷小与无穷大,函数的连续性；
3．归纳总结求极限的一些基本初等方法. 建议授课时数：约8学时
第一节 函数的概念
一. 基本初等函数 1．幂函数 y x（ 为实数）
2．指数函数 y a
二. 复合函数
定义1.1.1
y f (u) 复合 y f ( ( x)) u ( x)
注意：
x 称为自变量，u 称为中间变量,来自数.y 是 x 的复合函
注意：函数 u ( x) 的值域应在函数 y f (u ) 的定 义域内，否则就没有意义.
例1.1.1 程．
x (a
0 且 a 1)
3．对数函数 y loga x ( a 0 且 a 1) 4．三角函数： y tan x ； y sin x ； y cos x ； y cot x ； y sec x ； y csc x .
y arcsin x ； y arccos x ； 5．反三角函数： y arctan x ； y arc cot x .