2019届浙江省宁波市镇海中学高三上学期期中考试数学试卷及解析
2019学年镇海中学高三上期中
2019学年镇海中学高三上期中一、选择题：每小题4分，共40分1. 已知集合{}2450A x x x =∈--≤Z ，{}0ln 2B x x =<<，则A B 的元素的个数（ ）A ．2B ．3C ．4D ．72. 若a ，b ，c ∈R ，且a b >，则下列不等式中一定成立的是（ ）A ．ac bc >B ．()20a b c ->C ．11a b<D ．22a b -<-3. 已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且24S =，418S =，则6S 等于（ ）A ．50B ．42C ．38D ．364. 函数()243xx f x =的图象大致为（ ）5. 如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是（ ）A ．76B ．84C．76+D．84+6. 将函数()y f x =的图象向右平移6π个单位长度后，得到 ()sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()y f x =的函数解析式为（ ）A ．()cos 2f x x =-B ．()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()cos 2f x x =D ．()cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭7. 设命题p ：()lg 210x -≤，命题q ：()10x a x a-+≤-，若q 是p 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是（ ）A ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．∅BD俯视图侧视图正视图8. 已知22ππαβ-<-<，sin 2cos 1αβ-=，cos 2sin αβ+=sin 6πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）ABC． D． 9. 已知椭圆和双曲线有相同的焦点1F ，2F ，设点P 是该椭圆和双曲线的一个公共点，且123F PF π∠=，若椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则2212e e +的最小值为（ ）AB．4+C．2+ D．110. 设a ，b 为正实数，且121322a b a b +++=，则12a b +的最大值与最小值之和为（ ）A ．2B ．92C ．132D ．9二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分11. 抛物线22y x =的焦点坐标为 ，准线方程为 ．12. 已知点()1,0A ，()0,2B ，点(),P a b 在线段AB 上，则直线AB 的斜率为 ， ⋅a b 的最大值为 ．13. 若实数(),x y 满足约束条件20201x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则2x y -的最小值为 ，的最小值为 ．14. 已知长方体1111ABCD A B C D -中，112AA =，1AB =，AD ，则直线1AA 与平面1A BD 所成的角为 ，若空间的一条直线l 与直线1AA 所成的角为4π，则直线l 与平面1A BD 所成的最大角为 ．15. 已知{}n a 是等比数列且0n a >，243546225a a a a a a ++=，则4a 的最大值为 ． 16. 已知圆O ：221x y +=，设点P 是恒过点()0,4的直线l 上任意的一点，若在该圆上存在点A 使得3OPA π∠≤，则直线l 的斜率k 的取值范围为 ．17. 已知()11,A x y ，()22,B x y 为单位圆上两点，且满足12OA OB ⋅=，则1122x y x y +++的取值范围为 ．三、解答题：5小题，共74分18. 已知()sin cos sin 222x x x f x a ⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭．（1）求实数a 的值；（2）若44f a f a ππ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求2141tan παα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭+的值．19. 在锐角ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知3b =，2239a c c =-+．（1）求A ；（2）求22sin sin B C +的取值范围．20. 如图，在三棱锥P ABC -中，PAB △与ABC △都为等腰直角三角形，PA PB ⊥，AB AC ⊥，M 为AC的中点，且PM AC =．（1）求二面角P AB C --的大小；（2）求直线PM 与平面PBC 所成角的正弦值．M PCBA21. 已知数列{}n a 的前n 项和为{}n S ，且满足：12a =，()*132n n a S n +=-+∈N ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 满足12b =-，()()()2131n n n b b n n n a +-+=+，求数列{}n b 的通项公式．22. 在平面直角坐标系中，已知()2,0F ，()2,P t -，若线段FP 的中垂线l 与抛物线()2:20C y px p =>总是相切．（1）求抛物线C 的方程；（2）若过点()2,1Q 的直线l '交抛物线C 于M 、N 两点，过M ，N 分别作抛物线的切线1l ，2l 相交于点A ，1l ，2l 分别与y 轴交于点B ，C ；（i ）证明：当l '变化时，ABC △的外接圆过定点，并求出定点的坐标； （ii ）求ABC △的外接圆面积的最小值．。
2019年宁波市高三数学上期中模拟试卷含答案
2019年宁波市高三数学上期中模拟试卷含答案一、选择题1．已知首项为正数的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1008a 和1009a 是方程2201720180x x --=的两根，则使0n S >成立的正整数n 的最大值是（ ）A ．1008B ．1009C ．2016D ．20172．若不等式组0220y x y x y x y a ⎧⎪+⎪⎨-⎪⎪+⎩…„…„表示的平面区域是一个三角形，则实数a 的取值范围是（ ）A ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．(]0,1C ．41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．(]40,1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭U3．已知实数x ，y 满足521802030x y x y x y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪+-≥⎩，若直线10kx y -+=经过该可行域，则实数k的最大值是（ ） A ．1B ．32C ．2D ．34．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，19a =，95495S S -=-，则n S 取最大值时的n 为 A ．4B ．5C ．6D ．4或55．若ABC V 的对边分别为,,a b c ，且1a =，45B ∠=o ,2ABC S =V ,则b =（ ） A ．5B ．25CD．6．已知AB AC ⊥u u u v u u u v ，1AB t=u u uv ，AC t =u u u v ，若P 点是ABC V 所在平面内一点，且4AB AC AP AB AC=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，则·PB PC u u u v u u u v 的最大值等于（ ）. A ．13B ．15C ．19D ．217．,x y 满足约束条件362000x y x y x y -≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩,若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12，则23a b+的最小值为 ( )A．256B ．25C ．253D ．58．如图，有四座城市A 、B 、C 、D ，其中B 在A 的正东方向，且与A 相距120km ，D 在A 的北偏东30°方向，且与A 相距60km ；C 在B 的北偏东30°方向，且与B 相距6013km ，一架飞机从城市D 出发以360/km h 的速度向城市C 飞行，飞行了15min ，接到命令改变航向，飞向城市B ，此时飞机距离城市B 有（ ）A ．120kmB ．606kmC ．605kmD ．603km9．已知x ，y 满足条件0{20x y xx y k ≥≤++≤(k 为常数)，若目标函数z ＝x ＋3y 的最大值为8，则k ＝( ) A ．－16B ．－6C ．-83D ．610．若0,0x y >>，且211x y+=，227x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(8,1)-B ．(,8)(1,)-∞-⋃+∞C ．(,1)(8,)-∞-⋃+∞D ．(1,8)-11．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若sin 23sin 0b A a B +=，3b c =，则ca的值为（ ） A ．1B ．3 C ．5 D ．7712．若正数,x y 满足40x y xy +-=，则3x y+的最大值为 A ．13B ．38C ．37D ．1二、填空题13．设0,0,25x y x y >>+=，则xy的最小值为______.14．已知的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________．15．等差数列{}n a 中，1351,14,a a a =+=其前n 项和100n S =，则n=＿＿16．已知,x y 满足条件20220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，若目标函数=+z -ax y 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为__________．17．设等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为,n n S T 若对任意自然数n 都有2343n n S n T n -=-，则935784a ab b b b +++的值为_______．18．已知数列{}n a 满足1133,2,n n a a a n +=-=则na n的最小值为__________. 19．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，已知,,a b c 成等比数列，且22a c ac bc -=-，则sin cb B的值为________. 20．已知实数x ，y 满足约束条件20x y y x y x b -≥⎧⎪≥⎨⎪≥-+⎩，若2z x y =+的最小值为3，则实数b =____ 三、解答题21．在ABC V 中，5cos 13A =-，3cos 5B =． (1)求sinC 的值；(2)设5BC =，求ABC V 的面积．22．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，已知24sin 4sin sin 22A BA B -+=（1）求角C 的大小；（2）已知4b =，ABC ∆的面积为6，求边长c 的值.23．若数列{}n a 是递增的等差数列，它的前n 项和为n T ，其中39T =，且1a ,2a ,5a 成等比数列.（1）求{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，若对任意*n N ∈，24n S a a ≤-恒成立，求a 的取值范围.24．已知函数()f x a b =⋅v v，其中()()2cos 2,cos ,1,a x x b x x R ==∈v v．（1）求函数()y f x =的单调递增区间；（2）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为(),,,2,a b c f A a ==2b c =，求ABC ∆的面积．25．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1250,15a a S +==，数列{}n b 满足：12b a =，且131(2).n n n n n nb a b a b ++++=（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若211(5)log n n n c a b +=+⋅，求数列{}n c 的 前n 项和.n T26．已知在等比数列{a n }中，2a ＝2，，45a a ＝128，数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝2，且{12n n b a +}为等差数列． （1）求数列{a n }和{b n }的通项公式； （2）求数列{b n }的前n 项和【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】依题意知100810091008100920170,20180a a a a +=>=-<，Q 数列的首项为正数，()()1201610081009100810092016201620160,0,022a a a a a a S +⨯+⨯∴>∴==，()12017201710092017201702a a S a+⨯==⨯<，∴使0n S >成立的正整数n 的最大值是2016，故选C.2．D解析：D 【解析】 【分析】要确定不等式组0220y x y x y x y a⎧⎪+⎪⎨-⎪⎪+⎩…„…„表示的平面区域是否一个三角形，我们可以先画出0220y x y x y ⎧⎪+⎨⎪-⎩…„…，再对a 值进行分类讨论，找出满足条件的实数a 的取值范围． 【详解】不等式组0220y x y x y ⎧⎪+⎨⎪-⎩…„…表示的平面区域如图中阴影部分所示．由22x y x y =⎧⎨+=⎩得22,33A ⎛⎫⎪⎝⎭，由022y x y =⎧⎨+=⎩得()10B ,． 若原不等式组0220y x y x y x y a⎧⎪+⎪⎨-⎪⎪+⎩…„…„表示的平面区域是一个三角形，则直线x y a +=中a 的取值范围是(]40,1,3a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭U 故选：D 【点睛】平面区域的形状问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，然后结合分类讨论的思想，针对图象分析满足条件的参数的取值范围．3．B解析：B 【解析】 【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用直线20kx y -+=过定点()0,1，再利用k 的几何意义，只需求出直线10kx y -+=过点()2,4B 时，k 值即可． 【详解】直线20kx y -+=过定点()0,1， 作可行域如图所示，，由5218020x y x y +-=⎧⎨-=⎩，得()2,4B ． 当定点()0,1和B 点连接时，斜率最大，此时413202k -==-， 则k 的最大值为：32故选：B ． 【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．4．B解析：B 【解析】由{}n a 为等差数列，所以95532495S S a a d -=-==-，即2d =-， 由19a =，所以211n a n =-+， 令2110n a n =-+<，即112n >， 所以n S 取最大值时的n 为5， 故选B ．5．A解析：A 【解析】在ABC ∆中，1a =，045B ∠=，可得114522ABC S csin ∆=⨯⨯︒=，解得42c =．由余弦定理可得：()222222142214252b ac accosB =+-=+-⨯⨯⨯=． 6．A解析：A 【解析】以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则1(,0)B t，(0,)C t ，10)4(0,1)(1,4)AP =+=u u u r （，，即14)P （，，所以114)PB t=--u u u r （，，14)PC t =--u u u r （，，因此PB PC ⋅u u u r u u u r11416t t =--+117(4)t t =-+，因为114244t t t t+≥⋅=，所以PB PC ⋅u u u r u u u r 的最大值等于13，当14t t =，即12t =时取等号．考点：1、平面向量数量积；2、基本不等式．7．A解析：A 【解析】 【分析】先画不等式组表示的平面区域，由图可得目标函数(0,0)z ax by a b =+>>何时取最大值，进而找到a b ，之间的关系式236,a b +=然后可得23123()(23)6a b a b a b+=++，化简变形用基本不等式即可求解。
【100所名校】2019届浙江省宁波市镇海中学高三上学期期中考试数学试题(解析版)
好教育云平台 名校精编卷 第1页（共4页） 好教育云平台 名校精编卷 第2页（共4页）2019届浙江省宁波市镇海中学 高三上学期期中考试数学试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题1．设全集U =R ，集合A ={x|x ≥3},B ={x|x ≤0<5}，则集合(C U A )∩B = A ．{x|0≤x ≤3} B ．{x|0<x <3} C ．{x|0<x ≤3} D ．{x|0≤x <3}2．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是A ．8−π3B ．163C ．8−π6D ．2033．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若S 9=45,a 3+a 8=12, 则a 7= A ．10 B ．9 C ．8 D ．74．4．满足线性约束条件23,23,{ 0,0x y x y x y +≤+≤≥≥的目标函数z x y =+的最大值是A ．1B ．32C ．2D ．3 5．已知函数f (x )=x 2−In|x|x，则函数f (x )的图象为A ．B ．C ．D ．6．若α、β是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为①若直线m ⊥α，则在平面β内一定不存在与直线m 平行的直线．②若直线m ⊥α，则在平面β内一定存在无数条直线与直线m 垂直． ③若直线m ⊂α，则在平面β内不一定存在与直线m 垂直的直线． ④若直线m ⊂α，则在平面β内一定存在与直线m 垂直的直线． A ．①③ B ．②③ C ．②④ D ．①④ 7．已知sin (π6−α)=√23，那么cos2α+√3sin2α=A ．109 B ．−109 C ．−59 D ．598．已知正项等比数列{a n }满足a 7=a 6+2a 5，若存在两项a m ,a n ，使得a m ⋅a n =16a 12，则1m+9n 的最小值为 A ．32 B ．114 C ．83 D ．103 9．已知双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2，P 为双曲线C 上一点，Q 为双曲线C 渐近线上一点，P,Q 均位于第一象限，且2QP ⃑⃑⃑⃑⃑ =PF 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，QF 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅QF 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =0，则双曲线C 的离心率为A ．√3−1B ．√3+1C ．√13−2D ．√13+210．如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，底面为边长为2的正三角形，B 1在底面的射影为AC 中点且B 1到底面的距离为√3，已知E,F 分别是线段AB 1与CA 1上的动点，记线段EF 中点M 的轨迹为L ，则|L |等于(注：|L |表示L 的测度，本题中L 若分别为曲线、平面图形、空间几何体，分别对应为其长度、面积、体积）此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号A．1B．√102C．√32D．√394二、填空题11．中国古代数学著作《九章算术》中有一个这样的问题：“某贾人擅营，月入益功疾（注：从第2月开始，每月比前一月多入相同量的铜钱，3月入25贯，全年（按12个月计）共入510贯“，则该人每月比前一月多入_________________贯，第12月营收贯数为_________________.12．y=sin(2x+π6)的最小正周期为_________________，为了得到函数y=sin(2x+π6)的图象，可以将函数y=cos2x的图象向左最小移动_______个单位13．已知直线l1:ax+(a+2)y+1=0,l2:x+ay+2=0，其中a∈R，若l1⊥l2，则a=______，若l1//l2，则a=__________.14．已知x,y∈R，且4x2+y2+xy=1，则4x2+y2的最小值_________，此时x的值为___________.15．已知两不共线的非零向量a ,b⃑满足|a|=2,|a−b⃑|=1,则向量a与b⃑夹角的最大值是__________.16．已知数列{a n}为等差数列，其前n项和为S n，且2a1+3a3=S6，给出以下结论：①a10= 0②S10最小③S7=S12④S19=0，正确的有_________________.17．设函数f(x)={|12x−4|+1,x≤1x(x−2)2+a,x>1，若存在互不相等的4个实数x1,x2,x3,x4，使得f(x1)x1=f(x2) x2=f(x3)x3=f(x4)x4=7，则a的取值范围为__________.三、解答题18．已知函数f(x)=sin x3cos x3+√3cos2x3（1）求函数f(x)图象对称中心的坐标；（2）如果ΔABC的三边a,b,c满足b2=ac，且边b所对的角为B，求f(B)的取值范围．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n−32n,n∈N∗，b n=a n−12n（1）求证：数列{b n}为等比数列，并求出数列{a n}的通项公式；（2）是否存在实数λ，对任意m,n∈N∗，不等式S m>λb n恒成立？若存在，求出λ的取值范围，若不存在请说明理由．20．如图，四棱锥P−ABCD的底面ABCD为平行四边形，平面PAB⊥平面ABCD，PB=PC,∠ABC=45°，点E是线段PA上靠近点A的三等分点（1）求证：AB⊥PC（2）若ΔPAB是边长为2的等边三角形，求直线DE与平面PBC所成角的正弦值21．如图，O为坐标原点，点F为抛物线C1:x2=2py(p>0)的焦点，且抛物线C1上点P处的切线与圆C2:x2+y2=1相切于点Q（1）当直线PQ的方程为x−y−√2=0时，求抛物线C1的方程；（2）当正数p变化时，记S1,S2分别为ΔFPQ,ΔFOQ的面积，求S1S2的最小值。
【数学】浙江省镇海中学2018-2019学年高三上学期期中考试数学试卷(精校版)
镇海中学2018学年第一学期期中考试高三年级数学试卷一、选择题：（本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．）1．设全集U R =，集合{}{}|,|053A x x B x x ==≤<≥，则集合()U C A B （ ）A ．{}|03x x ≤≤B ．{}|03x x <<C ．{}|03x x <≤D ．{}|03x x ≤<2．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（ ）A ．83π-B ．163C ．86π-D ．2033．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若93845,12S a a =+=，则7a 等于（ ）A ．10B ．9C ．8D ．74．满足线性约束条件23230,0x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩的目标函数z x y =+的最大值是（ ）A ． 1B ．32C ．2D ．35．已知函数()2||In x f x x x=-，则函数()f x 的图象为（ ）A ．B ．C ．D ．6．若,αβ是两个相交的平面，则下列命题中，真命题的序号为（ ） ①若直线m α⊥，则在平面β内，一定不存在与直线m 平行的直线 ②若直线m α⊥，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m 垂直 ③若直线m α⊆，则在平面β内，不一定存在与直线m 垂直的直线 ④若直线m α⊆，则在平面β内，一定存在与直线m 垂直的直线A ．①③B ．②③C ．②④D ．①④7．已知sin 63πα⎛⎫-=-⎪⎝⎭，那么cos22αα=（ ） A ．109B ．109-C ．59-D ．598．已知正项等比数列{}n a 满足7652a a a =+，若存在两项,m n a a ，使得2116m n a a a ⋅=，则19m n+的最小值为（ ）A ．32B ．114C ．83D ．1039．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右交点分别为12,F F ，P 为双曲线C 上一点，Q 为双曲线渐近线C 上一点，,P Q 均位于第一象限，且2122,0QP PF QF QF →→→→=⋅=，则双曲线C 的离心率为（ ）A 1B 1C 2D 210．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面为边长为2的正三角形，1B 在底面的射影为AC 中点且1B 到,E F 分别是线段1AB 与1CA 上的动点，记线段EF 中点M 的轨迹为L ，则L 等于（ ）(注：L 表示L 的测度，本题中L 若分别为曲线、平面图形、空间几何体，分别对应为其长度、A ．1BCD二、填空题：（本大题共7个小题,多空题每题6分，单空题每小题4分,共36分．）11．中国古代数学著作《九章算术》中有一个这样的问题：“某贾人擅营，月入益功疾（注：从第2月开始，每月比前一月多入相同量的铜钱，3月入25贯，全年（按12个月计）共入510贯“，则该人每月比前一月多入_________________贯，第12月营收贯数为_________________. 12．sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期为_________________，为了得到函数sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，可以将函数cos 2y x =的图象向左最小移动_________________个单位13．已知直线()12:210,:20l ax a y l x ay +++=++=，其中a R ∈，若12l l ⊥，则a =_________________，若12//l l ，则a =_________________.14．已知,x y R ∈，且2241x y xy ++=，则224x y +的最小值_________________，此时x 的值为_________________.15．已知两个不共线的非零向量,a b →→，满足2,1a a b →→→=-=，则向量,a b →→夹角的最大值是_________________.16．已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，且13623a a S +=，给出以下结论：①100a =②10S 最小③712S S =④190S =，正确的有_________________.17．设函数()()2|124|1,12,1x x f x x x a x -+≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩，若存在互不相等的4个实数1234,,,x x x x，使得()()()()123412347f x f x f x f x x x x x ====，则a 的取值范围为_________________. 三、解答题：（本大题共个5小题,共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18．(本小题满分14分)已知函数()2sin cos 333x x x f x =+ （1）求函数()f x 图象对称中心的坐标；（2）如果ABC ∆的三边,,a b c 满足2b ac =，且边b 所对的角为B ，求()f B 的取值范围．19．(本小题满分15分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且32,2n n n S a n N *=-∈，12n n nb a =- （1）求证：数列{}n b 为等比数列，并求出数列{}n a 的通项公式；（2）是否存在实数λ，对任意,m n N *∈，不等式m nS b λ>恒成立？若存在，求出λ的取值范围，若不存在请说明理由．-的底面ABCD为平行四边形，平面PAB⊥平面ABCD，20．(本小题满分15分)如图，四棱锥P ABCDPB PC ABC︒=∠=，点E是线段PA上靠近点A的三等分点,45⊥（1）求证：AB PC∆是边长为2的等边三角形，求直线DE与平面PBC所成角的正弦值（2）若PAB21．(本小题满分15分)如图，O 为坐标原点，点F 为抛物线()21:20C x py p =>的焦点，且抛物线1C 上点P 处的切线与圆222:1C x y +=相切于点Q（1）当直线PQ的方程为0x y -=时，求抛物线1C 的方程； （2）当正数p 变化时，记12,S S 分别为,FPQ FOQ ∆∆的面积，求12S S 的最小值22．(本小题满分15分)已知a R ∈，函数()1x f x e ax -=-在点()1,1a -处与x 轴相切 （1）求a 的值，并求()f x 的单调区间（2）当1x >时，()()1f x m x Inx >-，求实数m 的取值范围参考答案：1——5DDBCD 6——10CABCD11.5;70 12.56ππ； 13.0或3-；2或-1 14.45±； 15.030 16.①③④ 17.(6,18)18.（1）2()sin()33f x x π=++，对称中心3(,0),22k k Z ππ-+∈（2）()f B ∈+⎦19.（1）证明略；1122n n na -=+（2）92λ<20.（1）略 （2）sin θ=21.（1）21:C x =（2）解析如下：2001110111200022111111001200011221121121(,),(,)20100:1:02-1==-=-=-222=-11=-2Q P P Q x P x Q x y px x y Q l x x y y x x P l x y p p l l x p px px px y y x x x x x x x x p px x y p y x x <<⎧>⎨<⎩+=--=⎧⎪⎪⎧⎪⎪∴⇒⎨⎨⎪⎪-=⎩⎪⎪⎩⎧+=⎪⎨⎪⎩∴设根据对称性：仅取和研究过处切线方程过处切线方程与重合221)p=10101111112111122)()1222()()PQ x x x x x x x x y x px x ==-=-=-=-=-=-F 到PQ l距离为：221141p x d +==2211121121221122211112222111221121122421112211224222211112122()(1)2412212()(1)442(1)(1)441=-2141,(1)4421421(1)(1)4(1p S x x px x p S x p x x S px x p x p S p x x x x y p y x p x x x x p S S p x x p x x p =⨯-⨯+=⨯⨯-⨯+∴==-⨯+⨯⎧+=⎪⎨⎪⎩∴+==-∴=-⨯=-⨯-221121(1)1)x x =-⨯-将21221)x p=带入上式：122222222212221(1)221)11)1)1,1(1)21331111,S S p p t p t S t t t t t S t t t t p 令当且仅当：=-⨯-=-⨯==>=-++===-++≥---==22.（1）解析过程略()()11,,1a =+∞-∞增区间：减区间：（2）12m ≤解析如下：11''1''''''12''11(1)ln ()(1)ln ,1(1)0()0,(1)01()1ln ,1(1)0(1)0,(1)0(),11(1)120,212()(1)ln x x x x x x e x m x xh x e x m x x x h h x h x h x e m x m x x h h h m mh x e x x x h m m m h x e x m x x ----->->-=--->=>≥-=--->=>≥=-->∴=-≥∴≤≤=---时，令由于欲使需要欲使需要接下来证明：'1''12'''123,11()1ln ,1(),12(),1x x x x x h x e m x m x x m mh x e x x x m mh x e x x x --->-=--->=-->=++>①当102m <≤时'''123''1''2'1'12()0()(1)1201()1ln (1)0()(1)ln (1)0102x x x x mm h x e x x m mh x e h m x x x h x e m x m h x h x e x m x x h m ----=++>∴=-->=-≥-∴=--->=∴=--->=∴<≤成立②当0m ≤时1()0,(1)ln 0()(1)ln ,112x f x e x m x x f x m x x x m -=->-≤∴>->≤综上：备注：此题考查的是导数的端点效应。
2018-2019学年浙江省宁波市镇海中学高三(上)期中数学试卷
2018-2019学年浙江省宁波市镇海中学高三（上）期中数学试卷试题数：22.满分：1501.（单选题.5分）设全集U=R.集合A={x|x≥3}.B={x|0≤x ＜5}.则集合（∁U A ）∩B=（ ）A.{x|0＜x ＜3}B.{x|0≤x ＜3}C.{x|0＜x≤3}D.{x|0≤x≤3}2.（单选题.5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ）.图中的四边形都是边长为2的正方形.两条虚线互相垂直.则该几何体的体积（单位：cm 3）是（ ）A. 163B. 203C. 8−π6D. 8−π3 3.（单选题.5分）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若S 9=45.a 3+a 8=12.则a 7等于（ ）A.10B.9C.8D.74.（单选题.5分）满足线性约束条件 {2x +y ≤3x +2y ≤3x ≥0y ≥0.的目标函数z=x+y 的最大值是（ ）A.1B. 32C.2D.3.则函数y=f（x）的大致图象为（）5.（单选题.5分）已知函数f(x)=x2−ln|x|xA.B.C.D.6.（单选题.5分）若α.β是两个相交的平面.则下列命题中.真命题的序号为（）① 若直线m⊥α.则在平面β内.一定不存在与直线m平行的直线② 若直线m⊥α.则在平面β内.一定存在无数条直线与直线m垂直③ 若直线m⊆α.则在平面β内.不一定存在与直线m垂直的直线④ 若直线m⊆α.则在平面β内.一定存在与直线m垂直的直线A. ① ③B. ② ③C. ② ④D. ① ④7.（单选题.5分）已知 sin (π6−α)=−√23 .那么 cos2α+√3sin2α =（ ） A. 109B. −109C. −59D. 598.（单选题.5分）已知正项等比数列{a n }满足：a 7=a 6+2a 5.若存在两项a m 、a n .使得a m a n =16a 12.则 1m + 9n 的最小值为（ ）A. 32B. 83C. 114D.不存在9.（单选题.5分）已知双曲线C ： x 2a 2 - y 2b 2 =1（a ＞0.b ＞0）的左右焦点分别为F 1.F 2.P 为双曲线C 上一点.Q 为双曲线C 渐近线上一点.P.Q 均位于第一象限.且2 QP ⃗⃗⃗⃗⃗ = PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . QF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •QF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0.则双曲线C 的离心率为（ ）A. √3 -1B. √3+1C. √13 -2D. √13 +210.（单选题.5分）如图.在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中.底面为边长为2的正三角形.B 1在底面的射影为AC 中点且B 1到底面的距离为 √3 .已知E.F 分别是线段AB 1与CA 1上的动点.记线段EF 中点M 的轨迹为L.则|L|等于（ ）（注：|L|表示L 的测度.本题中L 若分别为曲线、平面图形、空间几何体.分别对应为其长度、面积、体积）A.1B. √102C. √32D. √39411.（填空题.4分）中国古代数学著作《九章算术》中有一个这样的问题：“某贾人擅营.月入益功疾（注：从第2月开始.每月比前一月多入相同量的铜钱.3月入25贯.全年（按12个月计）共入510贯“.则该人每月比前一月多入___ 贯.第12月营收贯数为___ ．12.（填空题.4分）y=sin（2x+ π6）的最小正周期为___ .为了得到函数y=sin（2x+ π6）的图象.可以将函数y=cos2x的图象向左最小移动___ 个单位．13.（填空题.4分）已知直线l1：ax+（a+2）y+1=0.l2：x+ay+2=0.其中a∈R.若l1⊥l2.则a=___ .若l1 || l2.则a=___ ．14.（填空题.4分）已知x.y∈R.且4x2+y2+xy=1.则4x2+y2的最小值___ .此时x的值为___ ．15.（填空题.4分）已知两非零向量a，b⃗满足|a|=2 . |a−b⃗|=1 .则向量a，b⃗夹角的最大值是___ ．16.（填空题.4分）已知数列{a n}为等差数列.其前n项和为S n.且2a1+3a3=S6.给出以下结论：① a10=0 ② S10最小③ S7=S12④ S19=0.正确的有___ ．17.（填空题.4分）设函数f(x)={|12x−4|+1，x≤1x(x−2)2+a，x＞1.若存在互不相等的4个实数x1.x2.x3.x4.使得f(x1)x1=f(x2)x2=f(x3)x3=f(x4)x4=7 .则a的取值范围为___ ．18.（问答题.12分）已知函数f(x)=sin x3cos x3+√3cos2x3．（1）求函数f（x）图象对称中心的坐标；（2）如果△ABC的三边a.b.c满足b2=ac.且边b所对的角为B.求f（B）的取值范围．19.（问答题.15分）已知数列{a n}的前n项和为S n.且S n=2a n−32n ，n∈N∗ . b n=a n−12n（1）求证：数列{b n}为等比数列.并求出数列{a n}的通项公式；（2）是否存在实数λ.对任意m.n∈N*.不等式S m＞λb n恒成立？若存在.求出λ的取值范围.若不存在请说明理由．20.（问答题.15分）如图.四棱锥P-ABCD的底面ABCD为平行四边形.平面PAB⊥平面ABCD.PB=PC.∠ABC=45°.点E是线段PA上靠近点A的三等分点．（Ⅰ）求证：AB⊥PC；（Ⅱ）若△PAB是边长为2的等边三角形.求直线DE与平面PBC所成角的正弦值．21.（问答题.15分）如图.O为坐标原点.点F为抛物线C1：x2=2py（p＞0）的焦点.且抛物线C1上点P处的切线与圆C2：x2+y2=1相切于点Q．（Ⅰ）当直线PQ的方程为x-y- √2 =0时.求抛物线C1的方程；（Ⅱ）当正数p变化时.记S1.S2分别为△FPQ.△FOQ的面积.求S1S2的最小值．22.（问答题.15分）已知a∈R.函数f（x）=e x-1-ax在点（1.1-a）处与x轴相切．（1）求a的值.并求f（x）的单调区间；（2）当x＞1时.f（x）＞m（x-1）lnx.求实数m的取值范围．2018-2019学年浙江省宁波市镇海中学高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：22.满分：1501.（单选题.5分）设全集U=R.集合A={x|x≥3}.B={x|0≤x＜5}.则集合（∁U A）∩B=（）A.{x|0＜x＜3}B.{x|0≤x＜3}C.{x|0＜x≤3}D.{x|0≤x≤3}【正确答案】：B【解析】：先根据补集的定义求出集合A的补集∁U A.然后和集合B进行交集运算.可求（∁U A）∩B．【解答】：解：因为A={x|x≥3}.所以∁U A={x|x＜3}.所以（∁U A）∩B={x|0≤x＜3}．故选：B．【点评】：本题的考点是集合的补集和交集运算.比较基础．2.（单选题.5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm）.图中的四边形都是边长为2的正方形.两条虚线互相垂直.则该几何体的体积（单位：cm3）是（）A. 163B. 203C. 8−π6D. 8−π3【正确答案】：B【解析】：由三视图知原几何体是一个棱长为2的正方体挖去一四棱锥得到的.根据所提供的数据可求出正方体、锥体的体积.从而得到答案．【解答】：解：由三视图知原几何体是一个棱长为2的正方体挖去一四棱锥得到的.该四棱锥的底为正方体的上底.高为1.如图所示：所以该几何体的体积为23- 13 ×22×1= 203．故选：B．【点评】：本题考查三视图.考查柱体、锥体的体积计算.解决该类问题的关键是由三视图还原得到原几何体.画三视图的要求为：“长对正.高平齐.宽相等”．3.（单选题.5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和.若S9=45.a3+a8=12.则a7等于（）A.10B.9C.8D.7【正确答案】：B【解析】：利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】：解：设等差数列{a n}的公差为d.∵S9=45.a3+a8=12.∴9a1+ 9×82d=45.2a1+9d=12.联立解得a1=-3.d=2.则a7=-3+6×2=9．故选：B．【点评】：本题考查了等差数列的通项公式与求和公式.考查了推理能力与计算能力.属于中档题．4.（单选题.5分）满足线性约束条件 {2x +y ≤3x +2y ≤3x ≥0y ≥0.的目标函数z=x+y 的最大值是（ ）A.1B. 32C.2D.3【正确答案】：C 【解析】：先根据约束条件画出可行域.再利用几何意义求最值.只需求出直线z=x+y 过点B （1.1）时.z 最大值即可．【解答】：解：先根据约束条件画出可行域.当直线z=x+y 过点B （1.1）时.z 最大值为2．故选：C ．【点评】：本题主要考查了简单的线性规划.以及利用几何意义求最值.属于基础题．5.（单选题.5分）已知函数 f (x )=x 2−ln|x|x .则函数y=f （x ）的大致图象为（ ）A.B.C.D.【正确答案】：A【解析】：可得函数为奇函数.排除选项.利用特殊点的位置判断选项即可．【解答】：解：由题意可得函数的定义域为（-∞.0）∪（0.+∞）.函数f(x)=x2−ln|x|x.可得f（-x）≠±f（x）.故函数为非奇非偶函数.排除：B、C；当x=- 1e 时.y= 1e2+lne−11e= 1e2−e＜0.排除D；综上可得选项A符合题意.故选：A．【点评】：本题考查函数的性质.由函数的性质入手是解决问题的关键.属中档题．6.（单选题.5分）若α.β是两个相交的平面.则下列命题中.真命题的序号为（）① 若直线m⊥α.则在平面β内.一定不存在与直线m平行的直线② 若直线m⊥α.则在平面β内.一定存在无数条直线与直线m垂直③ 若直线m⊆α.则在平面β内.不一定存在与直线m垂直的直线④ 若直线m⊆α.则在平面β内.一定存在与直线m垂直的直线A. ① ③B. ② ③C. ② ④D. ① ④【正确答案】：C【解析】：若直线m⊥α.则在平面β内.一定存在无数条直线与直线m垂直；若直线m⊆α.则在平面β内.一定存在与直线m垂直的直线．【解答】：解：由α.β是两个相交的平面.知：在① 中.若直线m⊥α.则在平面β内.存在与直线m平行的直线.故① 错误；在② 中.若直线m⊥α.则在平面β内.一定存在无数条直线与直线m垂直.故② 正确；在③ 中.若直线m⊆α.则在平面β内.一定存在与直线m垂直的直线.故③ 错误；在④ 中.若直线m⊆α.则在平面β内.一定存在与直线m垂直的直线.故④ 正确．故选：C．【点评】：本题考查命题真假的判断.考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识.考查运算求解能力.是中档题．7.（单选题.5分）已知sin(π6−α)=−√23.那么cos2α+√3sin2α =（）A. 109B. −109C. −59D. 59【正确答案】：A【解析】：由题意利用辅助角公式、诱导公式.二倍角公式.求得cos2α+√3sin2α的值．【解答】：解：∵已知sin(π6−α)=−√23.∴ cos2α+√3sin2α =2sin（2α+ π6）=2cos（π3-2α）=2[1-2 sin2(π6−α) ]=2（1-2× 29）= 109.故选：A．【点评】：本题主要考查辅助角公式、诱导公式.二倍角公式的应用.属于基础题．8.（单选题.5分）已知正项等比数列{a n}满足：a7=a6+2a5.若存在两项a m、a n.使得a m a n=16a12.则1m + 9n的最小值为（）A. 32 B. 83 C. 114 D.不存在 【正确答案】：C【解析】：设{a n }的公比为q （q ＞0）.由等比数列的通项公式化简a 7=a 6+2a 5.求出q.代入a m a n =16a 12化简得m.n 的关系式.由“1”的代换和基本不等式求出式子的范围.验证等号成立的条件.由m 、n 的值求出式子的最小值．【解答】：解：设正项等比数列{a n }的公比为q.且q ＞0. 由a 7=a 6+2a 5得：a 6q=a 6+2a 6q. 化简得.q 2-q-2=0.解得q=2或q=-1（舍去）. 因为a m a n =16a 12.所以 (a 1q m−1) (a 1q n−1) =16a 12. 则q m+n-2=16.解得m+n=6.所以 1m +9n = 16 （m+n ）（ 1m +9n ）= 16 （10+ nm +9m n ）≥ 16(10+2√nm•9m n ) = 83. 当且仅当 nm=9mn时取等号.此时 {nm =9m nm +n =6.解得 {m =32n =92 . 因为m n 取整数.所以均值不等式等号条件取不到.则 1m +9n ＞ 83 . 验证可得.当m=2、n=4时. 1m +9n 取最小值为 114 . 故选：C ．【点评】：本题考查等比数列的通项公式.利用“1”的代换和基本不等式求最值问题.考查化简、计算能力.注意等号的成立的条件.属于易错题． 9.（单选题.5分）已知双曲线C ： x 2a 2 - y 2b 2 =1（a ＞0.b ＞0）的左右焦点分别为F 1.F 2.P 为双曲线C 上一点.Q 为双曲线C 渐近线上一点.P.Q 均位于第一象限.且2 QP ⃗⃗⃗⃗⃗ = PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . QF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •QF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0.则双曲线C 的离心率为（ ） A. √3 -1 B. √3+1 C. √13 -2 D. √13 +2【正确答案】：C【解析】：设Q （m. bam ）.（m ＞0）.P （s.t ）.F 1（c.0）.F 2（c.0）.由向量共线的坐标表示.以及点满足双曲线方程.向量垂直的条件：数量积为0.可得a.b.c 的关系.再由离心率公式.计算可得所求值．【解答】：解：设Q （m. ba m ）.（m ＞0）.P （s.t ）.F 1（-c.0）.F 2（c.0）.QP ⃗⃗⃗⃗⃗ = 12 PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .可得 m+12c 1+12=s. bma1+12=t. 由P 在双曲线上.可得 (m+12c)294a 2 -b 2m 294a 2b 2=1.化为c 2+4mc=9a 2. m=9a 2−c 24c. 由 QF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •QF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0.可得 bma m−c • bm am+c =-1. 即c 2-m 2=b 2m 2a 2. 即c 2=m 2•a 2+b 2a 2=m 2• c 2a 2 . 可得m=a. 则4ca=9a 2-c 2.由e= ca 可得e 2+4e-9=0. 可得e=-2+ √13 （负的舍去）. 故选：C ．【点评】：本题考查双曲线的方程和性质.主要是渐近线和离心率的求法.考查向量共线和垂直的条件.考查运算化简能力.属于中档题．10.（单选题.5分）如图.在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中.底面为边长为2的正三角形.B 1在底面的射影为AC 中点且B 1到底面的距离为 √3 .已知E.F 分别是线段AB 1与CA 1上的动点.记线段EF 中点M 的轨迹为L.则|L|等于（ ）（注：|L|表示L 的测度.本题中L 若分别为曲线、平面图形、空间几何体.分别对应为其长度、面积、体积）A.1B.√102C. √32 D.√394【正确答案】：D【解析】：取特殊点得到M 的轨迹为平行四边形区域.建立空间直角坐标系.再由三角形面积求解．【解答】：解：当E 位于B 1.A.而F 在A 1C 上移动时.M 的轨迹为平行于A 1C 的两条线段. 当F 位于A 1.C.而E 在AB 1上移动时.M 的轨迹为平行于AB 1的两条线段． 其它情况下.M 的轨迹构成图中平行四边形内部区域．以O 为坐标原点.分别以OC.OB 1所在直线为x.z 轴建立空间直角坐标系. 则A （-1.0.0）.B 1（0.0. √3 ）.C （1.0.0）.A 1 （-1. √3 . √3 ）. ∴ AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，0，√3) . CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2，√3，√3) . 则 |AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2 . |CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√10 .cos ＜AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＞ = AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |•|CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = √1020 ．则异面直线AB 1与CA 1所成角的正弦值为sinθ= √1−(√1020)2=√39020． ∴|L|=2× 12 × |12AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | × |12CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = 1×√102×√39020=√394． 故选：D ．【点评】：本题考查棱柱的结构特征.考查空间想象能力和思维能力.利用特殊点得到M的轨迹是解答该题的关键.是中档题．11.（填空题.4分）中国古代数学著作《九章算术》中有一个这样的问题：“某贾人擅营.月入益功疾（注：从第2月开始.每月比前一月多入相同量的铜钱.3月入25贯.全年（按12个月计）共入510贯“.则该人每月比前一月多入___ 贯.第12月营收贯数为___ ．【正确答案】：[1]5; [2]70【解析】：由题意可知.每个月的收入构成等差数列{a n}.由已知列式求得首项与公差.再由等差数列的通项公式求得a12．【解答】：解：由题意可知.每个月的收入构成等差数列{a n}.设公差为d．则a3=25.S12=510．∴a1+2d=25.12a1+ 12×112d=510.解得a1=15.d=5.∴a12=15+11×5=70．∴该人每月比前一月多入5贯.第12月营收贯数为70．故答案为：5；70．【点评】：本题考查了等差数列的通项公式与求和公式.考查了推理能力与计算能力.是基础题．12.（填空题.4分）y=sin（2x+ π6）的最小正周期为___ .为了得到函数y=sin（2x+ π6）的图象.可以将函数y=cos2x的图象向左最小移动___ 个单位．【正确答案】：[1]π; [2] 56π【解析】：根据正弦图象性质即可求出最小正周期.结合三角函数平移变换规律即可得到结论【解答】：解：函数y=sin(2x+π6)的最小正周期T= 2π2=π；将函数y=cos2x=sin（2x+ π2）的图象向左平移φ个单位（φ＞0）.可得：y=sin（2x+2φ+π2）；∴2φ+ π2 = π6+2kπ.则φ=k π−π6.φ＞0∴k=1时.可得φ= 5π6故答案为：π；5π6．【点评】：本题主要考查三角函数性质和平移变换的规律应用.属于基础题．13.（填空题.4分）已知直线l1：ax+（a+2）y+1=0.l2：x+ay+2=0.其中a∈R.若l1⊥l2.则a=___ .若l1 || l2.则a=___ ．【正确答案】：[1]0或-3; [2]-1或2【解析】：利用直线与直线垂直、直线与直线平行的性质直接求解．【解答】：解：∵直线l1：ax+（a+2）y+1=0.l2：x+ay+2=0.其中a∈R.l1⊥l2.∴a×1+（a+2）a=0.解得a=0或a=-3；当l1 || l2时. a1=a+2a≠12.解得a=-1或a=2．故答案为：0或-3.-1或2．【点评】：本题考查实数值的求法.考查直线与直线垂直、直线与直线平行的性质等基础知识.考查运算求解能力.考查函数与方程思想.是基础题．14.（填空题.4分）已知x.y∈R.且4x2+y2+xy=1.则4x2+y2的最小值___ .此时x的值为___ ．【正确答案】：[1] 45 ; [2] ±√1010【解析】：由重要不等式4x2+y2≥4xy.解不等式可得4x2+y2的最小值和x的值．【解答】：解：由4x2+y2≥4xy.即有xy≤ 4x 2+y2 4.由4x2+y2+xy=1.可得1≤4x2+y2+ 4x2+y24.可得4x2+y2≥ 45.当且仅当2x=y即x=± √1010时.取得等号.则4x2+y2的最小值为45.故答案为：45 .± √1010．【点评】：本题考查基本不等式的运用：求最值.考查不等式的解法和运算能力.属于基础题．15.（填空题.4分）已知两非零向量a，b⃗满足|a|=2 . |a−b⃗|=1 .则向量a，b⃗夹角的最大值是___ ．【正确答案】：[1] π6【解析】：设向量a，b⃗夹角为θ.由余弦定理求得cosθ= 3+x24x.再利用基本不等式求得cosθ取得最小值.即可求得θ的最大值．【解答】：解：∵两非零向量a，b⃗满足|a|=2 . |a−b⃗|=1 .设向量a，b⃗夹角为θ.由于非零向量a，b⃗以及a−b⃗构成一个三角形.设| b⃗ |=x.则由余弦定理可得1=4+x2-4x•cosθ.解得cosθ= 3+x24x =3x+x4≥ √32.当且仅当x= √3时.cosθ取得最小值为√32.角θ取得最大值为π6.故答案为π6．【点评】：本题主要考查两个向量的加减法的法则.以及其几何意义.余弦定理以及基本不等式的应用.属于中档题．16.（填空题.4分）已知数列{a n}为等差数列.其前n项和为S n.且2a1+3a3=S6.给出以下结论：① a10=0 ② S10最小③ S7=S12④ S19=0.正确的有___ ．【正确答案】：[1] ① ③ ④【解析】：先求出a1=-9d.再表示出求和公式.即可判断．【解答】：解：设等差数列{a n}的公差为d.∵2a1+3a3=S6.∴5a1+6d=6a1+15d.化为：a1+9d=0.即a10=0.给出下列结论：① a10=0.正确；② S 10=10a 1+10(10−1)d2=-45d.可能大于0.也可能小于0.因此不正确；③ S 12-S 7=12a 1+ 12×112 d-7a 1- 7×62d=5a 1+45d=5（a 1+9d ）=0.正确． ④ S 19=19(a 1+a 19)2=19a 10=0.正确； 其中正确结论的个数是 ① ③ ④ ． 故答案为： ① ③ ④【点评】：本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质.考查了推理能力与计算能力.属于中档题．17.（填空题.4分）设函数 f (x )={|12x −4|+1，x ≤1x (x −2)2+a ，x ＞1.若存在互不相等的4个实数x 1.x 2.x 3.x 4.使得f (x 1)x 1=f (x 2)x 2=f (x 3)x 3=f (x 4)x 4=7 .则a 的取值范围为___ ．【正确答案】：[1]（6.18）【解析】：由题意可得f （x ）=7x 有4个不同实根.讨论x≤1时.x ＞1时.由解方程和运用导数判断单调性和极值、最值.解不等式即可得到所求范围．【解答】：解：由f (x 1)x 1=f (x 2)x 2=f (x 3)x 3=f (x 4)x 4=7 .可得f （x ）=7x 有4个不同实根. 当x≤1时.f （x ）=|12x-4|+1=7x. 解得x= 35 或x= 519 .故当x ＞1时.f （x ）=7x 有2个不同实根. 设g （x ）=f （x ）-7x=x （x-2）2-7x+a （x ＞1）. g′（x ）=（3x+1）（x-3）.当1＜x ＜3时.g′（x ）＜0.g （x ）递减； 当x ＞3时.g′（x ）＞0.g （x ）递增． 则g （x ）min =g （3）=a-18.又g （1）=a-6. 由a-18＜0.且a-6＞0. 解得6＜a ＜18． 即a 的范围是（6.18）． 故答案为：（6.18）．【点评】：本题考查函数和方程的转化思想.考查分类讨论思想方法.以及导数的运用：求单调区间和极值、最值.考查运算能力.属于中档题．18.（问答题.12分）已知函数f(x)=sin x3cos x3+√3cos2x3．（1）求函数f（x）图象对称中心的坐标；（2）如果△ABC的三边a.b.c满足b2=ac.且边b所对的角为B.求f（B）的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）运用二倍角公式和两角和的正弦公式.由正弦函数的对称中心.解方程可得所求；（2）运用三角形的余弦定理和基本不等式.可得12≤co sB＜1.即有0＜B≤ π3.运用正弦函数的图象和性质.即可得到所求范围．【解答】：解：（1）f(x)=sin x3cos x3+√3cos2x3．= 12sin23x+√32(cos23x+1) .=sin（23x+π3）+ √32.令23x+π3=kπ（k∈Z）.解得：x= 3kπ2−π2（k∈Z）.所以函数的图象的对称中心为：（3kπ2−π2，√32）（k∈Z）．（2）由于b2=ac.所以：cosB= a 2+c2−b22ac≥2ac−ac2ac=12.则：0 ＜B≤π3．所以：π3＜2B3+π3≤5π9.则：√32＜sin(2B3+π3)≤1 .所以：√3＜f(B)≤1+√32．则：f（B）的取值范围为：（√3，1+√32]．【点评】：本题考查三角函数的恒等变换的运用.考查正弦函数的图象和性质.同时考查解三角形的余弦定理和基本不等式的运用．19.（问答题.15分）已知数列{a n}的前n项和为S n.且S n=2a n−32n ，n∈N∗ . b n=a n−12n（1）求证：数列{b n}为等比数列.并求出数列{a n}的通项公式；（2）是否存在实数λ.对任意m.n∈N*.不等式S m＞λb n恒成立？若存在.求出λ的取值范围.若不存在请说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式.进一步证明数列为等比数列．（2）利用（1）的结论.进一步利用分组法和恒成立问题求出实数λ的取值范围．【解答】：证明：（1）已知数列{a n}的前n项和为S n.且S n=2a n−32n，n∈N∗ . ①当n=1时. a1=32.则：当n≥2时. S n−1=2a n−1−32n−1. ②① - ② 得：a n=2a n-2a n-1- 32n + 62n.整理得：a n=2a n−1−32n.所以：a n−12n =2(a n−1−12n−1) .故：a n−12na n−1−12n−1=2（常数）.故：数列{a n}是以a1−12=1为首项.2为公比的等比数列．故：a n−12n=1•2n−1=2n−1 .所以：a n=2n−1+12n．由于：b n=a n−12n=2n−1 .所以：b nb n−1=2n−12n−2=2（常数）．故：数列{b n}为等比数列．（2）由（1）得：a n=2n−1+12n.所以：S n=(1+21+22+⋯+2n−1) +（121+122+⋯+12n）.= (2n−1)2−1+12(1−12n)1−12.= 2n−12n.假设存在实数λ.对任意m.n∈N*.不等式S m＞λb n恒成立.即：λb n＜(S m)min .由于：S m=2m−12m为增函数 .故当m=1时. S1=32.所以：λ＜2n−1•32.当n=1时. λ＜32．故存在实数λ.且λ＜32．【点评】：本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用.分组法在数列求和中的应用.主要考查学生的运算能力和转化能力.属于中档题．20.（问答题.15分）如图.四棱锥P-ABCD的底面ABCD为平行四边形.平面PAB⊥平面ABCD.PB=PC.∠ABC=45°.点E是线段PA上靠近点A的三等分点．（Ⅰ）求证：AB⊥PC；（Ⅱ）若△PAB是边长为2的等边三角形.求直线DE与平面PBC所成角的正弦值．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）作PO⊥AB于O.连接OC.可得PO⊥面ABCD．由△POB≌△POC.∠ABC=45°.得OC⊥AB.即得AB⊥面POC.可证得AB⊥PC．（Ⅱ）以O 为原点建立空间坐标系. P(0，0，√3)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，A(−1，0，0) .利用向量求解．【解答】：解：（Ⅰ）作PO⊥AB 于O… ① .连接OC.∵平面PAB⊥平面ABCD.且面PAB∩面ABCD=AB.∴PO⊥面ABCD ．…（2分）∵PB=PC .∴△POB≌△POC .∴OB=OC .又∵∠ABC=45°.∴OC⊥AB… ②又PO∩CO=O .由 ① ② .得AB⊥面POC.又PC⊂面POC.∴AB⊥PC ．…（6分）（Ⅱ）∵△PAB 是边长为2的等边三角形.∴ PO =√3，OA =OB =OC =1 ． 如图建立空间坐标系. P(0，0，√3)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，A(−1，0，0)设面PBC 的法向量为 n ⃗ =(x ，y ，z) .PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，0，−√3)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1，1，0) .由 {n ⃗ •PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x −√3z =0n ⃗ •BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +y =0.令 x =√3 .得 n ⃗ =(√3，√3，1) ；AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，0，√3)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(13，0，√33) . CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，−1，0) ． DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(43，−1，√33) .设DE 与面PBC 所成角为θ.sinθ=|cos〈n ⃗ ，DE ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉|=n⃗ •DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |n ⃗ ||DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4√33−√3+√33√169+1+39×√3+3+1=√37∴直线DE 与平面PBC 所成角的正弦值 √37 ．…（12分）【点评】：本题考查了空间线线垂直的判定.向量法求线面角.属于中档题．21.（问答题.15分）如图.O 为坐标原点.点F 为抛物线C 1：x 2=2py （p ＞0）的焦点.且抛物线C 1上点P 处的切线与圆C 2：x 2+y 2=1相切于点Q ．（Ⅰ）当直线PQ 的方程为x-y- √2 =0时.求抛物线C 1的方程；（Ⅱ）当正数p 变化时.记S 1.S 2分别为△FPQ .△FOQ 的面积.求 S1S 2 的最小值．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）设点P （x 0. x 022p ）.代入直线PQ 的方程得一方程.再根据抛物线在P 处切线斜率为1列一方程.解方程组即可求得p 值；（Ⅱ）易表示出点p 处切线方程.据线圆相切得一方程.再与圆联立方程组可表示出Q 坐标.据弦长公式可表示出|PQ|.利用点到直线的距离公式可表示出点F 到切线PQ 的距离d.则S 1可表示.又 S 2=12|OF ||x Q | = p 2|x 0| .所以 S1S 2 可表示为关于x 0的函数.据函数结构特点利用基本不等式即可求得其最小值．【解答】：解：（Ⅰ）设点P （x 0. x 022p ）.由x 2=2py （p ＞0）得.y= x 22p .求导y′= x p . 因为直线PQ 的斜率为1.所以 x 0p =1且x 0- x 022p - √2 =0.解得p=2 √2 .所以抛物线C 1 的方程为 x 2=4√2y ．（Ⅱ）因为点P 处的切线方程为：y- x 022p = x 0p（x-x 0）.即2x 0x-2py- x 02 =0. 根据切线与圆切.得d=r.即 02√4x 02+4p 2 =1.化简得 x 04=4x 02+4p 2 .由方程组 {2x 0x −2py −x 02=0x 2+y 2=1x 04−4x 02−4p 2=0.解得Q （ 2x 0 . 4−x 022p ）. 所以|PQ|= √1+k 2 |x P -x Q |= √1+x 02p 2 |x 0−2x 0| = √p 2+x 02p |x 02−2x 0| . 点F （0. p 2 ）到切线PQ 的距离是d=202√4x 02+4p 2 = 12 √x 02+p 2 . 所以 S 1=12|PQ |•d = 12 ×√p 2+x 02p |x 02−2x 0| × 12 √x 02+p 2 = x 02+p 24p |x 02−2x 0| . S 2=12|OF ||x Q | = p2|x 0| .而由 x 04=4x 02+4p 2 知.4p 2= x 04−4x 02＞0 .得|x 0|＞2.所以 S 1S 2 = x 02+p 24p |x 02−2x 0|×2|x 0|p = (x 02+p 2)(x 02−2)2p 2 = (4x 02+x 04−4x 02)(x 02−2)2(x 04−4x 02) = x 02(x 02−2)2(x 02−4) = x 02−42+4x 02−4 +3≥2 √2 +3.当且仅当 x 02−42=4x 02−4 时取“=”号.即 x 02=4+2√2 .此时.p= √2+2√2 ．所以 S1S 2 的最小值为2 √2 +3．【点评】：本题主要考查抛物线几何性质、直线与抛物线的位置关系.同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力.综合性强.难度大．22.（问答题.15分）已知a∈R .函数f （x ）=e x-1-ax 在点（1.1-a ）处与x 轴相切．（1）求a 的值.并求f （x ）的单调区间；（2）当x ＞1时.f （x ）＞m （x-1）lnx.求实数m 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）求出函数的导数.利用已知条件列出方程.求出a.判断导函数的繁符号.然后求解单调区间．（2）令g （x ）=f （x ）-m （x-1）lnx.x ＞0.求出 g′(x )=e x−1−m (lnx +x−1x )−1 .令h （x ）=g'（x ）.求出导数.通过（i ）若 m ≤12 .（ii ）若 m ＞12 .判断函数的单调性求解最值.然后求解m的取值范围．【解答】：解：（1）函数f （x ）的定义域为R.f'（x ）=e x-1-a 因为f （x ）在点（1.1-a ）处与x 轴相切.所以f'（1）=e 1-1-a=1-a=0∴a=1f'（x ）=e x-1-1当f'（x ）=e x-1-1＞0时.x ＞1.当f'（x ）=e x-1-1＜0时.x ＜1.故函数f （x ）的递增区间为（1.+∞）.递减区间为（-∞.1）；（2）令g （x ）=f （x ）-m （x-1）lnx.x ＞0.则 g′(x )=e x−1−m (lnx +x−1x )−1 .令h （x ）=g'（x ）. ℎ′(x )=e x−1−m (1x +1x 2)（i ）若 m ≤12 .因为当x ＞1时.e x-1＞1. m (1x +1x 2)＜1 .所以h'（x ）＞0.所以h（x）即g'（x）在（1.+∞）上单调递增.又因为g'（1）=0.所以当x＞1时.g'（x）＞0.从而g（x）在[1.+∞）上单调递增.而g（1）=0.所以g（x）＞0.即f（x）＞m（x-1）lnx成立．.可以h'（x）在（0.+∞）上单调递增.（ ii）若m＞12因为h'（1）=1-2m＜0.h'（1+ln（2m））＞0.所以存在x1∈（1.1+ln（2m））.使得h'（x1）=0.且当x∈（1.x1）时.h'（x）＜0.所以h（x）即g′（x）在x∈（1.x1）上单调递减.又因为g′（1）=0.所以当x∈（1.x1）.g′（x）＜0.从而g（x）在[1.x1）上单调递减.而g（1）=0.所以当x∈（1.x1）时.g（x）＜0.即f（x）＞m（x-1）lnx不成立．]．综上所述.m的取值范围为(−∞，12【点评】：本题考查函数的导数的应用.函数的单调性、切线方程函数的最值的求法.考查分析问题解决问题的能力．。
浙江省宁波市镇海中学2019-2020学年高三上学期期中数学试题(解析版)
镇海中学2019学年第一学期期中考试高三年级数学试卷第I 卷(选择题共40分)一、选择题（本大题共10小题，每题4分，共40分）1.已知集合{}2|450,{|0ln 2}A x x x B x x =∈--≤=<<Z ，则A B I 的元素的个数为（ ） A. 2 B. 3C. 4D. 7【答案】C 【解析】 【分析】求出集合,A B ，根据集合的交集运算即可求解. 【详解】}{{}24501,0,1,2,3,4,5A x Z x x =∈--≤=-，{}{}20ln 21B x x x x e =<<=<<{}2,3,4,5A B ∴⋂=所以A B ⋂的元素的个数为4. 故选：C【点睛】本题主要考查集合的交集概念与运算，属于基础题. 2.若,,a b c ∈R 且a b >，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. ac bc >B. 2()0a b c ->C.11a b＜ D.22a b -<-【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质即可判断.【详解】对于A ，若0c ≤，则不等式不成立；对于B ，若0c =，则不等式不成立； 对于C ，若,a b 均为负值，则不等式不成立；对于D ，不等号的两边同乘负值，不等号的方向改变，故正确； 故选：D【点睛】本题主要考查不等式的性质，需熟练掌握性质，属于基础题. 3.已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且244,18S S ==，则6S 等于（ ）A. 50B. 42C. 38D. 36【答案】B 【解析】 【分析】由等差数列前n 项和的性质：232,,n n n n n S S S S S --成等差数列即可求解. 【详解】由24264,,S S S S S --成等差数列， 所以()()62184418S -=+- 所以642S =， 故选：B【点睛】本题主要考查等差数列前n 项的性质，需熟记性质的内容，属于基础题. 4.函数()243xx f x =的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】由函数的奇偶性、极限值以及特殊值，利用排除法即可判断. 【详解】()()f x f x -=Q ，可知函数为偶函数，可排除C ；当x →+∞时，由于指数函数的增长速度快，则()0f x →，可排除B ； 当2x =时，()216162239y f ===<，特殊值法可排除D ； 故选：A【点睛】本题主要考查函数奇偶性等性质的应用，利用函数的性质求函数的大致图像可采用排除法，此题属于中档题.5.如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是（ ）A. 76B. 84C.76+ D.84+【答案】C 【解析】【分析】几何体为侧放的五棱柱，底面为正视图中的五边形，棱柱的高为4. 【详解】由三视图可知几何体为五棱柱，底面为正视图中的五边形，高为4. 所以五棱柱的表面积为(14422244224762⎛⎫⨯-⨯⨯⨯+++++⨯=+⎪⎝⎭故选：C【点睛】本题主要考查三视图，解题的关键是还原几何体，属于基础题. 6.将函数()y f x =的图象向右平移6π个单位长度后，得到()26g x sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()y f x =的函数解析式为（ ）A. ()cos2f x x =-B. ()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C. ()cos2f x x =D. ()cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象的平移法则即可求解. 【详解】把()26g x sin x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向左平移6π个单位可得 ()sin 2sin 2cos 2662f x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选：C【点睛】本题主要考查三角函数图像的平移，需掌握平移法则，平移是对变量x 平移且“左加右减” ，属于基础题.7.设命题():lg 210p x -≤，命题()10x a q x a-+≤-：，若q 是p 的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（ ） A. 102⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B. 102⎛⎫ ⎪⎝⎭，C. 102⎡⎫⎪⎢⎣⎭，D. ∅【答案】A 【解析】 【分析】首先求出命题p 、q 中不等式的解集，再根据命题之间的关系推出集合的包含关系即可求出参数的取值范围.【详解】解不等式()lg 210x -≤得02-11x <≤，所以112x <≤， 故满足命题p 的集合112P xx ⎧⎫=<≤⎨⎬⎩⎭， 解不等式()10x a x a-+≤-得()()10x a x a --+≤⎡⎤⎣⎦且x a ≠，所以1a x a <≤+故命题q 的集合{}1Q x a x a =<≤+， 若q 是p 的必要而不充分条件，则P n Q即1211a a ⎧≤⎪⎨⎪+≥⎩解得102a ≤≤故选：A【点睛】本题主要考查命题中必要不充分条件，解题的关键是根据命题的关系推出集合的包含关系，属于基础题. 8.已知22ππαβ--＜＜，sin 2cos 1αβ-=，2cos sin αβ+=则3sin πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】 【分析】两式平方相加利用两角和与差的公式可化为()54sin 3αβ--=，再根据22ππαβ-<-<得出6παβ=+，代入2cos sin αβ+=.【详解】将两个等式两边平方可得2222sin 4sin cos 4cos 1cos 4cos sin 4sin 2ααββααββ⎧-⋅+=⎨+⋅+=⎩， 两式相加可得()54sin 3αβ--=，所以()1sin 2αβ-=， 22ππαβ-<-<Q ，6παβ∴-=，即6παβ=+，代入2cos sin αβ+=3sin 22ββ+=，所以sin 63πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 故选：B【点睛】本题主要考查三角函数的化简求值，需熟记两角和与差的公式以及常见的三角函数值，属于中档题.9.已知椭圆和双曲线有相同的焦点12,F F ，设点P 是该椭圆和双曲线的一个公共点，且123F PF π∠=，若椭圆和双曲线的离心率分别为12,e e ，则2212e e +的最小值为（ ）A.B. 4+C. 2D. 1【答案】A 【解析】 分析】设出椭圆与双曲线的标准方程，利用定义可得：12,2m n a m n a +=-=，解出,m n ，利用余弦定理解关于12,e e 的等式，再由基本不等式求出2212e e +的最小值即可.【详解】不妨设椭圆与双曲线的标准方程为：()222210x y a b a b+=>>，()2211221110,0x y a b a b -=>>， 设1PF m =，2PF n =，m n >. 则12,2m n a m n a +=-=，11,m a a n a a ∴=+=- ， 12PF F ∆中，123F PF π∠=，由余弦定理可得2221241cos cos 322m n c F PF mn π+-∠===，化为()()()()22211114a a a a c a a a a ++--=+-，所以2221340a a c +-=，2212134e e ∴+=， ()(2222222112122222121231131144444e e e e e e e e e e ⎛⎫⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当21e =时，取等号，则2212e e +. 故选：A【点睛】本题主要考查椭圆与双曲线的性质以及基本不等式求最值，考查了学生的计算能力，综合性比较强.10.设a ，b 为正实数，且121322a b a b +++=，则12a b +的最大值和最小值之和为（ ） A. 2 B. 92 C. 132D. 9【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得2122113a b a b ⎡⎤⎛⎫+++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，再由“1”与12a b +相乘利用基本不等式转化为221212913a b a b⎡⎤⎛⎫++≤+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，解不等式即可求解. 【详解】由121322a b a b +++=，则2122113a b a b ⎡⎤⎛⎫+++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以1221212213a b a b a b a b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 2222121413a b b a a b ⎡⎤⎛⎫=+++++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦22212212591313a b a b ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫≥++=++⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 当且仅当22a b b a=时，即32a b ==或23时，等号成立，即221212913a b a b⎡⎤⎛⎫++≤+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，解得12922a b ≤+≤ 所以12a b +的最大值为92；最小值为2； 所以最大值和最小值之和为132. 故选：C【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，运用基本不等式求最值需验证等号成立的条件，属于中档题.第Ⅱ卷(非选择题共110分)二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11.抛物线22y x =的焦点坐标是___________，准线方程是___________.【答案】1(,0)2，12x =-.【解析】试题分析：由题意得，焦点坐标是1(,0)2，准线方程是12x =-，故填：1(,0)2，12x =-.考点：抛物线的标准方程及其性质.12.已知点A （1，0），B （0，2），点(),P a b 在线段AB 上，则直线AB 的斜率为______；⋅a b 的最大值为______．【答案】 (1). 2- (2). 12【解析】 【分析】由直线上两点求斜率公式：1212y y k x x -=-，可求斜率，再用二次函数配方求最值即可求解.【详解】由A （1，0），B （0，2），可得20201AB k -==--，所以直线AB 的斜率为2-， 直线AB ：22y x =-+由点(),P a b 在线段AB 上，所以()2201b a a =-+≤≤，所以()21122224a b a a a ⎡⎤⎛⎫⋅=-+=---⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以a b ⋅的最大值为12.故答案为：2-；12【点睛】本题主要考查直线的斜率以及直线方程，需熟记斜率公式以及点斜式方程，属于基础题.13.若实数(),x y 满足约束条件20201x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则2x y -的最小值为_____ ；______．【答案】 (1). 1(2). 2【解析】 【分析】作出约束条件满足的可行域，然后利用目标函数表示的几何意义即可求解.【详解】作出约束条件20201x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩满足的可行域，设2z x y =-，则2y x z =-，由图可知在C 处取得最小值，由201x y y +-=⎧⎨=⎩解得11x y =⎧⎨=⎩，所以()1,1C ， 所以min 2111z =⨯-=，即2x y -的最小值为1；(),x y ，()0,1-两点间的距离，设()0,1-到直线20x y +-=的距离为d ， 则2d==2故答案为：1；2【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题，解题的关键是作出可行域，理解目标函数表示的几何意义，属于基础题.14.已知长方体1111ABCD A B C D -中，1112AA AB AD ===，，1AA 与平面1A BD 所成的角为______.【答案】60o 【解析】 【分析】根据等体积法求出点A 到平面1A BD 的距离h ，在直角三角中利用“对边比斜边”即可求解.【详解】设A 到平面1A BD 的距离为h ，在长方体1111ABCD A B C D -中，1112AA AB AD ===，， 则1A D ==2BD ==，1A B ==在1A BD ∆中，由余弦定理15134cos BA D +-∠==，所以1sin BA D ∠=所以111sin 1222A BD S BA D =⋅∠= 因为11A ABD A A BD V V --=，即111133ABD A BD S AA S h ∆⋅⋅=⋅⋅，解得4h =设直线1AA 与平面1A BD 所成的角为θ，则1sin 2h AA θ== 所以60θ=o . 故答案为：60o【点睛】本题主要考查立体几何中的线面角，解题的关键是找到线面所成角，放在三角形中求解，此题也可以建立空间直角坐标系，采用向量法.15.已知{}n a 是等比数列，且0n a >，243546225a a a a a a ++=，则35a a +=__________，4a 的最大值为__________．【答案】 (1). 5 (2). 52【解析】243546225a a a a a a ++=22233553535225()25,05n a a a a a a a a a ⇒++=⇒+=>∴+=Q22354354255()242a a a a a a +∴=≤=⇒≤ ，即4a 的最大值为5216.已知圆22:1O x y +=，设点P 是恒过点（0，4）的直线l 上任意一点，若在该圆上任意点A 满足3OPA π∠≤，则直线l 的斜率k 的取值范围为______．【答案】,⎫⎛+∞-∞⎪ ⎪ ⎣⎭⎝⎦U 【解析】 【分析】由题意在该圆上任意点A 满足3OPA π∠≤，则当直线l 与圆相切时，3OPA π∠=，从而结合图像可知直线的倾斜角的取值范围为566ππα≤≤，由tan k α=即可求解. 【详解】由题意在该圆上任意点A 满足3OPA π∠≤，则当直线l 与圆相切时，3OPA π∠=，设直线的倾斜角为α，由图可知566ππα≤≤因为tan k α=，所以3k ≥或3k ≤-即斜率k 的取值范围为,⎫⎛+∞⋃-∞⎪ ⎪ ⎣⎭⎝⎦，故答案为：,33⎫⎛+∞⋃-∞-⎪ ⎪ ⎣⎭⎝⎦. 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系以及直线斜率与直线倾斜角的关系，属于基础题. 17.已知单位圆上两点,A B 满足120AOB ∠=o ，点C 是单位圆上的动点，且OC xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r，则2x y -的取值范围为_____．【答案】[]22-,【解析】 【分析】由点C 是单位圆上的动点，求得[]1(2)1,12OC OB x y ⋅=--∈-u u u r u u u r ，由此能求出2x y -的取值范围.【详解】Q 单位圆上两点,A B 满足120AOB ∠=o ，点C 是单位圆上的动点，OC xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r ，,,OA OB OC ∴u u u r u u u r u u u r 均为单位向量，即221OA OB ==u u u r u u u r ，12OA OB ⋅=-u u u r u u u r ，Q 点C 是单位圆上的动点， ∴OC OB ⋅u u u r u u u r的取值范围是[]1,1-，又Q ()OC OB xOA yOB OB ⋅=+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r[]11(2)1,122xOA OB yOB OB x y x y =⋅+⋅=-+=--∈-u u u r u u u r u u u r u u u r2x y ∴-的取值范围为[]22-,.故答案为：[]22-,【点睛】本题主要考查向量的坐标运算以及向量的数量积，考查学生分析问题的能力，属于向量的综合题，三、解答题（本大题共5小题，共74分）18.已知()222x x x f x sincos sin a ⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭（1）求实数a 的值；（2）若443f f ππαα⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求2141tan παα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭+的值． 【答案】（1）12-；（2）516.【解析】 【分析】（1）由二倍角的正、余弦公式以及辅助角公式化简即可求解.（2）由（1）中f （x）24sin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，把443f f ππαα⎛⎫⎛⎫++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 代入化简可得43sin πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，再根据两角和与差的公式求出sin ,cos αα的值，代入即可求解. 【详解】（1）()()1112222242x x x f x sin cos sin a sinx cosx a x a π⎛⎫⎛⎫=⋅++=-++=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于函数的最大值为2， 故102a +=，解得a 12=-． （2）由于f （x）24sin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以443f f ππαα⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得43sin πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭．所以4cos πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以224466sin sin ππαα⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭．44cos cos ππαα⎛⎫=-+=⎪⎝⎭或，所以2626sin cos αα⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩或2626sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，故22122122422211sin cos sin sin cos sin sin cos tan cos cos παααααααααααααα⎛⎫-+⋅⋅+ ⎪+⎝⎭===+++，所以当2626sin cos αα⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时．144523616sin cos αα-==．当2626sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩时，144523616sin cos αα-==，所以原式516=． 【点睛】本题主要考查三角恒等变换的倍角公式、两角和与差的公式，需熟记公式，属于基础题.19.在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，已知223,39b a c c ==-+．（1）求A ；（2）求22sin sin B C +的取值范围． 【答案】（1）3π；（2）53,42⎛⎤ ⎥⎝⎦. 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理即可求解. （2）由23B C π+=，以及两角和与差的公式，则sin 2B +sin 2C ＝112+sin （2B 6π-），再由022032B B πππ⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩＜＜＜＜，求出6π＜B 2π＜即可求解. 【详解】（1）在锐角△ABC 中，∵b ＝3，a 2＝c 2﹣3c +9， ∴可得c 2+b 2﹣a 2＝bc ，∴由余弦定理可得：cos A 2221222b c a bc bc bc +-===，∴由A 为锐角，可得A 3π=．（2）∵sin 2B +sin 2C ＝sin 2B +sin 2（23π-B ）＝sin 2B +B 12+sin B ）2＝112+（B 12-cos2B ）＝112+sin （2B 6π-）， 又∵022032B B πππ⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩＜＜＜＜，可得6π＜B 2π＜，∴2B 6π-∈（6π，56π）， ∴sin （2B 6π-）∈（12，1]，∴sin 2B +sin 2C ＝112+sin （2B 6π-）∈（54，32]，即sin 2B +sin 2C 的取值范围是（54，32]．【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形以及三角恒等变换两角和与差的公式，解题的关键是利用三角形的内角和求出B 的取值范围，此题属于中档题.20.如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，PAB ∆和ABC ∆都为等腰直角三角形，PA PB ⊥，AB AC ⊥，M 为AC 的中点，且PM AC =．（1）求二面角P ﹣AB ﹣C 的大小； （2）求直线PM 与平面PBC 所成角的正弦值．【答案】（1）120o ；（2 【解析】 【分析】（1）取线段AB ，BC 的中点O ，N ，连接PO ，ON ，MN ，PN ，证出PON ∠为P ﹣AB ﹣C 二面角，在PON ∆中利用余弦定理即可求解.（2）由（1）以AO 为x 轴，以ON 为y 轴，过O 作平面ABC 的垂线，以垂线为z 轴建立空间直角坐标系，求出平面PBC 的一个法向量，利用空间向量的数量积即可求出线面角. 【详解】（1）分别取线段AB ，BC 的中点O ，N ，连接PO ，ON ，MN ，PN ，设AC ＝2，则有 在等腰直角△P AB 中，O 是中点， 则有AB ⊥PO ﹣﹣﹣①在等腰直角△ABC 中，点O ，N 分别是AB ， BC中点，则有AB ⊥ON ﹣﹣﹣②由①②可知，AB ⊥平面PON ，又∵MN ∥AB ，∴MN ⊥平面PON ，则有MN ⊥PN ． 又AB ＝2，则 MN ＝1，又PM ＝AC ＝2，则有PN ==，又OP ＝ON ＝1，由三角形余弦定理可知，12cos PON ∠=-， ∴∠PON ＝120o ，即二面角P ﹣AB ﹣C 的大小为120o ． （2）建立如图所示的空间直角坐标系，过点P 作PD ⊥ON 交NO 延长线于点D ，设AB ＝AC ＝2，的则有A （﹣1，0，0），C （﹣1，2，0），B （1，0，0），M （﹣1，1，0）， 由（1）可知，∠POD ＝180°﹣∠PON ＝60°，又∵OP ＝1，∴122OD PD ==，． ∴1002D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，，102P ⎛- ⎝⎭，．∴312PM ⎛=- ⎝⎭u u u u r ，， 设平面PBC 的一个法向量为()n x y z =r ，，，则有0n BP n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r r u u u r r ，又∵112BP ⎛=-- ⎝⎭u u u r ，，()220BC =-u u u r ，，，∴102220x y z x y ⎧--=⎪⎨⎪-+=⎩，∴(n =r． 设直线PM 与平面PBC 所成角为θ，则有：10sin θ=故直线PM 与平面PBC【点睛】本题主要考查立体几何的二面角以及运用空间直角坐标系求线面角，求二面角步骤“作、证、求”，关键作出二面角；同时此题考查了学生的计算能力，属于基础题. 21.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：()*11232n n a a S n N+==-+∈，．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 满足12b =-，()()()2132n n n b b n n n a +-+=+，求数列{}n b 通项公式．【答案】（1）(2)nn a =--；（2）(2)nn b n-=. 【解析】 【分析】（1）由n S 与n a 的关系可求得数列{a n }是等比数列，再由等比数列的通项公式即可求解. （2）由（1）把n a 代入可得()()12322nn nn bb n n++--=-+，裂项化简即可求解.【详解】（1）数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：()*11232n n a a S n N +==-+∈，．当n ≥2时，a n ＝﹣3S n ﹣1+2，两式相减得：a n +1＝﹣2a n ， 所以数列{a n }是以2为首项﹣2为公比的等比数列．所以(2)nn a =--．（2）由于()()()2132n n n b b n n n a +-+=+，所以()()12322nn nn bb n n++--=-+，由于()()()((122[2)3223212(2)(2)(2)[22)111nn n n n n nn n n nn n n n n n n n +⎤--+-⎤⎡+----⎛⎫⎦⎤-=⋅--=+--=+=- ⎪⎥⎢⎦+++++⎝⎭⎦⎣， 所以()()11221n nn nbb n n++---=-+，所以(2)nn b n-=．【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式，需掌握等比数列的定义以及通项公式，属于中档题.22.在平面直角坐标系中，已知()()2,0,2,F P t -，若线段FP 的中垂线l 与抛物线C ：()220y px p =>总是相切．（1）求抛物线C 的方程；（2）若过点Q （2，1）的直线l ′交抛物线C 于M ，N 两点，过M ，N 分别作抛物线的切线12,l l 相交于点A ．12,l l 分别与y 轴交于点B ，C ．（ i ）证明：当'l 变化时，ABC ∆的外接圆过定点，并求出定点的坐标 ； （ ii ）求ABC ∆的外接圆面积的最小值．【答案】（1）28y x =；（2）（i ）证明见解析；（ii ）14417π. 【解析】【分析】 （1）根据F （2，0），P （﹣2，t ）得FP 的中点为（0，2t ），，讨论t 的值，当t ≠0时，求出线段FP 的中垂线l ，代入抛物线方程y 2＝2px ，0∆=即可求解.（2）设过点Q （2，1）的直线l ′的方程为x ﹣2＝m （y ﹣1），代入抛物线的方程y 2＝8x ， 求出y 1+y 2＝8m ，y 1y 2＝8m ﹣16，对y 2＝8x 两边求导得2y •y ′＝8，即y ′4y=，求出,M N 处的切线方程，再求出,B C ，设出外接圆的方程即可求出定点；由上一问可求出半径，配方求半径的最小值即可求解.【详解】（1）F （2，0），P （﹣2，t ），可得FP 的中点为（0，2t ）， 当t ＝0时，FP 的中点为原点， 当t ≠0时，直线FP 的斜率为4t -，线段FP 的中垂线l 的斜率为4t， 可得中垂线l 的方程为y 4t =x 2t +，代入抛物线方程y 2＝2px ， 可得216t x 2+（4﹣2p ）x 24t +=0， 由直线和抛物线相切可得△＝（4﹣2p ）2﹣16＝0，解得p ＝4，则抛物线的方程为y 2＝8x ；（2）（i ）证明：可设过点Q （2，1）的直线l ′的方程为x ﹣2＝m （y ﹣1），即x ＝my +2﹣m ， 代入抛物线的方程y 2＝8x ，可得y 2﹣8my ﹣16+8m ＝0，设M （218y ，y 1），N （228y ，y 2），则y 1+y 2＝8m ，y 1y 2＝8m ﹣16， 由y 2＝8x ，两边对x 求导可得2y •y ′＝8，即y ′4y=， 可得M 处的切线方程为y ﹣y 114y =（x 218y -），化为y 1y ＝4x 212y +，①同理可得N 处的切线方程为y 2y ＝4x 222y +，② 由①②可得y 122y y +==4m ，x 128y y ==m ﹣2，即A （m ﹣2，4m ）， 又l 1，l 2分别与y 轴交于点B （0，12y ），C （0，22y ）， 设过A ，B ，C 的外接圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F ＝0，（D 2+E 2﹣4F ＞0）， 即有()()21122222042042216240y y E F y y E F m m D m mE F ⎧++=⎪⎪⎪++=⎨⎪⎪-++-++=⎪⎩结合y 1+y 2＝8m ，y 1y 2＝8m ﹣16，可得D ＝﹣m ﹣2，E ＝﹣4m ，F ＝4m ﹣8，可得△ABC 的外接圆方程为x 2+y 2﹣（m +2）x ﹣4my +4m ﹣8＝0，可得m （4﹣x ﹣4y ）+（x 2+y 2﹣2x ﹣8）＝0，由2244280x y x y x +=⎧⎨+--=⎩可得40x y =⎧⎨=⎩或28172417x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 则当l ′变化时，△ABC 的外接圆过定点（4，0）和（2817-，2417）；（ii ）△ABC 的外接圆的半径r2===可得当m 617=时，r=， 则△ABC 外接圆面积的最小值为14417π． 【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的分析计算能力，综合性比较强. 的的。
精品解析：【全国百强校】浙江省宁波市镇海中学2019届高三上学期期中考试数学试题(解析版)
浙江省镇海中学2018-2019学年高三上学期期中考试数学试卷一、选择题：（本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．）1.设全集U R =，集合{}{}|3,|05A x x B x x =??，则集合()U C A B?（ ）A. {}|03x x＃ B. {}|03x x <<C. {}|03x x <?D. {}|03x x ?【答案】D 【解析】 【分析】先根据补集的定义求出集合A 的补集U C A ，然后和集合B 进行交集运算，可求()U C A B Ç 【详解】因为A={x|x≥3}， 所以U C A ={x|x ＜3}，所以（U C A ）∩B═{x|0≤x＜3}． 故选：D ．【点睛】本题的考点是集合的补集和交集运算，比较基础．2.某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（ ）A. 83p -B. 163C. 86p -D. 203【答案】D 【解析】 【分析】由三视图知原几何体是一个棱长为2的正方体挖去一四棱锥得到的，根据所提供的数据可求出正方体、锥体的体积，从而得到答案．【详解】由三视图知原几何体是一个棱长为2的正方体挖去一四棱锥得到的，该四棱锥的底为正方体的上底，高为1， 如图所示：所以该几何体的体积为23﹣13×22×1=203． 故选：D ．【点睛】本题考查三视图，考查柱体、锥体的体积计算，解决该类问题的关键是由三视图还原得到原几何体，画三视图的要求为：“长对正，高平齐，宽相等”． 3.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若945S =，3812a a +=，则7a 等于（ ）A. 10B. 9C. 8D. 7 【答案】B 【解析】由题意可得：955945,5S a a ==\=，由等差数列的性质可得：385666512,7a a a a a a +=+=+=\=， 该数列的公差：652d a a =-=，故76729a a d =+=+=. 本题选择B 选项.4.满足线性约束条件23,23,0,0x y x y x y ì+?ïï+?ïí³ïï³ïî的目标函数z x y =+的最大值是 （ ） A. 1 B. 32C. 2D. 3 【答案】C 【解析】画出可行域如图阴影部分所示，易得1,1A （）z x y ＝＋在1,1A （）处取得最大值2max z ＝ 故选C点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.视频5.已知函数()2In x f x x x=-，则函数()f x 的图象为（ ）A.B.C.D.【答案】D 【解析】 【分析】写出分段函数，分段求导后利用导函数的符号或导函数的零点判断函数f （x ）的图象的形状．【详解】()2ln x f x x x =-=()2200lnxx x x ln x x x x ì-ïïí-ï-ïî，＞，＜， 当x ＜0时，()()212ln x f x x x--¢=-=()3221x ln x x-+-．令g （x ）=2x 3﹣1+ln （﹣x ）， 由()3216160x g x x x x =¢+=+=，得x =- 当x∈（﹣∞，-x ）＞0，当x∈（-0）时，g′（x ）＜0． 所以g （x）有极大值为32(1g -=?-+=416033ln --＜．又x 2＞0，所以f′（x ）的极大值小于0． 所以函数f （x ）在（﹣∞，0）上为减函数．当x ＞0时，()212lnx f x x x -¢=-=3221x lnx x -+．令h（x）=2x3﹣1+lnx，()2160h x xx¢=+＞．所以h（x）在（0，+∞）上为增函数，而h（1）=1＞0，h（12）=﹣3204ln-＜．又x2＞0，所以函数f′（x）在（0，+∞）上有一个零点，则原函数有一个极值点．综上函数f（x）的图象为D中的形状．故选：D．【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.6.若a、b是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为（）①若直线m a^，则在平面b内一定不存在与直线m平行的直线．②若直线m a^，则在平面b内一定存在无数条直线与直线m垂直．③若直线m aÌ，则在平面b内不一定存在与直线m垂直的直线．④若直线m aÌ，则在平面b内一定存在与直线m垂直的直线．A. ①③B. ②③C. ②④D. ①④【答案】C【解析】试题分析：对于①，若直线m a^，如果a，b互相垂直，则在平面b内，存在与直线m平行的直线，所以①是错误的；对于②，若直线m a^，则直线m垂直于平面a内的所有直线，则在平面b内，一定存在无数条直线与直线m垂直，所以②正确；对于③，若直线m aÌ，则在平面b内，一定存在与直线m垂直的直线，所以③是错误的；对于④，若直线m aÌ，则在平面b内，一定存在与直线m垂直的直线，所以④是正确的．故应选C．考点：1、直线与平面之间的位置关系．7.已知sin 6pa 骣琪-琪桫cos22a a =（ ） A.109 B. 109- C. 59- D. 59【答案】A 【解析】分析：先把cos 22a a 变形为2sin 26p a 骣琪+琪桫，而22626p ppa a 骣琪+=--琪桫，故可以利用诱导公式和二倍角公式求解.详解：因为cos 222sin 26pa a a 骣琪=+琪桫，故cos 222sin 22cos 2266pppa a a a 轾轾骣骣犏犏琪琪=--=-琪琪犏犏桫桫臌臌21024sin 69p a 骣琪=--=琪桫，故选A.点睛：本题考查诱导公式和两角和差的余弦、正弦公式的逆用，属于基础题.解题中注意根据正弦、余弦前面的系数选择合适的辅助角变形，另外在求值过程中注意寻找已知的角和未知的角之间的联系. 8.已知正项等比数列{}n a 满足7652a a a =+，若存在两项,m n a a ，使得2116m n a a a ?，则19m n+的最小值为（ ） A.32 B. 114 C. 83 D. 103【答案】B 【解析】 【分析】设{a n }的公比为q （q ＞0），由等比数列的通项公式化简a 7=a 6+2a 5，求出q ，代入a m a n =16a 12化简得m ，n 的关系式，由“1”的代换和基本不等式求出式子的范围，验证等号成立的条件，由m 、n 的值求出式子的最小值．【详解】设正项等比数列{a n }的公比为q ，且q ＞0， 由7652a a a =+得：6a q=6a +62a q， 化简得，q 2﹣q ﹣2=0，解得q=2或q=﹣1（舍去）， 因为a m a n =16a 12，所以()()1111m n a q a q --=16a 12，则q m+n ﹣2=16，解得m+n=6，所以19m n +=16（m+n ）（19m n +）=16（10+9n m m n +）≥1106骣琪+琪桫=83，当且仅当9n m m n =时取等号，此时96n m m n m n ì=ïíï+=î，解得3292m n ì=ïïíï=ïî， 因为m n 取整数，所以均值不等式等号条件取不到，则19m n +＞83， 验证可得，当m=2、n=4时，19m n +取最小值为114， 故选：B ．【点睛】本题考查等比数列的通项公式，利用“1”的代换和基本不等式求最值问题，考查化简、计算能力，注意等号的成立的条件，属于易错题．9.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，P 为双曲线C 上一点，Q 为双曲线C 渐近线上一点，,P Q 均位于第一象限，且22QP PF =，120QF QF ?，则双曲线C 的离心率为（ ）1122 【答案】C 【解析】分析：设()(),0Q at bt t >，根据12FQF D 为直角三角形可以得到1t =，再根据22QP PF =得2323c am b m ì+=ïïíï=ïî，代入双曲线方程可得到离心率. 详解：设()(),0Q at btt >，(),P m n ，注意到1290FQF ??，从而OQ c =，故22222b t a t c +=即1t =，故(),QP m a n b =--，()2,PF c m n =--.又2222m a c m n b n ì-=-ïí-=-ïî，解得2323c am b m ì+=ïïíï=ïî，代入双曲线方程，则有()222224199c a b a b +-=，2ca=，故选C. 点睛：离心率的计算，关键在合理构建关于,,a b c 的等量关系，本题中Q 的坐标与,,a b c 有关联，这种关联可以通过向量关系式转化到P ，最后根据P 在双曲线上可以得到离心率的大小.10.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面为边长为2的正三角形，1B 在底面的射影为AC 中点且1B 到底,E F 分别是线段1AB 与1CA 上的动点，记线段EF 中点M 的轨迹为L ，则L 等于（ ）(注：L 表示L 的测度，本题中L 若分别为曲线、平面图形、空间几何体，分别对应为其长度、面积、体积）A. 1B.C.D.【答案】D 【解析】由题意画出图形，取特殊点得到M 的轨迹为平行四边形区域，再建立空间坐标系求出面积即可． 【详解】当E 位于B 1（或A ），而F 在A 1C 上移动时，M 的轨迹为平行于A 1C 的一条线段， 当F 位于A 1（或C ），而E 在AB 1上移动时，M 的轨迹为平行与AB 1的一条线段． 其它情况下，M 的轨迹构成图中平行四边形内部区域． 设异面直线AB 1与CA 1所成角为θ， ∴|L|=2×12|12AB 1|•|12CA 1|•sin θ=14|AB 1|•|CA 1|•sin θ．以O 为原点，OB 、OC 、O 1B 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间坐标系， 则()()((11A 01,0C 0,1,0,?B A ---，，， ∴()(110,1332AB AC ==-，，，∴11210AB AC ==，111110cos θAB AC AB AC ==,sinθ=∴|L|=124创故选：D【点睛】本题考查棱柱的结构特征，考查空间想象能力和思维能力，利用特殊点得到M 的轨迹是解答该题的关键，是压轴题．二、填空题：（本大题共7个小题,多空题每题6分，单空题每小题4分,共36分．）11.中国古代数学著作《九章算术》中有一个这样的问题：“某贾人擅营，月入益功疾（注：从第2月开始，每月比前一月多入相同量的铜钱，3月入25贯，全年（按12个月计）共入510贯“，则该人每月比前一月多入_________________贯，第12月营收贯数为_________________. 【答案】 (1). 5 (2). 70 【解析】 【分析】设每个月的收入为等差数列{a n }．公差为d ．可得a 3=25，S 12=510．利用等差数列的通项公式与求和公式即【详解】设每个月的收入为等差数列{a n }．公差为d ． 则a 3=25，S 12=510． ∴a 1+2d=25，12a 1+12112´d=510，解得a 1=15，d=5， ∴12a = a 1+11d=15+55=70 故答案为：5,70【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 12.sin 26y x p骣琪=+琪桫的最小正周期为_________________，为了得到函数sin 26y x p 骣琪=+琪桫的图象，可以将函数cos 2y x =的图象向左最小移动_______个单位 【答案】 (1). p (2).56p【解析】 【分析】利用正弦型周期公式得到最小周期性，先根据诱导公式进行化简y=cos2x 为正弦函数的类型，再由左加右减上加下减的原则可确定平移的方案． 【详解】sin 26y x p骣琪=+琪桫的最小正周期为22p p =，由题意y=cos2x=sin （2x +2p ）， 函数y=sin （2x +2p ）的图象经过向左平移56p ，得到函数y=sin [2（x+56p ）+2p ]=1326sin x p 骣琪+琪桫=sin 26x p 骣琪+琪桫的图象， 故答案为：π，56p ．【点睛】本题主要考查三角函数的平移．三角函数的平移原则为左加右减上加下减，注意x 的系数的应用，以及诱导公式的应用．13.已知直线()12:210,:20l ax a y l x ay +++=++=，其中a R Î，若12l l ^，则a =______，若12//l l ，则a =__________.【答案】 (1). 0或3- (2). 2或-1 【解析】 【分析】根据直线垂直的等价条件进行求解即可，根据直线的平行关系求出a 的值. 【详解】∵l 1⊥l 2，∴a+a（a+2）=0， 即a （a+3）=0，解得a=0或a=﹣3， ∵l 1∥l 2，∴a 2﹣a ﹣2=0，解得：a=2或a=﹣1， 经检验均适合题意， 故答案为：0或3- ，2或-1【点睛】两直线位置关系的判断： 1111:0l A x B y C ++=和2222:0l A x B y C ++=的平行和垂直的条件属于常考题型，如果只从斜率角度考虑很容易出错，属于易错题题型，应熟记结论： 垂直： 12120A AB B +=； 平行： 1221A B A B =，同时还需要保证两条直线不能重合，需要检验. 14.已知,x y R Î，且2241x y xy ++=，则224x y +的最小值_________，此时x 的值为___________.【答案】 (1). 45 (2). ±【解析】 【分析】利用均值不等式可得224224x y x yxy +?，即22222241444x y x y xy xy +=++?+从而得到224x y +的最小值及相应的x 值.【详解】∵224224x y x y xy +?，∴2244x y xy +£，当且仅当2x=y 时，等号成立， 又2214x y xy =++，∴22222241444x y x y xy x y +=++?+， ∴22445x y +?，即224x y +的最小值45由22241x y x y xy ì=ïí++=ïî，解得：x =?故答案为：45，±【点睛】本题考查基本不等式以及一元二次不等式的解法，属中档题．15.已知两不共线的非零向量,a b 满足2a =,1a b -=,则向量a 与b 夹角的最大值是__________. 【答案】6p 【解析】 【分析】设向量,a b 夹角为q ，由余弦定理求得23cos 4x xq +=，再利用基本不等式求得cos q 取得最小值，即可求得q 的最大值，得到结果.【详解】因为两非零向量,a b 满足2a =,1a b -=,设向量,a b 夹角为q ， 由于非零向量,a b 以及a b -构成一个三角形，设b x =， 则由余弦定理可得2144cos x x q =+-，解得233cos 44x x x x q ++==?，当且仅当x cos q所以q 的最大值是6p ，故答案是6p.【点睛】该题考查的是有关向量夹角的大小问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有余弦定理，基本不等式，注意当什么情况下取得最值，再者就是需要明确角取最大值的时候其余弦值最小.16.已知数列{}na 为等差数列，其前n 项和为n S ，且13623a a S +=，给出以下结论：①100a =②10S 最小③712S S =④190S =，正确的有_________________. 【答案】①③④ 【解析】 【分析】先求出a 1=﹣9d ，再表示出求和公式，即可判断．【详解】设等差数列{a n }的公差为d ，∵2a 1+3a 3=S 6，∴5a 1+6d=6a 1+15d ， 化为：a 1+9d=0，即a 10=0， 给出下列结论：①a 10=0，正确； ②S 10=10a 1+()101012d-=﹣45d ，可能大于0，也可能小于0，因此不正确；③S 12﹣S 7=12a 1+12112´d ﹣7a 1﹣762´d=5a 1+45d=5（a 1+9d ）=0，正确． ④S 19=()119192a a +=19a 10=0，正确；其中正确结论的个数是①③④． 故答案为：①③④【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.设函数()()21241,12,1x x f x x x a x ì-+?ï=íï-+>î，若存在互不相等的4个实数1234,,,x x x x ，使得()()()()123412347f x f x f x f x x x x x ====，则a 的取值范围为__________.【答案】(6,18) 【解析】 【分析】由题意可得f （x ）=7x 有4个不同实根，讨论x ≤1时，x ＞1时，由解方程和运用导数判断单调性和极值、最值，解不等式即可得到所求范围．【详解】由()11f x x =()22f x x =()33f x x =()44f x x =7，可得f （x ）=7x 有4个不同实根，当x ≤1时，f （x ）=|12x ﹣4|+1=7x ，解得x=35或x=519， 故当x ＞1时，f （x ）=7x 有2个不同实根， 设g （x ）=f （x ）﹣7x=x （x ﹣2）2﹣7x+a （x ＞1）， g′（x ）=（3x+1）（x ﹣3），当1＜x ＜3时，g′（x ）＜0，g （x ）递减； 当x ＞3时，g′（x ）＞0，g （x ）递增． 则g （x ）min =g （3）=a ﹣18，又g （1）=a ﹣6， 由a ﹣18＜0，且a ﹣6＞0， 解得6＜a ＜18． 故答案为：()6,18．【点睛】本题考查函数和方程的转化思想，考查分类讨论思想方法，以及导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查运算能力，属于中档题．三、解答题：（本大题共个5小题,共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18.已知函数()2sincos 333x x xf x = （1）求函数()f x 图象对称中心的坐标；（2）如果ABC D 的三边,,a b c 满足2b ac =，且边b 所对的角为B ，求()f B 的取值范围．【答案】（1）对称中心3,22k k Z p p 骣琪-+?琪桫（2）()f B ? 【解析】 【分析】（1）运用二倍角公式和两角和的正弦公式，由正弦函数的对称中心，解方程可得所求；（2）运用三角形的余弦定理和基本不等式，可得12≤cosB＜1，即有0＜B≤3p，运用正弦函数的图象和性质，即可得到所求范围．【详解】（1）()2333x x xf x sin cos =．=12212323sin x cos x +桫，=sin （233x p +）令233x k p p +=（k∈Z）， 解得：x=322k p p -（k∈Z），所以函数的图象的对称中心为：3,22k k Z p p 骣琪-+?琪桫．（2）由于b 2=ac ，所以：cosB=22221222a cb ac acac ac+--?，则：03B p £＜． 所以：253339B p p p +?＜，2133B sin p 骣琪+?琪桫，()1f B ?．则：f （B ）的取值范围为：2]． 【点睛】本题考查三角函数的恒等变换的运用，考查正弦函数的图象和性质，同时考查解三角形的余弦定理和基本不等式的运用．19.已知数列{}na 的前n 项和为n S ，且32,2n n n S a n N *=-?，12n n nb a =-（1）求证：数列{}n b 为等比数列，并求出数列{}n a 的通项公式； （2）是否存在实数l ，对任意,m n N *Î，不等式m nS b l>恒成立？若存在，求出l 的取值范围，若不存在请说明理由．【答案】（1）证明略；1122n n n a -=+ （2）32l ＜ 【解析】 【分析】（1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式，进一步证明数列为等比数列； （2）利用（1）的结论，进一步利用分组法和恒成立问题求出实数λ的取值范围． 【详解】证明：（1）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且*322n n n S a n N =-?，，① 当n=1时，132a =， 则：当n ≥2时，111322n n n S a ---=-，② ①﹣②得：a n =2a n ﹣2a n ﹣1﹣32n +62n ，整理得：1322n n n a a -=-，所以：11112()22n n n n a a ---=-，故：1112212n nn n a a ---=-（常数）， 故：数列{a n }是以1112a -=为首项，2为公比的等比数列．故：1111222n n n n a ---=?，所以：1122n n n a -=+．由于：1122n n n n b a -=-=，所以：121222n n n n b b ---==（常数）．故：数列{b n }为等比数列． （2）由（1）得：1122n n na -=+， 所以：()1211222n n S -=+++++（12111222n +++）， =()111212212112n n 骣??琪-桫+--， =122n n-，假设存在实数λ，对任意m ，n ∈N *，不等式m nS b l＞恒成立， 即：()m min nS b l ＜， 由于：122m m m S =-为增函数， 故当m=1时，132S =，所以：1322n l -×＜，当n=1时，32l ＜．故存在实数λ，且32l ＜．【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，分组法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题．20.如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为平行四边形，平面PAB ^平面ABCD ，,45PB PC ABC °=?，点E 是线段PA 上靠近点A 的三等分点（1）求证：AB PC ^（2）若PAB D 是边长为2的等边三角形，求直线DE 与平面PBC 所成角的正弦值 【答案】（Ⅰ）见解析;【解析】试题分析：（Ⅰ）由平面PAB ^面ABCD ÞPO ^ 面ABCD 再证POB POC D @DOB OC OCAB AB ?轣轣面POC AB PC 轣 ；（Ⅱ）建立空间坐标系， 求得面PBC 的法向量为()4333,3,1,,1,cos ,37n DE n DE n DE n DE骣×琪==-掎?=琪桫. 试题解析：（Ⅰ）作PO AB ^于O ……①,连接OC ， ∵平面PAB ^平面ABCD ，且PAB ABCD AB ?面面 ，∴PO ^面ABCD.∵PB PC =，∴POB POC D @D ,∴OB OC =， 又∵45ABC °?，∴OC AB ^……②又PO COO ?,由①②，得AB ^面POC ，又PC Ì面POC ，∴AB PC ^.（Ⅱ）∵PAB D 是边长为2的等边三角形，∴1PO OA OB OC ===如图建立空间坐标系，(()()(),1,0,0,0,1,0,1,0,0P B C A - 设面PBC 的法向量为(),,n xy z =，()()1,0,3,1,1,0PB BC =-=- 0{n PBx n BC x y ?-=?-+=，令x =()3,3,1n =()111,0,3,33AP AE AP 骣琪===琪桫，()1,1,0CB DA ==-4,3DE DA AE 骣琪=+=-琪桫，设DE 与面PBC 所成角为qsin cos ,16n DE n DE nDEq -×=狁===∴直线DE 与平面PBC21.如图，O 为坐标原点，点F 为抛物线()21:20C x py p =>的焦点，且抛物线1C 上点P 处的切线与圆222:1C x y +=相切于点Q（1）当直线PQ 的方程为0x y --=时，求抛物线1C 的方程；（2）当正数p 变化时，记12,S S 分别为,FPQ FOQ D D 的面积，求12S S 的最小值。
浙江省镇海中学2019-2020学年第一学期期中考试高三数学试题
镇海中学学年第一学期期中考试高三数学试题卷一、选择题（本大题共小题，每题分，共分）1. 已知集合，则的元素的个数为A. B. C. D.2. 若且，则下列不等式中一定成立的是A. B. C. D.3. 已知是等差数列的前项和，且，则等于A. B. C. D.4. 函数的图像大致为5. 如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是A.B.C.D.6. 将函数的图象向右平移个单位长度后，得到，则的函数解析式为A. B. )C. D. )7. 设命题，命题，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是A. B. C. D.8. 已知，，，则A. B. C. D.9. 已知椭圆和双曲线有相同的焦点，设点是该椭圆和双曲线的一个公共点，且，若椭圆和双曲线的离心率分别为，则的最小值为A. B. C. D.10. 设为正实数，且，则的最大值和最小值之和为A. B. C. D.二、填空题（本大题共小题，多空题每题分，单空题每题分，共分）11. 抛物线方程的焦点坐标为；准线方程为12. 已知点，点在线段上，则直线的斜率为；的最大值为13. 若实数满足约束条件，则的最小值为；的最小值为14. 已知长方体中，，则直线与平面所成的角为；若空间的一条直线与直线所成的角为，则直线与平面所成的最大角为15. 已知数列是等比数列且，，则的最大值为16. 已知圆，设点是恒过点的直线上任意一点，若在该圆上任意点满足，则直线的斜率的取值范围为17. 已知点为单位圆上两点，且满足，则的取值范围为三、解答题（本大题共小题，共分）18. 已知的最大值为（I）求实数的值；（II）若，求的值.19. 在锐角中，角所对边分别为，已知，（I）求；（II）求的取值范围.20. 如图，在三棱锥中，和都为等腰直角三角形，，，为的中点，且（I）求二面角的大小；（II）求直线与平面所成角的正弦值.21. 已知数列 的前 项和为 ，且满足： （I ）求数列 的通项公式；（II ）数列 满足 ， ，求数列 通项公式.22. 在平面直角坐标系中，已知 ， ，若线段 的中垂线 与抛物线B C总是相切.（I）求抛物线的方程；（II）若过点的直线交抛物线于两点，过分别作抛物线的切线相交于点. 分别与轴交于点.（i）证明：当变化时，的外接圆过定点，并求出定点的坐标；（ii）求的外接圆面积的最小值.。
2019年浙江省镇海中学期中考试高三数学试题含答案
镇海中学2019学年第一学期期中考试高三年级数学试卷第I卷(选择题共40分)一、选择题（本大题共10小题，每题4分，共40分）1．已知集合A＝{x∈Z|x2﹣4x﹣5≤0}，B＝{x|0＜lnx＜2}，则A∩B的元素的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．72．若a，b，c∈R且a＞b，则下列不等式中一定成立的是（）A．ac＞bc B．（a﹣b）c2＞0 C．＜D．﹣2a＜﹣2b 3．已知S n是等差数列{a n}的前n项和，且S2＝4，S4＝18，则S6等于（）A．50 B．42 C．38 D．364．函数的图象大致为（）A5．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是（）A．76 B.84 C．D．6．将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位长度后，得到，则y＝f（x）的函数解析式为（）A．f（x）＝﹣cos2x B．f（x）＝sin（2x）C．f（x）＝cos2x D．f（x）＝cos（2x）7．设命题p：lg（2x﹣1）≤0，命题：，若q是p的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（）A．，B．，C．，D．∅8．已知＜＜，sinα﹣2cosβ＝1，，则（）A．B．C．D．9．已知椭圆和双曲线有相同的焦点F1，F2，设点P是该椭圆和双曲线的一个公共点，且∠F1PF2，若椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则e12+e22的最小值为（）A．B．C．D．10．设a，b为正实数，且，则的最大值和最小值之和为（）A．2 B．C．D．9第Ⅱ卷(非选择题共110分)二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11．抛物线y2＝2x的焦点坐标是▲ ，准线方程是▲ ．12．已知点A（1，0），B（0，2），点P（a，b）在线段AB上，则直线AB的斜率为▲ a•b的最大值为▲ ．13．若实数（x，y）满足约束条件，则2x﹣y的最小值为▲的最小值为▲ ．14．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，，，，则直线AA1与平面A1BD所成的角为▲ 若空间的一条直线l与直线AA1所成的角为，则直线l与平面A1BD所成的最大角为▲ ．15．已知{a n}是等比数列，且a n＞0，a2a4+2a3a5+a4a6＝25，则a3+a5＝▲ ，a4的最大值为▲16．已知圆O：x2+y2＝1，设点P是恒过点（0，4）的直线l上任意一点，若在该圆上任意点A满足，则直线l的斜率k的取值范围为▲ ．17．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）为单位圆上两点，且满足，则|x1+y1|+|x2+y2|的取值范围为▲ ．三、解答题（本大题共5小题，共74分）18．已知的最大值为．（Ⅰ）求实数a的值（Ⅱ）若，求的值．19．在锐角△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知b＝3，a2＝c2﹣3c+9．（Ⅰ）求A（Ⅱ）求sin2B+sin2C的取值范围．20．如图，在三棱锥P﹣ABC中，△P AB和△ABC都为等腰直角三角形，P A⊥PB，AB⊥AC，M为AC的中点，且PM＝AC．（Ⅰ）求二面角P﹣AB﹣C的大小（Ⅱ）求直线PM与平面PBC所成角的正弦值．21．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足：，．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式（Ⅱ）数列{b n}满足b1＝﹣2，，求数列{b n}通项公式．22．在平面直角坐标系中，已知F（2，0），P（﹣2，t），若线段FP的中垂线l与抛物线C：y2＝2px（p＞0）总是相切．（Ⅰ）求抛物线C的方程（Ⅱ）若过点Q（2，1）的直线l′交抛物线C于M，N两点，过M，N分别作抛物线的切线l1，l2相交于点A．l1，l2分别与y轴交于点B，C．（i）证明：当l′变化时，△ABC的外接圆过定点，并求出定点的坐标（ii）求△ABC的外接圆面积的最小值．一、1．C 2．D 3．B 4．A 5．B 6．C 7．A 8．B 9．A 10．C二、11．（，0）x12．﹣2 13．1 14．60015．5 16．[，+∞）∪（﹣∞，] 17．[，]三、18、（Ⅰ），由于函数的最大值为，故，解得a．（Ⅱ）由于f（x），所以，整理得．所以，所以或．或，所以或，故，所以当时．．当时，，所以原式．19．（Ⅰ）在锐角△ABC中，∵b＝3，a2＝c2﹣3c+9，∴可得c2+b2﹣a2＝bc，∴由余弦定理可得：cos A，∴由A为锐角，可得A．（Ⅱ）∵sin2B+sin2C＝sin2B+sin2（B）＝sin2B+（cos B sin B）2＝1（sin2B cos2B）＝1sin（2B），又∵＜＜＜＜，可得＜B＜，∴2B（，），∴sin（2B）（，1]，∴sin2B+sin2C＝1sin（2B）（，]，即sin2B+sin2C的取值范围是（，]．20．（1）分别取线段AB，BC的中点O，N，连接PO，ON，MN，PN，设AC＝2，则有在等腰直角△P AB中，O是中点，则有AB⊥PO﹣﹣﹣①在等腰直角△ABC中，点O，N分别是AB，BC的中点，则有AB⊥ON﹣﹣﹣②由①②可知，AB⊥平面PON，又∵MN∥AB，∴MN⊥平面PON，则有MN⊥PN．又AB＝2，则MN＝1，又PM＝AC＝2，则有PN，又OP＝ON＝1，由三角形余弦定理可知，∠，∴∠PON＝120°，即二面角P﹣AB﹣C的大小为1200．（2）建立如图所示的空间直角坐标系，过点P作PD⊥ON交NO延长线于点D，设AB ＝AC＝2，则有A（﹣1，0，0），C（﹣1，2，0），B（1，0，0），M（﹣1，1，0），由（1）可知，∠POD＝180°﹣∠PON＝60°，又∵OP＝1，∴，．∴，，，，，．∴，，，设平面PBC的一个法向量为，，，则有，又∵，，，，，，∴，∴，，．设直线PM与平面PBC所成角为θ，则有：．故直线PM与平面PBC所成角的正弦值为．21．（Ⅰ）数列{a n}的前n项和为S n，且满足：，．当n≥2时，a n＝﹣3S n﹣1+2，两式相减得：a n+1＝﹣2a n，所以数列{a n}是以2为首项﹣2为公比的等比数列．所以．（Ⅱ）由于，所以，由于，所以，所以．22．（Ⅰ）F（2，0），P（﹣2，t），可得FP的中点为（0，），当t＝0时，FP的中点为原点，当t≠0时，直线FP的斜率为，线段FP的中垂线l的斜率为，可得中垂线l的方程为y x，代入抛物线方程y2＝2px，可得x2+（4﹣2p）x0，由直线和抛物线相切可得△＝（4﹣2p）2﹣16＝0，解得p＝4，则抛物线的方程为y2＝8x；（Ⅱ）（i）证明：可设过点Q（2，1）的直线l′的方程为x﹣2＝m（y﹣1），即x＝my+2﹣m，代入抛物线的方程y2＝8x，可得y2﹣8my﹣16+8m＝0，设M（，y1），N（，y2），则y1+y2＝8m，y1y2＝8m﹣16，由y2＝8x，两边对x求导可得2y•y′＝8，即y′，可得M处的切线方程为y﹣y1（x），化为y1y＝4x，①同理可得N处的切线方程为y2y＝4x，②由①②可得y4m，x m﹣2，即A（m﹣2，4m），又l1，l2分别与y轴交于点B（0，），C（0，），设过A，B，C的外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，（D2+E2﹣4F＞0），即有，结合y1+y2＝8m，y1y2＝8m﹣16，可得D＝﹣m﹣2，E＝﹣4m，F＝4m﹣8，可得△ABC的外接圆方程为x2+y2﹣（m+2）x﹣4my+4m﹣8＝0，可得m（4﹣x﹣4y）+（x2+y2﹣2x﹣8）＝0，由可得或，则当l′变化时，△ABC的外接圆过定点（4，0）和（，）；（ii）△ABC的外接圆的半径r，可得当m时，r的最小值为，则△ABC的外接圆面积的最小值为π．。
【100所名校】2019届浙江省宁波市镇海中学高三上学期期中考试数学试题(含答案)
2019届浙江省宁波市镇海中学 高三上学期期中考试数学试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题1．设全集U =R ，集合A ={x|x ≥3},B ={x|x ≤0<5}，则集合(C U A )∩B = A ．{x|0≤x ≤3} B ．{x|0<x <3} C ．{x|0<x ≤3} D ．{x|0≤x <3}2．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是A ．8−π3B ．163C ．8−π6D ．2033．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若S 9=45,a 3+a 8=12, 则a 7= A ．10 B ．9 C ．8 D ．74．4．满足线性约束条件23,23,{ 0,0x y x y x y +≤+≤≥≥的目标函数z x y =+的最大值是A ．1B ．32C ．2D ．3 5．已知函数f (x )=x 2−In|x|x，则函数f (x )的图象为A ．B ．C ．D ．6．若α、β是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为①若直线m ⊥α，则在平面β内一定不存在与直线m 平行的直线．②若直线m ⊥α，则在平面β内一定存在无数条直线与直线m 垂直． ③若直线m ⊂α，则在平面β内不一定存在与直线m 垂直的直线． ④若直线m ⊂α，则在平面β内一定存在与直线m 垂直的直线． A ．①③ B ．②③ C ．②④ D ．①④ 7．已知sin (π6−α)=√23，那么cos2α+√3sin2α=A ．109 B ．−109 C ．−59 D ．598．已知正项等比数列{a n }满足a 7=a 6+2a 5，若存在两项a m ,a n ，使得a m ⋅a n =16a 12，则1m+9n 的最小值为 A ．32 B ．114 C ．83 D ．103 9．已知双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2，P 为双曲线C 上一点，Q 为双曲线C 渐近线上一点，P,Q 均位于第一象限，且2QP ⃑⃑⃑⃑⃑ =PF 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，QF 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅QF 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =0，则双曲线C 的离心率为A ．√3−1B ．√3+1C ．√13−2D ．√13+210．如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，底面为边长为2的正三角形，B 1在底面的射影为AC 中点且B 1到底面的距离为√3，已知E,F 分别是线段AB 1与CA 1上的动点，记线段EF 中点M 的轨迹为L ，则|L |等于(注：|L |表示L 的测度，本题中L 若分别为曲线、平面图形、空间几何体，分别对应为其长度、面积、体积）此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号A．1B．√102C．√32D．√394二、填空题11．中国古代数学著作《九章算术》中有一个这样的问题：“某贾人擅营，月入益功疾（注：从第2月开始，每月比前一月多入相同量的铜钱，3月入25贯，全年（按12个月计）共入510贯“，则该人每月比前一月多入_________________贯，第12月营收贯数为_________________.12．y=sin(2x+π6)的最小正周期为_________________，为了得到函数y=sin(2x+π6)的图象，可以将函数y=cos2x的图象向左最小移动_______个单位13．已知直线l1:ax+(a+2)y+1=0,l2:x+ay+2=0，其中a∈R，若l1⊥l2，则a=______，若l1//l2，则a=__________.14．已知x,y∈R，且4x2+y2+xy=1，则4x2+y2的最小值_________，此时x的值为___________.15．已知两不共线的非零向量a ,b⃑满足|a|=2,|a−b⃑|=1,则向量a与b⃑夹角的最大值是__________.16．已知数列{a n}为等差数列，其前n项和为S n，且2a1+3a3=S6，给出以下结论：①a10= 0②S10最小③S7=S12④S19=0，正确的有_________________.17．设函数f(x)={|12x−4|+1,x≤1x(x−2)2+a,x>1，若存在互不相等的4个实数x1,x2,x3,x4，使得f(x1)x1=f(x2) x2=f(x3)x3=f(x4)x4=7，则a的取值范围为__________.三、解答题18．已知函数f(x)=sin x3cos x3+√3cos2x3（1）求函数f(x)图象对称中心的坐标；（2）如果ΔABC的三边a,b,c满足b2=ac，且边b所对的角为B，求f(B)的取值范围．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n−32n,n∈N∗，b n=a n−12n（1）求证：数列{b n}为等比数列，并求出数列{a n}的通项公式；（2）是否存在实数λ，对任意m,n∈N∗，不等式S m>λb n恒成立？若存在，求出λ的取值范围，若不存在请说明理由．20．如图，四棱锥P−ABCD的底面ABCD为平行四边形，平面PAB⊥平面ABCD，PB=PC,∠ABC=45°，点E是线段PA上靠近点A的三等分点（1）求证：AB⊥PC（2）若ΔPAB是边长为2的等边三角形，求直线DE与平面PBC所成角的正弦值21．如图，O为坐标原点，点F为抛物线C1:x2=2py(p>0)的焦点，且抛物线C1上点P处的切线与圆C2:x2+y2=1相切于点Q（1）当直线PQ的方程为x−y−√2=0时，求抛物线C1的方程；（2）当正数p变化时，记S1,S2分别为ΔFPQ,ΔFOQ的面积，求S1S2的最小值。
浙江省宁波市2019年高三上学期期中数学试卷(理科)B卷
浙江省宁波市2019年高三上学期期中数学试卷（理科）B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2020·漳州模拟) 复数满足，则（）A .B .C .D .2. （2分）若，则是（）A . 等边三角形B . 有一内角是的三角形C . 等腰直角三角形D . 有一内角是的等腰三角形3. （2分）(2017·蔡甸模拟) 已知F为双曲线C：（a＞0，b＞0）的左焦点，直线l经过点F，若点A（a，0），B（0，b）关于直线l对称，则双曲线C的离心率为（）A .B .C .D .4. （2分）在等差数列中，，则前13项之和等于（）A . 13B . 26C . 52D . 1565. （2分） (2017高一下·双鸭山期末) 已知正方体的个顶点中，有个为一侧面是等边三角形的正三棱锥的顶点，则这个正三棱锥与正方体的全面积之比为（）A .B .C .D .6. （2分）(2017·上饶模拟) 阅读程序框图，该算法的功能是输出（）A . 数列{2n﹣1}的前 4项的和B . 数列{2n﹣1}的第4项C . 数列{2n}的前5项的和D . 数列{2n﹣1}的第5项7. （2分）设二元一次不等式组所表示的平面区域为M，使函数的图像过区域M的a 的取值范围是（）A .B .C .D .8. （2分）(2017·扶沟模拟) 设函数f（x）满足2x2f（x）+x3f'（x）=ex ， f（2）= ，则x∈[2，+∞）时，f（x）的最小值为（）A .B .C .D .9. （2分） (2017高二下·衡水期末) 已知函数f（x）=Asin（πx+φ）的部分图象如图所示，点B，C是该图象与x轴的交点，过点C的直线与该图象交于D，E两点，则的值为（）A . ﹣1B .C .D . 210. （2分） (2017高二下·兰州期中) 由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中百位、十位、个位数字总是从小到大排列的共有（）A . 120个B . 100个C . 300个D . 600个11. （2分）已知函数f（x）=2cos（2x+φ）（|φ|＜）的图象向右平移个单位得到的函数图象关于y轴对称，则函数f（x）在[0， ]上的最大值与最小值之和为（）A .B . ﹣1C . 0D .12. （2分） (2019高一下·哈尔滨月考) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A . 24+8πB . 18+8πC . 24+4πD . 18+4π二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高三上·上海期中) 已知函数满足，则的最大值是________14. （1分）已知n= x3dx，则（x﹣）n的展开式中常数项为________．15. （1分）(2019·台州模拟) 已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与圆相切于点，且直线与双曲线的右支交于点，若，则双曲线的离心率为________．16. （1分）(2016·赤峰模拟) 设Sn是数列{an}的前n项和，且a1=﹣2，an+1=﹣，n∈N* ，则Sn=________．三、解答题 (共7题；共60分)17. （5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）的一部分图象如图所示，（其中A＞0，ω＞0，）（1）求函数f（x）的解析式并求函数的单调递增区间；（2）在△ABC中，若f（A）=1，f（B）=﹣1，|AB|=2，求△ABC的面积．18. （10分） (2016高二上·赣州期中) 在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2C﹣3cos （A+B）=1（1）求角C的大小；（2）若c= ，求△ABC周长的最大值．19. （10分）(2016·潍坊模拟) 如表是一个由n2个正数组成的数表，用aij表示第i行第j个数（i，j∈N），已知数表中第一列各数从上到下依次构成等差数列，每一行各数从左到右依次构成等比数列，且公比都相等．已知a11=1，a31+a61=9，a35=48．（1）求an1和a4n；（2）设bn= +（﹣1）n•a （n∈N+），求数列{bn}的前n项和Sn．20. （10分） (2016高二下·天津期末) 设f（x）=aex+ +b（a＞0）．（1）求f（x）在[0，+∞）上的最小值；（2）设曲线y=f（x）在点（2，f（2））的切线方程为3x﹣2y=0，求a、b的值．21. （15分）(2017·抚顺模拟) 已知函数f（x）=lnx﹣．（1）若函数f（x）在定义域内不单调，求实数a的取值范围；（2）若函数f（x）在区间（0，1]内单调递增，求实数a的取值范围；（3）若x1、x2∈R+，且x1≤x2，求证：（lnx1﹣lnx2）（x1+2x2）≤3（x1﹣x2）．22. （5分） (2015高三上·连云期末) 在极坐标系中，圆C的极坐标方程为，已知，P为圆C上一点，求△PAB面积的最小值．23. （5分）已知函数f（x）=|x﹣1|，（1）解关于x的不等式f（x）+x2﹣1＞0（2）若g（x）=﹣|x+3|+m，f（x）＜g（x）的解集非空，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共60分)17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、23-1、。
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2019届宁波市镇海中学高三上学期期中考试
数学试卷
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题
1．设全集，集合，则集合
A． B．
C． D．
2．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是
A． B． C． D．
3．记为等差数列的前项和,若, 则
A． B． C． D．
4．4．满足线性约束条件
23,
23,
{
0,
x y
x y
x
y
+≤
+≤
≥
≥
的目标函数z x y
=+的最大值是
A．1 B．3
2
C．2 D．3
5．已知函数，则函数的图象为
A． B．
C． D．
6．若、是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为
①若直线，则在平面内一定不存在与直线平行的直线．
②若直线，则在平面内一定存在无数条直线与直线垂直．
③若直线，则在平面内不一定存在与直线垂直的直线．
④若直线，则在平面内一定存在与直线垂直的直线．
A．①③ B．②③ C．②④ D．①④
7．已知，那么
A． B． C． D．
8．已知正项等比数列满足，若存在两项，使得
，则的最小值为
A． B． C． D．
9．已知双曲线的左右焦点分别为，为双曲线上
一点，为双曲线渐近线上一点，均位于第一象限，且，，
则双曲线的离心率为
A． B． C． D．
10．如图，在三棱柱中，底面为边长为的正三角形，在底面的射
影为中点且到底面的距离为，已知分别是线段与上的动点，记线段
中点的轨迹为，则等于(注：表示的测度，本题中若分别为曲线、平面图
形、空间几何体，分别对应为其长度、面积、体积）。