公式法解一元二次方程
元二次方程公式法
一元二次方程公式法
一元二次方程的公式法解法是指通过公式来求解一元二次方程的解。
一元二次方程一般形式为ax2 + bx + c = 0，其中a、b、c为常数，且a不等于0。
解一元二次方程的公式如下：
x = [-b ±sqrt(b2- 4ac)] / 2a
其中，±表示取两个解，一个为正数，一个为负数。
sqrt 表示求平方根。
具体步骤如下：
1. 将常数项移到等号右侧，得到ax2 + bx = -c。
2. 将系数化为正数，并将右侧的-c移到左侧，得到ax2 + bx + c = 0。
3. 将系数除以2a，得到x = [-b ±sqrt(b2 - 4ac)] / 2a。
4. 化简公式，得到两个解x1、x2，即x1 = [-b + sqrt(b2 - 4ac)] / 2a，x2 = [-b - sqrt(b2- 4ac)] / 2a。
需要注意的是，在求解一元二次方程时，需要先判断方程的判别式b2 -4ac 的值，如果判别式大于等于0，则方程有两个实数根；如果判别式小于0，则方程有两个共轭复数根。
3 用公式法求解一元二次方程
2.求出
b2 4ac 的值，
b b2 4ac 2a
特别注意:当 b2 4ac 0 时无解 3.代入求根公式: x
4.写出方程的解：
x1、 x2
1.（口答）填空：用公式法解方程3x2+5x-2=0 【解析】a= 3 ，b= 5 ，c = -2 . b2-4ac= 52-4×3×(-2) = 49 . x= 即 = x1= -2 , x2 = . .
用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法．
【例题】 【例1】解方程：x2-7x-18=0． 【解析】这里 a=1, b= -7, c= -18. ∵b2 - 4ac=(-7)2 - 4×1×(-18)=121﹥0,
7 121 7 11 x , 21 2
即：x1=9, x2= -2．
【解析】设门的高为 x 尺，根据题 意得 x 2 x 6 .8 2 10 2. 即，2x2-13.6x-53.76＝0. 10 x-6.8 x
解这个方程,得
x1＝9.6; x2＝-2.8(不合题意,舍去). ∴x-6.8=2.8．
答:门的高是9.6尺,宽是2.8尺.
1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是
9 17 x . 4 16
2
你能用配方法解方程 ax2+bx+c=0(a≠0)吗? 1.化1:把二次项系数化为1；
b c 解 : x x 0. a a
2Leabharlann 2.移项:把常数项移到方程的右边；
b c x x . a a
2
3.配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方；
什么？
2.用公式法解方程应注意的问题是什么？
公式法解一元二次方程全面版
25
x3 25 3 5
22
4
即： x1 2,x2
1 2
2 x 3 2 x 9 6 0
解： 原方 2 x 2 9 程 x 6 x 2 化 6 7 0为
整理 2x2 为 3x2： 10
a 2 ,b 3 ,c 21
公式法解一元二次方程
一、回顾
用配方法解方程：x2bxc0
x 解：移项得： 2bxc
x22b 2xb 22b 22c
则：
xb22
b2 4
c
当b2 c0时,方程有实.数解 4
二、公式的推导
a2x b x c0a0
解： a0x2 bxc0
关于一元二次方程 a2x bxc0a0 ，当
a，b，c满足什么条件时，方程的两根互
为相反数？
解：一元二次方程 a2x b xc0a0的解为：
x 1 b 2 b a 2 4 a,x c 2 b 2 b a 2 4 ac
x1x2
b b24acb b24ac
x__ 5_2 _7 ____
即x1： _1 _x_ 2_ _-6,___
２、用公式法解方程
1 x 2 2 x 5 2 6 t 2 13 t 5 0 3 3 x 2 1 x 1 0
22
4 x 2 2 2 x 3 0
2
３、想一想：
b24ac32 4221
9168
177
x3 177
22
即 :x13417,x7 234177
例３ 解方程： x2323x
解： 原方x 程 2 23 x 化 30 为：
a 1 ,b 23 ,c 3
一元二次方程的解法(公式法3种题型)(解析版)
一元二次方程的解法（公式法3种题型）1.了解求根公式的推导过程.（难点）2.掌握用公式法解一元二次方程.(重点）3.理解并会用判别式求一元二次方程的根.4.会用判别式判断一元二次方程的根的情况一、公式引入一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠），可用配方法进行求解：得：2224()24b b acx a a −+=．对上面这个方程进行讨论：因为0a ≠，所以240a >①当240b ac −≥时，22404b aca−≥利用开平方法，得：x += 即：x = ②当240b ac −<时，22404b ac a −< 这时，在实数范围内，x 取任何值都不能使方程2224()24b b acx a a−+=左右两边的值相等，所以原方程没有实数根．二、求根公式一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠），当240b ac −≥时，有两个实数根：1x =2x =这就是一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠）的求根公式． 三、用公式法解一元二次方程一般步骤①把一元二次方程化成一般形式20ax bx c ++=（0a ≠）； ②确定a 、b 、c 的值；③求出24b ac −的值（或代数式）；④若240b ac −≥，则把a 、b 、c 及24b ac −的值代入求根公式，求出1x 、2x ；若240b ac −<，则方程无解．四、 根的判别式1.一元二次方程根的判别式：我们把24b ac −叫做一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，通常用符号“∆”表示，记作2=4b ac ∆−．2.一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠， 当2=40b ac ∆−>时，方程有两个不相等的实数根； 当2=40b ac ∆−=时，方程有两个相等的实数根；当2=40b ac ∆−<时，方程没有实数根．五、根的判别式的应用（1）不解方程判定方程根的情况； （2）根据参数系数的性质确定根的范围； （3）解与根有关的证明题．题型1根的判别式例1.选择：（1） 下列关于x 的一元二次方程中，有两个不．相等的实数根的方程是（ ）（A ）012=+x（B ）0122=++x x （C ）0322=++x x（D ）0322=−+x x（2） 不解方程，判别方程25750x x −+=的根的情况是（）（A ）有两个相等的实数根 （B ）有两个不相等的实数根 （C ）只有一个实数根（D ）没有实数根（3）方程2510x x −−=的根的情况是()（A ）有两个相等实根 （B ）有两个不等实根 （C ）没有实根（D ）无法确定（4） 一元二次方程2310x x +−=的根的情况为（）（A ）有两个不相等的实数根 （B ）有两个相等的实数根 （C ）只有一个实数根（D ）没有实数根【答案】（1）D ；（2）D ；（3）B ；（4）A ．【答案】【答案】【解析】（1）A ：1a =，0b =，1c =，2440b ac ∆=−=−<，方程无实根；B ：1a =，2b =，1c =，240b ac ∆=−=，方程有两个相等实根； C ：1a =，2b =，3c =，2480b ac ∆=−=−<，方程无实根；D ：1a =，2b =，3c =−，24160b ac ∆=−=>，方程有两不等实根实根，故选D ；（2）5a =，7b =−，5c =，24510b ac ∆=−=−<，方程无实根，故选D ； （3）1a =，5b =−，1c =−，24290b ac ∆=−=>，方程有两不等实根，故选B ； （4）1a =，3b =，1c =−，24130b ac ∆=−=>，方程有两个相等实根，故选A ．【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，先列出方程中的a 、b 、c ，再代值计算∆，根据∆与0的大小关系确定方程根的情况，注意a 、c 异号时则必有两不等实根． 例2.不解方程，判别下列方程的根的情况： （1）24530x x −−=； （2）22430x x ++=；（3）223x +=；（4）22340x x +−=．【答案】（1）方程有两不等实根；（2）方程无实数根；（3）方程有两相等实根； （4）方程有两不等实根．【答案】【答案】【解析】（1）4a =，5b =−，3c =−，24730b ac ∆=−=>，方程有两不等实根；2a =，4b =，3c =，2480b ac ∆=−=−<，方程无实数根；2a =，b =−3c =，240b ac ∆=−=，方程有两相等实根；（4）2a =，3b =，4c =−，24410b ac ∆=−=>，方程有两不等实根．【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，先将方程整理成一般形式，列出方程中的a 、b 、c ，再代值计算∆，根据∆与0的大小关系确定方程根的情况，注意a 、c 异号时则必有两不等实根．题型2用公式法解一元二次方程例3．（2022秋·江苏苏州·九年级校考期中）用公式法解方程：22720x x −+=．【答案】12x x ==【分析】根据公式法解一元二次方程即可求解．【详解】解：22720x x −+=，∴2,7,2a b c ==−=，244942233b ac ∆=−=−⨯⨯=，∴x ==，解得：12x x ==．【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，掌握一元二次方程的求根公式是解题的关键． 例4．用公式法解下列方程：（1）2320x x +−=；（2）25610x x −++=．【答案】（1）12x x ==；（2）12x x =．【解析】（1）132a b c ===−，，1742=−ac b ，则2173±−=x ，∴12x x ==；（2）561a b c =−==，，，则5642=−ac b ，则101426−±−=x ，∴123355x x −==，．【总结】本题主要考查一元二次方程求根公式x =的运用．例5.用公式法解下列方程：（1）291x +=；（220+−=．【答案】（1）12x x ==；（2）12x x ==【解析】（1）1,66,9=−==c b a ，则18042=−ac b ，则185666±=x ，∴原方程的解为：12x x ==；22,34,2−===c b a ，则6442=−ac b ，则22834±−=x ，∴原方程的解为：12x x ==【总结】本题主要考查一元二次方程求根公式的运用．题型3根的判别式的应用例6．（2022秋·江苏扬州·九年级校联考期中）关于x 的一元二次方程()21360x k x k +++−=．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程有一个根不小于7，求k 的取值范围． 【答案】(1)见解析． (2)5k ≤−．【分析】（1）计算根的判别式的值，利用配方法得到()25k ∆=−，根据非负数的性质得到0∆≥，然后根据判别式的意义得到结论； （2）利用求根公式得到13x =−，22kx =−．根据题意得到27k −≥，即可求得k 的取值范围．【详解】（1）解：()()21436k k ∆=+−−2211224k k k =++−+ 21025k k =−+()250k =−≥，∴方程总有实数根； （2）解：∵()250k ∆=−≥，∴()()152k k x −+±−=，解方程得：13x =−，22kx =−，由于方程有一个根不小于7， ∴27k −≥， 解得：5k ≤−．【点睛】本题考查的是根的判别式及一元二次方程的解的定义，在解答（2）时得到方程的两个根是解题的关键．例7．（2023·江苏苏州·统考一模）已知关于x 的一元二次方程22210x mx m −+−=． (1)若该方程有一个根是2x =，求m 的值；(2)求证：无论m 取什么值，该方程总有两个实数根． 【答案】(1)32m =(2)证明见解析【分析】（1）直接把2x =代入到原方程中得到关于m 的方程，解方程即可得到答案； （2）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可．【详解】（1）解：∵关于x 的一元二次方程22210x mx m −+−=的一个根为2x =，∴224210m m −+−=，∴32m =；（2）证明：由题意得，()()()222242421484410b ac m m m m m ∆=−=−−−=−+=−≥，∴无论m 取什么值，该方程总有两个实数根．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解和根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根；一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值．例8．（2023秋·江苏扬州·九年级校考期末）关于x 的一元二次方程()23220x k x k −+++=．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程有一个根小于2，求k 的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)1k <【分析】（1）计算一元二次方程根的判别式，根据根的判别式进行判断即可得证；（2）根据公式法求得方程的解，得出122,1==+x x k ，根据题意列出不等式，解不等式即可求解． 【详解】（1）证明：关于x 的一元二次方程()23220x k x k −+++=，∴1,(3),22a b k c k ==−+=+ ∵[]224(3)41(22)−=−+−⨯⨯+b ac k k221k k =−+2(1)0k =−≥，∴此方程总有两个实数根； （2）∵()23220x k x k −+++=∵2(1)k ∆=−∴3(1)2+±−==k k x解得:122,1==+x x k ，∵方程有一个根小于2， ∴12k +<， 解得1k <．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键．一、单选题1．（2023·江苏徐州·统考一模）关于一元二次方程2430x x ++=根的情况，下列说法中正确的是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根 D ．无法确定【答案】A【分析】直接利用一元二次方程根的判别式即可得．【详解】解：2430x x ++=其中1a =，4b =，3c =，∴2Δ441340=−⨯⨯=>，∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． 2．（2023·江苏徐州·校考一模）关于x 的一元二次方程240x x k −+=有实数根，则k 的值可以是（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7【答案】A【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程240x x k −+=有实数根，∴()2440k ∆=−−≥，∴4k ≤，∴四个选项中只有A 选项符合题意， 故选A ．【点睛】本题主要考查次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根．3．（2023秋·江苏盐城·九年级统考期末）若关于x 的一元二次方程240x x k −−=没有实数根，则k 的值可以是（ ） A ．5− B ．4− C ．3− D ．2【答案】A【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程240x x k −−=无实数根，∴()2440k ∆=−+<，∴4k <−，∴四个选项中，只有A 选项符合题意， 故A ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根．4．（2023春·江苏盐城·九年级统考期末）若关于x 的一元二次方程220x x k −+=没有实数根，则k 的值可以是（ ） A ．2 B ．1 C ．0 D ．1−【答案】A【分析】根据一元二次方程根的判别式进行求解即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程220x x k −+=没有实数根，∴()2240k ∆=−−<，∴1k >，∴四个选项中，只有选项A 符合题意， 故选A ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根．5．（2023秋·江苏·九年级统考期末）若关于x 的一元二次方程2440x x k −−+=没有实数根，则k 的取值范围为（ ） A ．0k > B ．4k > C ．0k < D ．4k <【答案】C【分析】根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2440x x k −−+=没有实数根，∴()2416440b ac k ∆=−=−−<，解得：0k <故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程20ax bx c ++= (0a a b c ≠，，，为常数)的根的判别式24b ac ∆=−，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程没有实数根． 二、填空题6．（2023·江苏常州·校考一模）若关于x 的一元二次方程()22210k x x −−−=有实数根，则实数k 的取值范围是______． 【答案】1k ≥且2k ≠【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的性质计算，即可得到答案．【详解】∵关于x 的一元二次方程()22210k x x −−−=有实数根， ∴()()()22024210k k −≠⎧⎪⎨−−−⨯−≥⎪⎩ ∴21k k ≠⎧⎨≥⎩，即1k ≥且2k ≠． 故答案为：1k ≥且2k ≠．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和跟的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义和判别式的性质，从而完成求解．7．（2023·江苏常州·统考一模）若关于x 的方程20x x m −+=（m 为常数）有两个相等的实数根，则m =______．【答案】14【分析】先根据方程有两个相等的实数根得出△0=，求出m 的值即可．【详解】解：关于x 的方程20(x x m m −+=为常数）有两个相等的实数根，∴△2(1)40m =−−=，解得14m =．故答案为：14．【点睛】本题考查的是根的判别式，孰知当△0=时，一元二次方程2(0)y ax bx c a =++≠有两个相等的实数根是解答此题的关键．8．（2023·江苏盐城·校考二模）已知关于x 的一元二次方程240x ax ++=有一个根为1，则a 的值为________．【答案】5a =−【分析】将1x =代入方程240x ax ++=，解方程即可得到a 的值．【详解】∵关于x 的一元二次方程240x ax ++=有一个根为1，∴将1x =代入方程240x ax ++=，得140a ++=，解得：5a =−， 故答案为：5−【点睛】本题主要考查一元二次方程的解，理解一元二次方程的解是使得方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．9．（2023·江苏宿迁·模拟预测）关于x 的方程()21210m x x −−+=有实数根，则m 的取值范围是______． 【答案】2m ≤/2m ≥【分析】分当10m −=时，当10m −≠，即1m ≠时，两种情况讨论求解即可． 【详解】解：当10m −=时，即1m =时，原方程即为210x −+=，解得12x =，符合题意；当10m −≠，即1m ≠时，∵关于x 的方程()21210m x x −−+= ∴()()22410m ∆=−−−≥，解得2m ≤且1m ≠； 综上所述，2m ≤， 故答案为：2m ≤．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根．10．（2023·江苏·模拟预测）请填写一个常数，使得一元二次方程25x x −+____________0=没有实数根．【答案】7（答案不唯一）【分析】设这个常数为a ，根据根的判别式求出a 的取值范围即可得到答案． 【详解】解：设这个常数为a ，∴方程250x x a −+=没有实数根，∴()2540a ∆=−−<，∴254a >，∴7a =满足题意，故答案为：7（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根．11．（2023秋·江苏无锡·九年级校联考期末）请填写一个常数，使得关于x 的方程24x x −+________=0有两个不相等的实数根． 【答案】1（答案不唯一）【分析】根据方程的系数结合根的判别式2=40b ac ∆−>，即可得出关于c 的不等式，求解即可得出答案．【详解】解：1a =，4b =−，设常数为c ，()22=44410b ac c ∆−=−−⨯⨯>4c ∴<故答案为：1（答案不唯一）．【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当0∆>时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 三、解答题12．（2022秋·江苏淮安·九年级统考期末）求证：关于x 的方程2()0()x m n x mn m n +++=≠有两个不相等的实数根． 【答案】见解析【分析】根据224()41b ac m n mn ∆=−=+−⨯⨯，再判断出的符号，即可得出结论． 【详解】解∶2222()412()m n mn m n mn m n ∆=+−⨯⨯=+−=−，m n ≠()2m n ∴−>∴方程有两个不相等的实数根．【点睛】本题考查了一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的判别式2Δ4b ac =−：当0∆>，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=，方程有两个相等的实数根；当Δ0<，方程没有实数根． 13．（2023·江苏盐城·校考一模）已知关于x 的一元二次方程210x ax a −+−=． (1)求证：方程总有两个实数根；(2)若该方程有一实数根大于4，求a 的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)5a >【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可；（2）利用因式分解法解方程求出方程两个根为1211x x a ==−，，再根据该方程有一实数根大于4进行求解即可．【详解】（1）解：∵知关于x 的一元二次方程为210x ax a −+−=，∴()()()222414420a a a a a ∆=−−−=−+=−≥，∴方程总有两个实数根；（2）解：∵210x ax a −+−=，∴()()110x x a −+−=，∴10x −=或10x a +−=， 解得1211x x a ==−，，∵该方程有一实数根大于4， ∴14a −>， ∴5a >．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，灵活运用所学知识是解题的关键． 14．（2023秋·江苏南通·九年级统考期末）关于x 的一元二次方程2(23)10mx m x m ++++=有两个不等的实数根．(1)求m 的取值范围；(2)当m 取最小整数时，求x 的值． 【答案】(1)98m >−且0m ≠(2)10x =，21x =【分析】（1）由0∆>得到关于m 的不等式，解之得到m 的范围，根据一元二次方程的定义求得答案； （2）由（1）知1m =−，还原方程，利用因式分解法求解可得．【详解】（1）解：由题意得：2(23)4(1)0m m m +−+>， 解得：98m >−且0m ≠；（2）由（1）知，m 最小整数为1−，此时方程为：20x x −+=，解得：10x =，21x =．【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义及根的判别式，解题的关键是熟练掌握方程的根的情况与判别式的值之间的关系．【答案】(1)28n m =−(2)见解析【分析】（1）根据根的判别式符号进行求解；（2）根据判别式以及一元二次方程的解法即可求出答案． 【详解】（1）由题意得：()242n m ∆=−⋅−28n m ∆=+方程有两个相等的实数根， 0∴∆=280n m ∴+= 28n m ∴=−（2）当2n m =−()228m m ∆=−+2Δ44m m =++()224420m m m ++=+≥∴方程始终有两个实数根【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的判别式．一、单选题1．（2023春·江苏南京·九年级南京市竹山中学校考阶段练习）一元二次方程2440x x +−=的根的情况是（ ） A ．有两个相等的实数根 B ．有两个不相等的实数根 C ．没有实数根 D ．无法确定【答案】B【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：由题意得，()24414320∆=−⨯⨯−=>，∴原方程有两个不相等的实数根， 故选B ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根．2．（2022秋·江苏宿迁·九年级校考阶段练习）关于x 的一元二次方程250x ax −−=的根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．可能有实数根，也可能没有 C ．有两个相等的实数根 D ．没有实数根【答案】A【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程为250x ax −−=，∴()()22451200a a ∆=−−⨯−⨯=+>，∴关于x 的一元二次方程250x ax −−=有两个不相等的实数根，故答案为：A ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根．3．（2023春·江苏宿迁·九年级统考阶段练习）若关于x 的一元二次方程22(1)0x x k +−−=有实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．0k > B ．0k ≥ C ．0k < D ．0k ≤【答案】B【分析】根据一元二次方程有实数根，可知240b ac −≥，求出解即可．【详解】∵一元二次方程22(1)0x x k +−−=有实数根，∴240b ac −≥，即224[(1)]0k −−−≥， 解得0k ≥． 故选：B ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握24b ac −与一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的关系是解题的关键．即当240b ac −＞时，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根；当240b ac −=时，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根；当240b ac −＜时，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根．5．（2023春·江苏盐城·九年级校考阶段练习）关于x 的一元二次方程2210kx x −−=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( ) A ．1k >−B ．1k <C ．1k >−且0k ≠D ．1k <且0k ≠【答案】C【分析】根据一元二次方程的定义，以及一元二次方程根的判别式得出不等式组，解不等式组即可求解．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2210kx x −−=有两个不相等的实数根，∴0k ≠且0∆>，即2(2)4(1)0k −−⨯⨯−>， 解得1k >−且0k ≠． 故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程20ax bx c ++= (0a a b c ≠，，，为常数)的根的判别式24b ac ∆=−，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程没有实数根． 二、填空题5．（2023春·江苏泰州·九年级校联考阶段练习）请填写一个常数，使得关于x 的方程22+−x x __________0=有两个相等的实数根． 【答案】1【分析】设这个常数为a ，利用一元二次方程根的判别式得出a 的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设这个常数为a ， ∵要使原方程有两个相等的实数根， ∴()2=240a ∆−−=，∴1a =，∴满足题意的常数可以为1， 故答案为：1．【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根与24b ac ∆=−有如下关系：当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程无实数根．6．（2023春·江苏泰州·九年级靖江市靖城中学校考阶段练习）方程220x x m −+=没有实数根，则m 的取值范围是______． 【答案】1m >/1m <【分析】根据一元二次方程无实数根得到Δ0<，代入即可得出答案．【详解】方程220x x m −+=没有实数根，4410m ∴∆=−⨯⨯<， 1m ∴>，故答案为：1m >．【点睛】本题考查一元二次方程有无实数根，熟记判别式24b ac ∆=−是解题的关键．三、解答题7．（2022秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）已知关于x 的一元二次方程210x ax a ++−=． (1)若该方程的一个根为2−，求a 的值及该方程的另一根； (2)求证：无论a 取何实数，该方程都有实数根． 【答案】(1)3a =，该方程的另一根为1− (2)证明见解析【分析】（1）先根据一元二次方程解的定义把2x =−代入到210x ax a ++−=中求出a 的值，再利用因式分解法解方程即可；（2）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可．【详解】（1）解：∵关于x 的一元二次方程210x ax a ++−=的一个根为2−，∴4210a a −+−=， ∴3a =，∴原方程即为2320x x ++=，∴()()120x x ++=，解得=1x −或2x =−， ∴方程的另一个根为1−；（2）解：∵关于x 的一元二次方程为210x ax a ++−=，∴()()222414420a a a a a ∆=−−=−+=−≥，∴无论a 取何实数，该方程都有实数根．【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的定义，解一元二次方程，一元二次方程判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根．8．（2023春·江苏盐城·九年级校考阶段练习）关于x 的一元二次方程2430mx x -+=有实数根． (1)求m 的取值范围；(2)若m 为正整数，求出此时方程的根． 【答案】(1)43m ≤且0m ≠(2)11x =，23x =【分析】（1）由二次项系数非零及根的判别式0∆≥，可得出关于m 的一元一次不等式组，解之即可得出m 的取值范围；（2）由（1）的结论，结合m 为正整数，可得出m 的值，再其代入原方程，解之即可得出结论．【详解】（1）解：∵关于x 的一元二次方程2430mx x -+=有实数根，∴()20Δ4430m m ≠⎧⎪⎨=−−⨯⨯≥⎪⎩， 解得：43m ≤且0m ≠，∴m 的取值范围为43m ≤且0m ≠；（2）∵43m ≤且0m ≠，且m 为正整数， ∴1m =，∴原方程为2430x x −+=，即()()310x x −−=， 解得：11x =，23x =．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的定义以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）利用二次项系数非零及根的判别式0∆≥，找出关于m 的一元一次不等式组；（2）代入m 的值，求出方程的解．9．（2022秋·江苏南京·九年级校考阶段练习）已知关于x 的方程()242440mx m x m +−+−=（m 为常数，且0m ≠）(1)求证：方程总有实数根； (2)若该方程有两个实数根；①不论m 取何实数，该方程总有一个不变的实数根为______； ②若m 为整数，且方程的两个实数根都是整数，求m 的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)①2−；②1m =±或2m =±【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式求解即可；（2）①利用公式法求出方程的两个实数根即可得到答案；②根据①所求两实数根，结合m 为整数，且方程的两个实数根都是整数进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得()()22=442444b ac m m m ∆−=−−−2216164161640m m m m =−+−+=>，∴方程总有实数根； （2）解：①∵关于x 的方程()242440mx m x m +−+−=有两个实数根，∴2422m x m −±==， ∴1224222242222m m m x x m m m −+−−−====−，，∴不论m 取何实数，该方程总有一个不变的实数根为2−， 故答案为：2−；②由①得，方程的两个实数根为12222mx x m −==−，，∵m 为整数，且方程的两个实数根都是整数， ∴2222m m m −=−为整数，∴1m =±或2m =±．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，公式法解一元二次方程，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键．10．（2022秋·江苏南通·九年级校考阶段练习）已知关于x 的方程2(1)(3)20m x m x +−++=． (1)证明：不论m 为何值时，方程总有实数根； (2)m 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根． 【答案】(1)证明见解析(2)0m =【分析】（1）求出方程根的判别式，利用配方法进行变形，根据平方的非负性证明即可；（2）利用一元二次方程求根公式求出方程的两个根，根据题意求出m 的值．【详解】（1）（1）证明：①1m =−时，该方程为一元一次方程220x −+=，有实数根1x =；②1m ≠−时，该方程为一元二次方程，2(3)8(1)m m ∆=+−+221m m =−+2(1)m =−，不论m 为何值时，2(1)0m −…， ∴0∆…， ∴方程总有实数根；综上，不论m 为何值时，方程总有实数根．（2）解：解方程得，(3)(1)2(1)m m x m +±−=+， 11x =，221x m =+，方程有两个不相等的正整数根，m 为整数，0m ∴=．【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式和求根公式的应用，掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：0∆>⇔方程有两个不相等的实数根；0∆=⇔方程有两个相等的实数根；0∆<⇔方程没有实数根是解题的关键．【答案】22212x x x −−或【分析】根据分式的混合运算法则化简后，再求出x 的值，代入求值即可．【详解】解：221222121x x x x x x x ⎛⎫÷ ⎪⎝⎭−−−−+++()()()()()22112221121x x x x x x x x x x x ⎡⎤=÷⎢⎥⎣⎦+−−−−++++()()()()21211112x x x x x x +=⨯++−−()2211x x x =−− 22221x x x =−−∵210x x −−=，∴21x x −=，∴原式()2221x x x −=−2211x =−⨯12x =−， 对于210x x −−=来说，1,1,1,a b c ==−=−∵()()22414115b ac −=−−⨯⨯−=，∴x =，∴12x x ==，∴当x =时，原式12x =−，当x =时，原式12x =−=．【点睛】此题考查了分式的化简求值，解一元二次方程等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键． 12．（2022秋·江苏盐城·九年级校考阶段练习）解下列方程：2231x x +=【答案】x x ==12，【分析】先将原方程化为一元二次方程的一般形式，然后用公式法求解即可；【详解】解：原方程可化为：22310x x +−=a b c ===−231 ， ，()b ac −=−⨯⨯−=>2243421170x ∴==x x ==12，【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的基本解法是解题的关键． 13．（2022秋·江苏无锡·九年级校联考阶段练习）已知关于x 的方程220x mx m +−=−．(1)当该方程的一个根为1−时，求m 的值及该方程的另一根；(2)求证：不论m 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．【答案】(1)1=2m ，方程的另一根为32(2)见解析【分析】（1）把1x =−代入原方程求得m 的值，进一步求得方程的另一个根即可；（2）计算出根的判别式，进一步利用配方法和非负数的性质证得结论即可．【详解】（1）解：把1x =−代入方程 220x mx m +−=−得 120m m ++−=∴1=2m ，把1=2m 代入到原方程得 213022x x −−=∴1x =−或3=2x 故答案为：1=2m ，方程的另一根为32；（2）证明：∵方程220x mx m +−=−，∴根的判别式()()()224224m m m ∆=−−−=−+∵()220m −≥∴()2240m ∆=−+> ∴不论m 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式的性质，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根的判别式24b ac ∆=−：当0∆>，方程有两个不相等的实数根；当0∆=，方程有两个相等的实数根；当0∆<，方程没有实数根；熟练掌握一元二次方程根的判别式的性质是解本题的关键． 14．（2022秋·江苏常州·九年级校考阶段练习）用指定方法解下列一元二次方程：(1)2820x x −−=（配方法）(2)2320x x ++=（公式法）【答案】(1)14x =+24x =−(2)11x =−，22x =−【分析】（1）将常数项移至方程的右边，然后两边都加上一次项系数的一半的平方配方成完全平方后，再开方，即可得出结果；（2）利用公式法计算即可．【详解】（1）解：2820x x −−=移项，得：282x x −=，配方，得：2228424x x −+=+，即()2418x −=，由此可得：4x −=±14x =+24x =−（2）解：2320x x ++=1a =，3b =，2c =，224341210b ac ∆=−=−⨯⨯=>，方程有两个不等的实数根，3131212x −±−±===⨯，即11x =−，22x =−．【点睛】本题考查了解一元二次方程，解本题的关键在熟练掌握用配方法和公式法解一元二次方程．解一元二次方程的基本思路是：将二次方程转化为一次方程，即降次．。
公式法解一元二次方程的公式
公式法解一元二次方程的公式
公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△
=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，把各项系数a，b，c的值代入求根公式x={-b±（b^2-4ac）^（1/2）/（2a）}，（b^2-4ac≥0）就可得到方程的根。
扩展资料：
只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。
一元二次方程经过整理都可化成一般形式ax²+bx+c=0（a≠0）。
其中ax²叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。
公元前2000年左右，古巴比伦的数学家就能解一元二次方程了。
他们是这样描述的：已知一个数与它的倒数之和等于一个已给数，求出这个数。
解一元二次方程的公式法
解一元二次方程的公式法
一元二次方程的公式法是通过求根公式来解方程的方法。
解一元二次
方程的公式为：
$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$$。
其中，a、b、c代表方程ax^2+bx+c=0中的系数。
这个公式叫做二次
方程的求根公式。
步骤：
1.根据已知的一元二次方程确定系数a、b、c。
2.将系数带入求根公式中。
3.对于正负号的两个根分别进行计算。
4.根据题目所求的答案，合理的选取一个或两个根。
注意：
1.如果方程中系数为0或不存在常数项，就无法使用求根公式。
2.求解过程中需要注意开方的正负性。
3.如果Delta=b^2-4ac<0，则方程无解。
4. 如果Delta=b^2-4ac=0，则方程存在唯一解：x=-b/(2a)。
5. 如果Delta=b^2-4ac>0，则方程有两个根：x1=(-
b+sqrt(Delta))/(2a)，x2=(-b-sqrt(Delta))/(2a)，并且x1≠x2。
其中，sqrt(Delta)表示Delta的正平方根。
解1元2次方程公式法
解1元2次方程公式法解一元二次方程公式法是初中数学中比较重要的一个知识点，也是进一步学习高中数学、大学数学的基础。
本篇文章就为大家详细介绍一下解一元二次方程公式法的内容和方法，希望读者在阅读后能够更加深入地了解这一知识点，掌握解题方法。
一、什么是一元二次方程先来了解一下什么是一元二次方程。
一元二次方程是形如ax²+bx+c=0的方程，其中a、b、c是已知的实数，x是未知数。
其中a≠0，这个不等于号起到限制条件的作用，保证x²项系数不为0，从而把一元二次方程与其他形式的方程进行区分。
二、公式法的推导过程公式法是解一元二次方程的一种常用方法。
我们先来看一下它的推导过程。
1.将一元二次方程ax²+bx+c=0移项，得到ax²+bx=-c。
2.两边同时乘以4a，得到4a²x²+4abx=-4ac。
3.左边加上b²，得到4a²x²+4abx+b²=b²-4ac。
4.因为4a²x²+4abx+b²=(2ax+b)²，所以(2ax+b)²=b²-4ac。
5.开方得到2ax+b=±√(b²-4ac)，再移项，得到2ax=-b±√(b²-4ac)。
6.最后，除以2a，得到x=(-b±√(b²-4ac))/(2a)。
这就是公式法的推导过程。
将解出的x带入原方程验证，若方程成立，则已经得到正确答案。
三、公式法的应用接下来让我们来看一些具体的例题，来了解一下公式法的应用。
例1：求解2x²-5x+2=0的解根据公式法的推导过程，我们可以知道a=2，b=-5，c=2。
那么代入公式x=(-b±√(b²-4ac))/(2a)即可，得到x1=2，x2=1/2。
因此2x²-5x+2=0的解为x1=2，x2=1/2。
公式法解一元二次方程
二、用公式法解一元二次方
程的一般步骤：
1、把方程化成一般形式。 并写
出a，b，c的值。
2、求出b2-4ac的值。
3、代入求根公式 :
X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
4、写出方程的解: x1=?, x2=?
这是收获的
时刻，让我 们共享学习 的成果
三、当 b2-4ac=0时，一元二次
b b2 4ac x 2a
例 2 解方程： x 3 2 3 x
2
解： 化简为一般式：x 2 2 3 x 3 0
这里 a 1、 b= - 2 3、 c= 3
b 4ac （ 2 3） 4 1 3 0
2 2
方程有两个相同的实数根 （-2 3） 0 2 3 x 3 21 2 即： x1 x2 3
方程有两个相等的实数根。
当 b2-4ac＞0时，一元二次 方程有两个不相等的实数根。 当 b2-4ac＜0时，一元二次 方程没有实数根。 四、计算一定要细心，尤其是 计算b2-4ac的值和代入公式时， 符号不要弄错。
做一做
1.用公式法解下列方程：
(2)x2+x-6=0
(3)3x2-6x-2=0
做一做
1.用公式法解下列方程：
(4)4x2-6x=0
(5)6t2 -5 =13t
随堂 练习
2
2.用公式法解下列方程： (2)x2+1.5=-3x
1 (3) x 2 x 0 2
随堂 练习
3.用公式法解下列方程：
x2+2x=-½ , (x+1)2=½
2 2 2 2 , x2 . , x1 2 2
一元二次方程的解法——公式法
一元二次方程的解法——公式法1.公式法：一元二次方程20ax bx c ++=（a ≠0）的求根公式 ，利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。
问题：求根公式是怎样得来的呢？如果这个一元二次方程是一般形式ax 2+bx+c=0（a ≠0），能否用上面配方法的步骤求出它们的两根？？已知ax 2+bx+c=0（a ≠0）且b 2-4ac ≥0，试推导它的两个根x 1x 2=2b a- 解：移项，得：ax 2+bx=-c 二次项系数化为1，得x 2+b a x=-c a配方，得：x 2+b a x+（2b a ）2=-c a +（2b a ）2 即（x+2b a ）2=2244b ac a - ∵b 2-4ac ≥0且4a 2>0 ∴2244b ac a -≥0直接开平方，得：x+2b a =±即∴x 1=2b a -x 2=2b a- 由上可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b-4ac ≥0时，•将a 、b 、c 代入式子 （2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．2．一元二次方程的判别公式：关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=（a ≠0）的根的判别式为①240b ac -≥ <﹦> 一元二次方程有两个 的实数根,1x =，2x =； ②240b ac -= <﹦> 一元二次方程有两个 的实数根，122b x x a-==； ③240b ac -< <﹦> 一元二次方程有两个 的实数根；3.一元二次方程跟与系数的关系 一元二次方程的两根与方程中各系数有如下关系：， （也称韦达定理）。
4. 用求根公式法解一元二次方程的一般步骤为：①把方程化成一般形式，进而确定a ，b ，c 的值（注意符号）；②求出判别式的值，判断根的情况； ③在的前提下，把a 、b 、c 的值代入公式进行计算，求出方程的根。
正确使用“求根公式法”解一元二次方程步骤
正确使用“求根公式法”解一元二次方程的五个步骤资中县球溪中心校 教师：杨长英一般地，对于一元二次方程ax 2+bx +c ＝0(a ≠0)，当b 2－4ac ≥0时，方程有两个实数根：x 1,2b 2－4ac ＜0时，方程没有实数根。
在运用该公式时，有的学生会出现盲目套公式现象。
正确使用 “求根公式法”解一元二次方程的 应注意以下五个步骤 。
第一步：注意化方程为一般形式 ax 2+bx +c ＝0(a ≠0)例1 把下列方程化为一般式（1）3x 2＝5x －4.（2）6x 2+3x ＝(1+2x )(2+x ).（3） x (x －＝0.解：（1）3x 2＝5x －4.移项：3x 2—5x +4. =0即为一般式解：（2）6x 2+3x ＝(1+2x )(2+x ).多项式乘以多项式：6x 2+3x ＝2+x+4x+2x 2整理得： 24220x x --=化简为一般式：2210x x --=解： （3） x (x －＝0.乘法分配律：230x -+=即为一般式 第二步：注意a 、b 、c 的确定应包括各自的符号。
例如： 上面第（1）题结果：3x 2—5x +4. =0中3,5,4a b c ==-=上面第（2）题结果：2210x x --=中1,1,1a b c ==-=-上面第（3）题结果：230x -+=中1,3a b c ==-=第三步：注意方程有实数根的前提条件是判别式 b 2－4ac ≥0上面第（1）题结果：=b 2－4ac ＝(－5)2－4×3×4＝-23＜0上面第（2）题结果：=b 2－4ac ＝(－1)2－4×1×（-1）＝5＞0上面第（3）题结果：=b 2－4ac ＝(－2－4×1×3＝12－12=0 。
第四步：由判别式 的值决定，灵活选用解题方法和技巧。
比如：上面第（1）题结果： ＝-23＜0，则方程无解，就不用代入求根公式了。
一元二次方程的解法：公式法
2a
（2）当 b2 4ac 时，方程无实数解
例 2 解方程：4x2 4x 10 1 8x
解：化为一般式： 4x2 +12x 9 0
a 4,b 12,c 9
bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 4ac 122 4 49 0
x 12 0 3
3. 公式法
偃师市大口镇中学 张延峰
温故知新
用配方法解一元二次方程的一般步骤:
化1:化为一般式，并将二次项系数化为1； 移项：把常数项移到方程的右边; 配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方 ;开方:左边降次,右边开平方; 求解:解两个一元一次方程; 定解:写出原方程的解.
用配方法解一般形式的一元二次方程
24
2
3 x1 x2 2
例 3 解方程： x 21 3x 6
解：去括号，化为一般式：
3x2 7x 8 0
a 3,b -7,c 8
b2 4ac （ 7）2 4 3 8 49 96 - 47 0
方程没有实数解。
随堂 练习 用公式法解下列方程：
（1） x2 4x 2
（2）5x2 4x 12 0
（3） 16x2 8x 3
课后小结
同学们，这节课你们都有哪些收获呢？
课后作业
1.课本第30页练习 2.课本第36页习题第二题的3、4
、5、6小题
再
见！
用公式法解方程：
例 1 解方程： 2x2 +x 6 0
例 2 解方程：4x2 4x 10 1 8x
例 3 解方程： x 21 3x 6
例 1 解方程： 2x2 +x 6 0
一元二次方程的解法(公式法2)全面版
议一议
方程根的情况：
当 b2 4ac0时,方程有两个不相等的实数根； 当 b2 4ac0时,方程有两个相等的实数根； 当 b24ac0时,方程没有实数根.
例1.不解方程,判别方程 5 x2 1 x0
的根的情况______________
解:5x2 x50
方程要先化 为一般形式
例5.一元二次方程 m 1 x 2 2 m m x 2 0
有两个不等的实数根,则m的取值 范围是______________
变
解 2 m 2 4 m 1 m 2
4 m 24 m 24 m 8
4m8 0 m2
1、已知a,b,c是△ ABC的三边，且 关于x的方程x2-2cx+a2+b2=0有两 个相等的实数根． 求证：这个三角形是直角三角形．
2：已知关于x的方程：
2x2-(4k+1)x+2k2-1=0
想一想，当k取什么值时： （1）方程有两个不相等的实数根， （2）方程有两个相等的实数根， （3）方程没有实数根，
C.没有实数根
b24ac 0
D.根的情况无法
例3.已知关于x的方程
x22 m2 x m 40
证明:不论m为何值,这个方程总有两个 不相等的实数根
解 : b 2 4 a 4 m c 2 4 2 m 4
4m28m16
4m 2 2 m 1 12
4.2一元二次方程的解法
用公式法解一元二次方程的步骤:
1、把方程化成一般形式，并写出a，b，c的值. 2、求出b2-4ac的值. 3、代入求根公式 :
xbb24ac(a0,b24ac0) 2a
4、写出方程的解x1与x2.
一元2次方程公式法公式
一元2次方程公式法公式一元二次方程公式法是求解一元二次方程的一种常用方法。
一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c是已知实数，且a≠0。
我们可以利用一元二次方程公式来求解方程的根，即方程的解。
一元二次方程公式的表达式为x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。
其中，±表示两个根的取正负号，√表示开平方，^表示乘方。
我们可以发现，一元二次方程的解一般可以有两个根（即两个解），因此在公式中会有±的形式。
公式中的√(b^2 - 4ac)表示方程的判别式，用来判断方程有几个实根。
当判别式大于0时，方程有两个不相等的实根；当判别式等于0时，方程有两个相等的实根；当判别式小于0时，方程没有实根，只有复数根。
公式中的2a表示方程中二次项的系数的两倍，可以看作是方程的"系数倍数"。
这个系数倍数的存在是为了保证公式的正确性。
通过一元二次方程公式法，我们可以轻松求解一元二次方程的根。
下面我们通过一个例子来说明一下具体的步骤。
假设有一个一元二次方程为2x^2 + 5x - 3 = 0，我们要求解该方程的根。
根据方程的系数，我们可以得到a=2，b=5，c=-3。
然后，代入一元二次方程公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)中的变量，进行计算。
计算过程如下：判别式D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 * 2 * (-3) = 25 + 24 = 49根据判别式的值，我们可以判断方程有两个不相等的实根。
根的计算公式为x = (-b ± √D) / (2a)将a、b、D代入可以得到x = (-5 ± √49) / (2 * 2)化简得到x = (-5 ± 7) / 4因此，方程的两个解分别为x1 = (-5 + 7) / 4 = 1/2 和 x2 = (-5 - 7) / 4 = -3。
公式法解一元二次方程适用范围
公式法解一元二次方程适用范围
一元二次方程是高中数学中常见的一种方程形式，其一般形式为ax^2 + bx + c = 0。
解一元二次方程时，除了可以利用因式分解、
配方法等代数方法外，还可以利用公式法求解。
公式法是指利用一元二次方程的求根公式x = (-b ±√(b^2-4ac))/2a求解方程的方法。
但需要注意的是，公式法只适用于满足以下条件的一元二次方程：
1.系数a不等于0，且为实数；
2.方程的根为实数。
如果方程不满足以上条件，则公式法求解可能会得到虚数根，需要用到复数的概念。
此时应该使用其他的方法进行求解。
另外，如果系数a接近于0，或b、c的绝对值极大，也会导致公式法求解的误
差较大，此时也需要注意。
总之，公式法是解一元二次方程的一种有效方法，但需要注意其适用范围，避免出现错误的解。
- 1 -。
一元二次方程的解法-公式法
2
x
1 2
25
1 5 2
x
6 60 23
3 15 3
3 15 3
x1 2, x2 3.
x1
, x2
3 15 3
做一做
1.用公式法解下列方程：
(4)4x2-6x=0
解: a 4, b 6, c 0 b 4ac 36 0 36 0
这是收获的
时刻，让我 们共享学习 的成果
一、由配方法解一般的一元二
次方程 ax2+bx+c=0 若 b2-4ac≥0 得
(a≠0)
求根公式 : X=
这是收获的
时刻，让我 们共享学习 的成果
二、用公式法解一元二次方
程的一般步骤：
1、把方程化成一般形式。 并写
出a，b，c的值。
2、求出b2-4ac的值。
1、把方程化成一般形式。
并写出a，b，c的值。 2、求出b2-4ac的值。 3、代入求根公式 : X=
∴ b2-4ac=52-4×2×(-3)=49 ∴x= =
即
x1= - 3 ,
x2 =
④
4、写出方程的解： x1=?, x2=?
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
做一做
1.用公式法解下列方程： (1) x2 +2x =5
1 6
即
x1 = -2 ,
x2 =
.
x1 1 6 , x2 1 6
做一做
1.用公式法解下列方程：
(2)x2+x-6=0
解: a 1, b 1, c 6 b 4ac 1 24 25 0
用求根公式法解一元二次方程
用求根公式法解一元二次方程一元二次方程是数学中常见的一类方程，它的一般形式为ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为已知常数，x为未知数。
求解一元二次方程的方法有很多，其中一种常用的方法是求根公式法。
求根公式法是通过使用一元二次方程的根的公式来求解方程。
一元二次方程的根的公式如下：x = (-b±√(b^2-4ac))/(2a)其中，±表示两个解，一个为加号，一个为减号。
根据这个公式，我们可以计算出一元二次方程的解。
下面我们通过一个具体的例子来说明求根公式法的应用。
例题：解方程x^2-5x+6=0解：首先，我们将方程的系数代入根的公式中，得到：x = (5±√((-5)^2-4*1*6))/(2*1)化简得：x = (5±√(25-24))/2继续化简得：x = (5±√1)/2由于√1=1，所以我们可以得到：x1 = (5+1)/2 = 3x2 = (5-1)/2 = 2因此，方程x^2-5x+6=0的解为x1=3和x2=2。
通过这个例子，我们可以看到求根公式法的求解过程。
首先，我们将方程的系数代入根的公式中，然后化简得到最终的解。
这种方法简单直接，适用于所有的一元二次方程。
需要注意的是，当方程的判别式b^2-4ac小于0时，方程没有实数解，此时方程的解为虚数解。
此时，我们可以通过计算出的根的实部和虚部得到方程的解。
求根公式法是解一元二次方程的常用方法之一，它的原理简单清晰，适用范围广泛。
在实际问题中，我们经常需要求解一元二次方程，求根公式法可以帮助我们快速准确地求解方程的解。
除了求根公式法外，还有其他方法可以用来解一元二次方程，比如配方法、因式分解法等。
每种方法都有其特点和适用范围，我们可以根据具体情况选择合适的方法来求解方程。
求根公式法是解一元二次方程的一种简单有效的方法。
通过代入方程的系数，利用根的公式进行计算，可以得到方程的解。
在实际应用中，我们可以根据具体问题选择合适的求解方法，以便更好地解决问题。
公式法解一元二次方程的格式
公式法解一元二次方程的格式咱们在学习数学的时候，经常会碰到一元二次方程，这玩意儿有时候还真能把人给绕晕。
不过别怕，今天咱们就来好好聊聊用公式法解一元二次方程的格式，把这个难题给拿下！先来说说什么是一元二次方程，它一般长这样：ax² + bx + c = 0（a≠0）。
就比如说 2x² + 3x - 5 = 0 ，这就是一个标准的一元二次方程。
那公式法到底是啥呢？其实就是依靠一个神奇的公式来求解方程的根。
这个公式就是：x = [-b ± √(b² - 4ac)] / （2a）。
咱们来实际操作一下，就拿刚才那个方程 2x² + 3x - 5 = 0 来说。
这里 a = 2，b = 3，c = -5 。
先算Δ = b² - 4ac ，也就是 3² - 4×2×(-5) = 9 +40 = 49 。
因为Δ > 0 ，所以方程有两个不同的实数根。
接下来把数值代入公式，x = [-3 ± √49] / (2×2) ，也就是 x = [-3 ± 7] / 4 。
所以 x₁ = （-3 + 7）/ 4 = 1 ，x₂ = （-3 - 7）/ 4 = -5/2 。
我记得我以前教过一个学生，叫小明。
这孩子特别聪明，但就是有点粗心。
有一次做作业的时候，用公式法解一元二次方程，前面步骤都对，算到最后一步居然把正负号给弄混了。
我就跟他说：“小明啊，这正负号可不能马虎，就像你走路，方向错了可就到不了目的地啦！”打那以后，小明每次做这种题都会特别小心，再也没错过。
再来说说用公式法解题的时候要注意的格式问题。
首先，一定要先把方程化成一般形式，确定好 a、b、c 的值，并且要写清楚。
计算Δ的时候，步骤要清晰，不能跳步。
代入公式的时候，也要一步一步来，别图快。
还有啊，有些同学总是在计算上出错，比如说开根号算错，或者分数运算出错。
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一元二次方程的根的情况
ax2 bx c 0 （a 0）
（1）当 b2 4ac 0时，有两个不等的实数根。
x1 b
b2 2a
4ac
,
x2
b
b2 4ac ;
2a
（2）当 b2 4ac 0时，有两个相等的实数根。
b
x1
x2
; 2a
（3）当 b2 4ac 0时，没有实数根。
人教版数学九年级上册
22.2 降次——解一元二次方程
22.2.2 公式法
4x2 6x 3 0
解:移项得： 4x2 6x 3
二次项系数化为1，得
x2 3 x 3 24
温 故 知
配方得： x2 3 x 3 2 3 3 2
新
2 4 4 4
(x 3)2 21 4 16
由此得:
师生互动 巩固新知
1 3x2 6x 2 0
解： a 3,b 6, c 2.
b2 4ac 62 432 60.
方程有两个不相等的实数根
x 6 60 6 2 15 3 15 ,
6
6
3
x1
3 3
15
,
x2
3
3
15
.
2 4x2 6x 0
解： a 4,b 6, c 0.
x 0 12 2 3 ,
21
2
x1 3 x2 3
(4) x2x 4 5 8x
解：化为一般式 2x2 4x 5 0 .
a 2,b 4, c 5.
b2 4ac 42 4 25 56.
方程有两个不相等的实数根
x 4 2 14 4 2 14 ,
22
4
x1
2 2
利用判别式判断下列 方程的根的情况：
(1)x2 4x 7 0
(2)2x2 2 2x 1 0
(3)5x2 3x x 1
(4)x2 17 8x
由上可知，一元二次方程 ax2 bx c 0 （a 0）.
的根由方程的系数a，b，c确定．因此，解一
元二次方程时，可以先将方程化为一般形式
14 , x2
2 2
14 .
拓展延伸
1、关于x的一元二次方程 x2 2x m 0
有两个实根，则m的取值范围是—— .
2、关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两 个不等的实根，则k的取值范围是 （ ）
A.k>-1
B. k>-1 且k≠ 0
C. k<1
D. k<1 且k≠0
小结与反思
1、这节课你获得了哪些知识与方法？ 2、这节课你在解决问题的过程中，有 哪些易错点？
b2 4ac 62 4 40 36.
方程有两个不相等的实数根
6
x
36 6 6 ,
24
8
3 x1 0, x2 2 .
3 x2 4x 8 4x 11
解：化为一般式 x2 3 0 .
a 1,b 0,c 3.
b2 4ac 02 413 12.
方程有两个不相等的实பைடு நூலகம்根
x 3 21 44
x1 3 4 21
x2
3 4
21
用配方法解一般形式的一元二次方程
ax2 bx c 0 (a 0)
解: 移项，得 ax2 bx c
方程两边都除以 a 得 x2 b x c
aa
配方，得
x2
b a
x
b 2a
2
c a
b 2a
2
即
x
b 2a
2
b2 4ac 4a2
2、求出 b2 4ac 的值，
注意：当 b2 4ac 0 时，方程无解。 3、代入求根公式: x b b2 4ac
2a
4、写出方程的解： x1、x2
用公式法解下列方程：
(1)3x2 6x 2 0;
(2)4x2 6x 0;
(3)x2 4x 8 4x 11;
(4)x(2x 4) 5 8x.
ax2 bx c 0 ，当 b2 4ac 0
时，将a，b，c 代入式子
b b2 4ac x
2a
就得到方程的根，这个式子叫做一元二次方程
的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫
做公式法，由求根公式可知，一元二次方程最
多有两个实数根。
用公式法解一元二次方程的一般步骤
1、把方程化成一般形式，并写出 a、b、c 的值。
课本第42页 习题22.2第5题