十二个技巧速解排列组合题

有关排列组合的常用解题技巧
排列组合问题是高考必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，备考有效方法是题型与解法归类、识别模式、熟练运用，本文介绍十二类典型排列组合题的解答策略．
1．相邻问题捆绑法
题目中规定相邻的几个元素并为一个组(当作一个元素)参与排列．
【例1】A 、B 、C 、D 、E 五人并排站成一排，如果A 、B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有[ ]
A ．60种
B ．48种
C ．36种
D ．24种 分析 把A 、B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人全排列，＝种，故选．P 24D 44
2．不相邻问题插空法
元素相离(即不相邻)问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定相离的几个元素插入上述几个元素间的空位和两端．
【例2】七个人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同排法的种数是[ ]
A ．1440
B ．3600
C ．4820
D ．4800
分析 5P 6P P P 3600B 55
62
55
62
除甲、乙外，其余个排列数为种，再用甲、乙去插个空位有种，不同排法种数是＝种，故选．
3．多排问题单排法
把元素排成几排的问题，可归结为一排考虑，再分段处理． 【例3】6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是[ ] A ．36 B ．120 C ．720 D ．1440．
分析 前后两排可看成一排的两段，因此本题可视为6个不同元素
排成一排，共＝种，故选．P 720C 66
【例4】8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某 1个元素要排在后排，有多少种排法？
分析 22P 1P 55P P P 57604
2
41
55
41
42
看成一排，某个元素在前半段四个位置中选排个，有种；某个元素在后半段四个位置中选一个，有种；其余个元素任排在剩余的个位置上有种，故共有＝种排法．
P 55
4．定序问题倍缩法（标号排位问题分步法）
在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序，可用缩小倍数的方法．
（把元素排到指定号码的位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成．）
【例5】A 、B 、C 、D 、E 五个人并排站成一排，如果 B 必须站A 的右边(A 、B 可不相邻)，那么不同的排法种数有[ ]
A ．24种
B ．60种
C ．90种
D ．120种
分析 B 在A 右边与B 在A 左边排法数相同，所以题设的排法只是
560B 个元素全排列数的一半，即
＝种，故选．
12
55
P
【例6】将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有[ ]
A ．6种
B ．9种
C ．11种
D ．23种
分析 先把1填入方格，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1＝9种填法，故选B ．
5．定位问题优先法
某个(或几个)元素要排在指定位置，可先排这个(几个)元素，再排其他元素． 【例7】1名老师和4名获奖同学排成一排照像留念，若老师不在两端，则有不同的排法有________种．
分析 P 44P P P 7231
44
31
44
老师在中间三个位置上选一个位置，有种；然后名同学在其余个位置上有种，共＝种．
6．有序分配问题分步法
有序分配问题是指把元素按要求分成若干组，可用逐步下量分组法．
【例8】有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需1人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法总数有[ ]
A ．1260种
B ．2025种
C ．2520种
D ．5040种 分析 先从10人中选出2个承担甲项任务，再从剩下8个中选1人承担乙项任务，第三步从另外7人中选1个承担两项任务，不同的选
法共有＝种，故选．C C C 101
81
71
2520C
7．多元问题分类法
元素多，取出的情况也有多种，可按结果要求，分成不相容的几类情况分别计算，最后总计．
【例9】由数字 0，1，2，3，4，5组成且没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有[ ]
A ．210个
B ．300个
C ．464个
D ．600个
分析 按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况，
分别有个，个、个、个、个，合并总计得个，故选．
P 300B 55
P P P P P P P P P P P 41
31
33
31
31
33
21
31
33
31
33
【例10】从1，2，3，…100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法(不计顺序)共有多少种？
分析 被取的两个数中至少有一个能被7整除时，它们的乘积就能被7整除，将这100个数组成的集合视为全集Ⅰ，能被7整除的数的集合记作A ，则A ＝｛7，14，…98｝
共有14个元素，不能被7整除
的数的集合，，…，共有个元素．由此可知，从中任取两数的取法，共有种；从中任取一个数又从中任取一个数的取法，共有种，两种情形共得符合要求的取法有A 1299100}86A C A A C 1295
142
142
=+={C C C C 141
861
141
861
【例11】从1，2，…100这100个数中，任取两个数，使其和能被4整除的取法(不计顺序)有多少？
分析 将Ⅰ＝｛1，2，…，100｝分成四个不相交的子集，能被4整除的数集A ＝｛4，8，…， 100｝；被4除余1的数集B ＝｛1，5，…，97｝；被4除余2的数集为C ＝｛2，6，…98｝；被4除余3的数集为D ＝｛3，7，…99｝，易见这四个集合，每一个都含25个元素；从A 中任取两个数符合要求；从B 、D 中各取一个数的取法也符合要求；从C 中任取两个数的取法同样符合要求；此外其它取法都
不符合要求．由此即可得符合要求的取法共有种．C
25
2+C
C
+C
()25
125
125
2
8．交叉问题集合法
某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式n(A ∪B)＝n(A)＋n(B)－n(A ∩B)
【例 12】从6名运动员中选出4个参加4×100m 接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同参赛方法？
分析 设全集Ⅰ＝｛6人中任取4人参赛的排列｝，A ＝｛甲第一棒的排列｝，B ＝｛乙跑第四棒的排列｝，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：
n()n(A ) n(B )n(A B )252()Ⅰ－－＋∩＝＝种．P P P P 64
53
53
42
--+
9．至少（多）问题间接法
关于“至少”类型组合问题，用间接法较方便．
【例13】从4台甲型和5台乙型电视机中任取出3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同取法共有[ ]
A ．140种
B ．80种
C ．70种
D ．35种
分析 逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取
另一种型号的电视机，故不同取法共有＝种．故选．C
C
C 9
34353
--70C
10．选排问题先取后排法
从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定位置上，可用先取后排法． 【例14】四个不同的球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法共有________种
分析 C P C C 1444
2
43
42
43
先取四个球中的二个为一组，另二组各一个球的方法有种；再排：在四个盒中每次排三个有种，故共有＝种．
【例15】9名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同分组法？
分析 C C P C C P 52
42
22
52
42
22
先取男、女运动员各二名，有种；这四名运动员混双练习有种排法，故共有种分组法．
11．局部与整体问题排除法
在选取总数中，只有一部分合条件，可从总数中减去不合条件数，即为所求． 【例16】以一个正方体顶点为顶点的四面体共有[ ] A ．70个 B ．64个 C ．58个 D ．52个
分析正方体个顶点，从中每次取四点，理论上可构成个四
8C 84
面
体，但6个表面和6个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体，所
以四面体实际共有－＝个，故选．C 1258 C 84
【例17】正六边形中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有________个．
分析 7C C 33273
73
个点中取三点的取法有种，但有三组三点共线不能构成三角形，故所求三角形－＝个．
12．复杂问题转化法
对于一些生疏问题或直接求解较为复杂或较为困难问题，从正面入手情况较多，不易解决，这时可从反面入手，将其转化为一个简单问题来处理。

【例18】马路上有8只路灯，为节约用电又不影响正常的照明，可把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，也不能关掉两端的灯，那么满足条件的关灯方法共有多少种？
分析： 关掉第1只灯的方法有6种，关第二只，第三只时需分类讨论，十分复杂。

若从反面入手考虑，每一种关灯的方法对应着一种满足题设条件的亮灯与关灯的排列，于是问题转化为“在5只亮灯的6个空中插入3只暗灯”的问题。

故关灯方法种数为3
6C 。