第六章 中心力场 量子力学教学课件

ET为体系的总能量。引入质心坐标R和相 对坐标r
I 一个具有约化质量的粒子在场中的运动 II 二粒子作为一个整体的质心运动。
第6章 中心力场@ Quantum Mechanics
z
1
r1
r
R + r2 2
xO
y
Fang Jun 第9页
可以证明：
证明：
X x m1 x1 X x1 x x1 m1 m2 X x
氢原子问题是典型的中心力场问题。 氢原子的原子核是一个质子，带电+e，在它的周围有 一个电子绕着它运动 。它与电子的库仑吸引能为（取无 穷远为势能零点）
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具有一定角动量的氢原子的径向波函数χl(r)=rRl(r) 满足下方程：
Fang Jun 第20页
§3 三维各向同性谐振子
质量为μ的粒子在三维各向同性谐振子势V(r) 中运动，
ω是刻画势阱强度的参量。径向方程为，
自然单位，ℏ=μ=ω=1
r=0的邻域，物理上可以接受的径向波函数的渐近行 为是 Rl(r)∝rl r→∞时，
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若E≥0: 自由定态, 电子从原子内电离, 连续能谱 若E＜0: 束缚定态, 电子被束缚在原子内,分立能谱 考虑氢原子的束缚态，即E < 0的情况，按§1有关结果，r→0 方程渐进行为：
r→0, χ(r)∝rl+1
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r→∞时，方程化为 方程的解可以表示成
Fang Jun 第34页
综上，氢原子束缚定态的波函数
nlm (r, , ) Rnl (r)Ylm ( , )
Rnl (r) Nnl le 2F (n l 1, 2l 2, )
2r
na
a是Bohr半径
N nl
a3
2 2n2 (2l
1)!
(n l)! (n l 1)!
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粒子能量本征值为
归一化，
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l≠0时，径向方程为 引入无量纲变量ρ=kr,
球Bessel方程，解可取为球Bessel函数jl(ρ)与球Neumann 函数 nl(ρ), ρ→0时，
球方势阱的解取为
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l = N - 2 nr = N, N-2, N-4, N-6, …… , 1(N奇) or 0(N偶) N偶时， 能级简并度（N奇同样结果）
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直角坐标系
采用直角坐标系，三维各向同性谐振子可分解为ω相同 的三个彼此独立的一维谐振子
[2
4 3a0
r
4 27
(1 a0
r
)
2
]e
1 3 a0
r
R31(r)
2 a0
[ r] re 3/ 2 2
1
1
3
1 a0
r
27 3 81 3a0 a0
R32(r)
( r) e 3/ 2
2
11
a0
81 15 a0
2
3
1 a0
r
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(ny , nz ) 种数 N+1, N, N-1, ……， 2, 1
能级简并度为
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§4 氢原子
量子力学发展史上最突出的成就之一是对氢原子光谱 和化学元素周期律给予了相当满意的解释。
氢原子是最简单的原子，其Schrödinger方程可以严格 求解，氢原子理论还是了解复杂原子及分子结构的基础。
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§2 无限深球方势阱
考虑质量为μ的粒子在半径为a的球形匣子中运动。这相 当于粒子在一个无限深球方势阱中运动，(束缚态)
考虑s态（l=0）。径向方程
势阱内部，
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方程的解可以表示为 sin(kr)的形式，再根据r=a处的边 界条件，sin(ka)=0, 有
经典理论中，中心力场中运动粒子角动量守恒，粒子运动为平面 运动。
设质量为的粒子在中心力场中运动，则哈密顿量算符表示为：
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对于势能只与 r 有关而与θ, 无关的有心力场，使用球坐标求解 较为方便,
径向动能 离心势能
[l, H] = 0, [l2, H] = 0
非束缚态，E连续变化。
束缚态，E取离散值。ห้องสมุดไป่ตู้
由于束缚态下边界条件，出现径向量子数nr, nr= 0, 1, 2, …， （代表波函数节点数），E依赖于nr和l，记为Enr l， l一定，E随nr增大而增大。 nr一定，E随l（离心势能）增 大而增大。
光谱学习惯，把（l=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6）的态记为s, p, d, f, g, h, i.
第六章 中心力场
教学内容
§1 中心力场中粒子运动的 一般性质 §2 无限深球方势阱 §3 三维各向同性谐振子 §4 氢原子
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§1 中心力场中粒子运动的 一般性质
一、角动量守恒与径向方程
中心力场
粒子的受力经过某个固定的中心（力心），其势能只是粒子到力心的距离r 的函数，即V (r)，为球对称势。（例如Coulomb场, 万有引力）
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束缚态边界条件要求 方程的解写为 化为
合流超几何方程。
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方程有两个解，
u2，是物理上不能接受的解。方程的解只能为
合流超几何函数
无穷级数解
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再令 这正是合流超几何方程
合流超几何方程的解为合流超几何函数F (, , )，故方 程的解为
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当k时
Ck Ck1
1, k
和e
的级数展开系数的比值相同
要满足束缚态边条件，要求F(α,γ,ξ)中断为 一个多项式。 要求α=0 or 负整数
这就要求
这就是三维各向同性谐振子的能量本征值。
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Fang Jun 第24页
径向波函数为 归一化后
能级简并度
能级均匀分布，间隔ħω。
能级一般是简并的，能量本征值只依赖于nr和l的特殊组合N=2nr+l. 给定能级EN, nr = 0, 1, 2, 3, …… ， (N-1)/2 or N/2
Rnl (r) Nnl le 2F (n l 1, 2l 2, )
2r
na
2
nlm (r, , ) d 1
0
Rnl (r)
2r 2dr
1
4 0
Ylm ( , )
2d
1
a是Bohr半径
N nl
a3
2 2n2 (2l
1)!
(n l)! (n l 1)!
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2 3π 10.904 12.323 13.698
3 4π 14.066 15.515 16.924
10
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A5. 合流超几何函数
合流超几何微分方程为 α，γ为参数。在z→0邻域， 令y=zs, 可得
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r→0时，只有Rl(r) ∝rl是物理上可以接受的。等价地，要求
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径向方程的一个定 解条件。
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两体问题化为单体问题
实际碰到的中心力场问题，通常是两体问题。两个质量分 别为m1和m2的粒子，相互作用V(|r1-r2|)=V(r) 只依赖于相对距离。这个二粒子体系的能量本征方程,
因此，当时（即r）， u()=F (, , )的渐进行为和 e 相同，即
lim F ( , , ) e
这和波函数有限性条件矛盾，所以须将F (, , )切断 为多项式，只需令
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Fang Jun 第32页
另一方面 令n=nr+l+1, n=1, 2, 3
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Fang Jun 第6页
径向波函数在r→0邻域内的渐进行为
假定V(r) 满足
变为 设 当r→0，
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在任何体积元找到粒子的概率应为有限值：
当r→0， 若Rl(r) ∝1/ra，要求a<3/2. 当l>=1时， Rl(r) ∝r-(l+1)不满足要求。 l=0时， ψ∝R0(r)Y00∝1/r，但此解并不满足能量本征方 程
氢原子内电子状态的光谱学标记
l= 0 l=1 l=2 l=3 l=4 l=5
s
p
d
f
g
h
n = 1 1s n = 2 2s 2p n = 3 3s 3p n = 4 4s 4p n = 5 5s 5p n = 6 6s 6p
3d
本征函数可以分离变量， 相当于选取(Hx, Hy, Hz)为对易守恒量完全集，共同本征态为
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相应的能量本征值为
能级简并度
给定 N，
nx = 0, 1, 2, ……， N-1, N
ny + nz = N, N-1, N-2, ……， 1, 0
得到氢原子束缚定态的能量(本征值)： ( 是电子的约化质量)
Bohr半径
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此即著名的Bohr氢原子能 级公式，n 称为主量子数
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因此与En相应的径向波函数可表示为：
Rnl le 2F (nr , 2l 2, )
归一化的径向波函数为
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s=0 时的级数解，
要求方程左边各次项为0， 由此可得 c0=1, 得出级数解，合流超几何函数
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k→∞, ck/ck-1~1/k，这与ez的幂级数展开系数比值一致， s=1-γ 时
级数解为
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当a取有限值时，k只能取一系列离散值，令jl(ξ)=0的 根为 粒子的能量本征值为
相对应的径向本征函数为
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L
nr
0
1
2
3
0 π 4.493 5.767 6.988
1 2π 7.725 9.095 10.417
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l及l2均为守恒量
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Fang Jun
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Fang Jun
一定边界条件下求解径向方程，可求得能量本征值E及本
征函数。
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最低的几条能级的径向波函数是：
n 1,
R e 2 r / a0
10
a03/ 2
n 2,
R20 (r)
(2 r)e 3/ 2
1 2a0
1
1 2 a0
r
a0
R (r) re 3/2
1
1
2
1 a0
r
21
2a0
a0 3
n 3,
R30 (r)
1 3a0
3/2
2 R
1
2
以上结果带入到两粒子能量本征方程，
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分离变量
描述质心运动（自由粒子 能量本征方程）平面波解
两体问题
描述相对运动， E 是相对运动能量 （单粒子能量本征方程）
单体问题
第6章 中心力场@ Quantum Mechanics
X x x2 X x2 x x2
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1
m1 m1 m2
R
;
2
m2 m1 m2
R
1 m1
12
1 m2
2 2
1 m1
m1 m1 m2
R
2
1 m2
m2 m1 m2
R
2
1
m1
12
1 m2
2 2
1 M