5.1.2导数的概念及其几何意义教学课件高二下学期数学人教A版2019选择性必修第二册

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高二下学期数学人教A版选择性必修第二册5.1.2第二课时导数的几何意义课件

1．导数的概念
如果当Δx→0
时，平均变化率Δy无限趋近于一个确定的值，即Δy有极限，则称
Δx
Δx
y＝
f (x)在 x ＝ x0 处 _可_导__ ，并把这个 _确__定_的__值__ 叫做 y＝ f (x) 在 x＝ x0 处的导数 ( 也称为
_瞬__时_变__化_率___)，记作 f
′(x0)或__y_′|x_＝__x_0 _，即 f ′(x0)＝Δlixm→0
Δy
Δx ＝
lim
Δx→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
.
问题2：导数f ′(x0)表示函数y＝f (x)在x＝x0处
的瞬时变化率，反应函数y＝f (x)在x＝x0附近的变化情况.那么导数的几何意义是什么？
二、新课讲授
5.1.2导数的概念及其几何意义(第二课时)
学科版本：人教A版202X新课标教材版本：人教A版（202X）教材章节：选择性必修第二册5.1.2 学段学科：高中数学年级学期：高二上学期
一、新课引入
引导语：
问题1：根据平均变化率的概念回顾导数的概念.
二、新课讲授
[新知初探]
知识点一导数的几何意义
四、知识点二
知识点二导函数的概念 1．定义：当 x 变化时，y＝ f′(x) 就是 x 的函数，我们称
它为 y＝f(x)的导函数(简称导数)． lim fx＋Δx－fx
2．记法：f′(x)或 y′，即 f′(x)＝y′＝_Δ_x→__0______Δ_x_____.
五、例题练习，巩固新知
求曲线的切线方程 [例 1] 已知曲线 C：y＝x2，求曲线 C 上的横坐标为 2 的点处的切线方程．
已知曲线上一点 P(x0，f(x0))，求在该点处切线方程的三个步骤

数学人教A版(2019)选择性必修第二册5.1.2导数的概念及其几何意义(共11张ppt)

1、平均变化率
对于函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到x0＋∆x，相应地，函数值y 就从f(x0)变化到f(x0＋∆x). 这时，x的变化量为∆x，y的变化量为∆y＝f(x0＋∆x)－f(x0).
我们把比值 y ，即 y f ( x0 x) f ( x0 )
x
x
x
叫做函数y＝f(x) 从x0到x0＋∆x的平均变化率.
5.1.2 导数的概念及其几何意义
• 5.1 导数的概念及其意义
复习引入
两类变化率问题:
(1)跳水运动员的速度 h(t)＝－4.9t2＋2.8t＋11
平均速度 v h(t0 x) h(t0 )
x
瞬时速度
v(t0 )
lim
t 0
h( t 0
t ) t
h(t0 )
(2)抛物线的切线斜率 f(x)＝x2
割线斜率 k f ( x0 x) f ( x0 )
x
切线斜率
k0
ห้องสมุดไป่ตู้
lim
x0
f (x0
x) x
f (x0 )
这两类问题来自不同的学科领域，但在解决问题时，都采用了由 “平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法；问题的答案也有一样的表示形式．下面我们用上述思想方法研究更一般的问题．
探究新知
在第2s与第6s时，汽车的瞬时加速度分别为2m/s2与－6m/s2. 说明在第 2s附近，汽车的速度每秒大约增加2m/s；在第6s附近，汽车的速度每秒大约减少6m/s.
课堂小结
回顾本节课的内容，思考： 1、什么是导数？导数是如何描述事物的运动变化情况的？ 2、计算导数的步骤是什么？ 3、本节课蕴含了什么思想方法？
1 x

5.1.2导数的概念及其几何意义课件高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册

4
巩固练习．求函数 y＝x－x在 x＝2 处的导数．
解： (导数定义法)：

4
4

Δy＝(2＋Δx)－
－2－2
2＋Δx

2Δx
＝Δx＋
，
2＋Δx
2Δx
Δx＋
2＋Δx
Δy
2
＝
＝1＋
，
Δx
Δx
2＋Δx

2
Δy
∴lim
＝lim 1＋2＋Δx＝2，
Δx→0 Δx
Δx→0

从而 y′|x＝2＝2.
= lim
.
→0
→0

巩固练习．若函数 f(x)＝－3x－1，则 f′(x)＝(
A．0 B．－3x
C．3 D．－3
)
－3x＋Δx－1－－3x－1
解析：k＝li
m
＝－3.
Δx
Δx→0
练习．如图，函数 y＝f(x)的图象在点 P 处的切线方程是 y＝－x＋8，
则 f(5)＋f′(5)＝________.
2
f (1 x) f (1)
则，k0 lim
x 0
(1 x) (1)
(1 x) (1)
lim
x 0
x
2
lim (x 2)
x 0
2
2
抛物线f ( x) x 在点(1,1)处的切线的斜率为 2
2
变式练习
求抛物线f ( x) x 1在点(0,1)处的切线方程.
＝li m
Δx
Δx→0
＝li m (4x0＋2Δx＋4)
Δx→0
求切点坐标可以按以下步骤进行

5.1.2导数的几何意义高二数学教材教学课件(人教A版2019选择性)

01 复习导入
复习导入
导数的概念
导数是平均变化率的极限，是瞬时变化率的数学表达.
复习导入求某点处导数值的步骤
一差、二比、三极限
02 导数的几何意义
新知探究
新知探究
平均变化率的几何意义
新知探究
问题2：观察右图，当点 P 沿着曲线y=f(x)趋近于点 f (x)
P0 时，割线 P0 P 的变化趋势是什么？
新知探究
问题：函数在点x =x0处的导数f ′(x0)、导函数 y = f ′(x)、导数之间有什么区别与联系呢？
l
（1）函数在一点x0处的导数 f ′(x0) ，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。
（2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的，就是函数 f (x)的导函数 f ′(x)，
A.f′(x1)>f′(x2) C.f′(x1)＝f′(x2)
B.f′(x1)<f′(x2) D.不能确定
新知探究
解：如图，根据导数的几何意义，f′(x1)为曲线 f(x)在点 A 处切线的斜率，设该斜率为 k1，f′(x2l)为曲线 f(x)在点 B 处切线的斜率，设该斜率为 k2，由图象可得
3 即 12x－3y－16＝0.
新知探究
方法总结求曲线上一点处的切线方程可按以下步骤进行：(1)求出该点的坐标.(2)求出函数在该点处的导数，即曲线在该点处的切线的斜率.(3)利用点斜式写出切线方程.
新知探究
新知探究
例 2.过点(1，－1)且与曲线 y＝x3－2x 相切的直线方程为 ( A )
(D )
新知探究
(1)由导数的l 几何意义知导函数递增说明函数切线斜率随 x 增大而变大，因此应选 A. (2)从导函数的图象可知两个函数在 x0 处斜率相同，可以排除 B、C.再者导函数的函数值反映的是原函数的斜率大小，可明显看出 y＝f(x)的导函数的值在减小，所以原函数的斜率慢慢变小，排除 A.

高中数学选择性必修二(人教版)《5.1.2 导数的概念及其几何意义》课件

－2＋1 Δx＝－12，
故曲线在点(－2，－1)处的切线方程为 y＋1＝－12(x＋2)，整理得 x
＋2y＋4＝0.
[方法技巧] 1．过曲线上一点求切线方程的 3 个步骤
2．过曲线外一点 P 求切线方程的 6 个步骤 (1)设切点(x0，f(x0))； (2)利用所设切点求斜率 k＝f′(x0)＝Δlitm→0 fx0＋ΔΔxx－fx0； (3)用(x0，f(x0))，P(x1，y1)表示斜率； (4)根据斜率相等求得 x0，然后求得斜率 k； (5)根据点斜式写出切线方程； (6)将切线方程化为一般式．
[学透用活]
[典例 3] 求曲线 f(x)＝2x在点(－2，－1)处的切线方程． [解] 由导数的几何意义，曲线在点(－2，－1)处的切线的斜率就等
于函数 f(x)＝2x在点(－2，－1)处的导数．
而 f′(－2)＝lim Δt→0
f－2＋Δx－f－2 Δx
＝lim Δt→0
－2＋2ΔΔxx＋1＝Δlitm→0
知识点二导数的几何意义
(一)教材梳理填空
导数的几何意义函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数就是切线 PT 的斜率 k，即 k＝__Δlit_m→_0__—__ fx0＋Δx－fx0
————Δx———＝f′(x0)．
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)导函数 f′(x)的定义域与函数 f(x)的定义域相同．
解析：设直线 l 与曲线 C 的切点为(x0，y0)，
因为 y′＝lim Δt →0
x＋Δx3－x＋Δx2＋1－x3－x2＋1 Δx
＝3x2－2x，
则 y′| x＝x0＝3x20－2x0＝1，
解得 x0＝1 或 x0＝－13.

人教版高二下期数学选择性必修第二册-5.1.2 导数的概念及其几何意义(第2课时)【课件】

要点 3 导函数
从求函数 y＝f(x)在 x＝x0 处导数的过程可以看出，当 x＝x0 时，f′(x0)是一个唯一确定的数．这样，当 x 变化时，y＝f′(x)就是 x 的函数，我们称它为 y＝f(x)
的___导__函_数____ (简称导数)．y＝f(x)的导函数记作__f′(_x_) ___或___y_′ __，即 f′(x)＝y
要点 2 函数的单调性与导数的关系若 f′(x0)＝0，则函数在 x＝x0 处切线的斜率 k＝__0___；若 f′(x0)>0，则函数在 x＝x0 处切线的斜率 k__>__0，且函数在 x＝x0 附近 _单__调_递__增_且 f′(x0)越大，说明函数图象变化得越快；若 f′(x0)<0，则函数在 x＝x0 处切线的斜率 k_<__0，且函数在 x＝x0 附近 ___单_调__递_减____，且|f′(x0)|越大，说明函数图象变化得越快．
f（x＋Δx）－f（x） Δx
＝
lim
Δx→0
（x＋ΔΔxx）2－x2＝Δlixm→0 (2x＋Δx)＝2x.
设点 P(x0，y0)是满足条件的点．
(1)因为点 P 处的切线与直线 y＝4x－5 平行，所以 2x0＝4，解得 x0＝2，所以
y0＝4，即满足条件的点的坐标为 P(2，4)．
(2)因为点 P 处的切线与直线 2x－6y＋5＝0 垂直，且直线 2x－6y＋5＝0 的斜率为13，所以 2x0·13＝－1，解得 x0＝－32，所以 y0＝94，即满足条件的点的坐标为 P－32，94.
如果函数 y＝f(x)在区间(a，b)内的每一点处都有导数，我们就说这个函数在
区间(a，b)上是可导函数．
课时学案
题型一已知点在曲线上的切线问题

导数的概念及其意义(课件)高二数学(人教A版2019选择性必修第二册)

=
=
−1
1 + ∆ − 1
= ∆ + 2
切线的斜率
− 1
1 + ∆ 2 − 1
=
=
= ∆ + 2
−1
1 + ∆ − 1
当∆无限趋近于0，即无论x从小于1的一边，还是从大于1
的一边无限趋近于1时，割线0 的斜率k都无限趋近于2
由 =
1+∆ −(1)
∆
= ∆ + 2
但 ∆可正、可负；
∆ = (2 ) − (1 )是函数值的改变量，可正、
可负，也可为0，因此平均变化率可正、可负，也可为零
函数的平均变化率为0，并不一定说明函数f(x)没有变化
瞬时变化率
函数 f(x) 在 x = x0 处的瞬时变化率
是函数 f(x) 从 x0 到 x0 + ∆x 的平均变化率
A.0
B.-1 C.3
D.-6
答案 D
解析
(0+Δ)-(0)
Δ
则切线斜率
=
(Δ)2 -6Δ-0
=Δx-6,
Δ
f(0+x)-f(0)
k= lim
x
Δ→0
= (Δx-6)=-6.
x→0
)
规律方法求曲线上某点(x0,f(x0))处的割线或切线斜率的步骤
f(x 0 +x)-f(x 0 )
例2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热.
已知在第 x h时，原油的温度（单位：℃）为
= = 2 − 7 + 15(0 ≤ ≤ 8) .
计算第 2 h 与第 6 h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.

人教版高中数学选择性必修第二册5.1.2导数的概念及其几何意义【教学课件】

1 ．曲线 y ＝ x2 － 2x ＋ 3 在点 A( － 1,6) 处的切线方程是
________________．
4x＋y－2＝0 解析：由导数的定义知 y′|x＝－1
＝ lim Δx→0
－1＋Δx2－2－1＋Δx＋3－－12＋2×－1－3 Δx
＝－4，
∴所求切线方程为 y－6＝－4(x＋1)，
(2)函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数 f′(x0)就是切线 P0T 的斜率 k0，
即 k0＝lim Δx→0
fx0＋ΔΔxx－fx0＝f′(x0)．
3．导数的概念
当 x 变化时，y＝f′(x)就是 x 的函数，我们称它为 y＝f(x)的导函
数(简称导数)．y＝f(x)的导函数有时也记作 y′，即 f′(x)＝y′＝
得 f′(1)＝lim Δx→0
1＋ΔΔxx－1＝Δlixm→0
1＋1Δx＋1＝12，
∴f(x)在点(1,1)处的切线方程为 y－1＝21(x－1)．
即 x－2y＋1＝0.
探究题 2 抛物线 y＝x2在点 P 处的切线与直线 4x－y＋2＝0 平行，
求点 P 的坐标及切线方程．
解：设点 P 的坐标为(x0，y0)，
4．已知函数 f(x)＝lg(x＋1)，则 f′(2)的几何意义是
函数 f(x)＝lg(x＋1)的图象在点(2，lg 3)处切线的斜率． 5．曲线 y＝3x2－4x 在点(1，－1)处的切线方程为________．
y＝2x－3
解析：k＝f′(1)＝ lim Δx→0
31＋Δx2－41＋Δx－3×12－4×1 Δx
[(Δx)2－3Δx＋3]＝3，
所以切线的斜率为 3.
由点斜式可得切线方程为 y－1＝3(x＋1)，即 3x－y＋4＝0.

5.1.2导数的概念及其几何意义课件-高中数学人教A版选择性必修第二册

s
v ;
t
(2)求平均速度
（3）求极限 lim
x 0
s
s(t t ) s (t )
lim
.
t
t
x 0
2由导数的定义可得求导数的一般步骤：
（1）求函数的增量Δy=f(x0+Δt)－f(x0)
y
x
讲
课
人
：
邢
启
强
(2)求平均变化率
（3）求极限 f ' ( x0 ) lim
x 0
y
x
是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;
3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.
10
解：我们用曲线h(t)在t=t0, t1,t2处的切线斜率，刻画曲线h(t)
在上述三个时刻附近的变化情况.
(1)当t=t0时，曲线h(t)在t=t0处的切线l0平行于t轴，h'(t0)=0.
x
1
lim [3 x 2 3 xx ( x ) 2 ] x 2 .
3 x 0
y
4
1
y x3
3
3
P
2
1
-2 -1
O
-1
x
1
2
-2
y | x 2 2 2 4.
即点P处的切线的斜率等于4.
讲
课
人
：
邢
启
强
(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.
根据导数的定义,

x
x
x
y
4 x x 2 7x
'
lim x 3 3,

5-1-2导数的概念及其几何意义课件-高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册

即当x 0时, kP0P kP0T
1. f / (x0 )的几何意义是 :
曲线y f (x)在点p(x0, f (x0 ))处的切线的斜率 .
判断f / xA , f / xB , f / xC 的符号？ f / xB 0
f / xC 0
f / xA 0
5.y=f(x)的导函数
5.1.2导数的概念及其几何意义
一.复习引入
二.讲授新课 1.平均变化率
注意：
(1)函数f (x)在x0处有定义. (2)x是x的变化量, x x0 x x0
(3)y f (x0 x) f (x0 ), 而不是y f (x0 ) f (x0 x)
步骤：
(1)计算x x0 x x0
x0
2x
A. 1
B. 2
C.1
D. 1
2
B 5.已知函数y
f
Байду номын сангаас
x在x
x0处可导,
则
lim
h0
f x0 h
h
f x0 h
A. f / x0
B.2 f / x0
C. 2 f / x0
D. 0
3.切线定义
4.导数的几何意义思考2. 割线P0P 的斜率与切线P0T斜率的有什么关系？
当点p无限趋近于点p0时, k p0 p无限趋近于切线kP0T的斜率.
h/ 1 y / |t1 lim(4.9t 5) 5 t 0
f / 1 y / |x1 lim(x 2) 2
思考1：(1)函数y
f
x在x
x0
x0处的导数一定存在吗？
lim 2
x0 x
？
三.例题讲解练习2

高中数学5-1-2导数的概念及其几何意义第1课时导数的概念课件新人教A版选择性必修第二册

【解题探究】利用导数的定义求解．
用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤 (1)求函数的增量 Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； (2)求平均变化率ΔΔyx＝f(x0＋ΔΔxx)－f(x0)； (3)求极限Δlxim→0ΔΔyx.
导数的定义的变形形式 Δlxi→m0f(x0－－ΔxΔ)－x f(x0)＝Δlxi→m0f(x0＋nnΔΔxx)－f(x0)＝Δlxi→m0f(x0＋Δx)2－Δxf(x0－Δx) ＝f′(x0)．
3．函数y＝x2＋x在x＝1到x＝1＋Δx之间的平均变化率为 ( )
A．Δx＋2
B．Δx＋3
C．2Δx＋(Δx)2
D．3Δx＋(Δx)2
【答案】B 【解析】Δy＝(1＋Δx)2＋(1＋Δx)－12－1＝(Δx)2＋3Δx，所以ΔΔyx＝
(Δx)2Δ＋x 3Δx＝Δx＋3.
导数的概念(瞬时变化率)
函数 f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为6x0Δx＋Δx3(Δx)2＝6x0＋ 3Δx.
【解题探究】直接利用概念求解．
求平均变化率的策略 (1)求 Δy 时，要把 f(Δx＋x)和 f(x)表示出来，再作差． (2)求平均变化率时，先计算自变量和函数值的改变量 Δx＝x1－x0，Δy ＝f(x1)－f(x0)，再利用公式ΔΔyx＝f(xx1)1－－fx(0x0)求出平均变化率．
lim (6＋3Δx)＝6.
Δx→0
2．设f(x)＝ax3＋2，若f′(－1)＝3，则a＝________. 【答案】1 【解析】Δlxim→0a(－1＋Δx)3＋Δ2－x [a·(－1)3＋2]＝Δlxi→ m0(aΔx2－3aΔx＋3a) ＝3a＝3，∴a＝1.
课堂互动
题型1 求函数的平均变化率

5.1 导数的概念及其意义(变化率问题、导数的概念)课件高二数学人教A版(2019)选择性必修第二册

Δ
=
( 2 )-( 1 )
.
2 - 1
【变式训练 2】分别求函数 y=sin x 从 0
比较它们的大小.
π
π
π
到6 和从 3 到 2 的平均变化率,并
解:自变量 x 从 0
自变量 x
π
π
从3 变到 2 ,函数
3
∵2-√3<1,∴
π
>
∴自变量 x 从 0
自变量 x
π
变到 ,函数
6
)
A.Δx-3
C.-3
B.(Δx)2-3Δx
(0+x)2 -3(0+x)-02 +3×0
解析:f'(0)= lim
x
Δ→0
故选C.
答案:C
D.0
=
(Δ)2 -3Δ

Δ
x→0
= lim (Δx-3)=-3.
Δ→0
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
Δ
∴
Δ
=
3(Δ)2 +(6+)Δ
=3Δx+6+a,
Δ
y
∴ lim
Δ→0 x
= (3Δx+6+a)=6+a.
∴f'(1)=6+a.
x→0
【易错辨析】
对导数的概念理解不清而致错
【典例】已知
A.4
f(x 0 +2x)-f(x 0 )
f'(x0)=4,则 lim
的值为(
x
Δ→0
B.2
C.8
f(x 0 +2x)-f(x 0 )

人教版高中数学选择性必修二 A版5.1.2《导数的概念及其几何意义》课件PPT

作业设计
课本P70.
习题5.1： 1、2、3、4、5、6、7.
在PPT软件中双击图标ห้องสมุดไป่ตู้开配套教案
人教A版高中数学选择性必修二
5.1.2 导数的概念及其
几何意义
第五章一元函数的导数及其应用
汇报人：XXX
人教A版高中数学选择性必修二
5.1.2 导数的概念及其
几何意义
第五章一元函数的导数及其应用
汇报人：XXX
目录
01
学习目标
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课程小结
第一部分
学习目标
学习目标
1. 理解函数在0处的瞬时变化率即导数的概念并会求其值.
2.理解导数的几何意义，并会应用之求切线方程.
3.感受新概念的定义、运动变化的数学思想方法，从而
温馨提示：直接利用概念求平均变化率，先求出表达
式，再直接代入数据就可以得出相应的导
数的值.
跟踪练习
解析：当自变量从0变化到0＋Δ时，函数的平均变化
Δ+0 − 0
△
率为＝
△
Δ
＝
= 30 2 +30 △ + △
2
0 +△ 3 −0 3
Δ
当0＝1，Δ → 0时,
1
∆
2
1
∆)=1−2
2
1

2
× 22 )
课堂互动
∴物体在时刻t=2处的瞬时速度是1−2 .
课堂互动
3.已知＝2－3，则在 = 0处的切线的方程
(
3 + = 0
解析： ′(0)＝
)
Δ

5.1.2导数的概念及其几何意义-高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册

的割线P0P的变化情况.
P•
y
1
• P0
O
1
2
x
观察如图示，当点P(x, x2)沿着抛物线f(x)=x2趋近于点P0(1, 1)时，
割线P0P有什么变化趋势?
y
P•
4
我们发现，当点P无限趋近于点P0时，割线
P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位
置的直线P0T称为抛物线f(x)=x2在点P0(1, 1)处
t
h
(
t

t
)

h
(
t
)
0
0
(2) 瞬时速度： v(t0 ) lim
t 0
t
瞬时速度的本质是平均速度的极限.
2.本节课学习到了哪些思想方法?
极限思想
5.1.1变化率（2）
问题2 抛物线的切线的斜率
我们知道，如果一条直线与一个圆只有
一个公共点，那么这条直线与这个圆相切.
对于一般的曲线C，如何确定它的切线呢？
5.1导数的概念及其几何意义
本节知识框架
平
均
速
度
瞬
时
速
度
割
线
斜
率
切
线
斜
率
导
数
的
概
念
及
其
意
义
温故知新
1. 约4课时；
2. 3课时正课1节习题课
3.变化率问题可以分两节，导数的概念及其几何意义可一节；
4.导函数我们可以讲导函数运算前讲。
温故知新
知识目标
1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，
v
2 1

5.1.2导数的概念及其几何意义课件高二下学期数学人教A版选择性

作业布置
课本70页习题5.1 （4、5、7）
所以
表5.1-3给出了药物浓度的瞬时变化率的估计值.
课堂ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ习
1 根据导数的定义求下列函数的导数． (1)求函数在x＝1处的导数； (2)求函数在处的导数．
解：
(2)
∴
∴
∴
∴
合作探究
求函数 y＝f(x) 在点处的导数的三个步骤
课堂练习
2 已知函数 f(x)在处导数的4，则
12
解：
注：
（2）在导数的概念中，增量的形式是多种多样的，但无论是哪种形式，分子中自变量的增量与分母中的增量必须保持一致．
前者只有一条，而后者包括了前者.
新知讲解
导数的概念
③ 函数 f (x)的导函数
导数概念的理解 (1) 导数是一个局部概念，它只与函数 y＝f(x) 在处及其附近的函数值有关，与无关． (2) 是一个常数，即当时，存在一个常数与无限接近．
合作探究
例1 设，求解：
合作探究
例2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热. 已知在第 x h时，原油的温度（单位：）为 . 计算第 2 h 与第 6 h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义. 解：
解：我们用曲线 h(t)在处的切线的斜率，刻画曲线 h(t)在上述三个时刻附近的变化情况.
合作探究（1）当时，曲线 h(t)在处的切线平行于 t 轴，. 这时，在这时，在附近曲线比较平坦，几乎没有升降.
（2）当时，曲线 h(t)在处的切线的斜率. 这时，在附近曲线下降，即函数 h(t)在附近单调递减.
根据导数的定义，
合作探究所以

5.1.2 导数的概念及其几何意义第2课时课件高二数学人教A版(2019)选择性必修2

变化情况
kl1>kl2>0，|kl1|>|kl2| 倾斜程度：l1 > l2
曲线 f (x) 在 t1 附近比在 t2 附近上升的快；
kl1<kl2<0，|kl1|>|kl2| 倾斜程度：l1 > l2
曲线 f (x) 在 t1 附近比在 t2 附近下降的快；
kl1= kl2= 0 直线 l1，l1与 x 轴平行
f (x0 +
Δx) Δx
– f (x0)，
和瞬时变化率
f
´(x0)
= lim ∆x→0
Δy Δx
= lim ∆x→0
f
(x0
+
Δx) Δx
–
f
(x0)
表示什么？
平均变化率
Δy Δx
=
f
(x0 +
Δx) Δx
–f
(x0)
表示
割线P0P 的斜率；
如图，在曲线 y = f (x) 上任取一点 P，
y
f (x0+ Δx)
故在t = t4附近曲线上升，即函数h(t)在t = t4附近也单调递增；
由图可以看出，直线 l3 的倾斜程度大于直线 l4 的倾斜
t4
程度，这说明曲线 h(t) 在 t3 附近比在 t4 附近上升的快.
O t3
t
学习目标
新课讲授
课堂总结
归纳小结
曲线 f (x) 在 x = x0 附近的导数符号、单调性及变化情况如下：
5.1.2 导数的概念及其几何意义第2课时
学习目标
新课讲授
课堂总结
1. 理解导数的几何意义，会求曲线的切线问题； 2. 了解导函数的概念，能理解函数在某处的导数与导函数之间关系.

人教版高二下期数学选择性必修第二册-5.1.2 导数的概念及其几何意义(第1课时)【课件】

题型一平均变化率
例 1 求函数 y＝x2 在 x＝1，2，3 附近的平均变化率，若Δx 都取13，哪一点附近的平均变化率最大？
【解析】
在
x＝1
附近的平均变化率为
k1
＝
f（1＋Δx）－f（1） Δx
＝
（1＋ΔΔxx）2－1＝2＋Δx；
在 x＝2 附近的平均变化率为 k2＝f（2＋ΔΔx）x－f（2）＝（2＋ΔΔxx）2－22＝4 ＋Δx；
5．1.2 导数的概念及其几何意义(第1课时) 导数的概念
要点 1 平均变化率对于函数 y＝f(x)，设自变量 x 从 x0 变化到 x0＋Δx，相应地，函数值 y 就从 f(x0)变化到 f(x0＋Δx)．这时，x 的变化量为Δx，y 的变化量为Δy＝f(x0＋Δx)－ f(x0)．我们把比值Δ Δyx，即Δ Δyx＝_f_（__x0_＋__Δ__xΔ_）_x－__f_（__x0_）__叫做函数 y＝f(x)从 x0 到 x0 ＋Δx 的平均变化率．
要点 2 导数(瞬时变化率)
如果当Δx→0 时，平均变化率Δ Δyx无限趋近于一个确定的值，即Δ Δyx有极限，
则称 y＝f(x)在 x＝x0 处__可_导___，并把这个确定的值叫做 y＝f(x)在___x＝__x_0 __处的
__导__数___ (也称为瞬时变化率)，记作__f_′(_x0_) ___或__y_′|_x＝__x0_____，即 f′(x0)＝ lim
【解析】 ∵Δy＝(1＋Δx)－1＋1Δx－1－11＝Δx＋1＋ΔΔx x，
∴Δ Δyx＝Δx＋Δ1＋xΔΔx x＝1＋1＋1Δx，
∴ lim
Δx→0
Δ Δyx＝Δlixm→0
1＋1＋1Δx＝2.