直线与平面平行的判定_优秀课件

平面平行
符号表示
a⊄α b⊂α a∥b
⇒a∥α
图形表示
a⊂α
b⊂α a∩b＝P
⇒α∥β
a∥β
b∥β
自主探究 探究 1：命题“若 a∥b，a∥α，则 b∥α”正确吗？
【答案】不正确，有可能 b⊂α.
探究 2：在一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这 两个平面平行，对吗？
【答案】不对．在一个平面内的无数条直线是一组平行线时， 这两个平面有可能相交，因此必须是这个平面内所有的直线才行．
题型二 平面与平面平行的判定
【例 2】 如图所示，三棱锥 S－ABC 中，D，E，F 分别是棱 AC，BC，SC 的中点．求证：平面 DEF∥平面 SAB.
思路点拨：利用三角形中位线性质，证明线线平行，得到线面 平行，从而证得结论．
【解析】
∵D，E 分别是 AC，BC 的中点． ∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE∥AB. ∵DE⊄平面 SAB，AB⊂平面 SAB， ∴DE∥平面 SAB. 同理 DF∥平面 SAB. 又∵DE∩DF＝D，∴平面 DEF∥平面 SAB.
【解析】如图，设 N 是棱 C1C 上的一点， 且 C1N＝14C1C，则平面 EMN 为符合要求的平 面．证明如下：
设 H 为棱 C1C 的中点，连接 B1H，D1H， ME，MN，EN
∵C1N＝14C1C，∴C1N＝12C1H. 又 E 为 B1C1 的中点，∴EN∥B1H. 又 CF∥B1H，∴EN∥CF，∴EN∥平面 A1FC， 同理 MN∥D1H，D1H∥A1F， ∴MN∥A1F，∴MN∥平面 A1FC. 又 EN∩MN＝N，∴平面 EMN∥平面 A1FC. 方法点评：对于开放性问题，要仔细观察题目本身的特点，结
直线与平面平行的判定
自学导引
线面平行、面面平行的判定定理
定理 表示
线面平行的判定定理
面面平行的判定定理
_平__面__外__的_一条直线与
一个平面内的
文字叙述
此__平__面__内__的 一__条__直 ___线__平__行_，则该直
__两__条__相__交__直线与另一 个平面平行，则这两个
线与此平面平行
α∥β.即
a⊂α
b⊂α
a∩b＝A⇒α∥β，五个条件缺一不可．
a∥β
b∥β
应用时的关键是在 α 内找到与 β 平行的相交直线 a，b.
(3)化归为线线平行：平面 α 内的两条相交直线与平面 β 内的
两条相交直线分别平行，则 α∥β.
(4)利用平行平面的传递性：两个平面同时和第三个平面平行，
则这两个平面平行．
2．如图所示，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，M，N，E，F 分别是棱 A1B1，A1D1，B1C1，C1D1 的中点．求证：平面 AMN∥平 面 EFDB.
【解析】
在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中， ∵M，N，E，F 分别是 A1B1，A1D1，B1C1，C1D1 的中点， ∴MN∥EF. 又 MN⊄平面 EFDB，EF⊂平面 EFDB， ∴MN∥平面 EFDB. 同理可证 AM∥平面 EFDB. 又 MN∩AM＝M，∴平面 AMN∥平面 EFDB.
题型三 线面平行、面面平行的综合应用
【例 3】 如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E，F，M 分 别是棱 B1C1，BB1，C1D1 的中点，是否存在过点 E，M 且与平面 A1FC 平行的平面？若存在，请作出并证明；若不存在，请说明理 由．
思路点拨：证明面面平行，只要证明两平面的两条相交直线相 互平行．
误区解密 使用定理不当导致证明错误
【例 4】 如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E，F 分别是 棱 BC，C1D1 的中点，求证：EF∥平面 BB1D1D.
错误证明：
连接 C1E，并延长至 G 点，使 GE＝C1E，连接 D1G. 在△C1D1G 中，F 是 C1D1 的中点，E 是 C1G 的中点，所以 EF ∥D1G. 而 EF⊄平面 BB1D1D，D1G⊂平面 BB1D1D， 故 EF∥平面 BB1D1D.
【答案】平行或相交
要点阐释 1．直线与平面平行的判定方法 (1)利用定义：说明直线和平面无公共点(往往用反证法)． (2)利用判定定理：用此判定定理判定直线和平面平行时，必须 具备三个条件：平面外一条直线，平面内一条直线，两条直线平行， 三个条件缺一不可．
2．平面与平面平行的判定方法 (1)利用定义：说明平面与平面无公共点(往往用反证法)． (2)判定定理：平面 α 内的两条相交直线 a，b 都平行于 β，则
典例剖析 题型一 直线与平面平行的判定
【例 1】 如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 是矩形， E，F 分别是 PB，PC 的中点．证明：EF∥平面 PAD.
思路点拨：证明线面平行，关键是找线线平行．注意题中涉及 中点时，利用中位线的性质是找线线平行的常用方法．
【解析】在△PBC 中，E，F 分别是 PB，PC 的中点， ∴EF∥BC. 又 BC∥AD，∴EF∥AD， ∵AD⊂平面 PAD，EF⊄平面 PAD， ∴EF∥平面 PAD.
BB1D1D.
纠错心得： (1)线与线的平行，不能凭直觉判断，直观图中的线线关系， 往往造成视觉上的错误． (2)面面平行的判定是通过线面平行来实现的，不能“越级”， 事实上，这里也易出现错解，要证明两个平面平行，只要证明一个 平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线 即可．
课堂总结 1．判定直线和平面平行的主要依据是判定定理，它是通过线 线平行来判定线面平行，从而将空间问题转化为平面问题，在应用 该定理证线面平行时，三个条件 a∥b，a⊄α，b⊂α 缺一不可． 2．利用判定定理证明两个平面平行，必须具备：①一个平面 内有两条直线平行于另一个平面．②这两条直线必须相交．定理中 要紧紧抓住“两条”“相交”“平行”这六个字．由此定理还可以 得到一个推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个 平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行．由此可见，线线平 行⇒线面平行⇒面面平行．其中证明线线平行是基础，也是关键．
【答案】A
3．正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E 为 DD1 的中点，则 BD1 与 过 A，C，E 三点的平面的位置关系是________．
【答案】平行
4．已知直线 a 与直线 b，平面 α 与平面 β 满足下列关系，a∥ α，b∥α，a⊂β，b⊂β，则 α 与 β 的位置关系是________．
正确证明：
连接 C1E，并延长交 B1B 的延长线于 G，连接 D1G，因为 C1C ∥B1B，E 是 BC 的中点，
所以 E 是 C1G 的中点．在△C1D1G 中，F 是 D1C1 的中点，E 是 C1G 的中点，所以 EF∥D1G.
而 EF⊄平面 BB1D1D，D1G⊂平面 BB1D1D，所以 EF∥平面
(2)如图所示，连接 SD. ∵F，G 分别是 DC，SC 的中点， ∴FG∥SD. 又∵SD⊂平面 BDD1B1，FG⊄平面 BDD1B1， ∴直线 FG∥平面 BDD1B1. 又 EG∥平面 BDD1B1，且直线 EG⊂平面 EFG，直线 FG⊂平 面 EFG，直线 EG∩直线 FG＝G. ∴平面 EFG∥平面 BDD1B1.
合相应的定理，大胆地进行猜想，然后给予证明．
3．如图所示，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，S 是 B1D1 的中 点，E，F，G 分别是 BC，DC 和 SC 的中点．求证：
(1)直线 EG∥平面 BDD1B1； (2)平面 EFG∥平面 BDD1B1.
【解析】
(1)如图所示，连接 SB. ∵E、G 分别是 BC、SC 的中点， ∴EG∥SB. 又∵SB⊂平面 BDD1B1，EG⊄平面 BDD1B1， ∴直线 EG∥平面 BDD1B1.
预习测评 1．能保证直线 a 与平面 α 平行的条件是( ) A．b⊂α，a∥b B．b⊂α，c∥α，a∥b，a∥c C．b⊂α，A，B∈a，C，D∈b，且 AC＝BD D．a⊄α，b⊂α，a∥b
【答案பைடு நூலகம்D
2．正方体 EFGH－E1F1G1H1 中，下列四对截面中，彼此平行 的一对截面是( )
A．平面 E1FG1 与平面 EGH1 B．平面 FHG1 与平面 F1H1G C．平面 F1H1H 与平面 FHE1 D．平面 E1HG1 与平面 EH1G
错证分析：上述证明中，“D1G⊂平面 BB1D1D”这一结论没 有根据，只是主观认为 D1G 在平面 BB1D1D 内，说明在利用线面 平行的判定定理时，对两直线平行比较关注，而对另外两个条件(一 直线在平面内，另一直线在平面外)忽视，大多数情况下这两个条 件在作图(添加辅助线)时就可以清楚地表达出来，一般不需单独证 明，而本题作图过程看不出 D1G⊂平面 BB1D1D 的理论依据，而且 题设条件“E 是 BC 的中点”没有用到，而没有这一条件，结论会 成立吗？比如把 E 点移到 B 点，显然结论不成立．