玻尔兹曼熵公式和熵增加原理
熵和熵增加原理
求 1.00kg冰融化为水时的熵变。
解：在本题条件下，冰水共存。若有热源供热则发 生冰向水的等温相变。利用温度为273.15+dT的热源 供热，使冰转变为水的过程成为可逆过程。 1.00kg冰融化为水时的熵变为：
2 d Q 12 Q m h
S 2 S 1 1T T 1d Q T T 1 .2 k2 /K J11
熵是系统状态的函数。
当状态由状态‘1’变化到状态‘2’时系统的熵增量：
SS2S1
kln 2kln 1 k
ln
2 1
克劳修斯根据卡诺定理导出了热量和熵的基本关系。
2
•克劳修斯熵公式
在卡诺定理表达式中，采用了讨论热机时系统吸
多少热或放多少热的说法。本节将统一用系统吸热表
示，放热可以说成是吸的热量为负（即回到第一定律
T
以重物及水为孤立系统，其熵变：
S S 水 S 重 物 dT 水 Q 0cT m T
C为 比热
EdMghT T0cm TT T0 T0S
15
注意：
1）退化的能量是与熵成正比的；
热源温度愈高它所输出的热能转变为功的潜力就
愈大，即较高温度的热能有较高的品质。当热量从高温
17
原来生命是一开放系统。其熵变由两部分组成。
开放系统---与外界有物质和能量的交换的系统
SSeSi
S i 系统自身产生的熵，总为正值。
S e 与外界交换的熵流，其值可正可负。
当系统远离平衡态时系统不断消耗能 源与物质，从熵流中获取负熵，从而使系 统在较高层次保持有序。正如薛定谔指出 来的：
分本来可以利用的能量变为退化的能量；可以证明：
退化的能量实际上就是环境污染的代名词。节约能源
玻尔兹曼熵公式和熵增加原理
玻尔兹曼熵公式和熵增加原理
1.玻尔兹曼熵公式：
S = k ln W
其中，S是系统的熵，k是玻尔兹曼常数，W是系统的微观状态数。
微观状态数W是指系统中各个微观粒子的分布情况以及它们之间的相互作用，是系统可能的状态的总数。
在一个离散的系统中，可以用排列组合的方法求得W。
2.熵增加原理：
熵增加原理是热力学的基本原理之一，用于描述热力学过程中系统熵的变化情况。
熵增加原理可以简单概括为：孤立系统的熵在内部不受外界干扰的情况下，永远不会减少，只会增加或保持不变。
熵增加原理是基于统计物理的微观视角得出的。
根据统计物理学的理论，系统从一个状态转变为另一个状态的过程中，其微观状态数是不会减少的。
也就是说，系统会朝着微观状态数更多的方向发展，使得系统的熵增加。
在热力学过程中，熵增加原理可以具体应用于系统的各种变化过程。
例如，当两个热平衡的系统发生热接触时，热量会从高温系统传递到低温系统，这个过程可以引起系统熵的增加。
又如，系统的体积增大时，系统的微观状态数也会随之增加，从而导致系统的熵增加。
熵增加原理也可以解释化学反应中的熵变，反应中参与物质状态数的改变会导致系统熵的增加。
总之，玻尔兹曼熵公式和熵增加原理是热力学中重要的概念和理论。
玻尔兹曼熵公式描述了系统的无序程度，熵增加原理说明了系统的熵在热力学过程中的变化趋势。
这些理论不仅在热力学领域中有重要应用，也对其他领域的研究提供了指导和启发。
7-8熵增加原理
一、玻耳兹曼熵公式 无序度 熵 S
科学家发现：熵 S在自然界的地位不亚于能量E！ 1、玻耳兹曼熵公式 定义：某系统宏观状态的熵
S k ln
其中：
为系统此时的微观状态数
k 为波尔兹曼常数
熵是状态量
二、熵增加原理
对一个孤立系统发生的过程总是从微观状态数小的状态变 化到大的状态。
因为它是一个开放系统！
又如，一杯水，它不 断被外界吸收热量，变成 冰，它的熵就减少了。
H 2O
三、热寂说和耗散结构理论 1、热寂说 由于宇宙可看成是孤立系，于是由热力学第二定律得出， 宇宙向无序化方向发展，最终达到平衡态。 2、耗散结构理论 生物系统是一个开放系统即与外界有能量、物质和信息的 交换ห้องสมุดไป่ตู้如果吸收负熵就有可能沿有序化方向发展，所以开放性 是系统向高级方向进化的必要条件。
2 S S2 S1 k ln 2 k ln 1 k ln 1
S2 S1
当状态由状态‘1’变化到状态‘2’时系统的熵增量
2 S S2 S1 k ln 0 1
熵增加原理 ： 孤立系的熵永不减少
熵增加原理只适用于孤立系统。对非孤立系统熵可增加也 可减少。 当一个小孩从哇哇坠地，什么也不会， 混混沌沌，一天2/3时间在睡觉。但随着不 C 断喂养，最后成了一个聪明精干的小伙子。
热学熵和熵增加原理
dQ 熵增加原理 dS 0 对于绝热过程 dQ 0 ，可得 T
系统从一个平衡态经一绝热过程到达另一平衡态， 它的熵永不减少。如果过程是可逆的，则熵的数值不 变；如果过程是不可逆的，则熵的数值增加。 孤立系统中所发生的过程必然是绝热的，故熵增 加原理还可表述为：孤立系统的熵永不减小。
S 0
Q A A dQ T T
B
解：在本题条件下，冰水共存。若有热源供热则发 生冰向水的等温相变。利用温度为273.15+dT的热源 供热，使冰转变为水的过程成为可逆过程。 1.00kg冰融化为水时的熵变为：
S 2 S1
2
1
dQ 1 T T
2
1
Q m h dQ 1.22 kJ / K T T
2 S S2 S1 k ln 2 k ln 1 k ln 1
当状态由状态‘1’变化到状态‘2’时系统的熵增量：
克劳修斯根据卡诺定理导出了热量和熵的基本关系。
对可逆过程有 dQ 0 克劳修司等式。 T dQ 0 对不可逆过程有克劳修司不等式。 T
克劳修司等式表示：在任何一个可逆过程中，工作物 在各温度下所吸收的热量与该温度之比的和为零。 说明
TA TB 例如：绝热容器中 A、B 两物体相接触， 这两个物体组成一个系统。
，
A向B传热过程为不可逆绝热过 TB TA Q 程。 设微小时间 t 内传热 A B Q Q A的熵变 S A TA Q B的熵变 S B TB 1 1 Q Q Q 系统熵变 S S A S B TA TB T B T A T A T B , S 0
B dQ A
积分值只由初、末态决定，与积分路径无关。
大学物理第四章2熵与熵增加原理
理想气体的熵变公式推导
对于理想气体的任意一个平衡态，都可以用两个宏观量来 描述。例如V, T。如果要求任意平衡态的熵S(V, T), 那就必须 先求出其热力学概率 （V, T ）。 以单原子理想气体为例，在一定温度和体积的条件下，其 微观态是由气体的位置与速度来决定的，而且位置和速度的影 响是相互独立的，则：
所有可逆卡诺循环加一起： 分割无限小： 定义状态函数 S，熵
c
dQ 0 T
2
Qi 0 i Ti
dQ S S 2 S1 1 T dQ 对于微小过程 dS T
克劳修斯熵公式 适用于任意可逆过程
dQ 任意系统熵变的微分形式： dS T 对有限过程，系统由宏观态1到宏观态2的熵变：
NA aV 膨胀前的热力学概率 1 1 熵 S1 NAk ln( aV ) 1 膨胀后的热力学概率 2 aV2NA 熵 S 2 NAk ln( aV2 )
此过程的熵变：
S S 2 S 1
V2 R ln V1
V2 NAk ln V1
0
19
利用克劳修斯熵公式，设计一可逆过程来计算
同理，若将一个系统分为多个部分，每个部分的熵分别为 S1, S2 ,…, Si , …则系统总熵为：
S1 k ln 1
S
S
i
4
二、熵增加原理
由热力学第二定律的微观意义： 孤立系统中的自然过程总是向着无序性（热力学概率） 增大的方向进行。 由熵定义可知，以上说法也可换成： 孤立系中自然发生的不可逆过程总是向着熵增大的方向 进行，孤立系统中的熵永不减小。 说明：
0
23
例3：1kg 0 oC的冰与恒温热库（t=20 oC ）接触，
熵和熵增加原理
7
T 例如： 例如：绝热容器中 A、B 两物体相接触， A > TB ， 、 两物体相接触， 这两个物体组成一个系统。 这两个物体组成一个系统。
A向B传热过程为不可逆绝热过 向 传热过程为不可逆绝热过 程。 设微小时间 ∆t 内传热 ∆Q A的熵变 ∆S A = − 的熵变
TA
A
∆Q
B
TB
∆Q
TA ∆Q B的熵变 ∆SB = 的熵变 TB 1 1 ∆Q ∆Q 系统熵变 ∆S = ∆S A + ∆SB= − = ∆Q − + TA TB TB TA Q TA > TB , ∴ ∆S > 0 对任意微小时间内熵是增加的， 孤立系统、不可逆 对任意微小时间内熵是增加的， 孤立系统、 过程熵总是增加的 过程熵总是增加的 。 对整个过程熵也是增加的。 对整个过程熵也是增加的。
由A到B沿不可逆路径热温 商的积分小于两态熵差。 商的积分小于两态熵差。 dQ 对微小过程 dS > ( )I
T
系统的温度和热源温度不 相同，所以上式中的T 相同，所以上式中的T必 须是热源的温度而不是系 统本身的温度。 统本身的温度。
5
将可逆过程和不可逆过程的公式结合在一起，有： 将可逆过程和不可逆过程的公式结合在一起，
Ω2 ∆S = S2 − S1 = k ln Ω2 − k ln Ω1 = k ln Ω1
当状态由状态‘ 变化到状态 变化到状态‘ 时系统的熵增量 时系统的熵增量： 当状态由状态‘1’变化到状态‘2’时系统的熵增量：
克劳修斯根据卡诺定理导出了热量和熵的基本关系。 克劳修斯根据卡诺定理导出了热量和熵的基本关系。
Q A ∫A dQ = T = T
B
S 2 − S1 = ∫
普通物理B名词解释(杜四德版)
普通物理B名词解释杜四德1.牛顿时空观（经典力学时空观）：时空概念起源于运动又超脱于运动，而成为独立的两个量，用以描述运动2.质点：物体的点模型，将有形有状的实际物体抽象为一个有质量的点3.刚体：物体在运动过程中或与其他物体相互作用过程中不发生任何形变4.质心：物体或系统质量分布的中心5.自然坐标系：若质点的轨道是已知曲线，在轨道上任选一点O为原点，把轨迹看做一条有向曲线，以原点到质点的路径长度S作为质点的位置坐标6.伽利略相对性原理（力学相对性原理）：牛顿运动定律及其导出的各种力学定理在所有的惯性系中都有相同的形式，即力学规律对一切惯性系都是等价的7.伽利略变换：假定找到一个惯性系S，那么按照马赫定义（物体速度与音速的比值），另一惯性系S‘只能相对于S系做匀速直线运动8.质点的角动量：在惯性参照系中，一个动量为P的质点相对于某一固定点O的角动量L的定义为L=r×P=r×mv9.平行轴定理：I=I c+Md2,其中I c是通过质心的轴的转到惯量，d两平行轴垂直间距，M刚体质量10.保守力：力所做的功只与初始位置有关而与路径无关，这样的力叫做保守力11.势能：由相互作用的物体之间的相对位置，或由物体内部各部分之间的相对位置所决定的能，也叫位能12.刚体的平面运动：假如刚体的质心被约束，在一平面内运动，且刚体上的所有质点都在与上述平面平行的平面内运动，则称这种运动为刚体的平面运动13.质元：宏观小，微观大区域中分子的集合14.流场：流速随空间分布的场15.流线：流场中一系列假想的曲线，任意点切线方向为流经该点的流体质元的速度方向16.流管：由流线围成的细管17.定常流动：流速与时间无关，仅是空间分布的函数18.非定常流动：任意点的流速随时间的变化而变化19.层流运动的特征：流体运动规则，各层流动互不掺混，质元运动轨迹光滑，流场稳定20.湍流运动的特征：流体运动极不规则，各部分相互掺混，质元运动杂乱无章，有涡旋出现，流场不稳定21.理想流体：无粘性且不可压缩的流体22.粘滞力：流体运动时相邻两层之间会产生切向阻碍相对滑动的力23.热力学第零定律：如果系统A和系统B分别与系统C的同一状态处于热平衡，那么当A，B接触时它们必定也处于热平衡24.热力学第三定律：绝对零度达不到25.平均自由程：分子的无规则运动中各段自由路程的平均值26.平均碰撞频率：一个气体分子单位之间内被碰撞次数的平均值27.碰撞截面：一个气体分子在运动过程中可能与其他分子发生碰撞的截面面积28.能量均分定理：在温度为T的平衡态下，气体分子每个自由度的平均动能都相等，且等于kT/2.以i表示分子的总自由度，理想气体的平均总动能为ikT/2,n mol理想气体的内能就是E=ikTN/2=inN A kT/2=inRT/229.范德瓦尔斯方程：对1mol实际气体，其状态方程为（P+a/V2m)(V m-b)=RT30.准静态过程：若热力学过程中任一中间状态均可看做平衡态，则该过程叫准静态过程31.绝热自由膨胀：气体向真空的膨胀，是一种非准静态过程。
熵 玻尔兹曼关系
注意：这一事实反映着孤立系统内进行的 过程总是由微观状态数小的状态向微观状 态数大的宏观状态进行。而反过程进行的 几率几乎为零。这是一切不可逆过程的实 质。
功转变成热的不可逆性（磨擦生热）实质是： 反映分子总是从有序运动状态向无序的、大量的、杂乱 的微观状态数很大的方向进行。而反过程的几率很小、 很小。
因此。微观状态数最大的平衡态状态是最混乱、 最无序的状态，也是信息量最小的状态。 2）熵及熵增加原理
定义：某系统宏观状态的熵
S k ln …..(1)
k 其中： 为波尔兹曼常数
为系统此时的微观状态数
熵是状态量
定义：某系统宏观状态的熵
S k ln 熵是状态量
当状态由状态‘1’变化到状态‘2’时系统的熵增量
V1
气体在自由膨胀这个过程中，它的熵是增加的
气体自由膨胀的不可逆性，可用气体动理论的观点给以 解释
气体的自由膨胀的不可逆性 先考虑只有一个分子的情况
a
a
a
a
左右 这一个分子回到一边的几率是百分之五十。 只有两个微观状态
如果是四 个分子呢？
ba cd
设有一容器仅有四个分子
abcd
a bc d a b c d d a bc
T1
T2
T1-dT T2+dT
从高温气体向低温气体传
递了热量：
温度由 dQ
M
CV dT
T1,T2 T1 dT ,T2 dT
dQ
两容器中气体作为一孤立系统
dS1
dQ T1
M
CV dT T1
dS2
dQ T2
M
CV dT T2
例；证明热传导的不可逆性。
两容器中气体作为一孤
玻尔兹曼熵公式 s=klnp
玻尔兹曼熵公式 s=klnp
玻尔兹曼熵公式是描述热力学系统熵与微观状态数目之间的关系的重要公式。
在这个公式中，S代表系统的熵，k代表玻尔兹曼常数，p代表系统的微观状态数目。
首先，让我们来解释一下公式中的每个符号。
熵是描述系统无序程度的物理量，它是热力学的基本概念之一。
玻尔兹曼常数k是一个物理常数，它的值约为1.38×10^-23 J/K，它与热力学系统的熵和微观状态数目之间的关系紧密相关。
微观状态数目p是指系统的微观粒子在给定条件下可能的状态数目，它与系统的能量和体积有关。
现在让我们来解释公式本身。
公式S=klnp表明了系统的熵S与系统的微观状态数目p之间的关系。
其中ln表示自然对数。
这个公式暗示了系统的熵与系统的微观状态数目之间的对数关系，也就是系统的无序程度与微观粒子可能的状态数目之间的关系。
当系统的微观状态数目增加时，系统的熵也会增加，这意味着系统的无序程度增加。
这与热力学第二定律中熵增加的概念是一致的。
玻尔兹曼熵公式的重要性在于它揭示了热力学系统的微观结构
与宏观性质之间的联系，为我们理解热力学系统的行为提供了重要的理论基础。
这个公式在统计物理学和热力学中有着广泛的应用，帮助我们理解系统的热力学性质和行为。
总之，玻尔兹曼熵公式S=klnp是描述热力学系统熵与微观状态数目之间关系的重要公式，它揭示了系统的无序程度与微观粒子可能的状态数目之间的对数关系，为我们理解热力学系统的行为提供了重要的理论基础。
热力学第二定律熵的增加原理
热力学第二定律熵的增加原理热力学第二定律是热力学中的一个重要原理，指出在孤立系统中，熵的增加是不可逆过程的一个普遍规律。
本文将介绍熵的概念、熵的增加原理以及熵增加的实际应用。
一、熵的概念熵是热力学中的一个重要概念，用来描述系统的无序程度。
熵的具体定义是系统的微观状态数目的自然对数。
简单来说，熵越大，系统的无序程度越高。
熵的单位是焦耳/开尔文（J/K），它与温度有关。
当系统的状态随机无序时，熵较大；反之，当系统有序排列时，熵较小。
二、熵增加原理熵增加原理是热力学第二定律的基本内容之一。
它指出在自然界中，熵总是趋向于增加的。
具体表现为孤立系统的熵不会减少，而是始终增加或保持不变。
这个原理可以通过热力学过程中的一个具体例子来理解。
考虑一个绝热容器内部有一个隔板将容器分成两部分，其中一部分是真空的，另一部分有气体。
当移除隔板时，气体会自发地扩散到整个容器内部，使得整个系统的无序程度增加，熵也增加了。
三、熵增加原理的实际应用熵增加原理在实际生活和工程中有广泛的应用。
以下是一些具体的应用领域：1.能源转换：熵增加原理说明了能源转换的不可逆性。
例如，在热能转换为机械能的汽车发动机中，废气的放出使得系统熵增加，从而导致能量转化的不可逆损耗。
2.生态系统：熵增加原理在生态系统中也有重要应用。
生态系统的熵增加意味着物种竞争和资源分配的不可逆性。
生态系统的正常运转需要流动性和交换性，以保持整体系统的增长和稳定。
3.信息理论：在信息理论中，熵被用来衡量信息的随机性和不确定性。
熵增加原理指出，在信息传递过程中，消息的传递会引入不可避免的噪音和损失，从而导致信息的熵增加。
四、总结热力学第二定律的熵增加原理是用来描述不可逆过程和自然趋势的一个重要原理。
熵的增加代表了系统无序程度的增加，这一原理在能源转换、生态系统和信息理论等领域都具有实际应用。
深入理解和应用熵增加原理将有助于我们更好地理解自然界的规律和进行相关的科学研究。
根据题目要求，本文按照小节的形式分别介绍了熵的概念、熵增加原理以及熵增加原理的实际应用。
大学物理熵和熵增加原理
对无穷小可逆过程
dS dQ T
由克劳修斯不等式，导出熵增加原理：
dQ 2 dQ 2 dQ
(C) T 1(I ) T 1(R) T
2 dQ S 0 1(I ) T
S 2 dQ , S 2 dQ
1(I ) T
1(R) T
可逆
不可逆
S 2 dQ 1(L) T
S 2 dQ 1(L) T “＝”：可逆过程；“>”：不可逆过程 由于孤立系统中发生的任意过程都是绝热的， dQ=0，所以有
孤立系统中发生的过程一定绝热，熵增加原 理可表达为
S 0（绝热过程）
在可逆绝热过程中熵不变，在不可逆绝热过 程中熵增加。
9.5.3 克劳修斯熵
两热源循环过程： Q1 Q2 0 T1 T2
推广：
dQ 0
(C) T
“＝”：可逆循环；“<”：不可逆循环
克劳修斯不等式 ：系统的热温比沿任一循环 的积分都小于或等于零。
一个孤立系统的熵永不会减少
S S2 S1 0（孤立系统）
S1、S2：系统初、末态熵；“=” ：可逆过程， “>”：不可逆过程
由熵增加原理可知：孤立系统从一个平衡态 经过某一过程到达另一平衡态，如果过程是可 逆的，则熵不变；过程不可逆，熵增加。由于平 衡态的熵最大，所以孤立系统总是自发地由非 平衡态向平衡态过渡。一旦到达平衡态，系统在 宏观上就不再发生变化。
2 (2V )NA
ΔS
k(ln
2
ln
1 )
k
ln
2 1
kNA
ln
2
R
ln
2
（2）用克劳修斯熵计算
S
CV ,m
ln
T T
R ln
玻尔兹曼熵公式和熵增加原理
玻尔兹曼熵公式和熵增加原理玻尔兹曼熵公式（Boltzmann entropy formula）是描述系统熵的数学表达式，由奥地利物理学家路德维希·玻尔兹曼在19世纪末提出。
在热力学中，熵是描述系统无序或混乱度的量度，也可以理解为系统的不可逆性或系统状态的不确定性。
熵的定义可以通过以下方式推导得到。
考虑一个由N个分子组成的系统，其微观状态数（Microstate number）用Ω表示。
微观状态是指系统中每个分子的位置和动量等信息。
熵S定义为熵函数（Function of entropy）与系统的微观状态数的对数之积，即：S = k ln Ω其中，k是玻尔兹曼常数。
这个公式也被称为玻尔兹曼公式（Boltzmann formula）。
要理解熵的物理意义，可以从微观与宏观的角度来看待系统。
从微观角度来看，系统处于特定的微观状态，即具体分子的位置和运动状态。
系统可以以许多不同的方式处于这些微观状态之一，其数目由Ω给出。
从宏观角度来看，对于给定的宏观状态，系统可以处于多个微观状态之一、熵的作用就是度量系统在宏观状态下拥有更多的微观状态数。
熵增加原理（Principle of increase of entropy）描述了一个系统或一个孤立系统的熵是不会减少的。
熵增加原理是基于热力学第二定律，它经验性地规定了自然界的其中一种趋势：孤立系统中的熵总是增加。
熵增加原理可以通过热力学的微观描述来理解。
在孤立系统中，熵的增加可以解释为系统所处的微观状态从一个更少的微观状态数向一个更大的微观状态数过渡。
根据玻尔兹曼熵公式，系统的熵与微观状态数相关。
因此，当系统发生微观状态的变化时，其熵也会随之变化。
熵增加原理还可以用来解释自然界的其他现象。
例如，当两个物体处于热平衡时，它们的熵是相等的。
如果将它们接触并允许热量传递，热量会从高温物体流向低温物体，直到两者达到热平衡。
在这个过程中，热量传递增加了系统总的熵。
另一个例子是物理过程的可逆性。
玻尔兹曼熵公式和熵增加原理
PV RT
热力学第一第二定律的结合 可作为热力学基本方程
将理想气体内能代入：
dE CV dT
返回
dT dV dS CV R T V
S CV ln T R ln V S0
从克劳修斯不等式得到熵增加原理
a 考虑任意的不可逆循环 2 p (S2) dQ 0 不可逆 1 T b (S1) 看循环如图:设1a2是不可逆过 程，而2b1是一可逆过程。 O V dQ dQ不可逆 dQ可逆 0 不可逆 1a 2 2b1 T T T dQ不 可 逆 dQ可 逆 dQ可 逆 1a 2 T 2b1 T 1b 2 ( T ) S2 S1
大系统的熵变等于各子系统熵变之和
[例]由绝热壁构成的容器中间用导热隔板分成两部分，
体积均为V，各盛1摩尔同种理想气体。开始时左半部温 度为TA，右半部温度为TB（<TA）。经足够长时间两部 分气体达到共同的热平衡温度 T 1 (TA TB ) 试计算此热传导过程初终两态的熵变。 解: 根据理想气体的熵变公式
1 1 S SH SL Q( ) 0 TL TH 孤立系统内部发生不可逆热传递时，熵增加。
为求Q传到TL后不可利用能的增加，设想一可逆热 机R工作于TH和T0之间，如图，效率为
T0 WH Q(1 ) 对外作功为 TH T 则不可利用能为 Q WH Q 0 TH
T V S S0 CV l n R l n T0 V0
TA TB
2
TA V 初态：左半部气体有 S A S0 CV ln T R lnV 0 0 V TB 右半部气体有 S B S0 CV ln T R lnV 0 0
整个系统
终态
玻尔兹曼熵公式
玻尔兹曼熵公式
玻尔兹曼熵公式是美国物理学家费歇尔•玻尔兹曼（Felix Bloch）提出的数学公式，它是研究热力学系统间相互作用的关系的数学工具，是探讨热力学变量“熵”的一种公式。
玻尔兹曼熵公式的核心思想是：在温度非常低的情况下，原子的状态非常容易被改变，即“低熵”状态，而在温度非常高时，原子的状态不容易被改变，即“高熵”状态。
熵与温度存在因果关系，也就是，温度的降低会导致熵的减少，而温度的升高会使熵的增加。
玻尔兹曼熵公式可以让我们知道在特定温度下，某一物理现象所表现出来的熵是多少。
玻尔兹曼熵公式在热力学研究中是极为重要的，它帮助我们更好地理解温度对物质性质以及物质产生变化的影响，为我们更好地分析复杂热力学系统提供了重要参考依据。
基于玻尔兹曼熵公式，现在人们很容易得出复杂的热力学系统的熵随温度的变化。
另外，玻尔兹曼熵公式还可以应用于其他相关学科，如信念理论、信息论和计算理论等。
它对这些理论都有一定的帮助。
总而言之，玻尔兹曼熵公式是一种重要的数学工具，在热力学及其他相关学科都有重要的作用，它使我们能够再简单的原理和公式的基础上计算出复杂的热力学系统的熵及相关指标，从而为我们探索物质的性质及它们之间的相互作用提供了重要的数学支持。
热力学第二定律
它变化，即过程结束时，气体的体积增大了。
或： *
第二类永动机 ( 1 )
T Q A
是不可能制造成功的。
第二类永动机实例：
巨轮不断吸收海水，提取 其内能，将其变成冰块， 再抛入海中。就可以持续 航行了。
违反热力学第二定律，是不可能实现的。
注意理解以下四点：
（1） 热力学第一定律和第二定律是互相独立的。 比较： 第一类永动机 第二类永动机
若能使系统 B A
A B
过程
且外界复原 : A B 为可逆过程
若无法使系统
或 B A
B A
A B
为不可逆过程
时外界不能复原
例： 理想气体等温膨胀的可逆性分析 （1） 无摩擦，准静态进行 （2） 有摩擦，准静态进行
（3） 无摩擦，非静态进行
（1）
无摩擦，准静态进行 正向：
V1 V 2
初始状态
几率大
摇动后
几率 很小
气体自由膨胀的不可 逆性可用几率来说明。
A a 隔 b 板
B c
a、b、c 三个分子在A、B两室的分配方式 A室 abc ab bc ca c a b 0
B室
0
c
a
b
ab
bc
1 2
ca
abc
a 分子出现在A室的几率为 a、 b 二分子回到A室的几率为
a 、 、 三分子全部回到A室的几率为 b c
原来生命是一开放系统。其熵变由两部分组成。 开放系统---与外界有物质和能量的交换的系统
S Se Si
Si 系பைடு நூலகம்自身产生的熵，总为正值。
熵,熵增加原理
熵,熵增加原理熵和熵增加原理是热力学和统计物理中的重要概念。
它们描述了系统的无序性和不可逆性，并且在许多领域中都得到了广泛的应用。
本文将介绍熵的定义和特点，以及熵增加原理的概念和含义。
一、熵的定义熵，是一个物理学的术语，它用来描述一个系统的无序性或混乱程度。
熵通常用符号S表示，它的单位是焦耳/克·开尔文(J/K)，表示每单位质量和温度之间的比例系数。
熵最初是由德国物理学家Rudolf Clausius在19世纪提出的，他认为热力学中的熵是一个重要的物理量，可以用来对系统中热力学性质的变化进行描述。
随着时间的推移，熵不仅被应用于热力学领域，而且被成功地应用于其他学科。
在热力学中，熵被定义为一个系统可以达到的状态的数量的对数。
我们可以将熵理解为系统的无序度或混乱程度。
对于一个高度有序的系统，它的熵值较低，而对于一个高度无序的系统，它的熵值则较高。
在实际应用中，我们可以通过测量系统中分子的运动速度、位置和能量等参数来计算熵值。
熵的计算公式是：S = k ln WS是系统的熵，k是玻尔兹曼常数，W是系统的状况数。
状况数是指系统可能的微观状态数量，通常与分子的数目、能级和体积等有关。
二、熵的特点熵有一些独特的特点，它们对于我们理解熵的概念和应用非常重要。
下面是熵的一些特点：1. 熵是一种状态函数熵是一种状态函数，这意味着它的值只依赖于系统的状态，而与系统如何到达这个状态无关。
如果我们将能量从一个系统移动到另一个系统，改变它们的状态，那么它们的熵可能会发生变化。
这个过程发生的方式对于系统的熵没有影响。
2. 熵的增加方向是单向的熵的增加方向是单向的，这意味着一个孤立系统的熵只能增加。
虽然系统在短时间内可以由低熵状态转移到高熵状态，但是这种临时的不可逆性只是表面现象。
在长时间尺度下，系统的熵仍然会不断增加。
3. 完美晶体的熵为零对于一个完美的晶体，其所有原子都是高度有序排列的，因此其熵为零。
这个特殊的情况是热力学中一极限情况，因为几乎不存在一个完全排列有序的混合系统。
玻尔兹曼熵公式为
玻尔兹曼熵公式为
玻尔兹曼熵（Information Entropy）是由德国科学家克劳德·玻
尔兹曼在1948年提出的，它用于衡量信息量的一种概念。
简单来说，
它是研究信息被编码时所需要的最小特征数。
这可以帮助我们更好地
理解基本单元，例如字符和英文单词，能够被计算机使用来表达复杂
的信息。
玻尔兹曼熵的公式如下：H(x)=-∑p(xi)log(p(xi))，以2为底数
的对数。
其中，p(xi)代表可能性，它是第xi个状态发生的概率；而
H(x)是熵，它代表所有可能性状态加起来的概率。
玻尔兹曼熵有很多实际应用，它可以计算数据结构中的不确定性，以及信息存储的最佳系统，有助于优化存储空间和编写代码。
同时，
它也可以分析信息的隐私性，帮助我们更好地了解数据安全。
总而言之，玻尔兹曼熵提供了一种将信息量转换成可以计算机操
作的形式的方法，它为信息处理提供了重要的技术支持，也为研究概
率和不确定性提供了坚实基础。
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热力学几率大的态
熵小的态
熵大的态
能量品质高
能量品质低
玻尔兹曼熵 S = k ln 任一态下的熵，熵是态函数
克劳修斯熵
S2 S1
dQ （两平衡态之间的熵变）
T
熵的计算
2S0
终态
T
V
SA
S0
CV
ln
T0
R ln V0
TV
SB
S0
CV
ln
T0
R
ln V0
整个系统
T2
V
S2 SA SB
CV ln T02
2R
ln V0
2S0
所以
0! S2 S1
CV
T2 ln
TATB
CV
ln (TA TB )2 4TATB
热传导是不可逆过程的典型例子， 此例证实不可逆过程的熵增加。
热力学概率Ω
热力学第二定律 两种表述 两个概念
热力学第二定律统计 意义
总结：
热力学第二定律
开尔文表述
克劳修斯表述
一切与热现象有关的实际宏观过程都是不可逆的，而
且各种不可逆过程是相互关联的。
自发的方向
微观粒子热运动无序度小
微观粒子热运动无序度大
包含微观状态数少的态
包含微观状态数多的态
热力学几率小的态
W1,它与体积成正比.设比例系数为c,即 W1=cV
N个分子同时出现于容器内的概率为他们各自概率的
乘积：
W=(W1) N=(cV ) N
系统的熵为 S=k lnW=kN ln(cV)
经等温膨胀,系统熵的增量为
S=kN ln(cV2)-kN ln (cV1)= kN ln(V2 / V1)
注意到 k R , N N A M
S 0
可逆等温膨胀过程，
S 0
O V1
2(P,V2,T) 2' (P',V2,T')
V
计算理想气体自由膨胀的熵变:
P
dQ dE PdV PdV
可逆等温 膨胀过程
1 1(P1,V1,T)
S2 S1
V2 dQ T V1
V2 PdV
T V1
0
O
P RT0
熵越大. （2）体积越大，分子在位置空间分布越分散，系 统包含的微观状态数越多，熵越大。
1865年克劳修斯用完全宏观的方法导 出了熵的另一个表达式————
克劳修斯不等式
卡诺定理
（1）在相同的高温热源与相同的低温热源之间工
作的一切可逆的热机（即卡诺机），其效率相等，
而与工作物质无关。
R
1
T2 T1
p
a
1
再看循环如图:(1a2b1)
(S1) O
dQ可逆 dQ可逆 dQ可逆 0
T
1a2 T
2b1 T
2 (S2) b
V
(dQ可逆 ) (dQ可逆 ) (dQ可逆 )
1a2 T
2b1 T
1b2 T
说明 dQ可 逆 与过程无关
T
是状态的函数（Entropy),用
如图所示，热源TH和 TL被绝热壁包围，
组成一复合孤立系，该系统的总熵变为
TH
TL
S
SH
SL
Q( 1 TL
1 TH
)
0
孤立系统内部发生不可逆热传递时，熵增加。
为求Q传到TL后不可利用能的增加，设想一可逆热
机R工作于TH和T0之间，如图，效率为
H
1 T0 TH
TH Q
TL Q
说明：（1）对于非绝热系统或非孤立系统，熵可能
增加，可能减少。
（2）自然过程：意义为不可逆过程。对于可逆过程，
系统经历的每一个状态都是平衡态，因此一个孤立系
统的熵不变！
S可 逆 绝 热 过 程 0
[例题] 试用玻尔兹曼关系计算理想气体在等温膨 胀过程 中的熵变.
解:等温过程中,在体积为V的容器中找到它的概率为
解 利用温度为273.15的热源供热，设计一可逆等温吸 热过程来代替冰水相变。
1.00kg冰融化为水时的熵变为
2 dQ
S2 S1 1 T
1 T
2
1
dQ
m h 1.22kJ / K T
例题 热量Q从高温热源TH传到低温热源TL，计算此 热传递过程的熵变；并计算Q从H传到 L后，不可用
能的增加。
解：热源释放（或获得）大小为Q的热量的过程是不可逆过程。
设想热源与另一个温度与之相差无限小的热源 TdT（或 T+dT）
相接触，经足够长时间传递热量Q，此过程可视为可逆过程。借
助此可逆过程，对于热源 TH和 TL分别有
SH
Q Q
T
TH
SL
Q Q
T TL
dQ
0
T 可逆
dQ
0
T 不可逆
dQ为系统与温度为T的热源接触时所吸收的热量。
对于可逆过程T也等于系统的温度。
克劳修斯熵公式
熵的引入
实际热力学过程的不可逆性预示着初态和终态之
间存在重大的性质上的差别引入一个状态函数，
它的变化可以说明过程的方向。
考虑任意的可逆循环
(dQ)可逆 0 T
熵的增加是能量退化的量度。
1938年，天体与大气物理学家R.Emden在文中提到 “在自然过程的庞大工厂里，熵原理起着经理的作用， 因为它规定整个企业的经营方式和方法，而能原理仅 仅充当簿记，平衡贷方和借方。”熵的重要意义
流程：
宏观自然过程的方向
不可逆性（两点概念）
熵增加原理
引出熵的概念 三点说明
V
返回
S CV lnT R lnV S0
从克劳修斯不等式得到熵增加原理
考虑任意的不可逆循环
dQ 0 T 不可逆
p
看循环如图:设1a2是不可逆过
a
1 (S1)
2 (S2) b
程，而2b1是一可逆过程。 O
dQ 不可逆 T
dQ不可逆 1a2 T
dQ可逆 0 2b1 T
[例] 计算理想气体自由膨胀的熵变。
解: 气体绝热自由膨胀 dQ=0 dA=0 dE=0
对理想气体，由于焦尔定律，
膨胀前后温度T0不变。为计
A
B
算这一不可逆过程的熵变，
设想系统从初态（T0，V1） 到终态（T0，V2）经历一可
逆等温膨胀过程，可借助此
P
1(P1,V1,T)
可逆过程（如图）求两态熵变。
本讲主要内容：
一、玻尔兹曼熵公式和熵增加原理 二、克劳修斯熵公式 三、熵的计算 四、温熵图 *自学 五、熵和能量退降 *自学 六、信息熵 麦克斯韦妖 *自学
一、玻尔兹曼熵公式和熵增加原理
玻尔兹曼熵公式
玻尔兹曼公式：S = k ln (k为玻尔兹曼常数）
1877年玻尔兹曼建 立了此关系
说明：(1) 对于一个宏观状态就一个Ω与之对应，因
变；如果过程是不可逆的，则熵的数值增加。
S2 S1 0
注意两个式子的物理涵义
2
S2 S1 1可 逆
dQ T
dQ
S2 S1 不可逆 T
思考：计算不可逆过程的熵变，可用可逆过程来代替，
那么绝热过程的熵变可以用可逆绝热过程计算，因此熵变
为零，这违背熵增加原理！
？
启发：熵一定是个态函数；而经过不可逆的绝热过程 熵一定要增加，那么此中逻辑上那里出了问题了呢？
由克劳修斯熵导出理想气体平衡态下的熵公式：
无限小过程
dS dQ可 逆
T
对于可逆过程 ，热力学第一定律可写为：
TdS dE PdV
将理想气体方程代入： PV RT
热力学第一第二定律的结合 可作为热力学基本方程
将理想气体内能代入： dE CV dT
dS
CV
dT T
R dV
Q1 Q2 0
1
T2 T1
T1 T2
系统从热源T1吸热Q1，从T2吸热Q2（< 0）。上式又
可写为
2 Qi 0
i 1 Ti
推广到一般循环，如右图所示，
可将过程划分成许多小过程，每一过程看成是一个小卡
诺循环，应该有
n Qi 0
i 1 Ti
克劳修斯不等式
p
或
dQ T
0
O
V
S表示，称为克劳修斯熵
熵的增量
意义：
2
S2
S1
可逆 1
dQ可逆 T
1.熵是态函数： S=S(T,V) , S=S(T,P)
其值可用公式 S 2 1可 逆
dQ T
S0
来计算。
2. 若系统经历一个可逆的绝热过程，或者一孤立系统
经历一个可逆过程，则其熵增为零。
S2 S1
可逆
NA
S M R ln V2
V1
二、克劳修斯熵公式
熵的宏观表达式
熵既然是态函数，则，应与状态参量P，V，T 有关， 通过麦克斯韦分布可以得到：
理想气体在平衡态（P,V,T)下的熵
S CV lnT R lnV S0
*此式的证明由同学作 为练习完成
说明：（1）温度越高，分子热运动越激烈、无序，
对外作功为
WH
Q(1 T0 TH
)
R