(完整版)圆锥曲线焦点三角形推导

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圆锥曲线焦点弦角度公式推导过程

让我们来深入探讨一下圆锥曲线焦点弦角度公式的推导过程。

1. 圆锥曲线的定义和性质圆锥曲线是指平面上与一个圆锥相交得到的曲线。

常见的圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线。

它们都有各自独特的性质和特点，例如焦点、准线、离心率等。

2. 焦点、准线和焦点弦角度的概念在圆锥曲线中，焦点是一个重要的点，具有特殊的几何性质。

准线是与焦点相关的直线，它们共同构成了圆锥曲线的性质。

焦点弦角度是指过焦点的两条相交弦所夹的角度。

3. 圆锥曲线焦点弦角度公式的推导过程接下来，我们将从推导焦点弦角度的定义出发，逐步推导出其数学公式。

我们需要利用圆锥曲线的几何特性，结合焦点和准线的定义，来得出焦点弦角度的数学表达式。

我们将使用坐标系和几何代数的方法，结合圆锥曲线的方程式，推导出具体的焦点弦角度公式。

这个过程涉及到大量的数学运算和推理，需要严谨的逻辑和思维，同时也需要对圆锥曲线的性质有深入的理解。

4. 个人观点和理解在我看来，圆锥曲线焦点弦角度公式的推导过程是非常有意义的。

它不仅涉及到几何和代数知识的综合运用，还能帮助我们更深入地理解圆锥曲线的性质和特点。

通过深入研究焦点弦角度的推导过程，我们可以更好地理解圆锥曲线的几何意义，同时也能对数学运算和推理能力进行提升。

总结回顾：在本文中，我们深入探讨了圆锥曲线焦点弦角度公式的推导过程。

通过对圆锥曲线的定义和性质进行分析，我们逐步推导出了焦点弦角度的数学表达式，并通过坐标系和代数方法得到具体的公式。

我们也共享了个人观点和理解，认为这一过程对我们的数学思维和几何理解有着重要的意义。

我希望通过这篇文章的阅读，您能够更深入地理解圆锥曲线焦点弦角度的推导过程，并对数学知识有一个更全面、深刻的理解。

也希望能够引发您对圆锥曲线和数学推导过程的兴趣，激发您对数学研究的进一步探索。

圆锥曲线是数学中非常重要的一个概念，涉及到几何、代数以及数学推导等多个方面的知识。

其性质和特点的深入理解对于数学的学习和研究具有重要意义。

有关圆锥曲线的焦点三角形面积公式的证明及其应用

圆锥曲线的焦点三角形面积问题比较常见，这类题目常以选择题、填空题、解答题的形式出现.圆锥曲线主要包括抛物线、椭圆、双曲线，每一种曲线的焦点三角形面积公式也有所不同，其适用情形和应用方法均不相同.在本文中,笔者对圆锥曲线的焦点三角形面积公式及其应用技巧进行了归纳总结，希望对读者有所帮助.1.椭圆的焦点三角形面积公式：S ΔPF 1F 2=b 2tan θ2若椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2b2=1（a >b >0），∠F 1PF 2=θ，则三角形ΔF 1PF 2的面积为：S ΔPF 1F 2=b 2tan θ2.对该公式进行证明的过程如下：如图1，由椭圆的定义知||F 1F 2=2c ，||PF 1+||PF 2=2a ，图1可得||PF 12+2||PF 1||PF 2+||PF 22=4a 2，①由余弦定理可得||PF 12+||PF 22-2||PF 1||PF 2cos θ=4c 2，②①-②可得：2||PF 1||PF 2(1+cos θ)=4b 2，所以||PF 1||PF 2=2b 21+cos θ，则S ΔPF 1F2=12|PF 1||PF 2|sin θ=12×2b 21+cos θsin θ，=b 22sin θ2cos 2θ22cos 2θ2=b 2tan θ2.若已知椭圆的标准方程、短轴长、两焦点弦的夹角，则可运用椭圆的焦点三角形面积公式S ΔPF 1F 2=b 2tan θ2来求椭圆的焦点三角形面积.例1.（2021年数学高考全国甲卷理科）已知F 1，F 2是椭圆C ：x 216+y 24=1的两个焦点，P ，Q 为椭圆C 上关于坐标原点对称的两点，且||PQ =||F 1F 2，则四边形PF 1QF 2的面积为________．解析：若采用常规方法解答本题，需根据椭圆的对称性、定义以及矩形的性质来建立关于||PF 1、||PF 2的方程，通过解方程求得四边形PF 1QF 2的面积.而仔细分析题意可发现四边形PF 1QF 2是一个矩形，且该矩形由两个焦点三角形构成，可利用椭圆的焦点三角形面积公式求解.解：S 四边形PF 1QF 2=2S ΔPF 1F 2=b 2tan θ2=2×4×tan π2=8.利用椭圆的焦点三角形面积公式，能有效地简化解题的过程，有助于我们快速求得问题的答案.例2.已知F 1，F 2是椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0的两个焦点，P 为曲线C 上一点，O 为平面直角坐标系的原点.若PF 1⊥PF 2，且ΔF 1PF 2的面积等于16，求b的值.解：由PF 1⊥PF 2可得∠F 1PF 2=π2，因为ΔF 1PF 2的面积等于16，所以S ΔPF 1F 2=b 2tan θ2=b 2tan π2=16，解得b =4.有关圆锥曲线的焦点三角形面积公式的思路探寻48的面积，2.则ΔF 1PF 如|||PF 1-|得：|||PF 2cos θ即|由②所以则S Δ夹角、例3.双曲线C 是().A.72且)设双曲F 1，F 2，离△PF 1F 2=1.本题.运用该=p 22sin θ，且与抛S ΔAOB =图3下转76页）思路探寻49考点剖析abroad.解析：本句用了“S+Vt+动名词”结构，能用于此结构的及物动词或词组有mind ，enjoy ，finish ，advise ，consider ，practice ，admit ，imagine ，permit ，insist on ，get down to ，look forward to ，put off ，give up 等。

焦点三角形问题(解析版)

第一篇圆锥曲线专题01焦点三角形问题焦点三角形的边角关系如下：三条边：122F F c =122PF PF a+==22a c +三角形周长ce a=222a b c =+三个角：随着动点P 的移动，三个角都在变化，可能为锐角，直角和钝角，这里我们只研究顶角P ∠，利用余弦定理，P ∠又和三边a,b,c 的大小有关系三角形的面积：12S ah =底为定值，面积最大时高最大1sin 2S ab c =面积和三边长有关系一、与焦点三角形边长有关的问题焦点三角形中三边长涉及a,c ，因此最直观的是可以根据三边关系求出离心率的值或取值范围，前提是三边之间存在可以转化的关系。

若单独分析三角形的两个腰长，则若能够构成三角形，则需满足1a c PF a c-≤≤+例1椭圆22221x y a b+=的右焦点为F ，其右准线与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在一点P ，满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆的离心率的取值范围是________.例2.已知12,F F 是椭圆22221x y a b+=的左右焦点，若在其右准线上存在点P ，使得线段1PF 的中垂线过点2F ，则椭圆的离心率的取值范围是________.【解析】求离心率的范围问题，需要根据条件列出不等式，在含有动点的题目中，需要找出动态的量和常量之间的大小关系。

题目中：2122PF F F c==因为点P 在右准线上下移动，2PF 虽然是常量，但由于不知道a,b,c 的关系，因此还是相对的变量。

本题的定值为22a F H c c=-在2RT PHF 中，222,2a PF F H c c c >≥-解得：313e ≤<例3.设12,F F 是双曲线2214x y -=的左右焦点，点P 在双曲线上，且满足1290F PF ︒∠=，则12PF F ∆的面积是________.方法一：方法二：此题目有更简单的做法，方法一只是为了巩固焦半径的知识，设12,PF x PF y ==则有：4x y -=，又因为2220x y +=解得：2xy =，因此面积等于1.上面两题都是关于焦点三角形中两条腰长的问题，在焦点三角形中两腰长之和为2a ，底边为2c ，因此三边之间暗含离心率的关系，因此在一些出现焦点三角形求离心率的问题中一般腰长和底边之间都存在一个可以互相转化的关系，通过这个关系可以求出离心率。

圆锥曲线(抛物线、椭圆、双曲线)标准方程推导

圆锥曲线(抛物线、椭圆、双曲线)标准方程推导几何定义是在平面中，由所有满足到一定点与到一定直线距离相等的点所组成的图形，把这个定点称为焦点(focus)、定直线称为准线(directrix)。

为了方便推导，把这一定点放在x轴正方向上，定直线垂直x 轴放在x轴负半轴上，且原点刚好在两者中间。

上面这些都仅仅是为了推导方便而已。

设曲线上的点坐标为(x,y)，于是，\begin{aligned} d(F, P) &=d(P, D) \\ \sqrt{(x-a)^{2}+(y-0)^{2}} &=|x+a| \\ (x-a)^{2}+y^{2}&=(x+a)^{2} \\ x^{2}-2 a x+a^{2}+y^{2} &=x^{2}+2 ax+a^{2} \\ y^{2} &=4 a x \end{aligned}四种不同开口的标准型：二、椭圆(Ellipse)几何意义是在平面中，由所有到两个顶点距离之和为定值的点所组成的图形，把这两个定点称为焦点(foci)，也是为了推导的方便，把这两个焦点对称放在x轴正负半轴上，令两段距离之和为2a，根据两点之间距离公式进行如下推导：\begin{aligned} d\left(F_{1}, P\right)+d\left(F_{2}, P\right) &=2 a \\ \sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}} &=2 a \\ \sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}=& 2 a-\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}} \\ (x+c)^{2}+y^{2}=& 4 a^{2}-4 a \sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}} \\ &+(x-c)^{2}+y^{2} \\x^{2}+2 c x+c^{2}+y^{2}=& 4 a^{2}-4 a \sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}} \\ &+x^{2}-2 c x+c^{2}+y^{2} \\ 4 c x-4 a^{2}=&-4 a \sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}} \\ c x-a^{2}=&-a\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}} \\ \left(c x-a^{2}\right)^{2}=& a^{2}\left[(x-c)^{2}+y^{2}\right] \\ c^{2} x^{2}-2a^{2} c x+a^{4}=& a^{2}\left(x^{2}-2 cx+c^{2}+y^{2}\right) \\ \left(c^{2}-a^{2}\right)x^{2}-a^{2} y^{2} &=a^{2} c^{2}-a^{4} \\ \left(a^{2}-c^{2}\right) x^{2}+a^{2} y^{2} &=a^{2}\left(a^{2}-c^{2}\right) \end{aligned}令 b^2=a^2-c^2 （根据三角形两边之和大于第三边推出c<a）所以，\begin{aligned} b^{2} x^{2}+a^{2} y^{2} &=a^{2} b^{2} \\ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} &=1\end{aligned}常见的两种椭圆标准方程，一种是横躺在x轴上，一种是“站立”着，关键就是看x和y下面哪个数值比较大，哪个大，那么长的对称轴就在哪个方向上。

圆锥曲线焦点三角形面积问题

圆锥曲线焦点三角形面积问题
圆锥曲线焦点三角形面积问题指的是在一个圆锥曲线上，给定焦点和一个点P 的坐标，求得由焦点和该点P构成的三角形的面积。

首先，我们需要了解圆锥曲线和焦点的概念。

圆锥曲线是指在三维空间中一个由直线与一个射线共用一个端点且直线在射线上方的几何图形。

常见的圆锥曲线有椭圆、双曲线和抛物线。

焦点是指在一个几何图形或曲线上与该图形或曲线中的点有特殊关系的点。

要计算由焦点和点P构成的三角形的面积，我们可以利用三角形的面积公式。

三角形的面积可以用其底边和高来计算。

在这个问题中，底边是焦点和点P之间的距离，高是点P到焦点所在的直线的垂直距离。

首先，我们可以使用两点间距离公式计算焦点和点P之间的距离。

假设焦点的坐标为F(x1, y1, z1)，点P的坐标为P(x2, y2, z2)，则焦点和点P之间的距离为
√((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2)。

然后，我们需要计算点P到焦点所在的直线的垂直距离。

这个垂直距离也可以被称为焦距。

焦距可以通过焦点到点P之间的线段与焦点所在的直线的垂直距离来计算。

最后，我们可以利用三角形的面积公式：面积 = 1/2 * 底边 * 高，来计算出由焦点和点P构成的三角形的面积。

需要注意的是，在计算过程中，我们要保证点P在圆锥曲线上，以确保三角形的存在。

综上所述，通过给定焦点和点P的坐标，我们可以计算出由这两 points 构成的三角形的面积。

这个问题涉及到了圆锥曲线的性质和三角形面积的计算方法，通过运用相关的几何知识，我们可以解决这个问题。

圆锥曲线中焦点三角形几个问题的解法

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焦点三角形中的中点问题
总结词
焦点三角形中的中点问题主要涉及到中点的性质和相关的计算公式。
详细描述
在焦点三角形中，中点问题主要涉及到中点的性质和相关的计算公式。例如，在椭圆中，如果一个三角形的一个顶点与两个焦点的中点相连，那么这个三角形必然是直角三角形。这是因为中位线的性质，即三角形的中位线平行于底边且等于底边的一半。类似地，在双曲线中也有类似的结论。解决这类问题的关键在于理解中点的性质和相关的计算公式，以及如何应用这些性质和公式来解决问题。
对于双曲线，标准方程为`(x-a)^2/b^2 - (y-c)^2/d^2 = 1`，其中`(a,b,c,d)`是双曲线的实半轴、虚半轴、焦点到中心的距离和准线到中心的距离。
圆锥曲线的性质和特点
• 圆锥曲线具有封闭性、对称性和渐近性等性质。封闭性是指椭圆和双曲线在坐标系中画出来是一个封闭的图形，而抛物线则无限延伸。对称性是指椭圆和双曲线关于坐标轴对称，而抛物线则关于准线对称。渐近性是指双曲线在远离中心的区域逐渐接近两条直线，而椭圆则逐渐接近一个圆。
椭圆上点的离心率性质
在椭圆上，随着点在曲线上的位置变化，离心率的变化规律是单调递增或递减的。具体来说，当点从椭圆的长轴向短轴移动时，离心率单调递增；当点从短轴向长轴移动时，离心率单调递减。
抛物线上点的离心率性质
在抛物线上，随着点在曲线上的位置变化，离心率的变化规律也是单调递增或递减的。但是，与椭圆不同，抛物线上的离心率变化规律取决于曲线的形状（开口方向）。对于开口向右的抛物线，离心率单调递增；对于开口向左的抛物线，离心率单调递减。
VS
焦点三角形的弦长随着圆锥曲线类型的变化而变化：在相同条件下，椭圆中的弦长比双曲线中的弦长短。

焦点三角形公式推导

焦点三角形公式推导在我们学习圆锥曲线的时候，焦点三角形可是个经常出现的“家伙”。

今天咱们就来好好推导一下焦点三角形的公式，瞧瞧它背后的小秘密。

先来说说啥是焦点三角形。

在圆锥曲线中，比如椭圆或者双曲线，以两个焦点和曲线上一点构成的三角形就叫焦点三角形。

咱以椭圆为例来推导这个公式。

假设椭圆的标准方程是$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a>b>0$），两个焦点分别是$F_1$，$F_2$，椭圆上一点是$P$。

在推导之前，咱们先回忆一下椭圆的定义：椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于长轴$2a$。

那在焦点三角形$PF_1F_2$中，根据余弦定理可得：$|F_1F_2|^2 = |PF_1|^2 + |PF_2|^2 - 2|PF_1||PF_2|\cos\theta$其中，$\theta$是$\angle F_1PF_2$。

因为$|PF_1| + |PF_2| = 2a$，所以$|PF_1|^2 + |PF_2|^2 + 2|PF_1||PF_2| = 4a^2$将其变形可得：$|PF_1|^2 + |PF_2|^2 = 4a^2 - 2|PF_1||PF_2|$把这个式子代入上面的余弦定理式子中：$4c^2 = 4a^2 - 2|PF_1||PF_2| - 2|PF_1||PF_2|\cos\theta$整理一下就得到：$|PF_1||PF_2| = \frac{2b^2}{1 + \cos\theta}$这就是焦点三角形在椭圆中的一个重要公式啦。

那双曲线中的焦点三角形公式又是咋样的呢？其实推导过程和椭圆有点类似。

假设双曲线的标准方程是$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$，两个焦点还是$F_1$，$F_2$，双曲线上一点是$P$。

同样根据双曲线的定义，双曲线上任意一点到两个焦点的距离之差的绝对值等于实轴$2a$，即$||PF_1| - |PF_2|| = 2a$。

圆锥曲线焦点三角形面积公式

圆锥曲线焦点三角形面积公式：S=b²·tan（θ/2）。

圆锥曲线定理：
即有一以Q为顶点的圆锥（蛋筒），有一平面PI'（你也可以说是饼干）与其相截得到了圆锥曲线，作球与平面PI'及圆锥相切，在曲线为椭圆或双曲线时平面与球有两个切点，抛物线只有一个（或者另一个在无穷远处），则切点为焦点。

又球与圆锥之交为圆，设以此圆所在平面PI与PI'之交为直线d（曲线为圆时d为无穷远线），则d 为准线。

图只画了椭圆，证明对抛物线双曲线都适用，即证，任一个切点为焦点，d为准线。

证：假设P为曲线上一点，联线PQ交圆O于E。

设平面PI′与PI的交角为a，圆锥的母线（如PQ）与平面PI的交角为b。

设P到平面PI 的垂足为H，H到直线d的垂足为R，则PR为P到d的垂线（三垂线定理），而∠PRH=a。

又PE=PF，因为两者同为圆球之切线。

如此则PR sina=PH=PE sinb=PF sinb。

圆锥曲线中的典型问题与方法：焦点三角形问题

圆锥曲线中的典型问题与处理方法——数学之家出品
【点评】圆锥曲线定义不仅是推导圆锥曲线方程及性质的基础, 而且也是解题的重要工具.对于有些解析几何问题,若从圆锥曲线的定义上去思考，往往会收到避繁就简,捷足先登的解题效果。
3、动点轨迹问题例 3.已知椭圆
x2 y2 1(a b 0) 上一动点 P，两个焦点 a 2 b2 F1 (c,0)，F2 (c,0) ， F1PF2 的内切圆记为 M ，试求圆心 M 的轨迹方程.

2
2
。
(2c) 2 F1 F2
2
PF1 PF2 2 PF1 PF2 cos
2
2 ( PF 1 PF 2 ) 2 PF 1 PF 2 (1 cos )
PF1 PF2
( PF1 PF2 ) 2 4c 2 2(1 cos )

4a 2 4c 2 2b 2 2(1 cos ) 1 cos
P 位于椭圆上（异于长轴两端点）何处，总有
论
kMF1 kMF2 tan
2

2
tan

2
2
,
y y ac ( y 0). xc xc ac
2
整理得(a－c)x ＋(a＋c)y =(a－c)c (y≠0)证毕．点评：由上获得的方程不难看出，△PF1F2 的内切圆圆心 M 始终在包含于原椭圆内的一小椭圆上移动．如果 △PF1 F2 中出现两个角，可以考虑应用正弦定理。同时从解题过程，不难得到

3
，且△ PF1 F2 的面积
x2 y2 1(a 0，b 0) ， a 2 b2
F1 (c，0) ，F2 (c，0) ， P( x0 ，y0 ) 。在 △ PF1F2 中，由余弦定理，得 (| PF1 || PF2 |) 2 | PF1 | ·| PF2 | ，即 | F1 F2 |2 | PF1 |2 | PF2 |2 2| PF1 | ·| PF2 | · cos

圆锥曲线的标准方程推导

圆锥曲线的标准方程推导圆锥曲线是平面上各点与一个定点（称为焦点）和一个定直线（称为准线）的距离之比为定值的点的轨迹。

根据圆锥曲线的形状不同，可以分为椭圆、双曲线和抛物线三类。

本文将以直角坐标系下的圆锥曲线为例进行推导。

设圆锥的焦点为F(x₁, y₁)，准线为直线l，该直线与坐标轴交于原点O，与x轴正方向的交点为A，与y轴正方向的交点为B。

设坐标系上的任意一点P(x, y)，我们将推导出圆锥曲线的标准方程。

首先，假设P与焦点F的距离为r，与直线l的距离为d。

根据定义，我们可以得到以下两个关系式：1. 根据焦准定理，有：r/d = e （1）其中，e为圆锥曲线的离心率，满足0 < e < 1（对应椭圆），e = 1（对应抛物线），e > 1（对应双曲线）。

2. 根据直角三角形AOB，可得：r² = x² + y²（2）由式（1）和式（2）可得：(x² + y²) / d² = e²（3）接下来，我们将推导出不同类型圆锥曲线的标准方程。

一、椭圆：当0 < e < 1时，圆锥曲线为椭圆。

将式（2）带入式（3）中得：x² + y² = e²d²（4）由于直线l与x轴正方向相交于点A，所以直线l的方程为y = kx，其中k为直线l的斜率。

将y = kx代入式（4）中并整理得：x² + (kx)² = e²d²（5）化简式（5）得：1 + k² = e²（6）将方程（6）代入方程（5）得：x² + (kx)² = (1 + k²)d²（7）将方程（7）除以d²并整理得：(x²/d²) + (k²x²/d²) = 1 （8）令a² = 1/d²，b² = k²/d²，则方程（8）可以进一步简化为：(x²/a²) + (y²/b²) = 1 （9）方程（9）即为椭圆的标准方程。

圆锥曲线焦点三角形问题常见类型解析

圆锥曲线焦点三角形问题常见类型解析圆锥曲线中的三角形问题（特别是与焦半径相关的三角形问题）是解析几何中的一个综合性较强的重点内容。

下举例谈谈圆锥曲线焦点三角形问题常见类型。

一、定值问题例1. 椭圆上一点P ，两个焦点x a y ba b 222210+=>>()，的内切圆记为，求证：点P 到的切)0,()0,(21c F c F ，-12F PF ∆M e M e 线长为定值。

证明：设⊙M 与△PF 1F 2的切点为A 、B 、C ，如图1，因⊙M 是△PF 1F 2的内切圆，所以|F 1A|=|F 1C|、|F 2C|=|F 2B|，|PA|=|PB|； ∵|F 1C|＋|F 2C|=2c ，∴ |F 1A|＋|F 2B|=2c ，由椭圆第一定义知 |PF 1|＋|PF 2|=2a，∴ |PA|＋|F 1A|＋|PB|＋|F 2B|=2a ， ∴ 2|PA|=2a －2c 即 |PA|=a －c 为定值．证毕．点评：圆锥曲线定义不仅是推导圆锥曲线方程及性质的基础, 而且也是解题的重要工具.对于有些解析几何问题,若从圆锥曲线的定义上去思考，往往会收到避繁就简,捷足先登的解题效果。

二、动点轨迹问题例2、已知椭圆上一动点P ，两个焦点， x a y ba b 222210+=>>())0,()0,(21c F c F ，-的内切圆记为，试求圆心M 的轨迹方程　。

12F PF ∆M e 解析：如图1，设∠PF 1F 2=α、∠PF 2F 1=β，M(x ，y)则在△PF 1F 2中由正弦定理及椭圆的定义有，由等比定理有即||sin ||sin ||sin[()]PF PF F F 1212180βααβ==-+°，又由合分比定理知1212||||||22sin sin sin()sin sin sin()PF PF F F a c αβαβαβαβ+=⇒=++++。

盘点圆锥曲线中的焦点三角形

盘点圆锥曲线中的焦点三角形
圆锥曲线是数学中的重要概念之一，包括椭圆、双曲线和抛物线。

在圆锥曲线中，有一个有趣的性质，即任意一条直线与椭圆、双曲线或抛物线的交点构成一个三角形。

这个三角形被称为焦点三角形。

在本文中，我将盘点一下圆锥曲线中的焦点三角形。

1. 椭圆的焦点三角形：
椭圆是一个闭合曲线，它的焦点在椭圆的两个焦点上。

设椭圆的焦点为F1和F2，直线L与椭圆交于A和B两点，那么焦点三角形的顶点就是F1、F2和交点C，即三角形的顶点是椭圆的焦点和交点。

对于不同的直线L，焦点三角形的形状和大小都不一样，但是它们都可以包含在椭圆的内部。

在圆锥曲线中，焦点三角形有着丰富的性质和应用。

它们的形状和大小取决于直线和曲线的位置关系，可以通过解析几何和向量几何的方法进行计算。

焦点三角形的顶点是曲线的焦点和交点，元素之间的关系非常特殊，可以用于证明一些定理和性质。

焦点三角形也有一些实际应用，比如在天体力学中研究行星轨道的形状和运动等。

圆锥曲线焦点三角形问题解题技巧梳理

圆锥曲线焦点三角形问题解题技巧梳理一．技巧内容二．技巧推导过程 1.12椭圆中的PF PF222121212212121221212221222122cos =()22cos =()2(1cos ) 442(1cos )422(1cos )1cos =+-+--+-+=-+∴==++F F PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF c a PF PF b b PF PF θθθθθθ2.椭圆中焦点三角形的面积公式1222212211212=sin sin 2sin cos tan 221cos 222212cos 12∆===++-PF F b b S PF PF b θθθθθθθ12PF F S ∆离心率12PF3. 椭圆中的离心率12122sin sin()(1)2sin sin sin sin +=====+++F F c c e a a PF PF θαβαβαβ222121212212121221212221212212212(2)2cos =()22cos =()2(1cos ) ()2()(1cos )21=()[1(1cos )]21=()(=+-+--+-++≥+-++-++F F PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF θθθθθ12222222cos )==2111144(cos )cos (12sin )sin 222222sin2-∴≥-≥-=--=∴≥（当且仅当取，即在短轴端点处）即PF PF P c c a a e θθθθθθ4.12双曲线中的PF PF222121212212121221212221222122cos =(-)+22cos =(-)+2(1-cos ) 44+2(1-cos )422(1-cos )1-cos =+--=∴==F F PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF c a PF PF b b PF PF θθθθθθ5.双曲线中焦点三角形的面积公式1222212211212=sin sin 2sin cos 221-cos 2221-1-2sin )tan 22∆===（PF F b b b S PF PF θθθθθθθ6.双曲线中的离心率12122sin sin()2sin sin sin sin +=====---F F c c e a a PF PF θαβαβαβ技巧1 焦点三角形的周长【例1】已知点12,F F 分别是椭圆221259x y +=的左、右焦点,点P 在此椭圆上,则12PF F ∆的周长等于（）A ．20B ．16C ．18D ．14【举一反三】1．若椭圆22221x y a b+=（其中a ＞b ＞0）的离心率为35，两焦点分别为F 1，F 2，M 为椭圆上一点，且△F 1F 2M的周长为16，则椭圆C 的方程为（）A ．2211625x y +=B ．221259x y +=C ．221925x y +=D ．2212516x y +=2．定义：椭圆上一点与两焦点构成的三角形为椭圆的焦点三角形，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为12，则椭圆C 的方程是__________．技巧2 焦点三角形的面积【例2-1】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 为椭圆上一点，且12PF PF ⊥，若12PF F △的面积为9，则b =__________．【例2-2】已知1F 、2F 为双曲线22:13x C y -=的左、右焦点，点P 在C 上，1260F PF ︒∠=，则12PF F △的面积为【举一反三】1．已知1F 、2F 为双曲线C ：221x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，∠1F P 2F =060，则12·PF PF =（）A ．2B ．4C ．6D ．82若椭圆2213616x y +=上一点P 与椭圆的两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则12PF F 的面积为( )A ．36B ．16C ．20D ．243．设P 为双曲线2221x y a-=（0a >）的上一点，1223F PF π∠=，（12F F 、为左、右焦点），则12F PF ∆的面积等于（）A 2B ．23C ．3D ．3技巧3 焦点三角形的离心率【例3-1】设椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F ,P 是C 上的点,212PF F F ⊥,1230PF F ∠=,则C 的离心率为 ( )B.13C.12【例3-2】已知12,F F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点，若椭圆上存在点P ，使1290F PF ∠=，则椭圆的离心率e 的取值范围为（）A ．B ．C ．D ．【举一反三】1．已知点P 在以12,F F 为左，右焦点的椭圆()2222:102x y C b b b +=>上，在12PF F △中，若12PF F α∠=，21PF F β∠=，则()sin sin sin αβαβ+=+（）A ．12B ．2C D2．记1F ，2F 为椭圆22:1x C y m+=的两个焦点，若C 上存在点M 满足120MF MF ⋅=，则实数m 取值范围是( )A ．10,[2,)2⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦ B ．1,1[2,)2⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭ C ．10,(1,2]2⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦ D ．1,1(1,2]2⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭巩固练习1．已知F 1，F 2是椭圆216x ＋29y ＝1的两焦点，过点F 2的直线交椭圆于A ，B 两点．在△AF 1B 中，若有两边之和是10，则第三边的长度为 ( )A ．6B ．5C ．4D ．32．设椭圆C ：22221x y a b +=(a >0，b >0)的左､右焦点分别为1F ，2F P 是C 上一点，且1F P ⊥2F P .若12PF F △的面积为4，则a =（）A ．1B ．2C ．4D ．83．椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，椭圆上的点M 满足：1260F MF ∠=︒，且122MF MF ⋅=，则b =（）A ．1BC ．2. 4．已知对任意正实数m ，n ，p ，q ，有如下结论成立：若m p n q=，则有m p m pn q n q +==+成立，现已知椭圆22221x y a b+=上存在一点P ，1F ，2F 为其焦点，在12PF F △中，1215PF F ∠=︒，2175PF F ∠=︒，则椭圆的离心率为（）A ．12B ．2C ．3D ．25．已知椭圆22:14924x y C +=的左，右焦点分别为12,F F ，若C 上的点A 到2F 的距离为6，则△12AF F 的面积为（） A ．48B ．25C ．24D ．126．已知1F ，2F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，若椭圆上存在点P ，使得120PF PF ⋅=，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A ．B ．(0,]2C ．12⎡⎢⎣⎦D ．22⎣⎦7．设椭圆22221x y a b+=()0a b >>的两焦点为1F ，2F ，若椭圆上存在点P ，使12120F PF ∠=︒，则椭圆的离心率e 的最小值为（）A ．12B ．2C D 8．已知点F 1，F 2分别是椭圆C 1和双曲线C 2的公共焦点，e 1，e 2分别是C 1和C 2的离心率，点P 为C 1和C 2的一个公共点，且1223F PF π∠=，若(22e ∈，则e 1的取值范围是（）A ．⎝⎭B ．⎝⎭C ．⎝⎭D ．⎝⎭9．设12,F F 是双曲线22124y x -=的两个焦点,P 是双曲线上的一点,且1234PF PF =,则12PF F △的面积等于（）A ．．．24 D ．4810．设1F 、2F 分别为双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得123PF PF b +=，1294PF PF ab ⋅=，则该双曲线的离心率为（）A ．43B ．53C ．94D ．311．已知点P 是双曲线22184x y -=上一点，1F ，2F 分别为双曲线的左､右焦点，若12F PF △的外接圆半径为4，且12F PF ∠为锐角，则12PF PF ⋅=（） A ．15B ．16C ．18D ．2012．设1F ，2F 分别是双曲线2219y x -=的左右焦点.若点P 在双曲线上，且120PF PF ⋅=，则12PF PF +等于（）A ．BC ．D ．13．已知双曲线E ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M 在双曲线E 的右支上，若12,43F MF ππ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦，则12MF MF ⋅的取值范围是（）A ．22,2b ⎤⎦B ．222,1)b b ⎡⎤⎣⎦ C ．221),b b ⎡⎤⎣⎦ D ．221)b b ⎡⎤⎣⎦14．已知双曲线C 的焦点为1F ，2F ，点P 为双曲线上一点，若212PF PF =，1260PF F ∠=︒，则双曲线的离心率为（）A B ．2C D ．12+ 15．已知F 1，F 2是双曲线E ：22221x y a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，M F 1与x 轴垂直，sin 2113MF F ∠= ,则E 的离心率为（）A B ．32C ．2 16．已知1F ，2F 是双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，211sin 4MF F ∠=，则双曲线E 的离心率为( )A B ．53C ．2D ．317．已知椭圆22194x y +=的两个焦点是1F 、2F ，点M 是椭圆上一点，且122MF MF -=，则12F F M△的面积是______.18．设P 是椭圆221169x y +=上一点，12,F F 分别是椭圆的左、右焦点，若12||.||12PF PF =，则12F PF ∠的大小_____.19．已知12,F F 是椭圆222:13x y E a +=的左，右焦点，点M 在E 上，且1223F MF π∠=，则12F MF △的面积为______．。

圆锥曲线焦点三角形推导

椭圆焦点三角形1．椭圆焦点三角形定义及面积公式推导（1）定义：如图1，椭圆上一点与椭圆的两个焦点12,F F 构成的三角形12PF F 称之为椭圆焦点三角形．（2）面积公式推导解：在12PF F ∆中，设12F PF α∠=，11PF r =，22PF r =，由余弦定理得222121212cos 2PF PF F F PF PF α+-=⋅2221212(2)2r r c r r +-=⋅ ∴21212cos 2r r b r r α=- 即21221cos br r α=+，∴12212112sin sin 221cos PF F b S r r ααα∆==⨯⨯+2sin 1cos b αα=+=2tan 2b α．例1．焦点为12,F F 的椭圆2214924x y +=上有一点M ，若120MF MF ⋅=u u u u r u u u u r ，求12MF F ∆的面积．解：∵120MF MF ⋅=u u u u r u u u u r， ∴12MF MF ⊥， ∴ 12MF F S ∆=290tan24tan2422b α︒==．例2．在椭圆的22221(0)x y a b a b+=>>中，12,F F 是它的两个焦点，B 是短轴的一个端点，M 是椭圆上异于顶点的点，求证：1212F BF F MF ∠>∠．证明：如图2，设M 的纵坐标为0y ，∵2121021212121MF F F BF S y F F b F F S ∆∆=⋅>⋅=， ∴221212tan tan 22F BF F MF b b ∠∠>，即1212tan tan 22F BF F MF ∠∠>，又121211,22F BF F MF ∠∠都是锐角，故12121122F BF F MF ∠>∠ 图1F 1xyOPF 2 图2F 1 xy O M F 2B从而有1212F BF F MF ∠>∠．2．双曲线焦点三角形定义及面积公式推导．（1）定义：如图3，双曲线上一点P 与双曲线的两个焦点12,F F 构成的三角形12PF F 称之为双曲线焦点三角形．（2）面积公式推导：解：在12PF F ∆中，设12F PF α∠=，11PF r =，22PF r =，由余弦定理得222121212cos 2PF PF F F PF PF α+-=⋅2221212(2)2r r c r r +-=⋅ ∴21212cos 2r r r r b α=-即21221cos b r r α=-，∴12212112sin sin 221cos PF F b S r r ααα∆==⨯⨯-2sin 1cos b αα=-=2cot 2b α．例3、已知双曲线22169144x y -=，设12,F F 是双曲线得两个焦点．点P 在双曲线上，1232PF PF ⋅=，求12F PF ∠的大小．解：双曲线的标准方程为221916x y -=， ∴121212121211sin 32sin 16sin 22PF F S PF PF F PF F PF F PF ∆=⋅∠=⨯∠=∠，从而有1216sin F PF ∠1216cot 2F PF ∠==121216sin 1cos F PF F PF ∠-∠， ∴12cos 0F PF ∠=， ∴1290F PF ∠=︒．例4：椭圆22162x y +=与双曲线 2213x y -=的公共焦点为12,F F ，P 是两曲线的一个交点，求21cos PF F ∠的值．解：在椭圆和双曲线中异算12PF F ∆面积 ∵122tan 1cot 22PF F S αα∆==⨯，∴21tan 22α=，图3 F 1xyOPF 2∴2211tan 1122cos 131tan 122ααα--===++．开拓：从上例我们不难发现，若椭圆221122111(0)x y a b a b +=>>和双曲线222222221(0,0)x y a b a b -=>>有公共的焦点12,F F 和公共点P ，那么12PF F ∆的面积2121tan2F PF S b ∠=，又2122cot 2F PFS b ∠=，从而22212S b b =⋅，即12S b b =⋅．。

盘点圆锥曲线中的焦点三角形

盘点圆锥曲线中的焦点三角形
圆锥曲线是数学中一个重要的概念，包括双曲线、椭圆、抛物线和圆。

在圆锥曲线的研究中，三角形是一个重要的概念。

特别是，圆锥曲线中的焦点三角形是一个有趣的几何概念，在本文中我们将对焦点三角形做一个简要的盘点。

首先，我们来看一下焦点三角形的定义。

对于一个给定的圆锥曲线，我们可以找到该曲线的两个焦点。

对于曲线上任意一点P，我们可以通过连接P到这两个焦点，构成一个小三角形。

这个小三角形被称为焦点三角形。

对于不同的圆锥曲线，其焦点三角形的形状会发生变化，因此研究圆锥曲线的焦点三角形可以帮助我们更好地理解曲线的性质。

现在我们来逐个分析几种不同的圆锥曲线的焦点三角形。

1. 双曲线
双曲线是一种在数学中十分重要的曲线，广泛应用于物理学和工程学等领域。

对于一个双曲线，其焦点三角形的形态是以双曲线的中心为顶点的等边三角形。

这是因为在双曲线上每一点都满足焦点到该点距离差的绝对值等于常数，因此任意一条连接点到两个焦点的线段长度也是常数，因此三角形的三边长度都相等。

2. 椭圆
3. 抛物线
综上，我们可以看到，不同的圆锥曲线的焦点三角形有不同的形态。

通过研究和比较它们的几何性质，我们可以更好地理解和应用这些曲线。

盘点圆锥曲线中的焦点三角形

盘点圆锥曲线中的焦点三角形
圆锥曲线是高中数学中的重要内容，它由椭圆、双曲线和抛物线三部分组成。

在圆锥曲线的研究中，焦点三角形是一个重要的概念，它对于理解圆锥曲线的性质和特点有很大帮助。

在本文中，我们将对圆锥曲线中的焦点三角形进行盘点和讨论。

我们来回顾一下焦点的定义。

在圆锥曲线中，焦点是指在曲线上的一个点，对于抛物线来说是曲线的顶点，对于椭圆和双曲线来说是曲线的离心率确定的点。

焦点有一些特殊的性质，比如在抛物线中，光线经过焦点会被反射成平行于抛物线的轴；而在椭圆和双曲线中，焦点和离心率的关系是一个重要的数学定理。

接下来，我们来看看椭圆的焦点三角形。

椭圆是由一个平面内的一点P到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点的轨迹。

在椭圆中，焦点三角形可以由椭圆两个焦点和椭圆上一点P构成。

根据椭圆的性质，我们可以发现焦点三角形的周长等于2a，而且三条边的和等于椭圆的周长。

这是因为焦点到点P的距离和焦点到点P'的距离之和等于椭圆的周长，所以焦点三角形的周长等于2a。