数制及数制转换案例分析

数制及数制转换案例分析

1．几种常用的计数体制

日常生活中最常使用的是十进制数(如563)，但在数字系统中特别是计算机中，多采用二进制、十六进制，有时也采用八进制的计数方式。无论何种记数体制任何一个数都是由整数和小数两部分组成的。

1) 十进制数(Decimal)

(1) 当所表示的数据是十进制时，可以无须加标注意，即十进制数576可以表示为：

(576)10=576

(2) 特点如下。

①由10个不同的数码0、1、2、…、9和一个小数点组成。

②采用“逢十进一”的运算规则。

例如(213.71)10＝2×102＋1×101＋3×100＋7×10-1＋1×10-2

102、101、100、10-1、10-2 称为权或位权，10为其计数基数。

在实际的数字电路中采用十进制十分不便，因为十进制有十个数码，要想严格的区分开必须有十个不同的电路状态与之相对应，这在技术上实现起来比较困难。因此在实际的数字电路中一般是不直接采用十进制的。

2) 二进制数(Binary)

(1) 表示：(101.01)2

(2) 特点如下。

①由两个不同的数码0、1 和一个小数点组成。

②采用“逢二进一、借一当二”的运算规则。

3) 八进制(Octal)

(1) 表示：(106.4)8

(2) 特点如下。

①由8 个不同的数码0、1、2、3、4、5、6、7和一个小数点组成。

②采用“逢八进一、借一当八”的运算规则。

4) 十六进制(Hexadecimal)

(1) 表示：(2A5)6

(2) 特点如下。

①由16 个不同的数码0、1、2、…、9、A、B、C、D、E、F 和一个小数点组成，其中A～F 分别代表十进制数10～15。

②采用“逢十六进一、借一当十六”的运算规则。

2．数制转换

十进制数符合人们的计数习惯且表示数字的位数也较少；二进制适合计算机和数字系统

表示和处理信号；八进制、十六进制表示较简单且容易与二进制转换。因此在实际工作中，经常会遇到各种计数体制之间的转换问题。

1) 各进制转换为十进制

法则：各位乘权求和

(1) 二进制转换为十进制。

二进制转换为十进制时只要写出二进制的按权展开式，然后将各项数值按十进制相加，就可得到等值的十进制数。

例：将二进制数(1011.01)2转换为十进制数。

(101.01)2＝1×22＋0×21＋1×20＋0×2-1＋1×2-2 ＝(5.25)10其中22、21、20、2-1、2-2为权，2 为其计数基数。

尽管一个数用二进制表示要比用十进制表示位数多得多，但因二进制数只有0、1两个数码，适合数字电路状态的表示，例如用二极管的开和关表示0 和1、用晶体管的截止和饱和表示0和1，电路实现起来比较容易。

(2) 八进制转换为十进制。

八进制转换为十进制时只要写出八进制的按权展开式，然后将各项数值按十进制相加，就可得到等值的十进制数。

例：(106.4)8＝1×82＋0×81＋7×80＋4×8-1 ＝(71.5)10

其中82、81、80、8-1为权，每位的权是8的幂次方，8为其计数基数。

八进制较之二进制表示简单，且容易与二进制进行转换。

(3) 十六进制转换为十进制。

十六进制转换为十进制时只要写出二进制的按权展开式，然后将各项数值按十进制相加，就可得到等值的十进制数。

例：(BA3.C)16＝B×162＋A×161＋3×160＋C×16-1

＝11×162＋10×161＋3×160＋12×16-1

＝(2979.75)10

其中162、161、160、16-1为权，每位的权是16的幂次方，16为其计数基数。十六进制较之二进制表示简单，且容易与二进制进行转换。

2) 十进制转换为各进制

法则：整数部分：除基逆续取余。

小数部分：乘基顺序取整。

以十进制转换为二进制为例，其他各进制转换方式相同。

十进制转换为二进制分为整数部分转换和小数部分转换，转换后再合并。

以十进制数(35.325)10转换成二进制数为例。

(1) 小数部分转换——乘2取整法。

基本思想：将小数部分不断的乘2取整数，直到达到一定的精确度。

将十进制的小数0.325 转换为二进制的小数可表示如下。

0.325×2＝0.65

0.65×2＝1.30

0.3×2＝0.6

0.6×2＝1.2

可见小数部分乘2取整的过程不一定使最后的乘积为0，这时可以按一定的精度要求求近似值。本题中精确到小数点后4位，则(0.325)10＝(0.0101)2

(2) 整数部分转换——除取余法。

基本思想：将整数部分不断的除2取余数，直到商为0。

将十进制整数35转换为二进制整数可表示如下。

则：(35)10＝(100011)2

最后结果为：(35.325)10＝(100011.0101)2

3) 二进制与八进制、十六进制之间的转换

(1) 二进制与八进制互换。

二进制转换成八进制数的方法是从小数点开始，分别向左、向右将二进制数按每3位一组分组(不足3位的补0)，然后写出每一组等值的八进制数。

例10.4将(11001.110101)2转换为八进制数。

即：(011，001，110，101)2＝(31.65)8

(2) 二进制与十六进制互换。

二进制转换成十六进制数的方法是从小数点开始，分别向左、向右将二进制数按每4位一组分组(不足4位的补0)，然后写出每一组等值的十六进制数。

例10.5将(11001.110101)2转换为十六进制数。

即：(0001，1001，1101，0100)2＝(19.D4)16

八进制与十六进制之间的转换可以通过二进制作中介。