椭圆的几何性质及综合问题汇总

椭圆的几何性质

一、概念及性质

1.椭圆的“范围、对称性、顶点、轴长、焦距、离心率及范围、a ,b ,c 的关系”；

2.椭圆的通经：

3.椭圆的焦点三角形的概念及面积公式：

4.椭圆的焦半径的概念及公式：主要用来求离心率的取值范围，对于此问题也可以用下列性质求解：c a PF c a +≤≤-1.

5.直线与椭圆的位置关系：

6.椭圆的中点弦问题：

【注】：椭圆的几何性质是高考的热点，高考中多以小题出现，试题难度一般较大，高考对椭圆几何性质的考查主要有以下三个命题角度：

(1)根据椭圆的性质求参数的值或范围； (2)由性质写椭圆的标准方程； (3)求离心率的值或范围．

题型一：根据椭圆的性质求标准方程、参数的值或范围、离心率的值或范围.

【典例1】求适合下列条件的椭圆的标准方程：

（1）经过点)2,0(),0,3(--Q P ；（2）长轴长等于20，离心率等于

5

3

. 【典例2】求椭圆40025162

2

=+y x 的长轴和短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标.

【典例3】已知A ，P ，Q 为椭圆C ：)0(122

22>>=+b a b y a x 上三点，若直线PQ 过原点，

且直线AP ，AQ 的斜率之积为2

1

-，则椭圆C 的离心率为（ ）

A.22

B.21

C.42

D.4

1

【练习】(1)已知椭圆x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)的一个焦点是圆x 2＋y 2－6x ＋8＝0的圆心，且短轴长

为8，则椭圆的左顶点为( )

A ．(－3，0)

B ．(－4，0)

C ．(－10，0)

D ．(－5，0)

（2）椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离心率为4

5

，则k 的值为( )

A ．－21

B ．21

C ．－1925或21

D ．19

25

或21

(3)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ，

B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆

C 的离心率等于________．

【典例4】已知F 1，F 2为椭圆x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点，P 为椭圆上任意一点，且

215PF PF =，则该椭圆的离心率的取值范围是

练习：如图，把椭圆

116

252

2=+y x 的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分与P 1,P 2,…,P 7七个点，F 是椭圆的一个焦点，则721PF PF PF +++Λ=

【典例5】若 “过椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点F 1，F 2的两条互相垂直的直线l 1，

l 2的交点在椭圆的内部”，求离心率的取值范围．

【典例6】已知椭圆C ：x 29＋y 2

4

＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点

分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝________．

【方法归纳】：

1.在利用椭圆的性质求解椭圆的标准方程时，总体原则是“先定位，再定量”.

2.求解与椭圆几何性质有关的问题时，其原则是“数形结合，定义优先，几何性质简化”，一定要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系，充分利用平面几何的性质及有关重要结论来探寻参数a ,b ,c 之间的关系，以减少运算量．

3.在求解有关圆锥曲线焦点问题时，结合图形，注意动点到两焦点距离的转化．

4. 求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a ，b ，c 的等式(或不等

式)，利用a 2＝b 2＋c 2

消去b ，即可求得离心率或离心率的范围；有时也可利用正弦、余弦的有界性求解离心率的范围．

5.在探寻a ,b ,c 的关系时，若能充分考虑平面几何的性质，则可使问题简化，如典例5. 【本节练习】

1．已知椭圆的长轴长是8，离心率是3

4

，则此椭圆的标准方程是( )

A ．x 216＋y 27＝1

B ．x 216＋y 27＝1或x 27＋y 216＝1

C ．x 216＋y 225＝1

D ．x 216＋y 225＝1或x 225＋y 2

16＝1

2.设e 是椭圆x 24＋y 2k ＝1的离心率，且e ∈(1

2

，1)，则实数k 的取值范围是( )

A ．(0，3)

B ．(3，163)

C ．(0，3)∪(16

3

，＋∞) D ．(0，2)

3.已知椭圆短轴上的两个顶点分别为B 1，B 2，焦点为F 1，F 2，若四边形B 1F 1B 2F 2是正方形，则这个椭圆的离心率e 等于( )

A ．22

B ．12

C ．32

D ．33

4.如图，焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2b 2＝1的离心率e ＝1

2

，F ，A 分别是

椭圆的一个焦点和顶点，P 是椭圆上任意一点，则PF →·P A →

的最大值为________．