全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案

全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案

（高一年级）

说明：

1．评阅试卷时，请依据本评分标准．填空题只设8分和0分两档；第9小题4分一档，第10、11小题5分为一个档次。请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次．

2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤准确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分．

一、填空题（本题满分64分，每小题8分。直接将答案写在横线上。）

1．设集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∈=

=)34,3(,21|sin |ππx x x E ，则E 的真子集的个数为 ． 2．已知函数4

6)(2++=x b x x f 的最大值为49，则实数=b ． 3．若1|lg |<ϕ，则使函数)cos()sin()(ϕϕ-+-=x x x f 为奇函数的ϕ的个数为 ．

4．在△ABC 中，已知B ∠的平分线交AC 于K ．若BC =2，CK =1，2

23=

BK ，则△ABC 的面积为 ． 5．数列}{n a 满足：3,121==a a ，且)(||*12N n a a a n n n ∈-=++．记}{n a 的前n 项和为n S ，则

=100S ．

6．已知=，=，过O 作直线AB 的垂线，垂足为P ．若3||,3||==b a ，6π

=∠AOB ，

b y a x OP +=，则=-y x ．

7．已知实数z y x ,,满足32=xyz ，4=++z y x ，则||||||z y x ++的最小值为 ．

8．将总和为200的10个数放置在给定的一个圆周上，且任意三个相邻的数之和不小于58．所有满足上述要求的10个数中最大数的最大值为 ．

二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）

9．已知二次函数c bx ax x f ++=2)(的图象经过点)0,2(-，且不等式221)(22+≤

≤x x f x 对一切实数x 都成立．

（1）求函数)(x f 的解析式；

（2）若对一切]1,1[-∈x ，不等式)2

()(x f t x f <+恒成立，求实数t 的取值范围．

10．已知数列}{n a 中，41,121==a a ，且),4,3,2()1(1 =--=+n a n a n a n n n ．

（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）求证：对一切*N n ∈，有

6

712<∑=n

k k a ．

11．设3131162

34++++=x x x x P ，求使P 为完全平方数的整数x 的值．

全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案

（高一年级）

1． 15 ． 2． 5 ．3． 3 ．4．167

15．

5． 89 ．6． -2 ．7． 12 ．8． 26 ．

9． 解：（1）由题设知，024=+-c b a ． ① 令22

122+=x x ，解得2=x ，由题意可得222

1)2(222+⨯≤≤⨯f ，即4)2(4≤≤f ，所以4)2(=f ，即424=++c b a ． ② 由①、②可得1,42=-=b a c ． ……………………4分

又x x f 2)(≥恒成立，即0)2(2≥+-+c x b ax 恒成立，所以0>a ，且04)2(2

≤--=∆ac b ，即0)42(4)21(2≤---a a ，所以4

1=

a ，从而142=-=a c ． 所以函数)(x f 的解析式为 141)(2++=x x x f ．…8分 （2）由)2()(x f t x f <+得12

2411)()(4122++⎪⎭⎫ ⎝⎛<++++x x t x t x ，故 0)382)(2(<+++t x t x ． 当3822+-<-t t 即2>t 时，3

822+-<<-t x t ，此不等式对一切]1,1[-∈x 都成立的充要条件是⎪⎩

⎪⎨⎧>+--<-138212t t ，此不等式组无解．当3822+-=-t t 即2=t 时，0)2(2<+t x ，矛盾． …12分 当3822+->-t t 即2

82-<<+-，此不等式对一切]1,1[-∈x 都成立的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧>--<+-1

21382t t ，解得2125-<<-t ．综合可知，实数t 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛--21,25． 16分 10．解： （1）由已知，对2≥n 有 1

1)1()1(1

1---=--=+n a n n a n a n a n n n n ， 两边同除以n ，得 )1(1)1(111---=+n n a n na n n ，即)111()1(111n

n a n na n n ---=--+， 5分 于是，)111(111)1(11121

21---=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∑∑-=-=+n k k a k ka n k n k k k ， 即 2),111(1)1(12≥---=--n n a a n n ，所以 1

23)111(1)1(12--=---=-n n n a a n n ， 2,231≥-=n n a n ．又1=n 时也成立，故*,2

31N n n a n ∈-=． ……………………10分

（2）当2≥k ，有)131431(31)13)(43(1)23(122---=--<-=

k k k k k a k ,……15分 所以2≥n 时，有⎥⎦⎤⎢⎣⎡---++-+-+<+=∑∑==)131431()8151()5121(31112212n n a a n

k k n k k

.6761113121311=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=n 又1=n 时，.6

7121<=a 故对一切*N n ∈，有

6712<∑=n k k a ． ……………………20分

11．设3131162

34++++=x x x x P ，求使P 为完全平方数的整数x 的值．

解： )10(3)13(22--++=x x x P ．所以，当10=x 时，2131=P 是完全平方数． ……5分 下证没有其它整数x 满足要求．

（1） 当10>x 时，有22)13(++

22>++=+-x x x x P ，

∴22)3(x x P +>，∴2222)13()3(++<<+x x P x x ．Z x ∈，所以此时P 不是完全平方数．…10分

（2）当10x x P ．令Z y y P ∈=,2，

则|13|||2++>x x y ，即|13|1||2++≥-x x y ，所以 222)13(1||2++≥+-x x y y ， 即01|13|2)10(32≥+++---x x x ．解此不等式，得x 的整数值为6,5,4,3,0,1,2----±±，但它们对应的P 均不是完全平方数．

综上所述，使P 为完全平方数的整数x 的值为10. ……………………20分