双曲线知识点归纳总结

第二章 2.3 双曲线

① 当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，则表示点M 在双曲线右支上； 当a MF MF 212=-时，则表示点M 在双曲线左支上；

② 注意定义中的“（小于12F F ）”这一限制条件，其根据是“三角形两边之和之差小于第三边”。

若2a =2c 时，即2

12

1F F MF MF =-,当2121F F MF MF =-，动点轨迹是以2F 为端点向

右延伸的一条射线；当2

112

F F MF MF =-时，动点轨迹是以1F 为端点向左延伸的一

条射线；

若2a ＞2c 时，动点轨迹不存在. 2. 双曲线的标准方程判别方法是：

如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；

如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上.

对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上. 3. 双曲线的内外部

(1)点00(,)P x y 在双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的内部2200221x y a b ⇔->.

(2)点00(,)P x y 在双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的外部2200221x y a b ⇔-<.

4. 形如)0(12

2 AB By Ax =+的方程可化为11122=+

B

y A x 当01

,01 B A ，双曲线的焦点在y 轴上； 当01

,01 B A ，双曲线的焦点在x 轴上；

5.求双曲线的标准方程，

应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.

6. 离心率与渐近线之间的关系

22

2

22222

1a

b a b a a

c e +=+== 1）2

1⎪⎭

⎫

⎝⎛+=a b e 2） 12-=e a b

7. 双曲线的方程与渐近线方程的关系

(1）若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x a

b

y ±=.

(2)若渐近线方程为x a

b

y ±=⇔0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222b y a x .

(3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-22

22b

y a x （0>λ，焦点在x

轴上，0<λ，焦点在y 轴上）.

(4)与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-22

22b

y a x 0(≠λ

(5)与双曲线12222=-b

y a x 共焦点的双曲线系方程是122

2

2=--+k b y k a x (6)当⇔=时b a 离心率2=e ⇔两渐近线互相垂直，分别为y=x ±，此时双曲

线为等轴双曲线，可设为λ=-22y x ； 8. 双曲线的切线方程

(1)双曲线22

221(0,0)x y a b a b -=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b -=.

（2）过双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程

是00221x x y y

a b

-=. （3）双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>与直0Ax By C ++=相切的条件是22222A a B b c -=.

9. 直线与双曲线的位置关系

直线l ：)0(≠+=m m kx y 双曲线C ：122

22=-b

y a x （a ＞0，b ＞0）

⎪⎩⎪⎨⎧=-+=1

2222

b y

a

x m

kx y ⇒ 02)(222222222=----b a m a mkx a x k a b 1) 当02

22=-k a b ，即a

b

k ±

=时，直线l 与双曲线的渐进线_平行_，直线与双曲线C 相交于一点；

2) 当b 2-a 2k 2≠0，即a

b k ±≠时，△=(-2a 2mk)2-4(b 2-a 2k 2)(-a 2k 2)(-a 2m 2-a 2b 2)

① 0 ∆时，直线l 与双曲线相交，有两个公共点 ② 0=∆时，直线l 与双曲线相切，有且仅有一个公共点 ③ 0 ∆时，直线l 与双曲线相离，无公共点

3) 直线与双曲线只有一个公共点,则直线与双曲线必相切吗?为什么?（不一定）

10. 关于直线与双曲线的位置关系问题常用处理方法

直线l ：)0(≠+=m m kx y 双曲线C ：122

22=-b

y a x （a ＞0，b ＞0）

① 联立方程法：

⎪⎩⎪⎨⎧=-+=1

2222

b y

a

x m

kx y ⇒ 02)(222222222=----b a m a mkx a x k a b 设交点坐标为),(11y x A ,),(22y x B ，则有0 ∆,以及2121,x x x x +，还可进一步求出

m

x x k m kx m kx y y 2)(212121++=+++=+，

2212122121)())((m x x km x x k m kx m kx y y +++=++=

在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如 a. 相交弦AB 的弦长

2122122124)(11x x x x k x x k AB -++=-+=a

k ∆

+=2

1 或 2122122124)(1111y y y y k y y k AB -++=-+

=a

k ∆+=2

1 b. 中点),(00y x M , 2210x x x +=

， 2

2

10y y y += ② 点差法：

设交点坐标为),(11y x A ，),(22y x B ，代入双曲线方程，得

122

122

1=-b y a x 122

2

22

2=-b

y a x 将两式相减，可得

2

212122121)

)(())((b

y y y y a x x x x -+=-+ )()

(2122122121y y a x x b x x y y ++=

-- a. 在涉及斜率问题时，)

()

(212

212y y a x x b k AB

++=