最优控制极小值原理

④在最优轨线末端哈密顿函数应满足
H
[
x*
(t
* f
),
(t*f
),
u*
(t*f
),
t
* f
]
[
x*
(t
* f
t f
),
t*f
]
⑤沿最优轨线哈密顿函数变化率
H[x*(t),(t),u*(t),t] H[x*(t f ),(t f ),u*(t f ),t f ]
tf t
H(x,,u, )d
定理3－2与定理3－1的区别：P61
第三章 极小值原理及其应用 3.1 连续系统的极小值原理
例 3.2 重解例 3.1
哈密顿函数 H x(t) (t)(x(t) u(t)) (1 )x(t) u(t)
伴随方程 (t) H (t) 1 (1) 0
，，
x
由极值必要条件，知
u
sign
1
1
0 0
又
(t) 1 et1 0 0 t 1
t cet 1
由边界条件 1 ce1 1 0 c e t e1t 1
第3章 极小值原理及其应用 3.1 连续系统的极小值原理
控制的切换点处 ts 1 0
控制的切换时间： ts 0.307
ts e1ts 1 1
u*
t
1 0.5
0 t 0.307 0.307 t 1
代入状态方程得
xt
xt1 xt 0.5
0 t 0.307 0.307 t 1
xt
根据边界条件继续求出：
c2ce1et t01.5
0 t 0.307 0.307 t 1
x*
(t)
4et 4.37et
1 0.5
0 t 0.307 0.307 t 1
第3章 极小值原理及其应用
3.1 连续系统的极小值原理
g
H
x(t)
g
(t)
H
x
式中哈密顿函数 H (x, u, λ) L(x, u) λT (t)f (x, u)
② x(t) 及 (t) 满足边界条件
x(t0 ) x0
(t f ) 0
第3章 极小值原理及其应用 3.1 连续系统的极小值原理
③哈密顿函数相对最优控制为极小值
H[x*(t), (t),u*(t)] min H[x*(t), (t),u(t)] u(t )
1、时变问题
定义：描述最优控制问题的相关函数显含时间，称为时变问题。
解决办法：引入新状态变量，将时变问题转为定常问题，利用定理3-1。
定理3-2：
min
u(t )
J
(u)
[x(t
f
), t
f
]
s.t.
g
x(t) f (x,u,t),
x(t0 ) x0
t [t0 ,t f ],t f 未知
① x(t) 及 (t) 满足下述正则方程:
第三章 极小值原理及应用
3.1 连续系统的极小值原理 3.2 离散系统的极小值原理 3.3 时间最优控制 3.4 燃料最优控制 3.5 时间-燃料最优控制 小结
第三章 极小值原理及其应用 3.1 连续系统的极小值原理
一.问题的提出
用变分法求解最优控制时，认
为控制向量 u(t)不受限制。但是
实际的系统，控制信号都是受到
t
u*
1.72
1
1
0.5
0 0.307 1
t
0 0.307
1
t
x*t 12.3
6.44
5
t
0 0.307 1
第3章 极小值原理及其应用
3.1 连续系统的极小值原理
最优性能指标为：
1
J * x*t u*tdt
0
0.307
1
(4et 2)dt (4.37et 1)dt 8.68
式中哈密顿函数 H (x,u,) T (t) f (x,u)
② x(t) 及 (t) 满足边界条件
x(t0 ) x0
(t f
)
x(t f
)
③哈密顿函数相对最优控制为极小值
H (x*,u*,) min H (x*,u, ) u (t )
④哈密顿函数沿最优轨迹线保持为常数
当 t f 固定时
H(x*(t),u*(t),(t)) H(x*(t f ),u*(t f ),(t f )) const
g
H
x(t)
g
(t)
H
x
式中哈密顿函数 H (x, ,u,t) T (t) f (x,u,t)
第3章 极小值原理及其应用 3.1 连续系统的极小值原理
② x(t) 及 (t) 满足边界条件 x(t0 ) x0
(t f
③哈密顿函数相对最优控制为极小值
)
x(t f
)
H[x*(t),(t),u*(t),t] min H[x*(t),(t),u(t),t] u(t )
M
ann (t)
b1(t)
B(t)
M
bn (t)
最小值原理也是使泛函取最小值得充分条件。
第3章 极小值原理及其应用 3.1 连续系统的极小值原理
上述极小值原理与变分法主要区别在于条件③。
当控制无约束时，相应条件为 H / u 0；
当控制有约束时，H / u 0 不再成立，而代之为 H (x*(t),u*(t),(t)) H (x*(t),u(t), (t))
u (t )
极小值原理的重要意义：（P51) （1）容许控制条件放宽了。 （2）最优控制使哈密顿函数取全局极小值。 （3）极小值原理不要求哈密顿函数对控制的可微性。 （4）极小值原理给出了最优控制的必要而非充分条件。
第3章 极小值原理及其应用 3.1 连续系统的极小值原理
说明： 1）极小值原理给出的只是最优控制应该满足的必要条件。 2）极小值原理与用变分法求解最优问题相比，差别仅在于极 值条件。 3）非线性时变系统也有极小值原理。
min
u (t )
J
(u)
[
x(t
f
)]
g
s.t. x(t) f (x,u),
x(t0 ) x0, t [t0 , t f ]
对于最优解和最优末端时刻、最优轨线，存在非零的n维向量函数 (t)使
① x(t) 及 (t)
满足下述正则方程:
g
x(t )
H
g
(t
)
H
x
第3章 极小值原理及其应用 3.1 连续系统的极小值原理
某种限制的。u(t) U Rr
因此，应用控制方程 H 0 u
来确定最优控制，可能出错。
a)图中所示，H 最小值出现在左侧， 不满足控制方程。 b)图中不存在 H 0
u
第三章 极小值原理及其应用 3.1 连续系统的极小值原理
古典变分法的局限性
u(t)受限的例子
例 3.1 x(t) x(t) u(t)
于是有
u (t) 1
第3章 极小值原理及其应用 3.1 连续系统的极小值原理
u (t)
协
态
x(t) x(t) 1
变 量
，
x(0) 1
与
控
制
变
x (t) 2et 1
量 的
关
系
J 1 xdt 2e1 1 0
图
第3章 极小值原理及其应用 3.1 连续系统的极小值原理
二、极小值原理的一些推广形式
END 谢谢
0
0.307
例3-3：
做法与前面得一样，引入两个拉格朗日乘子向量，构造广义泛函 ，在满足末端约束条件下，泛函取得极值是等价的。
3、末端受约束的情况
定理3-4:（定常系统)(P68)
定理3-5:（时变系统)(P69)
4、复合型性能指标情况
定理3-6：
表3-1,3-2（P73-74）
第3章 极小值原理及其应用 3.1 连续系统的极小值原理
当 t f自由时
H (x*(tt*f ),u*(tt*f ), (tt*f )) 0
第三章 极小值原理及其应用 3.1 连续系统的极小值原理
最小值原理只是最优控制所满足的必要条件。 但对于线性系统
x&(t) A(t)x(t) B(t)u(t)
，
a11(t) L
A(t)
M
O
an1(t) L
a1n (t)
④哈密顿函数沿最优轨迹线保持为常数
当 t f 固定时 H(x*(t),u*(t),(t)) H(x*(t f ),u*(t f ),(t f )) const
当 t f 自由时
H (x*(tt*f ),u*(tt*f ), (tt*f )) 0
第3章 极小值原理及其应用 3.1 连续系统的极小值原理
x(0) 1
u(t) 1
1
J 0 x(t)dt
H x(t) (t)(x(t) u(t))
协态方程 极值必要条件
(t) H (t) 1
x
H (t) 0
u
(1) 0
第3章 极小值原理及其应用
3.1 连续系统的极小值原理
二.自由末端的极小值原理
定理3-1：对应如下定常系统、末值型性能指标、末端自由、控制受约束 的最优控制问题
例3-2：x&t xt ut x 0 5
0.5 ut 1
试求：J
1
0
x
t
来自百度文库
u
t
时d的t
，J min
x* u*
解：定常系统、积分型t f固定，末端自由， 受u 约束。
取哈密顿函数
H x u x u x1 1 u
u*
t
1 0.5
1
1
注：控制的切换点为λ(ts)=1
由协态方程 t H 1 x
第3章 极小值原理及其应用 3.1 连续系统的极小值原理
2、积分型性能指标问题
定理3-3：
min J (u) tf L[x(t),u(t)]dt
u (t )
t0
s.t.
g
x(t) f (x,u,t),
x(t0 ) x0
t [t0 ,t f ],t f 未知
① x(t) 及 (t) 满足下述正则方程: