麦克斯韦方程组

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麦克斯韦方程

麦克斯韦方程组是英国物理学家詹姆斯·麦克斯韦在19世纪建立的一套偏微分方程。

它们描述了电场、磁场、电荷密度和电流密度之间的关系。

它包含四个方程:电荷如何产生电场的高斯定理;不存在的磁单极子的高斯定律;电流与变化的电场如何产生磁场的麦克斯韦安培定律以及变化的磁场如何产生电场的法拉第电磁感应定律。

从麦克斯韦方程中，我们可以推断出光波是电磁波。

麦克斯韦方程和洛伦兹力方程构成了经典电磁学的完整组合。

1865年，麦克斯韦建立了由20个方程和20个变量组成的原始方程
麦克斯韦方程组是英国物理学家詹姆斯·麦克斯韦在19世纪建立的一套偏微分方程。

它们描述了电场、磁场、电荷密度和电流密度之间的关系。

详细介绍
麦克斯韦方程是英国物理学家麦克斯韦在19世纪建立的描述电场和磁场的四个基本方程。

麦克斯韦方程
麦克斯韦方程
微分形式的方程通常称为麦克斯韦方程。

在麦克斯韦方程组中，电场和磁场是一个整体。

方程组系统而完整地推广了电磁场的基本规律，预测了电磁波的存在。

核心理念
麦克斯韦的旋涡电场和位移电流假说的核心思想是:变化的磁场激发旋涡电场，变化的电场激发旋涡磁场;电场和磁场不是彼此孤立的，而是相互联系，相互激发，形成统一的电磁场(这也是电磁波的形成原理)。

麦克斯韦进一步整合了电场和磁场的所有定律，建立了完整的电磁场理论体系。

电磁理论体系的核心是麦克斯韦方程组。

积分形式麦克斯韦方程组

积分形式麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组是描述电磁场的基本定律，由麦克斯韦（JamesClerk Maxwell）在19世纪提出的。

通常情况下，麦克斯韦方程组由四个方程组成，可以通过积分形式来表示。

第一个是麦克斯韦-高斯定理，它描述了电场与电荷分布之间的关系。

积分形式如下：∮E·dA=Q/ε₀其中，∮E·dA表示电场矢量E在闭合曲面上的面积分，Q表示曲面内包围的总电荷量，ε₀是真空电介质常数。

第二个方程是麦克斯韦定理，也称作法拉第电磁感应定律。

它描述了变化的磁场与电场之间的关系。

积分形式如下：∮B·ds = -d(∮E·dA)/dt其中，∮B·ds表示磁场强度B在闭合曲线上的线积分，∮E·dA表示电场E在曲面上的面积分，dt表示时间的变化。

第三个方程是安培定理，它描述了电流与磁场之间的关系。

积分形式如下：∮B·ds = μ₀(I + ε₀(d(∮E·dA)/dt))其中，∮B·ds表示磁场强度B在闭合曲线上的线积分，I表示穿过曲面的总电流，∮E·dA表示电场E在曲面上的面积分，μ₀是真空磁导率。

最后一个方程是连续性方程，它描述了电荷的守恒。

积分形式如下：∮J·dA = -dQ/dt其中，∮J·dA表示电流密度J在曲面上的面积分，dQ/dt表示电荷的变化率。

这四个方程组合起来形成了麦克斯韦方程组的积分形式。

这一组方程描述了电场与磁场之间的相互作用，以及电荷与电流的传播。

麦克斯韦方程组在电磁学的理论和实践中起到了重要的作用，它们是理解电磁现象和解决电磁问题的基础。

通过积分形式，我们可以对电磁场的特性和行为进行定量的分析和描述。

世界第一公式：麦克斯韦方程组

世界第一公式：麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组，是英国物理学家詹姆斯·麦克斯韦在19世纪建立的一组描述电场、磁场与电荷密度、电流密度之间关系的偏微分方程。

从麦克斯韦方程组，可以推论出光波是电磁波。

麦克斯韦方程组和洛伦兹力方程是经典电磁学的基础方程。

从这些基础方程的相关理论，发展出现代的电力科技与电子科技。

麦克斯韦1865年提出的最初形式的方程组由20个等式和20个变量组成。

他在1873年尝试用四元数来表达，但未成功。

现在所使用的数学形式是奥利弗·赫维赛德和约西亚·吉布斯于1884年以矢量分析的形式重新表达的。

在英国科学期刊《物理世界》发起的“最伟大公式”中，麦克斯韦方程组力压勾股定理，质能转换公式，名列第一。

这里，不细谈任何具体的推导和数学关系，纯粹挥挥手扯扯淡地说一说电磁学里的概念和思想。

1力、能、场、势经典物理研究的一个重要对象就是力force。

比如牛顿力学的核心就是F=ma这个公式，剩下的什么平抛圆周简谐运动都可以用这货加上微积分推出来。

但是力有一点不好，它是个向量vector（既有大小又有方向），所以即便是简单的受力分析，想解出运动方程却难得要死。

很多时候，从能量的角度出发反而问题会变得简单很多。

能量energy说到底就是力在空间上的积分（能量=功=力×距离），所以和力是有紧密联系的，而且能量是个标量scalar，加减乘除十分方便。

分析力学中的拉格朗日力学和哈密顿力学就绕开了力，从能量出发，算运动方程比牛顿力学要简便得多。

在电磁学里，我们通过力定义出了场field的概念。

我们注意到洛仑兹力总有着F=q(E+v×B)的形式，具体不谈，单看这个公式就会发现力和电荷（或电荷×速度）程正比。

那么我们便可以刨去电荷（或电荷×速度）的部分，仅仅看剩下的这个“系数”有着怎样的动力学性质。

也就是说，场是某种遍布在空间中的东西，当电荷置于场中时便会受力。

02-麦克斯韦方程组PDF

麦克斯韦方程组及分界面衔接条件谭阳红教授电磁感应定律：麦克斯韦第二方程，表明电荷和变化的磁场都能产生电场全电流定律：麦克斯韦第一方程，表明传导电流和变化的电场都能产生磁场=+t ∂∇⨯∂D H J =(+)l S d d t∂⋅⋅∂⎰⎰D H l J S =l S d d t ∂⋅−⋅∂⎰⎰B E l S =t∂∇⨯−∂B E 1 麦克斯韦方程组磁通连续性原理：磁场是无源场, 磁力线总是闭合的高斯定律：电荷以发散的方式产生电场(变化的磁场以涡旋的形式产生电场)=0∇⋅B =ρ∇⋅D 0S d ⋅=⎰B S S d q⋅=⎰D S时变电磁场是有散、有旋场时变电磁场的电场与磁场是不可分割的两者之间互为因果的关联性构成方程静态场和恒定场是时变场的两种特殊形式第一、二方程是独立方程，后两个方程可从中推得=0∇⋅B =ρ∇⋅D =+t∂∇⨯∂D H J =t∂∇⨯−∂B E时变场的衔接条件的推导与前类同，归纳如下：电场折射定律磁场21nn D D σ−=21t t E E =12nn B B =21t t H H K −=1122tan tan αεαε=1122tan tan βμβμ=无源区 2 分界面上的衔接条件例理想导体与理想介质分界面上的衔接条件。

解：理想导体中J 为有限值1)理想导体内部无电场,∞→γγ1→∞γ2→0理想导体理想介质3 应用实例2)理想导体内部无磁场电磁波的全反射设C ≠0,B 从0到C 的建立过程中，有与E =0矛盾==0B C γ1→∞γ2→0理想导体理想介质分界面介质侧的衔接条件为4)导体表面有感应的面电荷和面电流5)电力线垂直于导体表面=0B 3)电磁波的全反射γ1→∞γ2→0B =0B 21=0n n B B =21t t H H k −=21n n D D σ−=21=0t t E E =磁力线平行于导体表面谢谢！。

麦克斯韦方程组

麦克斯韦方程组维基百科，自由的百科全书麦克斯韦方程组（Maxwell's equations）是英国物理学家詹姆斯·麦克斯韦在19世纪建立的一组偏微分方程，描述电场、磁场与电荷密度、电流密度之间的关系。

它含有的四个方程分别为：电荷是如何产生电场的高斯定理；论述了磁单极子的不存在的高斯磁定律；电流和变化的电场是怎样产生磁场的麦克斯韦-安培定律，以及变化的磁场是如何产生电场的法拉第电磁感应定律。

从麦克斯韦方程组，可以推论出光波是电磁波。

麦克斯韦方程组和洛伦兹力方程共同形成了经典电磁学的完整组合。

1865年，麦克斯韦建立了最初形式的方程，由20个等式和20个变量组成。

他在1873年尝试用四元数来表达，但未成功。

当代使用的数学表达式是由奥利弗·赫维赛德和约西亚·吉布斯于1884年使用矢量分析的形式重新表达的。

概论麦克斯韦方程组乃是由四个方程共同组成的。

它们分别为▪高斯定律描述电场是怎样由电荷生成的。

更详细地说，通过任意闭合表面的电通量与这闭合表面内的电荷之间的关系。

▪高斯磁定律表明，通过任意闭合表面的磁通量等于零，或者，磁场是一个螺线矢量场。

换句话说，类比于电荷的磁荷，又称为磁单极子，实际并不存在于宇宙。

▪法拉第电磁感应定律描述含时磁场怎样生成电场。

许多发电机的运作原理是法拉第电磁感应定律里的电磁感应效应：机械地旋转一块条形磁铁来生成一个含时磁场，紧接着生成一个电场于附近的导线。

▪麦克斯韦-安培定律阐明，磁场可以用两种方法生成：一种是靠电流（原本的安培定律），另一种是靠含时电场（麦克斯韦修正项目）。

这个定律意味着一个含时磁场可以生成含时电场，而含时电场又可以生成含时磁场。

这样，理论上允许电磁波的存在，传播于空间。

▪一般表述在这段落里，所有方程都采用国际单位制。

若改采其它单位制，经典力学的方程形式不会改变；但是，麦克斯韦方程组的形式会稍微改变，大致形式仍旧相同，只有不同的常数会出现于方程的某些位置。

麦克斯韦方程组

麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组是描述电磁场的四个基本方程，由苏格兰物理学家詹姆斯·克拉克·麦克斯韦在19世纪提出。

这四个方程求解了电磁场的本质，对于描述电磁波的传播以及电磁现象的研究起着重要的作用。

麦克斯韦方程组的第一个方程是高斯定律，它描述了电荷对电场产生的影响。

它的数学表达式为：∮E·dA = ε0∫ρdV其中，∮E·dA表示电场在截面A上的面积分，ε0为真空中的介电常数，ρ为电场中的电荷密度。

第二个方程是法拉第电磁感应定律，它描述了磁场通过闭合回路所产生的感应电场。

数学上可以表示为：∮B·dl = μ0(I + ε0d(∫E·dA)/dt)其中，∮B·dl表示磁场在环路l上的线积分，μ0为真空中的磁导率，I为环路中的电流强度，d(∫E·dA)/dt表示时间的变化率。

第三个方程是安培定律，它描述了环路中通过的电流对磁场产生的影响。

数学上可以表示为：∮B·dl = μ0I其中，∮B·dl表示磁场在环路l上的线积分，μ0为真空中的磁导率，I为环路中的电流强度。

最后一个方程是法拉第电磁感应定律的推广形式，也被称为麦克斯韦-安培定律。

它描述了变化的电场对磁场产生的影响，以及变化的磁场对电场产生的影响。

数学上可以表示为：∮E·dl = - d(∫B·dA)/dt其中，∮E·dl表示电场在环路l上的线积分，∮B·dA表示磁场通过闭合曲面的通量，d(∫B·dA)/dt表示时间的变化率。

麦克斯韦方程组是电磁学的基础，它描述了电荷和电流对电磁场产生的影响，以及电场和磁场对电荷和电流产生的影响。

通过这四个方程，我们可以推导出电磁波的存在和传播，解释电磁感应现象，研究电磁场的性质。

麦克斯韦方程组的研究也对电磁学的发展做出了巨大的贡献。

麦克斯韦方程组的理论和实验研究为电磁学的发展奠定了基础。

麦克斯韦方程组

麦克斯韦方程组
麦克斯韦电磁场理论的基本思想是：相对时间变化的磁场会激发感生电场，而相对时间变化的电场会激发磁场.根据这一思想，如果在空间某一区域内有变化的电场(如电荷做加速运动)，那么在邻近区域内就会产生变化的磁场.这个变化的磁场又会在较远处产生变化的感生电场.这样产生出来的电场也是随着时间变化的，它必然要产生新的磁场.这样，在充满变化的电场空间，同时也充满变化的磁场，两者相互联系、相互转化.电场和磁场的统一体称为电磁场.前面讨论的静电场和稳恒磁场都只不过是电磁场的两种特殊表现形式.
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这样，无论选择S1或S2作为以L为边界的曲面来计算H 的环流都得到相同的确定值，不会出现图10-26所示的矛盾结果了.
对于任何电路，全电流永远是连续的.对图10-26中由S1 和S2组成的封闭曲面S来说，传导电流I流入S1而等量的位移电流Id流出S2，所以
（10-24）式（10- 24）就是全电流连续性方程.
激发磁场，位移电流也激发磁场.虽然两种电流的性质不同，但激发磁
场的性质却完全相同.
引入全电流定律，上述非稳恒电路中的矛盾就得到了解决.穿过图
10-26中以L为边界的曲面S1和S2的电流都应为全电流.在S1处位移电流几乎为零，只剩下传导电流；而在S2处不存在传导电流，只有位移电 =I全=I
麦克斯韦方程组
图10- 27 电容器充、放电电路
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由此可见，导线中的传导电流I虽然在电容器极板间中断了，可以替换它，可以等价地替换传导电流密度j.若将电流的概念扩大，那么就解决了图1026所示电路中电流的连续性问题.
麦克斯韦提出，就电流的磁效应而言，变化的电场也应该是一种电流.这种电流密度与电位移矢量相联系，所以称为位移电流.

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有限长载流导线所受的安培力
Idl
dF
Idl
dF
F l dF l Idl B
B
B
例求如图不规则的平面载流导线在均匀磁场中所受的力，已知 B 和 I . 解取一段电流元 Idl
y
dF
Idl
B
I dF Idl B o dFx dF sin BIdl sin dFy dF cos BIdl cos
0 di 0dr di dq dr , dB 2 2 a b 2r 4r 0 a b 0 ln B dB dr 4 a 4r a
（2）磁矩 m ，dq旋转产生的磁矩
1 dm r di r 2 dr 2 a b 1 1 2 (a b) 3 a 3 m dm r dr 6 2 a （3）若 a >> b, 求 Bo 及 m 。若 a>>b , AB 可看成点电荷i 2 q 2 b 1 2 0i 0b 2 a b. B0 , m a i 2 2a 4a
利用安培环路定理求无限长均匀密绕载流直螺线管的磁场
例 5 有一无限长圆柱形导体和一无限长薄圆筒形导
体，都通有沿轴向均匀分布的电流，它们的磁导率都为 0, 外半径都为R。今取长为 l，宽为 2R的矩形平面 ABCD 和 A`B`C`D`， AD及A`D` 正好在圆柱的轴线上。问通过ABCD的磁通量大小是多少？通过A`B`C`D的磁通量是多少?
（x R ）2 2
Idl
r
B
dB
p *
o
R
I

B
dB

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复数形式对于正弦时变场，可以使用复矢量将电磁场定律表示为复数形式。
在复数形式的电磁场定律中，由于复数场量和源量都只是空间位置的函数，在求解时，不必再考虑它们与时间的依赖关系。因此，对讨论正弦时变场来说面采用复数形式的电磁场定律是较为方便的。注记采用不同的单位制，麦克斯韦方程组的形式会稍微有所改变，大致形式仍旧相同，只是不同的常数会出现在方程内部不同位置。国际单位制是最常使用的单位制，整个工程学领域都采用这种单位制，大多数化学家也都使用这种单位制，大学物理教科书几乎都采用这种单位制。其它常用的单位制有高斯单位制、洛伦兹-赫维赛德单位制（Lorentz-Heavisideunits）和普朗克单位制。由厘米-克-秒制衍生的高斯单位制，比较适合于教学用途，能够使得方程看起来更简单、更易懂。洛伦兹-赫维赛德单位制也是衍生于厘米-克-秒制，主要用于粒子物理学；普朗克单位制是一种自然单位制，其单位都是根据自然的性质定义，不是由人为设定。普朗克单位制是研究理论物理学非常有用的工具，能够给出很大的启示。在本页里，除非特别说明，所有方程都采用国际单位制。这里展示出麦克斯韦方程组的两种等价表述。第一种表述如下：
注意： (1)在不同的惯性参照系中，麦克斯韦方程组有同样的形式。 (2)应用麦克斯韦方程组解决实际问题，还要考虑介质对电磁场的影响。例如在均匀各向同性介质中，电磁场量与介质特性量有下列关系：
在非均匀介质中，还要考虑电磁场量在界面上的边值关系。在利用 t=0时场量的初值条件，原则上可以求出任一时刻空间任一点的电磁场，即 E(x,y,z,t)和 B(x,y,z,t)。
1855年至 1865年，麦克斯韦在全面地审视了库仑定律、毕奥—萨伐尔定律和法拉第定律的基础上，把数学分析方法带进了电磁学的研究领域，由此导致麦克斯韦电磁理论的诞生。方程组成麦克斯韦方程组乃是由四个方程共同组成的：[1] 高斯定律：该定律描述电场与空间中电荷分布的关系。电场线开始于正电荷，终止于负电荷。计算穿过某给定闭曲面的电场线数量，即其电通量，可以得知包含在这闭曲面内的总电荷。更详细地说，这定律描述穿过任意闭曲面的电通量与这闭曲面内的电荷之间的关系。高斯磁定律：该定律表明，磁单极子实际上并不存在。所以，没有孤立磁荷，磁场线没有初始点，也没有终止点。磁场线会形成循环或延伸至无穷远。换句话说，进入任何区域的磁场线，必需从那区域离开。以术语来说，通过任意闭曲面的磁通量等于零，或者，磁场是一个无源场。法拉第感应定律：该定律描述时变磁场怎样感应出电场。电磁感应是制造许多发电机的理论基础。例如，一块旋转的条形磁铁会产生时变磁场，这又接下来会生成电场，使得邻近的闭合电路因而感应出电流。麦克斯韦-安培定律：该定律阐明，磁场可以用两种方法生成：一种是靠传导电流（原本的安培定律），另一种是靠时变电场，或称位移电流（麦克斯韦修正项）。在电磁学里，麦克斯韦修正项意味着时变电场可以生成磁场，而由于法拉第感应定律，时变磁场又可以生成电场。这样，两个方程在理论上允许自我维持的电磁波传播于空间。麦克斯韦电磁场理论的要点可以归结为： ①几分立的带电体或电流，它们之间的一切电的及磁的作用都是通过它们之间的中间区域传递的，不论中间区域是真空还是实体物质。 ②电能或磁能不仅存在于带电体、磁化体或带电流物体中，其大部分分布在周围的电磁场中。 ③导体构成的电路若有中断处，电路中的传导电流将由电介质中的位移电流补偿贯通，即全电流连续。且位移电流与其所产生的磁场的关系与传导电流的相同。 ④磁通量既无始点又无终点，即不存在磁荷。 ⑤光波也是电磁波。麦克斯韦方程组有两种表达方式。 1.积分形式的麦克斯韦方程组是描述电磁场在某一体积或某一面积内的数学模型。表达式为：

麦克斯韦方程组

D=εE
B=μH
对于正弦时变场，可以使用复矢量将电磁场定律表示为复数形式。麦克斯韦方程组复数形式：
▽·�� = −��（9） �� =εE（10） B =μH（11） �� = �� +��′（12）
在复数形式的电磁场定律中，由于复数场量和源量都只是空间位置的函数，在求解时，不必再考虑它们与时间的依赖关系。因此，对讨论正弦时变场来说面采用复数形式的电磁场定律是较为方便的。麦克斯韦方程组的意义： (一)经典场论是 19 世纪后期麦克斯韦在总结电磁学三大实验定律并把它与力学模型进行类比的基础上创立起来的。但麦克斯韦的主要功绩恰恰使他能够跳出经典力学框架的束缚：在物理上以"场"而不是以"力"作为基本的研究对象，在数学上引入了有别于经典数学的矢量偏微分运算符。这两条是发现电磁波方程的基础。这就是说，实际上麦克斯韦的工作已经冲破经典物理学和经典数学的框架，只是由于当时的历史条件，人们仍然只能从牛顿的经典数学和力学的框架去理解电磁场理论。 (二) 我们从麦克斯韦方程组的产生，形式，内容和它的历史过程中可以看到：第一，物理对象是在更深的层次上发展成为新的公理表达方式而被人类所掌握，所以科学的进步不会是在既定的前提下演进的，一种新的具有认识意义的公理体系的建立才是科学理论进步的标志。第二，物理对象与对它的表达方式虽然是不同的东西，但如果不依靠合适的表达方法就无法认识到这个对象的“存在” 。第三，我们正在建立的理论将决定到我们在何种层次的意义上使我们的对象成为物理事实,，这正是现代最前沿的物理学所给我们带来的困惑。 (三) 麦克斯韦方程组揭示了电场与磁场相互转化中产生的对称性优美，这种优美以现代数学形式得到充分的表达。但是，我们一方面应当承认，恰当的数学形式才能充分展示经验方法中看不到的整体性(电磁对称性)；另一方面，我们也不应当忘记，这种对称性的优美是以数学形式反映出来的电磁场的统一本质。因此，我们应当认识到应在数学的表达方式中"发现"或"看出" 了这种对称性，而不是从物理数学公式中直接推演出这种本质。

麦克斯韦方程组

§11.3 麦克斯韦方程组主要内容：一与变化电场相联系的磁场二麦克斯韦方程组三电磁波麦克斯韦在分析电磁感应现象后，提出了“涡旋电场”的概念,总结出变化磁场激发电场所遵循的规律。

从对称性考虑，变化的电场会不会激发磁场呢？在分析传导电流激发磁场所遵循的安培环路定理后,他又提出“位移电流”假说，对安培环路定理进行了修改和扩充,总结出变化电场激发磁场所遵循的规律,并在此基础上用一组方程概括了电磁场的全部规律。

C安培环路定理:=⋅⎰Ll d H=∑ii I ⎰⎰⋅SSd j 安培环路定律的局限性11.3.1与变化电场相联系的磁场LS 1S 2S 1:以L 为边界的任意曲面:S 2:以L 为边界的任意曲面:⎰=⋅1S CC I S d j⎰=⋅2S C0S d j? 位移电流麦克斯韦大胆假设:思路: 非稳态→q 变化→电场E.D 变化变化的电场也产生磁场！?=q 传导电流S q dSσ=⋅⎰⎰2D σ=d dq I dt=S q D dS=⋅⎰⎰22S =⎰⎰S D dSdt⋅=⎰⎰2——非稳恒情况下，安培环路定理不成立2P 12r Lσ+σ-Ep 12 r 2归纳麦克斯韦方程组的积分形式:⎰⎰⎰⎰⎰=⋅V0SVd 1S d E ρε 0S d B S=⋅⎰⎰S d tBt d d l d E SL⋅∂∂-=-=⋅⎰⎰⎰Φ]S d tDS d j [l d B SSC 0L⋅∂∂+⋅=⋅⎰⎰⎰⎰⎰μ通量11.3.2 麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组积分形式和微分形式dVS d D V0S⎰⎰=⋅ρS d t D S d J l d H SS 0L⋅+⋅=⋅⎰⎰⎰∂∂S d t B l d E SL ⋅-=⋅⎰⎰∂∂0S d B S=⋅⎰积分形式一有限区域∇∇∇⨯∇微分形式位移电流与涡旋电场的假设导致麦克斯韦提出电磁波的预言,20年后赫兹用实验证实了电磁波的存在.电磁波的能流密度--玻印廷矢量:HE S ⨯=E xH可确定传播方向u11.3 电磁波简述一基本性质1. 电磁波是横波2. E与H同步变化（同相位）二电磁波波谱无线电波和微波：用于远洋长距离通讯。

麦克斯韦方程组

麦克斯韦方程组JE j H K H j E +=⨯∇--=⨯∇ωεωμμερ//m H E =∙∇=∙∇电，磁荷守恒mj K j J ωωρ-=∙∇-=∙∇矢量波动方程JK j H k H K J j E k E ⨯∇+-=-⨯∇⨯∇⨯∇--=-⨯∇⨯∇ωμωμ22 u矢量格林定律⎰⎰∙⨯∇⨯-⨯∇⨯=⨯∇⨯∇∙-⨯∇⨯∇∙SVdsP Q Q P dvQ P P Q )()(设xx x x jk a x x a Q '-'--='=exp(ˆ),(ˆϕa 是任意取向的单位矢量，令P —E(Straton 1940)ds E n E n H nj dvK J j s s ss V))ˆ()ˆ()ˆ(())/((ϕϕϕωμϕερϕϕωμ∇∙-∇⨯⨯-⨯=∇-∇⨯+⎰⎰sd E n E n H n j dvK J j s s s sas s s V'∇'∙'-∇'⨯⨯'-⨯'⨯+++=∇'-∇'⨯+⎰⎰⎰⎰⎰})ˆ()ˆ()ˆ({][))/((321ϕϕϕωμϕερϕϕωμ注意Sa 和S2 上的积分，由于x x x x r e r jkr jkr '-'-+=∇'-1ϕ11 积分得}ˆˆˆˆ{222220lim ⎰⎰''∙'-''∙'-=→s ss ss r s d r n n E s d r n n E I 由相对于点X 的立体角，2ˆˆr n n d ss s '∙'=Ω的定义被积函数可表示为ds r n nd a a a 2ˆˆ'∙'=Ωds rn nd 2222ˆˆ'∙'=Ω 则)4)((2Ω--=πx E I 有ds E n E n H n j Tdv K J j Tx E s s ss s V))ˆ()ˆ()ˆ((4))/((4)(1ϕϕϕωμπϕερϕϕωμπ∇'∙'-∇'⨯⨯'-⨯'-∇'-∇'⨯+-=⎰⎰+类似的，磁场有ds H n H n E n j Tdv m J K j Tx H s s ss s V))ˆ()ˆ()ˆ((4))/((4)(1ϕϕϕωεπϕμϕϕωεπ∇'∙'+∇'⨯⨯'+⨯'-∇'+∇'⨯+-=⎰⎰+S1---∞,这样，S1的贡献表现为入射场ds E n E n H n j T dv K J j TE T x E s s ss Vin ))ˆ()ˆ()ˆ((4))/((4)(ϕϕϕωμπϕερϕϕωμπ∇'∙'-∇'⨯⨯'-⨯'-∇'-∇'⨯+-=⎰⎰和ds H n H n E n j T dv m J K j TH T x H s s ss Vin ))ˆ()ˆ()ˆ((4))/((4)(ϕϕϕωεπϕμϕϕωεπ∇'∙'+∇'⨯⨯'+⨯'∇'+∇'⨯+-+=⎰⎰闭合面S 上的积分ds H n H nH n T x H s))ˆ()ˆ()(ˆ4)(ϕϕϕπ∇'∙'+∇'⨯⨯'+⨯∇'⨯'=⎰ 减去恒等于零的部分ds H n H n H n T s)](ˆ)(ˆ))(ˆ[(4ϕϕϕπ∙∇''-⨯∇⨯'+∇'∙'⎰ 利用矢量恒等式化简，得到ds H n nHn H T x H s )(ˆ4)(∙∇''+'∂∂-'∂∂=⎰ϕϕϕπ 同样，对电场ds E n n En E T x E s )(ˆ4)(∙∇''+'∂∂-'∂∂=⎰ϕϕϕπ 对于无源区的场，有ds E n n En E T E T x E s in )(ˆ4)(∙∇''+'∂∂-'∂∂+=⎰ϕϕϕπ ds H n n Hn H T H T x H s in )(ˆ4)(∙∇''+'∂∂-'∂∂+=⎰ϕϕϕπ 散射问题)()()(x E x E x E s in += )()()(x H x H x H s in += ds E n E n H n j T x E s s s s s ))ˆ()ˆ()ˆ((4)(ϕϕϕωμπ∇'∙'-∇'⨯⨯'-⨯'-=⎰ds H n H n E n j T x H s s ss s ))ˆ()ˆ()ˆ((4)(ϕϕϕωεπ∇'∙'+∇'⨯⨯'+⨯'+=⎰ 体积分方程⎰∇'-∇'⨯+-=Vs dv K J j Tx E ))/((4)(ϕερϕϕωμπ ⎰∇'+∇'⨯+-=Vs dv m J K j Tx H ))/((4)(ϕμϕϕωεπ 完全导电体散射，切向电场为0，法向磁场为0⎰'∇∙'-⨯'⨯=⨯sin ds E n H n j n x E n))ˆ()ˆ((ˆ41)(ˆϕϕωμπ （两个未知量）⎰∇'⨯⨯'⨯+⨯=⨯Vin dv H n nH n x H n ϕπ)ˆ(ˆ21ˆ2)(~ （一个未知量）利用 )ˆ(1ˆH nE ns ⨯'∙∇'=∙'ωε等效源s J H n =⨯'ˆ 有：⎰'∇∙∇'-=⨯=⨯ss s s in ds J J n j x E n))((ˆ41)(ˆ2ϕϕμεωωεπ ⎰∇'⨯⨯+⨯=ss in s ds J nH nx J ϕπˆ21ˆ2)( 介质散射表面积分方程ds E n E n H n j nTE n T x E ns in ))ˆ()ˆ()ˆ((ˆ4ˆ)(ˆ111111111111ϕϕϕωμπ∇'∙'-∇'⨯⨯'-⨯'⨯-⨯=⨯⎰ds H n H n E n j T H n T x H nsin ))ˆ()ˆ()ˆ((4ˆ)(ˆ111111111111ϕϕϕωεπ∇'∙'+∇'⨯⨯'+⨯'+⨯=⨯⎰ ds E n E n H n j nTx E ns))ˆ()ˆ()ˆ((ˆ4)(ˆ22222222222ϕϕϕωμπ∇'∙'-∇'⨯⨯'-⨯'⨯-=⨯⎰ ds H n H n E n j T x H n s))ˆ()ˆ()ˆ((4)(ˆ22222222222ϕϕϕωεπ∇'∙'+∇'⨯⨯'+⨯'+=⨯⎰ 式中x x ex x jk i i '-='--ϕi i k μεϖ= 12ˆˆn n -= 切向场连续0)(ˆ0)(ˆ211211=-⨯=-⨯H H nE E n法向连续条件0)2211(ˆ1=-∙E E n εε 有：ds E n E n H n j n x E nsin )}()ˆ()()ˆ())(ˆ({(ˆ41)(ˆ22112121ϕεεϕϕϕϕϕωμπ+∇'∙'-+∇'⨯⨯'-+⨯'⨯=⨯⎰ds H nH n E n j n x H nsin )}()ˆ()()ˆ())(ˆ({(ˆ41)(ˆ212121211ϕϕϕϕϕεεϕωεπ+∇'∙'++∇'⨯⨯'++⨯'⨯-=⨯⎰ 6个未知量，四个方程麦克斯韦方程的法向关系)ˆ(1ˆH nj E n⨯'∙∇'-=∙'ωε )ˆ(1ˆE nj H n ⨯'∙∇'=∙'ωμ等效流E n K H n J s s ⨯=⨯=ˆˆ积分方程变为ds J j K J j n x E n s s s ss in )}(1)()({(ˆ41)(ˆ22112121ϕεεϕωεϕϕϕϕωμπ+∇'∙∇'++∇'⨯++⨯=⨯⎰dsK j J K j n x H n s s s ss in )}()(1)()({(ˆ41)(ˆ212121211ϕϕωμϕϕϕεεϕωεπ+∇'∙∇'++∇'⨯-+⨯-=⨯⎰体积分方程11111E j H H j E ωεωμ=⨯∇-=⨯∇2121122222)(E j E j E j H H j E εεωωεωεωμ-+==⨯∇-=⨯∇ds E ndv E x E x E svin ϕεεεπϕμεωεεεπ∇'∙'=+-+=⎰⎰)ˆ(41)(41)()(21122121122细导线的散射表面电流密度l aI J s ˆ2π=边界条件0ˆ=∙E l积分方程⎰'∇''∂∂+'-∙=∙L in l d I l l I l j E l )ˆ(ˆ41ˆ2ϕϕμεωπωε 即⎰'∂∂'∂∂+∙∙-=∙Lin l d s I l I k l l l j E l )ˆˆ(ˆ41ˆ2ϕϕπωε 利用分部积分，注意端电处电流为0⎰'∂'∂∂-'∙∙-=∙L inl d ll k l l I l j El ]ˆˆ[ˆ41ˆ22ϕϕπωε细线积分方程的核2222)(})(exp{al l a l l jk +'-+'--=ϕ阻抗边界条件J nZo K ⨯=ˆ二维积分表达式z jk z e t E t z E -=)(),( 表面积分化为，dl A jk A n n A G n G Az z t t c]})[{(-∙∇''-'∂∂-'∂∂⎰其中)(()())(exp(22)2(02222t t k k H jz t t z t t jk eG z z jk z '--='+'-'+'--=⎰∞∞-'-π而),ˆcos()(22)2(122t t nt t k k H k k jn G z z '-''----='∂∂π。

均匀介质中麦克斯韦方程组

均匀介质中麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组是经典电磁学的核心理论之一，它描述了电磁波在均匀介质中的传播特性。

在均匀介质中，麦克斯韦方程组可以表示为以下形式：1. 波动方程：▽²E -ω²μE = 0其中，E 表示电场强度，μ表示磁导率，ω表示角频率。

2. 磁场方程：▽²H -ω²μH = -jωμP其中，H 表示磁场强度，μ表示磁导率，ω表示角频率，j 表示虚数单位，P 表示电通量密度。

3. 电流密度方程：▽·J = ρ其中，J 表示电流密度，ρ表示电荷密度。

4. 电荷密度方程：▽·D = ρ其中，D 表示电位移矢量。

这些方程描述了电磁波在均匀介质中的传播过程，包括电场、磁场、电流和电荷等物理量的关系。

这些方程是非线性的，因此求解起来比较复杂。

为了求解这些方程，通常需要采用近似方法和数值计算技术。

求解麦克斯韦方程组时需要考虑边界条件。

在介质边界上，电场和磁场需要满足一定的连续性条件。

这些边界条件可以通过求解介质交界面的电磁场来得到。

另外，还需要考虑初始条件，即当时间t=0时，各个物理量的值。

初始条件可以根据实际情况进行设定。

麦克斯韦方程组在电磁波传播、电磁场理论、电磁兼容等领域有着广泛的应用。

通过求解麦克斯韦方程组，可以预测电磁波在介质中的传播特性、电磁场的分布以及电磁波的能量传输等。

这些预测结果可以为实际应用提供重要的参考依据。

在均匀介质中，麦克斯韦方程组的解具有一些重要的性质。

首先，电磁波的传播速度与介质的性质有关，介质的电导率、磁导率和介电常数等因素都会影响电磁波的传播速度。

其次，当频率较高时，电磁波的传播特性与低频时有所不同，例如折射率、反射率和散射率等都会发生变化。

此外，当电磁波在介质中传播时，会与介质中的原子和分子相互作用，导致电磁波的能量逐渐衰减。

这种衰减与介质的吸收系数有关，对于不同频率和不同介质的电磁波，其吸收系数也不同。

kcl kvl 麦克斯韦方程组

KCL（电流定律）和KVL（电压定律）是电路分析中的两个重要原理。

KCL（Kirchhoff's Current Law）指的是在一个节点（电流流入或流出的地方）的电流代数和为零，即电流的代数和在闭合电路中守恒。

KVL（Kirchhoff's Voltage Law）指的是在闭合的回路中，电压的代数和为零，即电压沿着闭合回路的总和等于零。

麦克斯韦方程组（Maxwell's equations）是描述电磁场行为的基本方程组。

它由麦克斯韦（James Clerk Maxwell）提出，并总结了电磁学的基本原理，包括电场和磁场之间的相互作用以及它们随时间和空间变化的规律。

麦克斯韦方程组包括四个方程：
1. 高斯定律（Gauss's Law）：描述了电场通过闭合曲面的电通量与该曲面内嵌电荷的关系。

2. 麦克斯韦-法拉第定律（Faraday's Law）：描述了磁场沿闭合回路的磁通量变化率导致的感应电场。

3. 安培定律（Ampere's Law）：描述了穿过闭合曲面的电流与该曲面内的磁场之间的关系。

4. 电荷守恒定律（Charge Conservation Law）：描述了电荷的守恒原理，即电荷不能被创建或销毁，只能转移。

这些方程组合起来形成了麦克斯韦方程组，是电磁学最关键的理论基础之一，并被广泛应用于电磁场分析和电磁波的研究。

麦克斯韦方程组四个方程的实验基础

麦克斯韦方程组四个方程的实验基础
麦克斯韦方程组是描述电磁场的基本方程，它有四个方程，分别是：
1. 麦克斯韦第一方程（电场高斯定律）：它指出电场从正电荷发出并向负电荷发散，电场通过一个闭合曲面的通量与曲面所包围的电荷成正比。

这一方程的实验基础是库仑定律和电场的测量实验。

2. 麦克斯韦第二方程（电场磁感应定律）：它表明磁感应线圈电场的环路积分等于该环路所包围的电荷以及穿过此环路的电流的代数和。

这一方程的实验基础是奥萨伐尔定律和磁场的测量实验。

3. 麦克斯韦第三方程（磁场高斯定律）：它说明磁感应从北极发散，向南极汇聚，磁感应通过一个闭合曲面的通量为零。

这一方程的实验基础是磁场的测量实验。

4. 麦克斯韦第四方程（安培定律）：它描述了变化的磁场产生电场环路积分，等于通过环路的电流和由磁场产生的位移电流之和。

这一方程的实验基础是法拉第电磁感应定律和安培环路定律的实验。

综上所述，麦克斯韦方程组的实验基础是通过电场、磁场和电流等的实验测量，结合库仑定律、奥萨伐尔定律、法拉第电磁感应定律和安培环路定律等原理来推导和验证的。

麦克斯韦方程组

第二场论－弯曲时空的几何第三场论－非阿贝尔规范场－纤维丛几何
6. 局限性（1）是在承认电荷连续分布基础上建立的宏观
经典理论，未和物质微观结构联系起来 . 1895年：汤姆生发现电子 . 20 世纪初：洛仑兹建立电磁现象微观理论
经典电子论
量子电磁理论
（2）不完全对称？不存在磁单极 .
思考：如果存在磁单极，麦克斯韦方程如何修正？
=
∫V
ρdV
环路定理
∫r
H
L
⋅
d
r l
r
= ∫S ( j +
∂
r D
∂t
)
⋅
d
r S
∫r
E
(1)
⋅
r dl
=
0
L
∫ ∫ r
E
(2)
⋅
r dl
=
−
∂Br
⋅
r dS
L
∂t
∫ ∫ r
E
=
r E⋅
r E
(1)
+
r dl = −
r E
(2)
r
∂B
⋅
r dS
L
S ∂t
麦克斯韦方程组
积分形式
∫SDr
r ⋅ dS
=
dF r
m
Fm =
q =
vv
×
v B
v Idl
×
v
dFm
v B
v M
=
v Pm
×
v B
第12章
1. 感应电动势的计算
ε = − dψ m
dt
= − N dφm
dt
ε动 = ∫
(vv

麦克斯韦方程组

㈠麦克斯韦方程组描述无源情况下，变化电场与变化磁场之间关系的两个方程分别是t B E ∂-∂=⨯∇/t D H ∂∂=⨯∇/ （4-3-1）如果交变电磁场是时谐场，即电矢量和磁矢量可以写成如下形式：jwt r E t r E )(),(=jwt r H t r H )(),(= （4-3-2）则（4-3-1）式在无源，无损耗和各向同性的非磁介质的情况下可以写成H j E ωμ-=⨯∇E j H ωε=⨯∇ （4-3-3）式中，ε和μ分别是介质的介电常数及磁导率。

20n εε=；n 是介质的折射率；磁导率0μμ≈。

在平面波导中，存在着沿z 方向的一个行波，而在xy 平面内，由于宽度（y 方向）远大于厚度（x 方向），平板波导的光只在一个方向上（x 方向）受到限制，波导的几何结构及折射率沿y 方向是不变的。

因此，相应的光场的电矢量和磁矢量不沿y 方向变化。

上面的),(t r E 和),(t r H 可以分别写成)(),(),(z t j y x E t r E βω-=)(),(),(z t j y x H t r H βω-= (4-3-4)式中β是沿z 方向的传播常数。

将（4-3-4）式的E 与H 代入（4-3-3）式中，并展开运算，注意到0/=∂∂y ，就可以得到电磁场中各分量之间的关系x y H E ωμβ-=y z x H j x E E j ωμβ=∂∂+/z y H j x E ωμ-=∂∂/x y E H ωεβ=z y E j x H ωε=∂∂/ (4-3-5)yz x E j x H H j ωεβ-=∂∂+/以上6个方程，包含了两组独立的方程组，一组含有y E ，x H ，z H ，另一组含有y H ，x E ，z E 。

第一组因为电场只有横向分量，所以称为TE 波，第二组则是磁场只含有横向分量，所以称为TM 波。

根据这些分量的相互关系，只要知道部分分量就可以将其他分量求出。

麦克斯韦方程

麦克斯韦方程麦克斯韦方程组（英语：Maxwell's equations），是英国物理学家詹姆斯·克拉克·麦克斯韦在19世纪建立的一组描述电场、磁场与电荷密度、电流密度之间关系的偏微分方程。

它由四个方程组成：描述电荷如何产生电场的高斯定律、论述磁单极子不存在的高斯磁定律、描述电流和时变电场怎样产生磁场的麦克斯韦-安培定律、描述时变磁场如何产生电场的法拉第感应定律。

从麦克斯韦方程组，可以推论出电磁波在真空中以光速传播，并进而做出光是电磁波的猜想。

麦克斯韦方程组和洛伦兹力方程是经典电磁学的基础方程。

从这些基础方程的相关理论，发展出现代的电力科技与电子科技。

麦克斯韦在1865年提出的最初形式的方程组由20个等式和20个变量组成。

他在1873年尝试用四元数来表达，但未成功。

现在所使用的数学形式是奥利弗·赫维赛德和约西亚·吉布斯于1884年以矢量分析的形式重新表达的。

麦克斯韦方程组乃是由四个方程共同组成的：.高斯定律：该定律描述电场与空间中电荷分布的关系。

电场线开始于正电荷，终止于负电荷（或无穷远）。

计算穿过某给定闭曲面的电场线数量，即其电通量，可以得知包含在这闭曲面内的总电荷。

更详细地说，这定律描述穿过任意闭曲面的电通量与这闭曲面内的电荷之间的关系。

..高斯磁定律：该定律表明，磁单极子实际上并不存在。

所以，没有孤立磁荷，磁场线没有初始点，也没有终止点。

磁场线会形成循环或延伸至无穷远。

换句话说，进入任何区域的磁场线，必需从那区域离开。

以术语来说，通过任意闭曲面的磁通量等于零，或者，磁场是一个无源场。

..法拉第感应定律：该定律描述时变磁场怎样感应出电场。

电磁感应是制造许多发电机的理论基础。

例如，一块旋转的条形磁铁会产生时变磁场，这又接下来会生成电场，使得邻近的闭合电路因而感应出电流。

..麦克斯韦-安培定律：该定律阐明，磁场可以用两种方法生成：一种是靠传导电流（原本的安培定律），另一种是靠时变电场，或称位移电流（麦克斯韦修正项）。

麦克斯韦的四个方程

麦克斯韦的四个方程
麦克斯韦的四个方程，也被称为麦克斯韦方程组，是电磁学的基础，
它们描述了电荷、电场、磁场、电流和电磁波之间的关系。

这四个方
程的发现是麦克斯韦在19世纪中叶的一项伟大成就，被广泛运用于电子技术和通信领域，是电磁学的基础公式。

麦克斯韦的四个方程分别是“高斯定律”、“安培定律”、“法拉第
电磁感应定律”和“电磁场的非齐次波动方程”。

高斯定律描述了电
场起源和分布，它告诉我们电场是由电荷产生的，并且与电荷的数量
和分布有关。

安培定律描述了磁场的起源和分布，它告诉我们磁场是
由电流产生的，并且与电流的数量和分布有关。

法拉第电磁感应定律
描述了电磁感应的过程，它告诉我们磁场的变化会引起电场的变化，
并且能够产生电磁感应现象。

电磁场的非齐次波动方程描述了电磁波
的传播方式和特性，它告诉我们电磁波是由电场和磁场相互作用产生的，并且在空间中以波动的形式传播。

麦克斯韦的四个方程在电磁学中起着非常重要的作用，它们不仅能够
被用来解释电磁现象，还能够指引工程师们设计电子设备和电信系统。

例如，在通信领域，它们被用来设计更加高效的无线电波天线、创建
更加精确的卫星导航系统和改善无线电信号传输技术，为人们的通信
提供更加便利的方式。

总之，麦克斯韦的四个方程是电磁学中的基础公式，它们描述了电磁波的起源和传播，被广泛应用于通信领域和电子技术中。

我们在日常生活中所使用的通信技术和设备，都离不开麦克斯韦的四个方程。

因此，深入理解和掌握这些方程对于我们的生活和工作成为十分重要的一环。