三余弦公式的巧用
用正余弦定理巧解难题
用“正弦、余弦定理”巧解难题正弦、余弦定理是高中数学中一个非常重要的知识点，它沟通了三角形中边与角的关系，用这两个定理可以实现边角互化，从而明确解题方向。
怎样才能做到灵活运用“正弦、余弦定理”解题呢？下面举例说明：一、将三角形面积公式与正弦、余弦定理联合运用例1 0,60,2,ABC A B C a b c A a ABC ∆∠==∆中、、的对边分别为、、，且求面积的最大值.分析：我们要充分利用三角形面积公式与正弦、余弦定理这几个公式之间的内在联系，才能真正达到解决问题的目的．解 02,60a A ==Q222222cos 4a b c bc A b c bc =+-=+-=由余弦定理得 （1）222b c bc +≥Q （2）由（1）、（2）知4bc ≤∴13sin 424ABC S bc A ∆==≤⨯= ∴ABC ∆例2 ABC ∆中，角C B A 、、所对的边分别是c b a 、、，S 为ABC ∆的面积，且06012A b S ===，，则=++++CB A cb a sin sin sin ．解160,12,s i n 1832A b S b c A ====Q ∴6=c又2222cos a b c bc A =+-Q ∴36=a 根据正弦定理，得122336sin sin sin sin ===++++A a C B A c b a二、边角互化时，宜统一化为一种元素（边或角）例3 ABC ∆中，角C B A 、、所对的边分别是c b a 、、，证明：C B A cb a sin )sin(222-=-． 证明：要证C B A c b a sin )sin(222-=-，由正弦定理，得只需证 ,s i n )s i n (s i n s i n s i n 222C B A CB A -=- 只需证),sin(sin sin sin 22B A CBA -=- 只需证 ,s i n s i n)s i n ()s i n (22B A B A B A -=-+ 而222222sin()sin()sin cos cos sin sin sin .A B A B A B A B A B +-=-=-成立222sin().sin a b A B c C--=所以三、灵活运用正弦、余弦定理的变形形式例4 已知ABC ∆中，2:3:4sin :sin :sin =C B A ，求B cos 的值． 分析：由Cc B b A a sin sin sin ==得C B A c b a sin sin sin ：：：：=，再利用余弦定理很快解决问题．解 令角C B A 、、所对的边分别是c b a 、、，sin :sin :sin 4:3:2,A B C =Q根据正弦定理，得2:3:4::=c b a ．不妨令),0(,2,3,4>===t t c t b t a∴16111694162cos 2222222=-+=-+=t t t t ac b c a B四、应用正弦定理求角时应注意检验例5 ABC ∆中，角C B A 、、所对的边分别是c b a 、、，,60,35,50===C c b 则B = ．解 ,b c <Q∴C B <又05,60,b c C ===Q∴由正弦定理，得==c C b B sin sin 213560sin 50= 即)150(3000舍去==B B例6 在ABC ∆中，已知,45,2,30===B b a ，求边c ． 解法一：sin sin a bA B=Q∴23sin sin ==b B a A 又,b a <Q ∴A B <∴0012060或=A ．当，时，07560==C A 22645sin 75sin 2sin sin 0+===BC b c 当，时，015120==C A 22645sin 15sin 2sin sin 00-===B C b c 解法二：2222cos ,b a c ac B =+-Q∴223cos ,c B =+-即0162=+-c c ，解得226±=c 说明：在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边分别是c b a 、、，若有b a >，则有B A B A b a sin sin >⇔>⇔>．。
立体几何三余弦定理公式
立体几何三余弦定理公式立体几何是几何的一个分支，它研究三维空间中的图形和物体。
而在立体几何中，三余弦定理公式是一个非常重要的定理，它可以帮助我们计算和解决关于三维空间中的图形和物体的一些问题。
在本文中，我们将详细讨论三余弦定理公式。
三余弦定理公式是一种计算空间正三角形三边的长度的公式，在立体几何中非常常用。
如果一个正三角形的边长为a，那么我们可以使用三余弦定理公式来计算它的三条边的长度。
在三余弦定理公式中，我们需要知道一个三维空间的概念：向量。
向量是一种有方向的量，它由起点和终点表示。
在立体几何中，向量通常被表示为一个有序的三元组(x, y, z)，其中x、y和z分别表示向量在x、y和z轴上的分量。
回顾一下平面几何中的余弦定理公式，即c^2=a^2+b^2-2ab*cos(C)，其中a、b和c是三角形的三条边，C是夹角的度数。
在立体几何中，三余弦定理公式与这个公式非常类似，它的表达式为：a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cos(A)b^2 = a^2 + c^2 - 2ac*cos(B)c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cos(C)在这个公式中，a、b、c是正三角形的三条边的长度，而A、B和C是它们对应的内角的大小。
三余弦定理公式的使用十分灵活。
例如，如果我们知道某个正方体的一个面的面积是S，那么我们可以使用三余弦定理公式来计算正方体的体积V。
我们可以将正方体的一条边的长度表示为a，则正方体的体积的计算公式就是：V = a^3。
而正方体的表面积的计算公式为：S = 6a^2当我们知道正方体的表面积时，我们可以使用下列公式来计算正方体的体积：V = S^(3/2)/6以上仅仅是三余弦定理公式的一些简单应用，当然，这个公式的实际应用是非常广泛的，还包括圆柱体、圆锥体和球体等等的计算。
而在计算中，我们也可以使用相似三角形的性质来简化计算。
总之，三余弦定理公式是立体几何中的一个重要公式，它可以帮助我们计算三维空间的各种图形和物体的长度、面积和体积等等。
解三角形余弦定理公式
解三角形余弦定理公式
三角形余弦定理又称为余弦定理，它是一种有用的几何定理，可以用来解决三角形的问题。
它指出，在一个三角形中，如果知道两个角的余弦值和一条边的长度，就可以求出另外两条边的长度。
三角形余弦定理的公式如下：
a2 = b2 + c2 - 2bc cos A
b2 = a2 + c2 - 2ac cos B
c2 = a2 + b2 - 2ab cos C
在公式中，a、b、c 分别代表三角形的三条边，而A、B、C则代表三角形的三个内角。
下面，我们来看一个实例：已知三角形ABC的三条边长分别为a=6，b=7，c=5，其中A的余弦值为0.4。
根据上面的三角形余弦定理，我们可以求出B的余弦值：
b2 = a2 + c2 - 2ac cos B
= 62 + 52 - 2 * 6 * 5 * 0.4
= 61.6
∴ cosB = 0.8
因此，三角形ABC的B的余弦值为0.8。
从上面的实例可以看出，三角形余弦定理可以有效解决三角形的问题。
它不仅能够帮助我们求出三角形的边长，还可以帮助我们求出三角形的内角余弦值。
此外，它也可以用于判断一个三角形是否为直角三角形或者是否为等腰三角形。
三角形余弦定理是一种有用的几何定理，它可以有效帮助我们解决三角形的问题。
因此，在学习几何学的时候，我们应该加强对三角形余弦定理的认识，以便能够更好地解决三角形的问题。
三余弦公式的推理与证明
三余弦公式的推理与证明三余弦公式是解决三角形中角度和边长之间关系的重要公式。
它可以用来计算三角形中的任意角度或边长，对于数学和工程学来说都是非常重要的。
下面我们来推导和证明三余弦公式。
首先，我们考虑一个任意三角形ABC，其中AB=c, BC=a, AC=b 是三边的长度，∠A, ∠B, ∠C是对应的内角。
我们可以利用余弦定理来推导三余弦公式。
余弦定理指出，对于任意三角形ABC，有以下关系：c^2 = a^2 + b^2 2abcos∠C.a^2 = b^2 + c^2 2bccos∠A.b^2 = a^2 + c^2 2accos∠B.将上述三个式子进行整理，可以得到：cos∠C = (a^2 + b^2 c^2) / 2ab.cos∠A = (b^2 + c^2 a^2) / 2bc.cos∠B = (a^2 + c^2 b^2) / 2ac.这样我们就得到了三余弦公式的推导过程。
接下来，我们来证明三余弦公式。
证明：我们可以利用单位圆上的点和三角函数的定义来证明三余弦公式。
假设在单位圆上，点P(x,y)对应于角θ，那么有以下关系：x = cosθ。
y = sinθ。
然后我们考虑单位圆上的三个点A(a,0), B(b,0), C(c,0)，它们分别对应于角∠A, ∠B, ∠C。
根据单位圆上的点和三角函数的定义，我们可以得到：a = cos∠A.b = cos∠B.c = cos∠C.接下来，我们利用向量的内积来证明三余弦公式。
假设向量AB的长度为c，向量AC的长度为b，那么有以下关系：AB·AC = |AB||AC|cos∠BAC.AB·AC = cbcos∠A.同理，利用向量BC的长度为a，向量BA的长度为c，可以得到：BC·BA = accos∠B.最后，利用向量CA的长度为b，向量CB的长度为a，可以得到：CA·CB = bacos∠C.将上述三个式子整理，可以得到三余弦公式：cos∠A = (b^2 + c^2 a^2) / 2bc.cos∠B = (a^2 + c^2 b^2) / 2ac.cos∠C = (a^2 + b^2 c^2) / 2ab.因此，我们成功地推导和证明了三余弦公式。
三余弦公式推论及其应用
三余弦公式推论及其应用作者：高群安崔雪阳来源：《数理化学习·高一二版》2013年第07期一、三余弦公式及其推论三余弦公式：如图1，PO⊥平面α于O，PA∩α=A，ABα，直线AP与AB成θ角，AP与AO成θ1角，AO与AB成θ2角，则有cosθ=cosθ1cosθ2.证明：如图1，作OB⊥AB于B，连结PB，则PB⊥AB，∠PAB=θ，∠PAO=θ1，∠OAB=θ2，设|PA|=1，则|AO|=cosθ1，|AB|=|AO|cosθ2=cosθ1cosθ2，又|AB|=cosθ，所以cosθ=cosθ1cosθ2（θ，θ1，θ2∈（0，π2））.1推论1：图1中，设PA∩α=A，PO⊥α于O，ABα，设∠PAO=θ1，〈AO，AB〉=θ2，〈AP，AB〉=θ，θ1∈（0，π2），θ，θ2∈（0，π），则有cosθ=cosθ1cosθ2.证明：分θ2为锐角、直角、钝角讨论略推论2：直线a∩平面α=A，直线bα内，Ab，直线c是a在α内的射影，直线a，c的夹角为θ1，直线b，c的夹角为θ2，异面直线a，b的夹角为θ，则有cosθ=cosθ1cosθ2（异面直线的夹角公式）.图1图2推论3：如图2，平面AOB⊥平面α，OBα，OCα，设∠AOB=θ1，∠BOC=θ2，∠AOC=θ，则有cosθ=cosθ1cosθ2θ1，θ2∈（0，π）2二、应用举例三余弦公式及其推论，在近几年高考试题中，在有关求平面角、线面角、异面直线的夹角、二面角的大小、证明命题、求距离、解决最值问题等方面有着极其广泛的应用.1.求距离图3例1（2012年高考试题.四川卷第10题.如图3，半径为R的半球O的底面圆O在平面α内，过点O作平面α的垂线交半球面于点A，过圆O的直径CD作与平面α成45°角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的距离最大的点为B，该交线上的一点P满足∠BOP=60°，则A、P两点间的球面距离为（A）Rarccos24（B）πR4（C）Rarccos33（D）πR3解：由题设知平面AOB⊥平面BOP，由三余弦公式得cos∠AOP=cos∠AOB·cos∠BOP=22·12=24，所以∠AOP=arccos24，AP=Rarccos24.选（A）.二、求相交直线的夹角图4例2把正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角，点E、F分别为AD、BC的中点，点O是原正方形ABCD的中心，求折起后∠EOF的大小.解：由题设，DO⊥平面ABC，∠EOA=45°，∠AOF=135°，由推论3得cos∠EOF=cos∠EOA·cos∠AOF=-12，∠EOF=120°.三、求直线和平面所成的角例3正四面体ABCD中，求AC与平面BCD所成角的余弦值.解：作AO⊥平面BCD于点O，则∠ACO即为AC与平面BCD所成角，且∠OCD=30°，由cos∠ACD=cos∠ACO·cos∠OCD得cos60°=cos∠ACO·cos30°，cos∠ACO=33.即AC与平面BCD所成角的余弦值为33.例4∠AOB在平面α内，OC是平面α的一条斜线，若∠AOB=∠BOC=∠COA=θ，（90°图5解：作CD⊥平面α于D，则∠COD就是OC与平面α所成的角，由题设知直线DOE 平分∠AOB，∠DOA=π-θ2.由推论1知cos∠COA=cos∠COD·cos∠DOA.得cos∠COD=cosθcos（π-θ2）=-cosθcosθ2.四、求异面直线的夹角例5（2012年高考试题.上海卷第19题.如图6，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点.已知AB=2，AD=22，PA=2.求异面直线BC与AE所成的角的大小.解：由题设知∠EAC=∠ECA，AC是AE在平面ABCD内的射影，设异面直线BC与AE 所成的角为α，由三余弦公式得cosα=cos∠EAC·cos∠ACB=cos∠PCA·cos∠ACB=BCPC=22，所以α=45°，即异面直线BC与AE所成的角为45°.图6图7例6（2008年安徽卷18题）.如图7，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC=π4，OA⊥底面ABCD，OA=2，M为OA的中点.求异面直线AB与MD 所成角的大小；解：因为AB∥CD，所以锐角∠MDC就是异面直线AB与MD所成的角，由三余弦公式得cos∠MDC=cos∠MDA·cos∠CDA=cos45°·cos45°=12，得∠MDC=60°，所以异面直线AB与MD 所成的角为60°.例72007年北京卷第16题如图8，在Rt△AOB中，∠OAB=π6，斜边AB=4.Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角B-AO-C是直二面角.当D为AB的中点时，求异面直线AO与CD所成角的大小.解：由题设CO⊥平面AOB，∠AOD=∠OAB=π6，OD=OB=OC，则∠CDO=45°，设异面直线AO与CD所成角的大小为α，则cosα=cos∠CDO·cos∠DOA=cos45°·cos30°=64，所以α=arccos64，即异面直线AO与CD所成角的大小为arccos64.图8图9例8如图9，正四面体ABCD中，E、F分别为BC、AD的中点，求异面直线AE，CF所成的角α的余弦值.解：连接BF、EF，由题设可知AD⊥BF，AD⊥CF，所以AD⊥平面BCF，设AB=2，可得AE=CF=3，AF=1，EF=2，cos∠AEF=cos∠EFC=23，所以cosα=cos∠AEF·cos∠EFC=23.即异面直线AE，CF所成的角的余弦值为23.[1.湖北省襄州区一中（441104）。
余弦定理的推导公式
余弦定理的推导公式在我们学习数学的旅程中，余弦定理就像是一座神秘的城堡，等待着我们去探索和揭开它的面纱。
今天，咱们就一起来瞧瞧余弦定理的推导公式，看看这其中到底藏着怎样的奇妙秘密！记得我之前教过一个学生小明，他呀，脑袋瓜特别聪明，就是一碰到稍微复杂点的公式推导就容易犯迷糊。
有一次上数学课，正好讲到余弦定理，我在黑板上写下了三角形的三条边 a、b、c 和对应的三个角 A、B、C。
我开始给大家推导余弦定理，先从最简单的直角三角形入手。
假设角 C 是直角，那么根据勾股定理，c² = a² + b²。
这时候小明眼睛瞪得大大的，似乎一下子就明白了。
但当我开始讲一般三角形的情况时，他的眉头又皱了起来。
我画了一个锐角三角形，以边 c 为例，作边 c 上的高 h。
根据三角形的面积公式，我们有 S = 1/2 * ab * sinC，同时又有 S = 1/2 * ch。
所以 ch = ab * sinC，也就是 h = a * sinB。
接下来，在直角三角形中，根据勾股定理有 c² = (a - x)² + h²，其中x 是 b 在边 c 上的投影，也就是 x = b * cosC。
把 h = a * sinB 和 x = b * cosC 代入上式，经过一番整理，就得到了c² = a² + b² - 2ab * cosC 。
这时候小明一脸疑惑地问我：“老师，这怎么就得出这个公式啦？我还是不太懂。
”我耐心地给他解释：“你看啊，小明，咱们一步一步来，这个公式其实就是通过巧妙地利用三角形的各种关系推导出来的。
”我又带着大家重新推导了一遍，小明终于露出了恍然大悟的表情。
再来说说钝角三角形的情况。
以角 C 为钝角为例，同样作边 c 上的高 h，这时候 h = a * sin(180° - B) = a * sinB。
而边 c 上的投影 x = -b * cosC（注意这里是负的，因为投影方向相反），代入 c² = (a - x)² + h²，整理后还是能得到 c² = a² + b² - 2ab * cosC 。
三余弦公式推论及其应用
三余弦公式推论及其应用
三角形中余弦公式推论及其应用
一、什么是三角形中余弦公式
三角形余弦定理（也称为余弦公式）是指在一个三角形ABC中，对角线AC的长度与两个相邻边（AB、BC）的乘积之比等于这两个相邻边的余弦值之比，其公式可以表示为：
c²=a²+b²-2*a*b*cosC
二、三角形余弦公式的推论
1.几何意义
三角形余弦公式的几何意义有以下二点：A）对角线长度的平方等于其他两边的和两个另外两边以及对角线的夹角余弦的乘积之和；B）依据公式可以计算出任意三角形的角度和边长。
2.代数形式
三角形余弦定理还有一种代数表示形式，即：
a/cosA=b/cosB=c/cosC
以上公式也称为正余弦定理，意思是任意两边之比等于两边夹角的余
弦之比；
三、三角形余弦公式的应用
1.在平面几何中，应用三角形余弦公式，就可以求出任意三角形的角度和边长，从而计算出三角形的面积等信息，成功解决平面分析问题。
2.在几何与微积分课程中，可以利用余弦定理计算曲面积、弯曲面积等。
3.在工程中，余弦定理也应用于解决不规则图形，比如通用于求建筑物、桥梁、船舶等设计建造中各内外部结构材料标准大小及建造面积等；
4.在日程安排等管理方面，余弦定理可以用来表示圆柱体空间搬运的路径，及最短时间方案的设计。
5.医学影像学、航海学的多种科学领域也屡次应用余弦定理，利用以上方法来解决各种复杂计算问题。
三余弦定理公式
三余弦定理公式
三余弦定理是几何学中的一个重要定理，它指出，三角形的三个边的余弦值之积等于-1。
它可以用来求解三角形的角度和边长，从而解决很多三角形问题。
三余弦定理可以用符号表示为：COS A＊COS B＊COS C=-1。
这里，A，B，C分别表示三角形的三个内角，而cos（x）表示x角的余弦值。
它的另一种表示形式是：a2=b2+c2-2bc*cosA，其中a，b，c分别表示三角形的三条边，A表示三角形的内角。
三余弦定理可以用来解决很多三角形问题，比如求出三角形的三个内角，求出三角形的三条边，求出三角形的外角，求出三角形的边长等。
比如，已知三角形的两边a=3，b=4，及其夹角A=60°，则可用三余弦定理求出它的另外一边c=5。
由三余弦定理：a2=b2+c2-2bc*cosA，可得：32=42+c2-2*4*3*cos60°，即c2=25-24*√3，故c=5。
三余弦定理不仅可以用来求解三角形，也可以用来求解其他多边形的问题，它是几何学中的重要定理，在实际工程中也有广泛的应用。
高一数学中如何运用正弦定理和余弦定理
高一数学中如何运用正弦定理和余弦定理在高一数学的学习中，正弦定理和余弦定理是解决三角形问题的重要工具。
它们不仅在数学领域有着广泛的应用，在实际生活中的测量、建筑、导航等方面也具有重要意义。
接下来，让我们一起深入探讨如何巧妙地运用这两个定理。
首先，我们来了解一下正弦定理。
正弦定理的表达式为：＄＼frac{a}｛＼sin A} ＝＼frac{b}｛＼sin B} ＝＼frac{c}｛＼sin C}＄，其中$a$、＄b$、＄c$分别为三角形的三条边，＄A$、＄B$、＄C$分别为它们所对应的角。
正弦定理主要用于以下几种情况：一是已知三角形的两角和一边，求其他两边和一角。
例如，已知角$A$、＄B$和边$a$，我们可以先通过三角形内角和为$180^｛＼circ}＄求出角$C$，然后利用正弦定理$＼frac{a}｛＼sin A} ＝＼frac{b}｛＼sin B}＄求出边$b$，再用$＼frac{a}｛＼sin A} ＝＼frac{c}｛＼sin C}＄求出边$c$。
二是已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角。
假设已知边$a$、＄b$和角$A$，通过正弦定理$＼frac{a}｛＼sin A} ＝＼frac{b}｛＼sin B}＄，可以求出角$B$。
但需要注意的是，这种情况下可能会出现一解、两解或无解的情况。
当角$A$为锐角时，若$a ＜ b\sin A$，则无解；若$a ＝ b\sin A$，则有一解；若$b\sin A ＜ a ＜ b$，则有两解；若$a ＼geq b$，则有一解。
当角$A$为钝角或直角时，若$a ＞ b$，则有一解；若$a ＼leq b$，则无解。
接下来，我们再看看余弦定理。
余弦定理的表达式有两个：＄a^2＝ b^2 ＋ c^2 2bc\cos A$，＄b^2 ＝ a^2 ＋ c^2 2ac\cos B$，＄c^2 ＝a^2 ＋ b^2 2ab\cos C$。
余弦定理常用于以下几种情形：一是已知三角形的三边，求三个角。
三余弦公式的推导及其应用
精品三余弦公式的推导及其应用——教材研究1.公式的推证及两个重要推论命题：设OB ⊥平面α，B 为垂足，OA 是平面α的斜线，A 为斜足.∠OAB=1θ，l 是平面α内的任一直线，l 与AB 所成的角为2θ，l 与OA 所成的角为θ，如图1. 则：21cos cos cos θθθ= （三余弦公式）.证法1：过斜足A 引l 的平行线AC ，则∠OAC=θ,∠BAC=2θ.再过B 作BC ⊥AC ，连OC ，则易知AC ⊥OC ，由直角三角形中三角函数的定义有：AB ACOA AB OA AC ===21cos ,cos ,cos θθθ ∴ 21cos cos cos θθθ=. 证法2：设1|AO |=，则11cos cos |AO ||AB |θθ== ,∴ 212cos cos cos ||||θθθ== . 又∵ θθcos cos ||||==，∴ 21cos cos cos θθθ⋅=.由于0＜θ1＜90°. 所以cos θ1≠0，则0cos 0cos 2=⇔=θθ，由此可得： 推论1：0209090=⇔=θθ——此即三垂线及其逆定理.又由于0＜2cos θ＜1 所以θcos ＜cos θ1，从而θ1＜θ，由此可得：推论2：（最小角定理）平面的斜线和它在平面内的射影所成的角，是这条斜线和这个平面内任一直线所成的角中最小的角.2.公式的应用举例§2.1.在几何论证方面的应用：例1.求证:将长方体截取一角后的截面是锐角三角形.证明：如图2，设四面体SABC 是长方体截取一角，则易知： AS ⊥平面BSC ，由三余弦公式知：cos ∠ABC= cos ∠ABS ·cos ∠CBS ，∵ ∠CBS ，∠ABS 都是锐角 ∴ cos ∠ABS, cos ∠CBS 都大于0，从而cos ∠ABC 大于0. 又∵ ∠ABC 是三角形的一内角, ∴ ∠ABC 是锐角.同理可得：∠BAC 、∠BCA 也都是锐角.故 三角形ABC 是锐角三角形. 注：此问题的证法很多,上述证法是证明此结论的所有证法中较为简单的一种.想一想①：已知平面βα⊥，直线AB 与α、β所成的角分别为21,θθ，则21θθ+（ ）. A.等于90°， B.小于90°， C.不大于90°， D.不小于90°.θθ2OA B C l α θ1 图1A SBC 图2精品§2.2利用它处理与线面所成角有关的问题：例2.PA 、PB 、PC 是从点P 引出的三条射线，每两条射线的夹角均为60°，则直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值为（ ）. A.21 ， B.36 ， C.33 ， D.23.解：如图3，∵ ∠CPB=∠APC=60° ∴ PC 在平面APB 上的射影PD 是∠APB 的角平分线，即∠DPB=30°.由三余弦公式得： cos60°=cos30°·cos ∠DPC 则cos ∠DPC=33.即直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值为33.故选C.例3.有一东西方向的河流，离河岸若干米处有一探照灯，照着岸边的某点B ，探照灯在点 B 的正东北方向，照射B 点的光线与地面成60°角，求该光线与岸边所成角的余弦值. 解：如图4，设AD 为探照灯，BC 为河岸，则AD 由已知有：∠ABC=45°，∠ABD=60°. cos ∠DBC=cos45°·cos60°=42.即 灯光与岸边所成角的余弦值是42.想一想②：设正四面体ABCD 的棱长为a ，求点A 到平面BCD 的距离AO 及其体积.【引申】通常情况下θ与θ2是锐角.若θ与θ2同为钝角时，三余弦公式仍成立，且有更广泛的用途.例4.如图5.在直二面角βα——l 的棱l 上有点A,在内各有一条射线AB 、AC ，它们与l 均成45°的角，且AB 在平面α内， AC 在平面β内，求∠BAC 的大小.解：（1）当AB 、AC 是如图所示状态时，∵ 二面角βα——l 是直二面角， ∴ βα⊥. 过B 作BD 垂直l 于D ，由三余弦公式得: cos ∠BAC =cos45°·cos45°=21, ∴ ∠BAC=60°. （2）当AC 是如图所示AC 1状态时，cos ∠BAC =cos45°·cos135°= -21 ∴ ∠BAC=120° 综上知 ∠BAC=60°或120°. 例5.已知正方形ABCD 的边长为4，M 、N 分别是边AD 、BC 上的点，MN ∥AB,MN ∩AC=O.现正方形ABCD 沿MN 折成直二面角(如图6), 设AM=BN=x （0＜x ＜4），问.当MN 平行移动时, ∠AOC 是否发生变化?试说明理由. 解：此题的常规方法是：通过计算，将AO 、OC 、P CABD 图3东图4AB C DC 1βα l 图5ABN M O C D D C NM A BO 图6精品AC 分别用x 表示出来，然后由余弦定理算出cos ∠AOC= -21是常数(计算量较大).从而得出结论.若换个角度来看：则易知：∠NOC=45°, ∠NOA=135°,由三余弦公式有：cos ∠AOC =cos45°·cos135°= -21，可很快可得结论. 点评：由以上几例可以看出，在涉及直线与平面所成角的问题时.若能充分利用三余弦公式，可做到思路简单、计算简便，收到事半功倍之效.想一想③：如图7.把正方形ABCD 沿对角线AC 折成 直二面角B —AC —D ，E 、F 分别是AD 、BC 的中点， O 是正方形的中心，求折起后∠EOF 的大小.§2.3.利用它处理与两异面直线所成角有关的问题：例6.如图8所示，在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别在B 1C 1、C 1C 上，且33FC ,31EC 11==,求异面直线A 1B 与EF 所成角的余弦值.解：∵ A 1B 1⊥平面BB 1C 1C ∴ A 1B 与平面BB 1C 1C 所成角为45°.又∵33FC ,31EC 11==, ∴ ∠EFC 1=30° 即EF 与C 1C所成角为30°, 亦即EF 与B 1B 所成角为30°.设A 1B 与EF 所成角为θ，则由三余弦公式可得：cos θ= cos450·cos30°=46 . ∴ 异面直线A 1B 与EF 所成角的余弦值为46.例7.已知异面直线a 、b 所成的角为θ=60°，点P 为空间任意一点.（1）过P 点与直线a 、b 所成的角均为ϕ=45°的直线有几条？ （2）过P 点与直线a 、b 所成的角均为ϕ=60°的直线有几条？ （3）过P 点与直线a 、b 所成的角均为ϕ=70°的直线有几条？ 解：（1）如图9，过点O 引异面直线a 、b 的平行线OA 、OB ，则问题转换为求过点P 与OA 、OB 所成的角均为45°的直线的条数. ∵ OP 与OA 、OB 成等角45° ∴ OP 在由OA 、OB 确定的 平面α内的射影OD 是∠AOB 的平分线，即∠DOB=30°. 由三余弦公式可得：cos ∠POB = cos45°·cos ∠POD, cos45°= cos30°·cos ∠POD ，30cos 45cos cos =∠⇒POD ＜1，∴ 这样的直线OP 如图9存在一条，又由对称性在l 的另一侧也存在一条.FB F AE DMOAE DB C MO图7 ABC DD 1A 1B 1C 1F E 图8 OPADBa bα图9l精品再考虑到∠AOBD 的补角的情形，由三余弦公式，cos45° = cos60°·cos ∠POD 1,106cos 45cos cos =∠⇒POD ＞1, ∴ 此种情形的直线不存在. 综上所述知，满足条件的直线有2条.（2）同（1）的分析，满足条件的直线存在与否就是看等式：0030cos 60cos cos =∠POD ＜1（有2条）,0106cos 60cos cos =∠POD =1（只1条）,从而知满足条件的直线有3条.（3）∵ 0030cos 70cos cos =∠POD ＜1（有2条）,0106cos 70cos cos =∠POD ＜1（有2条）, ∴ 满足条件的直线有4条.点评：一般地，设异面直线a 、b 所成的角为θ，过P 且与a 、b 所成的等角为ϕ.则当：1°2coscos cos θϕ=∠POD “＜1”（2条）；“=1”（1条）；“＞1”（0条）.2°2180coscos cos 01θϕ-=∠POD “＜1”（2条）；“=1”（1条）；“＞1”（0条）.然后将上述1°、2°两种情形合并即可. 想一想④：设异面直线a 、b 所成的角为50°，点P 为空间任意一点,问过P 点与直线a 、b 所成的 角均为45°的直线有几条？变式:(09重庆高考)已知二面角βα—— 的大小为θ1=50°，点P 为空间任意一点,过P 且与平面α和平面β所成的角均为ϕ1=25°的直线的条数为( )A 、2,B 、3,C 、4,D 、5. 解:如图10.过点P 分别作平面α、β的垂线PA 、PB. 设由垂线PA 、PB 确定的平面与 交于点O ，则易知：AO ⊥ ，BO ⊥ ，即∠AOB 为二面角βα—— 的平面角. ∴∠AOB=50°，则∠APB=130°.又∵过P 的直线与平面α和平面β所成的角均为25°，∴ 问题转化为为过点P 与PA 、PB 均成65°的直线的条数问题了. 由例4（3）我们已知满足条件的直线有3条.故选B.点评：一般地，此类问题可转化为θ=180°-θ1，ϕ=90°-ϕ1时,例4的情形.PB AOα β图10AF EBC B CAFE图11精品【练习】1.如图11.在Rt △ABC 中，AB=BC ，E 、F 分别是AC ，AB 的中点，以EF 为棱把它折成直二面角A —EF —BC ， 设∠AEC=α，求cos α.并将此与上述例5及想一想③ 进行比较.2.已知平面α内有∠xoy=60°，OA 是α的斜线，且OA=10，∠Aox=∠Aoy=45°，则A 到平面α的距离为（ ）.3.在三棱锥D —ABC 中，DA ⊥平面ABC ，∠ACB=90°，∠ABD=30°,AC=BC ，求异面直线AB 与CD 所成的角.【部分问题参考答案】想一想① 解析:如图,过A 、B 分别作棱的垂线AC 、BD∠ABC=1θ，∠BAD=2θ,又设∠ABD=θ，由最小角定理知，θ而=+2θθ90°，则 ≤+21θθ90°， 故选C.想一想② 解：∵ 四面体ABCD 是正四面体 ∴ AB 在底面BCD 上的射影是∠CBD 的角平分线，如图，由三余弦公式得：cos60°=cos ∠ABO ·cos30°， ∴ cos ∠ABO=33.于是sin ∠ABO=36 ， ∴ AO=36a.其体积为：32122433631a a a V ABCD =⋅⋅=. 想一想③ 解:过点E 作EM ⊥AC 于M ，∵ 在折叠的过程中，∠EOA=45°, ∠FOA=135°, 没有发生变化，由三余弦公式, cos ∠EOF=cos45°·cos135°= -21， ∴ ∠EOF=120°. 想一想④ 提示:2条. 【练习】1.提示:120°，此问题与例4等实质上是一致的.2.解：设OA 与平面α所成的角为θ，则由三余弦公式可得:cos 45°= cos30°·cos θ , ∴ cos θ=33sin 36=⇒θ.故 点A 到平面α的距离为：3310.3.解：∵ DA ⊥平面ABC ，∠ACB=90°，∠ABD=30°, AC=BC ，不妨设AC=BC=1. 则可求得AD=315 ,从而 cos ∠ACD=515. 又∵∠BAC=45°,DA B C图12A BC DO图14 DABC图15∴设AB与AC成45°角,设AB与CD所成的角为θ,30.由三余弦公式可得：cosθ= cos∠ACD·cos 45°=10 .精品。
三面角余弦定理公式
三面角余弦定理公式在空间几何中，三面角是指四面体的一个面所对应的角，它是四面体的一个基本构成要素。
三面角的计算涉及到边长和角度，其中一种常用的计算方法是使用三面角余弦定理公式。
三面角余弦定理公式是用余弦函数来表示三面角的计算公式，它可以帮助我们计算三面角的大小。
在这个公式中，我们需要知道四面体的六条边的长度，以及其中三个角的大小。
这个公式的表达式如下：cos θ = (a²b²c² + b²c²d² + c²d²a² + d²a²b² - b²d²a² - c²a²b²) / (2abcdbd)其中，a、b、c和d分别表示四面体的四个顶点，而边长则由它们之间的距离来表示。
而θ表示的是三面角所对应的角度大小。
这个公式的推导可以通过向量的方法来完成，它的应用也非常广泛。
例如，在物理领域中，我们可以使用这个公式来计算四面体中某个角的力矩。
在建筑设计中，我们可以使用这个公式来计算四面体中某个角的倾斜角度，以便确定建筑物的结构稳定性。
除了三面角余弦定理公式，还有许多其他的公式和方法可以用来计算三面角。
例如，我们可以使用三面角正弦定理公式来计算三面角的正弦值，也可以使用三面角余弦公式来计算三面角的余弦值。
这些公式虽然表达方式不同，但它们都能够帮助我们计算三面角的大小，从而在各种应用场景中发挥作用。
三面角余弦定理公式是一种非常重要的计算方法，它可以帮助我们计算四面体中的三面角角度大小，从而在各种领域中发挥作用。
当我们学习和应用这个公式时，需要注意公式中每个变量的含义和计算方法，以确保计算结果的准确性和可靠性。
三角余弦定理
三角余弦定理1. 引言三角余弦定理（Law of Cosines）是解决三角形问题的重要定理之一。
它是一种关于三角形边长和角度之间关系的数学公式，可以用来计算任意三角形的边长或角度。
本文将详细介绍三角余弦定理的定义、推导过程以及应用实例。
2. 定义对于任意一个三角形ABC，设边长分别为a、b、c，对应的内角分别为A、B、C。
则根据三角余弦定理，有如下公式：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(C)其中，c为第三边长度，A为第一内角（对应a），B为第二内角（对应b），C为第三内角（对应c）。
3. 推导过程下面我们来推导一下三角余弦定理的公式。
首先，根据余弦定理可得：cos(C) = (a^2 + b^2 - c^2) / (2ab)然后，将cos(C)代入到原方程中：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(C)= a^2 + b^2 - 2ab * (a^2 + b^2 - c^2) / (2ab)= a^2 + b^2 - a^2 - b^2 + c^2= c^2推导完成，得到了三角余弦定理的公式。
4. 应用实例4.1 计算缺失的边长三角余弦定理可以用来计算三角形中缺失的边长。
例如，已知一个三角形的两边长分别为5和7，夹角为60度，我们可以使用三角余弦定理来计算第三边长。
根据公式：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(C)代入已知条件：c^2 = 5^2 + 7^2 - 2 * 5 * 7 * cos(60°)= 25 + 49 - 70 * cos(60°)= 74 - 70 * (1/2)= 74 - 35= 39因此，第三边的长度c约等于6.24。
4.2 判断三角形类型三角余弦定理还可以用来判断一个三角形是锐角、直角还是钝角三角形。
根据余弦值的范围，我们可以判断出内角C所对应的边c与其他两边a、b之间的关系。
•若cos(C) > 0，则内角C为锐角，表示边c小于a、b的长度。
立体几何三余弦定理公式
立体几何三余弦定理公式立体几何是数学中的一个重要分支，研究的是空间中的图形、体积和距离等问题。
在立体几何中，三余弦定理是一条非常重要的公式，它能够帮助我们求解三角形中的边长和角度。
三余弦定理公式可以用来求解三角形中的任意一边的长度，它的表达式如下：c² = a² + b² - 2abcosC其中，a、b、c分别表示三角形中的三条边的长度，C表示夹在边a 和边b之间的角度。
这个公式可以帮助我们求解三角形中的任意一边的长度，无论是已知两边和夹角，还是已知一边和两个夹角，都可以通过这个公式来求解。
三余弦定理的推导过程可以通过向量的运算来进行，不过在这篇文章中，我将使用简单的例子来帮助读者理解这个公式。
假设我们有一个三角形ABC，已知边AB的长度为5，边AC的长度为7，夹角BAC的角度为60度。
我们可以根据三余弦定理来求解边BC的长度。
根据三余弦定理公式，我们可以得到：BC² = AB² + AC² - 2AB·AC·cosBAC代入已知条件，我们可以得到：BC² = 5² + 7² - 2·5·7·cos60°计算得到：BC² = 25 + 49 - 70·0.5BC² = 74 - 35BC² = 39通过开方运算，我们可以得到：BC ≈ 6.24所以，根据三余弦定理，当AB=5、AC=7、BAC=60°时，BC的长度约为6.24。
三余弦定理不仅可以用来求解边长，还可以用来求解三角形中的角度。
假设我们已知三角形ABC的边长分别为3、4和5，我们可以根据三余弦定理来求解角A的大小。
根据三余弦定理公式，我们可以得到：cosA = (b² + c² - a²) / (2bc)代入已知条件，我们可以得到：cosA = (4² + 5² - 3²) / (2·4·5)计算得到：cosA = (16 + 25 - 9) / 40cosA = 32 / 40cosA = 0.8通过反余弦函数，我们可以得到：A ≈ 37°所以，根据三余弦定理，当边长分别为3、4和5时，角A的大小约为37°。
三余弦公式的推导及其应用
三余弦公式的推导及其应用三角函数公式是数学中三角函数之间的一种关系式，通过三角函数公式可以得到一些常用的三角函数值，其实可以通过两个角度正负来得到所有角度正负的值。
其中最常用的就是三角恒等式中的三角函数的平方和恒等于1的关系式和两个角度求和或差的三角函数的关系式。
在数学中，三角函数是描述角度的函数。
三角函数有正弦、余弦、正切、余切等等，其中最关注的就是正弦函数和余弦函数。
先来推导三角函数之间的一个重要公式：三余弦公式。
假设有一个任意锐角ΘABC，设点D为AB延长线上的一点，使得BD=BC。
则根据余弦定理可以得知：AB²=BC²+CA²-2×BC×CA×cos∠BCA，即有AB²=BC²+CA²-2×BC×CA×cos∠ABC。
同时AB=BD+DA，即有BC+CA=BD+DA。
将BC+CA代入AB²=BC²+CA²-2×BC×CA×cos∠ABC中可以得到BD+DA=BC+CA=2×BC×cos∠ABC，所以BD=BC×cos∠ABC，DA=CA×cos∠ABC。
将DA和BD代入到sin∠CAD中，可以得到：sin∠CAD=sin∠BCA=BD/CA。
所以，我们得到了重要的三角函数之间的关系式：sin∠CAD=BD/CA=BC×cos∠ABC/CA=BC/CA×cos∠ABC=tan∠ABC×cos∠AB C=（sin∠ABC/sin∠ACB）× （sin∠BAC/sin∠ABC）×（1/cos∠ABC）=sin∠BAC/sin∠ACB。
根据上面推导的三余弦公式，可以在三角函数之间互相转换，并且可以方便地计算三角函数的数值。
三余弦公式的一个重要应用是解三角形问题，即通过已知角度和边长推算其它角度和边长。
三角函数公式及其记忆方法
三角函数公式及其记忆方法三角函数是数学中的一类函数，它们描述了角度和长度之间的关系。
在三角函数中，最常见的三个函数是正弦函数(sin)，余弦函数(cos)和正切函数(tan)。
1. 正弦函数(sin)：在一个直角三角形中，正弦值是指对边与斜边的比值。
正弦函数的记忆方法可以通过以下动作，即“拉橡皮筋”：-首先，将一个橡皮筋固定在一个固定点上；-然后，将橡皮筋的另一端拉向一些角；-最后，角与橡皮筋的拉力之间的关系就是正弦函数的关系。
正弦函数的公式为：sin(θ) = 对边 / 斜边，其中θ为角度。
2. 余弦函数(cos)：在一个直角三角形中，余弦值是指邻边与斜边的比值。
余弦函数的记忆方法可以通过以下动作，即“压缩橡皮筋”：-首先，将一个橡皮筋固定在一个固定点上；-然后，将橡皮筋的另一端向内压缩；-最后，压缩橡皮筋的长度与角之间的关系就是余弦函数的关系。
余弦函数的公式为：cos(θ) = 邻边 / 斜边，其中θ为角度。
3. 正切函数(tan)：在一个直角三角形中，正切值是指对边与邻边的比值。
正切函数的记忆方法可以通过以下动作，即“竖直爬长梯”：-首先，站立在一根垂直的梯子底端；-然后，爬上梯子，爬升的高度与梯子水平的位置之间的关系就是正切函数的关系。
正切函数的公式为：tan(θ) = 对边 / 邻边，其中θ为角度。
除了这三个基本的三角函数之外，还有其它一些相关的三角函数：- 余切函数(cot)：cot(θ) = 1 / tan(θ) = 邻边 / 对边- 正割函数(sec)：sec(θ) = 1 / cos(θ) = 斜边 / 邻边- 余割函数(csc)：csc(θ) = 1 / sin(θ) = 斜边 / 对边这些函数都有各自的定义和性质，但是它们之间存在一些重要的关系- sin²(θ) + cos²(θ) = 1，这是三角函数中的基本恒等式。
- tan(θ) = sin(θ) / cos(θ)，这表明正切是正弦与余弦的比值。
余弦定理与正弦定理
余弦定理与正弦定理余弦定理和正弦定理是解决三角形中边长和角度之间关系的重要定理。
它们在三角学中有着广泛的应用，能够帮助我们计算未知边长或角度。
本文将介绍余弦定理和正弦定理的定义、公式以及应用，并探讨它们的区别和联系。
一、余弦定理的定义和公式余弦定理是在三角形中，通过已知边长和夹角计算其他边长的定理。
它的定义如下：在三角形ABC中，设三条边分别为a、b、c，对应的夹角分别为A、B、C，则余弦定理的公式为：c² = a² + b² - 2abcosC其中，c为三角形对应于角C的边长，a和b为与角C相邻的两条边长，cosC为角C的余弦值。
二、正弦定理的定义和公式正弦定理是在三角形中，通过已知两个角度和一个边长计算其他边长的定理。
它的定义如下：在三角形ABC中，设三条边分别为a、b、c，对应的夹角分别为A、B、C，则正弦定理的公式为：a/sinA = b/sinB = c/sinC其中，a、b、c为三角形的边长，A、B、C为对应的角度。
三、余弦定理和正弦定理的应用1. 通过余弦定理计算未知边长或角度：- 已知两边长和夹角：可以使用余弦定理计算第三条边长，或者计算其他两个角度。
- 已知三边长：可以使用余弦定理计算其中一个角度。
2. 通过正弦定理计算未知边长或角度：- 已知两角度和一个边长：可以使用正弦定理计算其他两条边长。
- 已知一个角度和两边长：可以使用正弦定理计算另外两个角度。
四、余弦定理与正弦定理的区别和联系余弦定理和正弦定理在解决三角形问题时具有不同的应用场景。
余弦定理适用于已知边长和夹角的情况，可以求解缺失的边长或角度。
而正弦定理适用于已知两个角度和一个边长的情况，同样可以求解其他边长或角度。
此外，两个定理之间也存在一定的联系。
通过余弦定理可以推导出正弦定理，而正弦定理也可以推导出余弦定理。
在解决问题时，可以根据具体情况选择使用其中一个定理进行计算。
总结：余弦定理和正弦定理是解决三角形中边长和角度之间关系的重要定理。
余弦定理及其应用
余弦定理及其应用余弦定理是初中数学中较为重要的一个定理，它通常用于求解三角形中某一个角的大小或者某一条边的长度。
本文将分别讲述余弦定理的公式及其推导过程，以及在实际应用中的一些案例。
一、余弦定理的公式余弦定理是在三角形中的任意一条边上，作高，将三角形分成两个直角三角形，然后利用勾股定理及几何证明，得到的著名公式。
其公式为：$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$其中，$c$是三角形中的一条边，$a$和$b$是剩下的两条边，$C$是余弦定理中夹角$c$的对面角。
值得注意的是，当$C=90^\circ$时，余弦定理变为了勾股定理。
当$C$小于$90^\circ$时，$\cos C$为正数；当$C$大于$90^\circ$时，$\cos C$为负数。
这也意味着，当角度较小时，三角形中较长的一条边越长；当角度较大时，三角形中较长的一条边反而越短。
二、余弦定理的推导过程余弦定理的推导过程相对较为复杂，但从中可以体会数学证明的思路和方法。
下面简述一下余弦定理的推导过程。
（1）首先，我们将三角形分成两个直角三角形，并用勾股定理推导出$AC$的长度：$AC^2=AB^2-BC^2$（2）接着，我们利用勾股定理，求出$BD$的长度：$BD^2=AB^2-AE^2$（3）我们可以发现，$BD$与$AC$构成一个平行四边形，因此有$BD=AC$。
（4）从而得到：$BD^2=AC^2-AE^2$代入（2）式，可得：$AB^2-AE^2=AC^2-BC^2$化简后即为余弦定理：$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$三、余弦定理在实际应用中的一些案例1.求解三角形中的某一个角余弦定理可用于求解三角形中的某一个角的大小。
如图所示，在$\triangle ABC$中，已知$c=7$，$a=4$，$b=6$，求$\angle C$的大小。
根据余弦定理，我们有：$7^2=4^2+6^2-2\times 4\times 6\cos C$化简后得：$\cos C=-\frac{1}{12}$根据余弦函数的定义，可知：$\cos C=\frac{\mathrm{adj}}{\mathrm{hyp}}=\frac{AB}{AC}$代入$\cos C=-\frac{1}{12}$即可得到$\angle C$的大小。
三倍角正余弦公式及其应用
则有 ３ ｓ ２ ， ｓ ２ ． —４ｉ ａ＝ ｎ 即 ｉ ａ＝ ｎ 又
由 ａ为 第 四象 限的 角 ， ｓ ａ： 一：０ ， 得 ｉ ｎ 故 １
ＣＳ＇ ＯＯ
：
量 为 Ｙ ，
Ｆｅ＋ ＣｕＳ Ｏ４一 Ｆｅ ＳＯ４＋ Ｃｕ
３￣ ｏ Ｔ ，ｎ ａ： 一 ， ｌ ｔｎ ａ： ａ ｔ 以 ａ２ 所 以 一 一
— — — — — —
￣
￣
，
．
．
围 ， 而得到 ＋Ｙ的最小值 ． 意实根 分布 从 注
—
ｓｎ１ 。 ｉ ８
一
情 况讨 论 ．
ｓ ６ｓ （ ０ 一６ ）ｉ（０ ＋６） ｉ 。ｉ ６ ￣ 。ｓ ６￣ 。 ｎ ｎ ｎ
解法 ４ ￣ 用三 角代换 ） 令 ＝（ｏ０ （１ ： ｃｓ ） ，
三倍 角公 式有 两种形式 ：ｉ３ ＝３ｉＯ一 ｓ ０ ｓ ｎ ｎ
４ ｉ ， ｏ３ ｓ ０ ｃ ｓ ０＝４ ｏ ３ ｎ ｃ ｓ ０—３ ｏ Ｏ； ｉ３ ｃ ｓ ｓ ０＝４ ｉ Ｏ・ ｎ ｓｎ
６ｏ ｓ ２ 一６ ０ ） ６ｉ３ ＋６ ｏ２ ｉ ｘ ｃｓ ｉ ｎ ｃｓ ＋（ ｓ ｎ ｃｓ ｎ ｓ
‘
ｓ０ｎｏ ｓ３０＝ ． ｉ￣７＝ ｉ ・）吉 ｎ ｓ０ ｛ｎ １ ５ｉ （ｏ
・
解析 左边 ＝血 ：
５ ・ ４
２０ ０ ８年 第 ５期
ｓ １ ｉ ｎ
— ，
—
河北理科教 学研 究
短 文集锦
８ ｓｉ ４２ ｉ ８ ｎ ｓ ｎ７
． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ．
一
６ｉ ｘ ｓ ）＝ｃｓ ＋ｓ ３ 一６ ｏｘ（ Ｏ２ ＋ ｎ ｏ３ ｉ ｎ ｃｓ ＣＳ
三角形的余弦定理公式
三角形的余弦定理公式
嘿，朋友们！今天咱们来聊聊三角形的余弦定理公式！那可是非常厉害的家伙呀！
余弦定理公式就是：a²=b²+c²-2bcCosA。
哇塞，这可太重要啦！比如说，有个三角形，三边分别是 3、4、5，我们来看看怎么用这个公式。
就像我们要找到角 A 的余弦值，那就用5²=3²+4²-2×3×4×CosA 这个式子呀！通过计算就能知道角 A 的具体情况啦，是不是很神奇？
再比如呀，工人叔叔们在造房子的时候，如果要知道一个倾斜的架子和墙面形成的角度，不就可以用余弦定理公式嘛！这能帮助他们更好地施工呢！
总之，三角形的余弦定理公式超级有用，就像一把神奇的钥匙，能打开很多几何问题的大门哟！大家一定要好好掌握它呀！。
三倍余弦角公式
三倍余弦角公式在我们的数学世界里，有一个神奇的存在，那就是三倍余弦角公式。
这玩意儿听起来好像有点让人头疼，但其实它就像一把神奇的钥匙，可以帮我们打开很多数学难题的大门。
先来说说什么是三倍余弦角公式吧。
它的表达式是：cos3α = 4cos³α - 3cosα 。
可别被这一串式子吓到，咱们慢慢剖析它。
还记得我上高中那会，有一次数学考试，最后一道大题就用到了这个三倍余弦角公式。
当时我看到题目，心里“咯噔”一下，心想：“完了，这个公式平时没怎么练熟啊。
”那道题大概是这样的：已知一个三角形的一个角是α，让我们求另外一个相关角的余弦值，而这个角恰好可以用3α 来表示。
我硬着头皮，在草稿纸上不停地推导，脑袋里努力回忆着三倍余弦角公式的模样。
当时我那个紧张啊，手心都出汗了，心里不停地念叨着：“千万别出错，千万别出错。
”经过一番苦思冥想，我终于把公式给套进去了，算出了答案。
当考试成绩出来的时候，我发现就因为这道题做对了，我的成绩在班上提高了好几个名次。
从那以后，我就深刻地认识到，掌握好这些公式是多么重要。
咱们再回到这个公式本身。
要理解它，咱们可以从二倍角公式入手。
二倍角公式大家应该都比较熟悉，cos2α = 2cos²α - 1 。
那我们来推导一下三倍余弦角公式。
我们先把3α 写成2α + α ，然后根据两角和的余弦公式 cos(A + B) = cosAcosB - sinAsinB ，就有：cos3α = cos(2α + α) = cos2αcosα - sin2αsinα把二倍角公式代入进去，就得到：cos3α = (2cos²α - 1)cosα - 2sinαcosαsinα展开并整理一下，就得到了：cos3α = 2cos³α - cosα - 2sin²αcosα再利用三角函数的基本关系sin²α + cos²α = 1 ，把sin²α 换成 1 -cos²α ，得到：cos3α = 2cos³α - cosα - 2(1 - cos²α)cosα继续化简，就得出了我们的三倍余弦角公式：cos3α = 4cos³α -3cosα 。
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三余弦公式的巧用
1AO AO AO 12αθααθθθθθ２ 如图：斜线和平面所成的角为，斜线在平面上的射影A B ,A C 为平面内异于A B 的直线，
A B 与A C 的夹角为，与A C 的夹角，则有：cos =cos cos
该公式本质上反映了线面角与线线角之间的数量关系，其本质特征是由两个平面互相垂直，两个平面内的三条直线所成角的定量关系。
在处理异面直线所成角、线面角的问题时效果明显。
下面通过近年高考试题予以说明。
例一: （2005全国卷I 第18题）
已知四棱锥P-ABCD 的底面为直角梯形，AB CD ∥，
⊥=∠PA DAB ,90 底面ABCD ，
且PA=AD=DC=
2
1
AB=1，M 是PB 的中点。
（Ⅱ）求AC 与PB 所成的角；
常规解法：过点B 作BE//CA ，且BE=CA ，则∠PBE 是AC 与PB 所成的角. 连结AE ，可知AC=CB=BE=AE=2，又AB=2，所以四边形ACBE 为正方形. 由
PA ⊥面
ABCD
得∠PEB=90°在
Rt △PEB
中
BE=
2，PB=
5，
.510cos ==
∠∴PB BE PBE .5
10
arccos 所成的角为与PB AC ∴ 析：已知条件中有PA ⊥底面ABCD 若使用三余弦公式则：PB 在平面ABCD 上的射影AB ，
222210
cos ,cos 22
55
5PBA BAC AC PB ∠=
∠=
=
∴与夹角的余弦值＝ .5
10
arccos
所成的角为与PB AC ∴ 评：只要找到三线的夹角即可，无需作图求解。
例二（2006福建卷）如图，四面体ABCD 中，
α
A
C
B
O
A
B
M
D
E
O
C
O 、E 分别BD 、BC 的中点,CA =CB =CD =BD =2 （Ⅰ）求证：AO ⊥平面BCD ；
（Ⅱ）求异面直线AB 与CD 所成角的大小； 常规方法
方法一： （I ）证明：连结OC ,,.BO DO AB AD AO BD ==∴⊥
,,.BO DO BC CD CO BD ==∴⊥ 在AOC ∆
中，由已知可得1,AO CO ==
而2,AC = 222,AO CO AC ∴+= 90,o AOC ∴∠=即.AO OC ⊥
,BD OC O = AO ∴⊥平面BCD
（II ）解：取AC 的中点M ，连结OM 、ME 、OE ，由E 为BC 的中点知ME ∥AB,OE ∥DC ∴直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成的角 在OME ∆中，
11
,1,222
EM AB OE DC ==
==
OM 是直角AOC ∆斜边AC 上的中线，
1
1,2OM AC ∴==
cos OEM ∴∠= ∴异面直线AB 与CD
所成角的大小为 方法二：
（II ）解：以O 为原点，如图建立空间直角坐标系，则(1,0,0),(1,0,0),B D -
1(0,0,1),(,(1,0,1),(1,22
C A E BA C
D =-=-
.2cos ,,4
BA CD BA CD BA CD
∴<
>=
=
∴异面直线AB 与CD 所成角的大小为arccos
4
由（Ⅰ）知：AO ⊥平面
BCD ；AB 在平面平面BCD 上的射影在BD 上
1
cos 22ABD CDB ∠=
∠=∴异面直线AB 与CD 所成角的大小为
y
例三（2006湖南卷）如图,已知两个正四棱锥P-ABCD 与Q-ABCD 的高分别为1和2,AB=4.
(Ⅰ)证明PQ ⊥平面ABCD;
(Ⅱ)求异面直线AQ 与PB 所成的角; (Ⅲ)求点P 到平面QAD 的距离.
解法一： （Ⅰ）．连结AC 、BD ，设O BD AC = .
由P －ABCD 与Q －ABCD 都是正四棱锥， 所以PO ⊥平面ABCD ，QO ⊥平面ABCD .从而
P 、O 、Q 三点在一条直线上，所以PQ ⊥平面ABCD . （II ）由题设知，ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥． 由（I ）知：231223,3,cos ,cos 33
3
AO PB AQO BPO ==∠=
=
∠=∴AQ=22 从而异面直线AQ 与PB 所成的角是3
arccos
9
. 例四（2006江西卷）如图，已知三棱锥O ABC -的侧棱
OA OB OC ，，两两垂直，且1OA =，2OB OC ==，E 是OC 的中点．
（2）求异面直线BE 与AC 所成的角； 常规方法
: 取OA 的中点M ，连EM 、BM ，则
EM ∥,AC BEM ∠是异面直线BE 与AC 所成的角. 求得:22221517
,5,.222
=
==-==+=EM AC BE OB OE BM OM OB 22222
cos ,arccos .255+-∠==∴∠=⋅BE ME BM BEM BEM BE ME
(2,0,0)(0,1,0)(2,1,0),(0,2,1).=-=-=-坐标法EB AC cos <,EB AC >22
,555
-=
=-⋅所以
Q
B
C
P
A
D
Ａ
Ｏ
Ｅ
Ｃ
Ｂ
异面直线BE 与AC 所成的角2
arccos 5
.
利用三余弦公式求解：BE 在平面AOC 上的射影OE=1，BE=5，
525cos ,cos 55BEO ACO ∠=
∠=所以异面直线BE 与AC 所成的角2arccos 5
. 立体几何中的计算，尤其是客观题的解答，如果过分依赖坐标法这个“鸡肋”将阻碍立体几何对空间思维能力的提升，阻碍“降维”转化思想方法的形成，从而削弱立体几何应有的思维训练价值。
同时，让我们抓住教材，充分利用教材；指导我们进行高考备考。
附：练习
1．（全国Ⅰ•理•7题）如图，正四棱柱1111D C B A ABCD -中，
AB AA 21=，则异面直线11AD B A 与所成角的余弦值为（ ）
A ．51
B ．52
C ．53
D ．5
4
2．（全国Ⅱ•理•7题）已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱长与 底面边长相等，则AB 1与侧面ACC 1A 1所成角的余弦值等于（ ） A ．
6
4
B ．
10
4
C ．22
D ．32
3（北京•理•16题）如图，在Rt AOB △中，π
6OAB ∠=，斜边4AB =．
Rt AOC △可以通过Rt AOB △以直线AO 为轴旋转得到， 且二面角B AO C --是直二面角．D 为AB 的中点． 则异面直线AO 与CD 所成角的大小 (6arccos 4
) （6cos cos cos cos cos 4
6
4
COD AOD ππθ=∠⨯∠==）
4（2008 四川延考理16文16）已知90AOB ∠=︒，
C 为空间中一点，且60AOC BOC ∠=∠=︒，
则直线OC 与平面AOB 所成角的余弦值为 。
22
O
C
A D
B
E
O
Q
E
N
M A B
D
C
O
P
A
B
C D
A 1
B 1
C 1
D 1 O
5（2008安徽卷理18）
如图，在四棱锥O ABCD -中，底面
ABCD 四边长为1的菱形，4
ABC π
∠=,
OA ABCD ⊥底面, 2OA =,M 为OA 的中点，N 为BC
的中点则异面直线AB 与MD 所成角的大小 3π
6（2008福建卷理18）如图，在四棱锥P-ABCD 中， 面PAD ABCD ⊥，侧棱PA =PD ＝2，底面ABCD 为直角梯形，
其中，O 为AD 中点.则异面直线PD 与CD 所成角的大小
6
arccos
3
7（2009年上海卷理）如图，若正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面连长为2， 高为4，则异面直线1BD 与AD 所成角的大小是_________ （结果用反三角函数表示）.6arccos 6
8（2010全国卷1文数）（9）正方体ABCD -1111A B C D 中，
1BB 与平面1ACD 所成角的余弦值为
（A ） 23 （B ）33 （C ）23
（D ）63
11,BB DD ∥设O 为正三角形1ACD 的中心，
则1OD D ∠即为所求
11116cos45cos cos cos cos 3cos30
CD D CD O OD D OD D ∠=∠∠⇒∠==。