第三章 泊松过程 2
随机过程——泊松过程(习题讲解)
n ( x t )n
n!
e ( x t )
因此,
dP( Sn k
k 1 n ( x t )n ( x t ) d 1 e k k 1 n! x | N (t ) n) n 0 ( x t ) e ( x t ) dx dx (k 1)!
即,在 N (t ) n 条件下,在时刻 t 之后首次事件发生的平均时间为 t
1 .
下面求 E{Sn k | N (t ) n} , ( k 1) : E ( Sn k | N (t ) n)
t
xdP(Sn k x | N (t ) n) ,而
由于在 N(t)=n 的条件下,n 个到达时刻 < < …< 区 间 [0 , t] 上 均 匀 分 布
( )<
与时间
,
,… ,
的 顺 序 统 计量
<…<
有相同分布,所以
故
= 习题九:假设车站有两辆客车准备开出,乘客以速率为 泊松过程登上 A 车,当 A 车坐满 的事件,乘客以速率为 的
个乘客就开出;与此独立
P( Sn k x, N (t ) n) P( N ( x) N (t ) k , N (t ) n) P( N (t ) n) P( N (t ) n) P( N ( x) N (t ) k ) P( N (t ) n) P( N ( x t ) k ) 1 P( N ( x t ) k 1) P( N (t ) n) P( Sn k x | N (t ) n) 1
t
e ( x t )
4第三章泊松过程
例如: 到达体育场的公共汽车数是一泊松过程,而每辆公共 汽车内所载的乘客数是一个随机变量。若各辆车内 的乘客数Yn服从相同分布,且又彼此统计独立,各辆车 的乘客数和车辆数N(t)又是统计独立的,则到达体育 馆的总人数X(t)是一个复合泊松过程.
X (t )
N (t ) n 1
Y ,
n
t0
等待时间Wn的分布
等待时间Wn是指第n次事件A出现的时刻(或第 n次事件A的等待时间)
Wn
T
i 1
n
i
因此Wn是n个相互独立的指数分布随机变量之和。
定理3.3: 设{Wn,n≥1}是与泊松过程{X(t),t≥0}对应的 一个等待时间序列,则Wn服从参数为n与 λ 的Г 分布(也称爱尔兰分布),其概率 密度为
解:
W1(2)
y y
W1(2)
合
y
非齐次泊松过程
定义3.4: 允许速率或强度是t的函数 称计数过程{X(t),t≥0}为具有跳跃强度函数 λ (t)的非齐次泊松过程,若它满足下列条件:
1. X(0)=0;
2. X(t)是独立增量过程;
3. P{ X (t h) X (t ) 1} (t )h o(h)
X (t ) Yi
i 1
N (t )
1 P{Y 1} P{Y 4} 6 1 P{Y 2} P{Y 3} 3
则:
E[Y ]
15 6
E[Y ]2
43 215 2 D[ X (5)] tE[Y ] 10 6 3
1 e t , t 0 FTn (t ) P{Tn t} t0 0,
其概率密度为
证明
e t , f Tn (t ) 0,
随机过程——泊松过程(2)
4.2.2 复合Poisson过程
二、定义
设 N t , t 0 为一齐次 Poisson 过程,n , n 1是 i.i.d 序列,且与N t , t 0相互独立,令
Yt n1 n
Nt
Y 则称随机过程 t , t 0 为复合 Poisson 过程.
• 4.1 到达时间间隔与等待时间分布 • 4.1’ Poisson过程的分解 • 4.2 非齐次和复合Poisson过程
4.1’ Poisson过程的分解
一、Poisson过程的分解
N t , t 0为 一 齐 次 sson 程, 有 时 会 Poi 过
将 事 件 分 类 ,型 和II型 , 事 件 被 分 为 哪 I 一类依赖于发生的时,即事件发生在 间 时 刻s, 则 以 概 率 s 被 归 为 型 , 以 P I 的归类独立,则有如结论: 下
s 0
P0 t , s 1 t s h oh
ln P0 t , s t x dx m t s m t
P0 t , s e
m t s m t
再来看k 1的情形
4.2.1 非齐次P机过程 N t 是一个计数过程,若满 足
(2)N t 是独立增量过程 .
(1) N 0 0
(4)h 0,PN t h N t 1 t h oh
则 称N t 具 有 强 度 函 数t 的 非 齐 次 为 Poisson 程 . 过
u t s P0 t , s t
k 1 e iuk t s Pk t , s t s Pk 1 t , s
iuk iu
随机过程第三章 泊松过程
解:设一年开始为 0 时刻,1 月末为时刻 1,则年末为时刻 12,依泊松过程的定义可知
PN (12) N (0) n e412 (412)n
n!
平均索赔请求次数及金额
E[N(12) N(0)] 412 48
3.2 与泊松过程相联系的若干分布
记 Tn , n 1, 2,表示第 n 次事件发生的时刻,规定T0 0 。记 Xn , n 1,2, 表示第 n
即
N(t) n Tn t
因此
PTn
T
P N (t )
n
in
et
(t)i i!
对上式求导,得到Tn 的概率密度函数
f (t)
et (t)i
et
(t)i1
et
(t )( n 1)
in
i! in
(i 1)!
(n 1)!
命题得证。
注:Tn 的数字特征
ETn
n
,
DTn
n 2
;且
ETn
nEX n
P ti Ti ti hi ,i 1, 2,, n N (t) n
PN (ti
hi )
N (ti )
1,
N (ti1) N (ti hi )
PN (t) n
0,1
i
n,
N (t1)
0
h1e h1
h e e hn (th1h2 hn ) n et (t)n / n!
n! tn
-2-
P0 (t) et
类似地,当 n 1时
Pn (t h) PN (t h) n PN (t) n, N (t h) N (t) 0 PN (t) n 1, N (t h) N (t) 1
第3讲第三章泊松过程
P Tn t T1 s1,,Tn1 sn1 P Nt s1 sn1 Ns1 sn1 1T1 s1,,Tn1 sn1
PN t s1 sn1 N s1 sn1 1
1 PN t s1 sn1 N s1 sn1 0
(2) N(t)是独立增量过程;
(3) 对一切0≤s,t, N(t+s) -N(s) ~P(λt),即
P[N (t s) N (s)] k et [t]k , k 0,1, 2,
k! 称{N( t ),t≥0)是参数为λ的齐次泊松过程.
注1 从增量分布知:齐次泊松过程也是平稳增量过程.
注2 N(t) ~P(λt).
et (t)k1 dt
t0
(k 1)!
例3.3 设N1(t)和N2( t )分别是强度为λ1和λ2的相互独立的
泊松过程, Wk1为过程N1(t)的第k个事件的到达时间,
W12 为过程N2(t)的第1个事件的到达时间,求 P Wk1 W12
解: fwk1
x
e1x 1
1 x k1
(k 1)!
所以3.2→定义3.3
再证 由定义3.3 → 定义3.2
即:需证明 N(t s) N(s) ~ t 由于是平稳增量故只需证 N(t) ~ t
记:Pn t PN(t) n
下面我们依次求Po(t), P1(t),…, Pk(t) ,…
首先,由定义3.3中的条件(3):
P1 h h oh
P0
0
1,由条件1
N
0
0
解得p0 (t) et , t 0
当n≥1时, n
pn (t h) pk (h)pnk (t) k 0 p0 (h) pn (t) p1(h) pn1(t) oh
随机过程 第3章 泊松过程
泊松过程
[定义] 称计数过程{ X (t) , t 0 }为具有参数 的泊松过程, 若它满足下列条件: (1) X (0) = 0 ; (2) X (t) 是独立增量过程; (3) (平稳性)在任一长度为 t 的区间中,事件A发生的次 数服从参数 >0的泊松分布,即对任意 s , t 0 ,有
3.2 泊松过程的基本性质
泊松分布:
( t ) n t P{ X (t s ) X ( s ) n} e , n!
n 0, 1,
( t ) n t P{ X (t ) n} e , n 0, 1, 2, n!
Φ X ( ) E[e
假设在[0 , t ]内事件A已经发生一次,确定这一事件到 达时间W1的分布 ——均匀分布
P{W1 s, X (t ) 1} P{W1 s X (t ) 1} P{ X (t ) 1} P{ X ( s ) 1, X (t ) X ( s ) 0} P{ X (t ) 1} P{ X ( s ) 1} P{ X (t ) X ( s ) 0} P{ X (t ) 1}
故仪器在时刻 t0 正常工作的概率为:
k 1 ( t ) P P (T t 0 ) e t dt t0 ( k 1)! n k 1 ( t ) 0 P [ X (t 0 ) k ] e t
0
n0
n!
(3) 到达时间的条件分布
P{ X k }
k e
k!
, k 0, 1, 2, ( 0为常数 )
则随机变量X 服从参数为 的泊松分布,简记为 ()。
E(X ) ,
泊松过程及例子2
P( X 2 60) 30e30 x dx 0.368 故有(1) 2 60
(2)P( X 4 60)
4 60
30e30 x dx 0.865
3 60 1 60
P (3) (1 60 X 3 60)
30e30 x dx 0.384
0 [ m X ( t s ) m X ( t )]
或 P ( s) e . 同理 0 Pn(s+h)=P{X(t+s+h)-X(t)=n} =P{(t,t+s]中有n个事件,(t+s,t+s+h]中没事件} +P{(t,t+s]中有n-1个事件,(t+s,t+s+h]中有1个事件} +P{(t,t+s]中有n-2个事件,(t+s,t+s+h]中有2个事件} +…+P{(t,t+s]中没有事件,(t+s,t+s+h]中有n个事件} =Pn(s)[1-λ(t+s)h+o(h)]+Pn-1(s)[λ(t+s)h]+o(h)
定理3.4 设{X(t),t≥0}是泊松过程,已知在[0,t]内事件 A发生n次,则这n次到达时间W1<W2<…<Wn与相应于n 个[0,t]上均匀分布的独立随机变量的顺序统计量有相 同的分布. 证明: 令0≤t1<t2<…<tn+1=t,且取hi充分小,使得对i
2, [0 = P{[t i , t i hi ]中有一事件(i 1, ,n),,t ]的别处无事件} P{ X (t ) n}
hn
随机过程第三章 泊松过程
第一节 泊松过程的基本概念
定义3.1(计数过程)随机过程
称为计{数N过(程t),,如t 果0}
N (t) 表示t时刻为止,某一特定事件A发生的次数.
由定义,计数过程具有以下两个特点:
(1) N取(值t)为非负的整数;
s t (2)
时,
N (且s) N (t) 表示N时段(t) 内N (s) 事件A发生的次(s数,.t]
(3)PN(12) 9 N(5) 4 PN(12) N(5) 5 N(5) 4
PN(12) N(5) 5 (7)5e7 5!
(4)PN (5) 4 N (12) 9
PN (5) 4, N (12) 9 PN (12) 9
PN(5) 4PN(12) N(5) 5 PN(12) 9
1. E N t0,t EN t N t0 t t0 ;
2. D N t0,t D N t N t0 t t0 , 特别地,t0 0,由假设N 0 0,可得: N t E N t t, DN t D N t t;
3. CN s,t DN mins,t mins,t, s,t 0;
P{M
(t)
m
|
N
(t)
n}
n m
pm
(1
p)nm
若
nm
由题意
P{N (t) n} (t)n et
n!
于是
P{M
(t)
m}
nm
n m
p
m
(1
p)nm
(t)n
n!
et
et pm (t)m (1 p)nm (t)nm
m!
nm
(n m)!
et pm (t)m et (1 p)
第3章 泊松过程
第一节 泊松过程的定义
一、计数过程
N(t)表示到时刻t为止以发生的“事件”的总数,称{N(t), t≥0}为计数过程。 N(t)满足 1, N(t) ≥0
2, N(t)为整数
3,若s < t , 则 N(s) ≤N(t) 4,当s < t 时,N(t)- N(s) 为区间(si 1
n
则
X i Ti Ti 1
称Tn为事件A第n 次出现的等待时间(到达时间).
定理1 设{Xn, n≥1}是参数为λ的泊松过程 {N(t), t≥0}的时间间隔序列, 则{Xn, n≥1}相互 独立同服从指数分布, 且E{X}=1/λ. 证 (1) 因 {X1>t}={(0, t)内事件A不出现} P{X1>t}=P{N(t)=0}=e-λt
P0 t h P0 t o h P0 t h h dP0 t P0 t 令h 0, 得 dt P 0 1, 条件1N 0 0 0
解得
p0 ( t ) e
t
,
t 0.
Fn t P X n t 1 e t , t 0.
注 (1)上述定理的结果应该在预料之中,因为泊
松过程有平稳增量,过程在任何时刻都“重新开 始”,这恰好就是“无记忆性”的体现,正好与指 数 分布的“无记忆性”是对应的.
(2)泊松过程的另一个等价定义:
独立,且服从同一参数 的指数分布,则记数过
两边同乘以eλt 后移项整理得
d [e t Pn ( t )] t e pn 1 ( t ) dt
当n=1, 则
( 2)
d [e t P1 ( t )] e t P0 t e t e t dt P 0 0 1
《随机过程》第3章-泊松过程
中南民族大学经济学院
43
.随机过程》第3章-泊松过程
2 非齐次Poisson过程
中南民族大学经济学院
44
.随机过程》第3章-泊松过程
随机过程
第三章 泊松过程
1 齐次Poisson过程 2 非齐次Poisson过程 3 复合Poisson过程 4 年龄与剩余寿命 5 更新过程
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37
.随机过程》第3章-泊松过程
2 非齐次Poisson过程
中南民族大学经济学院
38
.随机过程》第3章-泊松过程
2 非齐次Poisson过程
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39
.随机过程》第3章-泊松过程
证明:
2 非齐次Poisson过程
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40
.随机过程》第3章-泊松过程
22
.随机过程》第3章-泊松过程
证明:
1 齐次Poisson过程
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23
.随机过程》第3章-泊松过程
1 齐次Poisson过程
中南民族大学经济学院
24
.随机过程》第3章-泊松过程
1 齐次Poisson过程
中南民族大学经济学院
25
.随机过程》第3章-泊松过程
证明:
1 齐次Poisson过程
1 齐次Poisson过程
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9
.随机过程》第3章-泊松过程
证明:
1 齐次Poisson过程
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10
.随机过程》第3章-泊松过程
证明:
1 齐次Poisson过程
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11
.随机过程》第3章-泊松过程
第4讲 第三章泊松过程(2)
n! n, f (t1 , t2 , , tn N (t ) n) t 0,
0 t1 tn t 其他.
证明:
0 t1 t2 t n1 t n t
P Wi ti -ti,ti , i 1, , n | N (t ) n
k 1
t
Dk e ( t Wk ) N ( t ) n]
N (t ) n] (Dk 与N(t), Wk相互独立) N (t ) n]
n
e
k 1
n
EDk E[e
n
Wk
e
t
ED1 E[e
k 1
n
Wk
E ( D1 )e t E[ eWk N (t ) n]
解: 每次损伤初始为Dk,经时间t 后衰减为
Dke-αt,t≥0 (α>0);
Wk 为第k 次受震动的时刻,则在t 时刻的总损伤: N (t ) D( t ) D e t Wk
k 1
k
需求E[D( t )].
由全期望公式来计算期望.
E[ D t N (t ) n] E[
ti 0 i 1,, n
n! n t
注 若在(0, t]时间内A出现n 次,则这n 次到达时间 W1,W2,…,Wn与 n个相互独立的[ 0, t]上的均匀分布 随机变量U1,U2, …,Un的顺序统计量U(1),U(2), …,U(n)
有相同分布.
性质3 设{N( t ), t≥0)是参数为λ的泊松过程,
P Wk s,s s | N (t ) n
P Wk s,s s ,N (t ) n
P N (t ) n P N ( s ) k 1, N ( s s ) N ( s ) 1, N (t ) N ( s s ) n k P N (t ) n
《随机过程——计算与应用》课件泊松过程2
个到达时刻T1 <T2 <…<Tn有以下联合概率密度函
数:
p(u1,
u2
,,
un
)
n!,0 tn 0,
u1
u2 其它
un t
证明:对0 u1 u2 un t,取充分小的正数h1, h2, , hn ,
使得uk Tk uk hk ,且各小区间(uk ,uk hk ](k 1, 2, n)
试计算:
(1) 过程 N1 的第一个事件先于过程 N 2
的第一个事件发生的概率.
(2) 过程 N1 的第k个事件先于过程 N 2 的第一个事件发生的概率.
解题思路: 考虑两个随机变量的联合密度函数,再计算有关的概率
P(T1(1)
T1(2) )
1 1 2
P(Tk(1)
T (2) 1
)
( 1 1 2
1) P{Nth Nt 0} 1 h (h) 2) P{Nth Nt 1} h (h) 则该计数过程一定是参数为的泊松过程.
记 qk (t) P(Nt k), k 0,1, ,对充分小的h 0, 可计算
q0 (t h) P(Nth 0) P(Nth Nt 0, Nt 0)
泊松过程
泊松过程的一个等价定义 称随机过程N={Nt,t≥0}是参数为λ 的泊松过程,如果 它满足以下条件:
① N0 0 ② N是平稳的独立增量过程
③ P{Nth Nt 0} 1 h (h) ④ P{Nth Nt 1} h (h)
泊松过程两个定义的等价性由下面的两个定理验证
定理4.2.2 参数为λ 的泊松过程N={Nt,t≥0}一定满足 以下性质:
qk (t)[1 h (h)] qk1(t)[h (h)] (h)
a第8讲第3章 泊松过程2
作业:设在[0, t)时段内乘客到达某售票处的数目为一强度λ(人/分)的泊松过程,试求:是5.2=(1)在5分钟内有10位乘客到达售票处的概率;(2)第10位乘客在5分钟内到达售票处的概率;(3)相邻两乘客到达售票处的平均时间间隔。
第三章泊松过程(2)定义 3.2 称计数过程{}0),(≥t t X 为具有参数0>λ的泊松过程,若它满足下列条件: (1)0)0(=X(2))(t X 是平稳独立增量过程;(3)在任一长度为t 的区间中,事件A 发生的次数服从参数0>t λ的泊松分布, 定义3.3 (1)0)0(=X (2))(t X 是独立、平稳增量过程; (3))(t X 满足下列两式:{})(1)()(h o h t X h t X P +==−+λ {})(2)()(h o t X h t X P =≥−+{}L,1,0,!)()()(===−+−n n t en s X s t X P n t λλ,)]([)(t t X E t m X λ==tt X D t X λσ==)]([)(2)]1(exp[][)()(−==iut iuX X e t eE u g λ),,min(),(t s t s B X λ=)( ),1()]()([),(t s t s t X s X E t s R X <+==λλ数字特征定理3.2.,},2,1,{,}0),({ 的同一个指数分布且服从参数是相互独立的随机变量则其时间间隔的泊松过程为强度设λλL =≥n T t t X n .,2,10. ,0,0 ,e )(L =⎩⎨⎧≤>=−i t t t f tT i λλ{}L ,2,1,0,!)()()(===−+−n n t e n s X s t X P ntλλ{}L ,2,1,0,!)()(===−n n t en t X P ntλλ⎪⎩⎪⎨⎧≤>−=−−.0 ,0,0 ,e )!1()()(1t t n t t f tn W nλλλ.分布的和服从参数为则其到达时间Γλn W n 定理3.3 ,}0),({过程的为强度设Poisson t t X λ≥概率密度函数1T 2T n T O1W 1−n W nW 2W ∫∞+−−=Γ01)(dxe xs xs例设{X 1(t ), t ≥0}和{X 2(t ), t ≥0}是两个相互独立的泊松过程,它们在单位时间内平均出现的事件数分别为λ1和λ2。
随机过程第三章泊松过程
随机过程第三章泊松过程泊松过程是随机过程中的一类重要过程,在许多领域都有广泛应用,如排队论、可靠性分析、金融工程等。
泊松过程的概念由法国数学家泊松提出,它具有无记忆性、独立增量和平稳增量等重要特征。
在本文中,我们将介绍泊松过程的定义、性质以及一些实际应用。
泊松过程的定义:设N(t)是在区间[0,t]内发生的事件个数,若满足以下三个条件,则称N(t)是具有独立增量和平稳增量的泊松过程:1.N(0)=0,表示在时间0之前没有事件发生;2.对于任意的s<t,N(t)-N(s)的分布只与时间间隔t-s有关,与s时刻之前的事件个数无关,这表明泊松过程具有无记忆性;3.对于任意的s<t,N(t)-N(s)的分布是一个参数为λ(t-s)的泊松分布,其中λ是过程的强度参数。
泊松过程具有很多重要的性质。
首先,泊松过程的均值和方差等于其强度参数λ。
其次,泊松过程的增量独立,即在非重叠区间上的增量相互独立。
此外,泊松过程的时间间隔也是独立同分布的指数分布。
泊松过程具有广泛的应用。
在排队论中,泊松过程可用于描述到达队列的顾客数量。
在可靠性分析领域,泊松过程可用于描述设备的故障次数。
在金融工程中,泊松过程可用于模拟股票价格的变动和交易的发生。
在实际应用中,对于给定的泊松过程,我们通常感兴趣的是估计其强度参数λ。
常用的估计方法有最大似然估计和矩估计。
最大似然估计通过最大化观测到的事件发生次数和估计的事件发生率之间的似然函数,来估计λ的值。
矩估计则是通过将观测到的事件个数的平均值等于λ的估计值,来确定λ的值。
此外,在泊松过程的应用中,我们还可能遇到泊松过程的两个重要扩展:非齐次泊松过程和二维泊松过程。
非齐次泊松过程是指强度参数λ是时间的一个函数,而不是常数。
二维泊松过程是指同时考虑两个独立的泊松过程,其事件发生次数可能影响到对方的发生次数。
综上所述,泊松过程是一种重要的随机过程,具有无记忆性、独立增量和平稳增量等特征。
第三章 泊松过程 2
C
n 0
m m n
( t ) t p q e (m n)!
m n m n
( qt ) n ( pt ) m t [ e ] n! m! n 0 e qt ( pt ) m t ( pt ) m pt e e . m! m!
P{N (2) N (1) 5} e 101
n 0
(10 1) , n!
P{N (3) N (2) 0} e
16
10
(10)0 e 10 . 0!
(事故的发生次数和保险公司接到的索赔数)
N(t)表示(0,t]时间内发生事故的次数。 Poisson过程就是{N(t),t 0 }很好的一种 近似。考虑保险公司每次赔付都是1,每 月平均4次接到索赔要求,一年中他要付 出的平均金额为多少? n
se
s
e tet
(t s )
s t
在 N(t)= 1的条间上是均匀分布的.
36
•定理3 在已知 N(t)= n (n 2)的条件下, 事件发生的n 个时刻T1 , T2 , … , Tn 的联合 分布密度为
n! f ( t 1, t 2 , , t n ) n , 0 t 1 t 2 t n . t
34
9
• 泊松过程中事件发生时刻的条件分布
假设到时刻 t 为止, 泊松过程{N(t), t 0} 中的事件A 已经发生了n 次, 现在考察这 n 次事件发生的时刻T1 ,T2 , … ,Tn 的 联合分布. 事实上,当N(t)=1时,若s < t ,
35
PT1 s, N (t ) 1 PT1 s | N (t ) 1 PN (t ) 1 PN ( s ) 1, N (t ) N ( s ) 0 PN (t ) 1 PN ( s ) 1PN (t ) N ( s ) 0 PN (t ) 1
第三章泊松过程(随机过程刘次华版本)
P
W (1) k
W1(2)
0
e
1 x
x1
(1x)k 1
(k 1)!
2e2 ydydx
1k
x e dx k 1 (1 2 ) x
(k 1)! 0
1
1 2
k
32
3.2.3 到达时间Wn的条件分布
3.2 泊松过程的性质
假设在[0, t]内事件A已经发生1次,确定这一事
件到达时间W1的条件分布密度
求
P
W (1) k
W (2) 1
即第一个泊松过程第k次事件发生比第二个泊松过 程第1次事件发生早的概率.
29
3.2 泊松过程的性质
解
设
W (1) k
的取值为x,W1(2)
的取值为y,
fWk(1)
(
x)
1e
0
1 x
,
(1
(k x
x ) k 1 1)! 0
,
x
0
fW1( 2)
(
y)
2e
2
0 ,
y, y
nn
P
P[X[(Xt) (tX(0h))]
nX(tj)|]X([tX (ht))XX(t()0)]j
j0j 0
PnX|(tX(ht )hX)(t)X (jt) j PX(t h) X(t)
n
P[X(t) X(0)] n j | X(t h) X(t)10 j j0
3.1 泊松过程的定义
D[ X (s)] (E[ X (s)])2
s(t s) s (s)2 s(t 1)
17
3.2 泊松过程的性质
BX (s, t) RX (s, t) mX (s)mX (t) s 若t s,则BX (s, t) t, 从而 BX (s, t) min(s, t)
第三章泊松过程
设X ( ),即服从参数为的泊松分布。则:
1.P( X
k) e
k
k!
,k
0,1, 2,...
2.E( X ) Var( X )
3. X 的生成函数(或母函数)
g(t) E(s X ) e (s1) , 0 s 1
证明:(3)g(t)
浙大数学随机过程
6
定理:(泊松分布的可加性和可分性)
(1)设X ( ),Y (), 且相互独立,则X Y ( )
(2)设N (),N个事件独立地(也独立于个数N)以概率
pi为类型i,这里i 1, 2,..., n, p1 ... pn 1.
i0
(t)i
i!
f Sn
t
பைடு நூலகம் t n1
n 1!
0,
et ,
t0 其他
即Sn ~ n,
2 记Ti Si Si1 i 1, 2, (S0 0)
称为第i 1个事件和第i个事件发生的时间间隔
N(t)
4 3 2 1
T1 S1T2 S2 T3 S3
e p1
( p1)i1
i1 !
...e pn
( pn )in
in !
浙大数学随机过程
8
§2 泊松过程的定义
以N (t) 表示在时间间隔0, t内事件发生的数目, N (t), t 0是取非负整数、时间连续的随机过程,
称为计数过程。
计数过程{N (t)}称作参数为的泊松过程,如果: 1. N (0) 0
泊松过程且与{N (u):u s}独立。
对t s, n m:
第6讲第三章泊松过程(2)
1齐次泊松过程中有“增量平稳”的假定条件, 假定到达率λ是常数.当过程的到达率随时间而变化, 此假设就不合理了.§3.3非齐次泊松过程2若过程的增量平稳条件不满足,到达率随时间改变,设到达率为时间函数λ( t ),则引入非齐次泊松过程概念:定义:如果计数过程满足下列条件1)N (0)=0;2){N ( t ),t ≥0 }是一个独立增量过程;);()(}1)()({)3t o t t t N t t N P Δ+Δλ==−Δ+{()()2}().P N t t N t o t +Δ−≥=Δ称{N ( t ), t ≥0}是具有速率函数为λ(t)的非齐次poisson 过程.3定理3.5若N ( t ),t ≥0}是非齐次泊松过程,且达到率λ(t )是连续函数,则()00()()~()t t t N t t N t s dsπλ++−∫即在[t 0, t 0+t ]时间内事件A 出现k 次的概率为:})]()({[00k t N t t N P =−+0[()]exp{()]}!t t k t t t t s ds s ds k λλ++=−∫∫",2,1,0=k 特别:()()~()t N t s ds πλ∫0()~()tEN t s dsλ∫4Ex.4 设某路公共汽车从早晨5时至晚上9时有车出发。
乘客流量如下:5时按平均乘客为200/时计算,将时间5时至8时乘客平均到达率按线性增加,8时到达率为1400/时;8时至18时保持平均到达率不变,18时至21时乘客平均到达率按线性减少,到21时为200/时。
假定乘客数在不相重叠的时间间隔内是独立的。
求12时至14时有2000人来站乘车的概率,并求出这两小时内来站乘车人数的数学期望。
2001400133ot)(t λ16解:将时间5时至21时平移至0时至16时。
到达率的图形:)(t λ52001400133ot)(t λ16()则时间内的客流表示,),0[t t N 时的客流为时至1412()()79N N −()⎟⎠⎞⎜⎝⎛∫97~dt t λπ()2800~π79()()()===−−!2000280020007920002800e N N P 12时至14时的平均客流量为:()()[]280079=−N N E 6解:{}(){}n t N P t W P t F n w n ≥=≤=)(()()()∑∞=−≥=n k t m k t e k t m 0,!参数为λ(t ),的泊松过程{N (t ),t ≥0},事件A 第n 次出现的到达时间Wn ,求其Wn 的概率密度。
随机过程3.4 泊 松 过 程(二)
注等价于时间间隔序列T1,T2,…,Tn,…相互独立 同服从相同指数分布.
证 由定理3.3.2 知必要性,仅需证充分性, 应有
电子科技大学
P{N (t) k} (t)k et ,
k!
Ti的特征函数为
1 min( s, t) 21st 2 min( s, t) 22st 212st (1 2 )min( s, t) (21 22 )st 212st.
电子科技大学
2) 根据泊松分布的可加性知 X(t)=N1(t) +N2(t), t>0,
的载客人数为ξn,则经公交车通过此路口的
人数为:
N(t)
X(t) n n1
电子科技大学
EX.6 若将股票交易次数N(t)看作一个Poisson
过程,ξn表示第n 次与第n-1次易手前后股票价 格差,则X( t ) 就代表直到t 时刻股票的价格变化.
定义3.4.2 设{N(t), t≥0}是强度为λ的齐次 Poisson过程, {ξn, n≥1}是相互独立同分布的随 机变量序列,并与N(t)相互独立,称
电子科技大学
(1) 因 0= N (0) N1(t) N2(t) ,推知 N1(0) 0, N2(0) 0 , (2) 对 任 意 的 0 t0 t1 t2 tn1 tn , 泊 松 过 程 {N(t),t 0} 的增量
相互独立.
服从参数为(λ1+λ2)t 的泊松分布. 问题:如何证明?
3) Y(t)=N1(t)-N2(t)的特征函数为
独立和的 特征函数
Y (u) exp{1teiu 1teiu (1 2 )t}
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泊松贡献:
泊松的科学生涯开始于研究微分方程及其 在摆的运动和声学理论中的应用。他工作 的特色是应用数学方法研究各类力学和物 理问题,并由此得到数学上的发现。他对 积分理论、行星运动理论、热物理、弹性 理论、电磁理论、位势理论和概率论都有 重要贡献。
3.1.2.泊松分布和泊松定理
泊松分布:
设随机变量X所有可能取的值为0,1,2, …,而 取各个值得概率为
.
泊松过程是一类时间连续状态离散的随机过程
例如: • 电话交换机在一段时间内接到的呼叫次数; • 火车站某段时间内购买车票的旅客数; • 机器在一段时间内发生故障的次数;
3.1.3 泊松过程
• 定义1 随机过程{N(t),t 0 }称为计数过程, 如果 N(t) 表示从0到t 时刻某一特定事件事件A 发生的次数,它具备以下两个特点
在此之前,首先熟悉一个函数f是o(h)的概念(高 阶无穷小)
即:若对于一个函数f,满足:
f (h)
lim h0
h
0
则称函数f是o(h).
• 定义2' 计数过程{N(t),t 0 }是泊松 过程,如果N(t)满足
(1) N(0)=0, (2) N(t)是平稳独立增量过程,
(3) 存在>0,当h↘0 时,有
{N(t), t 0 }是一个泊松过程.
15
➢例(Poisson过程在排队论中的应用)随机服
➢务系统中排队现象,可以用Poisson过程描述
➢。例如,到达电话总机呼叫数目、到达车站
➢顾客数等等。以车站售票处为例,上午8:00
➢开始,连续售票,乘客10人/h的速度到达,
➢从9:00-10:00这1小时内最多5名乘客到来
(1) N(t) 0 ,且 N(t) 取整数; (2)当s< t 时,则 N(s)N(t), 且 N(t)-N(s)
表示在时间(s, t]时间内事件A 发生的 次数.
10
Poisson过程
➢例 ➢对观察事件出现的次数感兴趣,可以用
计数过程描述。 ➢一段时间内某商店购物的顾客数。 ➢经过公路上某一路口的汽车数量。 ➢保险公司接到的索赔次数。
➢ N(t)表示(0,t]时间内发生事故的次数。 ➢Poisson过程就是{N(t),t 0 }很好的一种 ➢近似。考虑保险公司每次赔付都是1,每 ➢月平均4次接到索赔要求,一年中他要付 ➢出P的{N平(12均) 金N额(0)为 多n}少 (?412)n e412,
n! E[N (12) N (0)] 4 12 48.
13
• 定义2 计数过程{N(t),t 0 }称为参数为
( >0)的泊松过程, 如果
(1) N(0)=0, (2) 过程有独立增量 (3) 在任一长度为 t 的时间区间中事件A发
生的次数服从均值为 t 的泊松分布,
即对任意s 0, t >0,有
P N (t s) N (s) n et (t)n ,
➢的概率?10:00-11:00之间没人来的概率?
➢ 解 设8:00为0时刻,9:00为1时刻,参数λ 10.
P{N (2) N (1) 5} 5 e101 (10 1)n ,
n0
n!
P{N (3) N (2) 0} e10 (10)0 e10. 0!
16
➢ (事故的发生次数和保险公司接到的索赔数)
泊松生平:
1798年入巴黎综合工科学校深造。 毕业时,因优秀的研究论文而被指定为讲师。 受到P.-S.拉普拉斯、J.-L.拉格朗日的赏识。 1800年毕业后留校任教 1802年任副教授 1806年接替J.-B.-J.傅里叶任该校教授。
1808年任法国经度局天文学家
1809年任巴黎理学院力学教授。 1812年当选为巴黎科学院院士。
P{X k} ke , k 0,1, 2,L ,
k!
其中λ>0是常数,则称X服从参数为λ的泊松 分布,记为X~p(λ)
E(X ) D(X )
泊松定理 :
设λ>0是一个常数,n是任意正整数,设,则 对于任一固定的非负整数k,有
e
pn (1 pn )
k!
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• 独立增量计数过程: 对于t1<t2<<tn (n>3),N(t2)-N(t1), N(t3)N(t2), , N(tn)-N(tn-1) 相互独立.
• 平稳增量计数过程: 在(t, t+s]内(s>0),事件A 发生的次数
N(t+s)-N(t) 仅与时间间隔 s 有关,而 与初始时刻 t 无关.
17
由定义2可知,为了确定一个任意的计数过程 实际上是一个泊松过程,必须证明它同时满足定义
中的(1)、(2)、(3)三个条件,其中条件(1) 只是说明事件的计数过程是从时刻t=0开始的,条件 (2)根据我们对计数过程了解的情况直接验证,而
对于条件(3)我们全然不知道如何去满足。
因此,给出另一个泊松过程的定义是就显得很 有必要,接下来介绍泊松过程的另一个定义:
第三章 泊松过程
目录
➢ Poisson过程 ➢ 与Poisson过程相联系的若干分布 ➢ Poisson过程的推广
2
3.1 泊松过程
➢3.1.1 泊松简介 ➢3.1.2 泊松分布和泊松定理 ➢3.1.3 泊松过程
3.1.1 泊松简介
泊松,法国著 名数学家。 1781 年6月21 日生于法国 卢瓦雷省的 皮蒂维耶, 1840年4月25 日卒于法国 索镇。
P N (t h) N (t) 1 h o(h)
n! n 0,1, 2,L
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注: (1)泊松过程是平稳独立增量过程;
(2)E[N(t)]=t , E表[N示(t单)] 位
时间内事件A发生的平均次t 数,一般称为 过程的强度或速率.
例 在(0, t]内接到服务台咨询电话的次数 N(t),在(0, t]内到某火车站售票处购买车 票的旅客数N(t) 等都是泊松变量,
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Poisson过程
➢ Poisson过程是以法国数学家泊松的名字命名的 ➢ 泊松过程是随机过程的一种,是以事件的发生
时间来定义的。 ➢ 一个泊松过程是在每个有界的时间区间,赋予
一个随机的事件数,使得在一个时间区间内的 事件数,和另一个互斥(不重叠)的时间区间 的事件数,这两个随机变量是独立的。 ➢ 在每一个时间区间内的事件数是一个随机变量 ,遵循泊松分布。