数学建模初等模型 ppt课件
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数学建模之初等模型市公开课金奖市赛课一等奖课件
甲 103 10
103/10=10.3
中
乙 63 6
63/6=10.5
差
丙 34 4
34/4=8.5
好
第17页
系别 人数 席位数 每席位代表 人数
甲 103 11 103/11=9.36
乙 63 7
63/7=9
丙 34 3 普通地,
34/3=11.33
单位 人数 席位数 每席位代表
A
p1 n1
人p1数
n1
B p2 n2
p2 n2
公平程度
中 好 差
当
p1 p2 n1 n2
席位分派公平
第18页
但通常不一定相等, 席位分派不公平程度用下列原则来判 断。
1) p1 p2 称为“绝对不公平”标准。 n1 n2
此值越小分派越趋于公平, 但这并不是一个好衡量原则。
单位
人数p 席位数n 每席 位代 表人 数
n1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
p2n1 1 p1n2
对B 相对不公 平值；
建立了衡量分派不公平程度数量指标 rA , rB
制订席位分派方案标准是使它们尽也许小。
3 建模
若A.B两方已占有席位数为 n1, n2 , 用相对不公平值
讨论当席位增长1 个时, 应当给A 还是B 方。
不失普通性, 若 p1 p2 ， 有下面三种情形。 n1 n2
v
能够看出: 淋雨量与降雨方向和行走速度相关。
问题转化为给定 ，如何选择 v 使得 C 最小。
情形1 90
C 6.95 104 (0.8 1.5) v
结果表明: 淋雨量是速度减函数，当速度尽也许大时 淋雨量达到最小。 假设你以6米/秒速度在雨中猛跑，则计算得
数学建模第一章初等方法建模--数学模型讲义课件绪论
模型 准备 模型 检验 模型 应用
模型 假设 模型 分析
模型 构成 模型 求解数学模型 Nhomakorabea王宏健 编
（内部使用 版权所有 翻印必究）
什么是数学建模？
数学建模就是对于现实世界的一个特定对象， 为了一个特定目的，根据特有的内在规律，做 出一些必要的简化假设，把一个现实问题转变 成一个数学问题，再通过求解该数学问题，从 而达到解决现实问题的目的。
数学模型的重要性
• 数学工具的应用范围近几十年来不断扩大，
已从传统的工程技术领域渗透到其他各领 域（如经济、管理、体育、医学、人文、 社会、生态、环境等）。 • 电子计算机的迅速发展使得数学的真正应 用成为可能。美国科学院院士A.Fridman 在一份报告中指出：“数学建模以及相关 的计算正在成为工程设计中的关键工具。”
建立数学模型的方法和步骤
• 在实验、观察和分析的基础上，对实际问题 的主要方面作出合理简化和假设； • 明确变量和参数，应用数学的语言和方法形 成一个明确的数学问题； • 用数学或计算的方法精确或近似地求解该问 题； • 分析、检验结果是否能说明实际问题的主要 现象。 • 这样的过程多次反复进行，直到能较好地解 决问题，这就是数学建模的全过程。
[精品]数学建模课件初等模型69页PPT
![[精品]数学建模课件初等模型69页PPT](https://img.taocdn.com/s3/m/032bd71f974bcf84b9d528ea81c758f5f61f293c.png)
53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
55、 为 中 华 之 崛起而 读书。 ——周 恩来
60、人民的幸福是至高无个的法。— —西塞 罗
谢谢！
51、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生命是活 动。——卢 梭
[精品]数学建模课件初等模型
56、极端的法规，就是极端的不公。 ——西 塞罗 57、法律一旦成为人们的需要，人们 就不再 配享受 自由了 。—— 毕达哥 拉斯 58、法律规定的惩罚不是为了私人的 利益， 而是为 了公共 的利益 ；一部 分靠有 害的强 制，一 部分靠 榜样的 效力。 ——格 老秀斯 59、假如没有法律他们会更快乐的话 ，那么 法律作 为一件 无用之 物自己 就会消 灭。— —洛克
55、 为 中 华 之 崛起而 读书。 ——周 恩来
60、人民的幸福是至高无个的法。— —西塞 罗
谢谢！
51、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生命是活 动。——卢 梭
[精品]数学建模课件初等模型
56、极端的法规，就是极端的不公。 ——西 塞罗 57、法律一旦成为人们的需要，人们 就不再 配享受 自由了 。—— 毕达哥 拉斯 58、法律规定的惩罚不是为了私人的 利益， 而是为 了公共 的利益 ；一部 分靠有 害的强 制，一 部分靠 榜样的 效力。 ——格 老秀斯 59、假如没有法律他们会更快乐的话 ，那么 法律作 为一件 无用之 物自己 就会消 灭。— —洛克
《数学建模》PPT课件
( x2
x1)
f
f (x2 ) (x2 ) f
2 1 ( x1) 22
1
f
( x1 )
f
(x2 )
3
f
( x1 ) x1
f (x2 ) x2
2 (12 f (x1)f (x2 ))1/2
如函数的导数容易求得，一般首先考虑使用三次插值
法，因为它具有较高效率。对于只需要计算函数值的方
法中，二次插值法是一个很好的方法，它的收敛速度较
优化模型
（2）多项式近似法 该法用于目标函数比较复杂的情 况。此时寻找一个与它近似的函数代替目标函数，并用 近似函数的极小点作为原函数极小点的近似。常用的近 似函数为二次和三次多项式。
二次内插涉及到形如下式的二次函数数据拟合问题：
mq() a2 b c
其中步长极值为：
b
2a
完整版课件ppt
求解单变量最优化问题的方法有很多种，根据目标函 数是否需要求导，可以分为两类，即直接法和间接法。 直接法不需要对目标函数进行求导，而间接法则需要用 到目标函数的导数。
完整版课件ppt
4
优化模型
1、直接法 常用的一维直接法主要有消去法和近似法两种： （1）消去法 该法利用单峰函数具有的消去性质进行
反复迭代，逐渐消去不包含极小点的区间，缩小搜索区 间，直到搜索区间缩小到给定允许精度为止。一种典型 的消去法为黄金分割法(Golden Section Search）。黄金 分割法的基本思想是在单峰区间内适当插入两点，将区 间分为三段，然后通过比较这两点函数值的大小来确定 是删去最左段还是最右段，或同时删去左右两段保留中 间段。重复该过程使区间无限缩小。插入点的位置放在 区间的黄金分割点及其对称点上，所以该法称为黄金分 割法。该法的优点是完整算版课法件p简pt 单，效率较高，稳定性好5 。
数学建模ppt课件-文档资料
数学建模
• 数学建模简介 • 大学生数学建模竞赛 • 数学建模的步骤 • 初等数学模型
• 数学建模简介 1、什么是数学模型？
数学模型是对于现实世界的一个特定对象，一个 特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的假 设，运用适当的数学工具，得到一个数学结构。 简单地说：就是系统的某种特征的本质的数学表 达式（或是用数学术语对部分现实世界的描述），即 用数学式子（如函数、图形、代数方程、微分方程、 积分方程、差分方程等）来描述（表述、模拟）所研 究的客观对象或系统在某一方面的存在规律。
• 大学生数学建模竞赛
大学生数学建模竞赛最早是1985年在美国出现的， 1989年我国大学生开始参加美国的竞赛。经过两 三年的参与，大家认为竞赛是推动数学建模教学 在高校迅速发展的好形式，1992年由中国工业与 应用数学学会数学模型专业委员会组织举办了我 国10城市的大学生数学模型联赛。 • 教育部领导及时发现、并扶植、培育了这一 新生事物，决定从1994年起由教育部高教司和中 国工业与应用数学学会共同主办全国大学生数学 建模竞赛，每年一次。十几年来这项竞赛的规模 以平均年增长25%以上的速度发展。
室 内 T1
Ta T b d l d
室 外 T2
Q1
墙 T 建模 热传导定律 Q k d 双层玻璃模型 T T T T T T 1 a a b b 2 Q k k k 1 1 2 1 d l d
• 从一组数据中可以看出它的蓬勃发展之势：从 1994年196个学校的867支参赛队，到2000年 517个学校的3210支参赛队，再到2019年795个 学校的8492支参赛队，参赛队壮大了近10倍， 2019年竞赛的选手达到25000多名。 2019年竞 赛的选手达到25000多名。 • 2019年全国967所高校一万余支队伍、三万多名 大学生参加2019年度的数学建模竞赛，山东省有 59所高校，近七百支队参加竞赛。
• 数学建模简介 • 大学生数学建模竞赛 • 数学建模的步骤 • 初等数学模型
• 数学建模简介 1、什么是数学模型？
数学模型是对于现实世界的一个特定对象，一个 特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的假 设，运用适当的数学工具，得到一个数学结构。 简单地说：就是系统的某种特征的本质的数学表 达式（或是用数学术语对部分现实世界的描述），即 用数学式子（如函数、图形、代数方程、微分方程、 积分方程、差分方程等）来描述（表述、模拟）所研 究的客观对象或系统在某一方面的存在规律。
• 大学生数学建模竞赛
大学生数学建模竞赛最早是1985年在美国出现的， 1989年我国大学生开始参加美国的竞赛。经过两 三年的参与，大家认为竞赛是推动数学建模教学 在高校迅速发展的好形式，1992年由中国工业与 应用数学学会数学模型专业委员会组织举办了我 国10城市的大学生数学模型联赛。 • 教育部领导及时发现、并扶植、培育了这一 新生事物，决定从1994年起由教育部高教司和中 国工业与应用数学学会共同主办全国大学生数学 建模竞赛，每年一次。十几年来这项竞赛的规模 以平均年增长25%以上的速度发展。
室 内 T1
Ta T b d l d
室 外 T2
Q1
墙 T 建模 热传导定律 Q k d 双层玻璃模型 T T T T T T 1 a a b b 2 Q k k k 1 1 2 1 d l d
• 从一组数据中可以看出它的蓬勃发展之势：从 1994年196个学校的867支参赛队，到2000年 517个学校的3210支参赛队，再到2019年795个 学校的8492支参赛队，参赛队壮大了近10倍， 2019年竞赛的选手达到25000多名。 2019年竞 赛的选手达到25000多名。 • 2019年全国967所高校一万余支队伍、三万多名 大学生参加2019年度的数学建模竞赛，山东省有 59所高校，近七百支队参加竞赛。
数学建模初等模型ppt课件
61 1
61 1
21
理学院
xx
2.5 经济问题中的初等模型
设产品产量为q,产品价格为p,固定成本c0，可变成 本为c1.
（1） 总成本函数： c cq c0 c1q
（2） 供给函数：
Qs f p
（3） 需求函数：
Q0 gp
（4） 价格函数：
p f 1Q0 pq
证明：存在0，使f(0) = g(0) = 0.
理学院 6
xx
模型求解
给出一种简单、粗糙的证明方法
将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。 由g(0)=0， f(0) > 0 ，知f(/2)=0 , g(/2)>0.
令h()= f()–g(), 则h(0)>0和h(/2)<0.
由 f, g的连续性知 h为连续函数, 据连续函数的基本性
理学院 22
xx
（5） 收益函数：
R Rq qpq
（6） 利润函数： Lq Rq Cq
（7） 边际成本函数：
Cm C'q
（8） 边际收益函数：
Rm R'q
（9） 边际利润函数： Lm R'q C'q Rm Cm
23
理学院
xx
Q(t)=-t3+9t2+12t
个晶体管收音机。
问：在早上几点钟这个工工作人效的率工最作高效，率即最生高产？率最大， 此题中，工人在t时刻的生产率
解：工人的生产率为为Q’(产Rt)量t，Q则关Q问于' 题t时转间化t的3为t 2变求化Q1’8率(tt：)的12
R't Q''最t大值6t 18 0
初等数学模型(一PPT课件
数学建模的意义
1、培养创新意识和创造能力 2、训练快速获取信息和资料的能力 3、锻炼快速了解和掌握新知识的技能 4、培养团队合作意识和团队合作精神 5、增强写作技能和排版技术 6、荣获国家级奖励有利于保送研究生 7、荣获国际级奖励有利于申请出国留学 8、更重要的是训练人的逻辑思维和开放性思考方式
数学建模应当掌握的十类算法
• 8、一些连续离散化方法（很多问题都是实际来的，数据 可以是连续的，而计算机只 认的是离散的数据，因此将 其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非 常重要的）
• 9、数值分析算法（如果在比赛中采用高级语言进行编程 的话，那一些数值分析中常 用的算法比如方程组求解、 矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调 用）
• 模型应用：应用方式因问题的性质和建模 的目的而异。
应该注意的是：数学建模不只是数学成绩好的
学生的专利，我们每个同学都能利用所学的数学 知识建立相应的模型解决一些实际问题的。同时 数学建模遵循简单化原则：也就是建立的模型越 简单越好，并不一定需要高深的数学知识。数学 建模需要创新精神，需要创造，需要有奇异的想 法，没有不能做，只有不敢想，我们同学的年龄 正处在异想开天的时段，正是进行数学建模的黄 金时段，发挥我们的优势，拼搏一下又没有多少 损失，充其量就是牺牲了一定的休息时间吧！不 尝试谁也不知道自己有没有这方面的长处的！当 然数学建模也培养同学们的团队合作精神，考验 团队的集体智慧！
• 模型求解：利用获取的数据资料，对模型 参数做出计算（或近似计算）或估计。
• 模型分析：对所得的结果进行数学分析。
• பைடு நூலகம்型检验：将模型分析的结果与实际情形 进行比较，以此来验证模型的准确性、合 理性和适用性。如果模型与实际较吻合， 则要对计算结果给出其实际含义，并进行 解释。如果模型与实际吻合较差,则应该修 改假设，再次重复建模过程。
《初等模型》课件
根据收集到的数据，估计模型的参数，使模型能够更好地拟合实际数据。
模型验证
验证方法
选择合适的验证方法，如交叉验证、Bootstrap等，以评估模型的预测能力和可 靠性。
结果评估
根据验证结果，评估模型的性能，如准确率、误差率等，以便进一步优化和完善 模型。
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
02
初等模型的建立
确定研究问题
明确目的
在建立初等模型之前，首先需要 明确研究的目的和目标，以便有 针对性地收集数据和建立模型。
选择主题
根据研究目的，选择一个具有实 际意义和价值的主题进行深入研 究。主题应具有代表性，能够反 映所研究领域的核心问题。
案例三：决策树模型
01
3. 对决策树进行剪枝以防止过拟合；
02
4. 应用决ห้องสมุดไป่ตู้树进行分类或回归预测。
03
注意事项：决策树模型容易过拟合，因此需要采取适当的措施来控制模型的复 杂度，例如限制树的深度或使用剪枝技术。此外，决策树模型对特征的划分可 能过于简单或复杂，需要根据实际情况进行调整和优化。
REPORT
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMARY
《初等模型》ppt课 件
目录
CONTENTS
• 初等模型简介 • 初等模型的建立 • 初等模型的分析 • 初等模型的实践案例 • 初等模型的未来发展
REPORT
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DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
模型验证
验证方法
选择合适的验证方法，如交叉验证、Bootstrap等，以评估模型的预测能力和可 靠性。
结果评估
根据验证结果，评估模型的性能，如准确率、误差率等，以便进一步优化和完善 模型。
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ANALYSIS
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ANALYSIS
SUMMAR Y
02
初等模型的建立
确定研究问题
明确目的
在建立初等模型之前，首先需要 明确研究的目的和目标，以便有 针对性地收集数据和建立模型。
选择主题
根据研究目的，选择一个具有实 际意义和价值的主题进行深入研 究。主题应具有代表性，能够反 映所研究领域的核心问题。
案例三：决策树模型
01
3. 对决策树进行剪枝以防止过拟合；
02
4. 应用决ห้องสมุดไป่ตู้树进行分类或回归预测。
03
注意事项：决策树模型容易过拟合，因此需要采取适当的措施来控制模型的复 杂度，例如限制树的深度或使用剪枝技术。此外，决策树模型对特征的划分可 能过于简单或复杂，需要根据实际情况进行调整和优化。
REPORT
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SUMMARY
《初等模型》ppt课 件
目录
CONTENTS
• 初等模型简介 • 初等模型的建立 • 初等模型的分析 • 初等模型的实践案例 • 初等模型的未来发展
REPORT
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ANALYSIS
SUMMAR Y
第二章 初等模型课件ppt
C
C´
O
D´
A
x
正方形 对称性
D
A,C 两脚与地面距离之和 ~ f()
B,D 两脚与地面距离之和 ~ g()
正方形ABCD 绕O点旋转
求实
模型构成
创新
团结
奉献
用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来 地面为连续曲面 椅子在任意位置 至少三只脚着地 f() , g()是连续函数
对任意, f(), g() 至少一个为0
求实
创新
团结
奉献
第二章
初等模型
初等模型通常指研究对象的机理比较简单，一般用静态、 线性、确定性模型就能达到建模的目的时，可以用初等数学 的方法来构造和求解的模型。 衡量一个模型的优劣全在于它的应用效果， 而不在于它采用了多么高的数学方法。解决实 际问题，应尽可能用简单而且初等的方法建模， 方法越简单而且初等，模型就越容易被人理解、 接受和采用，因而就更有价值。
求实
创新
团结
奉献
由 f, g的连续性知 h为连续函数, 据连续函数的基本性
质, 必存在0 , 使h(0)=0, 即f(0) = g(0) . 因为f() • g()=0, 所以f(0) = g(0) = 0.
评注和思考 建模的关键 ~ 和 f(), g()的确定
考察四脚呈长方形的椅子
数学 问题
已知： f() , g()是பைடு நூலகம்续函数 ;
对任意， f() • g()=0 ;
且 g(0)=0， f(0) > 0.
证明：存在0，使f(0) = g(0) = 0.
模型求解
给出一种简单、粗糙的证明方法
将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。 由g(0)=0， f(0) > 0 ，知f(/2)=0 , g(/2)>0. 令h()= f()–g(), 则h(0)>0和h(/2)<0.
C´
O
D´
A
x
正方形 对称性
D
A,C 两脚与地面距离之和 ~ f()
B,D 两脚与地面距离之和 ~ g()
正方形ABCD 绕O点旋转
求实
模型构成
创新
团结
奉献
用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来 地面为连续曲面 椅子在任意位置 至少三只脚着地 f() , g()是连续函数
对任意, f(), g() 至少一个为0
求实
创新
团结
奉献
第二章
初等模型
初等模型通常指研究对象的机理比较简单，一般用静态、 线性、确定性模型就能达到建模的目的时，可以用初等数学 的方法来构造和求解的模型。 衡量一个模型的优劣全在于它的应用效果， 而不在于它采用了多么高的数学方法。解决实 际问题，应尽可能用简单而且初等的方法建模， 方法越简单而且初等，模型就越容易被人理解、 接受和采用，因而就更有价值。
求实
创新
团结
奉献
由 f, g的连续性知 h为连续函数, 据连续函数的基本性
质, 必存在0 , 使h(0)=0, 即f(0) = g(0) . 因为f() • g()=0, 所以f(0) = g(0) = 0.
评注和思考 建模的关键 ~ 和 f(), g()的确定
考察四脚呈长方形的椅子
数学 问题
已知： f() , g()是பைடு நூலகம்续函数 ;
对任意， f() • g()=0 ;
且 g(0)=0， f(0) > 0.
证明：存在0，使f(0) = g(0) = 0.
模型求解
给出一种简单、粗糙的证明方法
将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。 由g(0)=0， f(0) > 0 ，知f(/2)=0 , g(/2)>0. 令h()= f()–g(), 则h(0)>0和h(/2)<0.
第2讲 数学建模初等模型.ppt
假设(1)、(2)是解剖学(((123)))中LAB的=-=k根来Bk越k统o12据比Al=大b计ak的,,较3成b规al大<3<选绩律21小手越，成好在L绩。假的因设L优而(（B劣建3。议）3中5)O13’
Carroll将体重划分成两部分：B=B0+B1，B0为非肌肉重量。
根据三条假设可
得L=k(B-B0)β,k和β为两个常数，
第2讲 初等模型
2.1、船艇回合问题 2.2、双层玻璃的功效 2.3、崖高的估算 2.4、 经验模型 2.5、量纲分析 2.6、 几个实例
§2.1 舰 艇的会合
某航空母舰派其护卫舰去搜寻其跳伞的飞 行 员，护卫舰找到飞行员后，航母通知它尽快 返回与其汇合并通报了航母当前的航速与方 向，问护卫舰应怎样航行，才能与航母汇合。
1βBiblioteka ab 32 3
此外，根据统计结果，他 得出B0≈35公斤1， β 3
故有：L k(B 35)3
模型5（Vorobyev公式）
这是一个前苏联使用的公式。建模者认为举重选手举起的不 光是重物，也提高了自己的重心，故其举起的总重量为L+B， 可以看出，他们更重视的是腿部肌肉的爆发力。应用与模型4 类似的方法，得出了按
模型2（幂函数模型）
线性模型并未得到广泛的接受，要改进结果，能够 想到的自然首先是幂函数模型，即令L=kBa，对此式 取对数，得 到lnL=lnk+a lnB。将原始数据也取对数， 问题即转化了线性模型，可用最小二乘法求出参数。 几十年前英国和爱尔兰采用的比较举重成绩优劣 的 Austin公式：L′=L/B3/4就是用这一方法求得的。
令：
h
a2 a2
1b, r 1
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技 原点的距离成反比，在（3，2）处有一只蚂蚁，问这只蚂蚁
学 应沿什么方向爬行才能最快到达较凉的地点？
院
解：板上任一点（x,y）处的温度为
数
Tx, y
k
学
x2 y2
建 模
我呵学呵过高等数学，我可以g 做得ra 更 好dx，T 2ky2 x32ix2ky2 y32j
2021/2/5
gra3d， 2T3k3 i2k3 j
建
f0 S 10 S 20 0
只证明了直线的存在性
模 f0 S 1 0 S 2 0 0你能找到它么？
由零点定理得证。
2021/2/5
理学院 11
2.1.3出租车收费问题
黑
龙 江 科
某城市出租汽车收费情况如下：起价10元（4km以内），行 程不足15km，大于等于4km部分，每公里车费1.6元；行程
• 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭
• “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我 笨，没有学问无颜见爹娘 ……”
• “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
2021/2/5
4
第二章 初等模型
黑
龙
江
生活中的问题
科
技
极限、最值、积分问题的初等模型
学
院
经济问题中的初等模型
数
线性代数模型
数学建模
（Mathematical Modeling)
黑龙江科技学院理学院 工程数学教研室
2021/2/5
1
黑 龙 江 科 技 学 院
数 学 建 模
2021/2/5
第二章 初等模型
理学院 2
精品资料
• 你怎么称呼老师？
• 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你 是否会认为老师的教学方法需要改进？
建
距离是的函数 C
正方形 对称性
两个距离
C´
A
O
x
D´ D
模
A,C 两脚与地面距离之和 ~ f()
正方形ABCD
B,D 2021/2/5 两脚与地面距离之和 ~ g()
绕O点旋转
理学院 7
模型构成
黑 龙
用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来
江
科
地面为连续曲面
f() , g()是连续函数
技
学 院
元，行程为x km，x∈z+,停车时间为t min，t ∈z+,则
数 学
10
y110x41.6
0x4 4x15
建 模
10x52.41541.6
y2 0.82t.5
15x
2021/2/5
13
理学院
数学模型为
黑
龙
江
10
0x4
科 技 学 院
yy1y2 1 0 x41.6 1 0 x52.41 5 41.6
科 对哥哥说，你能过这一点切一刀，使得切下
技 学
的两块蛋糕面积相等，就把其中的一块送给
院 你。哥哥利问题用归高结等为数如学下知一识道证解明决题了：这个问题，
你知已道知他平用面的上是一什条没么有办交法叉吗点？的
数
封闭曲线，P是曲线所围图形上
学
任一点，求证：一定存在一条过
建 模
P的直线，将这图形的面积二等 分。
1 4 x 5 x 15 0.8 2t.5
数
学
建
模
计算起来很简单。
2021/2/5
理学院 14
2.1.4 蚂蚁逃跑问题
黑 龙
一块长方形的金属板，四个顶点的坐标分别是（1，1），
江 （5，1），（1，3），（5，3），在坐标原点处有一个火
科 焰，它使金属板受热，假设板上任意一点处的温度与该点到
椅子在任意位置
至少三只脚着地
对任意, f(), g()
至少一个为0
数 学
数学
建
问题
模
2021/2/5
已知： f() , g()是连续函数 ; 对任意， f() • g()=0 ;
且 g(0)=0， f(0) > 0.
证明：存在0，使f(0) = g(0) = 0.
理学院 8
模型求解
黑 给出一种简单、粗糙的证明方法
数 学
因为f() • g()=0, 所以f(0) = g(0) = 0.
建 评注和思考
模
建模的关键 ~ 和 f(), g()的确定
假设条件的本质与非本质 考察四脚呈长方形的椅子
2021/2/5
理学院 9
2.1.2 分蛋糕问题
黑 妹妹过生日，妈妈做了一块边界形状任意的
龙 江
蛋糕，哥哥也想吃，妹妹指着蛋糕上的一点
龙 江 将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。 科 由g(0)=0， f(0) > 0 ，知f(/2)=0 , g(/2)>0. 技
学 令h()= f()–g(), 则h(0)>0和h(/2)<0.
院 由 f, g的连续性知 h为连续函数, 据连续函数的基本性
质, 必存在0 , 使h(0)=0, 即f(0) = g(0) .
技 大于等于15km部分，每公里车费2.4元。计程器每0.5km记
学 一次价。
院
例如，当行驶路程x（km）满足
数
12≤x<12.5时，按12.5km计价；当
学
12.5 ≤x<13时，按13km计价；
建
例如，等候时间t(min)满足
模
2.5≤t<5时，按2.5min计价收费0.8元； 当5≤t<25 ，按5min计价
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理学院 12
请回答下列问题
黑 龙
• 假设行程都是整数公里，停车时间都是2.5min的整数倍， 请建立车费与行程的数学模型。
江 • 若行驶12km，停车等候5min,应付多少车费？
科 • 若行驶23.7km,停车等候7min，应付多少车费？
技
学 院
解（1）设车费为y元，其中行程车费为y1元，停车费为y2
2021/2/5
理学院 10
若S1≠ S2 不妨设S1＞S2
黑 龙 江
S1 P P
l
(此时l与x轴正向的夹角记为 0 ) 以点P为旋转中心，将l按逆时
科
S2 ?
针方向旋转，面积S1，S2就连
技
续依赖于角的变化，记为
学 院
令： f S 1 S 2
S1, S2
数 而f 在 0,0上连续，且
学
学
建模举例
建
模 重点:各种简单的初等模型
难点:简单初等模型的建立和求解
2021/2/5
理学院5
2.1 生活中的问题
黑
龙 2.1.1 椅子能在不平的地面上放稳吗
江
科 技
问题分析
通常 ~ 三只脚着地
放稳 ~ 四只脚着地
学
院ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
• 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚
模 连线呈正方形;
数型
学假
建 模
设
• 地面高度连续变化，可视为数学上的连续 曲面;
• 地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三
2021/2/5
只脚同时着地。
理学院 6
模型构成
黑 用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来
龙
江 • 椅子位置 利用正方形(椅脚连线)的对称性
科 技 学
用(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置
B
´
B
A´
院 • 四只脚着地 椅脚与地面距离为零
数 四个距离 学 (四只脚)