导数在函数中的应用极值与最值

利用导数求函数的极值与最值

【基础知识】

1．函数的极值

(1)判断f (x 0)是极值的方法

一般地，当函数f (x )在点x 0处连续时，

①如果在x 0附近的左侧________，右侧________，那么f (x 0)是极大值； ②如果在x 0附近的左侧________，右侧________，那么f (x 0)是极小值．

(2)求可导函数极值的步骤

①求f ′(x )；

②求方程________的根；

③检查f ′(x )在方程________的根左右值的符号．如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得________；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得________．

2．求函数y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大值与最小值的步骤：

(1)求函数y ＝f (x )在(a ，b )上的________；

(2)将函数y ＝f (x )的各极值与________比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

【基础训练】

1．已知函数y ＝f (x )，其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则关于y ＝f (x )下列说法正确的是________(填序号)．

①在(－∞，0)上为减函数；

②在x ＝0处取极小值；

③在(4，＋∞)上为减函数；

④在x ＝2处取极大值．

2．若函数f (x )＝x 3-3x+a 有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是___________

3．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处取极值10，则f (2)＝________

【典型例题】

例1． 若函数f (x )＝ax 3－bx ＋4，当x ＝2时，函数f (x )有极值－43

. (1)求函数f (x )的解析式；

(2)若关于x 的方程f (x )＝k 有三个零点，求实数k 的取值范围．

变式：设x ＝1与x ＝2是函数f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x 的两个极值点．

(1)试确定常数a 和b 的值；

(2)试判断x ＝1，x ＝2是函数f (x )的极大值点还是极小值点，并说明理由．

例2 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点x ＝1处的切线为l ：3x －y ＋1＝0，

若x ＝23

时，y ＝f (x )有极值． (1)求a ，b ，c 的值；

(2)求y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值和最小值．