2018-2019学年度第二学期期中考试试卷(理科)

第二学期期中考试试卷高二数学(理科)注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在所给出的四个选项中，只有一个是符合题意的，请将正确的答案涂于答题卡中.）1．已知集合，B={x|0＜x ＜7}，则=⋂B A （ ）A ．)50，（B ．)7,3[-C ．)7,3(-D ．)7,5[-2．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点)2,3(-，则αtan 的值为（ ）A ．33-B ．721-C ．332-D ．7723．已知平面向量，1=2=，1-=⋅,则2+=（ ）A ．4B ．72C ．22D ．324．直线01)12(=++-my x m 和直线035=++y mx 垂直，则实数m 的值为（ ） A ．1B ．0或—2C ．—2D ．—1或05．下列命题中正确的是（ ） A ．若a ，b ∈R ，则22b =⋅≥+b a a b b a a B ．若x ＞0，则21>+xx C ．若x ＜0，则4424-=⋅-≥+xx x x D ．若x ∈R ，则222222=⋅≥+--x x x x 6.已知)(x f 在R 上是偶函数，且满足)()3(x f x f =+，当]23,0[∈x 时，22)(x x f =，则()8f ＝（ ）A ．8B ．2C ．2-D ．507．某小区有排成一排的8个车位，现有4辆不同型号的车需要停放，如果要求剩下的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为（ ） A ．70B ．24C ．120D ．16808．如图是函数y ＝f （x ）的导函数)(x f y '=的图象，下列说法正确的是（ ） A ．x ＝﹣1是函数y ＝f （x ）的极小值点B ．x ＝1是函数y ＝f （x ）的极大值点C ．函数y ＝f （x ）在（1，+∞）是减函数D ．函数y ＝f （x ）在（﹣2，2）上是增函数 （第8题图）9.如图所示，在著名的汉诺塔问题中，有三根高度相同的柱子和一些大小及颜色各不相同的圆盘，三根柱子分别为起始柱、辅助柱及目标柱．已知起始柱上套有n 个圆盘，较大的圆盘都在较小的圆盘下面．现把圆盘从起始柱全部移到目标柱上，规则如下：每次只能移动一个圆盘，且每次移动后，每根柱上较大的圆盘不能放在较小的圆盘上面，规定一个圆盘从任一根柱上移动到另一根柱上为一次移动，若将n 个圆盘从起始柱移动到目标柱上最少需要移动的次数记为p （n ），则p （4）＝（ ） A ．33B ．31C ．17D ．1510．已知55443322105)1(x a x a x a x a x a a mx +++++=+，若24254321=++++a a a a a ，则=++420a a a （ ）A ．121B ．-1C ．-81D ．8111．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（ ）A.π20 B ．3520πC ．π212D ．π2812．已知函数f （x ）＝（x ﹣3）e x+a （2lnx ﹣x +1）在（1，+∞）上有两个极值点，且f （x ）在（1，2）上 单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（e ，+∞） B ．（e ，2e 2）C ．（2e 2，+∞）D ．（e ，2e 2）∪（2e 2，+∞）第II 卷（非选择题）二、填空题，本大题共4小题，每小题5分，满分20分.请将正确答案填入答题卷相应的横线中.13．复数z 满足z （1+2i ）＝3+i ，i 为虚数单位，则z 的共轭复数＝ . 14.计算dx x ⎰312＝ ．（用数字作答）15.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和”，如8=3+5，在不超过13的素数（不超过13的素数有2,3,5,7,11,13）中，随机选取两个不同的数，其和为偶数的概率是 .（用数字作答）16.已知P 是抛物线x y 42=上一动点，定点)(32,0A ，直线1:-=x l ，过点P 作PQ ⊥l 于点Q ，则|PA|+|PQ|的最小值是_______.三、解答题,本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明和演算步骤.17. （本小题满分12分） （第16题图） 已知函数2)()(c x x x f -=在2=x 处有极大值. （1）求c 的值；（2）求函数)(x f 在区间]8,1[的最大值和最小值. 18.（本小题满分12分） 已知)62sin()(π-=x x f ．（1）求)8(πf 的值；（2）已知a 、b 、c 分别为△ABC 内角A 、B 、C 的对边，其中A 为锐角，a =2，c=4，且1)A (=f ，求△ABC 的面积．19.（本小题满分12分）已知数列{n a }满足：n n a S 22+-=（n ∈N *），其中S n 为数列{n a }的前n 项和． （1）试求{n a }的通项公式；（2）若数列{n b }满足：n n a n b ⋅=（n ∈N *），试求{n b }的前n 项和公式n T ． 20.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，AB ＝2，∠BAD ＝60°. (1)求证：BD ⊥PC ；(2)若P A ＝4，求平面PBC 与平面PDC 所成角的正弦值． （第20题图）21.（本小题满分12分）已知M ，N 为抛物线x y C 4:2=上两点，M ，N 的纵坐标之和为4，点O 为坐标原点. （1）求直线MN 的斜率；（2）若点)0,2(-B 满足OBN OBM ∠=∠，求此时直线MN 的方程.22（本小题满分10分）已知e 是自然对数的底数，函数x e x x f 2)(=与xx x f x F 1)()(+-=的定义域都是),0(+∞．（1）求函数)(x f 在点))3(3f ，（处的切线方程； （2）求证：函数)(x F 只有一个零点0x ，且)2,1(0∈x ．第二学期期中考试试卷高二数学(理科)（参考答案）一、 选择题：二、填空题：13. 1+i 14. 8 15. 3216. 13 三、解答题 17.解（1）22223243)(2)()(c cx x x f x c cx x c x x x f +-='∴+-=-=又因为2)()(c x x x f -=在2=x 处有极大值 所以02423)2(22=+⨯-⨯='c c f 解得 2=c 或6=c当2=c 时，)23)(2(483)(2--=+-='x x x x x f0)(>'x f ，即232><x x 或时，函数)(x f 单调递增；0)(<'x f ，即232<<x 时，函数)(x f 单调递减，所以)(x f 在2=x 处取得极小值，与题目矛盾，故舍去，所以6=c （2）由（1）可得2)6()(-=x x x f ，所以)6)(2(336243)(2--=+-='x x x x x f 当21<<x 或86<<x 时，函数单调递增； 当62<<x 时，函数单调递减，而32)8()2(,0)6(,25)1(====f f f f ，故]8,1[∈x ，函数)(x f 的最大值为32，最小值为0 18.【分析】（1）把x=代入求出f （）的值即可；（2）由f （A ）=1，确定出A 的度数，利用余弦定理列出关系式，把a ，c ，cosA 的值代入求出b 的值，再由b ，c ，sinA 的值，利用三角形面积公式求出三角形ABC 面积即可．【解答】解：（1）把x=代入得：f （）=sin （﹣）=×﹣×=42-6； （2）f （A ）=sin （2A ﹣）=1，∵A ∈（0，），∴2A ﹣∈（﹣，），∴2A ﹣=，即A= ，由余弦定理得：a 2=b 2+c 2﹣2bccosA ，即12=b 2+16﹣4b ，整理得：b 2﹣4b+4=0，解得：b=2， 则S=bcsinA=×2×4×sin60°=2．19【解答】解：（1）∵S n =—2+2a n ①∴S n +1=—2+2a n +1②②﹣①得n n n a a a 2211-=++⇒n n a a 21=+；所以数列{n a }为等比数列，公比q=2 n=1时，a 1=—2+2a 1⇒a 1=2n n n n q a a 222111=⋅==--（2）因为 b n =n•2n ．所以 T n =1×2+2×22+3×23+…+n ×2n ③ 故 2T n =1×22+2×23+…+n ×2n +1④ ③﹣④﹣T n =2+22+23+…+2n ﹣n•2n +1=整理得 T n =（n ﹣1）2n +1+2．20..(1)证明：因为底面ABCD 是菱形，所以BD ⊥AC . 又P A ⊥平面ABCD ，所以BD ⊥P A .又P A ∩AC ＝A ，所以BD ⊥平面P AC . 所以ＢＤ⊥ＰＣ(2)以BD 与AC 的交点O 为坐标原点，OB ，OC 所在直线为x 轴，y 轴，过点O 且垂直于平面ABCD 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．由已知可得，AO ＝OC ＝，OD ＝OB ＝1，所以P (0，－，4)，B (1，0，0)，C (0，，0)，D (－1，0，0)，(0，2，－4)，＝(－1，，0)，＝(－1，－，0)．设平面PBC 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面PDC 的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 由可得令x 1＝，可得n 1＝.同理，由可得n 2＝，所以cos 〈n 1，n 2〉＝＝－，所以平面PBC 与平面PDC 所成角的余弦值为.所以平面PBC 与平面PDC 所成角的正弦值为1921411952＝－）（21.21.解：（I ）设，则依题意可知： 相减可得：，即又，所以，即直线的斜率为（II ）由（I ）知直线的斜率为，所以可设直线的方程为（1）当在轴异侧时，由知又所以，即又，所以化简得……①联立方程组消去得所以，代入①式可得所以直线的方程为（2）当在轴同侧时，由知即直线过点，所以此时直线方程为经验证，此时直线与抛物线无交点，故舍去综上可知：直线的方程为22.（1）解：∵∴切线的斜率eef f k 339)3(,3)3(=-='=∴函数在点))3(f （３，处的切线方程为)3(3933--=-x y ee ，即为01833=-+y x e（2）证明：∵，，∴，，∴∴存在零点，且∵∴当时，当时，由∴在上是减函数， ∴若，，，则∴函数只有一个零点，且.。