向量代数与空间解析几何习题详解

（ 3） x 2 y 2 1 在平面解析几何中表示双曲线， 在空间解析几何中表示双曲柱面；
（ 4） x 2 2 y 在平面解析几何中表示抛物线，在空间解析几何中表示抛物柱面
.
8、 说明下列旋转曲面是怎样形成的？
x2 （ 1）
y2
z2 1 ；（ 2）x 2
y2
z2 1（ 3）x 2 y 2 z 2 1 ；（4 ）(z a) 2 x 2 y 2
坐标平面所围成； （ 3 ） z = 0, z = a(a > 0) , y = x,x 2 + y 2 = 1 及 x
z x 2 y 2 , z 8 x 2 y2 所围 .
0 在 第 一 卦 限 所 围 成 ；（ 4 ）
解：（1 ）平面 3x 4 y 2z 12 0 与三个坐标平面围成一个在第一卦限的四面体；
y2
1 绕 x 轴旋转而成； 或者
xOz 平面上的双曲线
2
x
2
z1
绕 x 轴旋转而成
（ 4） yOz 平面上的直线 z y a 绕 z 轴旋转而成或者 xOz 平面上的直线 z x a 绕 z 轴旋
转而成 .
9、 画出下列各曲面所围立体的图形：
（ 1） 3x 4 y 2z 12 0 与三个坐标平面所围成； （ 2） z 4 x 2,2x y 4 及三
y2
3 , 在 xOy 面上的投影为
4
x2 y2 z0
3 4, 它是中心在
原点，半径为 3 的圆周 . 2
1
（ 2）因为曲线在平面
z
1
z
上，所以在 xOz 面上的投影为线段 .
2,
2
y0
|x| 3; 2
1 z
（ 3）同理在 yOz 面上的投影也为线段 .
2,
x0
3 |y| .
2
10、 求抛物面 y2 z2 x 与平面 x 2 y z 0 的交线在三个坐标面上的投影曲线方
解 ：（1 ）所求的球面方程为： (x 2) 2 ( y 1) 2 ( z 3) 2 36
（ 2）由已知，半径 R 62 ( 2) 2 32 7 ，所以球面方程为 x 2 y 2 z2 49
24
（ 3）由已知，球面的球心坐标 a
3, b
2
31
53
1, c
1，
2
2
球的半径 R 1 (4 2) 2 (1 3) 2 (5 3) 2 2
解 ：平面的点法式方程为 2 x 1 2 y 2 z 3 0 .
2、 求过三点 A 1,0,0 , B 0,1,0 ,C 0,01 的平面方程 . 解 ：设所求平面方程为 ax by cz d 0 ,将 A, B, C 的坐标代入方程，可得 a b c d ，故所求平面方程为 x y z 1.
3、 求过点 0,0,1 且与平面 3x 4y 2z 1 平行的平面方程 . 解 ：依题意可取所求平面的法向量为 n { 3,4,2} ,从而其方程为
uuur MA z
亦即
( x 4) 2 y 2 z2 z
2
2
( x 4) y 0
从而所求的轨迹方程为 ( x 4) 2 y 2 0 .
3、 求下列各球面的方程：
（ 1）圆心 (2, 1,3) ，半径为 R 6 ； （ 2）圆心在原点，且经过点 (6, 2,3) ；
（ 3）一条直径的两端点是 ( 2 3,5)与( 4,1, 3) ；（ 4）通过原点与 (4,0,0), (1,3,0), ( 0,0, 4)
，化为 y
1
3 cos t (0 t 2 ) ；
2
99
z 3 sin t
x 1 3 cos
（ 2） y 3 sin
(0
z0
2 ).
x a cos 6、 求螺旋线 y a sin 在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程 .
zb
x2 y2 解：
z0
a2
z y a sin
z x a cos
；
b；
b.
x0
y0
第六章 向量代数与空间解析几何
习 题 6—3
1、 已知 A(1,2,3) ， B(2, 1,4) ，求线段 AB 的垂直平分面的方程 .
解 ：设 M ( x, y, z) 是所求平面上任一点，据题意有 | MA | | MB |,
x 12 y 2 2 z 32
x 2 2 y 12 z 4 2,
化简得所求方程 2x 6 y 2 z 7 0 .这就是所求平面上的点的坐标所满足的方程
7、 指出下列方程在平面解析几何和空间解析几何中分别表示什么图形？
（ 1） y x 1
；（ 2） x 2 y 2 4 ；（3 ） x 2 y 2 1 ；（ 4） x 2 2 y .
解：（1 ） y x 1 在平面解析几何中表示直线，在空间解析几何中表示平面；
（ 2） x 2 y 2 4 在平面解析几何中表示圆周，在空间解析几何中表示圆柱面；
（ 2）抛物柱面 z 4 x2 与平面 2x y 4 及三坐标平面所围成；
（ 3）坐标面 z = 0 、 x 0 及平面 z = a (a > 0) 、 y= x 和圆柱面 x2 + y 2 = 1 在第一卦限所
围成； （ 4）开口向上的旋转抛物面 z x2 y 2 与开口向下的抛物面 z 8 x 2 y 2 所围 .作图略 .
有 -3 B- C=0,
或 C=-3 B . 将其代入所设方程并除以
B (B 0), 便得所求的平面方程为
y-3 z=0.
5、 求过点 (1,1,1) ，且垂直于平面 x y z 7 和 3x 2y 12 z 5 0 的平面方程 . 解： n1 {1, 1,1}, n2 { 3, 2, 12} 取法向量 n n1 n2 {10,15, 5}, 所求平面方程为 化简得 : 2x 3y z 6 0.
x2
（ 8）
4
y2 z2 9
x2 1 ；（ 9）
y2
z 2 1 ；（ 10） 2 x2 2 y 2 1 3 z 2 .
433
解： (1) 椭圆柱面； (2) 抛物柱面； (3) 圆柱面； (4)球面；（ 5）圆锥面；（ 6）双曲抛物面； （ 7）椭圆抛物面； （ 8）双叶双曲面； （9 ）为旋转椭球面； （ 10）单叶双曲面 .
程. 解： 交线方程为
y 2 z2 x
x2 5 y2 4 xy x 0
，（ 1）消去 z 得投影
,
x 2y z 0
z0
x2 5z2 2xz 4 x 0
y2 z2 2 y z 0
（ 2）消去 y 得投影
，（ 3）消去 x 得Βιβλιοθήκη Baidu影
.
y0
x0
习 题 6—5
1、 写出过点 M 0 1,2,3 且以 n 2,2,1 为法向量的平面方程 .
y2 z2 2x 0
8、 求曲线
在 xOy 面上的投影曲线方程，并指出原曲线是何种曲线
.
z3
解 ：原曲线即：
y2 2x 9 ，是位于平面 z 3 上的抛物线，在 xOy 面上的投影曲
z3
y2 2x 9
线为
z0
9、 求曲线
x2 y 2 z2 1
1 z
2
在坐标面上的投影 .
解：（ 1）消去变量 z 后得 x 2
7、 指出下列方程所表示的曲线
x 2 y2 z2 25 （ 1）
x3
x 2 4y 2 9z 2 30
（ 2）
；
z1
x 2 4 y 2 z2 25
y 2 z2 4x 8 0
y 2 z2 1
（ 3）
； （4）
； （5） 9 4 .
x3
y4
x20
解：（1 ）圆； （ 2）椭圆； （ 3）双曲线； （ 4）抛物线； （ 5）双曲线 .
3 x 0 4 y 0 2 z 1 0 即 3x 4y 2z 2. 4、 求通过 x 轴和点 (4, -3, -1) 的平面的方程 .
解： 平面通过 x 轴 , 一方面表明它的法线向量垂直于 x 轴 , 即 A=0; 另一方面表明 它必
通过原点 , 即 D=0. 因此可设这平面的方程为 By+ Cz=0. 又因为这平面通过点 (4, -3, -1), 所以
21 ，所以球面方程为：
2
2
2
( x 3) ( y 1) ( z 1) 21
（ 4）设所求的球面方程为： x 2 y 2 z2 2 gx 2hy 2 kz l 0
l0
l0
16 8g 0
h1
因该球面经过点 (0,0,0),( 4,0,0), (1,3,0), (0,0, 4) ，所以
解之得
10 2g 6h 0
习 题 6—4
1、 画出下列曲线在第一卦限的图形
（ 1）
x
1 ；（ 2）
z
y2
x
4 x2 y0
y 2 ；（ 3） x 2 x2
y 2 a2 z2 a2
解：（1 ）是平面 x 1与 y 2 相交所得的一条直线；
（ 2）上半球面 z
4 x2 y2 与平面 x y 0 的交线为 1 圆弧； 4
（ 3）圆柱面 x 2 y 2 a2 与 x 2 z2 a2 的交线 .图形略 .
1、 求下列各直线的方程：
习 题 6—6
（ 1）通过点 A( 3,0,1) 和点 B(2, 5,1) 的直线；
x1 y 2 z3
（ 2） 过点 1,1,1 且与直线
平行的直线 .
2
3
4
（ 3）通过点 M (1 5,3) 且与 x, y, z 三轴分别成 60 ,45 ,120 的直线；
（ 4）一直线过点 A(2, 3,4) ，且和 y 轴垂直相交，求其方程 .
.
y2 z2 1
x2 y2 z2 1
x2 y2 z2 1
解：
；
；
.
x0
x0
y2 z2 1
2
2
2
x yz
4、 试求平面 x 2 0 与椭球面
1 相交所得椭圆的半轴与顶点 .
16 12 4
解 ：将椭圆方程
x2 y2 z2 16 12 4 x20
1 化简为：
y 2 z2 93 x2
1 ，可知其为平面
x
2 上的椭圆，
x1 y z1 x y1 z1
（ 5）通过点 M (1,0, 2) 且与两直线
曲面的方程．
x2 解： 绕 x 轴旋转得 2
a
y2 z2
2
1
c
x2 y2 z2
绕 z 轴旋转得
2
2 1.
a
c
6、 指出下列曲面的名称，并作图：
2
x
（ 1）
4
2
z 1 ；（2 ） y2 9
2 z ；（ 3） x 2 z2 1 ；（ 4） x 2 y 2 z2 2 x 0 ；
（ 5） y2 x 2 z2 ；（ 6） 4 x2 4 y2 z 1 ；（ 7） x2 y 2 z 1 ； 9 16
x z 0.
7、 写出下列平面方程：
（ 1） xOy 平面；（ 2）过 z 轴的平面；（ 3）平行于 zOx 的平面；（4）在 x ， y ， z 轴上的截
距相等的平面 .
解 ：（1 ） z 0 ,（2） ax by 0 （ a,b 为不等于零的常数） ,
、（ 3） y c ( c 为常数 ), （ 4） x y z a ( a 0) .
g2
16 8k 0
k2
所求的球面方程为 x 2 y2 z2 4x 2 y 4 z 0 .
4、 将 yOz 坐标面上的抛物线 y 2 2z 绕 z 旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程．
解： x 2 y 2 2z (旋转抛物面 ) .
x2 5、将 zOx 坐标面上的双曲线 a 2
z2 c2 1 分别绕 x 轴和 z 轴旋转一周， 求所生成的旋转
半轴分别为 3, 3 ，顶点分别为 ( 2,3,0), (2, 3,0), (2,0, 3), (2,0, 3) .
5 、将下面曲线的一般方程化为参数方程
x 2 y2 z2 9
（ 1）
；
yx
( x 1) 2 y 2 (z 1) 4 （ 2）
z0
解：（ 1）原曲线方程即：
x 3 cos t
yx
2
2x 2 z2
499
4
x2 解：（ 1）xOy 平面上椭圆
4
y2
x 2 z2
1 绕 x 轴旋转而成； 或者 xOz 平面上椭圆
1
9
49
绕 x 轴旋转而成
（ 2 ） xOy 平面上的双曲线
2
2y z
1 绕 y 轴旋转而成
4
x2
y2 1 绕 y 轴旋转而成；或者
4
yOz 平面上的双曲线
（ 3）xOy 平面上的双曲线 x 2
2、 分别求母线平行于 x 轴及 y 轴而且通过曲线
2x 2 y 2 z 2 16 的柱面方程 .
x2 z2 y2 0
解： 消去 x 坐标得 3 y2 z 2 16 ，为母线平行于 x 轴的柱面；
2
消去 y 坐标得： 3x
2
2z
16 ，为母线平行于 y 轴的柱面 .
3、 求在 yOz 平面以坐标原点为圆心的单位圆的方程（任写出三种不同形式的方程）
平面上的点的坐标都不满足这个方程，所以这个方程就是所求平面的方程
.
, 而不在此
2、 一动点移动时，与 A( 4,0,0) 及 xOy 平面等距离，求该动点的轨迹方程 .
解 ： 设 在 给 定 的 坐 标 系 下 ， 动 点 M (x, y, z) ， 所 求 的 轨 迹 为 C ， 则
M (x, y, z) C
6、 设平面过原点及点 (1,1,1) ，且与平面 x y z 8 垂直，求此平面方程 .
解： 设所求平面为 Ax By Cz D 0, 由平面过点 (1,1,1) 知平 A B C D 0, 由
r 平面过原点知 D 0 ， Q n {1, 1,1},
A B C 0 A C, B 0 ，所求平面方程为